PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

(PUC MINAS)

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática

Gabriel Ferraz Rubinger de Queiroz

MATERIAL PEDAGÓGICO ELABORADO E SUPLEMENTO

(relacionados à dissertação intitulada Um estudo dirigido sobre a relatividade dos

campos elétrico e magnético, requisito parcial para obtenção do título de Mestre em

Ensino de Ciências e Matemática – Área de concentração: Física).

Orientador: Prof. Dr. Lev Vertchenko

Belo Horizonte

2016

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3

INTRODUÇÃO AO ESTUDANTE

Este material para estudo resulta de um trabalho de Mestrado em Ensino de

Ciências e Matemática na PUC Minas (Pontifícia Universidade Católica de Minas

Gerais), na área de Física.

É abordado um texto do renomado físico norte-americano Richard Phillips

Feynman (1918 - 1988), intitulado A relatividade dos campos magnéticos e elétricos.

Este texto é parte de um capítulo da edição definitiva de sua famosa coleção Lições de

física de Feynman – em tradução para a língua portuguesa brasileira (FEYNMAN;

LEIGHTON; SANDS, 2008); e consta no volume II, capítulo 13: Magnetostática (a

obra completa possui três volumes). Cada capítulo dos livros se divide em seções; o

texto abordado corresponde à seção 13–6. A paginação da obra não é usual, sendo feita

pelo número do capítulo seguido do número da página do capítulo em questão; assim

sendo, nosso texto vai das páginas 13–7 a 13–11. O texto nesta edição brasileira, que

vem da ‘Reimpressão 2009’, contém vários erros – que o autor deste trabalho

encontrou. Desse modo, elaborou-se uma errata deste. Caso exista edição e/ou

reimpressão posterior, alguns (ou todos) erros podem já estar corrigidos. Também

julgamos necessário comparar os erros descobertos nesta versão brasileira com algum

original mais antigo, no idioma inglês; isso ocorre porque estes originais são ainda bem

encontrados na comunidade acadêmica. A edição original adotada data de 1964; nesta, o

texto também está no vol. II, cap. 13: Magnetostatics, correspondendo à seção 13–6:

The relativity of magnetic and electric fields (págs. 13–6 a 13–11) (FEYNMAN;

LEIGHTON; SANDS, 1964). As referências completas de todos os livros utilizados

neste material se encontram no fim deste.

Esta proposta de estudo destina-se principalmente aos estudantes e professores

de curso superior de Física ou afins, que já possuam um conhecimento introdutório de

temas da Teoria da Relatividade Especial (TRE) e do Eletromagnetismo, a saber: o

Princípio da Relatividade de Einstein, o conceito de referencial inercial, a contração do

espaço, a dilatação do tempo, o momentum linear relativístico, as leis de Ampère da

magnetostática e de Gauss da eletricidade, e alguns fundamentos de cálculo.

O texto a ser feita leitura realmente está numa das mais importantes e renomadas

coleções de livros-texto de Física, bastante reconhecida no meio acadêmico-científico

(um clássico da Física dos últimos cinquenta anos). A obra é ainda estudada

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mundialmente por físicos iniciantes e experientes, tendo sido vertida para no mínimo

doze línguas; possivelmente nenhuma outra coleção de Física exerceu impacto tão

grande e duradouro. Feynman foi um dos maiores físicos da América e um dos

pioneiros da Teoria da Eletrodinâmica Quântica, dividindo o Prêmio Nobel de Física –

em 1965 – com Sin-Itiro Tomonaga e Julian Schwinger. Elaborou importantes

diagramas, usados nas teorias de partículas. Em 1972, recebeu a Medalha Oersted de

Ensino, da qual tinha orgulho e afeto; foi considerado um grande professor e um

visionário da nanociência. (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008; FEYNMAN,

2012).

O texto de R. Feynman trata da conexão intrínseca entre a Teoria da

Relatividade Especial (TRE) e o Eletromagnetismo. O físico mostra que os efeitos

relativísticos de contração do espaço e dilatação do tempo já estão presentes na Teoria

Eletromagnética, mesmo se a velocidade entre dois referenciais inerciais for muito

baixa. Do ponto de vista da TRE, os campos e as forças elétricas e magnéticas tornam-

se grandezas e conceitos totalmente relativos, mas as equações de Maxwell se

preservam (não necessitam de correção relativística) – o que equivale a dizer que estas,

que tomam parte no formalismo teórico fundamental do Eletromagnetismo, mantêm a

mesma forma matemática, a mesma “cara”, em qualquer referencial inercial. Também, o

texto mostra a lei da invariância/conservação da carga elétrica e a validade dos

Postulados de Einstein.

As atividades mais importantes (segundo cremos) deste material são a proposta

de uma leitura ativa do texto pelo estudante, seguida da tentativa de resolução de

questões sugeridas – acompanhada do texto. Acreditamos que estas questões estão

claras e simples – o que não é sinônimo de facilidade –, devendo ser respondidas com

base no texto, numa cuidadosa tentativa de interpretação de ideias e intenções de

Feynman. De certa forma, isto equivale a dizer que se crê ser muito importante o

esforço atencioso, na tentativa de integrar, reelaborar certas ideias – à medida que se

procede na resolução. Além disso, cremos ser preciso que o aluno trabalhe muito na

proposta, exercitando o raciocínio, a observação cuidadosa, a análise/avaliação da

redação de Feynman e de suas equações. Estas últimas considerações baseiam-se, em

boa parte, nas orientações da obra de Bordenave e Pereira. Grosso modo, podemos dizer

que esta proposta assume algumas características de um estudo dirigido, conforme

proposto por estes autores, que indicam que (nesta espécie de estudo) o aluno “[...] terá

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que trabalhar bastante no texto entregue pelo professor, usando sua própria criatividade

na interpretação e na extrapolação do conteúdo do texto.” (BORDENAVE; PEREIRA,

2015, p. 266).

Julgamos útil esclarecer ao aluno que os erros no texto da ed. brasileira (aqui

adotada) realmente podem causar confusão, atrapalhando a leitura, a compreensão

textual e a resolução de questões propostas. Isto se deve principalmente ao fato de que

Feynman aborda dois referenciais inerciais no texto; em vários erros, a simbologia

usada para estes e seus atributos é confundida, ou seja, trocada, usando-se a de um no

lugar do outro – o que confunde um referencial com outro e, com razão, possivelmente

confunde e prejudica o leitor. Assim, pode ser valioso que o aluno, durante a leitura e

antes de resolver as questões, destaque trechos que suspeitar como incorretos,

conferindo/analisando posteriormente a errata – e corrigindo os equívocos em seu livro

(no caso em que sejam utilizadas as versões brasileira e/ou original citadas).1 Isto pode

ser bem importante para a posterior resolução de questões; também pode ser pertinente

no estímulo à percepção de “lacunas” textuais e no julgamento da validade de

informações, o que segundo Bordenave e Pereira (2015), é passível de auxiliar a

capacidade de observar e avaliar (consciência crítica). Em nota de rodapé abaixo 2,

disponibiliza-se um link que dá acesso à obra completa de Feynman (aqui citada) apenas

para leitura, em inglês, na qual nosso texto não possui nenhum dos erros mostrados na

errata.

Por fim, ressalte-se ao aluno que se elaborou o documento ‘Material

Suplementar’, com respostas e resoluções comentadas das questões, considerações sobre

aspectos que julgamos importantes no texto (e certos elementos correlatos). Uma

possível potencialidade deste material de suplemento, segundo cremos, é auxiliar o

aluno numa espécie de autocorreção/estudo das questões sugeridas; acreditamos que o

material deve ser utilizado apenas após a tentativa cuidadosa de se trabalhar em todas as

1 O aluno também pode ler o texto concomitantemente à errata; possivelmente, esta questão deverá ser

discutida/combinada com o professor e depende da versão do texto adotada e da disponibilidade de

tempo. Somente foram comparados os erros encontrados nesta ed. brasileira com o original americano

mencionado, verificando se estes constavam ou não neste – e fornecendo correções e explicações para

os trechos incorretos; assim, o original em questão pode conter erros adicionais.

2 O ‘California Institute of Technology’ (Caltech) disponibiliza no site

http://www.feynmanlectures.caltech.edu/ os três vol. da obra, somente para leitura, não sendo

permitido qualquer tipo de cópia parcial ou completa. O último acesso foi feito em 17 de junho de

2015. A data de postagem, atualização etc. da obra não estava claramente indicada até a data do último

acesso; de acordo com informação de copyright, no rodapé do site, esta parece ser de 2013.

6

questões – juntamente ao texto de Feynman. Se seu professor não dispõe de tempo para

uma espécie de pré-correção das questões, o documento pode ser útil a fim de que se

refaça e/ou corrija as questões (ou ao menos como leitura complementar, acompanhada

do texto de Feynman). Provavelmente, estas questões devam ser combinadas com o

professor. O material suplementar é a última parte deste estudo, constando antes das

referências bibliográficas deste.

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ERRATA DE UMA EDIÇÃO DO TEXTO BRASILEIRO; QUESTÕES PROPOSTAS

AO LEITOR.

Ao analisar esta errata com cautela, seria útil corrigir os erros em seu texto,

tornando-o confiável para as atividades propostas. Assim, não há o risco de se esquecer

das incorreções em leituras/consultas futuras. A correção, somada à leitura deste

documento, pode auxiliar na análise e compreensão textual. Os três volumes originais

em idioma inglês, da obra The Feynman Lectures on Physics (Feynman; Leighton;

Sands), foram lançados pelo California Institute of Technology (Caltech) e pelo The

Feynman Lectures Website em um site na internet. O conteúdo é de alta qualidade e

disponível apenas para leitura; seu endereço consta na segunda nota de rodapé da

Introdução anterior. O texto está no capítulo 13, seção 13–6. Neste caso, as seções

formam links.

Errata do texto A relatividade dos campos magnéticos e elétricos, em tradução para

o português brasileiro; comparação dos erros encontrados na versão brasileira com

um original norte-americano.

Apontamos e corrigimos erros do texto brasileiro de Feynman (2008),

comparando-os com um original de 1964, isto é, verificando se os equívocos ocorrem

ou não neste (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 1964). Não se comparou o texto

brasileiro ao original do qual a obra foi traduzida, pois não se teve acesso a ele, mas

também porque um original mais antigo ainda pode ser mais utilizado.

Edições/reimpressões brasileiras mais recentes do que a estudada (caso existam) podem

estar total ou parcialmente retificadas, no que se refere ao texto abordado.

Erro 1: Está logo no início do quarto parágrafo: “No referencial S´, claramente existe

uma força magnética na partícula.” (p. 13–7). Correção: Ao invés de S´, leia-se S (sem

o símbolo ´ ); pois é em S em que claramente existe força magnética na partícula.

Este erro não consta no original em inglês consultado, podendo ser erro tipográfico

surgido na versão brasileira ou noutra edição original posterior.

8

Erro 2: No 15º parágrafo: “Esta carga deve ser igual a ρoLoA, porque as cargas são as

mesmas [...]” (p. 13–9). Correção: ρoLoA é igual à ρoLoAo. Feynman se refere à carga

Q num referencial S´ (= ρLAo) e enfatiza que esta deve igualar-se à carga num

referencial S (= ρoLoAo), a fim de obter uma relação geral entre as densidades de carga

relativa e de repouso para certo agrupamento de partículas elétricas – que

posteriormente é aplicada no experimento do texto. Isto não é bem um erro, mas uma

pequena confusão em símbolos usados no corpo do texto e na Figura 13–11 (p. 13–9);

nesta, se representa a área transversal do fio por A e seu comprimento relativo por L´,

enquanto que no corpo do texto se acham representações distintas destas grandezas.

Mas o importante é compreender que A = Ao e L´= L < Lo.

No original americano também há esta confusão.

Erro 3: Está no próprio enunciado da Figura 13–11, que se encontra incompleto: “Se

uma distribuição de partículas carregadas em repouso tem uma densidade de cargas ρo

as mesmas cargas terão densidade [...] quando vistas de um referencial com velocidade

v.” (p. 13–9). Correção: As reticências indicam o local em que faltam termos

matemáticos no texto, pois estes estão no original de 1964, e consistem na expressão:

ρ =

2

2

1c

v

o

; isto é provavelmente um erro tipográfico.

Erro 4: No 17º parágrafo, bem no final da pág. 13–9, na seguinte afirmação sobre

densidades de carga negativa: “Na Eq. (13.23) ρo = ρ´_ , porque as cargas têm a

densidade ρ´_ quando o fio está em repouso [...]” (p. 13–9). Correção: Recorde-se que

a densidade de carga negativa, em cada referencial inercial do experimento pensado por

Feynman, refere-se apenas à carga somada de todos os elétrons de condução. Está

correto que os elétrons livres têm densidade de carga negativa de repouso ρo = ρ´_ , pois

se encontram em repouso no referencial inercial S´; entretanto, está errado que as cargas

destes elétrons têm densidade ρ´_ quando o fio está em repouso, pois, no referencial S

deste, a densidade destas é representada por ρ_. Bastava afirmar-se “Na Eq. (13.23) ρo =

ρ´_ para cargas negativas (elétrons de condução). Temos então que” para um bom

entendimento do trecho, pois o que vem antes deste trecho é suficiente para a

interpretação.

Este erro se encontra no original; pode ser um equívoco de tipografia que se

propagou ou um erro de Feynman.

9

Erro 5: Na pág. 13–10: “Temos, pelo menos, uma força na mesma direção nos dois

pontos de vista; a força elétrica em S possui a mesma direção [...]” (p. 13–10).

Correção: Ao invés de “força elétrica em S ”, leia-se “força elétrica em S´ ”, pois esta

força só se manifesta em S´.

O original está correto; talvez, o erro surgiu no texto brasileiro por falha de

tipografia.

Erros 6 e 7: Estão na última página do texto, penúltimo parágrafo: “[...] no sistema S

existem linhas de campo elétrico, que não encontraremos passando por nós com

velocidade v no sistema S. No sistema S´ não existe nenhuma linha de campo elétrico!”

(p. 13–10). Correção: No sistema S não existem linhas de campo elétrico, mas somente

de campo magnético; e em S´ existem linhas dos dois campos. Assim, o trecho fica

correto com as modificações: “[...] no sistema S´ existem linhas de campo elétrico, que

não encontraremos passando por nós com velocidade v no sistema S. No sistema S não

existe nenhuma linha de campo elétrico!”.

Estes dois erros deste fragmento não constam no original, e podem ter surgido na

ed. em português aqui utilizada ou num original posterior ao analisado.

Erro 8: Consta na última figura do texto, Figura 13–12 (p. 13–11). Trata-se de algo

bem simples: o sentido dos campos magnéticos B e B´ – em (a) e (b) da figura,

respectivamente – está invertido. Ao invés do sentido anti-horário mostrado (no plano

do papel), o sentido correto é o horário, assim como está na versão online mencionada.

Este equívoco também consta no original de 1964, podendo ser erro do autor ou de

tipografia que se propagou – ou até da edição brasileira.

Caso o leitor possua conhecimentos razoáveis do idioma inglês, talvez outros

erros possam ser identificados em edições norte-americanas – quando já se tem certo

conhecimento do texto, tema e abordagem de Feynman.

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Questões propostas ao leitor

Apresentamos as seguintes questões, a serem realizadas após a leitura do texto:

1. Esta primeira questão envolve a percepção do problema a ser resolvido: qual

seria a consequência se, na mudança do referencial inercial do fio para o da

partícula, continuássemos a considerar o fio como eletricamente neutro?

2. Obtenha as expressões para o módulo do campo magnético B ao redor do fio e

para o módulo da força magnética F, que atuam na partícula de prova, no

referencial inercial do fio (S). Para isto, use a lei de Ampère da magnetostática,

indicada abaixo. Por simplicidade, adote – assim como Feynman – a velocidade

vo da partícula de prova (no referencial do fio) como igual à velocidade média de

arraste v_ dos elétrons de condução neste referencial.

Obs.: Nas Figuras 1 e 2 destas questões (e também na Figura 13–10 do texto de Feynman) se representa

apenas uma seção do fio reto cilíndrico e infinito – longo o suficiente para que seu diâmetro seja

desprezível em relação ao comprimento.

linha

B ∙ dl = μo i (1)

(A lei de Ampère, na forma de integral, como usualmente apresentada em várias obras de

Eletromagnetismo).

Figura 1 – O referencial do fio

Fonte: Adaptado de Feynman, 1964, p. 13–7

11

3. Esta questão tem por finalidade fazer uma avaliação do módulo da velocidade

média de arraste (também denominada velocidade de migração) em condutores

ordinários, como finos fios de cobre (Cu) residenciais. Os valores típicos de

velocidade para os elétrons livres da corrente são, geralmente, bem pequenos

quando comparados aos objetos “clássicos” do cotidiano.

Calcule o módulo da velocidade de arraste dos elétrons de condução no

referencial S de repouso de um fio de cobre, cujo diâmetro vale 1,00 milímetro e

que conduz corrente i = 1,00 ampère. Considere a densidade de átomos do cobre

equivalente a 8,48 x 1022

átomos/cm3

(em condições normais de temperatura e

pressão), e o módulo de carga elétrica elementar e = 1,60 x 10

–19 coulomb;

suponha ainda que cada átomo contribui com um elétron livre na condução.

4. Mostre como o fio, eletricamente neutro em seu referencial de repouso, torna-se

não neutro (carregado) no referencial da partícula de prova. Evidencie a

alteração relativística dos comprimentos nos volumes usados para cálculo de

densidades de carga. Pergunta: Estando o fio eletricamente carregado, do ponto

de vista do referencial S´ (da partícula de prova), haverá carga elétrica líquida

não nula no fio?

5.

a) Obtenha as expressões dos módulos do campo elétrico E´ e da força elétrica

F´ que interagem com a partícula de prova no referencial desta (S´ ). Utilize

a equação para a lei de Gauss da eletricidade, abaixo indicada. Na Figura 2 é

representada uma seção do fio reto, considerado infinito.

erfíciesup

E´ ∙ dS´ =

o

ernaQ

int (2)

(A lei de Gauss da eletricidade, na forma de integral, como usualmente apresentada em várias obras de

Eletromagnetismo).

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Figura 2 – O referencial da partícula de prova

Fonte: Adaptado de Feynman, 1964, p. 13–7

b) As equações 1 e 2 apresentadas (na 2ª questão e no item (a) desta) são uma

das formas matemáticas de duas leis gerais do Eletromagnetismo, que podem

ser nomeadas lei de Ampère da magnetostática e lei de Gauss da

eletricidade, respectivamente; cada uma destas leis foi aplicada em certo

referencial inercial – S ou S´ – por Feynman. Isto foi feito sem a necessidade

de corrigir, modificar, relativisticamente as equações para estas leis. Elas

contêm quantidades físicas, μo e εo, que podem se definir matematicamente

por expressões que contêm outra quantidade física de enorme importância no

advento da Teoria da Relatividade Especial; na verdade, μo, εo e esta outra

quantidade estão intrincadamente correlacionadas matematicamente.

Perguntas: Analisando cuidadosamente as equações de Feynman, aponte

qual é a outra quantidade física (explícita na maioria das equações de seu

texto). Esta quantidade aparece “igualmente” nas expressões para grandezas

de ambos os referenciais inerciais, isto é, tem igual valor absoluto, tanto em

S quanto em S´ ? O que se pode dizer, inferir sobre ela? O que podemos

concluir sobre εo e μo, a permissividade elétrica e a permeabilidade

magnética, respectivamente, para o espaço livre?

6. O valor do momento relativístico – em um determinado eixo de um referencial

inercial – pode ser dado por p =

2

2

1c

v

um

; onde v representa o valor de

velocidade da partícula no referencial inercial em que se quer determinar o

momento, e u o valor da componente desta velocidade ao longo do eixo

13

escolhido neste referencial. No texto de Feynman, é enfatizado que a variação no

valor dos momentos transversos (ou transversais) da partícula, Δpy e Δpy´ – nos

referenciais S e S´, respectivamente –, é a mesma. Isso equivale a dizer que o

momento transverso da partícula é igual (independente do referencial) em pontos

de mesma coordenada transversa y = y´; prove isto, ou seja, mostre que as

expressões para py e py´ são equivalentes (py = py´ ).

7. Qual a relação entre intervalos de tempo correspondentes no referencial inercial

do fio (S) e no da partícula (S´ )? Interprete o resultado, ou seja, tente descrevê-

lo de alguma forma, conferindo significado para esta relação.

8.

a) Como os resultados para os módulos da força elétrica F´ – da 5ª questão – e

da magnética F (obtido para o referencial do fio estacionário (S) na 2ª

questão) se relacionam matematicamente, de acordo com a previsão teórica?

Na prática, para o pequeno módulo de velocidade, calculado na 3ª questão –

em concordância com as pequenas velocidades consideradas por Feynman –,

o que se pode dizer sobre estas duas forças?

b) Use a equação relativisticamente correta do movimento e o resultado da 7ª

questão para obter a mesma relação (entre os módulos de F e F´) encontrada

no item (a) desta questão.

c) O obtido em (a) e (b) mostra a previsão relativística, que é válida, entre as

forças do texto; ambas, cada qual atuando em um referencial inercial, se

compatibilizam com o Eletromagnetismo Clássico e a Teoria da Relatividade

Especial. Qual efeito relativístico pode ser considerado na explicação da

diferença prevista entre estas forças? Tente descrever, interpretar, a

correlação deste efeito com as forças.

O autor disponibiliza seu e-mail para contato, gabrielferraz27@hotmail.com, a respeito de dúvida,

crítica, sugestão, informação de erros etc., sobre este trabalho.

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MATERIAL SUPLEMENTAR

RESOLUÇÃO COMENTADA DAS QUESTÕES; CONSIDERAÇÕES AOS

ESTUDANTES E PROFESSORES (PARA A CONDUÇÃO DE DISCUSSÕES E

REFLEXÃO).

Introdução

Não se pretende, aqui, com as resoluções, comentários, considerações etc.

apresentadas a seguir, retirar a autonomia do professor em relação aos estudantes; mas,

pelo contrário, desejamos apresentar um material na tentativa de auxiliar o leitor na

percepção da riqueza do texto de Feynman e – obviamente – na correção de nossas

questões propostas. O texto do físico norte-americano mostra que a Teoria da

Relatividade Especial pode ser tomada emprestada a fim de que o Eletromagnetismo se

torne coerente na descrição de interação eletromagnética exemplificada pelo autor. Ele

também ressalta a relatividade das grandezas de campo e conceitos de força elétrica e

magnética; o que dá nome ao seu texto. Apesar desta relatividade, Feynman enfatiza

que uma descrição eletromagnética completa é invariante, ou seja, um fenômeno

elétrico e/ou magnético encontra descrição – em concordância com as mesmas leis

fundamentais do Eletromagnetismo (equações de Maxwell) – em qualquer referencial

inercial. Assim, as equações do Eletromagnetismo são válidas em todos os referenciais

inerciais, mantendo sempre a mesma forma matemática em qualquer um deles. Desse

modo, o Princípio da Relatividade de Einstein e a lei da invariância no valor absoluto da

velocidade da luz (no espaço livre) são satisfeitos. Podemos perceber, então, que existe

uma íntima conexão entre a teoria clássica do Eletromagnetismo e a Teoria da

Relatividade Especial.

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1ª QUESTÃO:

A primeira questão diz respeito a uma contradição que surge se continuamos a

considerar o fio como eletricamente neutro no referencial inercial da partícula (S´ ); o

que, na verdade, trata-se de um paradoxo aparente. A consequência em considerar-se o

fio descarregado (neutro) no referencial da partícula conduz a uma espécie de absurdo

físico; pois se, no referencial do fio em repouso (S), um observador ali estacionário vê a

partícula aproximar-se do fio, também no referencial S´ esta deve aproximar-se deste.

Em outras palavras, um observador estacionário no referencial inercial da partícula vê

uma interação atrativa – entre o fio e a partícula –, assim como outro observador

estacionário, desta vez no referencial inercial do fio, também testemunha uma interação

atrativa entre os dois objetos. Afinal, seria um absurdo lógico um observador, em

repouso com respeito ao fio, observar a partícula adentrar o campo magnético B e

paulatinamente aproximar-se do fio, enquanto outro observador (movendo-se

inicialmente junto à partícula) a observasse sempre estacionária em relação a ele – sem

nenhuma força atuante nesta, sem alteração de velocidade da partícula e sem

aproximação do fio. Esta seria a estranha consequência se continuamos a considerar o

fio como eletricamente neutro no referencial S´ da partícula de prova; no referencial S

(do fio), obviamente, temos a atuação de uma força magnética atrativa – devida ao

campo magnético gerado pela corrente –, mas em S´ não teríamos nenhuma força

atuando na partícula, e esta se comportaria, portanto, como uma partícula livre – pois a

velocidade da partícula em S´ é nula. Se, pois, não há força magnética em S´ (v = 0) – e

a interação gravitacional é extremamente pequena em ambos os referenciais inerciais, a

ponto de podermos desprezá-la –, que tipo de força deve atuar sobre a partícula neste

referencial S´? Forças de origem nuclear não podem ser, pois se supõe apenas um ente

físico elementar (um elétron, p. ex.), como partícula de prova, nas proximidades de um

fio conduzindo corrente. Finalmente, na experiência pensada por Feynman (2008),

também devemos supor a inexistência de quaisquer forças resistivas e de interação com

partículas, átomos, fótons, moléculas etc. Em suma, a experiência de Feynman (2008)

preocupa-se somente com a interação existente entre uma partícula negativa elementar e

um fio condutor de matéria ordinária (cobre, por exemplo) conduzindo corrente estática.

A interação (força) atuante na partícula, em S´, só pode ser descrita, portanto, por um

formalismo teórico que inclua a teoria eletromagnética.

16

Grosso modo, podemos fazer uma analogia com a interação gravitacional: se um

observador – fixo com respeito à superfície da Terra (em um referencial S) – vê um

projétil ser abandonado de um avião em movimento reto e uniforme, colidindo com o

solo, também um observador estacionário no interior da aeronave (referencial S´ ) – com

velocidade inicial igual à desta – testemunhará a atração gravitacional. Este exemplo é

uma mera analogia; em ambos os casos, desconsideramos as interações – da partícula

elétrica e do projétil – com moléculas, átomos, fótons etc. e qualquer espécie de força

resistiva (de atrito). No texto de Feynman (2008), preocupamo-nos apenas com

interações descritas pela teoria eletromagnética clássica; e, nesta analogia, somente com

a interação gravitacional clássica. Logo, do mesmo modo que seria absurdo observar o

projétil – no referencial S´ da aeronave – permanecendo em repouso relativamente a

esta (sem sofrer a ação da gravidade terrestre), também seria totalmente incoerente

observar a partícula elétrica – no referencial S´ do texto de Feynman – como partícula

livre. Em suma, a partícula em S´ não pode permanecer sem a ação de uma força

descrita por teoria que inclua o Eletromagnetismo. Como esta força não pode ser

magnética em S´, pois forças magnéticas são dependentes da velocidade – e a

velocidade da partícula em S´ é nula –, não podemos continuar a considerar o fio como

eletricamente descarregado neste referencial. Então, embora o fio esteja descarregado

(neutro) no referencial inercial S, ele está eletricamente carregado no referencial inercial

S´.

Feynman demonstra que existe descrição teórico-conceitual (que intimamente

relaciona o Eletromagnetismo e a Teoria da Relatividade Especial) para a interação na

partícula no referencial inercial S´. Para chegar a esta conclusão, Feynman (2008) se

vale de previsões da Teoria da Relatividade Especial; através de uma destas previsões,

ele demonstra o fato de que o fio condutor, realmente, se encontra carregado no

referencial inercial S´ (da partícula). Também é interessante reparar em um importante

aspecto, citado na Introdução deste material suplementar: em ambos os referenciais

inerciais do texto, S e S´, as formas matemáticas para as equações de Maxwell são as

mesmas; ou seja, estas equações fundamentais do Eletromagnetismo não se alteram,

preservando seu formalismo, sua “cara”, em ambos os referenciais inerciais de

Feynman. E mais ainda: as formas matemáticas das equações de Maxwell se preservam

(sendo escritas identicamente) não só nos dois referenciais do texto abordado, mas em

qualquer referencial inercial. Porém, é necessário atentar para o fato de que existem

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grandezas nestas equações – como os campos elétrico e magnético – que podem variar

de um referencial inercial para outro, mas também quantidades físicas constantes

(invariantes). Dessa maneira, alguma forma matemática (das equações de Maxwell)

para cálculo de campo elétrico estático pode ser usada (escrita) no referencial de

repouso do fio (S); mas já sabemos, de antemão, que E em S deve ter resultado nulo,

pois o fio está eletricamente neutro neste referencial. E a mesma forma matemática para

cálculo de campo elétrico estático também é válida no referencial inercial de repouso da

partícula (S´ ), com a ressalva de que o campo elétrico neste referencial não pode mais

ser nulo; pois, como concluímos, o fio deve estar carregado em S´.

Enfim, não se pretende aqui – para a 1ª questão – dar uma resposta única para a

incompatibilidade gerada como consequência de considerar-se o fio eletricamente

descarregado em S´; mas, o intuito é tornar evidente ao leitor como a percepção deste

problema a ser resolvido é rica, podendo servir até como discussão introdutória. Assim,

o professor pode auxiliar na promoção de uma reflexão inicial em seus alunos,

utilizando esta questão no enfoque da riqueza do “problema de Feynman”. Uma boa e

breve discussão do problema envolvido no texto, por si só, já pode ser capaz de

introduzir (de forma bem introdutória) importantes noções como a relatividade dos

campos elétrico e magnético e a preservação das equações de Maxwell, referente ao fato

de que, em todos os referenciais inerciais, a teoria eletromagnética clássica é aplicável –

estando em compatibilidade com a Teoria da Relatividade Especial.

2ª QUESTÃO:

No cálculo do valor de campo magnético – no referencial do fio (S) –, basta

utilizarmos a lei de Ampère da magnetostática. Sendo este campo estático em S (não

variando no decorrer do tempo t deste referencial inercial), pois a corrente em S é

estacionária, devemos obter uma expressão para seu valor que varie apenas com a

distância radial r ao eixo longitudinal do fio; pois se considera um fio reto, muito longo

(que tende ao infinito) e de formato cilíndrico. A lei de Ampère da magnetostática, na

forma integral, é geralmente dada pela equação 1 do enunciado desta questão. O valor

absoluto da velocidade da luz no espaço livre, c, é uma constante obtida por Maxwell

em suas equações, designada por c = oo

1; então, μo =

2

1

co, e a equação para a lei

18

mencionada – escrita com os termos usados por Feynman (2008) em seu texto – fica:

linha

B ∙ dl = 2c

i

o (3)

Este problema exibe simetria cilíndrica, e a integral de linha fechada para o

campo magnético B é feita ao longo de uma circunferência concêntrica ao eixo

longitudinal do fio (cujo plano que a contém corta transversalmente o fio); como B e dl

são paralelos e tangentes em qualquer ponto da circunferência – e o valor de B é

constante em todos os pontos desta, a uma distância radial r qualquer –, a integral no

lado esquerdo da equação 3 iguala-se a: B linha

dl = B 2πr; onde a integral do elemento

dl é o próprio comprimento 2πr da circunferência. Assim, igualamos este último

resultado ao lado direito de 3, e obtemos:

B =22 cr

i

o =

22 cr

vA

o

(4)

Onde a corrente elétrica i – no referencial de repouso do fio (S) – foi substituída pela

expressão dada por Feynman (2008, p. 13–8), i = ρ_vA. O leitor facilmente pode provar

que ρ_vA é dimensionalmente coerente com a unidade de corrente, o ampère [A].

Portanto, ao obtermos a expressão do valor de B para qualquer distância r ao eixo do

condutor, temos uma equação válida para o valor deste campo, em S, na posição da

partícula de prova. O vetor B é tangente em todos os pontos duma superfície cilíndrica

imaginária que simetricamente envolva o fio – e perpendicular ao eixo longitudinal

deste. A direção/sentido de B é dada pela regra da mão direita para o campo magnético;

na posição da partícula de prova q, o vetor B “entra” no plano do papel. Pode-se tentar

visualizar a simetria na figura mostrada no enunciado.

Para obter o vetor força magnética, F, que atua na partícula de prova, em S,

deve-se tomar a equação:

F = qvo B (5)

19

A equação 5 provém da expressão mais geral para a força eletromagnética

Feletromag. = qE + (qv B); geralmente atribuída à Lorentz. Em nosso caso de fio neutro

em S, a força atuante na partícula é puramente magnética neste referencial.

Não é necessário, aqui, introduzir um sistema de coordenadas cilíndricas

circulares, com uma base de vetores unitários, para o cálculo de F (magnética);

precisamos apenas respeitar a definição de produto vetorial e a regra de mão direita para

determinação da direção/sentido do produto vetorial vo B, no referencial do fio.

Efetuando-se este produto, na posição da carga de prova, obtém-se uma força magnética

F radial ao eixo longitudinal do fio; assim, introduzimos um unitário r (radial), que

aponta no sentido do aumento do módulo de r (afastando-se do eixo do condutor):

F = qvo22 cr

vA

o

(r) = 2

2

2 cr

Avq

o

(r) (6)

Onde se considerou o valor de velocidade vo igual ao valor de v_ = v (velocidade de

arraste dos elétrons condutores em S), isto é, o caso especial tomado por Feynman

(2008, p. 13–8), em que vo = v. Repare que, sendo a carga q uma propriedade material

escalar e, neste caso, negativa, o sentido de F é contrário ao de um eixo radial que se

afasta do fio reto; então, a orientação desta força é radial apontando para o fio. A regra

da mão direita (para determinação de força magnética) é bem explicada por Serway e

Jewett (2008) 3. Relembre-se que o vetor resultante, em um produto vetorial, é sempre

perpendicular aos vetores envolvidos na operação.

No texto de Feynman, B e vo são perpendiculares, o que, pela definição de

magnitude do produto vetorial, faz com que F tenha seu módulo máximo, igual a

2

2

2 cr

Avq

o

. O resultado obtido em 6 é semelhante ao de Feynman (2008, p. 13–8),

expresso na equação 13.21, com exceção do vetor unitário r. É interessante reparar que,

aqui, já aparece uma razão matemática bastante recorrente na Teoria da Relatividade

Especial, v2/c

2. Até este ponto do texto, Feynman ainda não recorreu a nenhum efeito ou

3 O autor deste material pôde constatar que, com razão, existem algumas (senão várias) variações do que

se denomina regra da mão direita, inclusive em livros e notas de aula (na internet) para cursos

superiores; p. ex., para a determinação de produto vetorial, esta regra é – às vezes – chamada de regra

do parafuso direito. As variações parecem ocorrer tanto no nome dado à regra quanto em técnicas

mnemônicas envolvendo o polegar e os outros dedos da mão direita.

20

previsão relativísticos; entretanto, ele já discorreu sobre o fato de que o magnetismo não

é uma “coisa” independente, como se pode imaginar. (FEYNMAN; LEIGHTON;

SANDS, 2008, p. 13–7). Noutras palavras, podemos dizer que este resultado magnético

obtido para o referencial do fio em repouso não é absoluto para o fenômeno em questão;

ou seja, este referencial inercial (S) não é privilegiado para a descrição de campo

magnético. E, de modo análogo, para a descrição da força atuante na partícula elétrica.

Na verdade, todos os referenciais inerciais estão em pé de igualdade; isto se interliga ao

fato de que a grandeza de campo magnético é relativa:

[...] este vetor dependerá de qual sistema de referência escolhemos para

especificar a velocidade das cargas. Mas não falamos nada sobre qual o

referencial apropriado para se especificar o campo magnético. Verifica-se

que qualquer referencial inercial pode ser usado. (FEYNMAN; LEIGHTON;

SANDS, 2008, p. 13–7).

Sendo o Princípio da Relatividade einsteiniano válido no Eletromagnetismo,

devemos encontrar outras descrições compatíveis com as leis fundamentais desta teoria

no referencial inercial da partícula de prova (S´ ), e em qualquer outro referencial

inercial. Assim, os conceitos de forças e grandezas de campo magnético e elétrico são

relativos; mesmo assim, não há um referencial privilegiado (absoluto) para o

Eletromagnetismo e para a propagação da luz; uma descrição de natureza

eletromagnética, em sua totalidade, é invariante. (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS,

2008; EINSTEIN, 1999).

3ª QUESTÃO:

No cálculo do módulo da velocidade de arraste dos elétrons de condução, em S,

vamos partir da equação dada por Feynman (2008, p. 13–8) para a corrente elétrica, que

pode ser expressa por i = ρ_vA; onde ρ_ é a densidade de carga negativa de condução no

referencial do fio de cobre em repouso, v = v_ é o valor médio da velocidade (do

arraste) da distribuição de elétrons condutores neste referencial, e A é a área transversa

do fio – que é invariante, pois as dimensões transversas ao movimento não sofrem

alteração relativística. Isolando v_ , e escrevendo a área em função do diâmetro d do fio,

temos:

21

v_ = 2

_2

d

i

(7)

A única quantidade física não conhecida para o cálculo de v_ é ρ_ (para o cobre),

sua densidade de carga negativa de condução no referencial do fio. A quantidade de

átomos de cobre por unidade de volume (nas CNTP) é cerca de 8,48 x 1022

átomos/cm3

(SERWAY; JEWETT, 2008, p. 770); e, como cada átomo contribui com um elétron

livre de corrente, tem-se (8,48 x 1022

elétrons de condução/cm3)

3

3610

m

cm = 8,48 x 1028

elétrons de condução/m3. Agora, basta multiplicarmos este resultado pela carga

elementar – de módulo e = 1,60 x 10–19

C –, o que nos fornece o módulo da densidade

negativa de condução: 1,3568 x 1010

C/m3

de densidade absoluta de carga para ρ_. O

leitor também pode obter este resultado utilizando a densidade de massa do cobre, sua

massa molar e a constante de Avogadro, que podem ser dados, respectivamente, pelos

valores: 8,96 g/cm3 (a 20

oC = 293 K); 63,54 g/mol e 6,02 x 10

23 mol

–1 (RESNICK;

HALLIDAY; KRANE, 2007). Finalmente, substituindo os valores fornecidos no

enunciado desta questão para a corrente i, o diâmetro d (= 1,00 mm = 10–3

m), e o

calculado para ρ_ , obtém-se:

v_ = 2

310

2

10103568,1

00,1

xx

2

3

/

mm

C

sC

= 9,38 x 10–5

m/s (8)

(com três algarismos significativos)

O resultado obtido em 8 é da ordem de grandeza de 10– 4

m.s –1

, isto é, um valor

de velocidade média de arraste em torno de apenas um décimo de milímetro por

segundo. O módulo desta velocidade é medíocre quando comparado aos valores

cotidianos comuns, como, p. ex., o de um carro que translada a 110,0 Km/h (≈ 30,6

m/s); o que nos dá uma razão (da ordem de grandeza) de 10–6

para a velocidade de

arraste dividida pela velocidade do carro. O texto de Feynman demonstra que as

previsões da Teoria da Relatividade Especial podem ser levadas em consideração, no

22

contexto do Eletromagnetismo, até quando os valores de velocidades entre os

referenciais inerciais são da ordem de grandeza – ou próximas – da calculada acima.

Com efeito, Feynman não especifica a composição química, o valor de corrente e o

diâmetro do condutor etc. na proposta de seu texto, mas considera o problema “para as

pequenas velocidades.” (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008, p. 13–10). A razão

entre o módulo da velocidade de arraste calculado e o da luz, c

v_ , é muitíssimo pequena,

da ordem de grandeza 10–13

. Vemos, portanto, que existe a possibilidade teórica de

enfocar a íntima conexão entre o Eletromagnetismo e a Teoria da Relatividade Especial

– com um tratamento matemático razoável – mesmo em velocidades relativas (entre

referenciais inerciais) usualmente menores do que as observadas na vida cotidiana e

consideradas em muitos estudos teóricos de Mecânica Clássica.

4ª QUESTÃO:

Em um longo fio reto e cilíndrico, de comprimento próprio Lo em seu referencial

de repouso (S), tem-se densidade de carga – para certa distribuição de cargas no corpo

do fio – dada por ρo =

oo AL

Q ; onde LoAo é o volume próprio (medido no referencial de

repouso) do fio e Ao é sua área de seção reta. Em um referencial inercial com velocidade

paralela ao eixo longitudinal do fio reto, o comprimento Lo se contrai por um fator

inverso ao de Lorentz, isto é, por 1/γ (um dividido por gama); o que nos dá um

comprimento relativo L:

L =

1Lo =

2

2

11c

v

Lo

= Lo2

2

1c

v (9)

Este é o resultado 13.22 do texto de Feynman (2008, p. 13–9). Assim, no

referencial inercial em movimento relativo ao fio (S´), este apresenta um comprimento L

menor que Lo; logo, o volume do fio também será menor no referencial da partícula.

Lembre-se que o fator de Lorentz, γ, é sempre um positivo maior do que um (1) quando

v é diferente de zero, e seu inverso fica entre zero e a unidade. O efeito da contração de

Lorentz (ou contração do espaço) é uma previsão da Teoria da Relatividade Especial

23

usada por Feynman (2008) a fim de concluir que o fio, no referencial inercial S´ de

repouso da partícula, possui densidade volumétrica de carga líquida não nula. É

interessante reparar que esta consideração relativística faz surgir o fator γ nas

expressões para os valores de força e campo elétricos – em S´. Aqui entra uma lei de

invariância – e também de conservação – de grande importância no arcabouço teórico-

conceitual do Eletromagnetismo, da Teoria da Relatividade Especial e da Física em

geral; trata-se da questão da invariância (e conservação) da carga elétrica. Podemos

afirmar que a carga líquida associada a qualquer conjunto de partículas (que não recebe

nem perde nenhum portador de carga), digamos alguns prótons e elétrons, é sempre a

mesma, independentemente do movimento relativo entre o conjunto de partículas e um

observador; noutras palavras, a carga líquida contida numa partícula – ou em certa

coleção delas – é sempre uma propriedade escalar invariante que não depende da

velocidade, ou seja, uma quantidade física que se preserva em qualquer referencial

inercial. Por exemplo, imagine uma partícula com carga q que se move em relação à

superfície da Terra com valor de velocidade 0,5c (metade do valor da velocidade da luz

no espaço livre), o que é simétrico à superfície terrestre mover-se a 0,5 c relativamente a

esta partícula “em repouso” no referencial da órbita da Terra. Um observador

estacionário na superfície do planeta mediria sempre o mesmo valor de carga q da

partícula. Porém, as densidades de carga podem variar, pois os volumes do espaço se

alteram quando há movimento relativo entre referenciais inerciais; e, segundo Feynman

(2008), importa somente esta noção (no cálculo de densidades de carga), a de que o

volume de espaço varia devido à contração do comprimento (ou contração de Lorentz).

A lei de invariância da carga elétrica, junto ao efeito de contração do comprimento,

permite-nos deduzir uma expressão geral para densidades de carga de certa distribuição

de partículas na Teoria da Relatividade Especial.

A densidade de carga líquida no fio, no referencial inercial S´ (da partícula de

prova), é chamada por Feynman de ρ´. Vamos obtê-la; assumindo que a carga líquida Q

contida em certo conjunto de partículas (eletricamente isolado) deve ser invariante tanto

em um referencial S quanto num referencial inercial S´, ou em qualquer outro sistema

inercial, podemos obter um resultado geral a ser aplicado ao fio. Primeiramente, a área

de corte reta do fio, Ao, é uma dimensão transversa ao movimento que não se altera.

Usando o resultado 9 – que relaciona os comprimentos relativo L e de repouso (próprio)

Lo –, evidenciamos a alteração relativística do comprimento nos volumes usados no

24

cálculo de densidades (de carga)

ρo=

oo AL

Q e ρ =

2

2

1c

vLA

Q

oo

(10)

Aqui, ρo e ρ são densidades de carga gerais para qualquer distribuição de partículas

carregadas; sendo ρo a densidade de carga em repouso, ρ a densidade de carga relativa e

Q a carga líquida contida na distribuição (quantidade invariante). Assim, fica evidente a

previsão da contração de Lorentz; e, isolando Q nas equações 10, obtemos a igualdade:

oooooAL

c

vLA

2

2

1

ou

2

2

1c

v

o

(11)

A última igualdade é um resultado mais geral para densidades de carga na Teoria

da Relatividade Especial, no nível de nosso interesse. Ela é dada por Feynman (2008, p.

13–9) em sua equação 13.23. Vamos aplicá-la ao exemplo do autor. As cargas positivas

(prótons nucleares) estão todas estacionárias no referencial do fio (S); se há um elétron

condutor por átomo (em S), então temos N(Z – 1) elétrons estacionários neste

referencial, cujas cargas são balanceadas por uma idêntica quantidade de prótons. Z é o

número atômico do elemento constituinte do condutor e N é o número total de átomos

deste elemento no fio. Assim, não é necessário contabilizar densidades de carga de N(Z

– 1) elétrons mais N(Z – 1) prótons no referencial S, pois estas partículas estão

estacionárias no referencial de repouso do fio (S); e a densidade e a carga líquida (delas

somadas) são nulas neste e em qualquer outro referencial. Preocupemo-nos, então,

somente com a carga elétrica referente a um próton em cada núcleo do fio mais a carga

do conjunto dos elétrons de condução; a densidade de carga líquida destas partículas é

nula – no referencial inercial do fio! –, pois o número de elétrons de condução iguala-se

ao de N prótons, e a carga total destes elétrons divide-se pelo mesmo volume que a

carga total dos prótons – o volume do fio em repouso (em S). Para cargas positivas, a

25

densidade de carga de repouso ρo – em S – nada mais é do que uma densidade positiva

de repouso ρ+ (referente à soma das cargas de cada próton líquido por núcleo); porém,

no referencial da partícula (S´) (no qual o fio está em movimento), estas mesmas cargas

positivas movem-se com velocidade –v (menos v), tendo-se para elas, em S´, uma

densidade positiva relativa ρ´+; o que, segundo o resultado geral 11, nos dá:

ρ´+ =

2

2

1c

v

(12)

Para a distribuição de elétrons de condução, concluímos que estas partículas têm

sua densidade de carga negativa de repouso, ρ´_, no referencial S´ – pois estão

estacionárias neste referencial inercial; contudo, estes elétrons se movem em S, tendo

sua densidade de carga relativa ρ_ no referencial do fio em repouso. Daí,

ρ_ =

2

2

_

1

´

c

v

(13)

obtemos o resultado acima, que corresponde à equação 13.25 de Feynman (2008).

Somando-se as densidades de carga ρ´+ e ρ´_, obtidas para S´, temos a densidade de

carga líquida ρ´ no referencial da partícula de prova:

ρ´ = – ρ+2

2

1c

v +

2

2

1c

v

=

2

2

2

2

1

1

c

v

c

v

=

2

2

2

2

1c

v

c

v

(14)

Onde se substituiu ρ_ por –ρ+ (menos ρ+) em 13, pois estas duas densidades se referem

ao referencial S; e, estando o fio neutro neste referencial inercial, a igualdade ρ+ + ρ_= 0

deve ser satisfeita. O resultado para ρ´ confirma que o fio condutor tem densidade

26

líquida de carga diferente de zero em S´; existe, assim, um campo elétrico E´ neste

referencial que interagirá com a partícula que ali está inicialmente estacionária. A

relatividade dos campos magnéticos e elétricos já pode ser vislumbrada nos resultados

matemáticos apresentados, uma vez que no referencial do fio em repouso (S) a soma das

densidades de carga positiva e negativa é nula, o que resulta em um campo elétrico E =

0. Entretanto, a soma de densidades de carga observadas no referencial inercial da

partícula de prova (S´) não é nula (ρ´ ≠ 0), o que faz surgir um campo elétrico E´

diferente de zero; assim, este tipo de campo existe em S´, mas não em S. Recorde-se

também que, no referencial S do fio, há somente campo magnético; e este tipo de campo

também está no referencial S´ da partícula, mas com valor diferente de B (em S) –

embora B´ e B tenham mesma direção e sentido, como veremos adiante. Mas ficam os

questionamentos: há carga elétrica líquida (no fio) do ponto de vista do referencial

inercial S´ ? Sendo a carga uma quantidade que se conserva, teria o fio carga interna

líquida zero em S´ (referencial da partícula), assim como no referencial S – mesmo

havendo densidade de carga não nula (ρ´ ≠ 0) em S´ ?

Isto suscita uma questão sutil e delicada. Ela não é explicitada por Feynman.

Sabendo que a conservação (invariância) da carga elétrica não pode ser violada,

poderíamos suspeitar que a carga (não a densidade) líquida no corpo do fio – em S´ –

seja também nula. Mas não, a carga líquida no fio, no referencial S´, é diferente de zero;

o que não viola a lei de conservação da carga. Aqui entra em cena a noção da

relatividade da simultaneidade, que se refere ao fato de que dois eventos simultâneos

em um referencial inercial não são simultâneos em outro, exceto em um caso específico.

Suponha que, no referencial S do fio de Feynman (como representado na Figura 13–10

(a) (2008, p. 13–7)), que está neutro, um elétron sai pela base direita do fio ao mesmo

tempo em que outro elétron entra pela base esquerda. Com efeito, sendo a corrente i

estática, ρ_ uniforme e a área de corte reta do fio invariante, a velocidade de arraste dos

elétrons de corrente mantém-se a mesma – de acordo com i = ρ_vA. Assim, em qualquer

instante de tempo t do referencial S, igual número de elétrons sai e entra no fio – o que o

mantém neutro. Obviamente, o exemplo de Feynman é idealizado; assim, não

consideramos nenhum efeito, flutuação no valor de grandezas (como ρ_, p. ex.) e

perturbações externas que possam gerar campo elétrico e carga líquida em S. Um

observador em movimento perpendicular ao eixo longitudinal do fio, na Figura 13–10

(a) (2008, p. 13–7), ao longo da reta que mantém iguais distâncias das bases do fio,

27

também constata a entrada de um elétron por uma base do fio simultaneamente à saída

de outro pela outra base; este é o caso específico mencionado acima, em concordância

com Taylor e Wheeler (1992). Porém, segundo a Teoria da Relatividade Especial, em

outros referenciais inerciais estes dois eventos (entrada de um elétron por um lado e

saída de outro elétron por outro lado) não são simultâneos; assim, no referencial S´ (da

partícula), um elétron sai pela base direita antes que outro entre pela esquerda, pois o

observador se move para a direita; e a distância de percurso da luz desta base até o

observador (em S´) é menor, o que o faz detectar a saída de um elétron pela direita antes

da entrada de outro pela esquerda. Isto origina uma carga líquida positiva no fio de

Feynman, do ponto de vista de S´, o que está de acordo com a densidade ρ´ positiva e

com o campo elétrico E´ que devem existir no referencial S´ da partícula de prova.

Obviamente, a descrição anterior é apenas uma experiência de pensamento. É válido

tentar imaginá-la a partir da Figura 13–10 (b) do texto (2008, p. 13–7); também, na

prática, lidamos com uma quantidade enorme de elétrons livres (o que pode se perceber

na resolução da 3ª questão). Imaginar que um elétron sai do fio antes que outro entre é

apenas uma simplificação útil. Não há nenhum problema mais profundo com o fato de

que o fio deixa de estar neutro na passagem do referencial inercial S para o S´, pois a lei

de conservação da carga não é violada. A conservação da carga elétrica deve ser local, e

se relaciona ao fato de que um portador de carga (em um sistema físico “em repouso”)

pode se mover de um local para outro e/ou permanecer estacionário dentro da fronteira

do sistema; mas nunca desaparecer e – simultaneamente – aparecer em outro lugar do

sistema em questão. Se isto ocorresse, um observador em MRU relativo ao sistema

poderia observar a não simultaneidade destes eventos (o desaparecimento e surgimento

de um elétron, p. ex.); portanto, este observador concluiria que, em certo intervalo do

seu tempo, o elétron sumiu ou houve um elétron extra. Assim, a lei de conservação da

carga só valeria corretamente no referencial do sistema considerado em repouso, isto é,

deveria haver um referencial privilegiado, absoluto; o que viola o Princípio da

Relatividade. Na experiência de Feynman (2008), obviamente, há um sistema que

contém o fio, uma bateria (ou outra fonte qualquer) e, como é possível imaginar, outros

elementos de circuito. Mas o que mais importa é que a carga líquida interna ao sistema

deve se conservar, estando este isolado (eletricamente); mesmo que a carga líquida no

corpo do fio seja nula em S e positiva em S´. Também, esta lei de conservação no

experimento de Feynman (2008) é compatível com a verificação de que deve ser local;

28

afinal, temos portadores de carga em movimento e em repouso (em S e S´) na estrutura

do fio de Feynman (2008), da fonte – e talvez em outros dispositivos –, mas não

partículas carregadas que desaparecem e reaparecem em outro local, o que segundo

Feynman “[...] é impossível, de acordo com o princípio da relatividade de Einstein.

Logo, é impossível haver conservação não local da carga. O caráter local da

conservação da carga é coerente com a teoria da relatividade.” (FEYNMAN, 2012, p.

71).

Esta questão é valiosa, pois neste ponto já se vislumbra a relatividade de campos

magnético e elétrico até quando a velocidade relativa entre referenciais inerciais é bem

pequena (da ordem obtida na 3ª questão, ≈ 10– 4

m.s –1

). É significativo que o leitor

perceba, no aspecto da relatividade destes campos, a importância da Teoria da

Relatividade Especial a fim de tornar compatíveis (nos dois referenciais inerciais de

Feynman) descrições teóricas provindas da mesma teoria: o Eletromagnetismo Clássico.

Enfim, a partir da consideração de contração espacial, o físico deduz uma

expressão de densidade líquida de carga não nula em S´, e conclui pela existência do

campo E´ neste referencial; também, utilizando a noção de relatividade da

simultaneidade, mostramos (de modo razoavelmente convincente) que há carga líquida

positiva no fio em S´. O fator γ

2

2

11c

v na equação obtida para ρ´ não vem de

correções relativísticas no formalismo matemático do Eletromagnetismo, mas sim da

Teoria da Relatividade Especial (previsão de contração do espaço) – que já inclui o

Eletromagnetismo no seu arcabouço teórico e conceitual, sem precisar modificá-lo.

Além disso, vimos que a carga elétrica de um sistema isolado eletricamente se conserva

em todos referenciais inerciais; esta é uma lei fundamental do Eletromagnetismo – e da

Física Moderna –, tanto é que Feynman (2012) a denomina um grande princípio de

conservação. Afinal, a carga é uma propriedade intrínseca à estrutura de boa parte da

matéria conhecida; Feynman (2008), no texto aqui estudado, explicita duas observações

cotidianas que implicam na invariância (e conservação) dessa propriedade. Uma aponta

que um objeto inicialmente descarregado (em certa temperatura) tornar-se-ia carregado

quando aquecido; a outra nos indica que uma substância qualquer se carregaria na

ocorrência de simples reações químicas. Mas estes efeitos nunca foram observados. As

explicações de Feynman (2008) a este respeito são muito boas, e é válido relê-las com

cuidado e atenção. Repare que a observação referente ao aquecimento de um objeto

29

também é válida se este for resfriado, de acordo com a explicação de Feynman; em

resumo, um objeto inicialmente neutro – em certa temperatura – tornar-se-ia

eletricamente carregado quando sua temperatura variasse. É claro que, nas observações

mencionadas por Feynman (2008), os objetos – sistemas – devem estar eletricamente

isolados. A lei de conservação e invariância da carga elétrica é um dos aspectos mais

pertinentes do texto de Feynman (2008), que tentamos enfatizar nos comentários desta

4ª questão, juntamente à relatividade dos campos magnético e elétrico e ao fato de que o

efeito da contração de Lorentz pode ser “emprestado” pela Teoria da Relatividade

Especial – a fim de se começar a vislumbrar a relatividade destes campos e a

compatibilização desta teoria com o Eletromagnetismo.

5ª QUESTÃO:

Item (a):

Primeiramente, vamos obter a expressão para o valor do campo elétrico E´,

como indicado por Feynman (2008) em sua equação 13.28. Lembre-se que o campo

elétrico somente se manifesta em S´; e aqui usaremos a equação da densidade líquida de

carga ρ´ no referencial inercial da partícula (S´). Esta equação se encontra no resultado

14.

É bom que se imagine sempre o fio em movimento ao nos referirmos ao

referencial S´ da partícula de prova – referencial inercial no qual esta partícula está em

repouso, mas não o fio. Isto é evidenciado na Figura 13–10 (b) (2008, p. 13–7) do

texto; assim, em S´, o fio se move para a esquerda e realmente está positivamente

carregado (o que pode se visualizar na Figura 13–12 (b) (2008, p. 13–11) de Feynman).

Poderia ser útil, neste momento, que o leitor revisse (com atenção) as figuras de

Feynman citadas acima – e relesse seus respectivos enunciados com cuidado –, pois

estas se referem ao referencial S´ da partícula elétrica. A Figura 13–12 (b) (2008, p.

13–11) ilustra razoavelmente bem a relatividade dos campos magnético e elétrico nos

sistemas inerciais S e S´.

Antes do cálculo do valor de E´ (no referencial S´), façamos algumas

argumentações sobre as equações indicadas – em enunciados de nossas questões – para

duas importantes leis do Eletromagnetismo. A lei de Gauss da eletricidade escrita para

30

S´ (dada no enunciado desta 5ª questão), erfíciesup

E´ ∙ dS´ =

o

ernaQ

int , eq. 2, é uma das

formas de simbolizar-se matematicamente a lei de Gauss da eletricidade. A equação foi

escrita para o referencial da partícula em repouso (S´), ou seja, usamos um símbolo [´]

para representar grandezas e elementos físicos e matemáticos com caráter relativo; e

abstemo-nos do símbolo a fim de apresentar propriedades e quantidades físicas

invariantes (constantes). Isto é bem importante – no nível aqui abordado –, pois, apesar

da existência do que se denomina invariante e do se denomina relativo, a forma

matemática da lei de Gauss da eletricidade é a mesma tanto em S´ quanto em S. Grosso

modo, podemos dizer que a equação desta lei tem igual “cara” em qualquer referencial

inercial, isto é, não é necessário acrescentar nem retirar nada da equação; mas apenas

avaliar os termos relativos (que podem variar na passagem de um referencial para outro)

e os invariantes. Aliás, não apenas esta lei mantém sua forma em todos os referenciais

inerciais, mas todas as leis fundamentais da teoria eletromagnética (geralmente

chamadas de equações de Maxwell). E mais ainda: todas as leis fundamentais da Física

são as mesmas em qualquer referencial inercial. Este é um dos enunciados do que hoje

pode se denominar ‘Princípio da Relatividade de Einstein’ (que deve ser de

conhecimento do leitor); que significa que as equações para as leis fundamentais da

Física se preservam, isto é, mantêm seu formalismo, sua aparência, em todos os

referenciais inerciais. Assim, a expressão aqui descrita para a lei de Gauss da

eletricidade também é válida no referencial S do fio em repouso; todavia, esta lei não

precisa ser aplicada neste referencial, pois, de antemão, sabemos que E é nulo em S. A

carga líquida interna ao fio é zero no referencial do fio em repouso (ρ+= – ρ_); e isto

garante não ser preciso aplicar a lei de Gauss para a eletricidade no referencial S. É

interessante apontarmos que, o formato da lei de Gauss da eletricidade (escrito acima),

explicita a carga interna de um sistema – em nosso caso, do fio; recorde-se que a carga

elétrica interna (líquida) ao fio, no referencial S´, não é nula. Discutiu-se isto nas

considerações da 4ª questão utilizando a noção da relatividade da simultaneidade, onde

se concluiu que a Qinterna no fio – em S´ – não pode ser zero; com efeito, esta carga

líquida no fio é positiva no referencial inercial da partícula (S´), mesmo que a Qinterna

líquida no fio seja nula em S. Isto não viola a lei de conservação da carga elétrica; e

caso o leitor não se lembre de nossos argumentos a este respeito, na resolução da

questão anterior, é útil a releitura de certos trechos desta. Enfim, como a carga líquida

31

(no fio!) difere na mudança do referencial S para o S´, podemos usar a simbologia

Q´interna no cálculo de campo elétrico em S´; todavia, preferimos não usar este símbolo

na equação dada no enunciado desta questão, para enfatizar que a carga líquida em uma

partícula – ou em um sistema como um todo, eletricamente isolado – é invariante,

independente do movimento. Enfim, aplicando a lei de Gauss da eletricidade em S´,

temos:

erfíciesup

E´ ∙ dS´ =

o

ernaQ

int

´ =

cilíndricocontorno

E´ ∙ dS´ +

esquerdabase

E´ ∙ dS´ +

direitabase

E´ ∙ dS´ (15)

Este cálculo também exibe simetria cilíndrica, e a integral na superfície (área)

cilíndrica fechada, que envolve o fio reto – cujo comprimento pressupõe-se ser bem

maior que o diâmetro –, divide-se em três integrais de superfícies abertas (que formam a

superfície total do cilindro); estas superfícies (áreas) podem ser vistas na Figura 2 deste

material, adaptada do próprio texto de Feynman (1964), isto é, adaptada de figura igual

à Fig. 13–10 (b) de Feynman (2008, p. 13–7). A integral no contorno cilíndrico (o

envoltório do cilindro) mais as integrais de suas bases esquerda e direita nos dá a

integral fechada erfíciesup

E´ ∙ dS´ completa na área cilíndrica do referencial S´. Repare

que, nas bases (que nada mais são do que círculos perpendiculares ao eixo do fio), por

argumentos vetoriais, vemos que o campo elétrico E´ é sempre tangente às superfícies

circulares. Lembre-se que o fio considerado é infinitamente longo, mas é preciso tomar

certo comprimento finito L (relativo) no referencial S´; assim, o fio continua

infinitamente além das bases. Então, o campo E´ é sempre perpendicular ao elemento

infinitesimal de área dS´; elemento sempre normal à superfície. Logo, o produto escalar

(interno) E´ ∙ dS´, nas bases circulares, se anula; e as integrais na base esquerda e direita

também se anulam:

esquerdabase

E´ ∙ dS´ = 0 e

direitabase

E´ ∙ dS´ = 0 (16)

Considera-se que a densidade de carga ρ´, no referencial de repouso da partícula

32

(S´), é uniforme; dessa forma, os argumentos vetoriais mencionados podem ser válidos.

Também por argumentos vetoriais – e considerando-se ρ´ uniforme –, pode-se visualizar

que E´ é sempre normal à superfície do contorno cilíndrico e, portanto, paralelo ao

elemento dS´. Assim, o produto escalar E´ ∙ dS´, na integral do contorno, fica igual ao

módulo de E´ multiplicado pelo módulo de dS´; e o resultado 15 se torna:

erfíciesup

E´ ∙ dS´ =

o

ernaQ

int

´ =

cilíndricocontorno

E´ dS´ (17)

Sendo que E´ tem sempre o mesmo valor para certa distância r perpendicular ao

eixo do fio (E´ é estático); e como

cilíndricocontorno

dS´ = S´ (a área do contorno do cilindro),

obtemos:

o

ernaQ

int

´ = E´ S´ = E´ 2πrL (18)

Onde S´ = 2πrL; portanto, o valor do campo elétrico E´, no referencial inercial da

partícula de prova, fica:

E´ =

o

erna

rL

Q

2

int =

o

o

rL

LA

2

´ =

or

A

2

´ (19)

Obtivemos o último termo (mais à direita) fazendo ρ´ = ´

´

V

Q; assim, a carga

interna Q´ se iguala à ρ´Ao L. O volume relativo V´ do fio, em S´, é dado por V´ = Ao L.

Atente-se para o fato de que a área de seção transversal do fio condutor é representada

por Ao = A, pois Feynman (2008) usa para esta estes dois termos – o que é

desnecessário, pois as dimensões transversais ao movimento relativo entre referenciais

inerciais não sofrem alteração relativística. Calculamos a expressão para ρ´ – que é

33

positiva – em S´ (referencial da partícula),

2

2

2

2

1c

v

c

v

= ρ´; este cálculo está na 4ª questão

e no texto de Feynman (2008). Logo, o termo mais à direita em 19 se torna:

E´ =

2

2

2

2

12c

vr

c

vA

o

(20)

Esta é a expressão para o valor de campo elétrico E´ – no referencial inercial S´

– como escrita por Feynman (2008) em sua equação 13.28. Este resultado também

mostra a questão da relatividade do campo elétrico; com razão, como o leitor deve

saber, há campo elétrico em S´, mas não em S. A expressão 20 demonstra que o valor de

E´, em S´, não pode ser nulo; já sabíamos disto de antemão, pois o fio está

positivamente carregado no referencial de repouso da partícula. Obviamente, a

relatividade dos campos magnético e elétrico também se aplica às forças engendradas

por estes na partícula elétrica.

Somos já capazes de explorar melhor o aspecto da relatividade do campo

magnético na experiência de Feynman (2008). Este campo está nos dois referenciais

inerciais do texto; em S, ele é devido à corrente estática i neste referencial, uma corrente

de elétrons livres; em S´, o campo magnético se deve à corrente (também estática) i´ que

se manifesta neste referencial: o fio, em movimento no referencial S´, leva consigo uma

distribuição de partículas positivas (prótons), fixas em sua estrutura. A distribuição tem

valor de velocidade v´+ = – v (para a esquerda); reveja a Figura 13–10 (b) do texto de

Feynman (2008, p. 13–7) e repare que esta velocidade é simplesmente o negativo do

vetor vo (velocidade da partícula de prova em S). As cargas positivas são representadas,

em S´, pela densidade de carga ρ´+ ; uma densidade relativa de carga positiva, pois estas

se movimentam no referencial S´ da partícula de prova. Recorde-se que a soma destas

cargas (contidas em prótons nucleares) é a carga total de N prótons, onde N é o número

de átomos de certa porção do fio infinito tomada para estudo. Os demais prótons

nucleares também se movem no referencial S´ (junto ao fio), mas suas cargas (e

densidades de carga) não precisam ser contabilizadas, pois se contrabalanceiam pelas

34

cargas dos demais elétrons atômicos. Em resumo, Feynman preocupa-se apenas com o

total de elétrons livres (que se supôs ser um por átomo na 3ª questão) que concorrem

com igual número de prótons nucleares – também um por átomo (por núcleo); os

demais elétrons e prótons estão em repouso uns em relação aos outros. E na ausência de

movimento relativo entre eles, suas cargas (e densidades de carga) se balanceiam em

qualquer referencial inercial. A equação 12 – ou 13.24 de Feynman (2008) – nos dá a

relação entre as densidades de carga positiva em S e S´: ρ´+ =

2

2

1c

v

= γ ρ+; onde a

densidade ρ+ é uma densidade de repouso, pois as cargas positivas estão estacionárias

em S, e ρ´+ é uma densidade de carga relativa – pois estas mesmas cargas se movem

junto ao fio em S´. Sendo γ =

2

2

1

1

c

v

maior do que um, em nosso caso (v ≠ 0), ρ´+ fica

maior que ρ+. O procedimento para cálculo do valor do campo magnético B´, em S´, é

igual ao utilizado no cálculo deste campo em S; isto indica que podemos usar a mesma

forma de equação de Maxwell (lei de Ampère da magnetostática), usada no referencial

do fio (S), para calcular o valor de B´ no referencial inercial da partícula (S´). Pois as

equações de Maxwell se preservam, mantendo sua forma, seu formato, em qualquer

referencial inercial; e devemos apenas analisar quantidades que variam (ou podem

variar) na passagem de um referencial para o outro. Assim, admitindo que o campo

magnético varia – de S para S´ –, pois o valor de corrente varia, podemos escrever a lei

de Ampère da magnetostática para S´, linha

B´ ∙ dl´ = μo i´, de tal modo a destacar o

símbolo [´ ] nas quantidades que sofrem variação. Como i´ é dada ρ´+ (–v)A (assim

como i = ρ_vA), e substituindo-se μo por 2

1

co

(que são todas quantidades constantes),

obtemos que o valor de B´ – após um rápido cálculo – é

B´ = 22

´

cr

vA

o

. Aqui, o infinitesimal dl´ = dl, pois estes são elementos

matemáticos transversais; portanto, invariantes ao MRU relativo no texto de Feynman

(2008). Também a circunferência na qual se faz a integral linha

dl´ possui comprimento

35

invariante, 2πr, pois é uma circunferência transversa ao movimento (assim como r), que

não se altera; e a simetria para o cálculo é igual à da obtenção do valor de B, com B´ e

dl´ paralelos. Optamos por usar2

1

co

ao invés de μo, a fim de que nossos resultados

fiquem semelhantes aos de Feynman. Podemos comparar o resultado de B´ com o do

valor de B, obtido para S; para isto, basta utilizar a relação entre as densidades de carga

positiva (indicada acima e no texto) e a igualdade ρ+ = – ρ_. Fica, então, como sugestão

ao leitor obter B´ = γ B, que é a relação entre os valores dos campos magnéticos, para

determinada distância radial r ao eixo (longitudinal) do fio, nos dois referenciais do

texto.

Todos os campos de Feynman (2008), B, E´ e B´, são estáticos; e somente o

campo magnético B´ não atua na partícula de prova, pois a velocidade desta – em seu

referencial próprio – é nula. Não há força magnética em S´. Recorde-se que B

(magnético) existe apenas na perspectiva de um observador em S, enquanto E´ (elétrico)

e B´ apenas na perspectiva de um observador em S´; ou seja, estes campos são

totalmente relativos. Embora observemos a mesma espécie de acontecimento físico nos

dois referenciais de Feynman, a atração da partícula pelo fio, as grandezas de campo

usadas na descrição da interação (de natureza eletromagnética) são completamente

dependentes do referencial inercial escolhido. “Forças elétricas e magnéticas são parte

de um mesmo fenômeno físico – a interação eletromagnética das partículas. A

separação desta interação em parte elétrica e magnética depende muito do sistema de

referência [...]”, destaca Feynman (2008, p. 13–11). Isto equivale a dizer que, em

qualquer referencial inercial, observaríamos uma atração entre a carga de prova e cargas

no fio, mas o(s) tipo(s) de campo(s) e força(s) engendrada(s) na partícula elétrica por

este dependem completamente do referencial usado no estudo da experiência de

Feynman (2008). Como ressalta o cientista, em outro referencial que não S ou S´,

encontrar-se-ia uma mistura diferente dos campos elétrico e magnético. Lembre-se que

os resultados encontrados para campos e forças (neste material e no texto) valem para o

caso especial em que vo (da partícula em S) é igual à velocidade de arraste dos elétrons

de condução, em S. Também, ao dizermos que os campos de Feynman são estáticos,

eles o são em relação ao tempo de seu respectivo referencial inercial; cada campo, B,

E´, B´, existe apenas em um referencial.

Em relação ao fato de que as equações de Maxwell se preservam em todos os

36

referenciais inerciais, alguns comentários adicionais são pertinentes. Por exemplo, se

em S´ (um sistema com velocidade uniforme vo relativamente à S) tivéssemos um

campo magnético variável em função do tempo t´ – distante do fio de Feynman (2008) –

, produzido por corrente variável em outro fio, a lei de Gauss da magnetostática

possuiria a mesma forma neste referencial S´ ? Sim, esta lei continuaria correta e com

igual formalismo matemático; só não seria mais aplicável nesta situação. Para o cálculo

do campo magnético em certo ponto do espaço e instante, em S´, precisaríamos da lei de

Ampère generalizada. Mas o formalismo matemático associado a estas leis se mantém

em qualquer referencial, pois são equações de Maxwell. Do mesmo modo, a lei de

Gauss da eletricidade também é correta e se conserva no referencial S do fio de

Feynman. Esta só não precisa ser aplicada neste referencial inercial, pois a carga e

densidade líquidas são nulas em S. Enfim, todas as equações de Maxwell se preservam

em qualquer referencial inercial, sem a necessidade de nenhuma correção relativística; é

necessária, sim, a análise de características do(s) campo(s) em determinado referencial,

isto é, de grandezas e quantidades físicas que lhes originam e de suas possíveis

alterações – que podem se modificar na mudança de referencial inercial ou no próprio

referencial em questão. Assim, podemos estudar quais equações de Maxwell são mais

apropriadas em cada caso.

Para finalizar o item (a) desta questão, vamos obter o vetor força elétrica que age

na partícula de prova – em seu próprio referencial S´; é fácil perceber que este vetor é

radial ao eixo longitudinal do fio, pois o campo elétrico estático (em S´) também é radial

a este eixo. As linhas de campo são retas perpendiculares à superfície do condutor,

afastando-se deste, porque o fio está carregado positivamente no referencial da

partícula. Logo, basta inserir um unitário radial r positivo – na expressão do campo E´ –

para obtermos o vetor E´; e como o campo elétrico, em S´, pode ser dado por E´ = F´/q ,

temos que

F´ = q E´ = q

2

2

2

2

12c

vr

c

vA

o

(r) (21)

Onde a carga q, no texto de Feynman (2008), é um invariante escalar negativo. Assim,

percebemos que a força elétrica F´ tem sentido contrário ao de E´, mas está na mesma

37

reta de ação (radial). O resultado 21 é coerente, pois as forças magnética F e elétrica F´

têm orientações iguais, cada qual em seu respectivo referencial inercial; o que não

poderia ser diferente, pois a experiência de Feynman envolve uma interação de natureza

eletromagnética atrativa. A atração eletromagnética deve se observar não apenas nos

dois referenciais do texto, mas em qualquer outro; seria um absurdo lógico a partícula

elétrica aproximar-se do fio no referencial de repouso deste (S), mas permanecer

estacionária – ou ser repelida, afastando-se do fio – em seu referencial próprio e/ou em

outro qualquer. Em suma, segundo o Princípio da Relatividade einsteiniano, não

somente as equações fundamentais do Eletromagnetismo (de Maxwell) são idênticas –

preservando os seus formatos matemáticos em quaisquer referenciais inerciais –, mas

todas as leis fundamentais da Física. Estas leis descrevem acontecimentos físicos (em

nosso caso, a interação eletromagnética em S e S´) logicamente coerentes com as

observações experimentais em distintos referenciais inerciais. Enfim, apesar de que

temos conceitos de força diferentes nos referenciais de Feynman (2008), a força

magnética (em S) e a elétrica (em S´) nos dão resultados físicos compatíveis – como

mostrado por Feynman e em considerações posteriores deste material. A relatividade

das forças elétricas e magnéticas provém da relatividade dos campos a elas associados;

também, na abordagem de Feynman (2008), vimos que foi possível concluir pela

relatividade destas forças partindo de leis e previsões como a invariância da carga

elementar, a contração do espaço, a variação relativística de densidades de carga etc. E

mesmo na existência de tantas grandezas, quantidades e conceitos relativos, certos

resultados físicos devem mostrar-se iguais, como p. ex., o valor da carga na partícula de

prova. As forças F e F´ de Feynman apenas podem ser relacionadas em sua equação

13.30 porque o valor q é o mesmo (invariante). Caso a carga contida na partícula

dependesse de sua velocidade (e, por conseguinte, dependesse do referencial inercial),

não se poderia equacionar F´ e F como faz Feynman (2008); assim, os resultados físicos

não seriam coerentes em S e S´, estando em contradição com o Princípio da

Relatividade. A medição de carga deve resultar em valores idênticos, para quaisquer

referenciais; esta é uma boa maneira de se enfatizar a lei de invariância (e conservação)

da carga elétrica. Observando o leitor as expressões 13.21 e 13.29 de Feynman – do

valor de força magnética e elétrica, respectivamente –, facilmente notará que estas

apenas se relacionam matematicamente se a carga elétrica líquida q da partícula for um

invariante escalar. Isto é verdade para qualquer sistema na natureza, que esteja

38

eletricamente isolado. Assim, mesmo que haja recebimento/perda de energia pelo

sistema e/ou ocorrência de reações químicas em seu interior, a carga líquida sempre é

invariante (se conserva). A lei de invariância/conservação da carga elétrica é muito

importante na ciência; afinal, como afirma Feynman (2012), a carga é a propriedade

fonte do campo eletromagnético.

Item (b):

A outra quantidade física à qual o enunciado deste item se refere – explícita na

maior parte das equações de Feynman (2008) – é o valor absoluto da velocidade da luz

no espaço livre (vácuo), geralmente designado por c; uma constante para qualquer

frequência de onda eletromagnética – visível e invisível ao olho humano. Podemos dizer

que c é mais um invariante que aparece no sistema teórico interligado ao

Eletromagnetismo e à Teoria da Relatividade Especial, além da propriedade de carga

elétrica, das equações de Maxwell, dentre outros; seu valor mais preciso, atualmente

aceito, é 299.792.458 m.s –1

, em unidades do Sistema Internacional (EINSTEIN, 1999;

TAYLOR; WHEELER, 1992). Podemos perceber a invariância (ou constância) de c, no

texto de Feynman, pelas seguintes considerações. A velocidade da luz, no referencial S

do fio em repouso, aparece já na equação 13.21 para o valor de força magnética F. Mas,

o valor da velocidade luminosa, no espaço livre, que surge elevado ao quadrado (c2)

nesta equação de Feynman (2008), vem diretamente da lei de Ampère da

magnetostática. O leitor pode comprovar isto ao substituir μo por 2

1

co

na eq. 1 deste

material e fazer o cálculo de campo e força magnética que atua na partícula de prova –

em S. Recorde-se que o valor de c é dado por

oo

1. Mas c também surge nas

equações 13.28 e 13.29 de Feynman, sempre ao quadrado; desta vez, a quantidade c2

nestas equações provém da expressão para a densidade líquida (positiva) de carga ρ´,

evidenciada na equação 13.27 do texto. Em última instância, c2

aparece nas equações

para o valor de campo e força elétrica, em S´, pois vem da adoção de Feynman (2008)

do efeito relativístico da contração do espaço – expresso em sua equação 13.22. Assim,

para que os valores de força elétrica F´ e magnética F possam ser relacionados em 13.30

– e também para que possamos provar (mais adiante) que o momento transverso da

partícula é invariante em ambos os referenciais inerciais de Feynman (2008) –, devemos

39

assumir que c tem igual valor absoluto em equações para grandezas dos dois

referenciais do texto. Noutras palavras, c deve possuir o mesmo valor absoluto na

equação 13.29 (para F´ no referencial S´) e na equação 13.21 (para F no referencial S),

para que se possa relacionar estas forças e concluir pela coerência dos resultados físicos

em ambos os referenciais inerciais. Caso c fosse uma quantidade relativa, o adequado

seria usar símbolos e/ou subscritos distintos para esta velocidade nas equações de S e S´

– assim como faz Feynman para diversas grandezas relativas e variáveis. Porém, c surge

como constante nas equações para grandezas de qualquer referencial inercial, sendo, por

conseguinte, independente do movimento relativo entre estes. E isto é confirmado pela

experiência. Deve ser de conhecimento do leitor, por exemplo, a famosa experiência

óptica de Michelson-Morley (ou outros avanços empíricos que também comprovam a

constância de c). Afinal, se a invariância no valor de velocidade luminosa (no espaço

livre) não tivesse provas da observação, Feynman (2008) não poderia concluir pela

compatibilidade entre o Eletromagnetismo e a Teoria da Relatividade Especial. E, se c

não fosse constante, a permissividade elétrica εo e a permeabilidade magnética μo, para o

espaço livre, também não o seriam; pois εo = 2

1

co

e μo=

2

1

co

. Dessa forma,

poderíamos esperar que o formalismo matemático das equações de Maxwell não se

preservasse, sendo dependente de um referencial absoluto, privilegiado; neste caso, o

Princípio e a Teoria da Relatividade Especial de Einstein não seriam válidos –

juntamente às previsões de dilatação temporal e contração espacial. Entretanto, c, μo e εo

são quantidades físicas invariantes, intrincadamente relacionadas entre si e às equações

de Maxwell.

Pode parecer aparentemente absurdo que a velocidade de propagação da

radiação eletromagnética tem sempre o mesmo módulo no espaço livre, independente

do movimento relativo entre a fonte de luz e o observador. A constante c traz à tona, de

certa forma, a intrincada relação entre as grandezas de espaço e tempo; segundo Taylor

e Wheeler (1992), c pode ser interpretada – ao utilizarmos unidades iguais para as

medidas de tempo e espaço – como um fator de conversão entre estas grandezas. Esta

constante também evidencia de certo modo a conexão íntima entre os formalismos

teóricos do Eletromagnetismo e da Teoria da Relatividade Especial, como se percebe no

texto de Feynman (2008), p. ex., ao observarmos suas equações para densidades de

carga – válidas mesmo quando a velocidade relativa entre dois referenciais inerciais é

40

muito pequena.

6ª QUESTÃO:

Esta, talvez, é a questão mais difícil deste material, no que se refere ao

procedimento de cálculo; entretanto, ela envolve noções interessantes. Em primeiro

lugar, deve-se deixar claro ao leitor que a abordagem em Feynman (2008) insere-se

somente no contexto da teoria clássica do Eletromagnetismo e da Teoria da Relatividade

Especial. Podemos desconsiderar qualquer interação gravitacional; também,

desconsideram-se quaisquer efeitos ou previsões relacionados às teorias quânticas,

assim como quaisquer forças de resistência/atrito mecânico. Enfim, só nos interessam

referenciais inerciais, ou melhor, referenciais inerciais bem aproximados; assim, as

variações de velocidade da partícula elétrica de prova q – devido às forças que nela

atuam, cada qual em um referencial – devem ser tomadas como bastante pequenas, de

tal maneira que o referencial S´ de repouso desta partícula (a própria partícula!)

mantenha-se quase que somente em movimento reto e uniforme em relação ao

referencial S (de repouso do fio). Noutras palavras, o movimento entre a partícula e o

fio seria, na prática, muito próximo de um movimento relativo uniforme; e as variações

de velocidade da partícula seriam muitíssimo sutis. Com este propósito, vamos tomar

intervalos de tempo – nos referenciais S e S´ – bem pequenos; ao invés da notação de

Feynman (Δt e Δt´ ), utilizemos elementos infinitesimais de tempo dt e dt´ para os

referenciais inerciais S e S´.

A partir da equação do enunciado da 6ª questão, p =

2

2

1c

v

um

, vamos escrever a

expressão para o valor do momento relativístico transverso da partícula em S. A

partícula possui velocidade longitudinal vo neste referencial (que, de fato, é sua

velocidade inicial no referencial S). Devido à força magnética radial – que atua apenas

em S (apontando para o fio) –, temos uma sutil variação na velocidade, de acordo com

as considerações acima. Assim, a partícula tem, após um intervalo de tempo muito curto

dt decorrido em S, um pequenino vetor velocidade uy radial e para baixo. A velocidade

resultante da partícula (em S) é a soma vetorial de vo com uy; mas somente nos interessa

v2 (sempre positivo), que é o quadrado do valor de velocidade v no referencial em

41

questão – primeiramente em S –, dado pela soma dos quadrados dos valores de vo e uy:

vo2

+ uy2 = v

2. Logo, segundo a equação anterior, o valor de momento transverso (ou

transversal) da partícula, em S, é escrito como

py =

2

2

1c

v

muy

=

2

22

1c

uv

mu

yo

y (22)

Onde m é a massa de repouso da partícula negativamente carregada.

Através de considerações semelhantes, escrevemos a expressão para o valor de

py´. Repare que agora, no referencial inercial S´ (da partícula), esta possui apenas uma

bem pequena velocidade radial uy´ – após decorrido um tempo infinitesimal dt´ no

referencial S´. Esta velocidade lhe é conferida, agora, pela força elétrica, que age apenas

em S´. Enfim, a expressão do momento transversal, em S´, fica:

py´ =

2

2

1

´

c

v

muy

=

2

2´1

´

c

u

mu

y

y

(23)

Onde v2

foi simplesmente substituído por uy´ 2, pois o valor de velocidade da partícula,

em S´, é apenas uy´.

Escrevendo os valores de uy e uy´ como derivadas temporais, obtemos uy = dt

dy e

uy´= ´

´

dt

dy; também, sabemos que na existência de movimento relativo entre dois ou mais

referenciais inerciais manifesta-se o efeito da dilatação do tempo. Esta previsão

relativística nos aponta que relógios em repouso (estacionários) em diferentes

referenciais inerciais não terão o mesmo ritmo (pressupõe-se que todos estes relógios

são igualmente construídos). Noutras palavras, na Teoria da Relatividade Especial –

quando os efeitos gravitacionais podem ser desprezados –, o ritmo do tempo em dois

referenciais em movimento retilíneo uniforme (MRU) entre eles se mostrará diferente.

Aqui, entra um aspecto importante que devemos enfatizar. Assim como

Feynman (2008) toma emprestado o efeito da contração de Lorentz – que pôde ser

42

usado na contabilidade das densidades de carga elétrica –, ele também se vale do efeito

de dilatação temporal a fim de conciliar a igualdade dos momentos transversos. Vemos

aqui que duas noções relativísticas são explicitamente utilizadas, propiciando descrições

eletromagnéticas clássicas que estão em concordância com as equações de Maxwell e

com a Teoria da Relatividade Especial. A partir da invariância/conservação da carga, da

contração de Lorentz (ou contração do espaço) etc., o texto de Feynman nos permite

concluir pela relatividade dos conceitos de campo elétrico e magnético, pois o fio está

carregado em S´ (mas não em S) – e, como já vimos, as intensidades do campo

magnético devem diferir de um referencial inercial de Feynman (2008) para o outro. De

modo análogo, concluímos também pela relatividade das forças elétrica e magnética,

pois em S a força é de natureza magnética e em S´ de natureza elétrica. E, com a

previsão da dilatação temporal, veremos que os resultados físicos previstos, em

concordância com a Relatividade Especial, são compatíveis com nossas descrições

eletromagnéticas. Com efeito, intervalos de tempo Δt e Δt´ correspondentes (entre os

mesmos dois eventos) – medidos em seus respectivos referenciais S e S´ – são

relacionados, por Feynman, pela equação Δt =

2

2

1

´

c

v

t

em 13.33. Como o leitor deve

saber,

2

2

1

1

c

v

é geralmente denominado fator de Lorentz, representado pela letra grega

γ (gama). Como optamos por escrever os bem curtos intervalos de tempo como

incrementos infinitesimais (dt e dt´ ), esta equação resulta em dt = γ dt´. Devemos

destacar que o que chamamos de ‘eventos’ não são exclusivos de determinado

referencial inercial; ou seja, eventos possuem existência independente no espaço-tempo

(TAYLOR; WHEELER, 1992). Na Teoria da Relatividade Especial, geralmente se

trabalha com o conceito de evento, acontecimentos aos quais são definidos (pelo menos

teoricamente), em certo referencial inercial, um instante de tempo e uma posição

espacial (EINSTEIN, 1999). Na experiência de pensamento de Feynman (2008) não são

especificados eventos quaisquer; o que não é necessário. Não precisamos nos preocupar

com a introdução de sistemas de coordenadas para definir posições; porém, sabemos

que as coordenadas transversas y e y´ são invariantes (y = y´), não sofrendo alteração

relativística. Assim, também dy = dy´, de tal forma que se pode representar o valor de

43

velocidade uy´ – como uma derivada – por ´

´

dt

dy=

´dt

dy; e, de dt = γ dt´, ainda obtemos

dtdt ´ . Então:

uy´ = dt

dy=

dt

dy = γ u y (24)

Em 24, temos o resultado uy´ = γ uy ; substituindo este no termo mais à direita da

eq. 23 do momento transverso py´, em S´, temos:

py´ =

2

22

1c

u

mu

y

y

(25)

Onde o termo 1 – 2

22

c

uy

, no interior da raiz quadrada, é manipulado de tal modo que

1 – 2

22

c

uy

=

2

22

2

2

c

uy

=

2

2

2

21

c

uy

. Assim, retornando o último resultado para

dentro da raiz quadrada em 25, obtém-se:

py´ =

2

2

2

1

c

u

mu

y

y

=

2

2

2

2

1c

u

c

v

mu

yo

y

. Neste resultado, o termo mais à

direita é equivalente à expressão do momento transverso py, escrita em 22. Portanto:

py = py´ (26)

Chegamos à igualdade almejada. Se o valor da componente transversa (ou

transversal) do momento da partícula de prova é invariante, também os valores de

variações deste momento – entre iguais coordenadas y final = y´ final e y inicial = y´ inicial –

serão igualmente invariantes em ambos os referenciais inerciais de Feynman (2008),

isto é, Δpy = Δpy´. Neste contexto, é de grande validade a citação de Feynman, que

44

conclui que:

[...] temos o mesmo resultado físico quando analisamos o movimento de uma

partícula movendo-se ao longo de um fio num sistema de coordenadas em

repouso com respeito ao fio, ou num referencial em repouso com respeito à

partícula. No primeiro caso, a força era puramente “magnética”, já no

segundo, puramente “elétrica”. (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008, p.

13-11, destaques do autor).

Ou seja, a abordagem de Feynman demonstra que, sob a ótica da Teoria da

Relatividade Especial, podemos mostrar que a teoria clássica do Eletromagnetismo é

compatível com o arcabouço formal e conceitual da Teoria da Relatividade Especial;

isto implica que não existem contradições lógicas internas entre estas teorias, ao menos

no nível em que se está a considerar.

Na passagem do referencial S (em repouso com respeito ao fio) para o

referencial inercial S´ (em repouso com respeito à partícula), ocorre a mudança na

descrição do conceito de força atuante na partícula – primeiramente magnética e depois

elétrica. Todavia, as duas descrições nos dão resultados físicos totalmente coerentes e

compatíveis com as teorias citadas, isto é, com as leis de Ampère da magnetostática e de

Gauss da eletricidade, com a lei da invariância no valor c, com a

invariância/conservação da carga, com o Princípio da Relatividade etc. Apesar de que

foram utilizadas duas equações de Maxwell distintas – para campos estáticos do texto e

deste material –, uma para magnetostática e outra para a eletricidade, sem conexão

aparente entre o campo magnético de S e o campo elétrico de S´, na própria natureza há

um íntimo relacionamento entre estes campos, interligado ao Princípio da Relatividade.

Este aspecto é ressaltado por Feynman (2008, p. 13–7), e pode-se percebê-lo no fato de

que as descrições dadas pelos conceitos de força (magnética em S e elétrica em S´ )

fornecem iguais resultados físicos.

7ª QUESTÃO:

A relação entre intervalos de tempo Δt medidos no referencial S (do fio em

repouso) e intervalos de tempo Δt´ medidos no referencial inercial S´ (da partícula em

repouso) é dada pela equação 13.33 de Feynman (2008, p. 13–11), Δt =

2

2

1

´

c

v

t

= γ Δt´.

45

É preciso que o leitor compreenda que estes intervalos temporais – Δt em S e Δt´ em S´

– devem ser correspondentes, como afirma Feynman: “Precisamos, obviamente,

comparar Δpy com Δp´y para intervalos de tempo correspondentes Δt e Δt´.”

(FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008, p. 13–11). Esta correspondência refere-se

ao fato de que os intervalos de tempo, em cada referencial, devem ser mensurados entre

os mesmos eventos; como destacado na 6ª questão, eventos têm existência

independente. O leitor pode imaginar, por exemplo, o evento inicial da experiência de

Feynman como a formação (e/ou emissão) da partícula negativa – um elétron, p. ex. –

em um processo nuclear ou atômico capaz de fazê-lo, ou que a partícula provém de uma

fonte qualquer. Obviamente, pressupõe-se que, no evento inicial, a partícula é emitida

com velocidade inicial vo (paralela ao fio) igual à velocidade média de arraste dos

elétrons de condução no referencial S. Os instantes para este evento poderiam ser

especificados por t inicial = t´inicial = 0. Como optamos por escrever a equação 13.33 na

forma diferencial (dt = γ dt´ ), pois estamos a tomar intervalos de tempo como

elementos infinitesimais, o evento final poderia ser a observação/detecção da partícula,

em coordenada transversal final y = y´, quando seu momento transverso variou dpy =

dpy´. Lembre-se que esta variação de momentum ocorre após atuação das forças

magnética e elétrica, nos respectivos tempos infinitesimais dt e dt´ – em seus

respectivos referenciais inerciais.

Feynman (2008, p. 13–11) destaca que “intervalos de tempo que se referem a

partículas que se movem parecem ser maiores que aqueles no referencial de repouso da

partícula.”. Mas há aí uma incorreção, ou mais provavelmente um descuido do físico

nesta citação, pois os intervalos temporais aos quais se refere não parecem ser maiores,

mas realmente o são. Podemos descrever melhor este fenômeno mencionando a Física

de Partículas; por exemplo, observa-se que a vida média de uma partícula instável

qualquer (que sofre algum tipo de decaimento/desintegração) é maior quando esta se

encontra em MRU relativo ao referencial inercial de um laboratório. Expressando isto

melhor: o intervalo de tempo Δt, medido para a vida média da partícula – por relógios

estacionários no referencial inercial de um “laboratório” –, é maior quando a partícula

está em MRU relativamente a este laboratório do que quando ela está em repouso no

referencial do laboratório. O que se chama de laboratório pode ser um moderno

acelerador de partículas ou até a própria Terra, pois, partículas instáveis que são

formadas/emitidas na porção superior da atmosfera (com valores de velocidade

46

próximos de c) são detectadas na superfície terrestre; múons, como exemplo, vêm da

parte atmosférica mais alta, como radiação secundária de raios cósmicos (TAYLOR;

WHEELER, 1992; GAZZINELLI, 2009).

Esta questão é útil para auxiliar o leitor a compreender melhor a citação do texto,

pois intervalos temporais mensurados para a vida média de partículas instáveis – em

velocidades significativas em relação à luminosa – são realmente maiores quando

tomados por relógios estacionários no referencial do laboratório do que quando

tomados/calculados para o referencial da partícula. Outra finalidade desta questão foi

descrever a dilatação temporal, dando alguma interpretação para os distintos intervalos

correspondentes Δt e Δt´, e também citar poucos exemplos de confirmações

experimentais. Em suma, podemos afirmar que há um intervalo de tempo próprio,

medido no próprio referencial inercial de repouso da partícula; este intervalo é sempre

menor que o intervalo temporal correspondente medido em qualquer outro referencial

inercial. Para a vida média de uma partícula instável, concluímos, então, que há uma

vida média de repouso, medida no referencial inercial da própria partícula; assim, esta

vida média de repouso, que é um intervalo de tempo próprio, sempre se mostra menor

que a vida média da partícula instável em qualquer outro referencial inercial. Em termos

de eventos, podemos ressaltar: o intervalo de tempo próprio – entre dois eventos – é o

intervalo Δt´ medido num referencial inercial (por relógios fixos neste) no qual estes

eventos ocorrem na mesma posição; em qualquer outro referencial inercial o intervalo

de tempo Δt, entre os mesmos eventos, é maior que o intervalo próprio por um fator γ =

2

2

1

1

c

v

(GAZZINELLI, 2009; TAYLOR; WHEELER, 1992). Este é o significado da

equação Δt = γ Δt´ contida em Feynman (2008). Logo, no texto do físico, Δt´ pode ser

considerado um intervalo de tempo próprio, pois refere-se ao referencial de repouso da

partícula negativa. E embora Feynman (2008, p. 13–11, destaque nosso) reconheça que

“[...] nossa partícula está inicialmente em repouso em S´ [...]”, ele assume que, para

pequenos tempos, podemos esperar Δt = γ Δt´; e tudo mostrar-se-á correto (FEYNMAN;

LEIGHTON; SANDS, 2008). Por isto utilizamos infinitesimais de tempo, para dar uma

boa ênfase ao fato de que os tempos tomados – em cada referencial – devem ser

bastante curtos, a fim de que as acelerações produzidas na partícula de prova (pelas

forças, em seus respectivos referenciais) sejam também bem pequenas, sutis. Assim, a

variação no valor de momento transversal pode também ser abordada, em nossos

47

cálculos, como elementos dpy = dpy´. Desse modo, tomamos os referenciais em

movimento relativo como inerciais, com boa aproximação.

8ª QUESTÃO:

Item (a):

A relação matemática entre os valores de força magnética F e elétrica F´ – em

seus respectivos referenciais inerciais S e S´ – pode ser obtida de modo simples. Não

nos preocuparemos com a questão de que alguma ou outra equação de Feynman (2008)

possa resultar em valores negativos, na substituição dos termos nas expressões.

Feynman deixa claro que se está a considerar o módulo destas forças. Também,

aplicando uma regra de mão direita em S, e sabendo que o fio está positivamente

carregado em S´, concluímos facilmente que F e F´ têm igual direção e sentido (radial e

“para baixo”, apontando para o fio). Assim, nos dois referenciais a partícula elétrica é

atraída pelo fio, o que não poderia ser diferente, pois violaria o Princípio da

Relatividade. Na 5ª questão, a equação 21 (eq. 13.29 de Feynman (2008)) contém o

valor de força elétrica: F´ = q E´ = q

2

2

2

2

12c

vr

c

vA

o

. Temos, portanto, uma força

puramente elétrica que atua na partícula de carga q, no referencial de repouso desta

(S´ ); sendo ρ+ uniforme e A e v = v_ constantes, o valor de força elétrica que atua em

um elétron de prova, por exemplo, dependerá apenas da distância r ao eixo longitudinal

do fio. Isto pode ser vislumbrado na equação escrita acima. Dada a expressão para F

(magnética) – presente no termo mais à direita da equação 6 deste material, e na

equação 13.21 de Feynman –, e substituindo-se ρ_ por – ρ+ na expressão para F =

2

2

2 cr

Avq

o

= 2

2

2 cr

Avq

o

, vamos obter:

F´ = q2

2

2

2

12c

v

c

vr

A

o

= 2

2

2 cr

Avq

o

2

2

1

1

c

v

= F

2

2

1

1

c

v

(27)

Onde, segundo o considerado acima, desprezamos o sinal negativo vindo de – ρ+, pois

48

nos interessam apenas os valores absolutos (módulos) das forças.

Repare que, assim como F´, o valor de força magnética (no referencial S)

também depende apenas da distância radial r ao eixo do fio; e, de acordo com o

resultado 27, podemos escrever a relação entre estas forças como F´ = γ F, em

concordância com a expressão obtida por Feynman (2008), na equação 13.30.

A relação F´ = γ F ressalta a relatividade dos conceitos de força elétrica e de

força magnética; no exemplo pensado por Feynman (2008) – um caso especial em que a

velocidade de um portador de carga é igual à velocidade de arraste de elétrons

condutores da corrente (no referencial de repouso do fio condutor) –, vemos que os

conceitos de força mudam não apenas de espécie, mas também em seus valores

previstos para uma mesma coordenada transversa y = y´, na qual temos um mesmo

resultado físico. Em outras palavras, as forças elétrica e magnética (no contexto da

teoria eletromagnética clássica) são, de fato, conceitos relativos, dependentes do

referencial inercial utilizado para descrever uma interação eletromagnética; e a

experiência do texto mostra bem este aspecto, pois, como enfatiza Feynman (2008), no

referencial S de repouso do fio a força é puramente “magnética”, ao passo que no

referencial S´ de repouso da partícula a força é puramente “elétrica”. E as forças de

Feynman devem diferir em valor de acordo com a relação acima, mesmo em

velocidades medíocres entre os referenciais inerciais – como a obtida na 3ª questão.

Analogamente, vemos que a questão da relatividade destas forças se relaciona

intrincadamente à relatividade dos campos da experiência de Feynman (2008), pois um

campo magnético e um campo elétrico estáticos (em S e S´, respectivamente) são “os

responsáveis” por engendrar as forças na partícula de prova. Então, podemos enfatizar

que, em S, há um campo totalmente magnético, enquanto que, em S´, temos os dois

tipos de campo – muito embora somente o campo elétrico interaja com a partícula

carregada. Estas considerações são suficientes para nos convencermos que os conceitos

de força e as grandezas de campo (do Eletromagnetismo clássico) são, com efeito,

relativos, dependentes do movimento uniforme reto entre sistemas de referência.

Recorde-se o leitor que aqui estamos a tratar uma experiência idealizada de Feynman

(2008), na qual os intervalos de tempo e os valores das variações de momentos

transversos da partícula foram tomados como infinitesimais, em seus respectivos

referenciais. Apesar de que os valores de força são diferentes, de acordo com F´ = γ F,

podemos dizer que, no caso de velocidades relativas tão baixas como a da 3ª questão (da

49

ordem de 10– 4

m.s –1

), as forças elétrica e magnética são praticamente iguais. Pois v2/c

2,

na prática, é uma razão que pode se considerar nula, dada por21

214

).458.792.299(

).10(

sm

sm =

16

8

1098755179,8

10

x

; e que resulta na ordem de grandeza de 10– 25

. Desse modo, o fator γ

é praticamente igual a um, e as forças se igualam. Daí também a citação de Feynman:

“[...] para as pequenas velocidades que estamos considerando, as duas forças são iguais.

Podemos dizer que, para pequenas velocidades, entendemos o magnetismo e a

eletricidade apenas como “duas maneiras de olhar para a mesma coisa”.” (FEYNMAN;

LEIGHTON; SANDS, 2008, p. 13–10).

Isto nos aponta a profunda conexão entre o magnetismo e a eletricidade, ou seja,

o fato de que um campo magnético estático não é absoluto, independente do referencial,

assim como um campo elétrico estático; como aponta Feynman (2008), na própria

natureza existe uma relação íntima entre estes campos. Com efeito, os dois tipos de

campo dependem do referencial inercial, não sendo independentes, mas podendo ser

tomados em conjunto, segundo Feynman (2008), como um único campo

eletromagnético.

Enfim, dizer que as forças F´ e F são iguais em ambos os referenciais de

Feynman, é dizer que, do ponto de vista prático, podemos desprezar os efeitos

relativísticos em sua experiência; assim, dois observadores inerciais distintos – um em S

e outro em S´ – medirão praticamente o mesmo valor de força. Entretanto, embora o

observador em S´ saiba que, na prática, sua minúscula velocidade (≈ 10– 4

m.s –1

) pode

ser desprezada, e o valor de força (em S´) pode ser calculado usando-se a expressão do

valor de força magnética, ele também sabe que, na verdade, a força em S´ é elétrica

(que, no baixo valor de velocidade relativa, se iguala à magnética de S). Isto equivale a

dizer que estamos cientes do fato de que, do ponto de vista experimental, as duas forças

concordam nestas pequenas velocidades – portanto, estas forças fornecem como que

duas formas de perceber a mesma interação eletromagnética atrativa partícula-fio.

Item (b):

A equação relativisticamente correta do movimento é escrita por Feynman

(2008) (no final da pág. 13–10), sendo dada por F = dp/dt; onde F não representa mais

apenas a força magnética atuante no portador de carga em S, mas a força resultante

50

numa partícula qualquer em determinado referencial inercial; e dp/dt é a derivada do

vetor momentum relativístico da partícula em relação ao tempo do referencial em

questão. Este vetor momentum, em três dimensões, pode ser definido por p =

2

2

1c

v

m

v =

vm (GAZZINELLI, 2009). Não precisamos desta equação nesta questão, mas é

válido ressaltá-la para que o leitor perceba que as equações da Mecânica newtoniana

precisaram ser reformuladas/corrigidas relativisticamente, o que não foi necessário para

o Eletromagnetismo clássico. Adiante, argumentaremos um pouco mais sobre este

importante aspecto.

Obtivemos a relação entre os valores das forças elétrica e magnética de Feynman

(2008), F´ = γ F, a partir de expressões obtidas para estas. Mas, pela equação dt = γ dt´,

e usando o momento relativístico da partícula de prova de Feynman, podemos obter a

mesma relação entre forças. Repare que, ao considerarmos intervalos de tempo e

variações nos valores de momento transversal da partícula (em S e S´) como

infinitesimais, podemos também tomar as forças F´ e F como tendo praticamente iguais

orientações. É bom destacarmos isto, pois a força magnética em certo ponto do espaço e

instante de um referencial inercial (que age numa partícula carregada de sinal

conhecido) é dependente da direção e sentido da velocidade da partícula em relação ao

campo magnético naquele ponto e naquele instante de tempo. Logo, é fácil visualizar

que em intervalos temporais não curtos (decorridos no referencial S) a direção (e

também o valor) da força magnética F varia; porém, para nossos curtos infinitesimais dt

e dt´, consideremos F e F´ com a mesma orientação. Assim, também desconsideramos o

caráter vetorial da força e do momento, pois ambas as forças atuam somente ao longo da

direção transversal ao fio, variando o momentum da partícula apenas desta componente.

Já sabemos que os momentos transversos são iguais (py = py´) para uma mesma

coordenada y = y´; então dpy = dpy´, e aplicando a equação do movimento

relativisticamente correta no valor da força elétrica F´, temos que

F´ =

dt

dp

dt

dp

dt

dpyyy

´

´F (28)

Onde fizemos dt´ = dt /γ e encontramos o valor de força magnética, que pode se

51

representar por dt

dpy

= F.

Na verdade, Feynman (2008) usou a equação F = dp/dt a fim de obter a

igualdade dos momentos transversos (em S e S´) e concluir que os resultados físicos se

compatibilizam. Provamos a igualdade destes momentos através de um cálculo, talvez

mais convincente, utilizando uma expressão para o valor de uma componente de

momento relativístico.

Esta questão mostra-se útil para explorarmos um pouco a noção de que o

Eletromagnetismo é compatível com a Teoria da Relatividade Especial, embora a

Mecânica newtoniana não o seja – e as forças de Feynman (2008) se transformem na

passagem de um referencial para outro. Podemos vislumbrar isto constatando que as

equações fundamentais da teoria eletromagnética clássica – usadas por Feynman no

cálculo das expressões para os valores de campos e forças (B e F; E´ e F´), em seus

respectivos referenciais – são a lei de Ampère da magnetostática e de Gauss da

eletricidade. Estas leis, assim como as outras equações de Maxwell, não precisaram de

reformulação/correção com o advento da Teoria da Relatividade Especial,

diferentemente das leis da Mecânica newtoniana. Perceba, no texto de Feynman (2008),

que as expressões obtidas para B e F, E´ e F´, provêm diretamente das leis

eletromagnéticas fundamentais citadas anteriormente. É verdade que nas equações para

a força e campo elétricos do texto, F´ e E´, aparece o fator de Lorentz γ

2

2

1

1

c

v

;

mas este não vem das equações do Eletromagnetismo mencionadas, mas sim da

consideração do efeito de contração de Lorentz do fio (no referencial S´), que é “tomado

emprestado” da Teoria da Relatividade Especial a fim de propiciar uma descrição

eletromagnética (em S´) coerente com o arcabouço teórico do Eletromagnetismo e com

o Princípio da Relatividade. Assim, é obtida uma expressão para a densidade de carga ρ´

– no referencial de repouso da partícula – que é diferente de zero e que possui o fator γ.

Este fator, por conseguinte, surge na expressão do valor de força elétrica (repare a

equação 13.29 de Feynman (2008)), e assim como foi feito no item (a) desta questão, os

valores das forças são relacionados por F´ = γ F. Isto implica dizer que, em última

instância, γ surge nesta relação porque vem da contração de Lorentz, e não porque este

fator (ou outro termo/fator matemático qualquer) deva ser incluído em equações de

52

Maxwell. Contudo, vimos que a mesma relação (entre forças) é obtida usando-se dp/dt

(em y = y´) e também a previsão de dilatação temporal (aqui expressa por dt = γ dt´ ), o

que nos leva ao último item desta questão. Em suma, o Eletromagnetismo se preserva,

isto é, suas equações fundamentais (de Maxwell) são válidas em qualquer referencial

inercial, sem necessidade de modificação quando há MRU relativo entre dois ou mais

referenciais, inclusive em velocidades significativas em relação à c. Apesar disso, fica

aqui evidente que as forças clássicas não são invariantes; no caso do Eletromagnetismo

clássico, a força pode variar também em seu tipo (elétrica e/ou magnética).

Item (c):

O efeito relativístico, que pode ser utilizado na descrição da diferença entre as

forças elétrica F´ e magnética F – que atuam na partícula elétrica nos referenciais

inerciais S´ e S, respectivamente –, é a dilatação do tempo. Já se enfatizou que o

intervalo de tempo próprio (medido em um referencial inercial no qual dois eventos

ocorrem na mesma posição) é o menor intervalo temporal entre estes eventos –

considerando-se somente intervalos mensurados em referenciais inerciais. A relação

entre intervalos de tempo foi escrita por nós como dt = γ dt´; onde se constata que dt´

representa o tempo próprio mensurado no referencial de repouso da partícula (S´).

Portanto, dt representa o geralmente denominado intervalo de tempo relativo, pois não é

medido no referencial próprio (ou de repouso) da partícula ou dos eventos – isto é, em

referencial inercial no qual os eventos “estão em repouso” (ocorrem na mesma posição).

Como imaginado na 7ª questão, o evento inicial de Feynman (2008) poderia ser a

emissão de um elétron em processo nuclear ou atômico (ou por fonte qualquer) com

velocidade inicial vo (paralela ao fio), no referencial S, igual à velocidade de arraste dos

elétrons de corrente. Definiríamos os instantes deste evento, em S e S´, por t inicial =

t´inicial = 0; e o evento final seria a detecção do elétron (em iguais coordenadas

transversas y = y´) em ambos os referenciais, quando seu momento transversal variou

dpy em S e dpy´ em S´. Como já provamos aqui, “[...] o momento transverso da partícula

deve ser o mesmo em ambos os referenciais S e S´.” (FEYNMAN; LEIGHTON;

SANDS, 2008, p. 13–10). Assim, também as variações deste momento são iguais (dpy =

dpy´) após as forças F e F´ atuarem no elétron em seus respectivos referenciais inerciais,

durante distintos intervalos de tempo dt e dt´ – a partir do evento inicial (instante zero).

Ou seja:

53

F dt = dpy

F´ dt´ = dpy´ (29)

Onde se desconsiderou o caráter vetorial das forças, pois ambas agem apenas

transversalmente nos intervalos de tempo bem curtos. Repare que as equações 29 nada

mais são do que outra forma de se expressar a lei (relativística) de movimento do

elétron, em S e S´, assim como descrita em 28. Pela igualdade dos momentos

transversais, vemos que F dt = F´ dt´; o que é escrito por Feynman (2008) de forma um

pouco diferente no último resultado de seu texto. Podemos descrever a diferença entre F

e F´ – através da dilatação temporal – ao analisarmos bem a igualdade F dt = F´ dt´;

ambos os valores de força, tanto magnética F quanto elétrica F´, variam em função do

tempo de seu respectivo referencial inercial. Isto se dá pelo fato de que os campos

estáticos de Feynman não são uniformes; dessa maneira, os valores F e F´ também não

o são, variando em função da distância r (que é a mesma para S e S´, pois é transversal)

ao centro do fio. Em outras palavras, os valores de força F e F´ são inversamente

proporcionais à r, aumentando à medida em que o elétron se aproxima do fio; de tal

modo que F (magnética) varia no decorrer do tempo t de S, e F´ (elétrica) varia no

decorrer de t´ de S´. Recorde-se que, para que o intervalo temporal próprio dt´ (medido

em S´) seja menor que o intervalo relativo correspondente dt (medido em S) – de acordo

com dt´ = dt/ γ –, o ritmo do tempo t deve ser mais rápido do que o de t´. Isso implica

que, a partir do evento inicial (quando o elétron é emitido com velocidade vo no

referencial S), o valor de força magnética em S aumenta menos do que o valor de força

elétrica em S´, para intervalos temporais correspondentes. Porém, o menor aumento da

força magnética em S é compensado pelo maior tempo dt de atuação desta em S, ao

passo que o maior aumento da força elétrica em S´ se compensa pelo menor tempo dt´

de atuação desta neste referencial. E, segundo Feynman (2008), isto acontece após

curtos e correspondentes intervalos de tempo dt e dt´ (em nossa notação), de tal forma

que a partícula negativa tenha iguais momentos transversos nos dois referenciais. Então,

para o evento final (detecção do elétron) – que ocorre em igual coordenada y = y´ –, o

valor de F´ tem maior módulo que F, de acordo com F´ = γ F. Entretanto, a força elétrica

age durante o tempo próprio dt´, o menor tempo entre os eventos, enquanto a força

magnética age por um maior intervalo de tempo relativo dt.

54

Enfim, para v2/c

2 na ordem de 10

–25, a razão aproximada para a bem pequena

velocidade relativa entre os referenciais inerciais (v ≈ 10 –4

m.s – 1

), como calculada na 3ª

questão – valor típico de velocidade de arraste (ou de migração) para elétrons de

condução –, o fator γ é igual a um (ou melhor, tende a um). Isto dificulta o uso de um

exemplo numérico nesta ordem de grandeza (ou próxima). Mas reforça a afirmação de

Feynman (2008) sobre o fato de que, na prática, a força magnética (em S) e a força

elétrica (em S´) – na experiência por ele pensada – são iguais. Em suma, o texto de

Feynman (2008) permite-nos vislumbrar a íntima conexão entre a Teoria da

Relatividade Especial, o magnetismo e a eletricidade, pois, sob a ótica da Teoria da

Relatividade Especial e suas previsões, o físico demonstra o vigoroso vínculo entre as

denominadas força elétrica e força magnética.

Os distintos intervalos de tempo, medidos cada qual em seu sistema inercial,

compensam a diferença entre as forças do experimento de Feynman, preservando

resultados físicos compatíveis com o Eletromagnetismo. Para alcançar estes resultados,

Feynman utiliza a Relatividade Especial, uma teoria coerente com o Eletromagnetismo

clássico. Nas palavras de Gazzinelli: “[...] a eletrodinâmica de Maxwell é uma teoria

relativisticamente correta, [...]. Ela não exige modificações, [...] já tem, de fato, uma

formulação relativística.” (GAZZINELLI, 2009, p. 101).

55

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DO MATERIAL E SUPLEMENTO

BORDENAVE, Juan D.; PEREIRA, Adair M. Estratégias de ensino-aprendizagem.

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