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INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS EUGENIO GARZA SADA
UNA ALTERNATIVA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA IDEA DE LIMITE
Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de Maestro en Educación con Especialidad en Matemátcas
Autor: Marlene de la Torre Vargas Asesor: Dr. Alejandro López Yáñez
Monterrey, N. L. Enero de 1994
UNA ALTERNATIVA DIDACTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA IDEA DELIMITE
lng. Mar lene de la Torre Vargas
Trabajo de Grado aprobado en el nombre del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Eugenio Garza Sada, por el siguiente Jurado.
RECONOCIMIENTOS
Al Dr. Alejandro López Y áñez por el entusiasmo, con que asesoró y motivó la realización de este trabajo.
Mi agradecimiento al Ing. Apolonio Castillo Ferreira, por su apoyo en la realización de mis estudios y la culminación de los mismos.
A la Lic. Dora Esthela Rodríguez, directora de la Maestría en Educación del ITESM Campus Eugenio Garza Sada, por el apoyo administrativo para la
realización del trabajo de tesis.
Mi gratitud a mis compañeras; Elizabeth, Eugenia, Norma, Alma Rosa, y Maria Elena que me apoyaron en la realización de este trabajo.
11
LISTA DE FIGURAS
Figura Págs.
2 1 Gráfri. d 1 fun ·' 16 -x2
14 . . ca e a c10n/(x)=--4+x
2.2.Gráfica de la función/(x) = -x2 + 2x +2 17
X+2 X~ 5 2.3.Gráfica de la función/(x) = 19
-x+lO X>5
2.4.Gráfica de la función f (x) = -1
- 20 x-2
2.5.Gráfica de la función f(x) = 2x+6 25
2.41.Representación gráfica del límite de una función 27
2.3.3.2.Relaciones entre los diferentes
tipos de aprendizaje 46.
2.3.3.6.Esquema del proceso de aprendizaje en
la mente del estudiante 55.
3 .1.1.1. Cuadrado inscrito en un círculo 65.
111
3 .1.1.2. Octágono inscrito en un círculo 65.
3.1.2.Intervalo en la recta 66.
3.1.3.1.Circunferencia con recta móvil 68.
3.1.4.1.Elipse 68.
3 .1.4.2.Elipses con mallas 69.
3.1.4.3.Sección de la elipse 70.
3.3.1.Representación gráfica del margen de error para un
ejemplo específico 94
3.4. 1.Un ejemplo particular de la característica esencial de la
idea de limite. 98.
3.4.2.Intervalo con centro P y radio Da lo largo de la cuva 100
3.4.3.Intervalo con centro P y radio D 101
3.5.1.Definición de limite en terminos de la recta real. 104
IV
LISTA DE TABLAS
Tabla
16-x2
2.1.Valores de las funcion / (x) = --4 + x
2.2.Valores de las funcion / (x) = -x2 + 2x + 2
2.3.Valores de las funcion/(x) = x+2
-x+lO
2.4.Valores de la función/ (x) = senx X
2.5.Valores de la función f(x) = l-cosx X
V
Págs.
15
18
19
21
22
INDICE GENERAL
PRESENTACION ....................................................................... .i
RECONOCIMIENTOS .............................................................. ii
LISTA DE FIGURAS ................................................................. iii
LISTA DE TABLAS ................................................................... v
INDICE GENERAL ................................................................... vi
RESUMEN .......•........................................................................•............. 1
INTRODUCCION .................................................................................. 3
ANTECEDENTES Y DEFINICION DEL PROBLEMA .................... 6 1.1. ANTECEDENTES ......................................................................................... 6 1.2. PLANTEAMIENTO DE LA NECESIDAD ................................................... 1 O 1.3. ENUNCIADO DE LOS OBJETIVOS ............................................................ 11 1.4. DELIMITACION DEL TRABAJO ................................................................ 11
MARCO TEORICO ............................................................................. 13 2.1 REVISION DE LA PRESENTACION USUAL DE LIMITES EN LOS
LIBROS DE TEXTO ..................................................................................... 13 2.2. INVESTIGACIONES SOBRE EL TEMA .................................................... .29 2.3. FUNDAMENT ACION DE LA PROPUESTA ............................................... 36
2.3.1. TIPO DE INVESTIGACION ......................................................................... 36 2.3.2. UBICACION DEL TRABAJO DENTRO DE UN EXPERIMENTO DE
ENSEÑANZA A LARGO PLAZO ................................................................ 39 2.3.3. TEORIAS RELEVANTES DEL PROCESO ENSEÑANZA-
APRENDIZAJE ............................................................................................. 43 2.3.3.1. TIPOS DE APRENDIZAJE .......................................................................... 43 2.3.3.2. APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO: ............................................................. 47 2.3.3.3. ¿COMO LOGRAR UN APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO? ......................... 48 2.3.3.4. CARACTERISTICAS DE ENSEÑANZA EXPOSITORIA ........................... 49 2.3.3.5. ¿COMO SABER SI SE HA DADO EL APRENDIZAJE
SIGNIFICATIVO? .......................................................................................... 51 2.3.3.6. TEORIA DEL PROCESAMIENTO DE LA INFORMACION ...................... 52 2.3.3.7. TIPOS DE RESULTADOS DEL APRENDIZAJE GAGNE .......................... 57
2.4 CONCLUSIONES DEL CAPITULO DE MARCO TEORICO ...................... 60
PROP"UESTA DIDACTICA .........•......•......••......•••..•.•...••.•...•.•..••.•.•.•.. 62 3.0 INTRODUCCION .......................................................................................... 62
VI
3.1 EJEMPLOS GEOMETRICOS ....................................................................... 64 3.1.1. EJEMPLO 1 .................................................................................................. 64 3.1.2. EJEMPLO 2 .................................................................................................. 66 3.1.3. EJEMPLO 3 .................................................................................................. 67 3.1.4. EJEMPLO 4 .................................................................................................. 68 3.1.5. CARACTERISTICAS COMUNES A LOS CUATRO EJEMPLOS ............... 71
3.2. EXPANSION DECWAL .............................................................................. 72 3.2.1. RECORDANDO IDEAS BASICAS .............................................................. 72 3.2.2. ANALISIS DE EXPANSIONES DECIMALES FINITAS ............................. 74 3.2.3. ANALISIS DE EXPANSIONES DECIMALES INFINITAS ......................... 76 3.2.4. PROCESO INFINITO DE APROXIMACIONES INFINITAS ...................... 77 3.2.5. APROXIMACIONES QUE SATISFACEN UN MARGEN DE
ERROR ......................................................................................................... 81 3.2.6. RELACION ENTRE LOS EJEMPLOS GEOMETRICOS Y LA
EXP ANSION DECIMAL .............................................................................. 83 3.3. EJEMPLOS INTERPRETADOS COMO FUNCION ..................................... 84
3.3.1. RECORDANDO CONCEPTOS BASICOS DE FUNCIONES ...................... 84 3.3.2. RETOMANDO EL EJEMPLO 1 PARA EXPRESARLO EN
TERMINOS DE UNA FUNCION ................................................................. 87 3.3.3. RETOMANDO EL EJEMPLO 2 PARA EXPRESARLO EN
TERMINOS DE UNA FUNCION ................................................................. 88 3.3.4. RETOMANDO EL EJEMPLO 3 PARA EXPRESARLO EN
TERMINOS DE UNA FUNCION ................................................................. 89 3.3.5. RETOMANDO EL EJEMPLO 4 PARA EXPRESARLO EN
TERMINOS DE UNA FUNCION ................................................................. 91 3.3.6. RETOMANDO EL EJEMPLO 5 PARA EXPRESARLO EN
TERMINOS DE UNA FUNCION ................................................................. 92 3.3.7. ASPECTOS IMPORTANTES ....................................................................... 93
3.3.7.1. MARGENDEERROR ................................................................................. 93 3.3.7.2. EXCLUYENDO UN VALOR PARA LA VARIABLE
INDEPENDIENTE ......................................................................................... 95
3.4. INTERPRETACIONMATEMATICADELAS "APROXIMACIONES SUBSECUENTES A UNADADA" ............................................................... 96 3.4.1. CARACTERISTICA ESENCIAL PARA LA IDEA DE LIMITE ................... 97 3.4.2. INTERPRETACION EN TERMINOS DE INTERVALOS DE LA
CARACTERISTICA ESENCIAL ANTERIOR ............................................. 99 3.5. DEFINICION DE LIMITE DE UNA FUNCION ......................................... 102
3.5.1. NOCION INTUITIVA EN TERMINOS DE INTERVALOS (DEFINICION FORMAL) ........................................................................... 102
3.5.2. INTERPRETACION DE LA DEFINICION EN TERMINOS DE LA RECTA REAL ............................................................................................ 103
ELEMENTOS DE LA PROPUESTA DIDACTICA ........................ 106 4.1 .. PLANTEAMIENTO DIDACTICO ............................................................. 106 4.2 .. CARACTERISTICAS DEL PROFESOR ..................................................... 113 4.3. CARACTERISTICAS DEL ALID.1NO ....................................................... 115
Vll
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................ 118
6. NOTAS ............................................................................................ 121
7. BIBLIOGRA.FIA ............................................................................ 122
Vlll
RESUMEN
En este trabajo de tesis se asprra meJorar la calidad del proceso de
enseñanza aprendizaje del concepto de limite de una función, inscrito en la
materia de Cálculo Diferencial e Integral del área de Matemáticas a nivel
profesional.
En primera instancia se presentan los aspectos más importantes que dieron
origen al trabajo, como son: los problemas detectados en los alumnos por la
tesista para comprender dicho concepto; comentarios y opiniones de maestros
colegas que comparten este problema.
Al hacer una revisión bibliográfica de textos de Cálculo Diferencial e
Integral de autores como: Zill, Leithold, Edwards y Penney, Larson, Pinzón,
Purell, Taylor, se detectó que coinciden al abordar el tema de limites, en que el
concepto de límite de una función es el más importante del Cálculo Diferencial e
Integral así como también el más dificil de enseñar y entender. La forma en la que
ellos presentan el concepto, en general es muy similar, se parte de lo que llaman
una definición intuitiva la cual se da analizando ejemplos de gráficas de funciones
y realizando cálculos numéricos. "La definición formal épsilon-delta de limite se
expone de tal manera que puede omitirse si se desea" (Zill, pág.1987). Esta
definición se obtiene generalizando algunos ejemplos de funciones muy
partículares.
En cuanto a las investigaciones realizadas en el área de Educación
Matemática, se revisaron algunas de investigadores como; Comu, Vinner,
Sierpinka entre otros. En estas investigaciones se observa una clara preocupación
1
por la dificultad que causa a los estudiantes este concepto y se enfocan los
estudios a hacer análisis fenomenológicos de las posibles causas que lo generan,
sin presentar alguna alternativa de solución.
Con base en lo anterior en este trabajo se presenta una propuesta didáctica.,
como apoyo para el profesor y el estudiante que ayude a mejorar la comprensión
de dicho concepto. En la propuesta se pretende visualizar la idea de limite desde
diferentes perspectivas; Ejemplos de carácter geométrico que van con el
desarrollo histórico de la idea de limite, así como ejemplos de expansiones
decimales. Los ejemplos son simples e intuitivos para que sean accesibles al
estudiante y a lo largo de la guía, éstos se desarrollan gradualmente y de forma
natural, para conformar los elementos escenciales del concepto de límite en una
función.
Los motivos señalados anteriormente originan la necesidad de alternativas
que mejoren el proceso enseñanza-aprendizaje del concepto "Límite de una
función" en el primer semestre de profesional.
2
INTRODUCCION
En los últimos cien años la ciencia y la técnica han tenido un impresionante
desarrollo, la reserva de la información se multiplica de manera acelerada y se
perfeccionan métodos y técnicas de creciente eficacia. Una de las disciplinas
científicas que han apoyado fuertemente este desarrollo son las Matemáticas.
Es muy conocido que las Matemáticas han sido esenciales en las teorías
fisicas ya que existe un cierto paralelismo entre algunas ramas de aquellas y ésta.
Un ejemplo clásico de este paralelismo es el desarrollo del Análisis Infinitesimal
por Newton y Leibnitz, donde se puede apreciar que no sólo las Matemáticas
influyen en el desarrollo de la Física, sino que la Física aporta elementos para el
desarrollo de éstas.
Las Matemáticas son consideradas como una herramienta importante para
las ciencias ya que con ellas también se atacan múltiples problemas de Física,
Ingeniería, Química, Astronomía, Geología, Biología y otros campos incluyendo
algunos de las Ciencias Sociales.
Es así que la enseñanza de las Matemáticas en todos los niveles educativos
recobra una gran importancia, de forma tal que en el nivel medio superior y
superior se imparten cursos del área de Matemáticas como son: Lógica, Algebra,
Trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo Diferencial e Integral con una o
varias variables con el propósito de cumplir con el objetivo general de éstas, el
cual consiste en dar al alumno las herramientas y habilidades necesarias para
desempeñarse adecuadamente en su actividad profesional.
3
De todas las asignaturas de Matemáticas el Cálculo Diferencial es la más
importante ya que es la base para muchos cursos posteriores de Física y
Matemáticas, es la primera herramienta puesto que el Algebra, la Trigonometría y
la Geometría Analítica se aplican a través del Cálculo (Leithold, 1992, pag. 1).
El Cálculo no es sólo un instrumento técnico, sino que también involucra
por sí mismo ideas fascinadoras y atrayentes como son: velocidad, volumen, área,
razón de crecimiento, tangente de una curva y otros conceptos referentes a otros
dominios.
Sin embargo, existe un problema común en las materias de Matemáticas en
las instituciones educativas con relación al bajo rendimiento que presentan los
estudiantes a diferencia de otras materias. "La materia de Matemáticas
generalmente presenta uno de los más altos índices de reprobados, aún más se
puede afirmar que existe una gran cantidad de alumnos que se consideran
brillantes por su rendimiento en otras materias y sin embargo tienen graves
problemas dentro de esta disciplina" (Piaget, 1969).
El Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey no es la
excepción y los índices de reprobación son altos, siendo el Cálculo una de las
materias en las que esta situación se manifiesta fuertemente.
Esta problemática preocupa a todos los involucrados en el quehacer
educativo (maestros, directivos, alumnos etc.) y las causas pueden ser variadas, no
es posible decir que el bajo rendimiento de los alumnos es causado sólo por los
discípulos o el profesor; el problema se complejiza porque en el intervienen todos
los participantes del quehacer educativo.
4
No existe una respuesta única para solucionar el problema de la enseñanza
del Cálculo, la diversidad de normas y funciones que presentan los temas de las
Matemáticas en general, es un aspecto que influye en su enseñanza, por lo que se
espera que cada tema deba apoyarse en su propia didáctica, que estará
determinada en gran parte por la naturaleza del contenido matemático, claro que
sin excluir el papel del docente que en opinión de la autora, es quien debe crear
una didáctica para su propia asignatura, promoviendo la investigación educativa
dentro de sus salones de clases; la solución a los problemas debe surgir del
mismo sitio donde éstos se generan, es decir, del aula.
5
CAPITULO 1
ANTECEDENTES Y DEFINICION DEL PROBLEMA
En este capítulo se presentan los antecedentes y el diagnóstico global del
proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en el Instituto Tecnológico y
de Estudios Superiores de Monterrey.
1.1. ANTECEDENTES
El encargado de impartir los cursos de Matemáticas y de dar a través de sus
servicios el apoyo, que en esta materia se requiera, es el Departamento de
Matemáticas del ITESM, tanto en las carreras de Ingeniería como en las de las
Ciencias Sociales.
El sector curricular de las Matemáticas correspondientes al tronco común
de las carreras de Ingeniería que ofrece el ITESM , está integrado por los cursos:
Matemáticas I, Matemáticas TI y Matemáticas ID los cuales tienen secuencia
vertical, ya que cada curso es requisito del siguiente.
El sector curricular de las Matemáticas correspondientes al tronco común
de las carreras de Ciencias Sociales que ofrece el ITESM, es también de
secuencia vertical y está integrado por los cursos de Matemáticas I y II . Los
contenidos académicos de estas materias son diferentes a los del sector curricular
de Matemáticas para las carreras de Ingeniería.
6
Al iniciar cada semestre el Departamento de Matemáticas, entrega al
profesor el programa analítico del curso que impartirá, así como el calendario que
lo rige.
En él se enuncian los objetivos generales y específicos del curso, el tiempo
asignado a cada tema, exámenes parciales y final, así como de los objetivos a
evaluar en cada uno de los mismos. De esta manera se garantiza la cobertura de
todo el programa.
El sistema ITESM y particularmente el departamento antes mencionado,
establecen un estricto cumplimiento de los contenidos específicos en cada uno de
los programas analíticos de los diferentes cursos de Matemáticas. Para garantizar
tal cumplimiento, se utiliza el método de evaluación llamado Sistema de Ayuda
para la Evaluación del Aprendizaje (SAEA).
El sistema (SAEA) consiste en una serie de exámenes departamentales de
opción multiple que son generados con la ayuda de una computadora que cuenta
con un banco de reactivos. Estos han sido elaborados por un grupo de profesores
del Campus Monterrey, con base en los objetivos específicos de aprendizaje de
los programas del sector curricular de las Matemáticas.
La normatividad del proceso de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas
se ve reflejada en el programa analítico, el calendario y el sistema de evaluación.
Sin embargo, hay consenso general por parte de docentes y alumnos que el
tiempo asignado para el cumplimiento del mismo es limitado y algunos docentes
requieren horas adicionales para terminar el contenido del curso en cuestión.
7
En los programas de estudio de profesional del Instituto Tecnológico y de
Estudios Superiores de Monterrey (ITESM) existe el tema de limite de una
función inserto en la materia de Matemáticas l.
El tema de limites se considera como parte esencial dentro de la materia de
Cálculo que se enseña en el primer semestre de todas las carreras existentes en el
Campus Zacatecas. El concepto de límite es considerado por la mayoría de los
autores de los libros de Cálculo como el más importante. Purcell, 1988 considera
que es esta idea la que distingue al Cálculo de otras ramas de las Matemáticas.
Leithold 1992, menciona que las dos operaciones Matemáticas
fundamentales del Cálculo son la diferenciación y la integración y ambas están a
su vez basadas en el concepto de límite.
"El concepto de límite de una función es la idea central del Cálculo, tal vez
la más importante y a la vez el más dificil de asimilar" (Pinzón, 1973).
Desde el punto de vista de la experiencia docente, así como de la
conformación del conocimiento matemático se sabe que la idea de límite tiene
fuertes dificultades para la enseñanza-aprendizaje .
Un indicador de tipo histórico de lo anterior es que el desarrollo de esta
idea desde sus orígenes hasta la forma actual llevó más de 20 siglos a los
matemáticos.
En los programas de Matemáticas de profesional se tiene por objetivo al
enseñar el tema de limite que el alumno comprenda el concepto de límite,
8
conozca sus propiedades, lo aplique en la resolución de problemas para encontrar
el límite de una función dada así como definir intuitivamente y obtener límites al
infinito, infinitos y asíntotas.
En cuanto a la conducción del proceso enseñanza-aprendizaje, a lo largo de
la experiencia de los profesores de Matemáticas del ITESM, se ha observado que
los alumnos que cursan Matemáticas I, tanto para Ingeniería como para el área de
las Ciencias Sociales, tienen fuertes dificultades en el entendimiento del concepto
de limite de una función. Sin descartar otras dificultades como la utilización de
conceptos de Algebra, Geometría Analítica y Trigonometría requeridos. Por otro
lado se han detectado dificultades en el manejo de aspectos lógicos.
Mucho tiempo ha prevalecido esta problemática y muy comentada ha sido,
sin embargo nada trascendental se ha hecho al respecto.
En cuanto a los métodos y modelos de enseñanza no se presentan mejores
perspectivas, se sigue oscilando frecuentemente entre la intuición y el rigor
matemático.
Por lo anterior, en el presente estudio se sostiene que es indispensable que
en los cursos de Matemáticas el alumno logre aprender significativamente el tema
de limite y para ello es necesario que tenga un conocimiento claro de dicha idea
para posteriormente operar en forma adecuada los límites de funciones y así
lograr las bases indispensables para tener un desempeño satisfactorio en el tema y
en la materia en sí, como en las que se interrelacionan.
9
1.2. PLANTEAMIENTO DE LA NECESIDAD
En los textos de Cálculo Diferencial e Integral es posible identificar dos
tendencias distintas de presentar el tema. Un grupo de autores establece una
definición intuitiva del concepto de límite y a partir de ella enuncian los teoremas
sobre limites, hacen operaciones con ellos y pasan a las definiciones de derivada
e integral definida. Otro grupo de autores además de esta presentación intuitiva
de la idea de límite, agrega la definicion formal con épsilon y delta. Se establece
una distinción entre ambas definiciones (intuitiva y formal) en lugar de ser
presentada como complemento una de la otra.
Los resultados de las evaluaciones de este tema durante el semestre enero
mayo de 1993 en el ITESM Campus Zacatecas, revelan un 23.5% de error al
responder las preguntas relacionadas con el tema de límites, contra el 18% de
error en el resto de los temas incluidos en el primer parcial del curso de
Matemáticas l.
Es de esperarse que si el concepto fundamental de Cálculo Diferencial e
Integral como es la idea de límite no es clara y accesible para el alumno su nivel
de aprovechamiento no sea del todo satisfactorio. Ya que existe un 32% de no
aprobados en la materia, cuando estudian este tema.
El elevado índice de error al responder las preguntas relacionadas con el
tema de límite y el alto índice de reprobación de la materia de Matemáticas I
ponen de manifiesto la problemática del aprendizaje, que presenta este tema.
10
Debido a lo anterior, es necesario dirigir la atención a revisar el tratamiento
que generalmente se hace del tema y generar una propuesta didáctica para la
enseñanza de la idea de límite.
1.3. ENUNCIADO DE LOS OBJETIVOS
El objetivo principal de este trabajo es proponer un enfoque de
presentación para el concepto de límite, desde un punto de vista diferente, a la
manera tradicional, presentándolo como una guía de apoyo tanto para el profesor
como para el alumno.
1.4. DELIMITACION DEL TRABAJO
La problemática en cuestión se presenta generalmente en los alumnos de
primer semestre de profesional cuando cursan la materia de Cálculo, estos tienen
como referente los temas de Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica.
En esta propuesta se parte de situaciones muy familiares y accesibles para
el alumno que lo conducen de manera gradual a la comprensión y entendimiento
de la idea de límite.
El desarrollo del trabajo se hace a manera de guía didáctica que pueda
auxiliar al profesor en la enseñanza del concepto de límite. No se pretende sugerir
que deba enseñarse íntegramente este desarrollo, sino mas bien el profesor debe
adecuarlo a sus condiciones y propósitos y en particular, decidir hasta qué punto
del desarrollo enseñar.
11
Este trabajo no incluye la parte referente a llevar a la práctica la propuesta
didáctica, aunque la autora del trabajo en particular tratará de usarla en sus
cursos.
La propuesta que aquí se presenta va dirigida a la definición de limite, por
tanto no incluye nada referente al uso de la idea; para calcular limites específicos,
para demostrar resultados o teoremas relativos a límites, además estos temas están
ampliamente tratados en algunos libros de Cálculo.
12
CAPITULO2
MARCO TEORICO
En este capítulo se pretende como punto número uno, dar una visión
general de cómo se presenta en la mayoría de los libros la idea de límite,
ejemplificando mediante una selección de ejercicios.
Segundo punto, hacer un análisis de las investigaciones realizadas en el
área.
Como último punto de este capítulo se presentan las características más
importantes del tipo de investigación y la ubicación del trabajo en ese contexto,
así como algunas teorías relevantes para proceso enseñanza-aprendizaje en el
área.
2.1 REVISION DE LA PRESENTACION USUAL DE LIMITES EN LOS LIBROS DE TEXTO
La presentación que dan autores como; Taylor, Swokowski, Thomas,
Pinzón, Purcell, Leithold, Zill, entre otros, al tema de límites en los textos de
Cálculo Diferencial e Integral consta principalmente de lo que ellos llaman
definición intuitiva y definición formal.
A continuación se muestra un ejemplo representativo de esta presentación
tomada del libro de Zill, el cuál es el libro de texto de la materia de Cálculo en el
Sistema ITESM.
13
NOCION INTUITIVA DE LIMlTE
Límite de una función cuando x tiende a un número.
Considerése la función : f (x) = l6-x2 4+x
Cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales excepto el -4.
Aunque f(-4) no está definido, f(x) puede calcularse para cualquier valor de x
cercano a -4. La tabla de la Figura 2.1 muestra que cuando x se acerca a -4 por la
izquierda o por la derecha, los valores funcionales de f (x) están acercándose a 8;
esto es, cuando x está próximo a -4, f (x) está próximo a 8. Entonces, 8 es el
límite de f cuando x tiende a -4 y se escribe,
f (x)~S cuando x~-4 o bien lim
x~-4
y
Figura 2.1
14
16- x 2
--=8. 4+x
X f (x) X f (x)
-4.1 8.1 -3.9 7.9
-4.001 8.001 -3.99 7.99
-3.9 7.9 -3.999 7.999
Tabla 2.1
Para x :;; -4 se puede simplificar f mediante la cancelación:
f(x) = l6-x2 = (4+x)(4-x) =4 -x
4+x 4+x
Como se observa en la figura 2.1 la gráfica de f es esencialmente igual a
la de y = 4 + x, excepto que la gráfica de f tiene un hueco en el punto
correspondiente a x = -4 . Cuando x se aproxima cada vez más a -4, lo cual se
representa con las dos puntas de flecha sobre el eje x, simultáneamente con las
dos puntas de flecha sobre el eje y se aproximan cada vez más al número 8.
15
DEFINICION INTUITIVA
La noción de que f (x) tiende al número L cuando x tiende al número
a se define, en general de la manera siguiente:
Si J(x) puede aproximarse arbitrariamente a un número finito L,
tomando a x suficientemente cercano pero distinto de un número a tanto por
el lado izquierdo como por el derecho de a entonces lim x--a
f (x) = L
Se usará la notación x--a- para denotar que x tiende a a por la
izquierda y x--a+ para expresar que x tiende a a por la derecha. De este
modo, si los límites unilaterales :
Iim f (x) x--a
y lim f ( x) tienen un valor común L x--a+
lim f (x) = lim f (x) = L x--a x---a+
se dice entonces que lim f (X) existe y se escribe: x---a
lim f (x) = L X >a
Usualmente se hará referencia al número L como el límite de f en a. Sin
embargo, se debe observar que:
16
La existencia del límite de una función f en a no depende de si f está
realmente definida en a, sino solamente de si f esta definida para x cerca
de a.
EJEMPLO 1
La figura 2.2 muestra la gráfica de la función f (x) = - x 2 + 2x + 2.
Como se observa en la gráfica y en la tabla adjunta, parece razonable que
Iim f (x) = -6 x--4-
y lim f (x) = -6 x--4+
y en consecuencia lim f (x) = -6 x--4
y
Figura 2.2
17
X J(x) X J(x)
3.9 -5.41000 4.1 -6.61000
3.99 -5.94010 4.01 -6.06010
3.999 -5.99400 4.001 -6.00600
Tabla2.2
Obsérvese que la función dada en el Ejemplo 1 está definida en x = 4,
pero en ningún momento se sustituye x = 4 en la función para encontrar el valor
de Iim f (x) x--4
EJEMPLO 2
En la figura 2.4 se presenta la gráfica de la función definida por secciones:
x+2 .................. x'.5:5 J(x)=
-x+10 .............. x>5
De la gráfica y de la tabla adjunta se observa que
Iim f (x) = 7 X >5-
y lim f(x)=5. x--5+
Como X Iim 5_ f (X) * x Iim
5+ f (X), se concluye que
18
Iim f (x) No Existe X )5
y
Figura 2.3
X J(x) X f(x)
4.9 6.9 5.1 4.9
4.99 6.99 5.01 4.99
4.999 6.999 5.001 4.999
Tabla 2.3
EJEMPLO 3
En la figura 2.4 la gráfica de y = f (x) muestra que cuando x tiende a 2
por la izquierda, los valores funcionales de f ( x) se vuelven cada vez más
19
grandes, o sea, X lim) 2_ f (X) no existe. Esto es suficiente para decir que
lim f (X) no existe X )2 .
y
y= f(x)
Figura 2.4
No siempre es una tarea fácil determinar s1 lim f (x) existe, X )a
mediante la gráfica de la función f
20
EJEMPL04
Unicamente a partir de los datos de la tabla siguiente, se conjetura en forma
natural que :
X
-0.1
-0.01
-0.001
EJEMPLO 5
lim
x--0
senx = 1 X
Tabla2.4
J(x) X
0.9983341 0.1
0.9999833 0.01
0.9999998 0.001
La tabla siguiente sugiere que:
lim
x---0
21
1-cosx =O X
f(x)
0.9983341
0.9999833
0.9999998
Tabla2.5
X J(x) X f(x)
-0.1 0.0499583 0.1 0.0499538
-0.01 0.0049999 0.01 0.0049999
-0.001 0.0005001 0.001 0.0005001
-0.0001 0.0000510 0.0001 0.0000510
2.5 DEFINICION DE LIMITE
En esta sección se considerará una noción alternativa de límite con base en
los conceptos analíticos en vez de conceptos intuitivos. Si bien las gráficas y las
tablas de valores funcionales pueden ser convincentes para determinar si un límite
existe o no, el lector debe prever que todas las calculadoras trabajan sólo con
aproximaciones y que las gráficas se pueden trazar sin precisión. Una
demostración de la existencia de un límite nunca debe basarse en la habilidad
personal para dibujar ilustraciones; aunque una buena comprensión de las
definiciones intuitivas de lim f (X) x--a y lim f (x) dadas en
x--oo
las secciones 2.1 y 2.3 es suficiente para proseguir el estudio del Cálculo en este
texto, tales "definiciones" son demasiado vagas para considerarlas en la
demostración de teoremas. A fin de ofrecer una demostración rigurosa de la
existencia de un límite, o para demostrar los teoremas de la sección 2.2, hay que
comenzar primero con la definición precisa de límite.
22
2.5.1 Definición E-O de lim f (x) = L
Intentemos demostrar que
x~a
lim (2x + 6) = 1 O x--2
Elaborando la idea siguiente: "si puede hacerse que J(x) = 2x+6 esté
arbitrariamente cercana a 1 O tomando a x suficientemente cercano a 2, tanto por
un lado como por el otro, pero sin llegar a ser igual a 2, entonces 11
limx-+2 f(x)= 10 . Es necesario precisar los conceptos de "arbitrariamente cercano"
y "suficientemente cercano". Para establecer un criterio de carcanía arbitraria, se
requiere que la distancia entre los números J(x) y 10 sea menor que 0.1, esto
es,
lf (x)-lül < 0.1 o bien 9.9 < f (x) < 10.1 (2.4)
Luego, ¿Cuán próximo a 2 debe estar x para satisfacer (2.4)? Para
averiguarlo puede resolverse la desigualdad
9.9 < 2x+6 < 10.1
por álgebra ordinaria, y obtener que
1.95 <X< 2.05
23
De este modo, para una "cercanía arbitraria a 10" de 0.1, entonces
"suficientemente cercano a 2" significa estar a una distancia de menos de 0.05 por
cualquier lado del 2. En otras palabras, si x es un número diferente de 2 en el
intervalo abierto de (1.96, 2.05), entonces se garantiza que f(x) está en (9.9,
10.1).
Tratemos de generalizar mediante el mismo ejemplo. Supóngase que E
(épsilon) denota un número positivo pequeño cualquiera que sea la medida de la
cercanía o proximidad arbitraria al número 10. Si se requiere que
IJ(x)-lOl<E obien 10-E<f(x)<lO+E, (2.5)
entonces de f ( x) = 2x + 6 y por álgebra, se obtendrá
E E 2--<x<2+-.
2 2
El empleo de valores absolutos y un nuevo símbolo O (delta) permite
escribir (2.5) y (2.6) como:
lf (X) - 1 OI < E siempre que
en donde O = ½. De este modo , para un nuevo valor de E, por ejemplo, E = O.001,
24
S =½ = 0.0005 indica la cercanía correspondiente al 2. Para cualquier número
* x diferente de 2 en (1.9995, 2.0005), hay la seguridad de que f (x) está en (9.999, 10.001). Véase la figura 2.40
y
10
y=2x+6
X
2
Figura 2.5
DEFINICION DE LIMITE:
lim f (x) = L A continuación se presenta la definición de x--a
la denominada definición E - 8 de límite.
esta es
* Esto explica que se use O< jx - 2j < 8 en lugar de jx- 2j < 8. Téngase presente
lim que al considerar
x-->2
f(x) no interesa f en 2.
25
DEFINICION 2.2
Supóngase una función f definida en un intervalo abierto que contiene al
número a, excepto posiblemente en el propio a . Entonces:
lim f(x) = L x-->a
significa que para todo
Sea
8> O existe un 8> O tal que
IJ(x)- LI < E siempre que O< lx-al < o
lim f (X) = L y supóngase que 8 > O es el número que x-->a
"funciona" de acuerdo con la definición 2.2 para un 8> O dado. Como se muestra
en la figura 2.41 (a), todo X en (a-8,a+o) con posible excepción del propio a
tendrá su imágen f ( x) en ( L - 8, L + 8). Además, como se indica en la Figura
2.41(b), escoger un 81< 8 también "funciona" para el mismo 8 en el sentido de
que todo X en (a-81,a+8i) distinto de a, nos da
f(x) en (L- 8, L + 8). Sin embargo, la Figura 2.41(c) muestra que
escoger un &1
menor, O < &1 < &, requerirá obtener un nuevo valor de 8.
26
Figura. 2.41
y
L+ E
L
a-~ 11 x a+~ X
a) Un 8 que funciona para un E dado
y
L
L-Et-----+-
(b). Para 81 menor también funcionará para el mismo E
27
y
Lu: L+El
i---........
L L-E1
f(xJ----------+L-et------+-
(c)Un E1 menor requerirá un 01 <O.Para x en (a-8,a+o), f(x) no ésta
necesariamente en (L - e,L + e)
Aquí termina el ejemplo representativo de la presentación usual de los
textos para el concepto de límite. Se observa que en este tipo de presentaciones se
hace una marcada diferencia entre la definición intuitiva y la formal, donde es
difícil vincular ambas definiciones. Se maneja la idea someramente con ejemplos
particulares sin hacer un análisis de sus componentes.
En la definición intuitiva la presentación dada es por medio de tabulaciones
y en algunos ejemplos gráficos, donde mas que explicar lo que es el concepto se
enfatiza en cómo distinguir si el límite de una función dada existe o no.
28
En cuanto a la presentación de la definición formal, a partir de un ejemplo
muy sencillo, se generaliza, se enuncia, se da una representación geométrica, y a
partir de aquí se asume que el alumno ha comprendido tal definición por lo que el
paso siguiente es trabajar con ella.
2.2. INVESTIGACIONES SOBRE EL TEMA
Se revisaron algunos artículos sobre el tema, los cuales fueron obtenidos a
través de el Centro de Información Científica y Humanista de la UNAM. Con la
finalidad de analizar que elementos podrían ser de utilidad en este trabajo.
De 1 O referencias seleccionadas para su revisión se consiguieron las seis
siguientes:
Artículo A: Comu, B. (1981). Apprentissage de la notion de limite Modeles
Spontanes et Modeles Propres.
Artículo B: David, R.B. and Vinner, S. (1986) The notion of Limit: Sorne
seemingly unavoidable misconception stages.Joumal of Mathematical
Behavior 5, 281-303.
Artículo C: Sierpin'ska, A. (1987). Humanities Students and epistemological
obstacles related to limits. Educational Studies in Mathematics, 18, 371-
391.
Artículo D: Robert, A (1982) L'acquisition de la notion de convergence de
suites numeriques dans L'enseignement superieur. Recherches en
Didactique de Mathématiques, 3, 307-341.
29
Artículo E: Tall, D. and Vinner, S. (1981) Concept image and concept
definition in Mathematics with particular reference to limits and
continuity. Educational studies in mathematics, 12, 151-169.
Artículo F: Steven, R. Williams (1991). Models of limit Held by college
calculus students. Journal form Research in mathematics education, 22,
212-236.
A continuación se presenta el resumen que los autores dan en cada uno
de los artículos.
ARTICULO A
Aprendizaje de la noción del límite. Modelos espontáneos y modelos
propios
Bemard Cornu
RESUt\IBN
Dentro de la actividad matemática, las nociones matemáticas no sólo se
usan de acuerdo a su definición formal, sino también a través de representaciones
mentales, las cuales pueden ser distintas para diferentes personas. Estos modelos
individuales son elaborados con base en modelos espontáneos (modelos pre
existentes, antes del aprendizaje de la noción matemática y los cuales se originan
por ejemplo, en la experiencia diaria), interfiriendo con la definición matemática.
En este trabajo estudiamos los modelos y la elaboración de los individuales para
30
la noción de límite entre estudiantes. "Nos percatamos que la noción del límite
presenta muy a menudo una barrera que no se puede cruzar, la cual puede ser
alcanzada o no. Esto a veces se ve como alcanzable y otras como inalcanzable. La
frase "Tiende a" también se usa con distinto significado los cuales no siempre
están de acuerdo con el uso matemático correcto. Asociamos este estudio con la
evolución histórica del concepto del límite.
ARTICULOB
La noción de límite: Algunas etapas de malentendido aparentemente inevitables.
Autores: Davis, R.B. and Vinner, S.
En este estudio se representa un matrimonio de dos tendencias recientes.
El punto de vista de la primera es el enfoque pedagógico o de currículum basado
en la idea de que la enseñanza comienza con el entendimiento. El aspecto
analítico del estudio continúa con el importante tema de la conceptualización
ingenua que impide la adquisición de conceptualizaciones "científicas" más
abstractas y más poderosas.
ARTICULO C
Estudiantes de Humanidades y obstáculos epistemológicos relacionados con límites
Autor: Anna Sierpin'ska
RESUMEN
31
El artículo representa un reporte sobre 4 sesiones de 45 minutos con un
grupo de estudiantes de humanidades de 17 años de edad. Estas sesiones fueron
la primera de una serie organizada con la finalidad de explotar las posibilidades
de elaborar situaciones didácticas que los ayudara a superar obstáculos
epistemológicos relacionados con límites. Las actitudes pertinentes de los
estudiantes para el desarrollo de la noción de límites también como los cambios
de estas actitudes serán descritas y analizadas.
La tesista considera que en este artículo la autora hace un análisis de los
obstáculos que se presentan en los alumnos para la comprensión de la noción de
límite de una función, sin llegar a plantear una alternativa de solución a dicho
problema.
ARTICULO D
L'acquisition de la notion de convergence suites numeriques dans L' enseigment superieur.
Autor: Aline Robert
"En este trabajo se estudia el proceso de adquisición de la noción de
convergencia de las series numéricas en estudiantes universitarios que van a
especializarse posteriormente en Matemáticas, en Química o en Física. En Francia
la noción se enseña en el primer año de la Universidad.
32
Utilizando un cuestionario en el cual presentamos un cierto número de
situaciones, hemos podido clasificar los· procedimientos utilizados y establecer los
diferentes tipos de modelos expresados sobre la convergencia de las series
(dinámicas o no). Más de mil estudiantes respondieron nuestro cuestionario.
Las regularidades observadas en la relación entre procedimientos y
modelos nos permitieron establecer diferentes jerarquías que deberían ser tomadas
en cuenta en el aprendizaje de la noción".
ARTICULO E
La imagen del concepto y la definición del concepto en Matemáticas con referencia particular a Límites y Continuidad.
Autor. Tall,D. and Vinner, S.
La imagen del concepto consiste en todas las estructuras cognoscitivas que
en la mente del individuo son asociadas con el concepto dado. Esto puede o no
ser globalmente coherente y puede tener aspectos diferentes de la definición
formal del concepto.
El desarrollo de límites y continuidad son consideradas como son
enseñados en secundaria y universidad.
V arias investigaciones reportadas demuestran que el concepto imagen
individual difiere en teoría formal y contiene factores que causan conflicto
cognoscitivo.
33
ARTICULO F
Modelos de Límite Mantenidos por Estudiantes Universitarios.
Autor: Steven R. Williams
"Este estudio representa el entendimiento del concepto de límite de 1 O
estudiantes universitarios y los factores que influyen para que se den cambios en
ese entendimiento.
Algunos modelos informales de límite fueron identificados por los 1 O
estudiantes, y fueron presentados como modelos alternativos de límites y con
problemas defectuosos. Los problemas estaban diseñados para motivar a los
estudiantes a hacer cambios en sus propios modelos, para reflejar una concepción
más formal. Los modelos individuales de límite variaron ampliamente entre los
estudiantes que inicialmente describieron límites de manera semejante. El aspecto
dinámico de estos modelos fue estrechamente resistente al cambio, la resistencia
fue influida por la creencia de los estudiantes que una existencia apriori de
gráficas de sus experiencias con gráficas de funciones simples, el valor que ellos
conceden a modelos útiles, prácticos y conceptualmente simples, y su tendencia a
ver problemas anómalos como excepciones menores a reglas. Estos factores
combinados inhiben la motivación de los estudiantes para adoptar la definición
formal de límite".
34
CONCLUSIONES
Los Artículos analizados muestran diferentes explicaciones sobre las
causas del conflicto cognoscitivo de los estudiantes al enfrentarse a la idea de
límite de una función.
Hacen una distinción entre lo que es la imagen conceptual de la idea y el
concepto mismo. Se refiere la imagen conceptual del objeto a todas aquellas
imágenes, características, relaciones, que el individuo asocia en su mente en
relación al objeto, lo que Freudenthal llama "objeto mental", y el concepto mismo
como la definición formal (para este caso el objeto es límite).
Partiendo de la afirmación anterior se analiza si realmente esta diferencia
es el obstáculo principal para la comprensión de la idea de límite y cómo lo afecta
tratando de aclarar de qué tipo ( epistemológico, heurístico, rigorístico, etc) son
estos obstáculos.
Con base en lo anterior se concluye que las investigaciones analizadas no
van más allá de un diagnóstico fenomenológico que pudiera intervenir en el
proceso de enseñanza-aprendizaje del tema.
35
2.3. FUNDAMENTACION DE LA PROPUESTA
2.3.1. TIPO DE INVESTIGACION
La propuesta didáctica aquí presentada se encuentra enmarcada con el
experimento de enseñanza soviético y de Freudenthal que tiene la siguiente
postura:
DESCRIPCION.
Kantowski considera que si fuera necesario caracterizar el experimento de
enseñanza por medio de una palabra, esta sería "dinámico" ya que el movimiento
es lo que les interesa a los soviéticos, movimiento de la ignorancia hacia el
conocimiento, de un nivel de operación a otro, de un problema a otro.
El propósito de esta investigación es "cachar" procesos en su desarrollo y
determinar cómo la instrucción puede influir en esos procesos.
l. Características principales del experimento de enseñanza
•En las formas de investigación pedagógica el análisis estadístico de datos
cuantitativos es de mucho menor interés que el análisis diario de datos subjetivos.
•La mayoría de los estudios tratan con algún aspecto de la situación escolar
formal.
•Los datos son con frecuencia reunidos únicamente de muestras de alumnos
fuertes o débiles, quienes son categorizados con la ayuda del profesor de clase.
36
•Los datos recolectados son con frecuencia cualitativos obtenidos de un
contexto clínico, grabando versiones verbales para ser analizados posteriormente.
•Se basa fuertemente en la observación del salón de clases.
•Su naturaleza es compensatoria ya que la cantidad de datos macroscópicos
tales como las calificaciones de pruebas objetivas, generalmente obtenidas en un
estudio experimental son intercambiadas por detalles microscópicos de los
procesos observados usando una muestra pequeña, entrevistas de prueba, diálogos
con estudiantes individuales se agregan a cualquier grupo de datos recolectados
para apoyar generalizaciones que dan lugar a decisiones para futuras secuencias
de instrucción.
•Los datos son reunidos en un periódo extenso de tiempo.
• "La planeación de la instrucción es hecha a la luz de observaciones de
sesiones previas" (Kantowski).
•Existe una cooperación entre profesores e investigadores.
•Durante el desarrollo de los procesos estudiados se aceptan sugerencias,
dado que el objetivo central en todo momento, de esta corriente es el
mejoramiento del aprendizaje y del estudiante.
•En la mayoría de los casos los resultados son reportados de forma
narrativa y se incluye un análisis de las conductas observadas y las conclusiones
obtenidas de ese análisis.
37
•Los datos cuantitativos son generalmente reportados usando estadística
descriptiva.
•Las pruebas estadísticas inferenciales son raramente usadas.
•El experimento pensado es una "estrategia" utilizada para mejorar la
instrucción, basada en la observación y experiencia principalmente del profesor.
•No puede ser caracterizado por:
* Procedimientos de muestreo.
* Grupos experimentales.
* Pruebas estadísticas.
Usamos la expresión experimento pensado en el sentido que se le ha dado
en la Física , esto es básicamente el experimento usual de las ciencias naturales
excepto que la fase de experimentación en el laboratorio es remplazada por la
acción mental de imaginar lo que sucedería si en efecto se llevara a cabo lo
planeado. Esto es, las ideas, las dudas, las conjeturas, la información que se
maneja para entender y modificar un cierto fenómeno, son confrontadas con el
experimento simulado dentro de la mente del investigador.
"La observación de los proceso de aprendizaje puede servir para cambiar la
actitud matemática y didáctica de los observadores, de los profesores de cada
nivel, y en consecuencia la de sus alumnos".(Freudenthal, 1982, pp395-408)
38
¿ Qué uso o qué utilidad tiene el conocimiento obtenido al observar
procesos de aprendizaje por el profesor; si no es beneficiarse ampliamente en su
planeación y toma de decisiones para instrucciones subsiguientes ?(Freudenthal,
1991, pág. 95).El propone el experimento pensado como un componente para el
experimento educativo.
Dada la experiencia del profesor dentro del salón de clase, como alumno en
primera instancia y posteriormente como profesor, va desarrollando capacidades
que le permiten suponer, diseñar, imaginar, ciertas condiciones que pasarían
dentro del salón de clases y como sería posible corregirlas. Una propuesta
didáctica de un tema, como resultado de la observación dentro del salón de clase,
es un experimento pensado.
2.3.2. UBICACION DEL TRABAJO DENTRO DE UN EXPERl1\.1ENTO DE ENSEÑANZA A LARGO PLAZO
La propuesta didáctica que aquí se presenta es parte de un "experimento de
enseñanza" que comenzó a desarrollarse en 1981, y cuyas principales etapas se
describen a continuación:
1.El Grupo de Enseñanza de las Matemáticas de la Facultad de Ciencias de
la UNAM (integrado por: Profra. Eloísa Ortíz Femández, Mat. María Juana
Linares, Mat. Guillermo Custodio, M. en Psic. Lucía Femández Bañuelos y Dr.
Alejandro López Y añez ( coordinador del grupo) preparó una serie de tres cursos
de Cálculo Diferencial, para ser impartidos en la Facultad de Ciencias de la
UNAM , con la finalidad de detectar dificultades de aprendizaje específicas , así
39
como deficiencias en la enseñanza, por medio de la observación y análisis,
intensivos y sistemáticos.(López Yáñes, 1982)
Uno de los temas que recibió especial atención durante la preparación y
desarrollo de los cursos fue el de "límite de Funciones" a este tema se le
incorporó material histórico propedéutico, así como definiciones alternativas .
2. Una de las fuertes deficiencias observadas previamente del aprendizaje
de los estudiantes es la relativa al escaso significado que los números irracionales
presentaban para ellos, ya que su contacto o familiaridad con estos números se
reducía a saber que existe ese "tipo" de números, a disponer de algunos ejemplos
(J2,.F,.$,, .... e, .... ) y a saber, que la forma general de representarles es por
medio de su expansión decimal, siendo ésta infinita y no periódica .
Este último hecho les da a los números irracionales un aspecto de
evasividad. ya que ni su nombre se puede escribir de manera clara y completa.
Otro factor de gran peso en esta problemática es la ausencia de una arittnética de
los números irracionales. Como consecuencia de estas observaciones y a partir de
la idea de que en la expansión decimal de 1/3 ya está involucrada la idea de
límite, el Dr. López Yáñez elaboró, por medio de un experimento pensado, un
bosquejo de propuesta didáctica para tratar de disminuir las deficiencias
observadas.
3. El bosquejo de propuesta didáctica citado en el punto anterior fue
desarrollado con detalle en su tesis de licenciatura en Matemáticas por la pasante
María Edda Sandra Valencia Montalván bajo la dirección del Dr. López Y áñez.
(Montalvan,V. 1984)
40
4. Posteriormente la Mat. Valencia Montalván y otros profesores del CCH
de la UNAM, pusieron en práctica dicha propuesta didáctica, obteniendo
resultados positivos.
5. El siguiente paso de este experimento de enseñanza, consistió en
explotar la idea de que en la expansión decimal de 1/3 ya está involucrada la
noción de límite, para darle un significado intuitivo a la noción de límite de una
función antes de llegar a su definición formal.
Otras ideas que se manejan en este experimento pensado fueron el uso de
ejemplos geométricos para ilustrar el proceso de límite y la caracterización de los
componentes básicos de la idea de límite interpretada como proceso infinito de
aproximaciones sucesivas. Este experimento pensado fue realizado por el Dr.
López Y áñez, quien lo llevo a la práctica en dos cursos de Calculo que impartió
en la Escuela de Ingeniería de la Universidad Panamericana. Los resultados
observados sugirieron fuertemente que una propuesta didáctica más desarrollada y
refinada a lo largo de estos lineamientos tendría grandes posibilidades de éxito.
6. La siguiente etapa es la presente, esto es, la elaboración de una propuesta
didáctica detallada y fundamentada, que es lo que constituye el tema de la
presente tesis.
7. El próximo paso será llevar a la práctica esta propuesta para su
confrontación y mejoramiento.
Finalmente una observación: Si las dos propuestas didácticas, esto es la
elaborada en la tesis de la Mat. Valencia Montalván y la presentada en esta tesis,
41
se usaran con los mismos estudiantes longitudinalmente, es prácticamente un
hecho, que los resultados del aprendizaje se verían reforzados mutuamente en lo
referente a los números irracionales y a límite de funciones. La confrontación en
la práctica de esta observación constituirá la última etapa de este experimento de
enseñanza a largo plazo.
42
2.3.3. TEORIAS RELEVANTES DEL PROCESO ENSEÑANZAAPRENDIZAJE
2.3.3.1. TIPOS DE APRENDIZAJE
Desde el punto de vista del desarrollo del aprendizaje escolar, es necesario
distinguir con claridad los principales tipos de aprendizaje que se pueden dar en el
salón de clase. Para Ausubel (1986), la manera más importante de diferenciar los
tipos de aprendizaje en el salón de clases consiste en formar 2 distinciones de
procesos; La primera distinción es la del aprendizaje por recepción y por
descubrimiento, y la se2unda, entre aprendizaje mecánico o por repetición y
significativo. Esto es:
lera. Distinción entre:
Aprendizaje por recepción V s Aprendizaje por descubrimiento.
2da. distinción entre:
Aprendizaje mecánico o por repetición Vs. Aprendizaje Significativo.
En el aprendizaje por recepción, el contenido total de lo que se va a
aprender, se le presenta al alumno en su forma final. Mientras que en el
aprendizaje por descubrimiento, el contenido principal de lo que va a ser
aprendido no se da si no que debe ser descubierto por el propio alumno.
"La primera fase del aprendizaje por descubrimiento involucra un proceso
muy diferente al del aprendizaje por recepción; el alumno debe recordar la
información , integrarla con la estructura cognoscitiva existente, y reorganizar o
transformar la combinación integrada de manera que produzca el producto final
deseado o se descubra la relación entre medios y fines que hacían falta. Después
43
de realizado el aprendizaje por descubrimiento, el contenido descubierto se hace
significativo, en gran parte, de la misma manera que el contenido presentado se
hace significativo en el aprendizaje por recepción" (Ausubel,989,ág. 35)
De esta forma el aprendizaje por recepción y por descubrimiento, son dos
tipos muy diferentes de procesos, estos difieren en sus principales funciones en el
desarrollo y el funcionamiento intelectuales. Para volúmenes grandes de material
en su mayoría se adquieren en virtud del aprendizaje por recepción, mientras que
los problemas cotidianos se resuelven gracias al aprendizaje por descubrimiento,
esto no significa que el conocimiento que se adquiere por recepción no se utiliza
para resolver problemas de la vida diaria y el aprendizaje por descubrimiento sea
usado comúnmente en el salón de clases para aclarar, aplicar, integrar
conocimientos de la materia o evaluar la comprensión.
Jerome Bruner es un teórico cognoscitivo moderno que ha demostrado un
especial interés en la instrucción basada en una perspectiva cognoscitiva del
aprendizaje por descubrimiento y él recomienda que los profesores fomenten la
curiosidad a través del pensamiento intuitivo. "Hay que estimular a los alumnos a
que hagan suposiciones intuitivas basadas en pruebas insuficientes y a que luego
confirmen más sistemáticamente tales suposiciones." (Woolfollk) 1986, pág. 228)
considerando que de esa forma los alumnos tendrán la oportunidad de practicar su
capacidad para ver más allá de la información proporcionada.
Gilstrap y Martin(. G. tro, R. L. y Martin, W:R., Current Strategies for
teachers: A resource for personalizing education, Goodyear, Pacific Palisades,
Calif. 1975) encuentran 6 ventajas en el aprendizaje por descubrimiento:
44
l. Ayuda a los alumnos a aprender cómo aprender.
2. Este aprendizaje produce una sensación de excitación y automotivación
3. Permite a los alumnos a obrar de una manera que acomoda a sus propias
posibilidades.
4. Puede contribuir a fortalecer el concepto que cada estudiante tenga de sí
nnsmo.
5. Es posible que los alumnos desarrollen un sano escepticismo respecto a
las soluciones simplistas de los problemas.
6. Los estudiantes son responsables de su propio aprendizaje.
Sin embargo, no siempre es conveniente aplicar este método debido a los
altos costos, en el tiempo principalmente.
"El aspecto más singular de la cultura humana es el hecho de que los
conocimientos acumulados durante milenios pueden transmitirse a cada
generación sucesiva en el curso de la infancia y la juventud y no necesariamente
en cada generación dada, descubrirlos de nuevo." (Ausubel, 1983)
Ausubel ofrece una alternativa al aprendizaje por descubrimiento a la que
llama aprendizaje significativo. El considera que los aprendizajes significativo y
mecánico son procesos cognoscitivos de aprendizaje distintos de las estrategias o
procedimientos de aprendizaje que comúnmente se denominan como aprendizaje
por recepción o aprendizaje por descubrimiento. Ambos procesos (aprendizaje
por recepción y por descubrimiento) pueden ser repetitivos o significativos, según
45
las condiciones en las que ocurra el aprendizaje. Existe la creencia injustificable
de que el aprendizaje por recepción es invariablemente repetitivo y que el
efectuado por descubrimiento es inherente y forzosamente significativo. En
realidad, cada distinción (aprendizaje repetitivo en contraste con significativo y
por recepción en contraste con por descubrimiento) constituyen una dimensión
completamente independiente del aprendizaje.
Ausubel presenta las relaciones entre los aprendizajes por repetición y
significativos, así como su relación ortogonal con la dimensión recepción
descubrimiento, en la figura siguiente:
Aprendizaje Clarificación de Enseñanza Audiotute- Investigación Significativo las relaciones lar bien diseñada Científica
entre los Conceptos
Conferencias o Pre- Trabajo Escolar en Investigación más
sentacioncs de la - el Laboratorio rutinaria o produ~
mayor parte de li- ción intelectual
bros de texto
Aprendizaje Tablas de multi- Aplicación de fórmulas Solución y recom-
por repetición plicar para resolver proble- penzas por ensayo mas y error
Aprendizaje por Aprendizaje por des- Aprendizaje por des-recepción cubrimiento guiado cubrimiento autónomo
Figura 2.3.3.2
46
2.3.3.2. APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO:
Este ocurre cuando la nueva información es adquirida mediante el esfuerzo
deliberado por parte del alumno de vincular aquélla con los conceptos o
proposiciones pertinentes que ya existen en la estructura cognoscitiva.
Las condiciones para el aprendizaje significativo dependen de:
a) Un material de aprendizaje potencialmente significativo
b) Una disposición hacia el aprendizaje significativo.
La conexión entre el contenido nuevo y el conocimiento pre existente
depende de la experiencia previa y de la disposición prevaleciente del alumno. La
teoría de asimilación en la que se basa el aprendizaje significativo, postula que el
nuevo aprendizaje significativo modifica tanto la naturaleza de la información
nueva aceptada por la estructura como los conceptos o proposiciones de
afianzamiento que existen con anterioridad. "La interacción del conocimiento
potencialmente nuevo con los aspectos pertinentes de la estructura cognoscitiva
preexistente produce un resultado interactivo (el Significado) que constituyen el
núcleo del proceso de asimilación (Ausubel 1986, Pág. 148)
En el aprendizaje significativo en cuanto más organizada y significativa sea
su representación más profundamente aprenderá la persona. Aunque éste puede
parecer un aprendizaje memorístico, no lo es. "El objetivo de la enseñanza estriba
en ayudar a los alumnos a comprender el significado de la información presentada
de forma tal que puedan combinar sensiblemente el nuevo material con lo que ya
saben. No es aprendizaje significativo la simple memorización del contenido de
47
un texto o de una explicación, es preciso realizar conexiones con el conocimiento
ya existente de los alumnos." (Woolfolk, 1986, Pág. 235)
Es claro que existe diferencia entre el aprendizaje significativo y el
aprendizaje memorístico o por repetición, pero también existen relaciones como
se mostraron en la figura 2.3.3.2.
El aprendizaje por repetición se da cuando la tarea de aprendizaje consta
de puras asociaciones arbitrarias, como las de pares asociados, y esto ocurre
cuando el alumno carece de conocimientos previos relevantes, necesarios para
hacer que la tarea del aprendizaje sea potencialmente significativa, y también si el
alumno toma la tarea simple de intemalizarla de modo arbitrario y al pie de la
letra.
2.3.3.3. ¿COMO LOGRAR UN APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO?
A diferencia de Brunner, Ausubel considera que el aprendizaje debe tener
lugar a través de la recepción, no del descubrimiento. Los materiales que se
presentan a los alumnos por los profesores deben de estar cuidadosamente
organizados, en secuencia y de cierto modo acabados, de tal forma que dicho
material sea más utilizable para los alumnos. Ausubel ha denominado a este
método Enseñanza Expositora, Este método no resulta útil para la enseñanza de
destrezas físicas o de las tablas de multiplicar, probablemente el empleo más
apropiado de dicho método corresponde a la enseñanza de relaciones entre
conceptos.
48
Desde el punto de vista de Ausubel el método de enseñanza expositoria, es
el medio por el cual se logra el aprendizaje significativo, que lo hace superior a
los demás tipos de aprendizaje.
2.3.3.4. CARACTERISTICAS DE ENSEÑANZA EXPOSITORIA
Son Cuatro las Características Especiales:
1. Exige una considerable interacción entre el profesor y los alumnos.
Aunque el profesor pueda hacer la presentación inicial a lo largo de
cada tema son necesarias las ideas, preguntas y respuestas de los
alumnos.
2. Usa considerablemente los ejemplos en los que pueden figurar dibujos,
gráficos e imágenes.
3. Es deductivo, se presentan ejemplos donde se jerarquizan diferencias y
semejanzas generales para dar lugar a características particulares
4. Es secuencial. En la presentación del material hay que seguir
determinados pasos. Ausubel propone como paso número uno el uso
de organizadores previos.
En cuanto a la secuencia de la presentación del material según la
concepción de Ausubel, siempre se tiene que comenzar con lo que él llama un
organizador previo, cuyo objetivo consiste en dar al alumno la información que
precisará para que proporcionen un sentido al material que sobreviene o para
ayudarles a recordar y a utilizar información que ya tiene, pero que quizás no
considera relevante en relación con el tema. El organizador actúa así como una
49
especie de puente conceptual entre el nuevo material y el antiguo. Estos
organizadores atienden a tres finalidades: dirigir la atención del lector hacia lo
que es importante en el próximo material; destacar relaciones entre ideas que
serán presentadas, y le recuerda cosas que ya conocen y que poseerán importancia
cuando halle el nuevo material.
El siguiente paso en la secuencia de la presentación del material es utilizar
cierto número de ejemplos en relación al tema que se va a tratar para como tercer
paso establecer tanto semejanzas como diferencias generales.
Dar al alumno un panorama generalizado de todas las semeJanzas y
diferencias principales entre ambos cuerpos de ideas antes de que se enfrenten a
los nuevos conceptos aislados y evitar la especificación explícita, lo alienta
activamente a realizar sus propias diferenciaciones en función de sus fuentes
particulares. "En el aprendizaje de conceptos, la presentación de secuencias, de
estímulos que proporcionen contrastes sucesivos entre atributos de criterio
esenciales y no esenciales tienden a facilitar la formación de conceptos"
(Ausubel, 1986, pág. 168).
El cuarto paso en la presentación del material consiste en hacer ésta de
forma organizada. La posibilidad de afianzar las ideas para lograr el aprendizaje
significativo, obviamente puede aumentar al máximo, aprovechando la
dependencia consecutiva y natural de los diferentes componentes de una
disciplina; es decir, el hecho de que la comprensión previa de otro tema
relacionado.
50
Arreglar el orden de los temas, tanto como sea posible para ponerlos de
acuerdo a su secuencia natural y así el aprendizaje de cada unidad no sólo se
convertirá en logro por sí mismo sino que además contribuye al armazón ideal
específico para el siguiente tema de la secuencia.
La programación adecuada de los materiales presupone también un máximo
de atención a ciertos aspectos como la claridad, la organización y el podeI
explicativo e integrador del contenido.
"La importancia de plantear la secuencia de aprendizaje, radica
principalmente en que hace posible que se eviten los errores que surgen de
"saltarse" pasos esenciales en la adquisición de conocimiento de una área de
estudio determinada" (Gagné, 1977, pág. 173)
Así pues, el material nuevo dentro de la secuencia no deberá introducirse
hasta no dominar totalmente los pasos previos.
2.3.3.5. ¿COMO SABER SI SE HA DADO EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO?
Esta tarea no es fácil, las pruebas de comprensión deberán por lo menos
redactarse en lenguaje distinto y presentarse en contextos algo distintos a aquéllos
en los que se encontró originalmente el material de aprendizaje, para evitar que el
alumno sólo extraiga conceptos memorizados mecánicamente.
La comprensión genwna implica la posesión de significados claros,
precisos, diferenciados y transferibles, por lo que es deseable la evolución activa
en el proceso ya sea por medio de preguntas y problemas que sean a la vez
51
novedosos y desconocidos, por lo que se requiere de una retroalimentación
directa en el proceso.
En resumen se puede decir que el enfoque de Ausubel con respecto al
aprendizaje en el aula tiene las siguientes características:
Recomienda que sea deductivo, basado en la creencia de que las personas
necesitan elaborar jerarquías internas encabezadas por conceptos generales o
subsumidores, con el objeto de dominar los detalles y disponer de un sistema que
abarque más conceptos específicos.
La enseñanza expositoria, que es el sistema de instrucción recomendada
por Ausubel, utiliza organizadores previos (para introducir conceptos básicos) y
un contenido subordinado dispuesto en términos de semejanzas y diferencias. Se
espera que al final de la lección los alumnos aprecien las relaciones no sólo entre
los diferentes términos del contenido subordinado, si no que también entre el
organizador previo y los otros términos abarcados por éste. (W oolfolk, 1986)
2.3.3.6. TEORIA DEL PROCESAl\flENTO DE LA INFORMACION
Este enfoque representa la concepción cognitiva más reciente y sistemática
del aprendizaje .
La teoría del procesamiento de la información sostiene que el aprendizaje
es un proceso que se realiza en la mente del individuo, el cual percibe los
estímulos del entorno, los transforma en información significativa que se
almacena en la memoria para luego ser recuperada y traducida en conductas
observables.
52
El modelo Básico del aprendizaje y memoria que sostiene esta teoría,
supone básicamente que las personas disponen de cierto número de estructuras en
el sistema nervioso central, dichas estructuras procesan la información corno se
muestra en la figura siguiente:
' R ' REGISTRO
' MEMORIA A --3 MEMORIAA
' E --------;; " e SENSORIAL CORTO PLAZO E- LARGO PLAZO E p
Entorno T o R E s
,1., ... ., ,, ,, 1 GENERADOR DE RESPUESTAS 1 ' '
MODELO BASICO DEL APRENDIZAJE
Los Estímulos del entorno (imágenes, sonidos, olores, etc.) bombardean
constantemente nuestros receptores. Los receptores son los elementos del sistema
sensorial para ver, oír, gustar y palpar.
Se produce una actividad nerviosa cuando los estímulos del entorno llegan
a los receptores y es advertida por el re~istro sensorial sólo durante un cuarto de
segundo, en ese pequeño tiempo se selecciona la información para su tratamiento
posterior. Una vez transformada en modelos, imágenes o sonidos, la información
del registro sensorial puede entrar a la Memoria a Corto Plazo (su permanencia
allí, es breve probablemente alrededor de 20 seg.).
Para el desplazamiento de la memoria a Corto Plazo a la Memoria a Largo
Plazo, se requiere otra transformación de la información a la que se denomina
53
codificación Semántica que consiste en organizar la transformación de acuerdo
con su significado.
"La transformación de la información de la forma que pueda entrar a la
memoria a largo plazo constituye uno de los aspectos más críticos del aprendizaje.
Desde luego a los profesores le interesa ayudar a los alumnos a recordar la
información más allá de 20 seg. Por lo que el proceso de codificación es un punto
especial de importancia para ellos." (Woolfolk, 1986, Pág. 238 )
Una vez que la información ha entrado a la memoria a largo plazo ¿Cómo
tener acceso a la información? El acceso a la memoria de largo plazo depende de
la organización.
El proceso de aprendizaje y la secuencia con la que se realiza en la mente del
estudiante durante la instrucción, está clasificando de acuerdo a la figura 2.3.3.6.
54
EXPECTATNA:
EXPECTATIVA
ATENCION
CIFRADO
ACUMULACION EN
LA MEMORIA
RECUPERACION
TRANSEFENCIA
RESPUESTA
AFIRMACION
Figura 2.3.3.6
El primer paso del proceso del aprendizaje en el aula es la expectativa que
tiene el alumno sobre el terna. Los eventos externos que durante la instrucción
tienen influencia, es decir, la motivación del individuo para alcanzar el objetivo
realizable.
LA ATENCION:
Los profesores pueden ayudar a los alumnos a prestar atención a los
materiales más importantes, esto puede ser de diferentes maneras, corno utilizar
55
fenómenos sorprendentes, colores, el hincapié en las palabras, el tono de voz,
gestos, movimientos, demostraciones e imágenes, animación en sus explicaciones,
etc.
Para lograr la comprensión es necesario que el alumno preste atención a los
aspectos pertinentes realizando una percepción selectiva, distinguiendo o
discriminando los estímulos exteriores.
CIFRADO:
En este paso del proceso adquiere la información en la memoria corto plazo
por medio de la capacidad de cifrado que tiene como propósito que lo que se
aprenda resulte altamente memorizable.
ACUMULACION EN LA MEMORIA
Aquí se da la retención de la información lo que es aprendido pasa de la
memoria a corto plazo a la memoria a largo plazo.
RECUPERACION
La entidad aprendida puede ser recuperada de la memoria de largo plazo,
de esta forma, lo que se ha acumulado se vuelve accesible.
TRANSFERENCIA
Se logra la transferencia cuando la información aprendida puede ser
transferida a contextos nuevos.
56
RESPUESTA:
Se exhiben las respuestas cuando se presenta un estímulo, el estudiante al
ser apoyado genera una actuación o desempeño.
AFIRMACION
Dada la actuación del estudiante, se verifica si el objeto ha sido alcanzado,
es decir, se retroalimenta para fortalecer la entidad aprendida.
2.3.3.7. TIPOS DE RESULTADOS DEL APRENDIZAJE GAGNE
Gagné clasifica las facultades aprendidas en cinco categorías:
1) Información Verbal:
La información verbal es el "saber que", y representa el contenido de la
mayoría de las lecciones, hechos, términos, nombres, descripciones,
características, etc.
De acuerdo con Gagné las condiciones que promueven el aprendizaje de la
información verbal son:
a) Disponer de las apropiadas estructuras cognitivas para abarcar la
nueva información (en términos de Ausubel)
b) Conocer la mayoría de las palabras utilizadas en la nueva
información
57
c) Tener objetivo claro.
d) El material debe ser presentado en un contexto significativo, de
manera que pueda ser codificado .
2) Destrezas Intelectuales
Mientras que en la información verbal es el II saber que 11, las destrezas
intelectuales pueden ser consideradas el II saber como 11• Son capacidades
aprendidas que preparan al estudiante para llevar a cabo diversas actividades a
través de representaciones simbólicas.
Gagné las clasifica como:
a) Discriminacionales: Ser capaz de establecer distinciones entre
diferentes objetos o símbolos.
b) Conceptos: Ser capaz de establecer juicios acerca de semeJanzas,
donde la discriminación es un requisito previo y natural para trabajar
con conceptos.
c) Reglas : Una regla es una capacidad aprendida que permite al
individuo hacer algo empleando símbolos.
d) Reglas de orden Superior: constituidas por varias reglas simples. El
aprendizaje de reglas actúa como un requisito previo y natural para el
aprendizaje de reglas de orden superior.
58
3) Estrategias Cognitivas:
Son capacidades aprendidas e internamente organizadas, de las cuales hace
uso el estudiante para codificar, recuperar, discriminar diferentes tipos de
información, es decir, regular su propio proceso de aprendizaje.
4) Actitudes
El aprendizaje de actitudes es a través de experiencias positivas o
negativas, así como mediante la modelación.
59
2.4 CONCLUSIONES DEL CAPITULO DE MARCO TEORICO
Partiendo del principio de que el conocimiento es procedimental y/o
Semántico.
PROCEDIMENTAL; La secuencia de pasos (Algoritmo) que se tienen que
. ejecutar para llegar a algo (objetivo, propósito, resultado, etc.) Ejemplos: Calcular
la masa de un cuerpo, calcular un límite, resolver un sistema de ecuaciones
lineales, etc. El procedimiento para resolver un caso o problema". Se refiere al
"como" de un conocimiento.
SEMANTICA; El entendimiento del concepto, se refiere al "que" de un
conocimiento, (ejemplo: qué es una variable, qué es el ozono), así como su
relación con otros conceptos.
El planteamiento que manejan los libros de Cálculo, didácticamente es
correcto ya que es congruente con lo mencionado en los artículos, en relación a
que no es lo mismo que el alumno sepa como obtener el valor del límite de una
función, que entender su significado. "El conocimiento no comienza con
conceptos sino más bien al revés, los conceptos son los resultados de los procesos
cognitivos. "(Freudenthal, 1991,pág. 18).
Sin embargo el material que presentan los libros acerca de límite es
altamente insuficiente como lo demuestra la práctica docente y las investigaciones
sobre el tema.
Con base en lo anterior la autora considera necesario enfocar la atención al
conocimiento semántico ( de significado) para la idea de límite de una función,
60
teniendo en cuenta las consideraciónes pedagógicas pertinentes para presentar una
alternativa didáctica.
61
CAPITULOJ
PROPUESTA DIDACTICA
3.0 INTRODUCCION DE LA PROPUESTA
El interés en esta guía es darle atención especial a la idea de límite,
partiendo de situaciones muy elementales hasta llegar a la definición formal, con
la intención de lograr un equilibrio desde el punto de vista intuitivo y operacional,
teniendo en mente que el tema se ajuste a la experiencia y madurez del alumno.
Esta guía consta de 5 secciones:
3.1. Ejemplos geométricos.
3.2. Expansión decimal.
3.3. Ejemplos interpretados como funciones.
3.4. Interpretación matemática de "aproximaciones subsecuentes a una dada".
3.5. Definición de límite de una función.
En la primera sección se presentan ejemplos o situaciones en donde
aparecen aspectos constituyentes esenciales de la idea de limite, prácticamente
todos estos ejemplos son de carácter geométrico, e involucran ideas Matemáticas
elementales como las de área, subdivisión y recta tangente, por lo cual su
62
significado es muy accesible para el estudiante y por medio de estos ejemplos se
construye una caracterización intuitiva de la idea de límite.
En la segunda sección de la guía, se hace una revisión sistemática del
trabajo que el estudiante ha realizado con fracciones y sus correspondientes
expansiones decimales, para mostrar 4 cosas:
a) Darle mayor significado matemático y claridad a ese trabajo previo.
b) Relacionar conocimientos previos del estudiante acerca de números racionales
y sus expansiones decimales, con la característica idea de límite.
c) Mostrar de qué manera la idea de límite está involucrada en las expansiones
decimales infinitas.
d) Obtener una segunda caracterización intuitiva de la idea de límite.
En la tercer sección se interpreta inductivamente el contenido de las dos
primeras partes en términos del esquema de límite de una función. Se introducen
las ideas de variable independiente y variable dependiente, y se replantean los
ejemplos en términos de éstas, para finalmente dar una definición intuitiva de la
idea de límite de una función.
En la cuarta sección, se hace énfasis en una condición necesaria para que
un límite exista y se hace una representación matemática en términos de
intervalos de la noción: "todas las aproximaciones subsecuentes a una dada".
63
En la quinta sección presentamos la definición formal de limite de una
función en términos de épsilon y delta y hacemos una interpretación geométrica
de ella.
3.1. EJEMPLOS GEOMETRICOS
Antes de concentrar nuestra atención sobre lo que significa el limite de una
función es necesario presentarle al alumno la importancia del tema, como podría
ser la idea siguiente;
En cálculo las operaciones fundamentales son la derivación e integración y
estos conceptos se definen como límites, por lo que para poder adentrarnos en el
estudio del cálculo diferencial e integral es necesario en primer lugar, centrar la
atención en la idea de límite.
Es importante que se mencione al alumno el objetivo a lograr. El cual es
que el alumno tenga un entendimiento amplio y claro de la noción de limite.
A continuación es necesario determinar lo que el estudiante recuerda o
asocia con la idea de limite con preguntas como la siguiente:
3.1.1. EJEMPLO 1
Si tenemos un cuadrado inscrito en un círculo y dividimos los lados del
cuadrado por su punto medio formamos un octágono regular, (como en la figura
3 .1.1.1. ), se observará que el área es mayor que la del cuadrado pero menor que la
del círculo.
64
Figura 3.1.1.1.
Si nuevamente dividimos en sus puntos medios los lados del octágono y se
forma un polígono regular de 16 lados cuya área es mayor que la del octágono
pero menor que la del círculo.
Figura 3.1.1.2.
A continuación se les hace una pregunta del tipo:
¿ Cuántas veces debemos hacer el procedimiento para que el área del
polígono sea igual a la del círculo ?
Entre las respuestas posibles tenemos:
65
• Muchas.
• Una infinidad.
• Mientras más divisiones hacemos más nos acercamos al área del círculo.
3.1.2. EJEMPLO 2
Consideremos el segmento AB y dividamos por la mitad, llamemos M 1 a
su punto medio; ahora consideremos el segmento AMI y dividámoslo por la
mitad, M2 su punto medio considerando ahora el segmento AM2 y dividámoslo
por la mitad, siendo su punto medio M3, vemos como puede continuarse
indefinidamente este proceso.
M3 M2 M1 A B
Figura 3.1.2.
Es claro que continuando este procedimiento obtenemos una sucesión de
puntos M¡, M2 M3, M4 ... '
La pregunta en este momento seria:
¿Qué obtenemos si repetimos indefinidamente este proceso?
Entre las respuestas posibles están:
66
*Que obtenemos inteivalos cada vez más pequeños.
*Que el punto medio se va recorriendo cada vez más hacia A.
*Que al final obtenemos el punto A.
*Que en limite obtenemos el punto A.
3.1.3. EJEMPLO 3
Consideremos un punto fijo P de una circunferencia y la recta tangente en
ese punto, también tomemos un punto variable X, en la circunferencia, y para
cada posición del punto variable X, se forma una recta secante a la circunferencia
que pasa por P X .. Ver figura 3.1.3.1.
Obseivemos que a medida que el punto X se acerca al punto P la posición o
inclinación de la recta secante se va aproximando cada vez más a la posición o
inclinación de la recta tangente en el punto P.
LT = Recta tangente (es fija)
LS= Recta secante ( es variable)
67
Figura 3.1.3.1.
3.1.4. EJE:MPLO 4
Pensemos cómo podríamos hacer un cálculo aproximado del área de una
elipse.
Si formamos una malla sobre la elipse, cuyos cuadros sean de un cm. de
lado, y marcamos todos los cuadros que quedan completamente dentro de la
elipse, y sumamos sus áreas, obtenemos una primera aproximación., al valor del
área de la elipse. Ver figura 3.1.4.1.
Figura 3.1.4.1
68
Ahora, formemos una segunda malla, cuyos cuadros sean ½ cm. de lado
subdividiendo la anterior, y marcamos todos los cuadros que quedan
completamente dentro de la elipse, al sumar las áreas de todos estos cuadros
obtenemos una segunda aproximación al valor del área de la elipse, mejor que la
pnmera.
Ver figura 3.1.4.2.
~------~- .llllll. ~ ~
~
' ~ . ~- .111!.
,...!111 .... _,
Figura 3.1.4.2
¿ Qué sucede si continuamos este procedimiento tomando cada vez mallas
más finas?
Entre las respuestas posibles están:
• Nos acercamos cada vez más al valor del área de la elipse.
• Mientras mas pequeños sean los cuadros, una mayor cantidad de ellos
caben completamente en la elipse.
69
• Que las partes del área de la elipse que van quedando fuera de las mallas,
son cada vez menores.
• De los cuadros, que en cierta aproximación, no caben completamente en la
elipse, llega un momento en que algunos subcuadritos de ellos, ya caben
completamente en la elipse .
Ver figura 3.1.4.3
Flg ura 3. 1 .-4.3
• Dividiendo por los punto medios de los lados de la maya anterior.
Obsérvese que el área del cuadrito A para la primera malla no queda
incluida y en cambio si queda incluida para la malla siguiente.
• Al final o en el límite obtenemos el área de la elipse.
70
3.1.5. CARACTERISTICAS COMUNES A LOS CUATRO EJEMPLOS
Para integrar el trabajo de los ejemplos anteriores se plantea la siguiente
pregunta:
¿ Cuáles son las características comunes de estos cuatro ejemplos que
hemos analizado ?
Esta pregunta, tiene como intención, provocar una lluvia de ideas muy
relacionadas, con las respuestas que han ido dando los estudiantes a las preguntas
de los cuatro ejemplos. Esta lluvia de ideas debe conducir a las siguientes
características comunes.:
1) Hay un proceso de aproximaciones sucesivas en el cual cada vez nos
acercamos más a un objeto o cantidad.
2) El número de aproximaciones no esta limitado, no acaba, obteniendo una
aproximación siempre se puede pasar a la siguiente.
3) El grado de aproximación es tan bueno como se quiera.
4) Las aproX1mac10nes subsecuentes, a una cierta aproximación son en
general mejores que esta última.
Estas cuatro características comunes constituyen nuestra prunera
caracterización intuitiva de la idea de límite.
71
3.2. EXP ANSION DECIMAL
En esta sección es necesario recordar algunas ideas básicas.
3.2.1. RECORDANDO IDEAS BASICAS
Ahora se ve que la noción de límite, que a primera vista, es una noción
exclusiva de las matemáticas superiores, no lo es, ya que de alguna manera el
estudiante ha tenido un contacto indirecto con ello, desde la primaria. (Nota 1)
El origen de esta relación, se remonta al momento cuando aprendimos el
algoritmo de la división, y se hacían divisiones entre enteros con aproximación
decimal.
Algunos ejemplos:
- Dividir 100 entre 40 con aproximación hasta centésimas.
2.50
40 ~ 20
o
y así calculamos otros ejemplos, como los siguientes:
a) 22/25 = 0.88
b) 9/8 = 1.125
c) 21/125= 0.248
72
De paso, recordemos cómo se leen este tipo de expresiones, 0.88 se lee;
cero enteros, ocho décimas y ocho centésimas ( equivalente a ochenta y ocho
centésimos u ochocientos ochenta milésimos).
1.125 se lee.- una unidad, una décima, 2 centésimas y 5 milésimas
( equivalente a una unidad y 125 milésimas )
Es conveniente recordar, que en este proceso de aproximaciones se detiene
la división cuando aparece el primer residuo igual a cero, ya que no se puede
mejorar el resultado.
Pensemos ahora que en la impresión que se tuvo, cuando por primera vez
nuestro profesor nos pidió que dividiéramos uno entre tres y nos detuviéramos
hasta encontrar el residuo cero, sin embargo nos sorprendimos al darnos cuenta de
que ese momento nunca llegaría ya que el residuo en cualquier paso es igual a
uno y en consecuencia se llegaba a la expresión decimal infinita 1/3=0.33333 ...
Es decir, obteníamos que un tercio es igual a cero enteros, tres décimas,
tres centésimas, tres milésimas, etc., etc., etc.
Y es aquí cuando nos dimos cuenta de que hay dos tipos de expansiones
decimales: las finitas "o que acaban" y las infinitas "o que nunca acaban".
En este preciso momento, por primera vez nos acercábamos a la idea de
limite, aunque en ese momento no éramos conscientes de ello.
73
Ahora nos proponemos mostrar con detenimiento como es que la idea de
límite está involucrada en la expresión decimal de ciertos racionales.
3.2.2. ANALISIS DE EXPANSIONES DECIMALES FINITAS
Es necesario recordar o señalar que una expansión decimal como 0.248 es
una expresión en nuestro sistema posicional decimal que de manera abreviada ( e
inequívoca) nos representa la suma siguiente:
0.248= 2/10+4/100+8/1000
y análogamente con:
0.7395 = 7/10 + 3/100 + 9/1000 + 5/10000
351.0257 = 3*100 + 5*10 + 1 + 0/10 + 2/100 + 5/1000 + 7/10000
4348.9671 = 4 * 1000 + 3*100 + 4*10 + 8 + 9/10 +6/100 + 7/1000 +
1/10000
(Se observa que en estas expansiones se emplean las potencias de base 1 O
en relación a la posición de las cifras).
En conclusión, mantengamos presente el hecho de que una expresión
decimal finita es una representación abreviada de una suma finita de cierto tipo.
Es conveniente asociar a estas sumas la representación geométrica (muy
familiar para nosotros por nuestro sistema de mediciones de longitudes de base
74
1 O) en la recta numérica, por ejemplo el punto correspondiente de la recta
numérica.
0.257 = 2/10 + 5/100 + 7/1000
Puede ser obtenido de la siguiente manera, subdividiendo el intervalo (O, 1)
en décimas, centésimas y milésimas, considerando primero el punto Q 1
correspondiente a 2 décimas, y a él sumarle un subintervalo a la derecha de 5/100
y así obtenemos el punto Q2, correspondiente a 25 centésimas y a él agregarle
hacia la derecha un subintervalo de 7/1000 obtenemos en el extremo derecho a
Q3 que es el punto correspondiente a 0.257
Q1
1/10 2/10 1 11
3/10
o
Q1= 2/10
Q2= 2/10+5/100=25/100
Q3= 0.257 = 2/10 + 5/100 + 7/1000
Este ejemplo muestra las consideraciones esenciales que necesitamos para
continuar con las expansiones decimales infinitas.
Ahora analicemos las expansiones decimales infinitas
75
3.2.3. ANALISIS DE EXPANSIONES DECIMALES INFINITAS
Volviendo a la igualdad:
1/3=0.333333333 .....
Recordemos que la expresión de la derecha es una expansión decimal
infinita periódica, con periodo igual a 3.( Nota 2)
De manera semejante al caso de expansiones decimales finitas, la
expansión decimal 0.33333 .... es una representación abreviada (en nuestro sistema
posicional decimal) de una suma que ahora será infinita (ya que la misma
expresión lo es), esto es:
1/3 = 0.3333 ... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000 + ....
• ¡ Bueno pero ¿ qué significa esta suma infinita ? !
•Esto obviamente necesita ser aclarado.
•Es infinita porque nunca para el proceso de agregar una fracción de la
forma:
3/(l0)n
Ahora se puede dirigir a los estudiantes la pregunta ¿ cómo interpretan,
visualizan, o con qué se asocia esta suma infinita ?
76
Con esta pregunta se pretende propiciar una lluvia de ideas que incluya las
observaciones siguientes:
a) No se puede tomar toda la suma de golpe porque el proceso de agregar
sumandos nunca termina.
b) En el infinito o en su totalidad ( aunque nunca se llegue a ella ) la suma
es igual a un tercio.
c) A medida que tomamos más sumandos nos acercamos más a un tercio.
Este es el momento indicado para introducir la noción de un proceso
infinito de aproximaciones sucesivas, ya que es la idea básica subyacente, tanto
en los ejemplos que se han analizado en la sección 3 .1 como en la discusión
previa referente a un tercio. Y en particular llegar a interpretar la suma infinita
anterior como un proceso infinito de aproximaciones sucesivas.
3.2.4. PROCESO INFINITO DE APROXIMACIONES INFINITAS
¿Qué son las aproximaciones sucesivas y a qué se aproximan?
Al considerar sólo un término de la suma infinita se dice que es una
primera aproximación, al tomar dos términos de la suma diremos que tenemos una
segunda aproximación, y así sucesivamente, esto es:
A¡= primera aproximación .3= 3/10
A2= segunda aprox = .33= 3/10+3/100
77
A3=tercera aprox= .333 = 3/10 + 3/100 + 3/1000
An=n-ésima aprox=.333333 .... = 3/1 O+ 3/100+ 3/1000+ 3/10000+ ... + 3/( 10)11.
La respuesta ¿a qué se acercan (aproximan) las aproximaciones sucesivas?
es a un tercio.
Ahora veamos ¿cuáles son las características esenciales de este proceso
infinito de aproximaciones sucesivas?.
1) Claramente el proceso tiene una cantidad infinita de aproximaciones.
2) Que los valores que obtenemos en cada uno de los pasos de la
aproximación, todos son menores que 1/3.
Demostremos primero que 3/ 1 O < 1/3.
Para lograrlo suponemos que la desigualdad 3/10 < 1/3 es verdadera y la
transformaremos aplicando operaciones validas para las desigualdades de manera
que cada una de las operaciones inversas de las realizadas sean igualmente
validas.
78
Por lo tanto 3/10 < 1/3 multiplicando por 30 ambos lados nos resultará
90/10<30/3
Simplificando las fracciones obtenemos 9 < 10.
Ahora , esta última desigualdad es evidentemente verdadera y a partiI de
esta aplicando las operaciones inversas (válidas) llegamos a la desigualdad
original, esto es 3/10 < 1/3. Concluyendo así su validez.
Tomando la aproximación (A2)=0.33=3/10+3/100
33/100<1/3 .. **
Multiplicando por 300 ambos lados de la desigualdad
300(33/100)<(1/3)300
99< 100 por lo tanto es verdadera * *
Para la aproximación tres (A3)
(A3)= 0.333=3/10+3/100+3/1000=333/1000
333/1000 < 1/3 .. ***
Multiplicando por 3000 ambos lados de la desigualdad
3000(333/1000)<(1/3)3000
79
999<1000.Por lo tanto es verdadera***
Pensemos ahora en la aproximación 6 (A6):
3/10+3/100+3/100o+3/10000+3/100000+3/1000000=0.333333=333333/1000000
333333/1000000<1/3 .. ****
Multiplicando por 3000000
999999<1000000.Por lo tanto es verdadera****
De estos 4 casos queda claro para el estudiante que el mismo patrón de
razonamiento se aplica a cualquier otra aproximación.
3) Como ya habíamos notado, el número de aproxunac10nes no está
limitado, no acaba, esto es, al obtener una cierta aproximación siempre se
puede pasar a la siguiente.
4) El grado de aproximación es tan bueno como se quiera, es decir, el
margen de error puede ser tan pequeño como se desee. Supongamos que
queremos que el error sea menor que una millonésima, esto nos conduce
a:
80
3.2.5. APROXIMACIONES QUE SATISFACEN UN MARGEN DE ERROR
¿En qué paso estamos seguros de que la diferencia es menor que una
millonésima ?
En el primer paso (At) =0.3=3/10
1/3-3/10=1/30=0.0333 ... Por lo tanto la diferencia está en el rango de las
centésimas y es menor que una décima
En el segundo paso (Az)=0.33=33/100
1/3-33/100=1/300=0.00333 ... Por lo tanto la diferencia está en el rango de
las milésimas y es menor que una centésima.
En el tercer paso (A3)=0.333=333/1000
1/3-333/1000=1/3000=0.00033 ... Por lo tanto la diferencia está en el rango
de 1 O milésimas y es menor que una milésima.
En el cuarto paso (A4)=0.3333=3333/10000
1/3-3333/10000=1/30000=0.000033 ... Por lo tanto la diferencia está en el
rango de las 100 milésimas y es menor que una 1 O milésima.
En el quinto paso (A5)=0.33333=33333/100000
81
1/3-33333/100000=1/300000=0.0000033 ... Por lo tanto la diferencia está
en el rango de las 1 millonésima y es menor que una 100 milésima.
En el sexto paso (A6)=0.333333=333333/1000000
1/3-333333/1000000=0.000000333 ... Por lo tanto la diferencia está en el
rango de las 1 O millonésimas y es menor que una millonésima.
Por tanto, la respuesta a la pregunta inicial es que en el sexto paso el error
es menor que una millonésima.
En nuestros cálculos se observa evidentemente que el error en cada paso
disminuye y esto nos conduce a la quinta característica fundamental de este
proceso.
5) Las aproximaciones subsecuentes a una cierta aproximación todas son
mejores que esta última.
Este mismo hecho nos indica que mientras más aproximaciones tenemos, el
error será cada vez más pequeño y estamos más cerca de un tercio, que en este
caso es el objeto o cantidad al que nos aproxima o tiende nuestro proceso. Nota 3
82
3.2.6. RELACION ENTRE LOS EJEMPLOS GEOMETRICOS Y LA EXPANSION DECIMAL
Al final de la parte 1 se hizo la pregunta
¿ Cuáles eran las caracteristicas comunes a lo ejemplos 1,2,3,4 analizados
en esa sección?
Para finalizar esta sección 3.2 se le pregunta al estudiante si hay alguna
relación con las caracteristicas comunes de los ejemplos de la sección 3 .1 ó
simplemente se le conduce a que concluya por sí mismo, que la expresión decimal
infinita de un tercio es un ejemplo más que cumple con las mismas caracteristicas
mencionadas al final de la sección 3.1, esto es:
a) Hay un proceso de aproximaciones sucesivas en el cual cada vez nos
acercamos más a una cantidad.
b) El número de pasos de aproximación no está limitado o es infinito.
c) El grado de aproximación es tan bueno como se quiera.
d) Las aproxnnac1ones subsecuentes a una cierta aproximación son en
general mejores a esta última.
Recordemos que ya ha aparecido la noción de que en el "último paso" o
tomando "en su totalidad" el proceso infinito de aproximaciones
sucesivas, obtenemos el objeto o cantidad al que nos estamos
83
aproximando (Ejemplo 1 -> al área de la circunferencia; Ejemplo 2 -> al
punto A), Ejemplo 3 -> a la inclinación de una recta tangente; Ejemplo 4
-> al área de una elipse; en este último ejemplo obtenemos un tercio.
e) Cuando se toma de golpe toda la expresión decimal infinita es como
tomar el límite de la expresión.
Como conclusión de todo el trabajo intuitivo hecho con nuestros ejemplos
obtenemos la siguiente definición intuitiva de límite:
Un proceso infinito de aproximaciones sucesivas a un objeto o cantidad
última U tal que el margen de error puede ser fijado de antemano y para
el cual se puede encontrar una aproximación tal que ella y todas sus
subsecuentes satisfagan este margen de error dado o fijado.
Para explicar esta última noción necesitamos primero reinterpretar nuestros
ejemplos en términos de funciones, lo que haremos en la sección 3.3.
3.3. EJEMPLOS INTERPRETADOS COMO FUNCION
En esta sección retomaremos los ejemplos analizados en las secciones 3.1 y
3.2, para replantearlos en términos del esquema de límite de una función.
3.3.1. RECORDANDO CONCEPTOS BASICOS DE FUNCIONES
Para esto es necesario recordar :
a) Lo que es una variable.
84
b) Variable dependiente.
c) Variable independiente.
d) Función.
Lo haremos en sus términos mas simples.
a) Una variable:
Las cantidades que intervienen en una expresión matemática son
constantes cuando tienen un valor fijo y determinado y son variables cuando
toman diversos valores. Generalmente las variables se representan por las últimas
letras del abecedario (x,y,z), sin embargo cualquier letra puede representar una
variable.
Existen variables independientes y variables dependientes.
Daremos un ejemplo para ilustrar la diferencia entre ambas.
Ejemplo:
Si un móvil desarrolla una velocidad de 1 O metros por segundo, el espacio
que recorre dependerá del tiempo que permanezca en movimiento. Si permanece
en movimiento durante 3 segundos, recorrerá un espacio de 30 metros; si
permanece en movimiento durante 4 segundos recorrerá un espacio de 40 metros.
Aquí la velocidad es constante, y el tiempo y el espacio varían.
85
¿ De qué depende en este caso el espacio recorrido ? Del tiempo que ha
permanecido en movimiento el móvil. De esta forma el tiempo es la variable
independiente y el espacio recorrido es la variable dependiente.
De esta manera la variable independiente no esta condicionada, se le
pueden asignar sus valores arbitrariamente mientras que la variable dependiente si
lo está, y es precisamente por los valores que tome la variable independiente.
Función:
Retomando el ejemplo anterior; el espacio recorrido depende del tiempo
que haya permanecido el móvil en movimiento; el espacio recorrido es función
del tiempo.
Definición:
Se dice que Y es función de X, cuando a cada valor de la variable X
corresponde un y sólo un valor de la variable Y.
La notación para expresar que Y es función de X es:
Y= f( X)
Y = Variable dependiente.
X= Variable independiente.
86
Para aplicar este esquema a los ejemplos planteados en las secciones 3 .1 y
3 .2, lo primero que tenemos que detectar es quien es la variable independiente y
quien la variable dependiente.
3.3.2. RETOMANDO EL EJEMPLO 1 PARA EXPRESARLO EN TERMINOS DE UNA FUNCION
Figura.3.1.1.1
Recordemos que las cantidades que varian son el número de lados del
polígono y el área de estos polígonos, y que primero determinábamos el número
de lados del polígono, y luego el área del polígono, por tanto;
Variable independiente= Número de lados del polígono.
Variable dependiente= Área del polígono.
Notación:
Variable Independiente= V. l.
Variable Dependiente= V.D.
87
Número de lados del polígono= n.
Área del polígono = f ( n ).
Área del círculo = Ac.
Infinito= a
Si el número de lados del polígono tiende a infinito, entonces el área del
polígono se acerca al área del círculo.
Cuando n tiende a infinito, entonces f ( n ) tiende a Ac.
Es decir:
La función f ( n ) se acerca cada vez más al límite Ac a medida que n
tiende a infinito.
3.3.3. RETOMANDO EL EJEMPLO 2 PARA EXPRESARLO EN TERMINOS DE UNA FUNCION
Ejemplo 2.
M3 M2 M1 A B
Figura 3.2.2.1
88
Para este ejemplo las cantidades que varian son el número de la división y
el punto medio que se va obteniendo.
V. l.= Número de la división, esto es, división n, con n=l,2,3 ...
V. D. = Punto medio obtenido en cada división Mn = f ( n )
Si el número de la división tiende a infinito, entonces el, punto medio se
acerca al punto A.
Es decir:
cuando n tiende a infinito, entonces f(n) tiende a A
3.3.4. RETOMANDO EL EJEMPLO 3 PARA EXPRESARLO EN TERMINOS DE UNA FUNCION
Ejemplo 3.
Figura 3.1.3.1.
89
Recordemos que para este ejemplo las cantidades que varían son la
distancia entre el punto P y X , medida a lo largo de la curva y la inclinación de la
recta secante. Como la inclinación de la recta secante depende de la posición del
punto X, decimos que la pendiente de la recta secante depende de la posición de
X en la curva, así
V.I. = distancia entre P y X a lo largo del arco de la curva.
V.O.= La inclinación o pendiente de la recta secante.
Notación:
PX = distancia entre P y X medida a lo largo de la curva.
Msec= Inclinación de la recta secante en los puntos P y X.
Mtan= Inclinación de la recta tangente en el punto P.
De esta forma, si la distancia entre P y X es pequeña, entonces la
inclinación de la recta secante se aproxima a la inclinación de la recta tangente,
esto es:
Cuando PX tiende a cero, entonces Msec tiende a Mtan.
90
3.3.5. RETOMANDO EL EJEMPLO 4 PARA EXPRESARLO EN TERMINOS DE UNA FUNCION
Ejemplo 4:
Figura 3.2.4.1
Para este ejemplo, cuyo objetivo era aproximar el valor del área de una
elipse, las cantidades que varían son el tamaño de los cuadritos de la elipse, y la
suma de las áreas de todos los cuadritos de la elipse. En este caso, el área que
resulta de la suma de las áreas de todos los cuadritos depende del área de cada
cuadrito, por lo que la variable independiente y dependiente se definen como:
V. l.= Tamaño de los cuadritos de cada malla
V. D = Área que resulta de sumar todos los cuadritos que caben en la elipse
=Ac.
Se denota:
V. l.= Te
91
V. D. =SumAc
A elipse= Área de la elipse.
Si el tamaño de los cuadros es muy pequeño, entonces la suma de los
cuadros nos resulta un área que se aproxima al área de la elipse.
3.3.6. RETOMANDO EL EJEMPLO 5 PARA EXPRESARLO EN TERMINOS DE UNA FUNCION
Ejemplo 5.
Expresiones decimales infinitas como 1/3.
Sabemos que un tercio se puede expresar como una suma infinita de . . .
aproxt.m.ac10nes sucesivas:
1/3 =.33333 ...
Primera aproximación 1/3 = .3 = 3/10
Segunda aproximación 1/3 = 3/10 +3/100
Tercera aproximación 1/3 = 3/10 + 3/100 + 3/1000
Cuarta aproximación 1/3 = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/ 10000
Notación:
92
Al= 3/10
A2 = 3/10 + 3/100
A3 = 3/10 + 3/100 + 3/1000
A4 = 3/10 + 3/100 + 3/1000 +3/10000
An = los valores numéricos de cada aproximación
n = número de términos que tome.
V. l.= n
V. D.= f( n) = An
Entre más grande sea el número de términos que se tome, los valores
numéricos de cada aproximación se acercan más a 1/3.
3.3.7. ASPECTOS IMPORTANTES
Hasta aquí hemos analizado los ejemplos planteados en las secciones 3 .1 y
3 .2, mediante el esquema de una función. Antes de pasar a la sección 3 .4 es
necesario retomar dos puntos importantes para especificarlo más.
3.3.7.1. MARGEN DE ERROR
Hemos mencionado que el grado de aproximación es tan bueno como se
quiera, es decir, de antemano se puede fijar un número muy pequeño como tope
93
para el error y se puede encontrar una aproximación cuya diferencia con el valor
del limite sea menor que este tope establecido de antemano.
Al igual que en el caso de 1/3, podemos determinar el error de la
aproximación en cada uno de los ejemplos que trabajamos, para ilustrarlo lo
haremos para el ejemplo 1.
En el primer paso obtuvimos un polígono regular de 4 lados; en el segundo
paso obtenemos un polígono regular de 8 lados y la aproximación A2 es su área.
En este caso el error para esta aproximación es el área de la circunferencia que
queda fuera del polígono de 8 lados. En la figura es el área sombreada.
Figura 3.3.1.
Para el paso 3, el polígono regular formado es de 16 lados, y la
aproximación A3 es su área, de tal forma que el error disminuye en relación al
paso 2. Intuitivamente es evidente que a medida que el número de lados del
polígono va creciendo, el área que queda entre la circunferencia y el polígono se
va acercando cada vez más a cero.
94
Por lo tanto si E es el margen o tope de error fijado de antemano, entonces
podemos calcular una aproximación An tal que su diferencia con el valor límite L
sea menor que E esto es:
1 L-An 1 <E 1 1
O sea que el error esta por debajo del tope fijado de antemano. (Nota 4).
3.3.7.2. EXCLUYENDO UN VALOR PARA LA VARIABLE INDEPENDIENTE
Observemos una característica más de nuestros procesos intuitivos de
limite.
En el primer ejemplo n es la variable independiente asociada al polígono
regular de 2n lados, y sabemos que n tiende a infinito y es evidente que no tiene
sentido permitir que n tome el valor infinito, supuesto que NO existe un polígono
regular de 2ª lados.
En el segundo ejemplo n es la variable independiente asociada al número
de división efectuada y también en este caso n tiende a infinito, dado que no
existe una división cuyo número sea infinito también en este caso no tiene sentido
permitir que n tome el valor infinito.
En el tercer ejemplo la variable independiente representa la distancia entre
el punto fijo P y el punto variable X medida a lo largo de la curva y en este caso
la variable independiente tiende a cero; dado que X tiene que ser diferente de P
95
para que se determine una recta secante, nunca puede tomar el valor cero que es
al que tiende.
En el cuarto ejemplo la variable independiente Te representa el tamaño del
cuadrado en cada malla, y en este caso Te tiende a cero y una vez más el ejemplo
deja de tener sentido si Te toma el valor cero supuesto que no existen cuadrados
de tamaño cero.
En el quinto ejemplo la variable independiente es n que tiende a infinito y
se observa que en este caso no tiene que considerarse la aproximación
correspondiente a n=infinito, y por tanto también en este ejemplo n no puede
tomar el valor infinito.
En conclusión, el valor al que tiende la variable independiente durante el
proceso de límite es un valor que en general no puede tomar la variable
independiente.
3.4. INTERPRETACION MATEMATICA DE LAS "APROXIMACIONES SUBSECUENTES A UNA DADA"
Hemos observado que para nuestros ejemplos, todas las aproximaciones
que siguen a una cierta dada, son mejores que esta última, es decir, si una
aproximación satisface el criterio de error o el tope de error, todas las siguientes
la satisfacen.
Esta característica es una parte esencial de la idea de límite, basta imaginar
un proceso infinito de aproximaciones sucesivas que no tiene esta característica
96
para notar que en este proceso no hay un único objeto último o limite al cual nos
aproxunamos.
3.4.1. CARACTERISTICA ESENCIAL PARA LA IDEA DE LIMITE
Consideremos el ejemplo siguiente:
Paso!. Cuadrado.
Paso 2 Triángulo.
Paso 3 Octágono.
Paso 4 Triángulo.
Paso 5 Polígono regular de 16 lados.
Paso 6 Triángulo.
Paso 7 Polígono regular de 32 lados.
Paso 8 Triángulo.
Se observa que en este proceso al tomar el paso n-ésimo no necesariamente
nos conduce (o nos aproxima) al valor del área del círculo, porque depende si
97
caemos en el triángulo o en un polígono regular de 2n lados de tal forma que no
existe propiamente un valor límite.
Ver Figura. 3.4.1
Figura 3.4.1.
Esto significa que dado un margen de error todas las posteriores
aproximaciones o todas las que le siguen tienen que ser mejores que esta última,
lo que habíamos mencionado como:
: A círculo - F ( n ) : < E o bien : L - f ( n ) : < E
Si no existe esta característica, entonces no se tiene la propiedad de que
cada vez que nos acercamos más a un objeto o cantidad, que hemos llamado
límite.
98
3.4.2. INTERPRETACION EN TERMINOS DE INTERVALOS DE LA CARACTERISTICA ESENCIAL ANTERIOR
Ahora bien:
Hemos estado usando la idea de "todas las aproximaciones subsecuentes o
posteriores a una cierta aproximación dada", es necesario replantear esta idea en
términos de un esquema matemático, para lo cual usaremos intervalos, para
obtener la única pieza faltante de la conexión entre el trabajo desarrollado acerca
de nociones intuitivas de límite y la definición formal de ésta.
En el caso en que nuestras aproxunac10nes estén numeradas por los
números naturales; A ¡,A2,A3,A4, ..... AN, es evidente que "las subsecuentes" a la
quinta aproximación son de la sexta en adelante, "las subsecuentes" a la vigésima
son de la vigésima primera en adelante, en general "las subsecuentes" a la n-ésima
son de la n+ 1 en adelante. Esto lo podemos expresar en términos de intervalos de
números naturales de la manera siguiente:
- Las subsecuentes a A5 son aquellas que corresponden a los números
naturales pertenecientes al intervalo [ 6,infinito ).
- Las subsecuentes a A20 son aquellas que corresponden a los números
naturales pertenecientes al intervalo [21, infinito).
- Las subsecuentes a An son aquellas que corresponden a los números
naturales pertenecientes al intervalo [n+ 1, infinito).
99
Esto es, las subsecuentes a una cierta aproximación fina Ano son todas
aquellas aproximaciones correspondientes a los valores de la variable
independiente (en este caso n) que están entre no y el valor al cual tiende nuestra
variable independiente ( en este caso infinito).
Ahora consideremos el ejemplo 3 de la sección 1, en el cual nuestras
aproximaciones no están numeradas por los naturales, en este ejemplo a cada
punto X en la curva diferente de P le corresponde la Aproximación AX
(podríamos decir para este ejemplo que las aproximaciones están numeradas por
un continuo de puntos en una curva). Y es claro que si tenemos una aproximación
fija AXo todas las subsecuentes a éstas son las que corresponden a los puntos X
que están entre Xo y P. Esto es, los puntos que distan de P menos que Xo, no
nos interesa de que lado de P estén, sino simplemente cuál es su distancia a P. Ver
Figura 3 .4.2.
o----o~
p
Figura 3 .4.2
Concluyendo:
Las aproxnnac10nes subsecuentes a AXo son todas aquellas
correspondientes a los puntos X que estén a una distancia de P menor que la
distancia de Xo a P.
100
Como en cálculo usualmente nuestra variable independiente corre en los
reales, entonces las aproximaciones subsecuentes a la aproximación AXo serán
las correspondientes a los puntos o valores X pertenecientes al intervalo (P-D,
P+D) donde D es la distancia en la recta de Xo a P, esto es: IP-Xl<D (y
recordando que X tiene que ser diferente de P, tenemos que agregar la condición
0<IP-XI. Véase la figura 3.4.3.
(---------- 0-----D-----J
P..D p P+D
Figura J."1.J.
Observemos finalmente que esto equivale a decir que son las x, tales que
0<IP-Xl<D.
Igualmente en el ejemplo de la elipse todas las aproximaciones subsecuentes a
una aproximación An dada correspondiente a una longitud de lado In serán todas
aquéllas que correspondan a longitudes de lado del cuadrado perteneciente al
intervalo abierto (0,In).
De esta manera se obtiene la interpretación en términos de intervalos de la
noción de "todas las aproximaciones subsecuentes a una dada".
101
Así, tenemos todos los elementos para dar el paso último que consiste en
conectar nuestro trabajo previo con la definición formal.
3.5. DEFINICION DE LIMITE DE UNA FUNCION
3.5.1. NOCION INTUITIVA EN TERMINOS DE INTERVALO (DEFINICION FORMAL)
Ahora replanteamos nuestra noción intuitiva de límite en términos de
funciones e intervalos.
Retomando nuestra noción intuitiva de límite;
1) Un proceso infinito de aproximaciones sucesivas a un objeto o cantidad
última U tal que el margen de error puede ser fijado de antemano y para el cual se
puede encontrar una aproximación tal que ella y todas sus subsecuentes satisfagan
este margen de error dado o fijado.
En otros términos:
Llamando E al margen de error fijado de antemano, y P al valor al cual
"tiende" la variable independiente, nuestra noción intuitiva de limite nos asegura
que debe existir una aproximación que llamaremos AXo que satisfaga el margen
de error, esto es:
IU-Axol<E, pero también nuestra noción intuitiva de límite asegura que
todas las aproximaciones subsecuentes Axo deben satisfacer el margen de
102
error, o sea que para cualquier aproximación Ax con X tal que 0<IX-Pl<D
se debe IU-Axl<E donde D= distancia de P a Xo.
Finalmente usando el esquema de funciones:
Ax=f(x) y U=L, P=a, E=E, D=8
Podemos escribir que el límite de f(x) existe y es L cuando x tiende a a, s1
dado un margen de error E>0, existe una aproximación f(xo) (Existe 8=>1xo-al>0)
tal que ella y todas sus subsecuentes satisfacen el margen de error. Observemos
que tomando 8= IXo-al>0 todas las aproximaciones subsecuentes a f(x), son las
f(x) que corresponden a las x tales que 0<IX-al <8 por lo tanto:
Dado E>0, Existe 8 tal que lf(x)-Ll<E, para todas aquellas X tales que
0<IX-al<8.
¿No es ésta estrictamente la definición formal de Límite de una función?
3.5.2. INTERPRETACION DE LA DEFINICION EN TERMINOS DE LA RECTA REAL
Partiendo del hecho de que en cálculo consideramos funciones de R en R.
Interpretamos esta definición de términos de la recta real.
103
Observamos que la Epsilon y Delta que aparecen en la definición de límite
pueden ser interpretados en términos de la recta real, que determinan dos
intervalos, uno con centro en L y radio en E, y otro con centro en a y radio o, y
que el límite exista es equivalente a decir que para toda x en el intervalo (c>-a, a+o
) y x>a, se debe cumplir que f(x) pertenezca al intervalo (L-E, L+E), gráficamente:
o Las imágenes de ---
L L+i
x deben estar en este Intervalo
1-t-1-t-1
Figura.3.5.1.
Finalmente que para cualquier intervalo con centro en L y radio E>0 debe
existir un intervalo con centro en a y radio o>0 tal que cualquier en este último
intervalo con centro en a es enviado por la función al intervalo con centro en L.
f ([a-8,a+ó]-{a}) e [L-&,L+&]
104
Conclusión:
A partir de las ideas o nociones mas "vagas"· del estudiante acerca de la
idea de límite y de su relación con conocimientos previos de la pnrnana
hemos ido desarrollando una aproximación muy gradual y accesible y llena de
significados matemáticos cuyo último paso natural es la definición formal de
límite.
No se excluyen mutuamente los aspectos intuitivos y los formales sino el
aspecto formal es la última etapa (natural) de todo un desarrollo de fuerte carácter
intuitivo ( como lo ha sido en general durante el desarrollo histórico de las
Matemáticas).
Una advertencia pertinente en este momento es que dentro de este
desarrollo de alguna idea Matemática que va desde las nociones más intuitivas y
"vagas" hasta las versiones más formalizadas de esta idea no se pretende sugerir
que debe enseñarse íntegramente este desarrollo, sino más bien el profesor debe
adecuarlo a sus condiciones y propósitos, y en particular decidir hasta que punto
del desarrollo enseñar.
105
CAPITULO4
ELEMENTOS DE LA PROPUESTA DIDACTICA
En este capítulo se prentende plantear algunos elementos que deben ser
considerados para lograr el aprendizaje del tema, así como la correlación entre la
propuesta didáctica presentada para la enseñanza del concepto de límite de una
función y las consideraciones psicopedagógicas en las que se fundamenta.
Partiendo del hecho de que los principales protagonistas en el proceso de
enseñanza-aprendizaje son el profesor y el alumno, en esta propuesta se hace
mención a algunas características deseables de ambos.
4.1. PLANTEAMIENTO DIDACTICO
En esta parte se hará un análisis de lo que didácticamente se ha pretendido
lograr en cada una de las secciones de la propuesta para finalizar con un análisis
global de ésta.
En la primera sección del trabajo se sugiere primero mencionar el objetivo
del tema a tratar, así como su importancia, con ello se pretende estimular el
interés en el tema, de acuerdo a Hativa 1983 "Por lo general la motivación tiene
que ver con el uso futuro esperado, con las aplicaciones relacionadas, o con otros
factores relevantes para los alumnos".
Una vez identificados los objetivos de aprendizaje y la importancia del
tema se hacen preguntas con un nivel elevado de generalidad, conduciéndolos a
dar una idea global del tema, con la intención de identificar la información que
106
poseen del nusmo y utilizarla como puente para conectar la nueva
información.(Gagné, 1972, pág. 20)."Lo que suele descuidarse e inclusive pasarse
por alto en la mayoría de los prototipos de aprendizaje tradicionales es la
existencia de capacidades anteriores. Y son estas capacidades previas las que
tienen capital importancia ... al determinar las condiciones requeridas para el
aprendizaje subsiguientes ... "
Ya que el alumno tiene una idea global del tema, su relación con lo que
sabe y la meta a la que quiere llegar se le presentan situaciones más simples sobre
el tema por medio de una serie de ejemplos específicos, previamente
seleccionados ( algunos de ellos pueden ser sugeridos por el alumno en base a su
intuición o lo que conoce del tema).
Se trabaja con cada uno de ellos de manera intuitiva identificando sus
caractarísticas individuales, para al final de la primera sección pedirle al alumno
que distinga cuáles características son comunes a estos ejemplos. De esta manera
se está siendo explícito el método de enseñanza expositoria propuesto por
Ausubel, el cual exige una considerable interacción en el profesor y los alumnos,
además de presentar ejemplos en los que puedan figurar dibujos, gráficas e
imágenes donde se jerarquizan diferencias y semejanzas generales para dar lugar
a características generales.
"La naturaleza y las condiciones del aprendizaje significativo por
recepción activa también exigen un tipo de enseñanza expositiva que reconzca los
principios de diferenciación progresiva y de reconciliación integradora, que
107
caracterizan al aprendizaje, retención y organización del contenido de la materia
de estudio en la estructura congnoscitiva del alumno" (Ausubel, 1986, pág. 111).
Los ejemplos que se presentan en esta sección son esencialmente
geométricos, muy intuitivos y es precisamente detectando sus características
comunes como se da una primera definición intuitiva de la idea de limite.
Brunner recomienda que los profesores fomenten la curiosidad a través del
pensamiento intuitivo para que el alumno tenga la oportunidad de ir más allá de la
información proporcionada.
Por su parte Freudenthal ( 1981) considera como un buen inicio en el
aprendizaje los ejemplos intuitivos. "Los procesos de aprendizaje que son
observados deberían ser hechos conscientes al aprendedor para ser reforzados y
usados cuando sea necesario ... He observado que demasiados niños aplican reglas
intuitivamente antes de que éstas fueran verbalizadas y formalmente enseñadas en
la escuela. Más que haberles enseñado las reglas, lo que se les debería enseñar es
a argumentar sus intuiciones, reflexionando en lo que parece obvio".
En la sección 3 .2 se presenta un quinto ejemplo, para destacar las
características escenciales de la idea de limite, (no se presenta junto con los de la
sección 3 .1. por ser de naturaleza diferente, éste es una expansión decimal
infinita) en el proceso de aprendizaje.
1. Crear Expectativa. Es decir, activación de la motivación. Se le menciona al
alumno que la idea de límite que aparentemente es una noción exclusiva de
108
las matemáticas, no lo es ya que él de alguna manera ya ha tenido contacto
con ella desde la primaria ..
2. Informar al estudiante del objetivo. En esta sección no se hace explicito el
objetivo específico ya que se desea que al final de ésta el alumno sea capaz
de identificar por sí mismo de qué manera la noción de limite ha estado
inserta desde la primaria.
3. Orientación de la atención. Para orientar la atención del alumno se apoya de
lo que el alumno ya conoce. Ausubel ( 1986) "El factor más importante que
influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe". Aquí se recuerdan
algunas ideas básicas, como divisiones entre enteros con aproximaciones
decimales, cómo se leen este tipo de expresiones, se analizan las expansiones
decimales finitas e infinitas. Se hace una distinción entre ambos tipos de
expansiones decimales.
Se orienta la . atención hacia el análisis de las expans10nes decimales
infinitas como una suma infinita.
Se desarrolla lo que es un proceso de aproXImac10nes sucesivas y
aproximaciones que satisfacen un margen de error.
Establecer la relación con los ejemplos geométricos y la expansión
decimal.
109
Mediante esta idea es posible encauzar la atención del alumno hacia los
estímulos que penniten de una forma natural, detectar las características propias
de la noción de límite.
4. Estimulación del recuerdo:
En esta sección se sugiere estimular la recordación de situaciones
pertinentes a la primaria, así como las características obtenidas, en la primera
sección de este trabajo con relación a los ejemplos geométricos para poder
posteriormente relacionar dichas características con los obtenidos en esta sección.
Proporcionar orientación en el aprendizaje:
Se refiere a los eventos que integran una parte de la instrucción durante
esta etapa de aprendizaje. Estos eventos se diferencian en su énfasis, de acuerdo
con la clase particular de objetivo del aprendizaje que se intente alcanzar.
Al final de la presentación de la sección 3 .2. se pide al alumno que obtenga
las características de la expresión
1/3=3/10 + 3/102 + 3/103 + 3/104 + ...
donde el profesor ya le ha proporcionado una cantidad mínima de orientación, se
espera que en esta parte el estudiante realice sus propias diferenciaciones, al
identificar dichas características, es conveniente que se enuncien en forma de
listado con el propósito de garantizar una forma de codificación que capacite al
110
alumno para recuperar más tarde lo que ha aprendido y exhibirlo como algún tipo
de actuación.
En la sección 3 .3 marca claramente su objetivo específico, el cual consiste
en retomar los ejemplos analizados en las secciones anteriores para expresarlos
en términos de función. Para esto es necesario recordar lo que es una función,
variable independiente y variable dependiente, y se plantea cada uno de los
ejemplos analizados en términos de función para dar la definición intuitiva de
límite de una función.
Se hace uso de los conocimientos previos obtenidos en las secciones
anteriores y de los elementos esenciales de funciones para orientar al alumno a
expresar los ejemplos planteados en términos de función. "El fomento de la
transferencia se produce mediante la instrucción que proporciona nuevas tareas al
estudiante, espaciadas en tiempo, y que exigen el uso de aquello que se ha
aprendido con anterioridad" (Gagné 1975, pág. 131).
En la última parte de la sección 3 .3. así como en la sección 3 .4 se explican
algunas características de la idea de limite como son: el margen de error, la
exclusión de un valor para la variable independiente, la interpretación matemática
de las aproximaciones subsecuentes a una dada y una interpretación matemática
en términos de intervalo de la característica anterior. Esto se hace con la finalidad
de tener todas las piezas necesarias para expresar la definición de limite de una
función, y así dicha definición adquiera un significado para el estudiante. "La
importancia de plantear la secuencia de aprendizaje radica principalmente en que:
hace posible que se eviten los errores que surgen de saltarse pasos esenciales en
111
la adquisición del conocimiento de una área de estudio determinado ( Gagné,
1965, pág. 173)
Análisis global:
A lo largo de todo el proceso de presentación de este trabajo se parte de
situaciones muy familiares para el alumno para luego dar un esquema
matemático.
"La perspectiva correcta está del medio ambiente hacia las matemáticas
más que en la otra dirección. No primero matemáticas y despues regreso al
mundo real, sino el mundo real y despues la matematización. ¿El mundo real?
¿Qué significa esto? Perdonen esta expresión descuidada. Al enseñar la
matización "el mundo real" está representado por un contexto pleno de
significados envolviendo un problema matemático. "Pleno de significados" por
supuesto indica: pleno de significado para los aprendedores. Las matemáticas
deberían ser enseñadas dentro de contextos y a mí me gustaría que las
matemáticas más abstractas fueran enseñadas dentro de los contextos más
concretos". (Freudenthal, 1981 ).
Por su parte Brunner afirma "que las estructuras matemáticas se pueden ir
formando en la mente de los estudiantes a base de proporcionarles experiencias
que les permitan desarrollar representaciones icónicas y simbólicas de los
conceptos, en ese orden. Se plantea la incógnita de que estas representaciones
mentales sean las formas o modos en que se recuerden las experiencias de
aprendizaje y en último extremo, los conceptos." (R. Resnick, 1990, pág. 164).
112
En base a lo anterior, esta presentación va de lo particular a lo general, de
lo más intuitivo a lo menos intuitivo, de lo coloquial a lo formal.
Con esta propuesta se intenta poner bases significativas para ideas
fundamentales posteriores del Cálculo como son las ideas de derivada e integral
cuyos elementos escenciales se encuentran de manera explicita en los ejemplos 3
y 4 de la sección 3.1. Gagné (1975, pág. 128) sostiene que "Resulta esencial que
se incluyan los ejemplos de situaciones, con las que se encontrará posteriormente
el estudiante y que se convierten en fuentes de indicaciones para la
recuperación."
En la última sección de la propuesta se presenta la definición formal de
limite de una función, como resultado de la integración de todos los elementos
analizados, buscando que la definición se desarrolle de una forma natural, tanto
en la presentación en el aula como en la mente del alumno.
4.2. CARACTERISTICAS DEL PROFESOR
El profesor es parte esencial e integral dentro del proceso de enseñanza
aprendizaje, ya que tiene como actividad preponderante propiciar en sus alumnos
el conocimiento de los contenidos curriculares de los programas de estudio.
Por esto, es deseable que el profesor tenga un alto grado de compromiso
personal con el desarrollo intelectual propio y de sus alumnos.
Ausubel 1986, pág. 430 menciona, "Quizá la característica de personalidad
más importante de los profesores, que influyen en su eficiencia, consiste en el
113
grado de su compromiso personal con el desarrollo intelectual de los alumnos ...
este factor determina en gran parte que invierta o no los esfuerzos necesarios para
enseñar, buscando elementos reales en el desenvolvimiento intelectual de los
alumnos, o que se limite a realizar las actividades formales de la enseñanza ... "
La característica principal del profesor desde el punto de vista de la autora
para esta propuesta didáctica es la disposición e interés y grado de compromiso
que el profesor adquiere para mejorar su práctica docente.
Otro aspecto que debe ser considerado es el nivel de competitividad en los
contenidos programáticos de los cursos que imparte.
"Es evidente que un profesor no puede suministrar retroalimentación
adecuada a los estudiantes ni esclarecer ambigüedades y falsos conceptos a
menos que tenga un conocimiento significativo y propiamente organizado del
tema que enseña" (Ausubel, 1986, pág 933)
Finalmente, independientemente de su grado de competencia en este
aspecto, debe ser capaz de presentar y organizar con claridad el material de
estudio, de explicar lúcida y persistentemente las ideas manipulando con eficacia
las variables importantes que afectan al aprendizaje.
Según Hativa ( 1986) si el material es presentado de manera clara y
organizado hace posible que dicho material sea fácil de seguir, comprender y
recordar. De esta forma una característica necesaria del profesor es la habilidad
para organizar y presentar su material. "El profesor eficiente logra estructurar el
material, estimulando los intereses del alumno con relación al tema y
114
proporcionando un ayuda al alwnno tanto oral como visual. Para ayudar en la
comprensión y asimilación del nuevo material, el profesor debe relacionarlo con
los conocimientos previos ... también debe ayudar al alwnno a retener el material
enseñado, identificando lo que debe recordar con estrategias que lo enfaticen y
resuman".
El trabajo de seleccionar, organizar, presentar y traducir el contenido de la
materia de estudio de manera que se adecúe a la etapa de desarrollo de que se
trate, exige mucho más que una lista mecánica de hechos. Cuando se hace con
propiedad, es el verdadero trabajo de un profesor.
Sin embargo, "Los estilos de enseñanza varían, en primer lugar, porque
varían también las personalidades de los profesores, lo que rinde buenos
resultados para un maestro puede ser completamente ineficaz para otro; por
consiguiente, el profesor debiera adaptar su estilo de enseñanza a las fuerzas y
debilidades de sus antecedentes, de su personalidad y de su
preparación".(Ausubel, 1986 pág. 437)
En base a lo anterior esta propuesta didáctica puede ser llevada al aula bajo
el estilo de enseñanza que cada profesor le resulte más adecuada, de acuerdo a su
personalidad, experiencia y así como las necesidades y características de sus
alumnos.
4.3. CARACTERISTICAS DEL ALUMNO
Una persona joven estará lista para aprender algo cuando haya logrado una
suficiente maduración fisiológica y tenga amplias bases de experiencia que no
115
sólo le permitan, sino que además le den el deseo de aprender. Así por ejemplo
un niño de 4 meses es fisiológicamente imposible que aprenda a caminar.
Ausubel sostiene que la disposición en relación con el desarrollo están en
función de la madurez cognoscitiva general. Esta, a su vez, refleja en gran parte
diferencias de nivel de edad, relativas a la capacidad intelectual o estado de
desarrollo intelectual.
"La edad en que los niños pueden aprender una tarea intelectual dada no
es, después de todo absoluta, sino siempre relativa, en parte, al método de
enseñanza empleado (Ausubel 1989 pág. 194).
Con un enfoque intuitivo es posible enseñar al niño de primaria con buenos
resultados, muchas ideas de ciencia y matemáticas que anteriormente se
consideraban demasiado dificiles.
Hay que cuidar que el alumno que va a aprender posea la madurez
adecuada para que dicho tema y con ello disminuir el riesgo de fracaso ya que el
tiempo y esfuerzo excesivos empleados en muchos casos prematuros de tal clase
de aprendizaje, desarrollan un antagonismo mental en contra del tema, que hace
que le resulte demasiado dificil aprender a cualquier edad.
Por tanto es importante destacar las características de tipo académicas,
información verbal, habilidades intelectuales, estrategias cognoscitivas y de
actitud que son deseables en el alumno para abordar el estudio de límite de una
función.
116
En el aspecto de antecedentes académicos, es indispensable que el alumno
haya aprobado los cursos de nivel medio superior como: Algebra, Trigonometría
y Geometría Analítica.
En cuanto al aspecto de antecedentes de tipos de información verbal, es
deseable que los términos como: polígono regular, recta tangente, recta secante,
subdivisión, función, intervalo entre otras tengan el significado adecuado en la
mente del alumno.
En relación con los antecedentes del tipo de habilidades intelectuales,
referidas como los conocimientos previos de cierta información, es necesario que
el alumno conozca las reglas generales del álgebra y las desigualdades.
En el aspecto de antecedentes del tipo de estrategias cognoscitivas, es
necesario que el alumno posea un repertorio de estrategias por resolver problemas
algebraicos, y de desigualdades.
En cuanto a los antecedentes de tipo actitudinal, es deseable que el alumno
haya adquirido la actitud e interés por las matemáticas.
"El talento se desarrolla a partir de un sentimiento de amor por el trabajo.
Así una persona que está interesada en las Matemáticas, estará inclinada a
estudiarlas; esa persona practicará con energía, desarrollará sus actitudes y
adquirirá destrezas y hábitos apropiados". (Krutelskii, U.A. 1962).
El profesor debe diseñar estrategias para verificar si el alumno cumple con
los requisitos antes mencionados.
117
CAPITULO5
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Al realizar este trabajo la autora ha llegado a las siguientes conclusiones:
Es indispensable utilizar procedimientos dinámicos y flexibles que
pennitan la autoreflexión, el análisis y la transferencia que le permitan al
estudiante regular su propio aprendizaje.
Aún cuando la efectividad de la propuesta no ha sido comprobada, se
considera que está sólidamente fundamentada en relación con el tipo de
investigación utilizada y a sus consideraciones didácticas y a los antecedentes que
lo enmarcan ..
No se excluyen mutuamente los aspectos intuitivos y los formales, sino el
aspecto formal es la última etapa natural de todo un desarrollo de fuerte carácter
intuitivo ( como lo ha sido en general durante el desarrollo histórico de las
matemáticas).
Esta propuesta resuelve el problema u obstáculo didáctico muy señalado
por los profesores de matemáticas e investigadores de educación matemática, el
cual consiste; Para el estudiante la definición de limite está al revés, ya que el
orden de la definición de límite que él espera en base a los comentarios intuitivos
que se le han hecho, es inverso al que tiene la definición. Esto es, sobre bases
intuitivas el movimiento primario es el de la variable independiente y el
movimiento secundario o consecuente es el de la variable dependiente y en la
118
definición aparece primero la épsilon que es el control del movimiento secundario
y en función de esta debe existir una delta que es el control del movimiento
prunano.
Prepara y pone bases significativas para ideas fundamentales posteriores
del cálculo, como son:
* El ejemplo de la recta tangente a la circunferencia como limite de las rectas
secantes, posteriormente se conecta a la interpretación geométrica de la
derivada como pendiente de la recta tangente a la curva.
* La aproximación al área de la elipse por medio de área de mallas de
rectángulos posteriormente se liga a la interpretación de la integral doble en
regiones del plano. De hecho da los elementos esenciales para la interpretación
geométrica de la integral definida como el área bajo la curva.
* En el ejemplo de un tercio, hay un primer manejo específico y con fuerte
significado para el estudiante de una serie infinita.
* La expresión de la definición de límite de una función en términos de
intervalo proporciona una interpretación accesible y con significado para el
estudiante que puede ser usada a nivel intuitivo en momentos posteriores del
curso de cálculo.
Entre las cuestiones que desde el punto de vista de la autora, requieren
especial observación y análisis, cuando se ponga en práctica la guia estan los
referentes a:
119
*Que la variedad y tipo de los 4 ejemplos que se presentan inicialmente, deba
ser modificada de acuerdo al nivel de preparación de los estudiantes, a
necesidades del desarrollo del entendimiento y otros factores circunstanciales
que sólo en la práctica aparecen.
*Darle mayor fundamentación intuitiva a la necesidad de acercarse al valor de
la variable independiente por ambos lados de la recta númerica.
Este trabajo de mnguna manera pretende ser exhaustivo, completo, e
inf exible, de hecho cualquier maestro con experiencia sabe que cada propuesta
didáctica tendrá que recibir cambios, ajustes y mejoras de acuerdo alas
condiciones específicas en las que es llevada a la práctica.
RECOMENDACIONES
Debido que es un material con un avance muy gradual se recomienda darle
una copia de la guía al estudiante tanto para acortar el tiempo en verla como para
mejorar el entendimiento del estudiante y enriquecer las posibilidades en la clase.
Se recomienda que para situaciones análogas a este caso, donde es
necesario enseñar una definición formal muy elaborada que parezca inaccesible
para el estudiante se explore la elaboración de una propuesta didáctica semejante
a la aquí presentada.
120
6. NOTAS.
1).- El que este contacto haya sido pobre o escaso se debe a diferencia de la
enseñanza de las Matemáticas que a una imposibilidad didáctica Matemática
para enriquecerlo.
2).- Recordemos que en aquellas divisiones que nunca terminan tienen una
característica muy especial, la cual consiste en que a partir de un cierto
momento el resultado del algoritmo es cíclico, esto es, cierta parte se repite
indefinidamente, y ésta parte ( mínima ) que se repite indefinidamente es
llamada el periodo de la expresión decimal infinita. Así 1/3= 0.3333333 ..... su
periodo es 3. Y en la expresión 14.5382121212121... el periodo es 21.
3).-Otros ejemplos de expresiones decimales infinitos como 1/6, 2/3, se pueden
concluir lo mismo que para 1/3, se deja al estudiante que lo verifique.
4).-Se considera el valor absoluto porque lo único que nos interesa es qué tan
distante está la aproximación del valor límite, y no si esta aproximación está a
la izquierda o a la derecha del valor límite.
121
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VITAE
Marlene de la Torre Vargas nació en Monte Escobedo, Zacatecas, México,
el 1 de enero de 1966. Es hija de Refugio Vargas y Luis de la Torre. Se recibió de
bachiller en la Escuela Preparatoria No. 2 de la Universidad Autónoma de
Zacatecas en 1983. Ingresó a la Universidad donde en 1988 obtuvo el título de
Ingeniero Químico con especialidad en Alimentos. Durante los 2 años siguientes
trabajó como maestra de Matemáticas y Química en el Colegio de Bachilleres y
Conalep de la misma ciudad. Desde el año de 1990 hasta el año de 1991 trabajó
como maestra auxiliar en el ITESM Campus Zacatecas. Desde el año de 1991
hasta el presente ha trabajado como profesora de planta del Instituto Tecnológico
y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Zacatecas.
En 1990 ingresó al I.T.E.S.M. Campus Eugenio Garza Sada, para optar por
el título de Maestra en Educación con especialidad en Matemáticas. Recibió el
título correspondiente en Enero de 1994.
Dirección Permanente:
J. Andrew Almazan No. 120
Fracc. Barcos Sierra
C.P.98000
Zacatecas, Zac. México.
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