Uma Década em Busca da Simetria da Natureza · – Estuda a teoria das ligações químicas utilizando a simetria dos orbitais. • 1935: V. Fock – Deriva o espectro do átomo

Uma Década em Busca daSimetria da Natureza

S. F. NovaesIFT/UNESP

Agosto/2005 Simetrias – S. F. Novaes 2

O que é simetria• Houaiss:

[Do grego summetría, 'justa proporção‘] Conformidade, em medida, forma e posição relativa, entre as partes

dispostas em cada lado de uma linha divisória, um plano médio, um centro ou eixo

• Aurélio:[Do grego symmetría, ‘justa proporção’]Correspondência, em grandeza, forma e posição relativa, de partes

situadas em lados opostos de uma linha ou plano médio, ou, ainda, que se acham distribuídas em volta de um centro ou eixo

• Físicos:Um sistema físico possui uma simetria se pudermos fazer uma mudança

no sistema de tal forma que, após a mudança, o sistema permaneça inalterado.

Mudança no sistema = operação ou transformação de simetriaSistema Inalterado = invariante sob esta transformação


Simetria na Natureza

Favo de AbelhasBorboleta

Corpo Humano

Flocos de NeveNanotubo Buckyball Cabono


Simetria e Civilização

Escher

QuiltOvos Ucranianos

Arte Islâmica Pintura


Partenon

Michelangelo

Bach

Chartres

Taj Mahal

http://ccins.camosun.bc.ca/~jbritton/goldslide/gold22.jpg


Simetria em Biologia

Jodie Foster


A simetria às vezes é aparente


Leonardo da Vinci já havia notado isto...

Detalhe de como desenhar uma face humana


A diferença é nítida


Simetrias Geométricas• Translação

• Reflexão

• Rotação

• Reflexão + Translação


Um pouco de história• 1596: Johannes Kepler

– Em Mysterium Cosmographicum sugere que as órbitas dos planetasfossem definidas pelos sólidos platônicos.

• 1600-1800: Vários– Trabalhos sobre a simetria dos cristais.

• 1687: Isaac Newton– Em Principia a primeira lei estabelece a consevação do momento

devido a invariância translacional (homogeneidade do espaço).

• 1860: Louis Pasteur– Descobre a conexão entre a actividade óptica e a estrutura das

moléculas.

• 1878: Arthur Cayley– Conceito abstrato de grupo.

• 1893: Sophus Lie e Friedrich Engel– Publicam Theorie der Transformationsgruppen.


• 1886-1904: FitzGerald, Lorentz, Larmor e Poincaré– Introduzem as transformação de Lorentz que deixam as equações de

Maxwell invariante. O grupo de Lorentz com as translações espaço-tempo é chamado de grupo de Poincaré.

• 1905: Einstein– Fornece as hipóteses físicas que estão por trás das transformações de

Lorentz, criando a teoria da Relatividade Especial.

• 1918: Emmy Noether– Demonstra que simetrias estão relacionadas a leis de conservação.

• 1918: Hermann Weyl– Introduz a teoria de unificação clássica entre a gravitação e o

eletromagnetismo que inclui a invariância de gauge (calibre) que leva àconservação da carga elétrica.

• 1927-28 Fritz London e Weyl– Introduzem as transformações de gauge na teoria quântica.


• 1929: Hans Bethe– Deriva o separação dos níveis atômicos que advém da simetria dos

campo nos cristais.

• 1930: Eugene Wigner– Estuda os efeitos da simetria das configurações moleculares no

espectro de vibração.

• 1931: Eugene Wigner– Introduz a simetria de reversão temporal (T) na teoria quântica.

• 1931: Linus Pauling– Estuda a teoria das ligações químicas utilizando a simetria dos orbitais.

• 1935: V. Fock– Deriva o espectro do átomo de Hidrogênio a partir da simetria SO(4).

• 1936: Werner Heisenberg – Introduz a conjugação de carga (C) como operação de simetria

conectando partículas e anti-partículas.


• 1939: Eugene Wigner– Estuda as representações unitárias do grupo de Poincaré e establece a

classificação de todas as equações de onda relativísticas e as propriedades de transformação dos campos quânticos.

• 1954: C. N. Yang e Mills:– Introduzem as transformações locais de isospin como simetrias

internas, ou seja, transformações dos operadores de campo quedependes do ponto do espaço-tempo.

• 1956-7: C. N. Yang e T. D. Lee– Propõe que as interações fracas quebram a paridade

• 1959-61: Heisenberg, Goldstone e Nambu– Sugerem que o estado de mais baixa energia (vácuo) de teorias de

campos relativísticas possa quebrar a simetria da Hamiltoniana. A existência do bosons de Goldstone seria uma conseqüencia. No entanto, em 1964, Higgs mostrou que através da quebra espontâneade simetria esses bosons desaparecem e as partículas vetoriais tornam-se massivas.


• 1961-62: Murray Gell-Mann e Yuval Neeman– Propõe o grupo SU(3) como a simetria das partículas (Eightfold Way).

Em 1964 Gell-Mann and Zweig propõe um novo conjunto de partículas, os quarks, que são organizados segundo o SU(3).

• 1964: J. W. Cronin e W. L. Fitch– Demonstram experimentalmente que as interações fracas podem

quebrar a simetria de CP (Conjugação de carga e Paridade).

• 1967-68: S. L. Glashow, S. Weinberg e A. Salam– Mostram que as interações electofracas podem ser descritas por um

teoria baseada no grupo SU(2) X U(1).


Simetrias em Física

A B

A B

Invariância sob algum tipo de transformação (T)

Um objeto é simétrico se pudermos fazer uma certa

transfomação e ele permanecer exatamente o mesmo depois da

operação (Weyl)

T

T


Estrutura de Grupo

A B C D

Fechamento

Identidade

Inversa

Associativa


Alguns Grupos Comuns

ElementosElementos OperaOperaççãoão IdentidadeIdentidade InversaInversa

Inteiros – Z Adição 0 -x

Reais – R*, exceto 0 Multiplicação 1 1/x

Matrizes det=1 – SL(n) Multipl. Matriz Matriz 1 X-1

Matrizes Unitárias – U(n) Multipl. Matriz Matriz 1 X

Matrizes Ortogonais – O(n) Multipl. Matriz Matriz 1 XT

NB: Inteiros dotados de Multiplicação não é um grupo: 1/x não é inteiro


Rotações: grupo O(2)cos sin

( )sin cos

Rθ θ

θ θ θ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1TR R−=

• Fechamento: se X, Y ∈ G então X.Y ∈ G.

• Associativa: se X, Y, Z ∈ G então X.(Y.Z) = (X.Y).Z

• Identidade: existe um elemento I ∈ G / I.X = X.I = X

• Inversa: para todo X ∈ G existe U ∈ G / X.U = U.X = I.

( ). ( ) ( )R R Rα β θ=

[ ] [ ]( ). ( ). ( ) ( ). ( ) . ( )R R R R R Rα β γ α β γ=

( ). (0) (0). ( ) ( )R R R R Rθ θ θ= =

( ). ( ) ( ). ( ) (0)R R R R Rθ θ θ θ− = − =


Emmy (Amalia) Noether

• Alemã, estudou em Göttingen (Hilbert, Klein, Minkowski)vindo a se tornar a mais importante matemática de todos os tempos. • Judia, foge em 1934 do nazismo para os EUA vindo falecer no ano seguinte aos 57 anos.

• Teorema de Noether:• A toda simetria contínua deve corresponder uma lei de convervação.• A toda lei de conservação deve corresponder uma simetria contínua

SimetriaSimetriaSimetria Lei de ConservaçãoLei de ConservaLei de Conservaççãoão


• Simetria contínua:– Transformação cujo parâmetro pode variar continuamente,

e.g. o ângulo de uma rotação.

• Lei de conservação:– Existe uma grandeza física mensurável que não se altera em qualquer

processo físico.

SimetriaSimetria ContContíínuanua ⇒⇒ Lei de Lei de ConservaConservaççãoão

TranslaTranslaççãoão Temporal Temporal ⇒⇒ ConservaConservaççãoão da Energiada EnergiaTranslaTranslaççãoão EspacialEspacial ⇒⇒ ConservaConservaççãoão do do MomentoMomento

RotaRotaççãoão ⇒⇒ ConservaConservaççãoão do do MomentoMomento AngularAngular

– O teorema é válido também para simetrias que não envolvam transformações do espaço-tempo:carga elétrica, número bariônico, número leptônico, etc.


Energia

VidaVida

QuQuíímicamicaElEléétricatrica

PotencialPotencial

CinCinééticatica


Tempo e Energia

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

g

h

mgh < mGh A invariância com A invariância com

respeito respeito àà translatranslaçção ão temporal dtemporal dáá origem origem ààlei de Conservalei de Conservaçção da ão da

EnergiaEnergia


Espaço e Momento

A invariância das leis da A invariância das leis da FFíísicasica com respeito com respeito ààtranslatranslaçção ão espacialespacial ddáá

origem origem àà lei de lei de ConservaConservaçção do ão do

MomentoMomento


Rotação e Momento Angular

A invariância das leis da A invariância das leis da FFíísicasica com respeito com respeito ààrotarotaççãoão espacialespacial ddáá

origem origem àà lei de lei de ConservaConservaçção do ão do

MomentoMomento AngularAngular


Além do Espaço-Tempo– O Teorema de Noether é válido também para transformações internas,

i.e. que não dependem do espaço-tempo.– Conservação da carga elétrica: relacionada a uma transformação de

fase da função de onda– Na Mecânica Quântica, se ψ é a amplitude de algum processo,

|ψ|2 representa a probabilidade que este processo ocorra– Quando alguém faz uma transformação de fase em ψ,

Isto não altera o módulo ao quadrado que é a probabilidade do evento ocorrer:

A invariância por transformação de fase leva àconservação da carga elétrica.

' ieψ ψ ψ∆→ =

2 2† †' ' ' ( . )i ie eψ ψ ψ ψ ψ ψ− ∆ + ∆= = =


Reflexão: Uma simetria discretaO Taj Mahal é simétrico pela

transformação de reflexão, ou seja possui uma invariância sob reflexão

• Como se comportariam as leis da Física em um mundo refletido no espelho?

• Esquerda-Direita é uma simetria da Natureza?

• Ou, como diria Alice:“Peharps Looking-glass milk

isn’t good to drink”.Through the Looking GlassLewis Carroll


Quiralidade: Nem Tudo É Simétrico

As mãos direita e esquerda (humanas)são imagens especulares


Mais Exemplos

– Pasteur descobriu a quiralidade dos cristais de ácido tartárico

– Glucose existe nas formas • D (dextro, direito) • L (levo, esquerda).

– Apenas a D-glucose é encontrada em seres vivos.

– Todos aminoácidos naturais (exceto a glicina) são quirais (imagens especulares)

– A vida na terra é constituída apenas de aminoácidos esquerdos (E). A razão distoainda permanece um mistério!


De Volta à Física... • Tres outras simetria são importantes:

– Paridade (P): reversão de todas as coordenadas espaciais• Inversão do espaço NB: Reflexão é a inversão apenas da direção perpendicular ao espelho

– Reversão Temporal (T): fazer o tempo andar “para trás”• Inversão do tempo

– Conjugação de Carga (C): trocar matéria por anti-matéria• Inversão da Carga

• Até 1957 acreditava-se que as leis da Física fossem invariantes por P e que nenhum experimento pudesse distinguir ou privilegiar “direita” ou “esquerda”.

• Surpresa: o decaimento radiativo beta quebra P!– Nosso mundo pode ser distinguido do mundo do outro lado do espelho.

• Alice talvez não estivesse completamente maluca!


Decaimento Beta

C. S. Wu colocou Co60 em um forte campo magnético e observou no decaimento beta deste núcleo que:

Eletrons são emitidos na direção opostaoposta ao campo magnético

Portanto a situação 1 é aquela que ocorre na natureza. A configuração especular 2 nãonão é observada na natureza.

NB:NB: A direção de emissão do elétron é revertida no espelho enquanto o campo magnético permanece inalterado (pseudo-vetor).

en p e ν−→ + + 1

2


“Comunicação Extra-terrestre”

Suponha que tivéssemos uma comunicação apenas por telefone (i.e. não visual) com nosso Marciano de “mão simétrica”.

Como poderíamos explicar a ele que nós humanos estendemos a mão direitamão direitapara nos cumprimentarmos?

O Marciano diria: “Mão direitadireita?!?!”

E= ⊗ =D

e

Seria impossível explicar isto ao Marciano antes de 1957! Todas as leis da Física conhecidas até então (gravitação, eletricidade, magnetismo, nuclear) são simétricas por reflexão (invariantes por P).


Encontro Extra-terrestre

Suponha que venhamos a nos encontrar com nosso amigo Marciano e que ele nos estenda a mão esquerda para nos cumprimentar.

•• CUIDADO!CUIDADO! Não estenda a mão! Certamente ele é feito de antianti--matmatéériaria!

– A interação fraca conserva a simetria combinada CP (com poucas exceções)

– Portanto, o Marciano só poderia ter se enganado caso as partículas emitidas fossem pósitrons, em um mundo composto de antianti--matmatéériaria.


Um pouco mais de C, P e T• 1956: C.N Yang and T.D. Lee mostraram que não havia evidência

de que Paridade fosse conservada nas interações fracas.

• 1957: Experimentos mostraram que a ParidadeParidade e a ConjugaConjugaçção de ão de CargaCarga era na realidade violada pelas interações fracas.

• Mas a operação combinada CPCP permanecia uma simetria dessas interações, apesar de não serem conservadas separadamente.

• Teorema CPT: um dos princípios básico da Teoria Quântica de Campos diz que a combinação CPT é uma simetria exata da Natureza:

Uma antiUma anti--partpartíícula cula éé inditinguinditinguíível da imagem refletida vel da imagem refletida de uma partde uma partíícula viajando para o passado. cula viajando para o passado.

• Portanto, a invariância temporal T deveria ser também conservada


Violação de

• 1964: J. W. Cronin e V. L. Fitch no Brookhaven National Laboratory observaram que o decaimento do kaons neutros (K0) violavam a simetria de CP.

• Portanto, com a reverção da direção do tempo não seria possível reverter algumas reações envolvendo certas partículas.

0 0 0 0 0

0

0

0

0

00

(21%); (13%); (0.2%); (0.1%)

(69%); (31%); (0.00003%)

L

S

K

K

π π π π π

π π

π π π π π

π ππ ππ

+ −

+ −

+ −

+ −

→

→


Matéria X Antimatéria• Universo inicialmente continha uma igual quantidade de matéria e

anti-matéria.• Porque hoje em dia temos muito mais matéria do que anti-matéria?• Algum mecanismo durante sua evolução deve ter favorecido a

assimetria matéria – anti-matéria.

• 1967: Andrei Sakharov colocou 3 condições que permitiriam que isto ocorresse:

– Proton deveria ser instável, isto é deveria decair– Deveria haver interações violando C e CP– Universo deveria sofrer uma expansão muito rápida

10.000.000.001 10.000.000.000

NNóóss

quar

ksqu

arks

antianti -- quarks

quarks

ffóótonstons


Interlúdio: Um alerta contra o pré-conceito• 400 A.C.: Platão

– Segundo Platão a forma do mundo devia ser a de uma perfeita esfera, e todo movimento devia realizar-se em círculos perfeitos e com velocidade uniforme (Timaeu 33B-34B)

• 310 A.C.: Aristarco de SamosEle supunha serem imóveis as estrelas fixas e o Sol, e a Terra girar

em círculo em torno do Sol ... (Arquimedes. O Contador de Areia)

– Essa hipótese foi repelida em favor do dogma circular de Platão, até Kepler mostrar que as órbitas eram elípticas e não circulares.

– A ilusão e pré-conceito do círculo atrasou a evolução da Astronomia por dois milênios!


Física de Partículas: Anos 50

π0

µΞ0

Λ

n

Ξ-

p

e+

π+π-

∆++

Σ+ Σ-

Σ0

K0

K-

KL

KS

K+

p

e-

n

Λ

νe

νe

1669: Brand - Fósforo (P)

+ 200 anos: Medeleev (63 elementos)

Escândio, Gálio, Germâmio, etc: preditos


Modelo a Quarks• 1962: Murray Gell-Mann e George Zweig

– Introduziram o modelo a quarks: – Bárions (proton, neutron, etc) e mésons (pion, kaon, etc)

seriam compostos de partículas mais fundamentais, os quarksquarks. – Haveria 3 “sabores” de quarks: uup, ddown e sstrange.– Os quarks teriam spin ½ e carga 2/3, –1/3 e –1/3.

– Barions seriam compostos de 3 quarks:

proton = uu + + uu + + ddneutron = uu + + dd + + dd

– Mesons seriam compostos de um par quark-antiquark

pion = ūū + + dd


SU(3) e o Óctuplo Caminho• Quarks e Antiquarks pertencem a representação

3 e 3 do grupo SU(3)

d u

sQ=2/3

Q= –1/3

S=0

S= –1

s

u d

Tripleto Anti-Tripleto


Octeto Mesônico

• 3 ⊗ 3 = 8 ⊕ 1

d

K0 K+

⊗ = ⊕

u

s

s

u d

η

π0π - π+ η’

K- K0


Decupleto Bariônico

• 3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 10 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 1

=

Ω- = (sss)

∆

Σ*

Ξ*

⊕ ...

d u

s

d u

s

d u

s

19621962GellGell--MannMann

19641964AGS, BNLAGS, BNL


1974: Quark CCharm = SU(4)


Da Tabela Periódica às Partículas


Princípio de Gauge• Teorema de Noether:

• Se uma ação é invariante sob um grupo de transformações (simetria), entãoexiste uma ou mais quantidades conservadas (constantes de movimento) associadas a estas transformações:

Simetria ⇒ Leis de Conservação

Translação Temporal ⇒ EnergiaTranslação Espacial ⇒ Momento

Rotação ⇒ Momento Angular

– Impondo que um dado sistema de partículas seja invariante sob umadada transformação (simetria), seria possivel determinar a forma da interação entre estas partículas?

Simetria ⇒ Dinâmica ?

– Isto é verdade no caso da Eletrodinâmica Quântica (QED):• A existência e algumas propriedades do fóton são conseqüencia do

princípio de invariância sob transformações locais do grupo U(1)


Podemos generalizar este princípio?–– 19641964: Salam and Ward inventaram o princípio de gauge como a base

para se construir Teoria Quântica de Campos para partículasinteragentes:

“Nosso postulado básico é que deva ser possivel gerar os termos de interação forte, fraca e eletromagnética (com todas as suas propriedades de simetria corretas e com algumas indicações de suas intensidades relativas) fazendo transformações de gauge locais nos termos de energia cinética em uma Lagrangeana livre para todas as partículas”

• Esta idéia pode ser colocada em prática para as interações fracas e fortes depois que novos ingredientes foram inventados/descobertos:

• Interações Fracas: o fato de ser uma interação de curto alcance requerque os campos de gauge sejam massivos. Isto exige a introdução de um novo conceito: a quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs.

• Interações Forte: o fato das interações possuirem grande constante de acoplamento requer outro novo ingrediente. Com a descoberta da liberdadeassintótica foi possível descreve-la perturbativamente a pequenas distâncias.


Simetria Quebrada• Simetrias exatas levam a leis de conservação

exatas.

• Há situações nas quais o sistema é invariantepor uma transformação mas o estado de energia mais baixa (vácuo) não é.

– Exemplo clássico: Ferromagnetismo.

• Altas temperaturas (T > Tc , fase paramagnética): Sistema é completamente desordenado.Vácuo é invariante por rotações em 3 D [SO(3)]

• Baixas temperaturas (T < Tc, fase ferromagnética): Magnetização espontânea spins se alinhamVácuo não é invariante apenas por SO(2)

•• A simetria A simetria éé quebrada!quebrada!


Um Exemplo Mecânico2/3Ω =

1Ω =

2Ω =

θ

ω2 sinm Rω θ

mg

2 sin cosm Rω θ θ

sinmg θ

θ

θ

θ

( )

2

1sin cos 0

R

g

ω

θ θ

Ω =

− =Ω


Qual a simetria da Natureza?• A Natureza é a grande avalista de nossas teorias

G = O(3)– Schwinger (1957) Tripleto de Campos: (V+, V-, V0)

V± : bosons fracos; V0: fóton

G = SU(2)– Bludman (1958) V± , V0 : bosons fracos (V – A)

Predice a existência de Correntes Neutras

G = SU(2) G = SU(2) ⊗⊗ U(1)U(1)Bosons de Gauge: W1, W2, W3, and B

– Glashow (19611961) W± = (W1, W2) : bosons fracos carregados– Salam, Ward (19641964) Z0 and Fóton = (W3, B )

Prediz Neutral CurrentMassa de W± e Z0 colocada à mão

– Weinberg (19671967) Mesma estrutura de gauge– Salam (19681968) QES + Mecanismo de Higgs

Massa preserva a invariância de gauge invariance


As Cores: SU(3) Dinâmico– 1964-66 Greenberg, Han, e Nambu:

Introduziram o conceito de carga de “ccoorr” para os quarks

– Teoria de Grupos agora descreve a dinâmica, ou seja,a interação entre os quarks: SU(3) CCOORR

• Barions: um quark de cada cor• Mesons: uma cor e uma anti-cor

RR GG

BB


Confinamento e Liberdade Assintóptica

– As cores são confinadas• Partículas coloridas (quarks)

não são observadas livres• Todas as partículas livres são “brancas”:

3 cores ou cor-anticor

π

Criação ParQuark-antiquark

p


A Aventura Continua...Mecânica Terrestre Gravitação Universal

Inércia e Massa Gravitacional(Newton, 1687)

Eletricidade

Magnetismo

EletromagnetismoOndas Eletromagnéticas (fóton)(Maxwell, 1860)

Eletromagnetismo

Força Fraca

EletrofracaBosons Intermediários W, Z(Weinberg-Salam, 1967)

Mecânica Celeste

γγ

n

p

e

Explorar distâncias cada vez menores

revela simetrias cada vez mais profundas

-

νe

+ −

N S


http://http://www.ift.unesp.br/users/novaeswww.ift.unesp.br/users/novaes//

Sergio

Highlight

http://hep.ift.unesp.br/SPRACE/

FIM

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