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Una Estructura en Cascada para Prediccion
Lineal Adaptiva
Presentado por: Guillermo Dalla Vecchia ([email protected] )
Martes 14 de Setiembre, 2003
Temario
Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).
Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva
Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de
Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualización y complejidad
Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz
Conclusiones Referencias
Filtros Lattice
Filtros Lattice Filtro Lattice FIR
Objetivo: Minimizar el error de prediccion
Ecuaciones Basicas:
2
0
( )p pn
e n
1 1
*1 1
( ) ( ) ( 1)
( ) ( 1) ( )
j j j j
j j j j
e n e n e n
e n e n e n
Filtros Lattice Diagrama de Flujo de Señal
Filtros Lattice Principales Ventajas
Modularidad. Baja sensibilidad a los efectos de
cuantizacion de los parametros. Criterio simple para asegurar que el
filtro sea de fase minima. En el caso del filtro IIR esta condicion
asegura estabilidad.
Temario
Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).
Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva
Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de
Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualización y complejidad
Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz
Conclusiones Referencias
Filtros Lattice LMS (GAL)
2 2( ) ( ) ( )B
j j jn E e n e n
Problema: Minimizar la siguiente funcion de costo:
Solucion:
*
1 1
2 2
1 1
( ) ( 1)2
( ) ( 1)
j jBj
j j
E e n e n
E e n e n
Filtros Lattice LMS (GAL) Problema: Dificultad para evaluar la
expresion anterior. Solucion: Estrategia iterativa (Metodo
de Maxima Pendiente):
Ecuacion de Actualizacion:
*
( )( 1) ( )
Bj
j j jj
nn n
* *
1 1( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )j j j j j j jn n E e n e n e n e n
Filtros Lattice LMS (GAL)
Problema: Necesidad de conocer las propiedades estadisticas de los errores de prediccion.
Solucion: Reemplazar el operador valor esperado con valores instantaneos (enfoque LMS):
* *
1 1( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )j j j j j j jn n e n e n e n e n
Filtros Lattice LMS (GAL)
Condicion sobre el paso de adaptacion para asegurar estabilidad:
2 2
1 1
20
( ) ( 1)j
j jE e n e n
Estructura en Cascada para
Prediccion Lineal Adaptiva
Temario
Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).
Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva
Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de
Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualización y complejidad
Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz
Conclusiones Referencias
Introduccion
Algoritmos adaptivos tradicionales:Familia RLS, y Familia LMS. Populares y ampliamente usados. Sufren de diversos problemas y
limitaciones.
Problemas y Limitaciones RLS:
Mayor complejidad. Mayor costo computacional. Calculo implicito de la inversa de la matriz de
correlacion de la señal de entrada. LMS:
Fuertemente afectado por la dispersion de los autovalores de la matriz de correlacion de la señal de entrada.
Acoplamiento de modos de convergencia.
Introduccion
Introduccion
Consecuencias RLS
Problemas de estabilidad del algoritmo. LMS
Trayectorias de convergencia no uniformes. Problemas de estabilidad del algoritmo.
Introduccion Alternativas para minimizar estos
Problemas (para el caso de prediccion lineal):
LMS Filtros Lattice. Algoritmos LMS en el dominio de la Frecuencia. Desventajas: Producen Mayor Desajuste.
RLS Algoritmos RLS Rapidos (FRLS). Desventajas: Sensibilidad a la precision numerica,
fundamentalmente en el seguimiento de señales no estacionarias, o señales ruidosas.
Introduccion Otra alternativa: Estructura en cascada.
Idea: usar una cascada de filtros de bajo orden, en vez de uno de orden alto.
Desventaja: No converge a la solucion optima de Wiener.
Introduccion MSE final:
Expresiones de los coeficientes para el caso de una cascada de dos etapas de un coeficiente:
*1 1
2
* 2 *2 2 2
ˆ
(1)ˆ(0)x
x
f f
rf f f
r
2
1 1 1
(1)(0) k
k k k kk
rJ r J J
J
Introduccion Ejemplo sencillo: Proceso AR(2)
Polos de la forma
2
2
2
1 2 cos( )
1 2 cos( )
2 cos( )1
1,2jp e
Introduccion Simulaciones para el caso ρ=0.95 y θ=π/20:
Introduccion
Temario
Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).
Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva
Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de
Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y
Complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz
Conclusiones Referencias
Algoritmos de Actualizacion y Complejidad Computacional
Algoritmos de actualizacion a usar en las simulaciones:
LMS, LMS Lattice, RLS y LMS en cascada de dos coeficientes con paso de adaptacion constante para todas las etapas.
Algoritmos de Actualizacion y Complejidad Computacional
Complejidad computacional: LMS: 2N+1 multiplicaciones. LMS Cascada: 5N/2 multiplicaciones. LMS Lattice: 5N multiplicaciones.
Conclusion: el costo computacional de la cascada es ligeramente mayor a la del LMS, y menor que la del LMS Lattice.
Temario
Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).
Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva
Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de
Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y complejidad
Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz
Conclusiones Referencias
Simulaciones
Simulaciones
Simulaciones
Temario
Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).
Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva
Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de
Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz
Conclusiones Referencias
Prediccion Lineal de Voz
Prediccion Lineal de Voz Ventajas de la cascada frente a otras
estructuras: Para predictores basados en LMS:
La cascada es ligeramente mas costosa computacionalmente que el LMS standard.
Menos susceptible a los problemas del algoritmo standard, con una performance similar.
Para predictores RLS: Performance similar al RLS standard. Mejora problemas numericos del RLS para
ordenes grandes del predictor (calculo de la inversa de R).
Temario
Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).
Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva
Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de
Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz
Conclusiones Referencias
Conclusiones
Converge rapidamente a una buena aproximacion, superando a estructuras computacionales mas costosas.
Soluciona algunos de los problemas de los algoritmos tradicionales.
Presenta problemas ante determinadas clases de señales (ejemplo: señales cuya autocorrelacion se anula para indices impares por lo que las etapas impares convergen a cero).
Temario
Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL).
Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva
Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de
Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz
Conclusiones Referencias
Referencias
[1] M. Hayes, “Statistical Digital Signal Processing and Modeling”, John Wiley & Sons Inc., 1996.
[2] S. Haykin, “Adaptive Filter Theory”, Prentice Hall, 1995.
[3] P. Prandoni y M. Vetterli, “An FIR Cascade Structure for Adaptive Linear Prediction”, 1996.
Muchas Gracias