UN EXTRAÑO ALGORITMO

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Problema CASIO: UN EXTRAÑO ALGORITMO

Ángel es un alumno muy brillante y le gustan los números. Cansado de que su profesor de Matemáticas, Don Manuel Castro, sea el que siempre propone problemas, inventa un algoritmo y se atreve a presentárselo:

A partir de un número dado se construye una sucesión de números de la manera siguiente:

- Cada número es la suma de los cuadrados de las cifras del número precedente.

- Si el primer número es el 2332011, el segundo es

22 + 32 + 32 + 22 + 02 + 12 + 12 = 28

a) ¿Cuál es el tercero? ¿Y el que ocupa el lugar 2013? b) ¿Cuál es el número que ocupa el lugar 2013 partiendo del número 1248?

El Profesor felicitó a Ángel por la iniciativa, animándole a que siguiera trabajando con los números.

Contesta de forma razonada a las cuestiones propuestas por Ángel.

Solución:

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a) Si el primer número es el 2332011, el segundo es

22 +32 +32 +22 +02 +12 +12= 28¿Cuál es el tercero?

¿Y el que ocupa el lugar 2013?

Empezamos por el número 2332011. Veamos el proceso:

1º.- 2332011

2º.- 2² + 3² + 3² + 2² + 0² + 1² + 1² = 28

3º.- 2² + 8² = 68

4º.- 6²+ 8² = 100

5º.- 1² + 0² + 0² = 1

6º.- 1² = 1

7º.- 1² = 1

8º.- ..........

Nos damos cuenta que desde

el 5º lugar hasta el que ocupa

el lugar 2013, el resultado es 1

Nos damos cuenta que desde

el 5º lugar hasta el que ocupa

el lugar 2013, el resultado es 1

Solución:

b) ¿Cuál es el número que ocupa el lugar 2013 partiendo del número 1248?

Veamos el proceso:

1º.- 12482º.- 1² + 2² + 4² + 8² = 853º.- 8² + 5² = 89 4º.- 8²+ 9² = 1455º.- 1² + 4² + 5² = 426º.- 4² + 2² = 207º.- 2² +0²= 48º.- 4²= 169º.- 1² + 6²= 3710º.- 3² + 7²= 5811º.- 5² + 8²= 89

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Solución:

Se observa que el resultado se repite cada 8 pasos, quitando los dos primeros pasos

OCURRE EN LOS PASOS 3º, 11º, 19º, 27º, 35º, …

Así pues, si queremos el número que ocupa el lugar 2013:

Restamos 2013 – 2 = 2011 y dividimos 2011 entre 8 , el resto nos dirá la posición que ocupa el número que ocupa el lugar 2013.

Como el resto es 3, el número que

ocupa el lugar 2013 coincide con el

que ocupa el lugar 3 + 2, es decir, el

5º.

El resultado es 42

Como el resto es 3, el número que

ocupa el lugar 2013 coincide con el

que ocupa el lugar 3 + 2, es decir, el

5º.

El resultado es 42

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Solución:

a) ¿Cuál es el tercero? 68 ¿Y cuál es el que ocupa el lugar 2013? 1

b) ¿Cuál es el número que ocupa el lugar 2013 partiendo del número 1248? 42

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HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES

¿SE PODRÍAN HALLAR DE OTRA FORMA?