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Uma Introdução àTeoria Econômica dos Jogos
Humberto José Bortolossi1 Gilmar Garbugio2
Brígida Alexandre Sartini3
1Universidade Federal Fluminense
2Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia
3Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
26o Colóquio Brasileiro de MatemáticaIMPA
29 de julho a 3 de agosto de 2007
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 1
Teoria dos jogos: descrição informal
Criada para se modelar fenômenos que podem serobservados quando dois ou mais agentes de decisãointeragem entre si.
Aplicações em eleições, leilões, balança de poder,evolução genética, etc. Mas sua teoria matemática éinteressante por si própria.
Teoria econômica × teoria combinatória dos jogos.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 3
Um pouco de história . . .
Waldegrave Cournot Zermelo Borel(1713) (1838) (1913) (1921)
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Um pouco de história . . .
1944: John von Neumann e OscarMorgenstern (The Theory of Games andEconomic Behaviour).
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Um pouco de história . . .
1950: John Nash (existência deum equilíbrio de estratégias mistaspara jogos não-cooperativos comn jogadores).
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Um pouco de história . . .
1994: John Nash, John Harsanyi e Reinhard Selten(prêmio Nobel de economia)
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O que é um jogo?
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Exemplo: o dilema do prisioneiro
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 9
Exemplo: o dilema do prisioneiro
G={Al,Bob}, SAl={confessar,negar}, SBob={confessar,negar},
S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}.
Função utilidade de Al
uAl : S→R
uAl(confessar,confessar)=−5, uAl(confessar,negar)=0,
uAl(negar,confessar)=−10, uAl(negar,negar)=−1,
Função utilidade de Bob
uBob : S→R
uBob(confessar,confessar)=−5, uBob(confessar,negar)=−10,
uBob(negar,confessar)=0, uBob(negar,negar)=−1
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 10
Exemplo: o dilema do prisioneiro
G={Al,Bob}, SAl={confessar,negar}, SBob={confessar,negar},
S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}.
Função utilidade de Al
uAl : S→R
uAl(confessar,confessar)=−5, uAl(confessar,negar)=0,
uAl(negar,confessar)=−10, uAl(negar,negar)=−1,
Função utilidade de Bob
uBob : S→R
uBob(confessar,confessar)=−5, uBob(confessar,negar)=−10,
uBob(negar,confessar)=0, uBob(negar,negar)=−1
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Exemplo: o dilema do prisioneiro
G={Al,Bob}, SAl={confessar,negar}, SBob={confessar,negar},
S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}.
Função utilidade de Al
uAl : S→R
uAl(confessar,confessar)=−5, uAl(confessar,negar)=0,
uAl(negar,confessar)=−10, uAl(negar,negar)=−1,
Função utilidade de Bob
uBob : S→R
uBob(confessar,confessar)=−5, uBob(confessar,negar)=−10,
uBob(negar,confessar)=0, uBob(negar,negar)=−1
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Exemplo: o dilema do prisioneiro
G={Al,Bob}, SAl={confessar,negar}, SBob={confessar,negar},
S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}.
Função utilidade de Al
uAl : S→R
uAl(confessar,confessar)=−5, uAl(confessar,negar)=0,
uAl(negar,confessar)=−10, uAl(negar,negar)=−1,
Função utilidade de Bob
uBob : S→R
uBob(confessar,confessar)=−5, uBob(confessar,negar)=−10,
uBob(negar,confessar)=0, uBob(negar,negar)=−1
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Exemplo: o dilema do prisioneiro
MATRIZ DE PAYOFFS
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
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O que é um jogo?
JOGO FINITO NA FORMA ESTRATÉGICA
Existe um conjunto finito de jogadores: G = {g1, . . . , gn}.
Cada jogador gi ∈ G possui um conjunto finito deestratégias puras: Si = {si1, si2, . . . , simi}.
O produto cartesiano S =∏n
i=1 Si = S1 × S2 × · · · × Sn,é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seuselementos de perfis de estratégia pura.
Para cada jogador gi ∈ G, existe uma função utilidadeui : S → R que associa o ganho (payoff) ui(s) do jogador gia cada perfil de estratégia pura s ∈ S.
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O que é um jogo?
JOGO FINITO NA FORMA ESTRATÉGICA
Existe um conjunto finito de jogadores: G = {g1, . . . , gn}.
Cada jogador gi ∈ G possui um conjunto finito deestratégias puras: Si = {si1, si2, . . . , simi}.
O produto cartesiano S =∏n
i=1 Si = S1 × S2 × · · · × Sn,é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seuselementos de perfis de estratégia pura.
Para cada jogador gi ∈ G, existe uma função utilidadeui : S → R que associa o ganho (payoff) ui(s) do jogador gia cada perfil de estratégia pura s ∈ S.
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O que é um jogo?
JOGO FINITO NA FORMA ESTRATÉGICA
Existe um conjunto finito de jogadores: G = {g1, . . . , gn}.
Cada jogador gi ∈ G possui um conjunto finito deestratégias puras: Si = {si1, si2, . . . , simi}.
O produto cartesiano S =∏n
i=1 Si = S1 × S2 × · · · × Sn,é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seuselementos de perfis de estratégia pura.
Para cada jogador gi ∈ G, existe uma função utilidadeui : S → R que associa o ganho (payoff) ui(s) do jogador gia cada perfil de estratégia pura s ∈ S.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 17
O que é um jogo?
JOGO FINITO NA FORMA ESTRATÉGICA
Existe um conjunto finito de jogadores: G = {g1, . . . , gn}.
Cada jogador gi ∈ G possui um conjunto finito deestratégias puras: Si = {si1, si2, . . . , simi}.
O produto cartesiano S =∏n
i=1 Si = S1 × S2 × · · · × Sn,é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seuselementos de perfis de estratégia pura.
Para cada jogador gi ∈ G, existe uma função utilidadeui : S → R que associa o ganho (payoff) ui(s) do jogador gia cada perfil de estratégia pura s ∈ S.
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Exemplo: a batalha dos sexos
G={homem,mulher}, Shomem={futebol,cinema}, Smulher={futebol,cinema},
S={(futebol,futebol),(futebol,cinema),(cinema,futebol),(cinema,cinema)}.
MATRIZ DE PAYOFFS
Mulherfutebol cinema
Hom
em
futebol (10, 5) (0, 0)
cinema (0, 0) (5, 10)
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Exemplo: o jogo sete/meio de Silvio Santos
(NADA, NADA) (TUDO, NADA)
(NADA, TUDO) (METADE, METADE)
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Notações
S = S1×· · ·Si−1×Si×Si+1×· · ·×Sn, Si = {si1, . . . , simi},
s = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1
, . . . , snjn) ∈S = S1 × · · ·Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn,
s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, s(i+1)ji+1
, . . . , snjn) ∈S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn,
s = (siji , s−i) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1
, . . . , snjn).
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Notações
S = S1×· · ·Si−1×Si×Si+1×· · ·×Sn, Si = {si1, . . . , simi},
s = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1
, . . . , snjn) ∈S = S1 × · · ·Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn,
s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, s(i+1)ji+1
, . . . , snjn) ∈S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn,
s = (siji , s−i) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1
, . . . , snjn).
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Notações
S = S1×· · ·Si−1×Si×Si+1×· · ·×Sn, Si = {si1, . . . , simi},
s = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1
, . . . , snjn) ∈S = S1 × · · ·Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn,
s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, s(i+1)ji+1
, . . . , snjn) ∈S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn,
s = (siji , s−i) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1
, . . . , snjn).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 23
Notações
S = S1×· · ·Si−1×Si×Si+1×· · ·×Sn, Si = {si1, . . . , simi},
s = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1
, . . . , snjn) ∈S = S1 × · · ·Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn,
s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, s(i+1)ji+1
, . . . , snjn) ∈S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn,
s = (siji , s−i) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1
, . . . , snjn).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 24
Notações
S = S1×· · ·Si−1×Si×Si+1×· · ·×Sn, Si = {si1, . . . , simi},
s = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1
, . . . , snjn) ∈S = S1 × · · ·Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn,
s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, s(i+1)ji+1
, . . . , snjn) ∈S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn,
s = (siji , s−i) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1, siji , s(i+1)ji+1
, . . . , snjn).
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Solução de um jogo: dominância estrita
Dizemos que uma estratégia pura sik ∈ Si dojogador gi ∈ G é estritamente dominada pelaestratégia sik ′ ∈ Si se
ui(sik ′ , s−i) > ui(sik , s−i),
para todo s−i ∈ S−i .
Dominância estrita iterada é o processo no qual,seqüencialmente, se eliminam as estratégias que sãoestritamente dominadas.
Se, no final do processo, o jogo se reduz para um únicoperfil de estratégias puras s∗, dizemos que s∗ é umequilíbrio de estratégia estritamente dominante.
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Solução de um jogo: dominância estrita
Dizemos que uma estratégia pura sik ∈ Si dojogador gi ∈ G é estritamente dominada pelaestratégia sik ′ ∈ Si se
ui(sik ′ , s−i) > ui(sik , s−i),
para todo s−i ∈ S−i .
Dominância estrita iterada é o processo no qual,seqüencialmente, se eliminam as estratégias que sãoestritamente dominadas.
Se, no final do processo, o jogo se reduz para um únicoperfil de estratégias puras s∗, dizemos que s∗ é umequilíbrio de estratégia estritamente dominante.
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Dominância estrita: exemplo
g2s21 s22 s23 s24
g1
s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)
s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)
s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)
s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)
(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
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Dominância estrita: exemplo
g2s21 s22 s23 s24
g1
s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)
s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)
s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)
s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)
(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
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Dominância estrita: exemplo
g2s21 s22 s23 s24
g1
s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)
s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)
s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)
s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)
(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
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Dominância estrita: exemplo
g2s21 s22 s23 s24
g1
s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)
s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)
s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)
s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)
(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 31
Dominância estrita: exemplo
g2s21 s22 s23 s24
g1
s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)
s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)
s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)
s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)
(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 32
Dominância estrita: exemplo
g2s21 s22 s23 s24
g1
s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)
s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)
s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)
s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)
(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
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Dominância estrita: exemplo
g2s21 s22 s23 s24
g1
s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)
s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)
s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)
s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)
(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
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Dominância estrita: exemplo
g2s21 s22 s23 s24
g1
s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)
s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)
s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)
s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)
(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
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Dominância estrita: exemplo
g2s21 s22 s23 s24
g1
s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)
s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)
s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)
s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)
(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
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Dominância estrita: exemplo
g2s21 s22 s23 s24
g1
s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)
s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)
s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)
s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)
(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
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Dominância estrita: exemplo
g2s21 s22 s23 s24
g1
s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)
s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)
s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)
s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)
(s12, s22) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
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Dominância estrita: o dilema do prisioneiro
MATRIZ DE PAYOFFS
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
(confessar, confessar) é umequilíbrio de estratégia estritamente dominante.
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Dominância estrita: o dilema do prisioneiro
MATRIZ DE PAYOFFS
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
(confessar, confessar) é umequilíbrio de estratégia estritamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 40
Dominância estrita: a batalha dos sexos
MATRIZ DE PAYOFFS
Mulherfutebol cinema
Hom
em
futebol (10, 5) (0, 0)
cinema (0, 0) (5, 10)
Este jogo não possui estratégias estritamente dominantes!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 41
Dominância estrita: a batalha dos sexos
MATRIZ DE PAYOFFS
Mulherfutebol cinema
Hom
em
futebol (10, 5) (0, 0)
cinema (0, 0) (5, 10)
Este jogo não possui estratégias estritamente dominantes!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 42
Dominância estrita: mais um exemplo
g2s21 s22
g1s11 (1, 1) (1, 0)
s12 (1, 0) (0, 1)
Este jogo também não possui estratégias estritamentedominantes!
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Solução de um jogo: dominância fraca
Dizemos que uma estratégia pura sik ∈ Si dojogador gi ∈ G é fracamente dominada pelaestratégia sik ′ ∈ Si se
ui(sik ′ , s−i) ≥ ui(sik , s−i),
para todo s−i ∈ S−i e, pelo menos para um s•−i ∈ S−i ,
ui(sik ′ , s•−i) > ui(sik , s•−i).
Se, no final do processo de eliminação de estratégiasfracamente dominadas, o jogo se reduz para um únicoperfil de estratégias puras s∗, dizemos que s∗ é umequilíbrio de estratégia fracamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 44
Dominância fraca: exemplo
g2s21 s22
g1s11 (1, 1) (1, 0)
s12 (1, 0) (0, 1)
(s11, s21) é um equilíbrio de estratégia fracamente dominante.
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O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 46
O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 47
O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 48
O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 49
O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 50
O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 51
O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 52
O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 53
O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
g2
s21 s22 s23
g1s11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 54
Solução de um jogo: equilíbrio de Nash
Uma solução estratégica ou equilíbrio de Nash de umjogo é um ponto onde cada jogador não tem incentivode mudar sua estratégia se os demais jogadores não ofizerem.
Mais precisamente, dizemos que um perfil de estratégia
s∗ = (s∗1, . . . , s∗(i−1), s∗i , s∗(i+1), . . . , s∗n) ∈ S
é um equilíbrio de Nash em estratégias puras se
ui(s∗i , s∗−i) ≥ ui(siji , s∗−i)
para todo i = 1, . . . , n e para todo ji = 1, . . . , mi .
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 55
Equilíbrio de Nash: o dilema do prisioneiro
MATRIZ DE PAYOFFS
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
(confessar, confessar) é o único equilíbrio de Nash.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 56
Equilíbrio de Nash: a batalha dos sexos
MATRIZ DE PAYOFFS
Mulherfutebol cinema
Hom
em
futebol (10, 5) (0, 0)
cinema (0, 0) (5, 10)
(futebol, futebol) e (cinema, cinema)são os únicos equilíbrios de Nash.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 57
Equilíbrio de Nash: outro exemplo
g2s21 s22 s23 s24
g1
s11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)
s12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)
s13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)
s14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)
(s12, s22) é o único equilíbrio de Nash.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 58
Equilíbrio de Nash: comparar moedas
NEM TODO JOGO POSSUI UM EQUILÍBRIO DE NASH EM
ESTRATÉGIAS PURAS!
g2cara coroa
g1
cara (+1,−1) (−1,+1)
coroa (−1,+1) (+1,−1)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 59
Equilíbrio de Nash: comparar moedas
NEM TODO JOGO POSSUI UM EQUILÍBRIO DE NASH EM
ESTRATÉGIAS PURAS!
g2cara coroa
g1
cara (+1,−1) (−1,+1)
coroa (−1,+1) (+1,−1)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 60
Relações entre dominância e equilíbrio de Nash
Proposição 1. O processo de dominância estritaiterada não pode eliminar um equilíbrio de Nash aosimplificar um jogo.
Proposição 2. Se o processo de dominância estritaiterada deixa apenas um único perfil de estratégiaspuras s∗, então s∗ é o único equilíbrio de Nash do jogo.
A Proposição 1 é falsa para dominância fraca.(exercício [10], página 58)
A Proposição 2 continua verdadeira para dominância fraca(sem unicidade).
(exercício [11], página 58)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 61
Relações entre dominância e equilíbrio de Nash
Proposição 1. O processo de dominância estritaiterada não pode eliminar um equilíbrio de Nash aosimplificar um jogo.
Proposição 2. Se o processo de dominância estritaiterada deixa apenas um único perfil de estratégiaspuras s∗, então s∗ é o único equilíbrio de Nash do jogo.
A Proposição 1 é falsa para dominância fraca.(exercício [10], página 58)
A Proposição 2 continua verdadeira para dominância fraca(sem unicidade).
(exercício [11], página 58)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 62
Relações entre dominância e equilíbrio de Nash
Proposição 1. O processo de dominância estritaiterada não pode eliminar um equilíbrio de Nash aosimplificar um jogo.
Proposição 2. Se o processo de dominância estritaiterada deixa apenas um único perfil de estratégiaspuras s∗, então s∗ é o único equilíbrio de Nash do jogo.
A Proposição 1 é falsa para dominância fraca.(exercício [10], página 58)
A Proposição 2 continua verdadeira para dominância fraca(sem unicidade).
(exercício [11], página 58)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 63
Relações entre dominância e equilíbrio de Nash
Proposição 2. Se o processo de dominância estritaiterada deixa apenas um único perfil de estratégiaspuras s∗, então s∗ é o único equilíbrio de Nash do jogo.
A recíproca da Proposição 2 é falsa!
g2s21 s22 s23
g1
s11 (−1,+1) (+1,−1) (−1,+1)
s12 (+1,−1) (−1,+1) (+1,−1)
s13 (−1,+1) (+1,−1) (+5,+5)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 64
Exercício [01]: simplifique usando dominância estrita
g2s21 s22 s23 s24
g1
s11 (3, 0) (1, 1) (5, 4) (0, 2)
s12 (1, 1) (3, 2) (6, 0) (2,−1)
s13 (0, 2) (4, 4) (7, 2) (3, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 65
Exercício [07]: simplifique usando dominância estrita!
Cz1 z2 z3 z4
Se B escolhe y1: A
x1 (5, 0, 2) (1, 0, 1) (3, 0, 6) (1, 2, 1)
x2 (3, 2, 2) (9, 1, 8) (2, 0, 5) (2, 0, 2)
x3 (1, 0, 0) (1, 0, 9) (4, 0, 8) (3, 0, 3)
Cz1 z2 z3 z4
Se B escolhe y2: A
x1 (0, 1, 1) (0, 1, 2) (2, 1, 3) (0, 3, 9)
x2 (0, 3, 2) (1, 2, 3) (2, 1, 8) (2, 1, 0)
x3 (1, 1, 0) (2, 1, 1) (3, 2, 2) (3, 1, 3)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 66
Exercício [08]: simplifique usando dominância estrita!
Cz1 z2 z3 z4
Se B escolhe y1: A
x1 (1, 2, 9) (2, 9, 9) (3, 7, 9) (2, 8, 9)
x2 (3, 8, 3) (4, 5, 4) (4, 1, 3) (3, 9, 3)
x3 (2, 9, 9) (3, 9, 9) (3, 9, 9) (2, 9, 9)
Cz1 z2 z3 z4
Se B escolhe y2: A
x1 (2, 1, 9) (3, 9, 9) (2, 9, 9) (1, 9, 9)
x2 (4, 9, 1) (4, 2, 2) (3, 2, 1) (2, 2, 1)
x3 (1, 9, 9) (2, 9, 9) (2, 9, 9) (1, 9, 9)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 67
Solução de um jogo: equilíbrio de Nash
Uma solução estratégica ou equilíbrio de Nash de umjogo é um ponto onde cada jogador não tem incentivode mudar sua estratégia se os demais jogadores não ofizerem.
Mais precisamente, dizemos que um perfil deestratégia s∗ = (s∗i , s∗−i) é um equilíbrio de Nashem estratégias puras se
ui(s∗i , s∗−i) ≥ ui(siji , s∗−i)
para todo i = 1, . . . , n e para todo ji = 1, . . . , mi .
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 69
Equilíbrio de Nash: o dilema do prisioneiro
MATRIZ DE PAYOFFS
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
(confessar, confessar) é o único equilíbrio de Nash.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 70
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
Se Bob confessar, qual é a melhor resposta de Al ?
Al deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 71
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
Se Bob confessar, qual é a melhor resposta de Al ?
Al deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 72
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
Se Bob confessar, qual é a melhor resposta de Al ?
Al deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 73
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
Se Bob negar, qual é a melhor resposta de Al ?
Al deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 74
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
Se Bob negar, qual é a melhor resposta de Al ?
Al deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 75
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
Se Al confessar, qual é a melhor resposta de Bob?
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 76
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
Se Al confessar, qual é a melhor resposta de Bob?
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 77
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
Se Al negar, qual é a melhor resposta de Bob?
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 78
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
Se Al negar, qual é a melhor resposta de Bob?
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 79
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
confessar ∈ MRAl (confessar) e confessar ∈ MRBob(confessar)
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 80
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
confessar ∈ MRAl (confessar) e confessar ∈ MRBob(confessar)
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 81
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
confessar ∈ MRAl (confessar) e confessar ∈ MRBob(confessar)
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar} MRAl (negar) = {confessar}MRBob(confessar) = {confessar} MRBob(negar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 82
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Mulherfutebol cinema
Hom
em
futebol (10, 5) (0, 0)
cinema (0, 0) (5, 10)
futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)
cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 83
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Mulherfutebol cinema
Hom
em
futebol (10, 5) (0, 0)
cinema (0, 0) (5, 10)
futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)
cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 84
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Mulherfutebol cinema
Hom
em
futebol (10, 5) (0, 0)
cinema (0, 0) (5, 10)
futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)
cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 85
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Mulherfutebol cinema
Hom
em
futebol (10, 5) (0, 0)
cinema (0, 0) (5, 10)
futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)
cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 86
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Mulherfutebol cinema
Hom
em
futebol (10, 5) (0, 0)
cinema (0, 0) (5, 10)
futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)
cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 87
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Mulherfutebol cinema
Hom
em
futebol (10, 5) (0, 0)
cinema (0, 0) (5, 10)
futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)
cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 88
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Mulherfutebol cinema
Hom
em
futebol (10, 5) (0, 0)
cinema (0, 0) (5, 10)
futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)
cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 89
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Mulherfutebol cinema
Hom
em
futebol (10, 5) (0, 0)
cinema (0, 0) (5, 10)
futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)
cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 90
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Mulherfutebol cinema
Hom
em
futebol (10, 5) (0, 0)
cinema (0, 0) (5, 10)
futebol ∈ MRHomem( futebol) e futebol ∈ MRMulher ( futebol)
cinema ∈ MRHomem(cinema) e cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem(futebol) = {futebol} MRHomem(cinema) = {cinema}MRMulher (futebol) = {futebol} MRMulher (cinema) = {cinema}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 91
Melhor Resposta e Equilíbrios de Nash
s∗ = (s∗1, . . . , s∗i , . . . , s∗n) ∈ S é um equilíbrio de Nash
m
s∗i ∈ MRi(s∗−i), ∀i = 1, . . . , n.
Proposição
MRi : S−i → 2Si
MRi(s−i) = argmaxsi∈Siui(si , s−i)
= {s∗i ∈ Si | ∀si ∈ Si , ui(s∗i , s−i) ≥ ui(si , s−i)},
Definição
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 92
Equilíbrio de Nash: comparar moedas
O que fazer quando não existem equilíbrios de Nash emestratégias puras?
Tente a sorte!
g2cara coroa
g1
cara (+1,−1) (−1,+1)
coroa (−1,+1) (+1,−1)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 93
Equilíbrio de Nash: comparar moedas
O que fazer quando não existem equilíbrios de Nash emestratégias puras?
Tente a sorte!
g2cara coroa
g1
cara (+1,−1) (−1,+1)
coroa (−1,+1) (+1,−1)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 94
Distribuições de probabilidades
S = {A, B}
AB
AB
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 95
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobreum conjunto S = {A, B} de dois elementos?
∆2 = {(p1, p2) ∈ R2 | 0 ≤ p1, p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 96
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobreum conjunto S = {A, B} de dois elementos?
∆2 = {(p1, p2) ∈ R2 | 0 ≤ p1, p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 97
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobreum conjunto S = {A, B} de dois elementos?
∆2 = {(p1, p2) ∈ R2 | 0 ≤ p1, p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.
10
1
p1
p2
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Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobreum conjunto S = {A, B} de dois elementos?
∆2 = {(p1, p2) ∈ R2 | 0 ≤ p1, p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.
11/20
1
p1
p2
AB
1/2
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Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobreum conjunto S = {A, B} de dois elementos?
∆2 = {(p1, p2) ∈ R2 | 0 ≤ p1, p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.
11/40
1
p1
p2
AB
3/4A
B
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Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobreum conjunto S = {A, B, C} de três elementos?
∆3 = {(p1, p2, p3) ∈ R3 | 0 ≤ p1, p2, p3 ≤ 1 e p1+p2+p3 = 1}.
00
1
1
1
p1
p2
p3
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Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobreum conjunto S = {A, B, C} de três elementos?
∆3 = {(p1, p2, p3) ∈ R3 | 0 ≤ p1, p2, p3 ≤ 1 e p1+p2+p3 = 1}.
00
1
1
1
p1
p2
p3
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 102
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobreum conjunto S = {A, B, C} de três elementos?
∆3 = {(p1, p2, p3) ∈ R3 | 0 ≤ p1, p2, p3 ≤ 1 e p1+p2+p3 = 1}.
00
1
1
1
p1
p2
p3
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Distribuições de probabilidades
∆n =
{(p1, . . . , pn) ∈ Rn | 0 ≤ p1, . . . , pn ≤ 1 e
n∑i=1
pi = 1
}.
∆n é convexo e compacto em Rn.
Um conjunto C ⊂ Rn é convexo se o segmento de reta que unedois pontos quaisquer de C está sempre contido em C.
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Distribuições de probabilidades
∆n =
{(p1, . . . , pn) ∈ Rn | 0 ≤ p1, . . . , pn ≤ 1 e
n∑i=1
pi = 1
}.
∆n é convexo e compacto em Rn.
Um conjunto C ⊂ Rn é convexo se o segmento de reta que unedois pontos quaisquer de C está sempre contido em C.
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Distribuições de probabilidades
∆n =
{(p1, . . . , pn) ∈ Rn | 0 ≤ p1, . . . , pn ≤ 1 e
n∑i=1
pi = 1
}.
∆n é convexo e compacto em Rn.
Um conjunto C ⊂ Rn é convexo se o segmento de reta que unedois pontos quaisquer de C está sempre contido em C.
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Distribuições de probabilidades
∆n =
{(p1, . . . , pn) ∈ Rn | 0 ≤ p1, . . . , pn ≤ 1 e
n∑i=1
pi = 1
}.
∆n é convexo e compacto em Rn.
Um conjunto C ⊂ Rn é convexo se ∀p, q ∈ C,(1− t) · p + t · q ∈ C, ∀t ∈ [0, 1].
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Distribuições de probabilidades
∆n =
{(p1, . . . , pn) ∈ Rn | 0 ≤ p1, . . . , pn ≤ 1 e
n∑i=1
pi = 1
}.
∆n é convexo e compacto em Rn.
Um conjunto C ⊂ Rn é compacto se ele é limitado e fechado.dois pontos quaisquer de C está sempre contido em C.
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Média dos payoffs
q1 q2U V
p1 A (a, x) (b, y)
p2 B (c, z) (d , w)
0 ≤ p1, p2 ≤ 1, p1 + p2 = 1.
0 ≤ q1, q2 ≤ 1, q1 + q2 = 1.
u1(p1, p2, q1, q2) = p1q1a + p1q2b + p2q1c + p2q2d ,
u2(p1, p2, q1, q2) = p1q1x + p1q2y + p2q1z + p2q2w .
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Exemplo: média dos payoffs
1/3 2/3s21 s22
1/4 s11 (+1,−1) (−1,+1)
3/4 s12 (−1,+1) (+1,−1)
u1(14 , 3
4 , 13 , 2
3) = 14
13(+1)+ 1
423(−1)+ 3
413(−1)+ 3
423(+1) = +
16
,
u2(14 , 3
4 , 13 , 2
3) = 14
13(−1)+ 1
423(+1)+ 3
413(+1)+ 3
423(−1) = −1
6.
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Exemplo: média dos payoffs
1/2 1/2s21 s22
1/2 s11 (+1,−1) (−1,+1)
1/2 s12 (−1,+1) (+1,−1)
u1(12 , 1
2 , 12 , 1
2) = 12
12(+1) + 1
212(−1) + 1
212(−1) + 1
212(+1) = 0,
u2(12 , 1
2 , 12 , 1
2) = 12
12(−1) + 1
212(+1) + 1
212(+1) + 1
212(−1) = 0.
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Exemplo: média dos payoffs
1 0s21 s22
1 s11 (+1,−1) (−1,+1)
0 s12 (−1,+1) (+1,−1)
u1(1, 0, 1, 0) = (1)(1)(+1) + (1)(0)(−1) + (0)(1)(−1) + (0)(0)(+1) = +1,
u2(1, 0, 1, 0) = (1)(1)(−1) + (1)(0)(+1) + (0)(1)(+1) + (0)(0)(−1) = −1.
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Notações
S = S1×· · ·Si−1×Si×Si+1×· · ·×Sn, Si = {si1, . . . , simi},
∆ = ∆m1 × · · ·∆mi−1 ×∆mi ×∆mi+1 × · · · ×∆mn ,
p = (p1, p2, . . . , pn)
= (p11, p12, . . . , p1m1︸ ︷︷ ︸p1
; p21, p22, . . . , p2m2︸ ︷︷ ︸p2
; . . . ; pn1, pn2, . . . , pnmn︸ ︷︷ ︸pn
),
∈ ∆ = ∆m1 × · · ·∆mi−1 ×∆mi ×∆mi+1 × · · · ×∆mn ,
p = (pi , p−i).
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Notações
S = S1×· · ·Si−1×Si×Si+1×· · ·×Sn, Si = {si1, . . . , simi},
∆ = ∆m1 × · · ·∆mi−1 ×∆mi ×∆mi+1 × · · · ×∆mn ,
p = (p1, p2, . . . , pn)
= (p11, p12, . . . , p1m1︸ ︷︷ ︸p1
; p21, p22, . . . , p2m2︸ ︷︷ ︸p2
; . . . ; pn1, pn2, . . . , pnmn︸ ︷︷ ︸pn
),
∈ ∆ = ∆m1 × · · ·∆mi−1 ×∆mi ×∆mi+1 × · · · ×∆mn ,
p = (pi , p−i).
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Notações
p = (p1, p2, . . . , pn)
= (p11, p12, . . . , p1m1︸ ︷︷ ︸p1
; p21, p22, . . . , p2m2︸ ︷︷ ︸p2
; . . . ; pn1, pn2, . . . , pnmn︸ ︷︷ ︸pn
),
∈ ∆ = ∆m1 × · · ·∆mi−1 ×∆mi ×∆mi+1 × · · · ×∆mn ,
ui(p) =
m1∑j1=1
m2∑j2=1
· · ·mn∑
jn=1
p1j1 · p2j2 · · ·pnjn · ui(s1j1 , s2j2 , . . . , snjn).
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Solução de um jogo: equilíbrio de Nash
Um equilíbrio de Nash em estratégias mistas de um jogoé um ponto onde cada jogador não tem incentivo demudar sua escolha de distribuição de probabilidades seos demais jogadores não o fizerem.
Mais precisamente, dizemos que um perfil de estratégia
p∗ = (p∗1, p∗2, . . . , p∗n) ∈ ∆ = ∆m1 ×∆m2 × · · · ×∆mn
é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas se
ui(p∗i , p∗−i) ≥ ui(p, p∗−i)
para todo p ∈ ∆mi , com i = 1, . . . , n.
Definição
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Exemplo: equilíbrio de Nash
q 1− qs21 s22
p s11 (+1,−1) (−1,+1)
1− p s12 (−1,+1) (+1,−1)
u1(p, q) = +4pq − 2q − 2p + 1 e u2(p, q) = −4pq + 2q + 2p − 1.
(p, q) = (1/2, 1/2) é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas.
u1(p, 1/2) = 0 ≤ 0 = u1(1/2, 1/2),
u2(1/2, q) = 0 ≤ 0 = u2(1/2, 1/2).
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Exemplo: equilíbrio de Nash
q 1− qs21 s22
p s11 (+1,−1) (−1,+1)
1− p s12 (−1,+1) (+1,−1)
u1(p, q) = +4pq − 2q − 2p + 1 e u2(p, q) = −4pq + 2q + 2p − 1.
(p, q) = (1/3, 2/3) não é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas.
u1(1/3, 2/3) = −1/9 < +1/3 = u1(1, 2/3).
u1(1/3, 2/3) = −1/9 < +1/3 = u1(1, 2/3).
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O teorema de equilíbrio de Nash (1950)
Todo jogo finito na forma estratégicapossui pelos um equilíbrio de Nash emestratégias mistas.
Mas como calculá-lo?
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O teorema de equilíbrio de Nash (1950)
Todo jogo finito na forma estratégicapossui pelos um equilíbrio de Nash emestratégias mistas.
Mas como calculá-lo?
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Funções de melhor resposta em estratégias mistas
MRi(p−i)
=
argmaxpi∈∆(Si )ui(pi , p−i)
=
{p∗i ∈ ∆(Si) | ∀pi ∈ ∆(Si), ui(p∗i , p−i) ≥ ui(pi , p−i)}
MRi : ∆(S−i) → 2∆(Si )
MRi(p−i) 6= ∅ pelo Teorema de Weierstrass:∆(Si) é compacto não-vazio e pi 7→ ui(pi , p−i) é contínua.
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Funções de melhor resposta em estratégias mistas
MRi(p−i)
=
argmaxpi∈∆(Si )ui(pi , p−i)
=
{p∗i ∈ ∆(Si) | ∀pi ∈ ∆(Si), ui(p∗i , p−i) ≥ ui(pi , p−i)}
MRi : ∆(S−i) → 2∆(Si )
MRi(p−i) 6= ∅ pelo Teorema de Weierstrass:∆(Si) é compacto não-vazio e pi 7→ ui(pi , p−i) é contínua.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 122
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
MRi(p−i) = argmaxpi∈∆(Si )ui(pi , p−i)
p∗ = (p∗1, . . . , p∗i , . . . , p∗n) ∈ ∆ é um equilíbrio de Nash
m
p∗i ∈ MRi(p∗−i), ∀i = 1, . . . , n.
Proposição
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Funções de melhor resposta em estratégias mistas
q 1− qfutebol cinema
p futebol (10, 5) (0, 0)
1− p cinema (0, 0) (5, 10)
uMulher(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 10− 10 q − 10 p
uHomem(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 5− 5 q − 5 p
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Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 10− 10 q − 10 p= 5 (3 p − 2) q + 10 (1− p).
MRMulher(p) = argmaxq∈[0,1](5 (3 p − 2) q + 10 (1− p)),
MRMulher(p) =
{0}, se p ∈ [0, 2/3),[0, 1], se p = 2/3,{1}, se p ∈ (2/3, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 125
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 10− 10 q − 10 p= 5 (3 p − 2) q + 10 (1− p).
MRMulher(p) = argmaxq∈[0,1](5 (3 p − 2) q + 10 (1− p)),
MRMulher(p) =
{0}, se p ∈ [0, 2/3),[0, 1], se p = 2/3,{1}, se p ∈ (2/3, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 126
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 10− 10 q − 10 p= 5 (3 p − 2) q + 10 (1− p).
MRMulher(p) = argmaxq∈[0,1](5 (3 p − 2) q + 10 (1− p)),
MRMulher(p) =
{0}, se p ∈ [0, 2/3),[0, 1], se p = 2/3,{1}, se p ∈ (2/3, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 127
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 10− 10 q − 10 p= 5 (3 p − 2) q + 10 (1− p).
MRMulher(p) = argmaxq∈[0,1](5 (3 p − 2) q + 10 (1− p)),
MRMulher(p) =
{0}, se p ∈ [0, 2/3),[0, 1], se p = 2/3,{1}, se p ∈ (2/3, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 128
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 10− 10 q − 10 p= 5 (3 p − 2) q + 10 (1− p).
MRMulher(p) = argmaxq∈[0,1](5 (3 p − 2) q + 10 (1− p)),
MRMulher(p) =
{0}, se p ∈ [0, 2/3),[0, 1], se p = 2/3,{1}, se p ∈ (2/3, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 129
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 10− 10 q − 10 p= 5 (3 p − 2) q + 10 (1− p).
MRMulher(p) = argmaxq∈[0,1](5 (3 p − 2) q + 10 (1− p)),
MRMulher(p) =
{0}, se p ∈ [0, 2/3),[0, 1], se p = 2/3,{1}, se p ∈ (2/3, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 130
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 10− 10 q − 10 p= 5 (3 p − 2) q + 10 (1− p).
MRMulher(p) = argmaxq∈[0,1](5 (3 p − 2) q + 10 (1− p)),
MRMulher(p) =
{0}, se p ∈ [0, 2/3),[0, 1], se p = 2/3,{1}, se p ∈ (2/3, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 131
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
MRMulher(p) =
{0}, se p ∈ [0, 2/3),[0, 1], se p = 2/3,{1}, se p ∈ (2/3, 1].
1 p (Homem)0
1
q
2/3
(Cinema)
(Cinema)
(Futebol)
(Mulher)
(Futebol)
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Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 5− 5 q − 5 p= 5 (3 q − 1) p + 5 (1− q).
MRHomem(q) = argmaxp∈[0,1](5 (3 q − 1) p + 5 (1− q)).
MRHomem(q) =
{0}, se q ∈ [0, 1/3),[0, 1], se q = 1/3,{1}, se q ∈ (1/3, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 133
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 5− 5 q − 5 p= 5 (3 q − 1) p + 5 (1− q).
MRHomem(q) = argmaxp∈[0,1](5 (3 q − 1) p + 5 (1− q)).
MRHomem(q) =
{0}, se q ∈ [0, 1/3),[0, 1], se q = 1/3,{1}, se q ∈ (1/3, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 134
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 5− 5 q − 5 p= 5 (3 q − 1) p + 5 (1− q).
MRHomem(q) = argmaxp∈[0,1](5 (3 q − 1) p + 5 (1− q)).
MRHomem(q) =
{0}, se q ∈ [0, 1/3),[0, 1], se q = 1/3,{1}, se q ∈ (1/3, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 135
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 5− 5 q − 5 p= 5 (3 q − 1) p + 5 (1− q).
MRHomem(q) = argmaxp∈[0,1](5 (3 q − 1) p + 5 (1− q)).
MRHomem(q) =
{0}, se q ∈ [0, 1/3),[0, 1], se q = 1/3,{1}, se q ∈ (1/3, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 136
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 5− 5 q − 5 p= 5 (3 q − 1) p + 5 (1− q).
MRHomem(q) = argmaxp∈[0,1](5 (3 q − 1) p + 5 (1− q)).
MRHomem(q) =
{0}, se q ∈ [0, 1/3),[0, 1], se q = 1/3,{1}, se q ∈ (1/3, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 137
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 5− 5 q − 5 p= 5 (3 q − 1) p + 5 (1− q).
MRHomem(q) = argmaxp∈[0,1](5 (3 q − 1) p + 5 (1− q)).
MRHomem(q) =
{0}, se q ∈ [0, 1/3),[0, 1], se q = 1/3,{1}, se q ∈ (1/3, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 138
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem(p, 1− p; q, 1− q) = 15 pq + 5− 5 q − 5 p= 5 (3 q − 1) p + 5 (1− q).
MRHomem(q) = argmaxp∈[0,1](5 (3 q − 1) p + 5 (1− q)).
MRHomem(q) =
{0}, se q ∈ [0, 1/3),[0, 1], se q = 1/3,{1}, se q ∈ (1/3, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 139
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
MRHomem(q) =
{0}, se q ∈ [0, 1/3),[0, 1], se q = 1/3,{1}, se q ∈ (1/3, 1].
1 q (Mulher)0
1
p
1/3
(Cinema)
(Cinema)
(Futebol)
(Homem)
(Futebol)
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Funções de melhor resposta em estratégias mistas
1 p (Homem)0
1
q
2/3
1/3
(Cinema)
(Cinema)
(Futebol)
(Mulher)
(Futebol)
Existem 3 equilíbrios de Nash em estratégias mistas:(0, 1; 0, 1), (2/3, 1/3; 1/3, 2/3) e (1, 0; 1, 0).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 141
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
1 p (Homem)0
1
q
2/3
1/3
(Cinema)
(Cinema)
(Futebol)
(Mulher)
(Futebol)
Demonstração do teorema de equilíbrio de Nashpara jogos 2× 2.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 142
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
1 p (Homem)0
1
q
2/3
1/3
(Cinema)
(Cinema)
(Futebol)
(Mulher)
(Futebol)
Genericamente, o número de equilíbrios de Nash é finito e ímpar:(Wilson, 1971) e (Harsanyi, 1973).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 143
Exercício: o dilema dos prisioneiros
Bobconfessar negar
Alconfessar (−5,−5) (0,−10)
negar (−10, 0) (−1,−1)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 144
Resposta
MRBob(p) = argmaxq∈[0,1]((4 p + 1) q − (9 p + 1)) = {1},MRAl (q) = argmaxp∈[0,1]((4 q + 1) p − (9 q + 1)) = {1}.
1 p
(Bob)
0
1
q
(Negar)
(Negar)(Al)
(Confessar)
(Confessar)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 145
Exercício: comparar moedas
g2s21 s22
g1s11 (+1,−1) (−1,+1)
s12 (−1,+1) (+1,−1)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 146
Resposta
MR2(p) = argmaxq∈[0,1](2 (+1− 2 p) q − 1 + 2 p)
=
{1}, se p ∈ [0, 1/2),[0, 1], se p = 1/2,{0}, se p ∈ (1/2, 1],
MR1(q) = argmaxp∈[0,1](2 (−1 + 2 q) p + 1− 2 q)
=
{0}, se q ∈ [0, 1/2),[0, 1], se q = 1/2,{1}, se q ∈ (1/2, 1].
11/2 p0
1/2
1
q
(s )12
(s )22
(s )21
(s )11
(g )1
(g )2
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 147
Exercício
jogador 2U V
joga
dor1 A
(+
5471000
,− 5471000
) (+
5481000
,− 5481000
)B
(+
5491000
,− 5491000
) (+
5451000
,− 5451000
)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 148
Parte 3
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 149
Solução de um jogo: equilíbrio de Nash
Dizemos que um perfil de estratégia
p∗ = (p∗1, p∗2, . . . , p∗n) ∈ ∆ = ∆m1 ×∆m2 × · · · ×∆mn
é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas se
ui(p∗i , p∗−i) ≥ ui(p, p∗−i)
para todo p ∈ ∆mi , com i = 1, . . . , n.
Definição
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 150
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
MRi(p−i) = argmaxpi∈∆(Si )ui(pi , p−i)
p∗ = (p∗1, . . . , p∗i , . . . , p∗n) ∈ ∆ é um equilíbrio de Nash
m
p∗i ∈ MRi(p∗−i), ∀i = 1, . . . , n.
Proposição
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 151
Exercício
jogador 2U V
joga
dor1 A
(+
5471000
,− 5471000
) (+
5481000
,− 5481000
)B
(+
5491000
,− 5491000
) (+
5451000
,− 5451000
)
Quem fez?
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 152
Resposta
MR2(p) = argmaxq∈[0,1]((5 p − 4) q − 545− 3 p)/1000
=
{0}, se p ∈ [0, 4/5),[0, 1], se p = 4/5,{1}, se p ∈ (4/5, 1],
MR1(q) = argmaxp∈[0,1]((3− 5 q) p + 545 + 4 q)/1000
=
{1}, se q ∈ [0, 3/5),[0, 1], se q = 3/5,{0}, se q ∈ (3/5, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 153
Resposta
14/5 p0
3/5
1
q
(A)(B)
(V)
(U)
(g )1
(g )2
Existe um único equilíbrio de Nash em estratégias mistas:(4/5, 1/5; 3/5, 2/5).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 154
Equilíbrio de Nash via otimizaçãoq1 q2U V
p1 A (a, x) (b, y)
p2 B (c, z) (d , w)
u1(p1, p2; q1, q2) = p1q1a + p1q2b + p2q1c + p2q2d
=[
p1 p2] [
a bc d
] [q1q2
]= p1 · u1(1, 0; q1, q2) + p2 · u1(0, 1; q1, q2).
u2(p1, p2; q1, q2) = p1q1x + p1q2y + p2q1z + p2q2w
=[
p1 p2] [
x yz w
] [q1q2
]= q1 · u2(p1, p2; 1, 0) + q2 · u2(p1, p2; 0, 1).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 155
Equilíbrio de Nash via otimizaçãoq1 q2U V
p1 A (a, x) (b, y)
p2 B (c, z) (d , w)
u1(p1, p2; q1, q2) = p1q1a + p1q2b + p2q1c + p2q2d
=[
p1 p2] [
a bc d
] [q1q2
]= p1 · u1(1, 0; q1, q2) + p2 · u1(0, 1; q1, q2).
u2(p1, p2; q1, q2) = p1q1x + p1q2y + p2q1z + p2q2w
=[
p1 p2] [
x yz w
] [q1q2
]= q1 · u2(p1, p2; 1, 0) + q2 · u2(p1, p2; 0, 1).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 156
Equilíbrio de Nash via otimizaçãoq1 q2U V
p1 A (a, x) (b, y)
p2 B (c, z) (d , w)
u1(p1, p2; q1, q2) = p1q1a + p1q2b + p2q1c + p2q2d
=[
p1 p2] [
a bc d
] [q1q2
]= p1 · u1(1, 0; q1, q2) + p2 · u1(0, 1; q1, q2).
u2(p1, p2; q1, q2) = p1q1x + p1q2y + p2q1z + p2q2w
=[
p1 p2] [
x yz w
] [q1q2
]= q1 · u2(p1, p2; 1, 0) + q2 · u2(p1, p2; 0, 1).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 157
Equilíbrio de Nash via otimizaçãoq1 q2U V
p1 A (a, x) (b, y)
p2 B (c, z) (d , w)
u1(p1, p2; q1, q2) = p1q1a + p1q2b + p2q1c + p2q2d
=[
p1 p2] [
a bc d
] [q1q2
]= p1 · u1(1, 0; q1, q2) + p2 · u1(0, 1; q1, q2).
u2(p1, p2; q1, q2) = p1q1x + p1q2y + p2q1z + p2q2w
=[
p1 p2] [
x yz w
] [q1q2
]= q1 · u2(p1, p2; 1, 0) + q2 · u2(p1, p2; 0, 1).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 158
Equilíbrio de Nash via otimização
z11(p1, p2; q1, q2) = u1(1, 0; q1, q2) − u1(p1, p2; q1, q2),
z12(p1, p2; q1, q2) = u1(0, 1; q1, q2) − u1(p1, p2; q1, q2),
z21(p1, p2; q1, q2) = u2(p1, p2; 1, 0) − u2(p1, p2; q1, q2),
z22(p1, p2; q1, q2) = u2(p1, p2; 0, 1) − u2(p1, p2; q1, q2).
(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nashm
z11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,
z12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,
z21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,
z22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 159
Equilíbrio de Nash via otimização
z11(p1, p2; q1, q2) = u1(1, 0; q1, q2) − u1(p1, p2; q1, q2),
z12(p1, p2; q1, q2) = u1(0, 1; q1, q2) − u1(p1, p2; q1, q2),
z21(p1, p2; q1, q2) = u2(p1, p2; 1, 0) − u2(p1, p2; q1, q2),
z22(p1, p2; q1, q2) = u2(p1, p2; 0, 1) − u2(p1, p2; q1, q2).
(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nashm
z11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,
z12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,
z21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,
z22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 160
Equilíbrio de Nash via otimização
g11(p1, p2; q1, q2) = max{0, z11(p1, p2; q1, q2)},g12(p1, p2; q1, q2) = max{0, z12(p1, p2; q1, q2)},g21(p1, p2; q1, q2) = max{0, z21(p1, p2; q1, q2)},g22(p1, p2; q1, q2) = max{0, z22(p1, p2; q1, q2)}.
(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nashm
z11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,
z12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,
z21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,
z22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0.
mg11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,
g12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,
g21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,
g22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 161
Equilíbrio de Nash via otimização
g11(p1, p2; q1, q2) = max{0, z11(p1, p2; q1, q2)},g12(p1, p2; q1, q2) = max{0, z12(p1, p2; q1, q2)},g21(p1, p2; q1, q2) = max{0, z21(p1, p2; q1, q2)},g22(p1, p2; q1, q2) = max{0, z22(p1, p2; q1, q2)}.
(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nashm
z11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,
z12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,
z21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,
z22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0.
mg11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,
g12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,
g21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,
g22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 162
Equilíbrio de Nash via otimização
(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nash
mg11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,
g12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,
g21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,
g22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0.
m
(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2)
minimiza
[g11(p1, p2; q1, q2)]2 + [g12(p1, p2; q1, q2)]
2 + [g21(p1, p2; q1, q2)]2 + [g22(p1, p2; q1, q2)]
2
sujeito a
0 ≤ p1, p2, q1, q2 ≤ 1, p1 + p2 = 1, q1 + q2 = 1.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 163
Equilíbrio de Nash via otimização
minimizar
[g11(p1, p2; q1, q2)]2 + [g12(p1, p2; q1, q2)]
2 + [g21(p1, p2; q1, q2)]2 + [g22(p1, p2; q1, q2)]
2
sujeito a
0 ≤ p1, p2, q1, q2 ≤ 1, p1 + p2 = 1, q1 + q2 = 1.
A função que queremos minimizar é de classe C1
(McKelvey, 1998).
g11(p1, p2; q1, q2) = max{0, z11(p1, p2; q1, q2)},g12(p1, p2; q1, q2) = max{0, z12(p1, p2; q1, q2)},g21(p1, p2; q1, q2) = max{0, z21(p1, p2; q1, q2)},g22(p1, p2; q1, q2) = max{0, z22(p1, p2; q1, q2)}.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 164
Equilíbrio de Nash via otimização
minimizar
[g11(p1, p2; q1, q2)]2 + [g12(p1, p2; q1, q2)]
2 + [g21(p1, p2; q1, q2)]2 + [g22(p1, p2; q1, q2)]
2
sujeito a
0 ≤ p1, p2, q1, q2 ≤ 1, p1 + p2 = 1, q1 + q2 = 1.
A função que queremos minimizar é de classe C1
(McKelvey, 1998).
g11(p1, p2; q1, q2) = max{0, z11(p1, p2; q1, q2)},g12(p1, p2; q1, q2) = max{0, z12(p1, p2; q1, q2)},g21(p1, p2; q1, q2) = max{0, z21(p1, p2; q1, q2)},g22(p1, p2; q1, q2) = max{0, z22(p1, p2; q1, q2)}.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 165
Equilíbrio de Nash via otimização
minimizar
[g11(p1, p2; q1, q2)]2 + [g12(p1, p2; q1, q2)]
2 + [g21(p1, p2; q1, q2)]2 + [g22(p1, p2; q1, q2)]
2
sujeito a
0 ≤ p1, p2, q1, q2 ≤ 1, p1 + p2 = 1, q1 + q2 = 1.
A função que queremos minimizar é de classe C1
(McKelvey, 1998).
g11(p1, p2; q1, q2) = max{0, z11(p1, p2; q1, q2)},g12(p1, p2; q1, q2) = max{0, z12(p1, p2; q1, q2)},g21(p1, p2; q1, q2) = max{0, z21(p1, p2; q1, q2)},g22(p1, p2; q1, q2) = max{0, z22(p1, p2; q1, q2)}.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 166
Exemplo: o dilema do prisioneiro
minimizar G(p, q) = (max {0,− (−1 + p) (4 q + 1)})2 +
(max {0,−p (4 q + 1)})2 +
(max {0,− (4 p + 1) (−1 + q)})2 +
(max {0,−q (4 p + 1)})2
sujeito a 0 ≤ p ≤ 1,0 ≤ q ≤ 1.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 167
Exemplo: o dilema do prisioneiro
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1p
0
0.5
1
q0
5
10
15
20
25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1p
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
q
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 168
Exemplo: a batalha dos sexos
minimizar G(p, q) = (max {0,−5 (−1 + p) (3 q − 1)})2 +
(max {0,−5 p (3 q − 1)})2 +
(max {0,−5 (3 p − 2) (−1 + q)))2 +
(max {0,−5 q (3 p − 2)})2
sujeito a 0 ≤ p ≤ 1,0 ≤ q ≤ 1.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 169
Exemplo: a batalha dos sexos
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1p
00.2
0.40.6
0.81
q
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1p
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
q
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 170
Exemplo: combinar moedas
minimizar G(p, q) = (max {0,−2 (−1 + p) (2 q − 1)})2 +
(max {0,−2 p (2 q − 1)})2 +
(max {0, 2 (2 p − 1) (−1 + q)})2 +
(max {0, 2 (2 p − 1) q})2
sujeito a 0 ≤ p ≤ 1,0 ≤ q ≤ 1.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 171
Exemplo: combinar moedas
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
p0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
q
1
2
3
40 0.2 0.4 0.6 0.8 1
p
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
q
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 172
Le Her simplificado
Vamos jogar!
1713: James Waldegrave (solução emestratégia mista para o jogo Le Her).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 173
Le Her simplificado
Analysis of N-Card Le HerA. T. Benjamin e A. J. Goldman
(2002)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 174
Le Her simplificado
http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2007.1/applets/leher1_br.html
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 175
Parte 4
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 176
Le Her simplificado
Analysis of N-Card Le HerA. T. Benjamin e A. J. Goldman
(2002)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 177
Le Her simplificado
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K
A 0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2 0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500
3 0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533
4 0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559
5 0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578
6 0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590
7 0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
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H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 178
Le Her simplificado
http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2007.1/applets/leher2_br.html
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 179
Le Her simplificado
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K
A 0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
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H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 180
Le Her simplificado
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K
A 0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
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H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 181
Le Her simplificado
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K
A 0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
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K
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H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 182
Le Her simplificado
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K
A 0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
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Q
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J
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K
0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 183
Le Her simplificado
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K
A
0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
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Q
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J
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K
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H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 184
Le Her simplificado
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K
A
0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2
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3
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Q
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J
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K
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H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 185
Le Her simplificado
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K
A
0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2
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3
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5
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6
0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590
7
0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541
0.538 0.543
0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553
0.547 0.548
0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555
0.549 0.545
0.548 0.558 0.573
10
0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549
Q
0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514
J
0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468
K
0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 186
Le Her simplificado
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K
A
0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2
0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500
3
0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533
4
0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559
5
0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578
6
0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590
7
0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541
0.538 0.543
0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553
0.547 0.548
0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555
0.549 0.545
0.548 0.558 0.573
10
0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549
Q
0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514
J
0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468
K
0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 187
Le Her simplificado
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K
A
0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2
0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500
3
0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533
4
0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559
5
0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578
6
0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590
7
0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553
0.547 0.548
0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555
0.549 0.545
0.548 0.558 0.573
10
0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549
Q
0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514
J
0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468
K
0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 188
Le Her simplificado
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K
A
0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2
0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500
3
0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533
4
0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559
5
0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578
6
0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590
7
0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553
0.547 0.548
0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555
0.549 0.545
0.548 0.558 0.573
10
0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549
Q
0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514
J
0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468
K
0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410
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Exercício
jogador 2U V
joga
dor1 A
(+
5471000
,− 5471000
) (+
5481000
,− 5481000
)B
(+
5491000
,− 5491000
) (+
5451000
,− 5451000
)
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Resposta
14/5 p0
3/5
1
q
(A)(B)
(V)
(U)
(g )1
(g )2
Existe um único equilíbrio de Nash em estratégias mistas:(4/5, 1/5; 3/5, 2/5).
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Le Her simplificado
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K
A
0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2
0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500
3
0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533
4
0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559
5
0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578
6
0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590
7
0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553
0.547 0.548
0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555
0.549 0.545
0.548 0.558 0.573
10
0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549
Q
0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514
J
0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468
K
0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410
Equilíbrio de Nash: (4/5, 1/5; 3/5, 2/5)
Payoff médio: (0.5474, 0.4526)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 192
Le Her simplificado
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K
A 858 792 737 693 660 638 627 627 638 660 693 737 792
2 924 858 803 759 726 704 693 693 704 726 759 803 858
3 979 924 869 824 790 767 755 754 764 785 817 860 914
4 1022 977 932 887 851 826 812 809 817 836 866 907 959
5 1052 1016 980 944 908 880 863 857 862 878 905 943 992
6 1068 1040 1012 984 956 928 907 897 898 910 933 967 1012
7 1069 1048 1027 1006 985 964 943 928 924 931 949 978 1018
8 1054 1039 1024 1009 994 979 964 949 939 940 952 975 1009
9 1022 1012 1002 992 982 972 962 952 942 936 941 957 984
10 972 966 960 954 948 942 936 930 924 918 915 923 942
Q 903 900 897 894 891 888 885 882 879 876 873 872 882
J 814 813 812 811 810 809 808 807 806 805 804 803 803
K 704 704 704 704 704 704 704 704 704 704 704 704 704
× 11716
Equilíbrio de Nash: (6/7, 1/7; 4/7, 3/7)
Payoff médio: (0.551, 0.449)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 193
Le Her
(Benjamim e Goldman, 2002): redução para umamatriz 2 × 2 ocorre para qualquer baralho com umnúmero N ≥ 3 de cartas de um mesmo naipe.
Jogo original: 52 cartas e o o jogador 2 pode se negara trocar de cartas com o jogador 1 se sua carta for K .Para cartas de mesmo valor (mas naipes diferentes), ojogador 2 vence.
Estudado por Montmort, Bernoulli e Waldegrave: IsaacTodhunter, A History of the Mathematical Theory ofProbability, 1949. (http://gallica.bnf.fr/).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 194
O Teorema de Equilíbrio de Nash
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 195
Solução de um jogo: equilíbrio de Nash
Dizemos que um perfil de estratégia
p∗ = (p∗1, p∗2, . . . , p∗n) ∈ ∆ = ∆m1 ×∆m2 × · · · ×∆mn
é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas se
ui(p∗i , p∗−i) ≥ ui(p, p∗−i)
para todo p ∈ ∆mi , com i = 1, . . . , n.
Definição
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 196
O teorema de equilíbrio de Nash
Todo jogo finito na forma estratégicapossui pelos um equilíbrio de Nash emestratégias mistas.
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O teorema do ponto fixo de Brouwer
Se ∆ é um subconjunto compacto, convexo e não-vazio de um espaço euclidiano de dimensão finita e seF : ∆ → ∆ é uma função contínua, então F possui umponto fixo em ∆, isto é, existe p∗ ∈ ∆ tal que
F(p∗) = p∗.
ReferênciasC. H. Hönig, Aplicações da Topologia à Análise. Projeto Euclides, IMPA, 1986.
T. Stuckless, Brouwer’s Fixed Point Theorem: Methods of Proof and Generaliza-tions. Master dissertation, Simon Fraser University, 2003.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 198
O teorema do ponto fixo de Brouwer
Se ∆ é um subconjunto compacto, convexo e não-vazio de um espaço euclidiano de dimensão finita e seF : ∆ → ∆ é uma função contínua, então F possui umponto fixo em ∆, isto é, existe p∗ ∈ ∆ tal que
F(p∗) = p∗.
ReferênciasC. H. Hönig, Aplicações da Topologia à Análise. Projeto Euclides, IMPA, 1986.
T. Stuckless, Brouwer’s Fixed Point Theorem: Methods of Proof and Generaliza-tions. Master dissertation, Simon Fraser University, 2003.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 199
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
∆ = [0, 1]
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 200
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
∆ = [0, 1]
1 p0
1
q
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Funções de melhor resposta em estratégias mistas
∆ = [0, 1]
1∆ p0
1
∆
q
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 202
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
∆ = [0, 1]
1∆ p0
1
∆
q
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 203
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
∆ = [0, 1]
1∆ p0
1
∆
q
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 204
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
∆ = [0, 1]
1∆ p0
1
∆
q
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Combinações convexas
q1 q2U V
p1 A (a, x) (b, y)
p2 B (c, z) (d , w)
u1(p1, p2; q1, q2) = p1q1a + p1q2b + p2q1c + p2q2d
= p1 · u1(1, 0; q1, q2) + p2 · u1(0, 1; q1, q2).
u2(p1, p2; q1, q2) = p1q1x + p1q2y + p2q1z + p2q2w
= q1 · u2(p1, p2; 1, 0) + q2 · u2(p1, p2; 0, 1).
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Teorema 3.2
z11(p1, p2; q1, q2) = u1(1, 0; q1, q2) − u1(p1, p2; q1, q2),
z12(p1, p2; q1, q2) = u1(0, 1; q1, q2) − u1(p1, p2; q1, q2),
z21(p1, p2; q1, q2) = u2(p1, p2; 1, 0) − u2(p1, p2; q1, q2),
z22(p1, p2; q1, q2) = u2(p1, p2; 0, 1) − u2(p1, p2; q1, q2).
(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nashm
z11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,
z12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,
z21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0,
z22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) ≤ 0.
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Teorema 3.3
g11(p1, p2; q1, q2) = max{0, z11(p1, p2; q1, q2)},g12(p1, p2; q1, q2) = max{0, z12(p1, p2; q1, q2)},g21(p1, p2; q1, q2) = max{0, z21(p1, p2; q1, q2)},g22(p1, p2; q1, q2) = max{0, z22(p1, p2; q1, q2)}.
(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nashm
g11(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,
g12(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,
g21(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0,
g22(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) = 0.
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Teorema 3.4
F : ∆2 ×∆2 → ∆2 ×∆2
F (p1, p2; q1, q2) = (y11(p1, p2; q1, q2), y12(p1, p2; q1, q2); y21(p1, p2; q1, q2), y22(p1, p2; q1, q2))
y11(p1, p2; q1, q2) =p1 + g11(p1, p2; q1, q2)
1 + g11(p1, p2; q1, q2) + g12(p1, p2; q1, q2)
y12(p1, p2; q1, q2) =p2 + g12(p1, p2; q1, q2)
1 + g11(p1, p2; q1, q2) + g12(p1, p2; q1, q2)
y21(p1, p2; q1, q2) =q1 + g21(p1, p2; q1, q2)
1 + g21(p1, p2; q1, q2) + g22(p1, p2; q1, q2)
y22(p1, p2; q1, q2) =q2 + g22(p1, p2; q1, q2)
1 + g21(p1, p2; q1, q2) + g22(p1, p2; q1, q2)
(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nash ⇔ (p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é ponto fixo de F
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Teorema 3.4
F : ∆2 ×∆2 → ∆2 ×∆2
F (p1, p2; q1, q2) = (y11(p1, p2; q1, q2), y12(p1, p2; q1, q2); y21(p1, p2; q1, q2), y22(p1, p2; q1, q2))
y11(p1, p2; q1, q2) =p1 + g11(p1, p2; q1, q2)
1 + g11(p1, p2; q1, q2) + g12(p1, p2; q1, q2)
y12(p1, p2; q1, q2) =p2 + g12(p1, p2; q1, q2)
1 + g11(p1, p2; q1, q2) + g12(p1, p2; q1, q2)
y21(p1, p2; q1, q2) =q1 + g21(p1, p2; q1, q2)
1 + g21(p1, p2; q1, q2) + g22(p1, p2; q1, q2)
y22(p1, p2; q1, q2) =q2 + g22(p1, p2; q1, q2)
1 + g21(p1, p2; q1, q2) + g22(p1, p2; q1, q2)
(p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é equilíbrio de Nash ⇔ (p∗1, p∗2; q∗1, q∗2) é ponto fixo de F
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O teorema de equilíbrio de Nash
F : ∆2 ×∆2 → ∆2 ×∆2
F (p1, p2; q1, q2) = (y11(p1, p2; q1, q2), y12(p1, p2; q1, q2); y21(p1, p2; q1, q2), y22(p1, p2; q1, q2))
y11(p1, p2; q1, q2) =p1 + g11(p1, p2; q1, q2)
1 + g11(p1, p2; q1, q2) + g12(p1, p2; q1, q2)
y12(p1, p2; q1, q2) =p2 + g12(p1, p2; q1, q2)
1 + g11(p1, p2; q1, q2) + g12(p1, p2; q1, q2)
y21(p1, p2; q1, q2) =q1 + g21(p1, p2; q1, q2)
1 + g21(p1, p2; q1, q2) + g22(p1, p2; q1, q2)
y22(p1, p2; q1, q2) =q2 + g22(p1, p2; q1, q2)
1 + g21(p1, p2; q1, q2) + g22(p1, p2; q1, q2)
∆ = ∆2 ×∆2 é compacto, convexo e não-vazio e F é contínua.
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Os teoremas de Brouwer e Nash são equivalentes
(Torrez-Martínez, 2006) e (Zhao, 2002)
demonstraram o teorema do ponto fixo de Brouwer a partir doteorema de equilíbrio de Nash.
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Parte 5
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Gambit
Gambit é um programa de computador,gratuito e multiplataforma,
orientado para a construção e análise de jogos finitos.
http://econweb.tamu.edu/gambit
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Jogos infinitos
G = {g1, . . . , gi , . . . , gn}, S = S1 × · · · × Si × · · · × Sn
mas, agora, os conjuntos de estratégias puras S1, . . . , Snpodem ser infinitos.
ui : S = S1 × · · · × Si × · · · × Sn → Rs = (s1, . . . , si , . . . , sn) 7→ ui(s1, . . . , si , . . . , sn)
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Jogos infinitos
G = {g1, . . . , gi , . . . , gn}, S = S1 × · · · × Si × · · · × Sn
mas, agora, os conjuntos de estratégias puras S1, . . . , Snpodem ser infinitos.
ui : S = S1 × · · · × Si × · · · × Sn → Rs = (s1, . . . , si , . . . , sn) 7→ ui(s1, . . . , si , . . . , sn)
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Jogos infinitos: dominância estrita
Dizemos que uma estratégia pura si ∈ Si do jogadorgi ∈ G é estritamente dominada pela estratégia s′i ∈ Sise
ui(s′i , s−i) > ui(si , s−i),
para todo s−i ∈ S−i .
Definição
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Jogos infinitos: equilíbrio de Nash
Dizemos que um perfil de estratégias
s∗ = (s∗1, . . . , s∗(i−1), s∗i , s∗(i+1), . . . , s∗n) ∈ S
é um equilíbrio de Nash se
ui(s∗i , s∗−i) ≥ ui(si , s∗−i)
para todo i = 1, . . . , n e para todo si ∈ Si .
Definição
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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Toda estratégia pura x ∈ [0, 1) do jogador g1 é estritamente dominada.
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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Toda estratégia pura x ∈ [0, 1) do jogador g1 é estritamente dominada.
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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Toda estratégia pura x ∈ [0, 1) do jogador g1 é estritamente dominada.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 221
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Para x ∈ [0, 1), u1( ? , y) > u1(x , y), para todo y ∈ [0, 1].
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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Para x ∈ [0, 1), u1((x + 1)/2, y) > u1(x , y), para todo y ∈ [0, 1].
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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Toda estratégia pura y ∈ [0, 1) do jogador g2 é estritamente dominada.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 224
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Para y ∈ [0, 1), u2(x , ? ) > u2(x , y), para todo x ∈ [0, 1].
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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Para y ∈ [0, 1), u2(x , (y + 1)/2 ) > u2(x , y), para todo x ∈ [0, 1].
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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
(x , y) = (1, 1) é o único equilíbrio de Nash do jogo.
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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1, g2}, S1 = S2 = [0, 1], u1, u2 : S = S1 × S2 → R
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
u1(1, 1) = 1 ≥ u1(x , 1) e u2(1, 1) = 1 ≥ u2(1, y), ∀x , y ,∈ [0, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 228
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g21 t
g11 (
1
,
1
) (
0
,
t
)
t (
t
,
0
) (
t
,
t
)
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 229
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g21 t
g11 (
1
,
1
) (
0
,
t
)
t (
t
,
0
) (
t
,
t
)
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 230
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g21 t
g11 (1,
1
) (
0
,
t
)
t (
t
,
0
) (
t
,
t
)
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 231
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g21 t
g11 (1,
1
) (0,
t
)
t (
t
,
0
) (
t
,
t
)
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 232
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g21 t
g11 (1,
1
) (0,
t
)
t (t ,
0
) (
t
,
t
)
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 233
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g21 t
g11 (1,
1
) (0,
t
)
t (t ,
0
) (t ,
t
)
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 234
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g21 t
g11 (1, 1) (0,
t
)
t (t ,
0
) (t ,
t
)
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g21 t
g11 (1, 1) (0, t)
t (t ,
0
) (t ,
t
)
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g21 t
g11 (1, 1) (0, t)
t (t , 0) (t ,
t
)
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g21 t
g11 (1, 1) (0, t)
t (t , 0) (t , t)
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g21 t
g11 (1, 1) (0, t)
t (t , 0) (t , t)
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 239
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Qual é a melhor resposta de g1 à estratégia y = 1/2 de g2?
g21 t
g11 (1, 1) (0, t)
t (t , 0) (t , t)
Moral: em jogos infinitos, pode não existir a melhor resposta!
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Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
u1(x , y) =
x , se x < 1,0, se x = 1 e y < 1,1, se x = 1 e y = 1,
u2(x , y) =
y , se y < 1,0, se y = 1 e x < 1,1, se y = 1 e x = 1.
Qual é a melhor resposta de g1 à estratégia y = 1/2 de g2?
g21 t
g11 (1, 1) (0, t)
t (t , 0) (t , t)
Moral: em jogos infinitos, pode não existir a melhor resposta!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 241
Jogos infinitos
E estratégias mistas?
Para estudar soluções em estratégias mistas em jogos infinitos,a teoria de medida e integração é necessária!
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Jogos infinitos
E estratégias mistas?
Para estudar soluções em estratégias mistas em jogos infinitos,a teoria de medida e integração é necessária!
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O modelo de duopólio de Cournot
1838: Augustin Cournot.
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O modelo de duopólio de Cournot (Gibbons)
Quantidades produzidas pelas empresas 1 e 2: q1 e q2.
Situação de market-clearing.
O preço depende da quantidade agregada Q = q1 + q2:
P(Q) =
{A−Q, se Q < A,0, se Q ≥ A,
=
{A− (q1 + q2), se q1 + q2 < A,0, se q1 + q2 ≥ A.
A é o preço máximo aceitável pelo mercado.
Custos totais: C1(q1) = c ·q1 e C2(q2) = c ·q2, com c > 0.
Para simplificar: c < A.
O ganho de cada empresa é o lucro que ela obtém.
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O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.
Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:
u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1
=
{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2
=
{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.
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O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.
Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:
u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1
=
{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2
=
{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.
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O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.
Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:
u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1
=
{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2
=
{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.
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O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.
Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:
u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1
=
{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2
=
{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.
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O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.
Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:
u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1
=
{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2
=
{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.
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O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.
Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:
u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1
=
{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2
=
{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 251
O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.
Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:
u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1
=
{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2
=
{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 252
O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.
Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:
u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1
=
{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2
=
{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 253
O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0,∞), q2 ∈ S2 = [0,∞), S = S1 × S2.
Funções utilidade u1, u2 : S1 × S2 → R:
u1(q1, q2) = q1 · P(q1 + q2)− c · q1
=
{q1 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
u2(q1, q2) = q2 · P(q1 + q2)− c · q2
=
{q2 · [A− (q1 + q2)− c], se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,
=
{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 254
O modelo de duopólio de Cournot
u1(q1, q2) =
{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
MR1(q2) =
{{(A− c − q2)/2}, se q2 ≤ A− c,{0}, se q2 > A− c,
u2(q1, q2) =
{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,
MR2(q1) =
{{(A− c − q1)/2}, se q1 ≤ A− c,{0}, se q1 > A− c.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 255
O modelo de duopólio de Cournot
u1(q1, q2) =
{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
MR1(q2) =
{{(A− c − q2)/2}, se q2 ≤ A− c,{0}, se q2 > A− c,
u2(q1, q2) =
{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,
MR2(q1) =
{{(A− c − q1)/2}, se q1 ≤ A− c,{0}, se q1 > A− c.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 256
O modelo de duopólio de Cournot
u1(q1, q2) =
{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
MR1(q2) =
{{(A− c − q2)/2}, se q2 ≤ A− c,{0}, se q2 > A− c,
u2(q1, q2) =
{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,
MR2(q1) =
{{(A− c − q1)/2}, se q1 ≤ A− c,{0}, se q1 > A− c.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 257
O modelo de duopólio de Cournot
u1(q1, q2) =
{q1 · (−q1 + (A− q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q1 · [−c], se q1 + q2 > A,
MR1(q2) =
{{(A− c − q2)/2}, se q2 ≤ A− c,{0}, se q2 > A− c,
u2(q1, q2) =
{q2 · (−q2 + (A− q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,q2 · [−c], se q1 + q2 > A,
MR2(q1) =
{{(A− c − q1)/2}, se q1 ≤ A− c,{0}, se q1 > A− c.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 258
O modelo de duopólio de Cournot
MR1(q2) =
{{(A− c − q2)/2}, se q2 ≤ A− c,{0}, se q2 > A− c,
MR2(q1) =
{{(A− c − q1)/2}, se q1 ≤ A− c,{0}, se q1 > A− c.
0 (A { c)/2 A { c
(A { c)/2
A { c
q1
(q , q )1* *
2
q2
Equilíbrio de Nash: (q∗1, q∗2) =
(A− c
3,A− c
3
).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 259
Tem no livro, mas não vimos . . .
Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usandoo teorema de Kakutani.
Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equaçõespolinomiais.
Jogos de soma zero: programação linear.
Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema decomplementaridade.
Jogos seqüênciais.
Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand eStackelberg, a tragédia dos comuns.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 260
Tem no livro, mas não vimos . . .
Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usandoo teorema de Kakutani.
Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equaçõespolinomiais.
Jogos de soma zero: programação linear.
Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema decomplementaridade.
Jogos seqüênciais.
Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand eStackelberg, a tragédia dos comuns.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 261
Tem no livro, mas não vimos . . .
Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usandoo teorema de Kakutani.
Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equaçõespolinomiais.
Jogos de soma zero: programação linear.
Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema decomplementaridade.
Jogos seqüênciais.
Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand eStackelberg, a tragédia dos comuns.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 262
Tem no livro, mas não vimos . . .
Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usandoo teorema de Kakutani.
Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equaçõespolinomiais.
Jogos de soma zero: programação linear.
Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema decomplementaridade.
Jogos seqüênciais.
Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand eStackelberg, a tragédia dos comuns.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 263
Tem no livro, mas não vimos . . .
Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usandoo teorema de Kakutani.
Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equaçõespolinomiais.
Jogos de soma zero: programação linear.
Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema decomplementaridade.
Jogos seqüênciais.
Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand eStackelberg, a tragédia dos comuns.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 264
Tem no livro, mas não vimos . . .
Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usandoo teorema de Kakutani.
Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equaçõespolinomiais.
Jogos de soma zero: programação linear.
Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema decomplementaridade.
Jogos seqüênciais.
Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand eStackelberg, a tragédia dos comuns.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 265
O que não tem no livro?
Jogos de informação incompleta, leilões.
Jogos cooperativos, jogos repetidos.
Jogos diferenciais (jogos seqüências infinitos).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 266
O que não tem no livro?
Jogos de informação incompleta, leilões.
Jogos cooperativos, jogos repetidos.
Jogos diferenciais (jogos seqüências infinitos).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 267
O que não tem no livro?
Jogos de informação incompleta, leilões.
Jogos cooperativos, jogos repetidos.
Jogos diferenciais (jogos seqüências infinitos).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 268