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1
Un percorso per la ricostruzione
della
relazione con la matematica(*) Parte prima
Manuela Moscucci
Dipartimento di Scienze Matematiche e Informatiche
’R. Magari’ – Università degli Studi di Siena
Abstract .
I sistemi di convinzioni, correlati alla matematica, rivestono un
ruolo fondamentale nella qualità dell’apprendimento della
disciplina e, in generale, nella qualità della ‘relazione’ che una
persona instaura con la disciplina.
Nella prima parte del presente lavoro viene considerata
l’opportunità di ristrutturare tale relazione prima di iniziare
qualunque percorso di insegnamento/ apprendimento riguardante
la matematica o l’educazione matematica.
Nella seconda parte viene presentato un percorso didattico
finalizzato alla ristrutturazione della relazione di una persona con
la matematica, incentrato sull’acquisizione della consapevolezza di
alcuni sistemi di convinzioni e sulla rielaborazione di convinzioni
fondamentali.
Belief systems, regarding mathematics, have great importance for
the quality of the learning of mathematics and, in general, for the
quality of the ‘relationship’ that a person establishes with
mathematics.
The first part of the paper deals with the opportunity of
restructuring such relationship before any teaching/learning
activity concerning mathematics or mathematics education.
In the second part the author presents a pattern of activities aimed
at restructuring such relationship, which is founded on acquiring
awareness of some belief systems and on reworking some
important beliefs. *Pubblicato su “L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate”, 2008.
2
Introduzione
“Io non sono portata per la matematica ed è inutile che mi ci
impegni”. Questa è l’affermazione di Elisa1, una quattordicenne
che non va molto d’accordo con la matematica, anzi diciamo pure
che Elisa desidererebbe il divorzio dalla matematica, ma l’obbligo
scolastico non glielo consente ed allora lei ha optato per la
separazione in casa, pardon a scuola. Elisa esprime in questo modo
la sua rassegnazione ad uno stato di fatto sul quale la ragazza crede
di non avere alcun potere di intervento. Lei è costretta a sopportare
la presenza scomoda di questa disciplina per tre ore alla settimana.
Ma non è stato sempre così. Nei primi anni della scuola elementare
Elisa si divertiva a fare matematica ed otteneva sempre buoni voti.
“La mia maestra ci portava sempre un gioco nuovo da fare quando
si faceva matematica”. A quarta elementare avvenne il primo
litigio: “...la maestra spiegò le frazioni…sembrava che tutto fosse
divertente… torte da tagliare, tavolette di cioccolata da dividere,
poi…ma non mi ricordo quando, si cominciarono a fare le
operazioni con le frazioni e da allora non c’ho capito più niente”.
La relazione tra Elisa e la matematica è andata avanti per altri
quattro anni senza grossi scossoni, ma senza alcun entusiasmo. La
rottura è avvenuta in terza media. “Non bastava la matematica a
rompere, l’anno scorso [ndr: terza media] si cominciò a fare anche
algebra…e, come dice la parola, non si capisce niente!”
La relazione inizia adesso ad essere fonte di sofferenza per la
ragazza, soprattutto perché Elisa dice di non essere tagliata per lo
studio in generale, di non essere abbastanza dotata ; per questo
motivo, Elisa ha deciso di proseguire gli studi in una scuola dove
“…si studia poco… e, soprattutto, c’è poca matematica”. La
riflessione sulla scelta della scuola ha condotto Elisa a pensare che
forse anche nelle scelte successive, e nelle opportunità di lavoro,
1. Il nome è di fantasia.
3
questo fattore dovrà essere preso in considerazione, ma, è stato un
pensiero fugace… a quattordici anni ciò che avverrà tra cinque anni
sembra lontano anni luce!
Torniamo all’affermazione di Elisa sulla sua predisposizione allo
studio della matematica.
Molte sono le considerazioni che potremmo fare di fronte a questa
frase, ma limitiamoci, per il momento, a due.
La prima è che la frase di Elisa può essere interpretata da un
insegnante attento e sensibile al problema delle convinzioni sulla
matematica dei propri studenti, come un indizio del fatto che la
ragazza cerca di giustificare la scarsa qualità delle sue competenze
in matematica, attribuendo le sue carenze ad un fattore fuori dal suo
controllo. Questa convinzione è senz’altro rovinosa, perché è
spesso accompagnata da un debole impegno nelle attività della
disciplina. La seconda è che tale affermazione rispecchia
manifestamente luoghi comuni, molto diffusi nella nostra società
che riguardano questa materia: ‘per riuscire in matematica occorre
essere dotati di una particolare predisposizione’, ‘la predisposizione
all’apprendimento della matematica ha carattere familiare’, ‘i
margini di intervento per modificare la propria disposizione
all’apprendimento della matematica sono ridotti’.
Circa la relazione di Elisa con la matematica possiamo dire che
essa ha avuto una evoluzione esemplare: molti ragazzi hanno,
purtroppo, storie simili.
Ma che cosa si intende con relazione con la matematica? E quando
una relazione è positiva? Perché si instaura una relazione non
positiva? E soprattutto, è possibile intervenire per ricostruire un
legame positivo con la matematica? Chi può intervenire? Chi deve
intervenire? Quando intervenire? Come intervenire?
Questo lavoro si propone, a partire da ipotesi di risposte alle
domande precedenti, di descrivere un percorso di ristrutturazione
della relazione di una persona con la matematica, sia che la persona
sia uno studente, sia un futuro insegnante di matematica, sia un
insegnante di matematica in servizio.
4
La relazione con la matematica Durante i molti anni di lavoro con studenti di tutte le età definiti ‘in
difficoltà’ dai loro insegnanti di matematica è emerso che essi
manifestano la tendenza a personificare la matematica. Questo dato
è sostenuto non solo dai disegni sulla matematica (esempi di
rappresentazione incontrati sono una vecchia strega, una anziana e
arcigna signora vestita di nero, addirittura una donna impiccata)2,
ma soprattutto dalle interviste, dai questionari e da ‘temi’ sulla
matematica, nei quali spesso gli studenti si sono riferiti alla
matematica come ci si riferisce ad una persona (“Lei mi perseguita
da tanti anni…”, “Lei è un’ossessione”, “E’ cattiva e malvagia”,
“E’ una strega”). Peraltro, la tendenza alla personificazione della
matematica non è esclusiva degli studenti ‘in difficoltà’. Infatti,
anche studenti senza problemi di profitto in matematica –tra questi,
pure studenti di Scuole di Specializzazione per l’insegnamento
superiore, ovvero futuri insegnanti- spesso hanno parlato della
matematica come di una persona: “Io sono sempre andato
d’accordo con la matematica”, “Lei, per me, ha sempre avuto un
fascino irresistibile”, “Lei non mi ha mai tradito”.
Dall’osservazione della particolarità di certe espressioni sulla
matematica, è nata l’idea di trattare il legame di una persona con la
matematica come una relazione ‘interpersonale’, cioè tra persone,
una relazione, in questo caso, tra la persona stessa e la ‘persona
immaginaria’ matematica. In questa ottica, parliamo di ‘qualità’
della relazione, in analogia a quanto avviene per le relazioni
interpersonali ed abbiamo cercato di mettere a punto una
2. Si noti che di fronte a simili rappresentazioni, alla richiesta , agli stessi studenti, di
rappresentare altre discipline quali Lettere o Scienze, si avevano raffigurazioni non
personificate, del tipo una pila di libri per Lettere, un alambicco per Scienze o altre
simili.
5
metodologia di ricostruzione/ristrutturazione3 della relazione,
ispirandoci a tecniche di rielaborazione psicologica.
Innanzitutto, precisiamo quando riteniamo che una relazione con la
matematica sia di buona qualità, ovvero che sia proficua per la
persona: diciamo che la relazione di una persona con la
matematica è ‘positiva’ se consente alla persona di fruire della
disciplina come mezzo per la promozione delle potenzialità
della persona stessa. Una disciplina acquista questo ruolo se non è
intesa solo come ‘fine’, ovvero come ‘bagaglio di conoscenze da
acquisire’ e come ambiente nel quale esercitare le proprie capacità
e abilità, ma è utilizzata nella sua complessità e nei suoi vari ambiti
esperenziali in modo da consentire alla persona di mettere in gioco
le proprie potenzialità, corroborarle, trasformarle in altre o
consentire ad altre di emergere: potremmo, forse, dire che
intendiamo la disciplina come ‘mezzo’, come una ‘palestra’, nella
quale si pratica ‘ginnastica mentale’. Per quanto concerne la
disciplina matematica, l’ambito di eccellenza che si configura come
‘palestra’ è quello nel quale si lavora intorno a situazioni
problematiche o a problemi: non solo problem solving, ma anche
problem posing, talking, finding4. Possono essere problemi che
riguardano aritmetica, algebra, geometria, per esempio, ma anche
cosiddetti ‘problemi di logica’, ovvero problemi che non trattano
oggetti o argomenti di matematica scolastica (né, ovviamente, di
matematica ‘superiore’!) e nemmeno richiedono strumenti
specifici della matematica per essere risolti.
Una prima conseguenza della definizione data di relazione positiva
è che una tale relazione non può sussistere contemporaneamente a
stati emozionali negativi -ansia, paura, frustrazione, senso di
inadeguatezza,…- perché in presenza di tali stati d’animo la
3. Parleremo indifferentemente di “ricostruire” o “ristrutturare”. In realtà, si tratta di una
“ricostruzione” nei casi nei quali la relazione ha una connotazione decisamente negativa,
e, più semplicemente, di una “ristrutturazione” in tutti gli altri casi.
4. .Per una definizione intuitiva, si può consultare il seguente indirizzo web:
http://it.wikipedia.org/wiki/Problem_finding
6
persona non è in grado di fruire pienamente delle proprie risorse
cognitive. E’ il caso di relazioni che sono fonte di disagio
psicologico o addirittura motivo di sofferenza: lo studente può
rispondere in modi diversi, più attivi e reattivi o più dimessi e
soccombenti, ma in tutti i casi il risultato è che egli non è in grado
di utilizzare né le proprie risorse, né la forza propulsiva che le
attività matematiche possono produrre sullo sviluppo della
persona.
Quindi, sono da considerarsi ‘non positive’ tutte le relazioni
accompagnate da qualunque tipo di disagio riconducibile in
qualche modo al rapporto tra la persona e la disciplina.
Una seconda conseguenza della definizione è che la qualità della
relazione è correlata anche alla visione della matematica: per
esempio, chi ‘vede’ la matematica solo come calcolo e come
insieme di regole da imparare a memoria ha stabilito una relazione
non con la matematica nel suo complesso e, pertanto, ha una
relazione con la disciplina che non può essere definita positiva.
Purtroppo, tale visione distorta della matematica è molto diffusa
non solo tra gli studenti, ma anche tra insegnanti di matematica in
servizio o in formazione, quasi sempre con un curriculum di studi
non specifico in matematica, per esempio, insegnanti di scuola
primaria o secondaria con laurea non in matematica.
L’esperienza maturata con studenti di scuole secondarie di primo e
secondo grado definiti dai loro insegnanti ‘in difficoltà’, con
studenti universitari, con insegnanti in servizio o in formazione ci
ha indotto a ritenere che in tutti i casi, nei quali una persona,
senza una cultura specifica nella disciplina, debba o intenda,
per qualunque motivo, interagire con la matematica è
opportuno provvedere alla ricostruzione/ristrutturazione della
sua relazione con la disciplina. Il lavoro di ristrutturazione,
infatti, si è dimostrato utile, per gli studenti, ad uscire dallo stato di
difficoltà, per gli insegnanti, ad acquisire consapevolezza
dell’importanza e delle implicazioni del proprio ruolo.
7
E’ necessario, prima di tutto, analizzare il rapporto tra qualità della
relazione con la matematica e ‘difficoltà in matematica’.
Nella scuola, solitamente, è definito in difficoltà uno studente che
ha un profitto insufficiente in matematica prolungato nel tempo e
non limitato a episodi isolati. In questo contesto, diciamo che uno
studente con tale tipo di difficoltà è in difficoltà scolastica in
matematica.
Mentre, definiamo uno studente, e in generale una persona, in
difficoltà in matematica se ha una relazione non positiva con la
matematica e, nel caso di uno studente, indipendentemente dal
suo profitto scolastico. Il legame tra qualità non positiva della relazione con la matematica
e difficoltà scolastica nella disciplina, ovvero profitto
insufficiente5, appare complesso.
Infatti, per esempio, al contrario di quanto ci si potrebbe
ragionevolmente aspettare, le difficoltà scolastiche in matematica
non sono accompagnate nella totalità dei casi da una relazione non
positiva con la matematica: tra i futuri insegnanti di matematica
che, in base a interviste effettuate, hanno sempre avuto una
relazione positiva con la disciplina, ne abbiamo trovati alcuni che
hanno attraversato periodi, anche lunghi, di ‘rendimento
scolastico’ insufficiente. Si tratta senz’altro di casi rari e dalla loro
analisi risulta che la qualità della relazione era talmente buona che
il legame ha resistito anche a prove protratte nel tempo e difficili
da superare. In quei casi, il profitto insufficiente, cioè la difficoltà
scolastica in matematica, era forse imputabile ad una relazione non
positiva con la matematica non degli allievi, ma dei loro insegnanti.
Ci sono poi studenti che hanno un buon profitto, a volte anche
ottimo, ma che non hanno una relazione positiva con la
matematica. Per esempio, ciò si verifica quando uno studente ha
instaurato un legame, spesso scolasticamente proficuo, non con la
5. Parleremo indifferentemente di difficoltà scolastica in matematica o di profitto
insufficiente in matematica, intendendo quest’ultimo, secondo la definizione di difficoltà
scolastica, non episodico e protratto nel tempo.
8
matematica, ma con il calcolo aritmetico-algebrico, anzi con la
manipolazione aritmetico-algebrica, che egli identifica con la
matematica. Quanto spesso è capitato di sentire uno studente che
dice: “Professoressa, domani portiamo geometria o matematica?6!
Questo tipo di relazione, come abbiamo sottolineato in precedenza,
secondo la definizione data, non è positivo, anche se è un legame
che non suscita sentimenti di disagio.
L’analisi dei casi di studenti con profitto insufficiente non dimostra
che la relazione non positiva si struttura necessariamente dopo un
periodo o durante un periodo di profitto insufficiente, come
sembrerebbe naturale dedurre, ma può, seppure raramente,
accadere l’inverso. E’ questo il caso, per fare un esempio, di una
ragazza che aveva strutturato una relazione non positiva con la
matematica a causa di un rapporto molto conflittuale con
l’insegnante della scuola elementare, anche se in tale periodo aveva
sempre ottenuto un buon profitto scolastico. In prima superiore la
ragazza ha raccontato che, alla scuola media, aveva abbandonato
completamente lo studio della disciplina, spiegando che “la
matematica fa perdere il cervello a chi ci si confonde troppo”, e ha
iniziato, da allora, ad avere pessimi voti di profitto. Nel lavoro
sulle difficoltà in matematica abbiamo incontrato molti ragazzi con
relazioni non positive con la matematica con storie simili alla
precedente che ci hanno indotto a formulare l’ipotesi che un fattore
determinante per la qualità della relazione di uno studente con la
matematica sia la qualità della relazione degli insegnanti di
matematica incontrati dagli studenti durante la loro storia. Possono
essere influenti anche la qualità della relazione di altre persone
conosciute dai ragazzi, come genitori, fratelli, parenti in genere o
amici, ma certamente gli insegnanti, secondo la nostra esperienza,
sono le persone ‘fisiologicamente’ implicate nella costruzione della
relazione e, quindi, nella sua qualità.
6. Esistono anche siti internet di ‘aiuto’ agli studenti che nella loro offerta includono
‘Matematica e Geometria’! (Es.www.lagirandola.it/lg_directory.asp?Cat=8)
9
Il caso, comunque, più diffuso, per quanto riguarda il legame tra
relazione ‘non positiva’ con la matematica e ‘difficoltà scolastiche’
nella disciplina, è senz’altro quello di studenti con profitto
insufficiente e con relazione non positiva con la matematica.
Il problema delle difficoltà scolastiche in matematica merita
particolare attenzione in ragione della sua diffusione e delle
implicazioni sociali che può avere. La difficoltà scolastica in
matematica può rappresentare una discriminante sociale. Per averne
un’idea, si possono distinguere varie tipologie di ragazzi con tale
problema:
ragazzi che compensano questa carenza con un buon
profitto nelle altre materie o discipline e che orientano, con
soddisfazione, in campo umanistico le loro scelte, prima
scolastiche e poi universitarie
ragazzi con interessi quasi esclusivi nel settore tecnico-
scientifico e con un sostegno forte da parte della famiglia,
sostegno in grado di fornire l’aiuto adeguato ad affrontare
le difficoltà incontrate nel percorso scolastico e a
rimuovere gli ostacoli al proseguimento degli studi
ragazzi con interessi quasi esclusivi nel settore tecnico-
scientifico senza un sostegno da parte della famiglia, tale
da consentire loro di affrontare e superare le difficoltà.
Sono questi ultimi, ovviamente, i soggetti destinati a subire le più
gravi conseguenze dall’avere questo tipo di problema scolastico.
Solitamente, infatti, la loro vita scolastica è fortemente
condizionata da questo fattore. Può verificarsi in certi casi
addirittura che essi rinuncino all’iscrizione a certi tipi di scuola
secondaria con programmi di matematica da loro ritenuti troppo
impegnativi. Nei casi estremi, le difficoltà scolastiche in
matematica possono addirittura costituire un fattore endogeno di
dispersione scolastica (Moscucci et al., 2005), cioè una causa di
dispersione interna alla istituzione scolastica stessa.
10
In tempi successivi, il problema delle difficoltà scolastiche in
matematica può avere ripercussioni sulla scelta del corso di laurea.
Certamente questo problema non è l’unica causa della forte
graduale diminuzione, registrata negli anni, delle iscrizioni ai corsi
di laurea di tipo scientifico. E’ ragionevole ritenere, comunque, che
ne sia una concausa e come tale occorre predisporre ogni misura
conosciuta per contrastare l’insorgere e il consolidarsi del
problema, fin dalle fasi iniziali.
Molti sono gli studi sulle difficoltà scolastiche in matematica nei
quali si analizzano qualità, grado, genesi delle difficoltà. Tali studi
si collocano nell’ambito della ricerca scientifica sull’affettività in
matematica e oggi sono disponibili anche testi monografici sul
tema (Zan, 2007).
Gli insegnanti possono trovare in queste opere una ricchezza di
stimoli alla riflessione, una occasione di acquisizione di strumenti
per l’interpretazione delle condotte scolastiche degli studenti e un
sostegno nella ricerca di mezzi operativi per contrastare le
situazioni più deteriorate. Tuttavia, è carente, nella letteratura
specializzata sull’affettività in matematica, l’offerta di strumenti di
intervento specifico, semplicemente e direttamente utilizzabili dagli
insegnanti per intraprendere azioni finalizzate al superamento delle
difficoltà scolastiche. D’altra parte sono proprio gli insegnanti che
si trovano nella pratica a dover affrontare il problema delle
difficoltà scolastiche.
Nella nostra esperienza di lavoro con studenti in difficoltà
scolastica in matematica abbiamo potuto osservare che un lavoro di
ristrutturazione della relazione con la matematica può assumere un
ruolo importante anche nel superamento delle difficoltà scolastiche.
Questo ci consente anche di chiarire la questione della diagnosi
della qualità della relazione con la matematica. Infatti, il compito
dell’insegnante non è tanto quello di ‘produrre un’analisi della
relazione’, ma di predisporre strumenti di autoanalisi che si
evolvono in strumenti di ricostruzione o di ristrutturazione. In
realtà, a fronte di non pochi casi di relazioni veramente disastrate,
11
nelle quali è necessario un intervento di totale ricostruzione, è
frequentissimo il caso di relazioni che richiedono solo un
intervento di ristrutturazione.
Ecco che allora una attività che conduca ad una riflessione anche
sulla matematica, come disciplina, e sul suo ruolo educativo, è non
solo un arricchimento culturale, ma anche un apporto cospicuo alla
costruzione di significatività dello studio della matematica, un
contributo al quale attingere per sostenere la motivazione
all’impegno nel lavoro.
Molti insegnanti affrontano tali temi nel corso del loro lavoro in
classe, ma molto spesso in modo casuale, in intervalli tra un’attività
e l’altra, senza attribuire a tali ‘intermezzi’ la dignità di lavoro
scolastico. E’ necessario, invece, riconoscere appieno la valenza
educativa di tale lavoro e conferire ad esso un ruolo ben definito
all’interno di una struttura organica.
Il lavoro qui presentato va proprio in questa direzione e intende
venire incontro alla necessità degli insegnanti di avere a
disposizione uno strumento operativo di facile gestione, da inserire
nella prassi didattica, che consenta loro di intervenire per
ristrutturare la relazione dei loro studenti con la matematica.
Dal contesto teorico alla pratica didattica
L’affettività di una persona verso la matematica viene descritta e
analizzata, fin dai primi anni ‘90 mediante i costrutti, convinzioni,
emozioni e atteggiamenti, individuati da McLeod (1992), e valori,
costrutto aggiunto successivamente da De Bellis e Goldin (1999).
In questo lavoro, sono di particolare interesse le convinzioni, per
motivi che saranno chiariti nel seguito.
L’importanza delle convinzioni nei processi di apprendimento della
matematica è largamente affermata dalla grande varietà di studi
sull’argomento presenti nella letteratura specializzata in
educazione matematica. Negli ultimi anni sono stati dedicati al
12
tema delle convinzioni sulla matematica convegni7
e pubblicazioni
monografiche (Leder, Pekhonen & Törner, 2002; Zan, 2000), con
la finalità di approfondire il dibattito tra gli studiosi interessati alla
soluzione dei ‘problemi aperti’ del settore. Il primo problema
aperto sulle convinzioni è relativo proprio alla definizione di tale
costrutto. Taluni sottolineano la natura cognitiva delle convinzioni
(Thompson, 1992), altri quella ‘ibrida’ cognitivo-emotive
(McLeod, 1985, 1992), altri ancora quella metacognitiva
(Kilpatrick, 1985; Schoenfeld, 1987). Il problema della definizione
delle convinzioni pare, quindi, identificarsi con quello dell’analisi
della natura delle convinzioni. Più recentemente, sono comunque
apparsi studi approfonditi delle varie analisi del concetto che
mettono in luce la convergenza della maggior parte degli esperti del
settore sulla coesistenza nel costrutto di fattori cognitivi e fattori
emotivi (Furinghetti & Pehkonen, 1999; 2002). Altri contributi
correlano il problema teorico della definizione del termine
‘convinzione’ al contesto di utilizzo della definizione (McLeod, D.
& McLeod, S., 2002) e sintetizzano affermando che non c’è una
singola definizione corretta del termine ‘convinzione’, ma “diversi
tipi di definizioni, che sono ‘illuminanti’ in situazioni diverse (per
differenti platee e differenti scopi)”. Gli autori chiariscono anche
che “se la finalità è la spiegazione ad un pubblico di non specialisti
è appropriata una definizione informale”. Pertanto, in questo
contesto, assumiamo, dal punto di vista teorico, il termine
‘convinzione’ come una sorta di ente primitivo all’interno della
teoria, dal momento che non esiste una definizione condivisa dai
ricercatori e come definizione informale diciamo che:
“una convinzione è una qualunque conoscenza soggettiva
decisamente radicata” acquisita, come tutte le conoscenze
7. Per esempio, “ Mathematical Beliefs and their Impact on Teaching and
Learning of Mathematics” svolto a Oberwolfach nel 1999 e i convegni del
gruppo europeo MAVI (MAthematical Views), che si incentrano sulle
convinzioni e che si svolgono di volta in volta in località diverse
(vedi: http://www.uni-duisburg.de/FB11/PROJECTS/MAVI/workshops.html)
13
soggettive, attraverso la personale esperienza e, quindi, con
componenti cognitive e con componenti emotive. Dal punto di vista
pragmatico, possiamo considerare ogni particolare convinzione,
come una sorta di assioma - un enunciato che la persona assume
senza chiedersene una dimostrazione-, che una persona fa proprio
in conseguenza della propria esperienza (Ponte, 1994). Tipici
esempi di enunciati del tipo sono: “per riuscire in matematica, a
scuola, occorre avere una particolare predisposizione”, “la
predisposizione all’apprendimento della matematica ha carattere
familiare”, “per riuscire bene in matematica occorre avere
un’ottima memoria”, “la matematica è una materia astratta”…e,
come si può ben notare, c’è un legame stretto con i luoghi comuni
sugli stessi temi.
Uno degli aspetti delle convinzioni maggiormente indagato è la
complessità delle connessioni tra le singole convinzioni coinvolte
nei processi di apprendimento/insegnamento della matematica. La
coesistenza, già rilevata da Green nel 1971, in una persona, di più
convinzioni, correlate in qualche modo, è stata ed è oggetto di
molti approfondimenti. Nel tempo si è affermato il concetto di
sistemi di convinzioni (McLeod, 1985; Pehkonen & Törner, 1996)
ad indicare che esistono insiemi di convinzioni correlate tra loro e
più insiemi riguardanti vari settori legati a loro volta. Tali
complessi legami contribuiscono alla stabilità delle convinzioni nel
loro complesso e nel tempo, seppure anche le singole convinzioni
siano dotate di notevole stabilità, dovuta, essenzialmente, alla
lentezza con la quale esse si formano (McLeod, 1985). D’altra
parte, tale stabilità non deve essere interpretata come inamovibilità
assoluta: le convinzioni, seppure con molta difficoltà, possono
cambiare nel tempo in funzione delle esperienze (Furinghetti &
Pehkonen, 2002).
Il grado di stabilità di un costrutto -emozioni, atteggiamenti,
convinzioni- è in stretta connessione con il problema della sua
modificabilità. Il problema è senz’altro complesso.
14
Le emozioni possono essere molto intense, anche se la loro
presenza nella persona è circoscritta ad un ambito temporale molto
ristretto. Tuttavia, l’intensità di un’emozione, per esempio
negativa, come la paura, può determinare addirittura l’intervento
dell’amigdala8 (LeDoux, 1995), che mette in allerta la persona
quando si trova in situazione analoga a quella nella quale la
persona ha provato l’emozione. In conclusione, le emozioni hanno,
in generale, un ‘tempo di permanenza’ breve nella persona, ma
possono avere effetti molto duraturi. Riguardo alla modificabilità,
un’emozione non si modifica, semmai si possono modificare i suoi
effetti attraverso un lavoro di ‘rielaborazione’.
Per quanto riguarda gli atteggiamenti, i ricercatori si appoggiano
essenzialmente a due definizioni: quella che vede l’atteggiamento
come una disposizione emotiva verso la disciplina con una certa
stabilità nel tempo (per es., McLeod, 1992), e quella cosiddetta
multidimensionale (per es., Leder, 1992), largamente condivisa dei
ricercatori, che vede l’atteggiamento come il risultato dell’agire di
più fattori, come risposte emotive, convinzioni e comportamento
verso la disciplina, dove, tuttavia, non si definisce
‘comportamento’. In sintesi, nella ricerca sull’affettività verso la
matematica, il problema della definizione di atteggiamento appare
analogo a quello relativo alla definizione di convinzione e analoghe
possono essere le conclusioni in proposito. Per gli scopi di questo
lavoro, non interessa tanto una sistemazione teorica del termine,
che può essere assunto anch’esso come termine primitivo. Sono
invece rilevanti i risultati delle ricerche sulla natura degli
atteggiamenti, la loro genesi e le connessioni con gli altri costrutti .
Tali studi sottolineano che gli atteggiamenti si strutturano come
conseguenza delle emozioni e delle convinzioni riguardo la
8. L’amigdala è un’area cerebrale collegata alle reazioni emotive primitive, come è la
paura. L’amigdala interviene, per esempio, quando uno stimolo è molto intenso e
necessita di una reazione estemporanea che non può attendere la mediazione dalla
corteccia prefrontale che analizza e discrimina gli stimoli. Quando per prima interviene
l’amigdala, solo successivamente lo stimolo viene analizzato dalla corteccia prefrontale e
classificato come reale allarme o falso allarme.
15
matematica (Hart, 1989) e, pertanto, la loro modificabilità può
essere ritenuta funzione della modificabilità degli altri due
costrutti. La modificabilità degli atteggiamenti, insieme al fatto che
“i sistemi di convinzioni ne costituiscono la struttura” (Pehkonen
& Törner, 1996), rende le convinzioni un costrutto dal ruolo
fondamentale nella ‘gestione’ dell’affettività di una persona verso
la matematica nel senso che verrà esplicitato di seguito.
Un contributo importante nella ricerca sull’affettività si deve a De
Bellis e Goldin (1997), che hanno introdotto il concetto di meta-
affettività9 da essi ritenuto l’aspetto più importante dell’affettività
(Goldin, 2004). Tale concetto è stato ulteriormente approfondito da
Schlöglmann (2005) che lo ha utilizzato per studiare alcune
strategie di apprendimento della matematica. Tutto questo in
analogia e coerenza con i risultati sulla metacocognizione, descritta
da Hartman (1998) come particolarmente importante per la sua
influenza sull’acquisizione, la memorizzazione e l’applicazione di
ciò che viene appreso.
Riconosciuto il ruolo della meta-affettività, si tratta, da un lato, di
proseguirne l’analisi da un punto di vista teorico e, dall’altro, di
valutarne l’impatto dal punto di vista della pratica didattica. La
ricerca in educazione matematica si differenzia da quella svolta in
altri campi, in quanto, con le dovute cautele, in questo settore è
possibile procedere quasi in simultanea tra ricerca teorica e ricerca
sperimentale, in modo da utilizzare sinergicamente i risultati
provenienti dall’uno o dall’altro settore. D’altra parte, l’invito ai
ricercatori del settore a dedicare risorse sia alla traduzione pratica
dei risultati teorici, sia alla realizzazione di canali di interazione tra
teoria e prassi, giunge da più parti (Burkhardt & Schoenfeld, 2003;
Schoenfeld, 1999), soprattutto a causa dei dati preoccupanti che
emergono da ricerche nazionali e internazionali (per es. TIMSS,
9. Ovvero ‘feelings about feelings’, letteralmente ‘sentimenti sui sentimenti’, ‘percezione
riguardo alla percezione’ (Goldin, 2002), ma non solo: anche sentimenti, sensazioni,
percezioni sulla cognizione dei sentimenti, delle percezioni e monitorizzazione della
affettività.
16
Trends in International Mathematics and Sciences Study) sulla
conoscenza della matematica da parte dei giovani.
Nell’analisi dell’affettività verso la matematica di una persona,
atteggiamenti, emozioni e convinzioni rivestono ruoli diversi in
funzione della loro natura.
Le emozioni riguardano la sfera emotiva della persona e, pertanto,
sono l’elemento più recondito, meno accessibile, più difficilmente
penetrabile e descrivibile da parte di un osservatore.
Gli atteggiamenti, per contro, sono l’elemento più accessibile dei
tre, anche se come conseguenza di emozioni e convinzioni, essi non
sono completamente espliciti, manifesti, poiché constano di
componenti sia emotive che cognitive. Se volessimo trovare una
analogia tra l’affettività di una persona verso la matematica ed una
patologia -qualora si trattasse di un legame non fisiologico- certi
elementi osservabili (per esempio, espressioni, mimica facciale,
postura, sospiri, profonde inspirazioni, sguardi, rossori, pallori e
molti altri.) riferibili in qualche senso agli atteggiamenti si
potrebbero assimilare a sintomi: potremmo allora dire che gli
atteggiamenti, nel loro complesso, e nella loro complessità, hanno
una funzione paragonabile a quella dei sintomi di una patologia.
L’agente eziologico, ovvero la causa della patologia, sono le
emozioni e le convinzioni. Purtroppo, a causa della loro natura, le
emozioni sono di difficile gestione, da parte di persone non in
possesso di strumenti specifici della professione dello psicologo.
In realtà, stiamo parlando della affettività di una persona verso la
matematica e, quindi, nella maggior parte dei casi, della affettività
verso la matematica di uno studente. Pertanto, è un insegnante colui
che, nell’intento di intervenire sulla qualità dell’affettività,
dovrebbe modificare le emozioni, ma un insegnante non è, in
generale, esperto di psicologia. In conclusione, la rimozione diretta
degli effetti delle emozioni negative appare una strada difficilmente
percorribile.
Consideriamo ora il terzo elemento sul quale si struttura
l’affettività verso la matematica, le convinzioni.
17
Le convinzioni, come abbiamo ricordato, hanno sia componenti
emotive che cognitive. In sintesi, possiamo affermare che le
convinzioni costituiscono un legame tra emozione e cognizione,
attraverso il quale è possibile agire direttamente sulle cause
primarie di eventuali problemi di affettività.
Questa loro caratteristica e il fatto che esse sono all’origine,
insieme alle emozioni, degli atteggiamenti verso la matematica,
sono gli elementi che ci hanno indirizzato a ricercare metodologie
di intervento sulla qualità della relazione con la matematica fondate
in larga parte sulla rielaborazione delle convinzioni.
In questa ottica, nel processo di ricostruzione della relazione, viene
attribuito un ruolo determinante all’acquisizione della
consapevolezza della natura dei propri sistemi di convinzioni,
poiché si riconosce nelle convinzioni una causa importante della
degenerazione della relazione (Civitelli,1993).
Ricostruzione della relazione con la matematica
Ricostruire la relazione di una persona -studente o insegnante- con
la matematica può rappresentare un fattore determinante per la
qualità dei processi di insegnamento/apprendimento della
matematica.
In questo lavoro, ci riferiremo essenzialmente al caso della
ricostruzione della relazione con la matematica di uno studente, ma
anticipiamo che il percorso che viene proposto nel seguito è adatto
a qualunque ambito e a qualunque persona di qualunque età e, in
effetti, è stato utilizzato in situazioni sia scolastiche che non
scolastiche, sia con studenti, sia con insegnanti di matematica e
non, sia con soggetti diversamente abili; sia, infine, con persone
che, per motivi diversi, hanno avuto interesse a ricostruire la
relazione. Le differenziazioni –necessarie nell’applicazione e
banalmente intuibili- in funzione dell’ambito e della persona non
coinvolgono la struttura del percorso, ma esclusivamente il grado di
complessità degli elementi utilizzati. Osserviamo inoltre che per
18
ristrutturazione intendiamo ‘avvio alla conversione’, ritenendo che
il processo di trasformazione di una relazione in relazione positiva
non possa certo ritenersi compiuto nell’ambito del percorso.
Abbiamo chiarito che cosa intendiamo per relazione positiva e non
positiva con la matematica, perché si struttura , chi può e chi deve
intervenire per ricostruirla e perché è necessario intervenire. Ma
come intervenire?
Il percorso che presentiamo nel seguito è appunto preposto alla
ristrutturazione della relazione di un persona con la matematica. La
struttura di questo percorso è stata concepita per consentirne
l’inserimento all’inizio di ogni insegnamento di matematica o di
educazione matematica. Infatti, esso si configura come
propedeutico, in quanto ideato per affrontare questioni pregiudiziali
riguardanti l’insegnamento e l’apprendimento della matematica o
della educazione matematica.
Tale percorso (mBSA, meta-Belief Systems Activity (Moscucci,
2007)) è stato sperimentato negli ultimi sette anni in contesti
diversi con persone diverse e, in particolare, con:
1. studenti del primo e secondo anno di un Istituto
professionale
2. studenti universitari frequentanti corsi di Scienze
Matematiche, Statistiche ed Informatiche di un corso di
laurea in Biotecnologie
3. studenti universitari del secondo o terzo anno dei corsi
laurea in Matematica o in Informatica, frequentanti corsi di
Didattica della matematica
4. soggetti adulti diversamente abili in terapia riabilitativa
5. laureati in matematica e non, frequentanti i corsi
dell’Indirizzo FIM (Fisico-Informatico-Matematico) e
dell’Indirizzo SN (Scienze Naturali) della SSIS (Scuola di
Specializzazione per l’Insegnamento Secondario)
6. insegnanti di matematica di scuole primarie e secondarie.
19
I risultati ottenuti dalla utilizzazione del percorso sono
incoraggianti e inducono all’approfondimento e alla divulgazione
della metodologia, con più obiettivi: valutare la valenza pratica del
percorso, analizzare gli elementi componenti il percorso, ipotizzare
e studiare possibili evoluzioni.
Un percorso per la ricostruzione della relazione con la
matematica (mBSA, metaBelief Systems Activity)
I sistemi di convinzioni riguardanti
le facoltà intellettive dell’uomo
l’apprendimento in generale
la didattica in generale
la matematica stessa
l’apprendimento della matematica
la didattica della matematica.
sono scelti come elementi centrali per la ricostruzione di una
relazione positiva con la matematica10
. Talune convinzioni su
questi argomenti possono rendere inefficace qualunque percorso di
apprendimento, in quanto, per esempio, chi è convinto che per
riuscire in matematica occorre una particolare predisposizione e,
nel contempo, ritiene di non esserne dotato, non impegnerà alcuna
energia nel tentativo di riuscire in matematica. Analogamente, un
insegnante di matematica con la stessa convinzione, potrebbe non
cercare alcuna modalità didattica per aiutare quegli studenti,
secondo lui, non sufficientemente dotati. Tale convinzione è spesso
associata a convinzioni sulla qualità delle facoltà intellettive,
ovvero dell’intelligenza della persona. Molti ritengono che
10. Osserviamo che quelli elencati sono i sistemi di convinzioni che vengono
‘esplicitamente’ trattati nel percorso. Alcuni ambiti di convinzioni, notoriamente
importanti, come, per esempio, le convinzioni su di sé, sulla propria efficacia nelle attività
matematiche, non sono trattati direttamente: in questo contesto, vengono trattati
‘implicitamente’, come verrà precisato e giustificato nel seguito.
20
chi riesce bene in matematica è molto intelligente
e da questa affermazione, taluni deducono erroneamente che
chi non riesce bene in matematica non è molto intelligente.
Nel contempo si riscontrano casi di persone che pur avendo una
buona considerazione delle proprie capacità intellettive, dichiarano
di ‘non capire niente di matematica’. Riguardo ai rapporti tra
qualità delle facoltà intellettive e capacità e abilità matematiche
sono molto diffuse convinzioni che non hanno alcun fondamento
scientifico o, addirittura, che sono in contrasto con le attuali
conoscenze scientifiche sull’argomento. “Io quella zona del
cervello dove sta il pallino della matematica ce la devo avere
malata”, ha affermato Claudia11
studentessa di una prima classe di
un Istituto professionale durante un corso di recupero in
matematica.
Non solo. Anche alcune convinzioni sull’apprendimento della
matematica e quali sono le caratteristiche della matematica
scolastica possono rendere molto difficoltoso un approccio
proficuo all’apprendimento della matematica. “A matematica
bisogna ricordarsi tante cose e io non c’ho memoria”, ha risposto
Laura12
alla domanda su quali, secondo lei, erano le cause delle sue
difficoltà in matematica.
Il percorso di ricostruzione della relazione con la matematica,
proposto in questo lavoro, si articola su tre piani:
acquisizione della consapevolezza della natura di taluni
sistemi di convinzioni correlati alla matematica
confronto tra le proprie convinzioni correlate alla
matematica e i risultati delle ricerche e i contributi degli
studi nei settori di riferimento
acquisizione della consapevolezza, durante le attività
chiamate ‘Giochi’, di essere in grado di affrontare
situazioni problematiche e problemi
11. Il nome è di fantasia.
12. Idem.
21
I primi due elementi non sono utilizzati in due momenti diversi,
uno successivo all’altro, ma i tempi d’uso si compenetrano: è
impossibile per un osservatore esterno -ma pure per la persona
stessa- distinguere la fine del primo processo dall’inizio del
secondo, anche se, nella descrizione dell’attività, si opera una tale
distinzione. Tale schematizzazione trova giustificazione nel fatto
che, ad un certo punto dell’attività, chi la organizza riconosce
elementi che dimostrano che il processo di ricostruzione ha preso
avvio e la persona alla quale è rivolta l’attività ne acquisisce
consapevolezza.
Il terzo elemento ha la funzione di condurre gradualmente le
persone che seguono il percorso alla consapevolezza di essere in
grado di “fare matematica”: durante il percorso, tra un’attività e
l’altra, viene proposto di rispondere a quesiti vari, cosiddetti
‘giochi logici’, che piano piano si evolvono, nella qualità, fino a
divenire veri e propri problemi. Le convinzioni sulla propria
autoefficacia in matematica sono fondamentali, ma nel percorso
non vengono volutamente trattate in modo esplicito: la scelta
operata è quella di portare gradualmente la persona ad analizzare le
proprie capacità e abilità, misurandosi dapprima nell’affrontare
situazioni problematiche, poi problemi la cui soluzione non
richiede conoscenze specifiche di matematica scolastica, se non
assolutamente elementari (contare, per esempio). La parola
‘problema’ è evitata con cura, si parla solo di giochi o indovinelli,
per ovviare il negativo impatto emotivo che una persona in
difficoltà in matematica ha quando è chiamata a risolvere un
problema. Riteniamo che la riflessione intima, personale sul
proprio modo di affrontare le attività matematiche sia la modalità
più efficace per condurre la persona all’utilizzo degli strumenti
metacognitivi necessari al controllo delle proprie istintive
‘pulsioni’ di fronte ad attività matematiche.
Al fine di fornire uno strumento operativo per la gestione del
percorso, abbiamo cercato di schematizzarne i passi, ben
consapevoli che tale scelta determina la perdita di dettagli e
22
sfumature anche importanti. Tuttavia, riteniamo prioritario favorire
il tentativo della divulgazione, in funzione anche della raccolta di
elementi utili ad una rivisitazione critica, in tempi successivi, della
strutturazione e della gestione dell’attività.
Prima di procedere alla descrizione dei passi, è necessario fornire
alcune indicazioni generali. Innanzitutto una considerazione. La
descrizione può indurre a ritenere che il percorso abbia una
struttura rigida: in realtà, a fronte di una struttura ben determinata
per ragioni di facile traduzione nella pratica didattica, la gestione
delle varie attività, all’interno dei passi, è duttile per essere
facilmente adattata alle varie situazioni, lasciando all’insegnante,
non solo la sua discrezionalità, ma soprattutto la sua creatività nella
gestione. L’unica raccomandazione è, semmai, di non eliminare
attività solo perché ritenute inutili a priori: solo la sperimentazione
può consentire all’insegnante di discriminare e di apportare
variazioni.
Gli strumenti utilizzati sono colloqui individuali, di gruppo,
discussioni collettive in classe, proposta di svolgimento di elaborati
scritti e contemporanea attività intorno a situazioni problematiche o
a problemi.
Sottolineiamo che, nonostante gli strumenti utilizzati siano d’uso
frequente nella didattica, essi sono collocati all’interno di una
struttura organizzata che sfrutta in modo ottimale le sinergie
scaturenti dai singoli elementi.
La struttura del percorso ne rappresenta un elemento
originale, ma l’elemento che caratterizza il percorso e, forse,
ne determina il successo, è l’utilizzo della consapevolezza della
natura dei propri sistemi di convinzioni.
Cambiare le convinzioni di una persona è un obiettivo molto
ambizioso, poiché ognuno ritiene “vere” le proprie convinzioni
(Pehkonen & Pietila, 2003). Ma agire sulle convinzioni non è
impossibile. Infatti, molte sono le occasioni in cui nell’educazione
della persona si opera sulle convinzioni. Anche convinzioni ben
radicate, perché fondate sulla percezione sensoriale, possono essere
23
superate dall’acquisizione di nuove conoscenze, pure se queste non
danno luogo ad una variazione della percezione sensoriale. Basta
pensare ad un bambino che vede sorgere il sole ad est e tramontare
ad ovest, ‘muovendosi’ tutti i giorni sulla sua testa da est ad ovest:
egli ha la ragionevole convinzione che il sole si muova e la terra
stia ferma. Eppure, arriva il momento, nella sua vita, nel quale,
attraverso un percorso di apprendimento, abbandona quella
convinzione.
Modificare una convinzione è senz’altro difficoltoso, ma lo è
soprattutto quando ci si limita ad un dibattito che, per quanto
argomentato e profondo sia, rimane nell’ambito della pura
speculazione dialettica. Quando si sposta l’attenzione sulla
coerenza delle convinzioni con conoscenze acquisite in campo
scientifico, si hanno su di esse maggiori margini di intervento.
Tuttavia, il successo del percorso qui presentato è forse da
collocarsi nel ruolo attivo che la persona riveste nel processo di
evoluzione delle proprie convinzioni.
Il percorso prevede la costruzione di un ambiente che consente
prima di tutto l’acquisizione della consapevolezza della natura dei
propri sistemi di convinzioni correlati alla matematica; poi, il
confronto delle proprie convinzioni con le conoscenze dei settori
connessi; nel contempo, la persona viene condotta ad affrontare
esperienze che, da una parte, rafforzano le nuove conoscenze e
provocano emozioni positive verso il lavoro matematico, dall’altra,
contraddicono conoscenze pregresse e relegano la negatività di
certe emozioni legate alla matematica a particolari contesti didattici
e non alla matematica come disciplina nella sua interezza.
Tutto questo, in piena coerenza con la scelta metodologica per tutte
le attività che sono organizzate e condotte ispirandosi al
costruttivismo socio-culturale. Le persone che seguono il percorso
sono gli attori principali del lavoro, mentre chi organizza le attività
ha il ruolo di allestire un ambiente di apprendimento che consenta
alle persone di costruire le proprie conoscenze quanto più possibile
24
autonomamente, ovvero di essere artefici dei propri processi di
apprendimento.
Dal punto di vista pratico, è d’aiuto, soprattutto per le prime volte
di utilizzo, che chi organizza il lavoro tenga un diario di bordo, nel
quale annotare osservazioni, considerazioni, impressioni con
l’obiettivo di riflettere sull’andamento dell’attività e indirizzare di
conseguenza il lavoro.
Il percorso consiste in una successione di attività, intervallate da un
lavoro costante, denominato ‘Giochi’, nel quale si affrontano
situazioni problematiche o problemi. Come abbiamo già
accennato, l’attività prevede la proposta di ‘giochi logici’, ovvero
quesiti vari, problemi, tutti con due caratteristiche comuni:
1. gli argomenti coinvolti non devono riguardare argomenti di
matematica scolastica, cioè temi o ambienti di tipo aritmetico,
algebrico o geometrico (tranne, ovviamente, elementi di aritmetica
o geometria davvero elementari)
2. la complessità deve essere rapportata alle possibilità di
risoluzione delle persone che seguono il percorso, e questo si
realizza iniziando con un grado di difficoltà estremamente basso da
incrementare pian piano nel procedere.
Il motivo della prima richiesta risiede nel fatto che il ruolo di
questa attività consiste in un graduale allenamento ad affrontare
problemi di argomento matematico senza che le persone che
seguono il percorso se ne rendano conto, come abbiano detto in
precedenza.
Il motivo della seconda richiesta è di consentire a tutti di prendere
parte all’attività senza frustrazioni, anzi di indirizzare ognuno verso
una partecipazione caratterizzata da sentimenti positivi13
.
13. Nell’Appendice 2 sono riportati alcuni esempi di ‘Giochi’ proposti. Si fa presente che,
per semplicità di redazione, si sono evitati esempi che richiedono rappresentazioni
grafiche, ma questa tipologia è molto efficace, soprattutto in presenza di diversabilità,
quando addirittura è consigliabile utilizzare la ‘rappresentazione teatrale’ della situazione
problematica.
25
Un percorso per la ricostruzione
della
relazione con la matematica()
Parte seconda
Manuela Moscucci
Dipartimento di Scienze Matematiche e Informatiche
’R. Magari’ – Università degli Studi di Siena
Il percorso
Il percorso è strutturato in cinque passi.
Anche se, come è stato puntualizzato in precedenza, questo lavoro
è indicato per la ristrutturazione della relazione con la matematica
di chiunque, in qualunque contesto, nella descrizione dei passi, ci
riferiremo, per semplicità di esposizione, alla situazione -forse la
più comune- di un insegnante di matematica che lavora con i suoi
studenti.
Primo passo. In questo primo passo l’insegnante, attraverso la
conversazione, cerca di individuare gli interessi degli studenti per
poterne usufruire durante il percorso e per poter dimostrare ai
ragazzi il suo reale interesse a mettere ciascuno di loro nella
condizione di dare il meglio di sé in matematica. Naturalmente se
l’insegnante conosce da tempo gli studenti, modula
opportunamente questa prima fase del passo. L’insegnante presenta
poi il percorso agli studenti ponendo enfasi sull’importanza di
questo lavoro, puntualizzando che il lavoro che verrà svolto in
Moscucci, M. (2008) . Un percorso per la ricostruzione della relazione con la
matematica. Parte seconda. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate,
Vol. 31/A, N.4, pp.407-428.
26
questa fase non ha nulla a che fare con quello che usualmente viene
fatto nelle ore di matematica, ma la cui valenza verrà riscontrata nel
seguito. L’insegnante evita sia di entrare in dettagli tecnici che
potrebbero inficiare alcune attività che il percorso prevede, sia di
far intuire ai ragazzi le proprie opinioni riguardo ai temi che
verranno trattati. Gli studenti sono spesso vittime della propria
intelligenza scolastica (Gardner, 1999; 2002): questa, tra le altre
cose, li induce a cercare di intuire le opinioni degli insegnanti per
uniformarsi ad esse, mascherando e celando le loro vere opinioni,
che, in questo modo, rimangono escluse da quella rielaborazione
che costituisce un obiettivo fondamentale del nostro lavoro. Le
esperienze di utilizzo del percorso hanno dimostrato che gran parte
del successo del lavoro dipende dalla buona riuscita di questa prima
fase.
Secondo passo. L’insegnante invita gli studenti a svolgere un
elaborato dal titolo ‘La mia storia con la matematica’, spiegando
che non deve essere inteso come un usuale tema e che non è
importante la forma linguistica. Nella traccia de ‘La mia storia con
la matematica’ si chiede, prima di tutto, di descrivere i vari
insegnanti di matematica incontrati nella propria vita scolastica.
Questa descrizione può fornire dettagli fondamentali per
comprendere qual è l’idea di matematica che ha lo studente. Infatti,
l’insegnante di matematica è l’unico mediatore tra lo studente e la
matematica, al contrario di altre materie o discipline, che hanno
altri mediatori culturali: la divulgazione matematica è rara e
possiamo affermare che raggiunge pochissimo i ragazzi , anche se
negli ultimi anni qualche tentativo è stato fatto. Nella traccia si
chiede poi di descrivere con immediatezza e spontaneità ricordi di
episodi legati alla matematica accaduti a lui/lei o ad altri, che gli/le
sono rimasti impressi nella memoria; sensazioni o emozioni legate
alla matematica, pensieri elaborati in relazione alla matematica,
momenti tristi o felici e qualunque altra cosa correlata alla
matematica, che lui/lei senta il bisogno di scrivere, senza
preoccuparsi di collegare gli episodi o di dare un ordine logico
27
all’esposizione, ma cercando di far emergere il più possibile il
proprio vissuto con la matematica .
L’importanza di questa attività è molteplice
1. l’insegnante ha l’opportunità di ricavarne elementi utili per
orientare la propria azione
2. le convinzioni che emergono14
da questi elaborati non sono
influenzate dal contesto, poiché il percorso è appena
iniziato, e, pertanto, possono essere considerate il punto di
partenza della rielaborazione di certe convinzioni
3. gli studenti iniziano a prendere coscienza di emozioni
provate in situazioni legate alla matematica e, di
conseguenza, di aspetti che hanno determinato la natura
della loro relazione con la matematica.
La riesumazione di eventuali emozioni negative provate, anche
molti anni addietro, in particolari situazioni, legate alla
matematica, avvia alla presa di coscienza dei fattori affettivi
connessi alla disciplina. Nel contempo, questo lavoro aiuta la
persona ad intraprendere l’operazione di scissione tra emozione
negativa provata in quella circostanza (l’emozione potrebbe essere,
per esempio, frustrazione, paura, delusione), e oggetto disciplinare
trattato in quella circostanza (l’oggetto potrebbe essere, per
esempio, una divisione o una equazione). Il distacco tra emozione
negativa e oggetto disciplinare inizia quando il soggetto inizia a
costruire la consapevolezza che quella attività è accompagnata da
quella emozione. Tale distacco, anche se non avviene mai in modo
completo, è ottenuto quando il soggetto raggiunge la
consapevolezza che quella emozione non è parte integrante
dell’oggetto disciplinare, non è intrinseca all’oggetto, ovvero non è
la reazione naturale che si prova di fronte a quell’oggetto
disciplinare.
14. Si osservi che si parla di convinzioni che ‘emergono’, ovvero che
l’insegnante ipotizza , nella piena consapevolezza del possibile contrasto tra
“beliefs expuosed and beliefs in practice” (Schoenfeld, 1989)
28
In questo primo passo del percorso vengono svolte altre attività
tutte funzionali all’analisi della natura della relazione con la
matematica:
descrivere immagini suscitate da parole
associare la matematica a categorie di oggetti, per
completamento di frasi
disegnare ‘la matematica’
disegnare la parola matematica con i caratteri e i colori
desiderati.
Tutte le attività di questo passo sono ‘interplementari’, nel senso
che tutte ugualmente concorrono a favorire la esternazione dei
propri sentimenti nei confronti della matematica e degli stati
d’animo che sono legati ad essa. Inoltre, le esperienze sul percorso
mostrano quanto sia utile fornire ai ragazzi la possibilità di
esprimersi in linguaggi diversi per consentire a ciascuno di
disporre del mezzo di comunicazione più congeniale alle proprie
attitudini.
Per quanto riguarda la descrizione di immagini, si chiede agli
studenti di scrivere quanto più estemporaneamente possibile e nel
minor tempo possibile che cosa viene in mente quando l’insegnante
proferisce una certa parola. E’ l’unica volta in tutto il percorso, in
cui l’insegnante chiede di agire velocemente per non consentire
alcun inquinamento alla genuinità dell’immagine suggerita dalla
parola. La scelta di far scrivere è dettata dalla necessità di avere
indicazioni individuali e di non far influenzare gli uni con gli altri
gli studenti, cosa che potrebbe accadere se le immagini personali
fossero descritte a voce.
L’insegnante nomina a voce alta, senza alcuna inflessione
particolare, un oggetto concreto di sua scelta (es. casa, gatto, cane).
Dopo poco -un minuto è sufficiente- nomina un oggetto astratto
(es. amicizia, allegria, tristezza) e procede nello stesso modo. La
terza parola che proferisce è ‘matematica’.
Nella sperimentazione del percorso, nella versione qui presentata,
questo modo di procedere si è dimostrato decisamente più proficuo
29
della modalità precedentemente adottata che prevedeva la proposta
solo della parola ‘matematica’: le descrizioni così ottenute
risultavano troppo spesso ‘retoriche’ e poco significative per il
lavoro.
Per quanto riguarda il secondo punto, le frasi che possono essere
utilizzate sono , per esempio:
-Se la matematica fosse un fiore sarebbe…
-Se la matematica fosse un sapore , sarebbe…
-Se la matematica fosse un odore, sarebbe…
-Se la matematica fosse un luogo, sarebbe…
-Se la matematica fosse una stagione, sarebbe…
Le varie attività vengono proposte in giorni diversi, in modo da
creare un clima rilassato e, nel contempo, da attribuire valore ad
ogni attività.
E’ importante lasciare sempre ad ogni partecipante il tempo
desiderato (tranne, come detto, nell’attività del primo punto).
Questa scelta ha più valenze. L’abitudine alla didattica tradizionale
può indurre gli studenti a ritenere che ancora il lavoro vero e
proprio non sia iniziato. Per questo, è importante che gli studenti
siano aiutati a percepire quello che stanno facendo come vera e
propria attività scolastica, con una certa ‘ritualità’, con ogni
possibile accorgimento utile ad entrare in un clima di vera
collaborazione con l’insegnante, un clima improntato alla libertà di
espressione, anche nella scelta dei tempi. La seconda valenza è
strategica. Infatti, poiché gli studenti finiscono il compito in tempi
diversi, avviene in modo molto naturale l’introduzione dell’attività
sui ‘Giochi’, che è proposta come semplice espediente per
sopperire alla necessità di trovare un passatempo a chi ha
terminato, mentre gli altri continuano il lavoro.
Terzo passo. Questo è il ‘passo della crisi’. Prendendo spunto da
affermazioni, situazioni, esperienze, considerazioni tratte dagli
elaborati del passo precedente, l’insegnante avvia una discussione
in classe e lascia che gli studenti guidino la conversazione. Il ruolo
dell’insegnante consiste nel mettere in luce concordanze e
30
discordanze di opinioni, contraddizioni e, soprattutto, luoghi
comuni. Eventualmente, l’insegnante rileva il rischio della
affezione alle proprie affermazioni: nel corso di una discussione è
frequente che le persone sostengano ad oltranza le proprie
affermazioni, anche se gli argomenti portati a sostegno di esse si
rivelano fragili e contraddittori. La riflessione esplicita su questo
pericolo non è garanzia di eliminazione del rischio stesso, ma
contribuisce a contenerne gli effetti deleteri sia sul clima
relazionale, che sulla proficuità del lavoro.
Moltissime sono le direzioni che può prendere la discussione, ma
l’insegnante deve cercare di estrapolare certe particolari domande,
che esplicitamente o implicitamente emergono. Questa operazione
di indirizzo non deve apparire come una forzatura o addirittura una
censura alla libera evoluzione del lavoro, ma come una semplice
scelta coerente con il contesto e le finalità. E’ cura dell’insegnante,
poi, assecondare il desiderio degli studenti di approfondire
tematiche emerse e abbandonate a favore di altre, sulle quali i
ragazzi hanno dimostrato di nutrire particolare interesse.
Le domande chiave, attorno alle quali l’insegnante fa convergere
l’attenzione, sono essenzialmente:
Quale è/dovrebbe essere il ruolo della scuola
nell’educazione della persona?
Che cosa si intende per intelligenza umana?
C’è una relazione tra l’intelligenza di una persona e il suo
successo nelle attività matematiche?
Che ruolo ha la matematica nell’educazione della persona?
Per avere successo nella matematica della scuola è
necessario avere una particolare predisposizione?
Che cos’è la predisposizione all’apprendimento della
matematica?
Che cos’è la matematica?
Che cos’è la matematica scolastica?
Ogni volta che durante la discussione scaturisce una delle
precedenti domande -o altre di analogo contenuto, oppure altre
31
attinenti- l’insegnante scrive alla lavagna la domanda in modo che
sia chiaro che quello è un quesito al quale ci si propone di fornire
una risposta15
. Per aiutare gli studenti in questa fase di
introspezione, può essere utile invitarli a completare frasi attinenti
ai temi esaminati.
Durante questa fase, gli studenti si rendono conto che stanno
affrontando questioni fondamentali per una partecipazione attiva e
consapevole alla vita scolastica, in generale, e al percorso di
apprendimento della matematica, in particolare. La crisi che prima
o poi si delinea è conseguenza della consapevolezza della loro
ingenuità e della loro ignoranza intorno a temi così vitali per la loro
educazione16
. La scelta dell’insegnante di lasciare che sorgano
molti dubbi genera una condizione ottimale per favorire
l’introspezione e, quindi, l’acquisizione della consapevolezza dello
stato delle proprie opinioni (consapevolezza dei propri sistemi di
convinzioni) passo dopo passo.
Il ruolo dei luoghi comuni è importantissimo. Molto spesso le
considerazioni dei ragazzi sono basate su luoghi comuni. Possono
essere luoghi comuni con o senza un fondamento scientifico o
culturale, ma anche, e molto frequentemente, luoghi comuni
addirittura in contrasto con risultati scientifici acquisiti. La varietà
di contraddizioni che sussistono su taluni dei temi elencati -si
pensi, ad esempio, alla ‘predisposizione all’apprendimento della
matematica’- conduce inevitabilmente la discussione ad un
impasse: la crisi viene percepita con chiarezza dagli studenti che
seguono il percorso. Essi si trovano di fronte ad un insieme di
affermazioni in apparenza tutte ugualmente sostenibili, che hanno
come conseguenza divergenti condotte sia di apprendimento, che di
15. L’insegnante osserva esplicitamente che non sono ricercate verità assolute, ma solo
risposte coerenti con le conoscenze attuali dei settori di studio di pertinenza.
16. Nel caso del percorso utilizzato con insegnanti in formazione o in aggiornamento, la
crisi è ancora più sentita in quanto il lavoro conduce a rivisitare criticamente convinzioni
sulle quali si struttura la propria professionalità, in fieri o acquisita.
32
insegnamento della matematica. Questo è il momento di far notare
agli studenti che il percorso fin lì svolto si è avvalso
esclusivamente delle loro conoscenze pregresse. E’ ora importante
che l’insegnante trasmetta agli studenti sicurezza sullo sviluppo
del lavoro, preannunciando che li guiderà alla scoperta di fonti
adatte ad approfondire e a chiarire le questioni più critiche.
Quarto passo. Questo passo del percorso prevede l’ampliamento
delle conoscenze degli studenti negli ambiti chiamati in gioco nel
passo precedente e, è scontato, limitatamente all’acquisizione degli
strumenti minimi al perseguimento delle finalità preposte. Nel
passo precedente sono nate tante domande, in questo passo si
cercano le risposte che gli esperti, gli studiosi, i ricercatori dei
relativi ambiti propongono. Naturalmente, la condizione ottimale è
quella nella quale, nella scuola in cui si opera, è possibile un lavoro
interdisciplinare con insegnanti di altre materie. Poiché questa
condizione non è frequente, l’insegnante che conduce il lavoro
sopperisce alla mancanza di competenze specifiche e guida egli
stesso gli studenti alla ricerca di documenti utili . Le risorse sono
libri, riviste, internet, ecc.. Ogni insegnante di matematica ha
senz’altro, tra le molte disponibili, le sue preferenze, ma, a titolo
d’esempio, viene fornito, in appendice, un elenco minimo di
referenze (di tipo divulgativo, facilmente reperibili) utili alla
conduzione dell’attività ed è senz’altro opportuno che l’insegnante
che intende seguire il percorso consulti queste proposte e le
confronti con le proprie.
Anche in questa fase un fattore determinante per la efficacia del
percorso è la consapevolezza da parte degli studenti di ricoprire un
ruolo attivo nella costruzione degli strumenti idonei a chiarire la
situazione.
Durante il passo precedente gli studenti hanno avuto l’opportunità
di confrontare le proprie convinzioni sui temi trattati con quelle di
altre persone. In questa fase, essi possono confrontarle con le nuove
conoscenze acquisite. Questa operazione è fondamentale per la
rielaborazione e la evoluzione delle loro convinzioni. Durante il
33
percorso viene, comunque, chiarito esplicitamente che anche
davanti ad una evidenza scientifica, una persona è naturalmente
libera di continuare ad avere una determinata convinzione,
supponiamo in netto contrasto con tale evidenza; l’importante è che
la persona sia consapevole di tale contrasto e soprattutto delle
conseguenze negative del fatto di fondare le proprie condotte su
‘pilastri’ che al momento sono ritenuti assolutamente inaffidabili.
Sarebbe saggio accettare di seguire una terapia notoriamente
inefficace, quando se ne conoscono altre di efficacia quasi
assoluta?
Per fare un esempio, la convinzione della necessità di una
particolare predisposizione all’apprendimento della matematica per
riuscire nella matematica scolastica è molto diffusa: ebbene,
l’analisi degli studi in proposito dimostra che, al momento, non c’è
alcuna ricerca che confermi tale ipotesi. Anzi molti sono gli studi
che la contraddicono.
Ricordiamo che tutto questo avviene contemporaneamente alla
saltuaria, ma costante esperienza nell’attività intorno a problemi.
La scelta di questo tipo di attività all’interno del percorso può
apparire singolare, viste le problematiche note sul rapporto tra
l’attività di risoluzione di problemi, le difficoltà scolastiche in
matematica e l’affettività (McLeod & Adams, 1989; Zan, 1998).
In realtà l’attività è proposta come gioco, insistendo molto sui
seguenti punti:
l’attività è da intendersi come una specie di ‘brain
trainer’, peraltro attualmente molto di moda, con il
vantaggio, in questo contesto, che non è finalizzata ad
alcuna ‘misurazione’
l’obiettivo ‘dichiarato esplicitamente’ è trascorrere
piacevolmente il tempo d’attesa degli altri studenti ancora
impegnati nel lavoro
l’attività non è assolutamente da intendersi come una gara
il tempo di esecuzione delle richieste non è elemento di
alcun interesse
34
se il ‘gioco’ proposto non è gradito, si può sceglierne un
altro
tutti sono invitati, in seguito, a proporre giochi da
utilizzare
L’esperienza maturata nell’utilizzo del percorso dimostra che, dopo
un primo momento di ‘atteggiamento sospettoso’, l’attività viene
accolta con disinvoltura: l’ansia da prestazione viene contrastata
soprattutto dall’atteggiamento dell’insegnante che si dimostra non
tanto interessato alle soluzioni proposte (o a fatto che qualcuno
non abbia trovato alcuna soluzione!), ma solo al grado di
divertimento e di apprezzamento del gioco. Gli studenti solitamente
accolgono con favore di intendere l’attività solo come una sorta di
‘ginnastica mentale’.
Abbiamo detto inizialmente che questa attività ha un ruolo
fondamentale nella riuscita del percorso. Infatti, è importante che
gli studenti giungano a questo punto dell’itinerario avendo
progredito anche nel loro modo di affrontare situazioni
problematiche o di risolvere problemi. Non solo per favorire un
aumento della loro autostima in questo ambito, ma soprattutto per
conferire valore all’attività Giochi, come attività matematica, anche
se i problemi trattati non riguardano argomenti di matematica
scolastica. Questo è il primo passo per la successiva riconquista di
un approccio più sereno anche all’attività di risoluzione di problemi
di matematica più usuali. Questa attività consente di lavorare anche
sulle convinzioni su sé in relazione alla matematica che non sono
trattate esplicitamente. Lo studente è portato in modo naturale a
confrontare il proprio modo di lavorare sui problemi in passato e il
modo con il quale lavora all’interno di questo itinerario. La scelta
di non trattare esplicitamente le convinzioni su sé nei confronti
della matematica, ovvero della propria efficacia nel ‘fare
matematica’ è elemento caratterizzante di questo lavoro: lo
studente è condotto gradualmente a prendere consapevolezza delle
proprie convinzioni in proposito senza la necessità di esprimerle ad
35
alcuno, ma solo a se stesso. L’avvio alla rielaborazione di tali
convinzioni avviene in modo naturale attraverso il lavoro su
situazioni problematiche o su problemi. Durante l’utilizzo del
percorso, molti sono gli episodi nei quali gli studenti hanno
manifestato sorpresa dei propri risultati e degli stati d’animo
positivi percepiti.
Quinto passo. E’ il passo della autovalutazione. L’insegnante
chiede agli studenti di rivisitare il proprio percorso e di descrivere
per scritto quello che hanno percepito durante tutto il lavoro, le
loro impressioni di massima e i momenti per loro più significativi.
Quindi viene loro proposta la rilettura dell’elaborato “La mia storia
con la matematica” e viene loro chiesto di cercare di valutare quali
siano gli eventuali cambiamenti avvenuti in loro. Di solito gli
studenti sono colpiti da quante considerazioni critiche sono adesso
in grado di fare su gran parte delle affermazioni contenute in quel
primo scritto. E non solo. Sono stupiti di comprendere adesso la
ragione del loro modo di porsi di fronte alle attività matematiche.
Prendere consapevolezza dei motivi che conducono a certe risposte
a determinati stimoli è un primo passo verso il controllo di reazioni
non produttive, così come la collocazione della responsabilità di
certi stati di fatto che li riguardano. Un esempio tra tanti.
Supponiamo che uno studente avesse, prima di seguire il percorso,
la convinzione che le sue difficoltà scolastiche fossero attribuibili
alla sua ‘mancata predisposizione’ e che ‘quindi’ non valeva la
pena di impegnarsi tanto, tanto da rifiutarsi di affrontare qualunque
problema che anche solo vagamente assomigliasse ad un problema
di matematica. Ha poi scoperto durante l’attività ‘Giochi’ che
riesce a risolvere problemi e, nel passo quattro, che per fare la
matematica scolastica, visto che non si tratta di ‘alta matematica’,
non occorre particolare predisposizione. Si apre una porta, quel
muro tra lui e la matematica ha ‘forse’ qualche varco. L’inizio
della ricostruzione della relazione dello studente con la matematica
è avvenuto. Abbiamo osservato a proposito dell’inizio del processo
di ricostruzione/ ristrutturazione della relazione con la matematica,
36
che è impossibile stabilire il momento di inizio di tale processo. In
assoluta analogia a questo, non è possibile stabilire il termine del
processo. Del resto, la finalità del percorso è quella di avviare la
ricostruzione e condurla ad un livello tale da iniziare ad usufruire
pienamente delle potenzialità educative della matematica.
L’insegnante può adesso iniziare a sperare di riuscire a ricostruire il
rapporto anche con la matematica scolastica. Il dubbio dei ragazzi,
a questo punto, è spesso manifestato con molta semplicità e molta
efficacia espressiva. Non posso riportare le parole di uno studente
particolare, perché sono stati tantissimi i casi nei quali ho sentito
dire, con tono sconsolato: “Ora ho capito molte cose17
, ma io non
ho basi di matematica18
, me lo dicono da anni e quindi non riuscirò
mai a recuperare tutto quello che mi manca”. Qui comincia un’altra
sfida. Con gli insegnanti di matematica, in primo luogo, e con i
ragazzi poi, su temi strettamente disciplinari, di aritmetica-algebra
e di geometria. Riprendere le fila di un ‘discorso matematico
spezzato’ si può e non è solo un teorema di esistenza, ma è un
teorema costruttivo. Occorre, tuttavia, avere strumenti di ‘recupero’
che non siano sterili ripetizioni di argomenti trattati. Molte sono
oggi le proposte. Io, personalmente, rinvio la trattazione del tema
del recupero nella matematica scolastica ad un’altra sede.
Conclusioni
Il percorso, come è stato già detto, è stato utilizzato in contesti
diversi: nella scuola, in corsi per insegnanti in formazione o in
servizio, in corsi universitari e con soggetti diversamente abili. In
generale, possiamo discriminare due tipologie di soggetti per i quali
si può organizzare il percorso.
17. Alludono a considerare l’attività ‘Giochi’ come vera e propria attività matematica
18. Intendono la matematica scolastica curricolare
37
L’utilizzazione usuale è quella rivolta a persone che necessitano di
ricostruire la propria relazione con la matematica per proseguire lo
studio della matematica in maniera proficua, vale a dire l’uso che
ne può fare l’insegnante di matematica in classe con studenti di
qualunque scuola.
Un’utilizzazione speciale è rivolta, invece, a insegnanti di
matematica in servizio o in formazione. Questo contesto è stato tra
l’altro l’ambiente che ha visto la genesi del percorso. Gli esiti solo
parzialmente soddisfacenti dei tanti corsi di aggiornamento per
insegnanti di matematica condotti con metodologie tradizionali
hanno indotto ad una analisi critica delle ragioni dei risultati. Da
questa analisi è emersa un’ipotesi di lavoro fondata su tre elementi
metodologia ispirata al costruttivismo socio-culturale
trattazione di sistemi di convinzioni correlati alla
matematica
acquisizione della consapevolezza della natura dei sistemi
di convinzioni.
Il percorso che è stato presentato in questo lavoro è il risultato di
diversi aggiustamenti che si sono succeduti per oltre dieci anni. La
struttura attuale è stata utilizzata, per quanto concerne l’ambito
della formazione/aggiornamento degli insegnanti, con insegnanti
di matematica, in otto corsi di aggiornamento per insegnanti in
servizio di Scuola primaria e secondaria di primo e secondo
grado, in otto corsi di didattica della matematica per gli studenti
della SSIS (Scuola di Specializzazione per l’Insegnamento
Superiore) indirizzo FIM (Fisico Informatico Matematico) e
Scienze naturali.
L’utilizzo del percorso ha sempre dato risultati decisamente
incoraggianti.
Uno degli elementi del percorso maggiormente apprezzato dagli
insegnanti (definiti così anche i futuri insegnanti) è
l’esemplificazione pratica di applicazione del percorso: viene
messo a loro disposizione uno strumento didattico direttamente
utilizzabile in classe. In più, essi partecipano al percorso da
38
studenti, scoprendone gli elementi costitutivi passo dopo passo e
solo alla fine viene presentata la descrizione teorica del percorso.
L’esperienza vissuta consente loro di compenetrare appieno i
momenti cruciali. L’attività del quinto passo è, in questo caso,
particolarmente formativa, poiché consente agli insegnanti di
confrontarsi con chi ha gestito l’organizzazione del percorso:
solitamente, essi rivolgono moltissime domande di
approfondimento e chiarimento che, oltretutto, servono per
consolidare obiettivi già raggiunti durante il percorso.
Nella mia esperienza ho potuto constatare che, per quanto riguarda
gli insegnanti in formazione, la maggioranza di coloro che hanno
seguito il percorso, lo utilizza in classe non appena ne ha la
possibilità. Tra i restanti, la quasi totalità, per i primi anni di
insegnamento, ne utilizza solo alcune parti, aggiungendo elementi
di anno in anno, e motiva questa scelta sulla base dell’inesperienza
e dell’insicurezza nella gestione della classe. Solo pochissimi
hanno provato in minima parte ad utilizzarlo, dichiarandosi
timorosi del giudizio di colleghi più anziani tradizionalisti.
Per quanto riguarda, invece, gli insegnanti in servizio, si può fare
una distinzione netta tra insegnanti che utilizzano una metodologia
didattica tradizionale di tipo essenzialmente trasmissivo e quelli
che nella loro usuale didattica utilizzano metodologie innovative e
sono interessati ai risultati della ricerca in educazione matematica.
I primi accolgono il percorso con maggiore sospetto e titubanza, se
non, in qualche caso, con aperto scetticismo.
Dagli altri, invece, il percorso è sempre accolto con curiosità e
desiderio di sperimentarlo.
E’ da aggiungere che frequentemente, insegnanti inizialmente
scettici sono stati indotti a provare ad utilizzare il percorso dal
successo ottenuto da colleghi più disponibili alla innovazione.
Tuttavia, in questo caso è necessaria una importante precisazione.
Non ha senso inserire il percorso in un contesto di didattica
disciplinare che nel suo complesso non tenga conto del problema
dell’affettività in matematica.
39
Più precisamente, nella nostra esperienza, i risultati dell’utilizzo del
percorso sono decisamente soddisfacenti quando l’insegnante che
organizza l’attività ha egli per primo una relazione positiva con la
matematica. Viceversa, cioè quando l’insegnante non ha una
relazione positiva con la matematica, i risultati sono deludenti. Per
questo motivo, quando si organizzano progetti per il
superamento delle difficoltà scolastiche in matematica di
studenti attraverso la ristrutturazione della relazione con la
matematica, è necessario innanzitutto organizzare la
ristrutturazione della relazione con la matematica proprio dei
loro insegnanti. La struttura del percorso potrà subire evoluzioni future, sia in
funzione dei risultati della ricerca, sia in funzione delle indicazioni
che verranno dalle sperimentazioni.
La presentazione della attuale struttura in questo lavoro ha, quindi,
come primo obiettivo quello di invitare tutti gli interessati alla
sperimentazione e alla redazione accurata del diario di bordo, per
trarne indicazioni utili al miglioramento del percorso. Come
seconda finalità quella di suscitare interesse, anche teorico, intorno
all’elemento caratterizzante il percorso, ovvero la rielaborazione
delle convinzioni correlate all’apprendimento/insegnamento della
matematica attraverso l’acquisizione della consapevolezza di
particolari sistemi di convinzioni.
Ma la finalità più ambiziosa è quella di porre all’attenzione di tutti
coloro che hanno a cuore la riconquista di un ruolo primario della
matematica nell’educazione della persona, il problema della
ricostruzione di una relazione positiva degli studenti con la
matematica. Troppi studenti hanno una relazione non positiva con
la matematica. Se poi gli strumenti per la riconciliazione degli
studenti con la matematica saranno altri, magari cercati e trovati in
contrapposizione a quello qui presentato, non importa.
40
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42
http://www.neuroscienze.it
APPENDICE 2
L’ispirazione per la redazione di situazioni problematiche o problemi da
proporre tra le attività denominate “Giochi” può essere tratta da riviste
di enigmistica, di giochi, dal sito
http://www.math.unipr.it/~rivista/guzzoni/AVVENIMENTI/news.html
dove sono reperibili i testi della gara matematica RMT (Rallye
Matematico Transalpino) e dai tanti siti internet di giochi vari (ad
esempio, http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/libri.htm).
E’ da sottolineare che i giochi enigmistici, come per esempio il
sudoku, sono da preferirsi ai problemi. Va precisato che, nella proposta
del sudoku, è consigliabile procedere con gradualità iniziando con
schemi di 3 righe e 3 colonne con simboli diversi dalle cifre indo-arabe
(del tipo, ‘sole’, ‘luna’ e ‘stella’), aumentando successivamente il
numero delle righe e delle colonne.
Premesso tutto questo, a titolo di esempio, sono di seguito elencati
alcuni problemi.
Problemi noti o derivati da noti, o problemi qualunque, purché, almeno
inizialmente, molto semplici, del tipo
1. In una famiglia ogni figlio ha almeno un fratello ed una sorella. Qual è il
numero minimo dei figli?
Sol.: 4
2. Uno scoiattolo ha trovato un tronco di albero vuoto e ne ha fatto il
contenitore delle sue riserve alimentari. L’animaletto è preso da una
gran frenesia di procurarsi cibo e riesce ogni giorno a raddoppiare le sue
riserve. Se in 6 giorni riempie la cavità dell’albero, in quanti giorni ne
ha riempita la metà?
Sol: 5
3. In un cassetto ci sono 6 calzini bianchi, 12 neri e 24 blu. Se sono al buio
e non posso vedere il colore dei calzini, qual è il minimo numero di
calzini che dovrò prendere per essere sicuro che almeno due siano dello
stesso colore?
Sol.4
4. Due amici, Carlo e Alberto, fanno una gara di velocità in bicicletta.
Quando Alberto taglia il traguardo stabilito, Carlo è 100 metri indietro.
Carlo chiede la rivincita e Alberto accetta, proponendo di partire
quando Carlo avrà già percorso 100 metri. La gara si svolge senza altre
condizioni cambiate rispetto alla prima gara. Questa volta vincerà Carlo
o vincerà ancora Alberto, oppure taglieranno il traguardo insieme?
Sol. Alberto raggiungerà Carlo a 100 metri dal traguardo e poi, essendo
più veloce, raggiungerà per primo il traguardo anche in questa gara.
5. Cerca di ricostruire quali furono le squadre di calcio che si
classificarono ai primi cinque posti, e in quale ordine, nel campionato
italiano di calcio maschile di serie A cinquant’anni fa (1957/1958). E’
noto che il Napoli non arrivò al quinto posto e arrivò dopo il Padova. La
43
Fiorentina arrivò dopo la Juventus , prima del Padova e prima della
Roma. Una volta trovata la classifica, prova a proporre il problema
cambiando le informazioni.
Sol.: Juventus, Fiorentina, Padova, Napoli, Roma.
6. Oggi la professoressa di matematica ha voglia di giocare. Mette in testa
ad ogni studente della classe un cappello di carta, facendo in modo che
ognuno non conosca il colore del cappello che ha in testa. I cappelli
sono bianchi e rossi. Poi l’insegnante chiede ai ragazzi di mettersi in
fila, uno dietro l’altro, in modo che i colori dei cappelli non siamo
mischiati: dovranno disporsi in fila prima ragazzi con il cappello di un
colore, non importa quale, poi, a seguire, i ragazzi con il cappello
dell’altro colore. Gli studenti non possono comunicare in alcun modo
tra sé e non possono utilizzare alcun espediente: ognuno può solo
vedere il cappello di tutti gli altri. Se riusciranno ad esaudire la
richiesta, l’insegnante non assegnerà compiti per casa per la lezione
successiva. I ragazzi ci riusciranno?
Sol. Gli studenti ci riusciranno. I primi due si metteranno in fila, il terzo
se vedrà cappelli uguali si metterà dietro di loro, se vedrà cappelli
diversi si metterà tra l’uno e l’altro, analogamente si comporterà il
quarto etc.
Un esempio di ‘Gioco’ più difficile:
7. L’insegnante di matematica ha anche oggi (come seguito al n. 6) voglia
di giocare e propone un’altra sfida. Chiede agli studenti di scegliere tra
loro tre compagni ai quali affidare la sorte, si fa per dire, di tutti gli altri.
Se i tre riusciranno a rispondere ad una richiesta dell’insegnante, tutta la
classe avrà il solito premio: niente compiti a casa per la successiva
lezione. L’insegnante dispone in fila, uno dietro l’altro, i tre studenti
scelti e mette loro in testa un cappello senza che nessuno possa vedere
qual è il colore del proprio cappello. Così il primo studente non vede gli
altri due, il secondo vede il primo e il terzo vede gli altri due, che lo
precedono. I cappelli sono scelti casualmente da una busta nella quale ci
sono due cappelli bianchi e due rossi. A quel punto l’insegnante dice:
“Se almeno uno di voi tre mi dirà entro 10 minuti di che colore è il
cappello che ha in testa, tutta la classe avrà il premio. Ma attenzione, se
qualcuno di voi tre fa un’affermazione sbagliata sul colore del cappello
che ha in testa, anche se il tempo a disposizione non è terminato, il
gioco finisce e non avrete il premio!”. E’ possibile riuscire ad avere il
premio, comunque siano estratti dalla busta i cappelli?
Sol. Sì, è possibile. Se la sorte è stata magnanima, il ragazzo ultimo
della fila vedrà sulla testa dei compagni che gli stanno davanti due
cappelli dello stesso colore e potrà affermare con certezza di indossare
un cappello di colore diverso da quello. Se non sarà così, dopo qualche
minuto, lo studente che occupa il posto centrale della fila, capirà di non
essere nella situazione descritta in precedenza, ovvero che il colore del
suo cappello è diverso da quello del cappello del compagno che gli sta
davanti e quindi potrà dire con certezza qual è il colore del cappello che
indossa.
Anche problemi ‘classici’ -come quello del contadino che deve
traghettare un cavolo, un lupo ed una pecora- sono proponibili con la
sola accortezza di utilizzarli (come il n. 7) quando è consolidata l’idea