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UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA PARA
ILUSTRAR O EFEITO DA AUTOCORRELAÇÃO
NO GRÁFICO DE CONTROLE T2 DE HOTELLING
Roberto Campos Leoni (UNESP )
Antonio Fernando Branco Costa (UNESP )
Marcela Aparecida Guerreiro Machado (UNESP )
Um gráfico de controle é uma das técnicas principais do controle estatístico
de processos e o emprego desta técnica pressupõe a ausência de
autocorrelação entre os dados da(s) característica(s) de qualidade
mensurada(s). Este artigo estuda o efeito da autocorrelação e da correlação
no gráfico T2 de Hotelling quando há duas características de qualidade X e Y,
cuja estrutura de correlação e autocorrelação é representada por um modelo
VAR(1). Utilizando-se uma abordagem geométrica com elipses, os resultados
advertem que a presença autocorrelação reduz o desempenho do gráfico de
T2, restringindo a capacidade do gráfico em sinalizar uma causa especial que
esteja atuando no processo. Alguns exemplos são apresentados para ilustrar
o efeito prejudicial ao gráfico de T2 quando a autocorrelação está presente
no processo.
Palavras-chaves: autocorrelação, gráfico T2 de Hotelling, modelo VAR (1),
controle estatístico de processos
XXXIV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO
Engenharia de Produção, Infraestrutura e Desenvolvimento Sustentável: a Agenda Brasil+10
Curitiba, PR, Brasil, 07 a 10 de outubro de 2014.
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1. Introdução
Uma das hipóteses básicas para uso de gráficos de controle é a independência entre
observações ao longo do tempo. Porém, em muitos processos, medidas da característica de
qualidade de itens vizinhos, segundo o instante em que foram produzidos, podem apresentar
algum grau de dependência entre as observações. Este fenômeno é denominado
autocorrelação. De acordo com Mason e Young (2002), muitas operações industriais de fluxo
contínuo apresentam autocorrelação e uma das possíveis causas é o desgaste gradual de
componentes críticos do processo. Kim et al. (2010) afirmam que a hipótese de independência
entre as observações de uma variável pode ser violada pelas altas taxas de produção que
geram correlação e dependência entre as observações de produtos vizinhos segundo o instante
de fabricação.
A autocorrelação prejudica o desempenho dos gráficos de controle tradicionais
(KALGONDA e KULKARNI, 2004). Estudos recentes apresentam alternativas para
monitorar esses tipos de processos. Du e Lv (2013) propuseram um gráfico de controle
baseado na distância euclidiana mínima para detectar desvios na média em processos
autocorrelacionados. Lin et al. (2012) consideraram o design econômico do gráfico de
controle ARMA, utilizado em processos autocorrelacionados. Franco et al. (2012) utilizaram
o modelo AR(1) para descrever o comportamento oscilatório da média e apresentaram os
parâmetros ótimos do gráfico de X usando o modelo de Duncan. Costa e Machado (2011)
também empregaram o modelo AR (1) para investigar o efeito do comportamento oscilatório
da média no desempenho no gráfico de X com amostragem dupla. Com a intensão de
reduzir o efeito negativo da autocorrelação no desempenho do gráfico de X , Costa e
Castagliola (2011) apresentaram uma técnica de amostragem sistemática denominada s–skip.
Sistemas modernos com tecnologia avançada e altas taxas de produção geraram
processos complexos que são multidimensionais, ou seja, muitas características de qualidade
são mensuradas e controladas. Pan e Jarret (2012) descrevem alguns desses processos que
podem apresentar observações correlacionadas e autocorrelacionadas.
Hotelling (1947) sugeriu o uso da estatística 2T para o monitoramento do vetor de
médias em processos multivariados. Sete décadas após, Chen (2007) e Chen e Hsieh (2007)
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apresentaram os esquemas adaptativos que melhoram o desempenham do gráfico de 2T . De
acordo com Hwarng e Wang (2010), a autocorrelação aumenta a taxa de alarmes falsos,
enquanto que a correlação diminui o poder do gráfico de controle. O feito combinado da
autocorrelação e da correlação no desempenho do gráfico 2T é digno de investigação.
Este artigo tem como objetivo avaliar graficamente o efeito da autocorrelação em duas
características de qualidade mensuráveis X e Y quando existe correlação entre as observações
de X e Y. O modelo VAR(1) foi adotado para representar a estrutura de correlação e
autocorrelação. Considerou-se na avaliação que o deslocamento na média seja o mais
importante em todo o processo e que o vetor de médias e a matriz de covariância sejam
conhecidos ou estimados com precisão.
O artigo está organizado da seguinte forma: na seção 2, descreve-se o modelo que
representa as características de qualidade quando há autocorrelação no processo; Na seção 3
são apresentadas algumas características do gráfico T2 de Hotelling; O efeito da
autocorrelação em processos bivariados é discutido e avaliado na seção 4 e, por fim, conclui-
se acerca do trabalho na seção 5.
2. Modelo autorregressivo e a matriz de covariância cruzada
Os procedimentos clássicos de controle em processos multivariados consideram a
hipótese básica de que as observações seguem distribuição normal multivariada e sejam
independentes, com vetor de médias 0μ e matriz de variância-covariância .
1,2,...,te t T t 0
X = μ (1)
sendo: tX representa as observações através de um vetor de ordem p x 1 (p é o número de
variáveis); te são vetores aleatórios independentes de ordem p x 1 com distribuição normal
multivariada cuja média é zero e matriz de variância-covariância e .
A hipótese de independência é violada em muitos processos de manufatura. Vetores
autoregressivos de primeira ordem - VAR(1) são usados para modelar processos
multivariados com correlação temporal entre observações de uma mesma variável e
correlação entre observações de diferentes características de qualidade (MASTRANGELO e
FORREST, 2002; BILLER e NELSON, 2003; KALGONDA e KULKARNI, 2004; ARKAT
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e NIAKI, 2007; JARRETT e PAN, 2007; ISSAM e MOHAMAD, 2008; PFAFF, 2008;
NIAKI e DAVOODI, 2009; HWARNG e WANG, 2010; KIM et al., 2010; KALGONDA,
2012). O modelo VAR(1) é representado por:
1( )t t t
X μ X μ ε (2)
sendo p~ N , t X μ o vetor de observações de dimensão 1p no instante t (p é o
número de variáveis), μ é o vetor de médias, tε é um vetor aleatório com observações
independentes e distribuição normal multivariada com média zero e matriz de covariância e
é uma matriz com parâmetros de autocorrelação de ordem p p .
De acordo com Kalgonda e Kulkarni (2004), a matriz de correlação cruzada de tX
possui a seguinte propriedade: ' . Após alguma manipulação algébrica, é possível
obter a relação:
2
1
p
Vec I Vec
(3)
onde é o operador produto de Kronecker e Vec é o operador que transforma a matriz em
um vetor empilhando suas colunas.
Para estudar o efeito da autocorrelação e correlação no gráfico de 2T , considerou-se
um processo bivariado (p=2):
b
a
0
0 ;
1
1
(4)
A partir de (2) e (3), segue-se que:
1 12 2
11 2 2
1 1
1 1
X XY
XY Y
a ab
ab b
(5)
3. Gráfico de controle T2 de Hotelling
O gráfico de controle 2T de Hotelling é um dos mais conhecidos esquemas de
controle para detectar desvios na média de processos multivariados (HOTELLING, 1947).
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Quando o vetor de médias ),( 02010 e a matriz são conhecidos, a estatística de
monitoramento 2T de Hotelling é representada por:
2 1
0 0
'T X X (6)
Com o processo em controle, 2 2~ pT . Se ocorrer uma causa especial que provoque a
mudança no vetor de médias para ),( 12111 , 2 2
( ,~ pT com parâmetro de não
centralidade 2 ´ 1 X
δ δ , sendo 1 11 01 2 12 02 , ) δ ( , veja Wu e Makis (2008).
Quando o vetor de médias e a matriz de covariâncias são desconhecidos e precisam ser
estimados, os limites de controle são calculados de acordo com a fase de monitoramento
(BERSIMIS et al., 2007).
Alguns autores utilizam o parâmetro de não centralidade ( 2 ) como medida de
deslocamento no vetor de médias do processo (ALT, 1985; APARISI, 1996; APARISI e
HARO, 2001; MASON e YOUNG, 2002). Nesse caso, o desempenho do gráfico é medido
por:
1
2
( , )1 Pr pARL LC
(7)
sendo: ARL o número médio de amostras até o sinal; LC o limite de controle do gráfico de 2.T
O ARL mede o número médio de amostras até a ocorrência de um alarme falso se 2 0 .
Quando o processo está fora de controle, o gráfico com menor ARL detecta com maior rapidez
mudança no processo.
4. Efeito da autocorrelação em processos bivariados
O gráfico 2T de Hotelling foi criado para ser usado quando a hipótese de
independência entre as observações de uma ou mais características de qualidade não é
violada. Desconsiderar o efeito dessa hipótese é bastante prejudicial para o desempenho do
gráfico de controle. Para estudar o efeito da autocorrelação, considerou-se a distância do vetor
X ao vetor de médias μ denominada distância de Mahalanobis (MAHALANOBIS, 1936). A
distância de Mahalanobis é dada por:
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2 1
0 0
'D X X (8)
A relação entre a matriz de covariância cruzada ( ) e os elementos das matrizes e
é obtida utilizando a equação (3). Na presença de autocorrelação e correlação, a distância
de Mahalanobis é dada por:
2 1
0 0
'D X X (9)
Sem perda de generalidade, considerando o caso bivariado em que
b
a
0
0 e
1
1
, quando 01 020; 0
0μ e o vetor ;x yX a distância 2D equivale a:
3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2
2
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
- 2 - 2 - - 2 - 2 -
-1 - - 2 - 1
a bx a b xy a x a xy ab y abx aby b xy b y x xy yD
ab a b a b a ab b
(10)
A equação (10) revela a influência de a ,b e na distância 2D .
Se 0a b , ou seja, 0 (não há autocorrelação), a distância 2D se reduz a:
2 2 2 2(x -2 xy+y ) 1-D (11)
Quando não há autocorrelação, ou seja, os dados são independentes, 2 2
( ; )~ pD . Para
avaliar o efeito da autocorrelação, utilizou-se no presente artigo o caso bivariado e = 0,01
(2
( 2; 0,01)p ), sendo, neste caso, 2D 10,5966.
O desempenho de um gráfico de controle pode ser avaliado em função do número de
amostras que o gráfico utiliza para detectar um deslocamento na característica que se deseja
monitorar. Quando não há deslocamento, o processo encontra-se em controle estatístico.
Espera-se, neste caso, que o sinal dado pelo gráfico seja um alarme falso. O valor
2D 10,5966 equivale a um alarme falso, em média, para cada 200 amostras avaliadas
quando é utilizado o gráfico 2T de Hotelling (COSTA et al., 2008).
Na avaliação gráfica do efeito da autocorrelação, considerou-se que o deslocamento
seja do tipo 1 11 01 2 12 02 , ) δ ( , ou seja, a ocorrência de uma causa especial
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desloca o vetor de médias 01 020; 0 0μ para um novo patamar
01 1 02 2; 1μ . Nas seções 4.1 e 4.2, realizou-se a avaliação do efeito da
autocorrelação do processo em controle (δ =0) e do processo fora de controle ( 0δ ),
respectivamente.
4.1 Avaliação gráfica do efeito da autocorrelação com o processo em controle
Em um processo isento de autocorrelação, 0a b e = 0,7, tem-se que
2 2 21,9608 2,7451 1,9608D x xy y . A elipse que representa a curva de nível da distribuição
para 2D 10,5966 é ilustrada na Figura 1. A Figura 2 ilustra a curva de nível para 0,5a b
e = 0,7.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Figura 1. Elipse: 0a b e = 0,7. Figura 2. Elipse: 0,5a b e = 0,7.
Fonte: Os próprios autores. Fonte: Os próprios autores.
Para e 0,0;0,1;0,2;0,3;0,4;0,5;0,6;0,7;0,8;0,9a b , pode-se observar na Figura 3
uma demonstração gráfica em que quanto maior for a autocorrelação, maior é a região
elíptica, ou seja, se o processo está em controle e há autocorrelação nas variáveis, é necessário
ajustar o limite de controle do gráfico, caso contrário, muitos alarmes falsos ocorrerão.
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8
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
Figura 3. Elipses: e 0,0;0,1;0,2;0,3;0,4;0,5;0,6;0,7;0,8;0,9a b e = 0,7.
Fonte: Os próprios autores.
Se os dados são normalmente distribuídos, as elipses da Figura 3 representam todos os
pontos equidistantes, na distância de Mahalanobis, da origem. Isto sugere que todos esses
pontos têm a mesma probabilidade de serem regidas por uma distribuição normal
multivariada com centro em (0,0), pois = 00μ . No gráfico 2T de Hotelling o limite de
controle (LC) igual a 2D 10,5966, gera, em média, um alarme falso a cada 200 amostras
coletadas quando 0a b . O mesmo não ocorre quando 0,0a b , ou seja, a taxa média
de alarmes falsos não corresponde a um alarme a cada 200 amostras coletadas, mesmo que
seja usado como LC o valor 10,5966. Isso significa na prática que, quando usamos o gráfico
2T de Hotelling, considerar o LC do gráfico com distribuição qui-quadrado com p graus de
liberdade 2
( )p na presença de autocorrelação nos fornecerá uma taxa de alarmes falsos
diferente da desejada.
4.2 Avaliação gráfica do efeito da autocorrelação com o processo fora de controle
A Figura 4 ilustra um processo isento de autocorrelação com 0a b e = 0,7. A
elipse tracejada com centro em (0,0) representa um processo em controle e sua equação é
2 2 21,9608 2,7451 1,9608 10,5966D x xy y . As demais elipses representam a ocorrência
de uma causa especial que desloca o vetor de médias para um novo patamar:
= 0,9a b
= 0,8a b
= 0,7a b
= 0,0a b
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a) Deslocamento 1 01 021; 1 1μ ; sendo:
2 2 21,9608 2,7451 1,1765 1,9608 1,1765 1,1765 10,5966D x xy x y y
b) Deslocamento 2 01 022; 2 1μ ; sendo:
2 2 21,9608 2,7451 2,3529 1,9608 2,3529 4,7059 10,5966D x xy x y y
c) Deslocamento 3 01 023; 3 1μ ; sendo:
2 2 21,9608 2,7451 3,5294 1,9608 3,5294 10,588 10,5966D x xy x y y
A Figura 5 ilustra um processo com autocorrelação com 0,7a b e = 0,7. A
elipse tracejada com centro em (0,0) representa um processo em controle e sua equação é:
2 2 21,4 10,06D x xy y . O valor 10,06 foi usado para que fosse possível fazer um
comparação justa que, na presença de autocorrelação, mantém a taxa média de alarmes falsos
igual a um alarme a cada 200 amostras. As demais elipses representam a ocorrência de uma
causa especial que desloca o vetor de médias para um novo patamar:
a) Deslocamento 1 01 021; 1 1μ ; sendo:
2 2 21,4 0,18 0,18 0,054 10,06D x xy x y y
b) Deslocamento 2 01 022; 2 1μ ; sendo:
2 2 21,4 0,36 0,36 0,216 10,06D x xy x y y
c) Deslocamento 3 01 023; 3 1μ ; sendo:
2 2 21,4 0,54 0,54 0,486 10,06D x xy x y y
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Figura 4 - Elipses: 0a b e = 0,7. Figura 5 - Elipses: 0,7a b e = 0,7.
Fonte: Os próprios autores. Fonte: Os próprios autores.
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Da Figura 4, observa-se que em processos sem autocorrelação o deslocamento no
vetor de médias causado por uma causa especial é representado pelas elipses que se afastam
do centro em (0,0), caracterizando que o gráfico 2T , nesse caso, apresenta desempenho
superior em relação ao processo em que a autocorrelação está presente. Na Figura 5, as elipses
apresentam maior resistência em se manter próxima ao centro em (0,0) quando ocorrem
deslocamentos que desajustam o vetor de médias, significando que o desempenho do gráfico
2T é inferior quando há presença de autocorrelação.
4.3 Exemplo
Dois tipos de processos bivariados foram simulados e o gráfico de 2T aplicado para
controlar as variáveis desses processos. No primeiro processo: 0 (0;0) ; a=b=0,0; =0,7 e
LC=10,5966 (ARL0=200). No segundo processo: 0 (0;0) ; a=b=0,7; =0,7 e LC=10,06
(ARL0=200). Três tipos de deslocamentos foram realizados no vetor de médias: 1,0;1,0)δ ( ,
2,0;2,0)δ ( e 3,0;3,0)δ ( . As observações das variáveis do primeiro e segundo
processos foram geradas com os modelos da equação (1) e equação (2), respectivamente. As
Figuras 6, 7 e 8 ilustram os resultados. Em cada gráfico de 2T , o processo sofre
deslocamentos no vetor de médias a partir da amostra 50. Os resultados evidenciam que a
autocorrelação diminui o poder do gráfico em detectar uma causa especial que atua no vetor
de médias do processo. Resultados similares foram ilustrados nas Figuras 4 e 5.
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Figura 6 – Gráficos T2 de Hotelling; 1 2 1,0 ; 1,0) δ ( .
Fonte: Os próprios autores.
Figura 6 – Gráficos T2 de Hotelling; 1 2 2,0 ; 2,0) δ ( .
Fonte: Os próprios autores.
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Figura 6 – Gráficos T2 de Hotelling; 1 2 3,0 ; 3,0) δ ( .
Fonte: Os próprios autores.
5. Conclusão
Este artigo avaliou o efeito da autocorrelação no gráfico de controle de 2T por ser uma
das ferramentas mais populares no meio acadêmico e industrial. A distância de Mahalanobis,
mesma estatística utilizada no gráfico de 2T , foi empregada para representar
geometricamente o comportamento de um processo na presença e ausência de causas
especiais que afetam o valor médio das variáveis monitoradas.
A violação da hipótese de autocorrelação afeta o desempenho do gráfico de 2T ,
reduzindo a capacidade em detectar desvios no vetor de médias. A utilização de elipses
ilustrou como os dados de um processo se comportam na presença da autocorrelação, ou seja,
mascarando o efeito do deslocamento no vetor de médias das variáveis. Os exemplos
apresentados ilustraram a redução que ocorre no poder do gráfico de 2T em detectar a
presença de uma causa especial que desloca o vetor de médias no processo. Sugere-se, em
trabalhos futuros, a apresentação de estatísticas ou técnicas que aprimorem desempenho de
gráficos de controle na presença de autocorrelação.
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