ÇUKUROVAÜNİVERSİTESİ FENBİLİMLERİENSTİTÜSÜ YÜKSEKLİSANSTEZİ · 2019. 5. 10. · a bc cbc bc cbc a b ca aca ca aca b c ab bab ab bab c a bc a cb bc a cb a b ca b ac ca

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Niyazi YURTSEVEN

PRİMİTİF ELEMANLAR VE BİR BAĞINTILI LİE CEBİRLERİNİN İZOMORFİZMLERİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ADANA,2007


PRİMİTİF ELEMANLAR VE BİR BAĞLANTILI LİE CEBİRLERİNİN İZOMORFİZMLERİ

Niyazi YURTSEVEN

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Bu Tez 27… / 09… / 2007 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği / Oyçokluğu İle Kabul Edilmiştir.

İmza: ………………… İmza: ………………… İmza: ………………

Yrd. Doç. Dr. Ela AYDIN Prof. Dr. Naime EKİCİ Yrd. Doç. Dr. Ersin KIRAL DANIŞMAN ÜYE ÜYE

Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında Hazırlanmıştır.

Kod No:

Prof. Dr. Aziz ERTUNÇ

Enstitü Müdürü İmza ve Mühür

Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ,şekil ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

I

ÖZ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

PRİMİTİF ELEMANLAR VE BİR BAĞINTILI LİE CEBİRLERİNİN İZOMORFİZMLERİ

Niyazi YURTSEVEN


MATEMATİK ANABİLİM DALI

Danışman: Yrd.Doç.Dr. Ela AYDIN Yılı : 2007, Sayfa: 38 Jüri : Prof.Dr. Naime EKİCİ Yrd.Doç.Dr. Ela AYDIN Yrd.Doç.Dr. Ersin KIRAL

L , bir K cismi üzerinde serbest üreteç kümesi A olan bir serbest Lie cebiri

olsun. a , L ’nin sıfırdan farklı bir elemanı ve aa , L ’de a tarafından üretilen ideal

olmak üzere Laa

Lie cebirinin serbest olması için gerek ve yeter koşul, a ’nın

primitif olmasıdır.

Ayrıca ,u v L olmak üzere, u

L ve v

L bölüm cebirleri izomorfik

olacak şekilde u ve v elemanları verilmiştir. Bununla birlikte u

L ve v

L

cebirleri izomorfik iken u vu v olacak şekilde bir otomorfizminin olamayacağı

gösterilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Serbest Lie Cebirleri, Primitif Eleman, Bölüm Cebiri,

Otomorfizm

II

ABSTARCT

MSc THESIS

PRIMITIVE ELEMENTS AND ON ISOMORPHISM OF LİE ALGEBRAS WITH ONE DEFINING RELATION

Niyazi YURTSEVEN

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIEDS SCIENCES

UNIVERSITY OF ÇOKUROVA

Danışman: Asist.Prof.Dr. Ela AYDIN Yılı : 2007, Pages:38 Jury : Prof.Dr. Naime EKİCİ Yrd.Doç.Dr. Ela AYDIN Yrd.Doç.Dr. Ersin KIRAL

Let L be a free Lie algebra over a field K with the set A of free generators.

For every nonzero element a of L let aa be the ideal of L generated by the

element a . The Lie algebra Laa

is free if and only if a is a primitive element of

the Lie algebra L .

Let ,u v LL , we construct two elements u and v such that the quotiet algebra

uL and

vL are isomorphic. Also we show that there is no automorphism of

L such that u vu v

Key Words: Free Lie Algebras, Primitive Element, Quotient Algebra,

Automorphism

III

TEŞEKKÜR

Bu çalışmanın hazırlanması sırasında bilgi ve tecrübeleriyle beni aydınlatan,

çalışmanın her aşamasında yardımlarını esirgemeyen, değerli zamanlarını ayırarak

çalışmanın tamamlanmasını sağlayan, bilgisi ve kişiliğiyle örnek aldığım saygı değer

danışmanım Yrd.Doç. Dr. Ela AYDIN’a sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca

değerli hocam Prof. Dr. Naime EKİCİ’ye ve tüm Matematik Bölümü akademik

personeline bu çalışmanın oluşmasında yardımlarını esirgemedikleri için çok

teşekkür ederim. Bugüne kadar desteklerini esirgemeyen her zaman yanımda olan

sevgili aileme teşekkürlerimi sunarım.

IV

İÇİNDEKİLER SAYFA

ÖZ……………………………………………………………………………………..I

ABSTRACT...………………………………………………………………………..II

TEŞEKKÜR…………………………………………………………………………III

İÇİNDEKİLER……………………...………………………………………………IV

1. GİRİŞ………………………………………………………………………………1

2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER…………………………………………….....3

2.1. Temel Yapılar…………………………………………………………………3

2.2. Serbest Lie Cebirleri…………………………………………………………..8

2.3. Serbest Lie Cebirlerinin Otomorfizmleri…………………………………….12

2.4. Evrensel Enveloping Cebir…………………………………………………..14

3. SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI…………………..16

4. BİR BAĞINTILI LİE CEBİRLERİNİN İZOMORFİZMLERİ………………….31

KAYNAKLAR……………………………………………………………………...36

ÖZGEÇMİŞ………………………………………………………………………....38

1.GİRİŞ Niyazi YURTSEVEN

1

1.Giriş

L , bir serbest Lie cebiri olsun. La L olmak üzere eğer a elemanı L ’nin bir

serbest üreteç kümesi tarafından içeriliyorsa a ’ya L ’nin bir primitif elemanı denir.

Primitif elemanlar serbest Lie cebirlerinde son derece önemlidirler. Çalışmamızın

üçüncü bölümünde serbest Lie cebirlerinde primitif elemanlarla ilgili yapılmış

çalışmalara değinilmiştir. (G.P.Kukin,1970)’ de La La0 iken a , L ’nin a

tarafından üretilen ideali olmak üzere a

LLaL Lie cebiri bir serbest cebir midir?

sorusuna cevap aramıştır.‘‘ aL cebirinin serbest olması için gerek ve yeter koşul

a ’nın L ’nin primitif elemanı olmasıdır’’ ifadesinin doğruluğunu kanıtlamıştır.

P.M.Cohn(Cohn,1964) tarafından sonlu ranklı bir serbest Lie cebirinin tüm

otomorfizmler grubunun t otomorfizmler tarafından üretildiği gösterilmiştir. Ama

bu teoremin özellikle algoritmik problemlerin çözümleri için daha uygun olan diğer

bir ispatı (G.PKukin,1970) tarafından verilmiştir.

Bu bölümde yer alan ‘‘Sonlu ranklı bir serbest Lie cebirinin

t otomorfizmleri bu cebirin otomorfizm grubunu üretir’’ ve ‘‘ aL ’nın serbest Lie

cebiri olması için gerek ve yeter şart a ’nın L Lie cebirinin primitif elemanı

olmasıdır’’ ifadeleri (W.Magnus, A.Karros, D.Solitar,1966)’in kitabından grup

teorisinde iyi bilinen ifadelerdir.

Teorem 3.1.4’ün ispatındaki algoritma, bir bağıntılı bir Lie cebirinin serbest

olup-olmadığı problemini K cismi üzerendeki cebirsel denklem sisteminin çözümü

problemine indirger.

Çalışmamızın dördüncü bölümünde ise bir bağıntılı Lie cebirlerinin

otomorfizmlerine yer verilmiştir.

Bir bağıntılı gruplar için (Mc.Cool, Pietrowski,1971.) tarafından örnekler

verilmiştir. Daha sonra (Brunner,1976) ikişerli eşdeğer olmayan bağıntılar ile bir

bağıntılı izomorfik grupların bir sonsuz serisini oluşturmuştur. Serbest Lie cebirleri

için benzer sonuç (Kukin,1970)’den elde edilmiştir. (Shpilrain ve Yu,2002)’de

1.GİRİŞ Niyazi YURTSEVEN

2

benzer sonucun rankı 2 olan serbest birleşmeli cebirler için de geçerli olduğunu

göstermiştir.

L , sonlu üreteçli Lie cebiri olsun. u ve v , L ’nin sırasıyla u ve v

tarafından üretilen idealleri olmak üzere, L ’nin u

L ve v

L izomorfik olacak

şekilde u ve v elemanlarına örnek verilmiştir. Ayrıca u

L ve v

L cebirleri

izomorfik iken uu v olacak şekilde bir otomorfizminin olamayacağı

gösterilmiştir. (V.shpilrain,A.A.Mikhalev,U.U.Umirbaev,2004)

2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Niyazi YURTSEVEN

3

2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER:

Bu kısımda , birleşmeli cebirler, Lie cebirleri, serbest Lie cebirleri ile ilgili

temel tanım ve teoremleri vereceğiz. Bu çalışmamız boyunca aksi belirtilmedikçe

cebirlerin tamamını bir K cismi üzerinde kabul edeceğiz.

2.1.Temel Yapılar

Tanım 2.1.1: A , bir vektör uzayı olsun. AAAm AA: bilineer bir dönüşüm olmak

üzere Am, ikilisine bir cebir denir. yxm , yerine ‘‘ xy ’’ yazacağız. Burada m ’ ye

A üzerinde bir çarpım denir. A bir vektör uzayı olduğundan alt uzaylarından

bahsedebiliriz. AB A, A ’nın bir alt uzayı olsun. Eğer her Byx B, için xy BB

oluyorsa B ’ye A ’nın bir alt cebiri denir.

Tanım 2.1.2: A , bir cebir olsun. Eğer her Azyx A,, için

zxyyzx

oluyorsa A ’ya birleşmeli(asosyatif) cebir denir.

Örnek 2.1.1: V , bir vektör uzayı olsun. V ’den V ’ye olan tüm lineer dönüşümlerin

kümesini VEnd ile gösteririz. VEnd kümesi, bir vektör uzayı olup her

ba, VEnd için Vv V olmak üzere, vbavab a olarak tanımlayalım. VEnd ,

bu çarpımla birleşmeli bir cebirdir.

Örnek 2.1.2: ,KM n K cismi üzerindeki nn n tipindeki matrislerin kümesi olmak

üzere KM n kümesi bilinen matris çarpımı işlemiyle birleşmeli bir cebirdir.

Her lineer dönüşüme bir matris karşılık getiren dönüşüm bir izomorfizm olup

KMVEnd nM dır.


4

Tanım 2.1.3: L , bir cebir olsun. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanıyor ise L ’ye bir Lie

cebiri denir.

:1L Her Lx L için, 00xx

:2L Her Lzyx L,, için , 00xyzzxyyzx

( 2L ’ye Jacobi özdeşliği denir.)

Ayrıca her Lyx L, için 00yxyx olduğundan 00yyyxxyxx ve

dolayısıyla

yxxy yx

elde edilir. Bu koşul antikomütatiflik koşulu olup, koşulu her Lyx L, için

sağlanacağından xxxx xx ve 02 0xx olup eğer cismin karakteristiği 2’den farklı ise

00xx olur ve koşulu 1L koşuluna denktir. koşuluna bağlı olarak Jacobi

özdeşliği aşağıdaki gibi yazılabilir:

00xyzzxyyzx

00zxyyzxxyz

00yzxxyzzxy

Sonuç olarak L , bir Lie cebiri iken Lzyx L,, olmak üzere

xyzzxyyzx zy

olduğundan bir Lie cebiri asosyatif(birleşmeli) olmayan bir cebirdir. Asosyatifliği

engelleyen Jacobi özdeşliğidir.

Bundan sonra L Lie cebirinin cebir çarpımını her Lyx L, için yx, ile

göstereceğiz ve bu çarpıma x ile y ’nin komütatörü (braket çarpımı) diyeceğiz.

Örnek 2.1.3: VEnd vektör uzayı üzerinde her VEndba E, için

baba ,, a dönüşümünü, baabba ba, olarak tanımlayalım. VEnd , ,

çarpımı ile bir Lie cebiridir.

Çünkü:

:1L Her VEnda En için 0, 0aaaaaa dır

:2L Her VEndcba E,, için


5

baabcaccabcbbcabacacbcba bcabccb ,,,,,,,,,

cbaabbaabcbaccaaccabacbbccbbca bbcaabcca

00cbacabbacabcbacbcaacbcabacbabccbabca

dır.

O halde VEnd , , braket çarpımı ile bir Lie cebiridir. Bu Lie cebirine lineer

dönüşümlerin cebiri denir ve Vgl ile gösterilir.

Örnek 2.1.4: K cismi üzerindeki nn n matrislerin KM n uzayını ele alalım.

KM n üzerinde , çarpımını KMBA nM, için

ABBABA ABBA,

olarak tanımlarsak KM n bir Lie cebiri olur. Bu Lie cebirine matris Lie cebiri denir

ve Kgln ile gösterilir.

Örnek 2.1.5: 3R uzayında çarpım işlemini aşağıdaki gibi tanımlayalım.

0,0,11c , 0,1,02c , 1,0,03c birim vektörler ve 111 ,, zyxA ,

222 ,, zyxB3RR olmak üzere

222

111

321

det

zyx

zyx

eee

BA

olarak tanımlayalım. 3R vektör uzayı bu çarpımla(vektörel çarpım) bir Lie cebiridir.

Tanım 2.1.4: L , K üzerinde bir Lie cebiri olsun. Eğer M , L ’ nin bir alt cebiri ve

LM , M ise M ’ ye L ’ nin bir ideali denir ve M < L ile gösterilir. Lie

cebirlerindeki yx, xy, özelliğinden dolayı eğer M , L ’nin bir ideali ise

LM , M ve ML, M olup bir Lie cebirinde bir sol ideal aynı zamanda bir

sağ ideal olduğunu elde ederiz.


6

Tanım 2.1.5: L , K üzerinde bir Lie cebiri ve M < L olsun. ML bölüm cebirini

ML :Mx M Lx L ile tanımlarız. ML ’deki toplama ve çarpma işlemlerini,

Mx M My M yx y M

MyMx MM , yx, M

olarak tanımlayalım. M , L ’nin bir ideali olup bu işlemler iyi tanımlıdır ve ML , bu

işlemler altında kapalıdır.

MxMx MM , xx, M M olup M , ML ’nin sıfır elemanıdır.

ML ’nin Jacobi özdeşliğini sağladığı da gösterilebilir. Böylece ML , bir Lie cebiri

olur ve bu cebire bölüm cebiri denir.

Not 2.1.1: A , bir asosyatif cebir olsun. A ’yı kullanarak bir Lie cebirini aşağıdaki

şekilde elde edebiliriz:

A üzerinde her Ayx A, için yxxyyx yx, çarpımını tanımlayalım. A , bu

çarpımla bir Lie cebiridir. Bu Lie cebirini LieA veya A ile gösteririz. Her Lie

cebiri, A bir asosyatif cebir olmak üzere LieA formundaki bir Lie cebirinin alt

cebiridir.

Not 2.1.2: Bir Lie cebirini kullanarak asosyatif bir cebir elde edilebiliriz:

L , bir Lie cebiri olsun. Her x L için, xad L : L L dönüşümünü her

y L için yxadL yx, olarak tanımlayalım. Bu dönüşüme x -tarafından

belirlenen adjoint dönüşüm denir. Eğer hangi Lie cebirinde çalışıldığı belli ise xad L

yerine sadece adx yazılır.

Vgl ’de birim dönüşüm ve xadL : Lx L tarafından doğrulan alt cebiri

yani, 1 ile xadL : Lx L kümesini içeren en küçük alt cebiri adL ile gösterelim.

Bu durumda adL , asosyatif cebirdir.


7

Tanım 2.1.6: L ve M , aynı K cismi üzerinde iki Lie cebiri olsun.

Eğer : L M lineer dönüşümü her x , y L için,

yx, yx yx ,

oluyorsa ’ye bir Lie homomorfizmi denir. Eğer , birebir ve örten ise

izomorfizmdir. L ’den L ’ye olan bir izomorfizme de L ’nin bir otomorfizmi denir.

Örnek 2.1.6: Çok önemli homomorfizmlerden birisi adjoint homomorfizmdir. L , bir

Lie cebiri olsun. LglLad gl: dönüşümü her yx, L için yadx yx, olarak

tanımlayalım. Lie çarpımının bilineerlik özelliğinden, adx dönüşümü her Lx L için

lineerdir. Yine aynı nedenle adxx a dönüşümü de lineerdir. Her Lyx L, için,

adxadyadyadxyxad oo aa,

olduğunu sağlatarak ad dönüşümünün bir homomorfizm olduğunu gösterebiliriz.

Aşağıdaki teoremin ispatı (Graff , 2000)’de bulunabilir.

Teorem 2.1.1: L ve M aynı K cismi üzerinde iki Lie cebiri ve : L M bir

homomorfizm olsun. O zaman aşağıdakiler doğrudur.

1. L M , çek < L ve çekL L

2. H , K < L ve K < H ise KH

KL HL

3. H < K , K < L ise H < KH K , KH K < K ve

HKH K

KHH

K dır.


8

2.2. Serbest Lie Cebirleri

Tanım 2.2.1: X herhangi bir küme, F bir Lie cebiri ve i : X F bir dönüşüm

olsun. Her B Lie cebiri ve her : X B dönüşümü için i olacak şekilde

bir tek : F B Lie homomorfizmi varsa iF , çiftine X üzerinde serbest Lie

cebiri denir.

X üzerindeki serbest Lie cebiri aşağıdaki şekilde inşa edilir.

Her pozitif n tam sayısı için nX kümesi aşağıdaki gibi tanımlanır:

1X X , nX U1

1

1

1

n

p

pnp XX

XM U1n

nX olsun. ba, XM için a pX , b qX ve ba, qp XX X

olacak şekilde p ve q tam sayıları vardır. n p q olsun. O zaman

ba, qp XX X , ’ deki nX ’ nin bileşenlerinden biridir. ba, ’ nin

pnp XX pX ’ den nX ’ ye olan kanonik injeksiyon altındaki görüntüsünü ab ile

gösterelim. Böylece ba, XM için ab çarpımı yukarıdaki gibi tanımlansın.

a pX olacak şekildeki p tam sayısına a ’ nın uzunluğu denir ve al ile

gösterilir. Uzunluğu 2 olan elemanlar için al cl ve bl cl olmak üzere

c ab yazılır.

cl abl al bl

dir. K bir cisim olsun. K üzerinde bazın XM olan bir vektör uzayı, XM ’ deki

elemanların K -lineer kombinasyonlarından oluşur. XM ’ deki çarpma, bu vektör


9

uzayının tamamına genişletilebilir. Böylece K üzerinde sonlu boyutlu olmayan ve

birleşmeli olmayan serbest bir cebir elde edilmiş olur. Bu cebire XN diyelim.

A , XN ’ in aşağıdaki formdaki bütün elemanları tarafından üretilen bir

ideali olsun.

aQ aa

cbaJ ,, bca cab abc

O zaman XFA

XN , X üzerinde serbest Lie cebiridir. X ’ e XF için

bir serbest üreteç kümesi denir. XF ’ in inşa edildiği küme belli ise XF ’ in

yerine kısaca F yazarız.

Tanım 2.2.2: Bir H XM Hall kümesi aşağıdaki şekilde tanımlanır;

1. X H ve X ’ e bir tam sıralama verilmiş olsun.

2. H XM2

, yx, X ve x y olacak şekildeki xy elemanlarını

içersin.

3. H XMm

, m 1,...,2,1 1n için tanımlanmış ve uzunluğu koruyan bir

sıralama verilmiş olsun. Yani, vu, xM ve ul vl ise u v yazalım.

Aynı uzunlukta olan elemanları istediğimiz şekilde sıralayalım. O zaman,

n 3 için H I XMn

, cab şeklindeki elemanları içerir. Burada,

a b , b c , ab c ve a ,b , c , ab U1

1

1

1

n

k

k XMH

X , H XM2

, XMH 3M ,…, H XMn

,…

H XMn

nH diyelim. O zaman

H U1n

nH kümesi XF ’ in bir bazıdır.


10

1H , 2H , 3H ,… Kümelerine Hall kümeleri denir. H U1n

nH bazına da XF ’ in

Hall bazı denir.

Tanım 2.2.3: K , bir cisim ve X bir küme olsun. X ’deki harflerin

kxxxw ...21x , 00k , Xxi X şeklindeki bir sonlu dizisine, bir kelime denir.

XW ’de X kümesindeki elemanların yan yana çarpımıyla oluşan kelimelerin

kümesi olsun. A ile bazı XW olan serbest K modülü gösterelim. A ’daki çarpım

XW kümesini A ’nın alt yarı grubu ve A ’yı cebir yapacak şekilde tek türlü

belirlenir. XW ’te boş kelime 1 ile gösterilecektir. Bu durumda A , serbest üreteç

kümesi X olan ve 1 birim elemanına sahip bir serbest birleşmeli cebirdir.

Şimdi boş olmayan X kümesi üzerindeki bir serbest L Lie cebirini

düşünelim. A da X üzerindeki serbest birleşmeli cebir olsun. Komütatör işlemiyle

A ’nın A ile gösterilen bir Lie cebiri olduğunu biliyoruz. Serbest Lie cebirlerinin

evrensellik özelliğinden XXi X: birim dönüşümü, ALi AA: homomorfizmine

genişletilebilir. i ,injektif olup A cebiri X tarafından üretilen bir serbest Lie

cebiridir. O halde L A ’nın bir alt cebirine izomorf olup AL A olarak

düşünülebilir. (Bahturin,1987)

Gruplar teorisinde iyi bilinen teoremlerden biriside Nielsen-Schreier

tarafından ispatlanan bir serbest grubun her alt grubunun da serbest olduğunu

gösteren teoremdir. Bunun benzeri olan sonuç serbest Lie cebirleri için de elde

edilmiştir. Bir serbest Lie cebirinin her alt cebirinin serbest olduğu A.I.Shirshov

(Shirshov,1953) tarafından gösterilmiştir. Ayrıca bu teoremin ispatı

(Bahturin,1987)’de de bulunabilir.

Tanım 2.2.4: L bir Lie cebiri olsun, A ia : Ii I , L ’ nin elemanlarının bir ailesi

olsun. I üzerinde kurulan serbest Lie cebirine If diyelim. : i ia olacak


11

şekilde If ’ dan L ’ nin içine olan bir Lie homorfizmi varsa ve örten ise A ’ ya

L ’nin bir üreteç kümesi denir. Eğer bijektif ise L serbest Lie cebiridir ve A ,

L ’ nin serbest üreteç kümesidir. Eğer A sonlu bir küme ise L ’ ye sonlu üretilmiş

Lie cebiri denir.

Bu tanıma göre serbest Lie cebirinin iki üreteç kümesinin kardinalitesi

aynıdır. F ’ nin bir serbest üreteç kümesinin kardinalitesine F ’ nin rankı denir.

Tanım 2.2.5: F , X nxx ,...,1 kümesi tarafından üretilen serbest Lie cebiri olsun.

Hall bazının elemanlarına regüler kelimeler, kiiii

xxxx ,...,321

şeklindeki bir

kelimeye bir monomial ve monomiallerden oluşan bir polinoma Lie polinomu denir.

Tanım 2.2.6: L , X tarafından üretilen bir serbest Lie cebiri ve Y L olsun. Eğer

Y , ürettiği alt cebirin bir serbest üreteç kümesi ise Y kümesine bağımsız küme denir.

Diğer bir ifade ile eğer Y ’nin elemanları arasında sıfırdan farklı bir bağıntı yoksa Y

bağımsız bir kümedir.

Tanım 2.2.7: X kümesi tarafından A birleşmeli cebirinin üzerindeki bilinen

uzunluk fonksiyonu l ve Aa A için a ile l fonksiyonuna göre a içindeki en

yüksek dereceli monamiallerin toplamını gösterelim. a A için a ’ nın içerdiği en

büyük uzunluklu elemanın uzunluğuna derece denir ve adeg ile gösterilir. l

fonksiyonuna göre a içindeki en yüksek dereceli monomiale a ’nın leading(en

yüksek dereceli) terimi denir ve a% ile gösterilir. a a% ise a homojendir.

Tanım 2.2.8: LY L olsun. her Yy Y için y% elemanı, u u Y yY y% kümesi

tarafından üretilen alt cebire ait değilse Y kümesine indirgenmiş küme denir.

Aşağıdaki teoremin ispatı (Kukin, 1992) tarafından verilmiştir.

Teorem 2.2.1: L ’nin her indirgenmiş alt kümesi bağımsızdır.


12

Tanım 2.2.9: L , X kümesi tarafından serbestçe üretilen Lie cebiri olsun. X ’in

eleman sayısına L ’nin rankı denir ve bunu rankL ile gösteririz.

2.4. Serbest Lie Cebirlerinin Otomorfizmleri

L , X tarafından üretilen serbest Lie cebiri olsun.

Tanım 2.3.1: I , bir indis kümesi ve Y iy : Ii I , L ’ nin herhangi bir alt

kümesi olsun. Aşağıdaki dönüşümüne L ’nin bir t dönüşümü denir.

:0i

y a0i

ypii

yyf ,...,1

, piii ,...,, 10 I , 00

iy a iy , i I \ 0i

Burada pii

yyf ,...,1

, bir Lie polinomudur. H , L 'nin Hall bazı olmak üzere Lu L

için, Ki Ki ve Hhi H olmak üzere

iihu ihih

şeklindeki bir eleman bir Lie polinomudur. ih ’lerin her birine bir monomial denir.

Y ve ıY , XL ’in iki alt kümesi ve ıYYt ıY: bir t dönüşümü olsun.

Y , XL ’in serbest üreteç kümesi ise t dönüşümü bir otomorfizmdir.

Şimdi L ’nin sonlu ranklı olması durumunda herhangi bir otomorfizmin sonlu

adımda elde edilebileceğini gösteren teoremi verelim.

Teorem 2.3.1: L ’nin her otomorfizmi X kümesine ardışık olarak

t dönüşümlerinin uygulanmasıyla elde edilir.

Teoremin ispatı (Cohn,1964)’te bulunabilir. Yani, sonlu ranklı bir serbest Lie

cebirinin her otomorfizmi sonlu sayıda t dönüşümü uygulanarak oluşturulabilir.

Bunun nedeni L ’nin sonlu üreteçli olmasıdır.

Örnek 2.3.1: L , cbaX ,, tarafından üretilen serbest Lie cebiri olsun.


13

cbbaat ,:1 baa

bb b

cc c

olarak tanımlanan dönüşümü ele alalım. dcbba db,a , eb e ve fc f

diyelim ve aşağıdaki dönüşümü uygulayalım.

dcbbadcbbaat dbbdb ,,:1 aaaa

cdeccbbabebb ,,, debbbeb a

cfcc cfc

olmak üzere fed ,, ile ccded ,,, d kümeleri cebir için üreteç kümeleridir.

Aynı zamanda aşağıdaki teoremle t dönüşümlerinin üreteç kümeleri

arasındaki bağı belirlediğini de söyleyebiliriz.

Teorem 2.3.2: L , sonlu bir X kümesi tarafından üretilen bir serbest Lie cebiri

olsun. Eğer Y , L ’nin bir serbest üreteç kümesi ise Y kümesi L ’nin bir üreteç

kümesine denktir. Burada denkliğin anlamı Y ’nin t dönüşümleri ile bir serbest

üreteç kümesinden elde edilebilir olmasıdır. Sonuç olarak L ’nin bir Y serbest üreteç

kümesinin X kümesine denk olduğu söylenebilir. Bunu Y ~ X ile göstereceğiz.

Bu teoremin ispatına da (Cohn,1964)’ten ulaşılabilir.

Örnek 2.3.2: L , serbest üreteç kümesi cbaX ,, olan serbest Lie cebiri olsun.

cbaat ,: cba ,b cba ,b

b b ccbcabccba ,,,,, abb

c c c ccbcacbbac ,,,, abba

dönüşümünü uygulayalım.

3X cba ,b , ,,,, ccbcab a ccbcacbbac ,,,, abba

2X cba ,b , ,b c

1X cba ,b , ccba ,, , c

olmak üzere X ~ 1X ~ 2X ~ 3X elde edilir. 1X ~ X , 2X ~ X , 3X ~ X dir .


14

Tanım 2.3.3: Y , boş olmayan bir küme ve mi ,...,2,1,1 için iu 0 , iv 0 ,

iu , iv LL olsun. mi ,...,2,1,1 iken iu iv olacak şekilde XL ’in bir

otomorfizmi varsa iu iv olacak şekilde YXL Y ’ nin bir otomorfizmi

vardır. iu , iv elemanları, otomorfizmi altında denktir, iu , iv ’ nin

otomorfizmi altında denkliğine stably denkliği denir.

2.4 Evrensel Enveloping Cebir

Tanım 2.4.1: F , bir Lie cebiri olsun. Aşağıdaki koşulları sağlanması durumunda

birim elemanlı ve birleşmeli FU cebirine F ’nin evrensel enveloping cebiri denir.

.1 F ’den FU ’ye kanonik homomorfizm denilen bir F: FU

homomorfizmi vardır.

.2 K cismi üzerindeki birim elemanlı her B birleşmeli cebiri ve her

: F B homomorfizmi için olacak şekilde bir tek : FU B

homomorfizmi vardır.

F B

FU

F , X üzerinde bir serbest Lie cebiri ise X tarafından üretilen serbest

asosyatif(birleşmeli) cebir, F ’nin evrensel enveloping cebiridir.

Serbest cebirlerin evrensel özelliği nedeniyle X kümesi tarafından üretilen XA

serbest asosyatif cebiri XL ’in evrensel enveloping cebiridir. Yani

XAXLU A ’dir. XAXLi A: kanonik dönüşümü X ’in birim

dönüşümünün genişlemesi olan bir homomorfizmdir.


15

Eğer R , XL ’nin bir ideali ise I , XA ’de R ’yi içeren en küçük ideal

olmak üzere I

XA,

RXL

’nin evrensel enveloping cebiridir.

Tanım 2.4.2: M , değişmeli bir grup olsun. Aşağıdaki koşulların sağlanması

durumunda 'M ye bir sol K modül denir. Her ba, K ve yx, M için,

1. ax M

2. xba b bxax b

3. xab bxa

4. yxa y ayax a

5. x.1 x

Teorem 2.4.2(Poincare-Birkhoff-Witt, 1993): L , K üzerinde bir serbest Lie cebiri

olsun. Eğer L , bir serbest K modül ve E , L ’nin iyi sıralı bir bazı ise o zaman

: L LU kanonik dönüşümü injektif olup LU ,1 ve neee ...21 ,

neee ee ...21 , 11n formundaki monomialler tarafından üretilen bir serbest

K modüldür.

3.SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI Niyazi YURTSEVEN

16

3. SERBEST LİE CEBİRLERİNİN PRİMİTİF ELEMANLARI

L , naaaA ,,, 21 K serbest üreteç kümesi ile K cismi üzerinde bir serbest Lie

cebiri olsun. a L olmak üzere eğer a elemanı L ’nin serbest üreteçlerinin bir

kümesi tarafından içeriliyor ise a ’ya L ’nin bir primitif elemanı denir. L’nin her sıfır

olmayan a elemanına aL = aL cebirini karşılık getirelim. aL , üreteçleri

naaa ,...,, 21 ve bağıntısı a = 0 olan Lie cebiridir. Bu bölümde tek bağıntılı aL Lie

cebiri bir serbest Lie cebiri midir? sorusunun cevabını arayacağız .‘‘ aL cebirinin

serbest Lie cebiri olması için gerek ve yeter koşulun a ’ nın , L’ nin primitif

elemanı olmasıdır ’’ ifadesinin doğruluğunu göstereceğiz .

Teorem 3.1.4’ün ispatı, temel cisim üzerinde cebirsel denklemlerin bir sistemini

inşa etmek için L cebirinin verilen bir elemanı için izin verilen bir algoritma belirtir.

Bu sistem çözüme sahipse a , bir primitif elemandır. Diğer hallerde değildir.

Sonlu üretilen Lie cebirinin bütün otomorfizmlerinin grubunu tanımlayıp

algoritmik problemlerin çözümü için teorem3.1.1’ in başka bir ispatını vereceğiz.

K cismi üzerinde L bir serbest Lie cebiri ve A = naa ,...,1 L

cebirinin serbest üreteçlerinin kümesi olsun.

i < j iken ia > ja olacak şekilde A kümesini sıralayalım.

Tanım 3.1.1: F , X üzerinde serbest Lie cebiri olsun. X kümesine lineer bir

sıralama vermiş olalım. X ’in elemanlarını uzunluğu 1 olan regüler kelimeler olarak

isimlendirelim. Uzunluğu n ’den küçük olan kelimeleri sıralamış olduğumuzu kabul

edelim. O zaman X uzunluğu n olan bir uvw u kelimesine aşağıdaki koşulları

sağlıyorsa bir regüler kelime denir.

i) u ve v regüler kelimelerdir,

ii) vu v ,

iii) 21uuu u ise vu v2 dir


17

L cebirinin bütün elemanlarını naa ,...,1 üreteçleri üzerindeki regüler

kelimelerin lineer toplamları formunda yazılmış olduğunu varsayabiliriz.

1L ile X = ,....,...,1 nxx serbest üreteçlerin sayılabilir kümesi ile K cismi

üzerinde serbest Lie cebirini gösterelim . Yukarıdaki gibi i < j iken ix > jx ve

1L cebirinin bütün elemanlarını 1,..., ,...kx x regüler kelimelerinin lineer toplamı

olarak yazabiliriz .

Eğer f kxx ,...,1 1L ve kcc ,...,1 L ise

f ,...,

,...,

1

1

c

x

k

k

c

x ile, L’nin f kcc ,...,1 elemanını gösterelim . f kxx ,...,1 ’

ya f kcc ,...,1 ’nın taşıyıcısı denir.

a LL için deg a ile a elemanının derecesini göstereceğiz(Yani a ’nın

ifadesindeki en uzun regüler kelimenin uzunluğunu kastediyoruz). a elemanının en

büyük dereceli homojen bileşenine a ’nın en yüksek(büyük) dereceli kısmı denir ve a

ile gösterilir.

...aa ... , 00 ve KK şeklinde iken , bir regüler kelime ve ’dan

sonra gelen toplamdaki regüler kelimeler ’dan sözlük sıralamasına göre daha küçük

olan regüler kelimelerin lineer kombinasyonlarından meydana gelir.

a elemanının leading terimi olup bunu a% ile göstereceğiz. regüler

kelimesindeki parantezleri kaldırdığımız zaman bu kelimeyi de at

ile göstereceğiz.

at

’ya a% ’nın birleşmeli taşıyıcısı(associative carrier) denir

İddia 3.1.1 (A.I.Shirshov,1953 ): Eğer L ’ nin elemanlarının W = ic , i I

kümesi bağımsız değilse , bir 0i

c elemanının en yüksek dereceli parçası 0i

c0i

,

ici , i I \ 0i kümesi tarafından üretilen alt cebire aittir.


18

İddia 3.1.2(A.I.Shirshov,1962): L ’ nin a elemanı b idealine aitse a

elemanının en yüksek dereceli teriminin birleşmeli taşıyıcısı at

, b elemanının bt

birleşmeli taşıyıcısını bir alt kelime gibi içerir.

Eğer a b ise, bt

at

dır.

İddia 3.1.3: Bir sonlu üretilmiş L serbest Lie cebiri Hopfiandır. ( L , her öz bölüm

cebirine izomorfik değildir.) . Bu iddia , L ’ nin nilpotentliğinin genellenmiş bir

sonucudur ve bir genel teorem (A.I.Mal’tsev ,1960) tarafından ispatlanmıştır. İddia

3.1.3 , L ’ nin a üreteçlerinin kümesi L nin serbest üreteçlerinin kümesi

anlamındadır.

Tanım 3.1.2: ib ; Ii I , L ’nin bir alt kümesi olsun.

1

ib = ib i I \ 0i , 1

oib =

0ibib + g 1jb ,…, pjb

K , 0 ve g , ib , i I \ 0i kümesinin bir polinomu

olmak üzere , ib ; Ii I kümesinin

: ib1

ib , i I dönüşümü t - dönüşümü diye adlandırılır.

Tanım 3.1.3: g g pjj

bb ,...,1

elemanının g pxx ,...,1 taşıyıcısı

t - dönüşümünün taşıyıcısı diye adlandırılır ve supp ile gösterilir.

Tanım 3.1.4: ib ; Ii I , bu küme tarafından üretilen B alt cebirin serbest

üreteçlerinin kümesi ise ib ; Ii I kümesinin bir t - dönüşümüne B alt cebirin

bir otomorfizmi karşılık gelir. Bu otomorfizm t - otomorfizmi diye adlandırılır.


19

W = ic , Ni ,...,11 , L nin elemanlarının bir kümesi olsun.

W ic i : ic W ile W kümesinin elemanlarının en yüksek dereceli kısmının

kümesini tanımlayalım.

wl ic

A

x

i

deg1

x

de11

ve 00deg 0

Lemma 3.1.1: W , L nin üreteçlerinin bir sonlu kümesi olsun. En çok wl kadar

t dönüşümlerinin uygulanması ile W kümesi her bir elemanının derecesi en çok 1

olan W kümesine dönüştürülebilir.

İspat: W, 1 den daha fazla dereceli elemanları içersin , aksi halde kanıt açıktır. W ,

bağımsız olsun . Bunun bir çelişki olduğunu göstereceğiz . Hipotezden dolayı W

kümesi , L cebirini üretir . Bu nedenle aşağıdaki bağıntılar doğrudur:

if bir dereceli terimleri içermesin .

ia 1

1

j

N

j

1

j

N

11

jc + if Ncc ,...,1 , i = n,...,1 dir

if Ncc ,...,1 , i N,...,1 kümesinin elemanlarının en az birinin sıfırdan

farklı olduğunu göstereceğiz.

Bütün elemanların sıfır olması durumunda eşitliğinde en yüksek dereceli

terimleri karşılaştırırsak W kümesinin lineer bağımlı olduğunu ya da her ia nin

kiicc ,...,

1 elemanları cinsinden yazılabileceğini elde ederiz.

0if Ncc ,...,1 00 olsun. 0if Ncc N,...,1 elemanını,

0if Ncc N,...,1 k

s

k

gs

k

g1

naa ,...,1 olarak alalım ve kg naa ,...,1 , kd

dereceli 0i

f ’ ın homojen terimidir. 1d ... sd dir.


20

Açıktır ki her kg naa ,...,1 elemanı Ncc N,...,1 de bir polinomdur.Yani

kg naa ,...,1 h Ncc N,...,1

0if Ncc N,...,1 k

s

k

hs

k

h1

Ncc N,...,1 , kh Ncc N,...,1 0 , sk ,...,1,1

0if Ncc ,...,1 elemanının en yüksek dereceli kısmı sd 1 olduğundan

sh Ncc N,...,1 dir. W kümesi hipotezden bağımsızdır . Fakat ,

0ia 0

1

i

j

N

j

i

j

N

11

jc + 0if Ncc ,...,1 eşitliğinde sol kısım 1 dereceye sahiptir .

Bu yüzden , sh Ncc N,...,1 elemanı jc j kümesi üzerinde benzer terimlere

sahiptir ya da W lineer bağımlıdır. Yine bu çelişkidir.

İddia 3.1.1’ den , 0j

c0j

ın bazı elemanları W \0j

c0j

kümesi ile üretilen

alt cebire aittir.

0jc

0j , g polinomu içinde görünmeyen bir üreteç olmak üzere

0jc

0j = g Ncc N,...,1 olsun .

1

ic = ic , i j , 1

0jc

0jc - g Ncc ,...,1 şeklindeki

t dönüşümü l W sayısını küçülterek, her üretecin derecesini en az 1

yapar dolayısı ile l W ’ nun en küçük değeri n olur.

Açıklama 3.1.1 : W = Ncc ,...,1 , L cebirinin üreteçlerinin kümesi olsun .

Adeg ic 1, Ni ,...,11 iken Ncc ,...,1 , W nun maksimal lineer bağımsız

alt kümesidir. Açıktır ki nN n tane t dönüşümleri ile W kümesi

0,...0,,...,1 Ncc kümesine dönüştürülebilir. ii 0 iken

ia i

n

i

i

n

1

ic eşitliğini göz önüne alalım ve t dönüşümlerini

tanımlayalım :


21

1iicc

1ic 1ii i

i

n

i

ic i

n

11

ic

Buradaki t dönüşümleri ; 0,...0,,...,1 Ncc 0,...,0,,...,1 naa

Lemma3.1.1’ in kanıtından ve son açıklamadan L nin serbest üreteçlerinin her W

kümesi t dönüşümleri ile naa ,...,1 kümesine dönüştürülebilir.

Teorem 3.1.1(P.M.Cohn,1964): Sonlu ranklı bir serbest Lie cebirlerinin

t otomorfizmleri bu cebirin otomorfizm grubunu üretir.

Tanım 3.1.5: Bir serbest Lie cebirinin a elemanı eğer L nin serbest üreteçlerinin

kümesi tarafından içeriliyorsa a ’ya L ’ nin bir primitif elemanı denir.

Teorem 3.1.2: aL ’ nın serbest Lie cebiri olması için gerek ve yeter şart a ’ nın L

Lie cebirinin primitif elemanı olmasıdır.

İspatın yeterlilik kısmı açıktır. Fakat gereklilik kısmını yapabilmemiz için

aşağıdaki önermeye ihtiyacımız vardır.

Önerme 3.1.1: Lba L, olsun. L ’de a ve b idealleri çakışırsa a ile b

lineer bağımlıdır.

İspat : Eğer a ve b ’ den en az biri sıfır ise sonuç açıktır. a ve b den hiç

birisinin sıfır olmadığını kabul edelim. Bu durumda , en yüksek dereceli terimler a~

ve b~

sıfırdan farklıdır. İddia3.1.2’den a b olduğundan at

kelimesi bt

kelimesini alt kelime gibi içerir.(yani at

ve bt

çakışır ).


22

Baz özelliklerinden, a~ = b~

olarak elde ederiz. a b nin en yüksek

dereceli kısmı a~ dan küçüktür. Ancak, a b a ve iddia3.1.2’ den ,

at

bt

elemanı at

elemanını alt kelime gibi içerir. O halde a~ b~

b a~

dır . Buradan , a~ 11 b~

ve a b olur.

Teoremin varsayımı gereğince aL Lie cebiri serbesttir . aaa LLL ,2 L olmak

üzere

2

a

a

L

Lcebirinin boyutunu 2dim

a

a

L

L ile gösterelim.

dim 2a

a LL 11n olduğunu görmek kolaydır, İddia3.1.3’ten aL

nın rankı , 11n den büyük değildir. Bununla beraber aL ’ nın rankı 11n ’ e

eşittir ve aL ’ da 11 ,..., 1ncc gibi 11n tane serbest üreteçli kümesi

vardır. a primitif olduğundan a ’ yı L nin a naa ,...,1 serbest üreteç

kümesine tamamlayabiliriz.

aL aL naa ,...,2

2a

a LL Sp naa ,...,2 dir.

Lemma 3.1.1’den ve Açıklama 3.1.1’e göre naa ,...,1 ,

burada ia aL

tt,...,1 t dönüşümleri ile 0,,... 11 1ncc kümesine dönüştürülebilir.

L ’ deki ia , ni ,...,11 elemanlarının öngörüntülerini ia

elemanlarından seçelim ve tt,...,1 t dönüşümlerini bu kümeye uygulayalım.

L ’ nin serbest üreteçlerinin nyy ,...,1 kümesini elde ederiz.

h : aLL aL doğal epimorfizmi ile , iy ’ ler ic ’ lere

dönüştürüldü .


23

1,...,1 11 ni , 00ny .

Böylece , ny a ve ny a olduğundan ny = a dir .

nyL ’ i göz önüne alırsak ,

nyL serbest Lie cebiridir . 1.izomorfizm

teoreminden

nn ya

yL

aL

nyL ve aL serbest olduğundan, iddia3.1.3’e göre serbest üreteçleri 11n tanedir

Böylece ,

nya 0 bulunur ve

ny = a olur.

Önerme3.1.1’den ny a olup a , L nin bir primitif

elemanıdır .

Lemma 3.1.2: d d 1 dereceli her 1b primitif elemanı L nin

nbb ,...,1 serbest üreteç kümesinde bulunur ve iA bdeg d ,

ni ,...,22 dır.

İspat: Verilen 1b primitif elemanını içeren L nin serbest üreteçlerinin bütün

kümelerini göz önüne alalım. Bu kümelerden vi vi1 için iA bdeg d ve iv

n için iA bdeg d olmak üzere en küçük 0wl ’ ı verecek şekildeki

0W nvv bbbb ,...,,,..., 11 1 kümesini seçelim . Eğer v = n ise , lemma sağlanır .

v n ye bakalım . ni ni1 iken ibi elemanları , diğer jb j tarafından

üretilen alt cebire aittir. Bununla beraber Lemma 3.1.1’ in ispatından 1b1 elemanları ,

nbb n,...,2 ile üretilen alt cebire aittir. 1g nxx ,...,2 , birinci dereceden

terimleri içermezken ibi elemanı ,


24

ibi = i

n

i

i

n

1

ibi + 1g nbb n,...,2

şeklindedir.

eşitliğinde en yüksek dereceli terimleri karşılaştıralım ;

Eğer nv bb nv ,...,1 elemanlarının bazıları 1g nbb n,...,2 nın argümanlarından

meydana geliyorsa Lemma 3.1.1’in ispatında olduğu gibi , İddia 3.1.1’ e göre

nbb n,...,1 arasında bir çelişki elde ederiz . nv bb nv ,...,1 , elemanları aynı sebeple sıfır

olmayan katsayıları ii

i

1

ibi de bulunmayabilir .

11 : 10 WW W = nbb n,...,1

1 , 1

1deg bA d t dönüşümü uygularsak

1sup 1p in argümanları arasında nv xx ,...,11 bulunmayabilir . 1

1b yerine kolaylık

olsun diye 1b yazacağız . Şimdi 2 durum olabilir :

1 niv ni ibi elemanları , 1W1 kümesinin kalan elemanları tarafından

üretilen alt cebire aittir .

ibi = jij

j

i

jb j + 2g nbb n,...,1 , 22 , t dönüşümüyle 1W ’ i

2W = nivv bbbbbb ,...,,...,,,...,,1

12

1

1 1 kümesine dönüştürürüz . 2W kümesine 11 ’

in ters t dönüşümü uyguladığımızda nv xx ,...11 1sup 1p in argümanları arasında

bulunmayabilir .

l W l 0W olacak şekilde , 1b ’ i içeren L ’ nin serbest

üreteçlerinin

W nivv bbbbb ,...,,...,,,...,1

11 1 kümesini elde ederiz . Bu da 0W ın alınışı

ile çelişir .


25

2 niv ni iken ibi elemanlarının hiçbiri 1W1 ’ nin kalan elemanları

tarafından üretilen alt cebire ait değildir .

Lemma3.1.1 ile vbb v,...,1 elemanlarının birisi 0ib 0i alabiliriz 1W1 kalan

elemanlarını ürettiği alt cebire aittir . Bu elemanın 1W1 \ 0ib 0i kümesinin

elemanları cinsinden ifadesinde , nv bb nv ,...,1 görünmez . l 1W l 2W iken

222 : 21 WW W t dönüşümü uygularsak yine iki durum olabilir . Durum 2 ye

parelel durum , sonlu sayıda uygulamayla oluşabilir . Durum1’ e parelel durum , 0W

seçimi ile çelişkiye indirgenebilir .

Böylece lemmanın ispatı tamamlanmış olur .

Önerme 3.1.2: W = Ncc ,...,1 , L ’nin üreteçlerinin sonlu kümesi ,

iA cdegmax = d d 1 olsun. l W sayısını azaltacak ve gAdeg d

olacak şekilde bir psup g Nxx ,...,1 t dönüşümü vardır .

İspat: 11 , 1c üzerinde birim olmayan ve l W sayılarını azaltan W kümesinin

bir t dönüşümü olsun . Lemma 3.1.1 den , W kümesinin uygun bir indisi için

t gibi bir dönüşüm vardır . 11 : 1c 1c + 1gN

N

cc

xx

,...,

,...,

2

2 olsun . Eğer gxdeg

d ise , önerme sağlanır . 1deg gx d için , Ncc N,...,1 elemanları arasında

trivial olmayan bir bağıntı elde ederiz . O halde l W yi azaltan 22 : 2c 2c +

2gN

N

cc

xx

,...,

,...,

3

3 bir t dönüşümü vardır . Eğer 2deg gx d ise önerme sağlanır .

Aksi halde 321 ,, xxx 3sup 3p ün argümanları arasında olmayacak şekilde bir 33

t dönüşümü buluruz . Sonuçta , ii dp ix disupdeg dönüşümünü

oluştururuz veya 11NN : 11 11 NN cc + 11NgN

N

c

x , t dönüşümünü buluruz .

1deg 1Nx g 1 d dir .


26

Şimdi A kümesinde L cebirine dönüşümünü ni ,...,1,1 iken

: ia ib = ib naa ,...,1 olarak yazalım . W = ibi ni ,...,1, 1 kümesini göz

önüne alalım . d = i

max iA bdeg ve ii belirli olmayan katsayı olsun . is , d den

küçük uzunluklu ve jx kümesi üzerindeki mümkün olan bütün regüler

kelimelerden biri iken , g nxx ,...,2 = i

N

i

i

N

1

is şeklinde tanımlayalım .

1b1 = gn

n

bb

xx

,...,

,...,

2

2

yazıldığında (A.I.Shirshov,1959)’ te ki algoritmayı kullanarak , L nin iki elemanını

çarpımını bazı cinsinden yazma yolunu kullanarak bütün isn

n

bb

xx

,...,

,...,

1

1 elemanları ,

L nin bir bazı cinsinden yazılabilir . eşitliği K cismi üzerinde lineer denklem

sistemi ile değiştirilebilir.

jf Naa :1 ,... = jw , kj ,...,11 …

jw , 1b1 deki regüler kelimelerin katsayılarıdır . Eğer bu denklem sistemi

Naa ,...,1 çözümüne sahipse W = nbb ,...,1 kümesinden

1W = nbbb ,...,, 21

1 kümesine geçebiliriz . Burada 1

1b = gb g1n

n

bb

xx

,...,

,...,

2

2 dir.

Eğer ’deki denklem sistemi tutarsızsa, 2b2 elemanına aynı sırayı uygularız . Eğer

her ibi için sistemine benzer olan denklem sistemi tutarsızsa dönüşümü ,

L ’ nin bir otomorfizmine genişletilemez . Eğer bazı denklem sistemleri bir çözüme

sahipse , 1W kümesine geçeriz ve l 1W l W olur . Sonunda

t dönüşümleriyle l kW sayısını azaltmayacağımız kW kümesini elde ederiz .

Eğer kW bir dereceli n tane lineer bağımsız elemandan oluşuyor ise

dönüşümü L nin bir otomorfizmine genişletilebilir .


27

Teorem 3.1.3: L nin serbest üreteçlerinin : ii ba ib naa ,...,1 ni ,...,1,1

dönüşümünün L nin bir otomorfizmine genişletilebilir olup olmadığını belirleyen bir

algoritma vardır .

Açıklama 3.1.2: Benzer bir yöntem ile B alt cebirin üreteçlerinin keyfi sonlu bir

kümesinden B ’ nin serbest üreteçlerinin kümesine geçilebilir .

Şimdi aşağıdaki özellikler ile L nin üreteçlerinin bir W kümesini inşa edelim .

1 W = Ncc ,...,1 sonlu bir küme ,

2 iA cdegmax = d ,

Lemma 3.1.1 ve önerme 3.1.2 den , bu yapıyı 1W = 0,...,0,.,...,1 naa ’ dan

başlatabiliriz . l kW sayısını azaltan kk t dönüşümünün kullanımı ile

taşıyıcının derecesi d olur .

A= naa ,...,1 , L serbest Lie cebirinin üreteçlerinin başlangıç kümesiydi .

j

i1

j

i1 0 iken jb =

j

i

n

i1

1

j

i1

n

11

ia , nj ,...,1,1

olsun .

Açık olarak L ’nin 1 dereceli her serbest kümesi ji1j

i1 katsayılarının uygun

bir seçimi için formundadır.

B , K cisminin keyfi elemanı iken ,

2na =

1nb + 2

n

i

njij

2n

i jnj

1ib

1jb

ifadesini göz önüne alalım .

Lemma 3.1.2’ den derecesi 2 olan her primitif eleman 2n

a formundadır .

ve nı uygun seçimi için .

l = 1,2 için 2l

a = 2l

b


28

nl ,...,1,1 , 2l

a = 1l

b + 2li

njij

2l

i jnj

1ib

1jb ,

yazalım .

j

i2

j

i2 0 iken ,

2jb = ji

n

i2

1

j

i2

n

112i

a nj ,...,4,33

Lemma 3.1.1 ve Önerme 3.1.2 ye göre L nin serbest üreteçlerinin keyfi bir

kümesi formundadır.(elemanlarının derecesi 22 ) . 2W = 212 ,...., nbb ve

elemanlarının derecesi d olan L nin serbest üreteçlerinin keyfi bir kümesinin

dW = dd nbb ,...,1 formunda olduğunu varsayalım .

M m , v ile , serbest üreteçleri m olan bir serbest Lie cebirinde

derecesi m olan monomiallerin oluşturduğu modülün rankını gösterelim .

Küçük uzunluklu kelime küçük indisli olacak şekilde vs1 , vs 2 ,…,

v

vmMs ,

dizisini veya nxx ,...,1 nin m den küçük eşit uzunluklu regüler kelimelerini göz

önüne alalım .

Oluşturduğumuz yapıdaki katsayıların sayısını hesaplamak için Witt’s

formülünü kullanabiliriz.

11nda = ndb + 41

1,1

1

nd

i

ndM

ni

nd

i

,ndd 1111

11n

11n

isdnd

n

bb

xx

11

11

,...,

,..., yazalım .

(A.I.Shirshov,1959) algoritmasına göre idb elemanlarını , ia kümesi

üzerindeki regüler kelimelerden oluşan baz cinsinden yazılabildiğini varsayalım . O

halde ,Lemma 3.1.2 ile d +1 den küçük eşit dereceli her primitif eleman

11nda formunda olduğunu elde ederiz .

11lda = ldb + 1

1,1

1

1

, 1111

11

dl

i

ldM

ni

dl

i

11l

isdld

l

bb

xx

11

11

,...,

,..., 2,11l , 11lda = ldb

ve


29

j

lda

11 0 iken , nj ,...,33 için

11jdb = j

id

n

i

1

1

1

1

n

1

j

id 11ida

yazalım .

d +1 den küçük eşit dereceli elemanlardan oluşan L ’nin serbest

üreteçlerinin keyfi bir kümesi 11dW 111 ,..., 11 ndd bb formundadır. Şimdi

L ’nin bir a elemanı verildiğinde primitif olup olmadığını belirlemeliyiz .

aAdeg d olsun . Eğer d 1 ise a , primitifdir .

11d olsun. L ’nin d ’den küçük dereceli serbest üreteçlerinin keyfi bir kümesi

11dW şeklindedir. O halde d dereceli keyfi bir eleman

nda 11ndb + nd

i

nd

i

11n

is 111

11

,...,

,...,

ndd

n

bb

xx şeklindedir.

NM sss ,....,,....,1 , ia ’ nin regüler kelimeleri olsun . M ndM , ,

N nddM ,11 olsun .

nda elemanını , if , ve ’nın bilinen polinomları iken

nda i

M

i

fM

f1

is i

N

Mi

fN

fM 1

is

formunda yazacağız ,

a elemanını ,

a i

M

i

wM

w1

is iw K

şeklinde yazacağız .

Eğer ,

Miwf

NMif

ii

i

,...,1,

,...,1,0


30

denklem sistemi , jisj

is , mp

kl

mp

kl sabitleri ile her s için j

is

j

is 0

iken , K cismi üzerinde tutarlı ise o halde a elemanı primitiftir aksi halde

değildir .Böylece ispat tamamlanır .

Teorem 3.1.4: Serbest Lie cebirlerinin verilen bir elemanının primitif eleman olup

olmadığı problemini aldığımız cisim üzerindeki cebirsel denklemleri bir

sisteminin tutarlılığına indirgeyen ve verilen bir elemana göre belirlenen bir

algoritma vardır .

Eğer jisj

is ,mp

kl

mp

kl , K cisminin elemanı ise , sisteminden her

s 00jisj

i için teorem 3.1.2’ ye göre

aL , 1111 ,..., 111 dnd bb serbest üreteç kümesi ile Lie cebiridir .

Sonuç : Teorem 3.1.4’ ün ispatındaki algoritma , bir bağıntılı bir Lie cebirinin

serbest olup-olmadığı problemini K cismi üzerindeki cebirsel denklem

sisteminin çözümü problemine indirger.

Benzer sonuçlar (A.I.Shirshov,1954) ve (A.I.Shirshov,1954) makalelerinde

değişmeli ve değişmeli olmayan cebirler için elde edilmiştir.

4.BİR BAĞINTILI LİE CEBİRLERİNİN İZOMORFİZMLERİ Niyazi YURTSEVEN

31

4. BİR BAĞINTILI LİE CEBİRLERİNİN İZOMORFİZMLERİ

L , sonlu üreteçli bir Lie cebiri olsun. u ile v , L ’nin sırasıyla u ve v

tarafından üretilen idealleri olmak üzere, L ’nin u

L ve v

L izomorfik olacak

şekilde u ve v elemanlarına örnek verilmiştir. Ayrıca , u

L ve v

L izomorfik

iken uu v olacak şekilde bir otomorfizminin olamayacağı gösterilmiştir.

(McCool ve Pietrowski,1971) tarafından bu çeşit bir bağıntılı gruplar için

örnekler inşa edildi. Sonra (Brunner ,1976) ikişerli eşdeğer olmayan bağıntılar ile bir

bağıntılı izomorfik grupların bir sonsuz serisini oluşturdu. Serbest Lie cebirleri için

benzer sonuç (Kukin,1970) tarafından elde edildi. (Shpilrain ve Yu,2003) benzer

sonucun rankı 2 olan serbest birleşmeli cebirler için geçerli olduğunu gösterdi .

L nxxx ,...,, 21 ile, nxxx ,...,, 21 tarafından üretilen serbest Lie cebirini

göstereceğiz. Burada nxxxLL ,..., 21L ve R , 'L nin bir ideali olmak üzere

RxxxL n,...,, 21 bölüm cebirine uygulanabilen ve izomorfizmi koruyan elementer

dönüşümlerin 3 tipini inceleyelim:

(1) Yeni Bir Değişken Sunumu:

R = R + w iken R

xxxL n,...,, 21 yerine R

yxxxL n ,,...,, 21 alalım.

w , nxxxfyw ,...,, 21fy tarafından üretilen idealdir ve nxxxf ,...,, 21 , L’ nin

keyfi elemanıdır.

(2) Değişken Yok Edilmesi:

Eğer nxxxfyg ,...,,, 21f formunda ve nm xxxLff ,...,,,..., 211 L iken

gffyxxxL

m

n

,,...,,,...,

1

21 formunda bir cebire sahipsek, bu cebir yerine

m

n

ffxxxL

,...,...,

1

21 yazarız.


32

(3) Değişkenleri Yeniden Adlandırılması:

nii ,...,1 keyfi farklı indisler iken nxx ,...,1 değişkenleri yerine nii xx ,...1 yazalım.

Aşağıdaki teorem Tietze teoremindeki gibi aynı yolla ispatlanabilir.

Teorem 4.1.1: m

n

fffxxxL

,...,,...,

21

21 ve k

n

hhhxxxL

,...,,,...,

21

21 nin izomorfik

olabilmeleri için gerek ve yeter koşul 31 dönüşümlerinin bir dizisinin

uygulanması ile cebirlerin birinden diğerinin elde edilmesidir.

Bu teoremin sonucu olarak aşağıdakileri söyleyebiliriz:

m

n

fffxxxL

,...,,...,

21

21 ve k

n

gggxxxL

,...,,,...,

21

21 izomorfik cebirler

olmak üzere kff ,...,1 ve kgg ,...,1 idealleri nxxxL ,...,, 21 ’ nin bir otomorfizmi

altında denk olmak zorunda değildir. Bunların denkliği daima stably denkliğidir.

Sonuç 4.1.1: m

n

fffxxxL

,...,,...,

21

21 ve k

n

gggxxxL

,...,,,...,

21

21 cebirleri

izomorfik ise o halde nnm xxff 211 ,...,,,..., ve nnk xxgg 211 ,...,,..., idealleri

nxxL 21 ,..., ’nin bir otomorfizmi altında denktir.

Teorem 4.1.2: K bir cisim, zyxLL ,,L serbest üreteçlerin zyx ,, kümesi ile K

üzerinde bir serbest Lie cebiri olsun.

zyyxxu ,,,x , yxzyxv ,,,x olarak alalım. L nin u ve v idealleri

sırasıyla u ve v elemanları tarafından üretilmiş olsun. O zaman

vL

uL olduğu halde vu v olacak şekilde bir otomorfizm yoktur.

İspat:

31 tietze dönüşümlerini kullanırsak

zyyxxzyxL

uL

,,,,,


33

zyyxxyxt

tzyxL,,,,,

,,,

nxxftg ,...,, 1f biçiminde ve nm xxLff ,...,,... 11 L iken

m

n

m

n

ffxxL

gfftxxL

,...,,...

,,...,,...

1

1

1

1 olup yxtg ,xt ,

mffzyyxx ,...,,,, 1 olduğunu düşünelim.

zytxyxt

tzyxLu

L,,,,

,,,

wRR

tyzyyxxyxtR

zyyxtw

,,,,,,

,,,

yzytt

tzyLu

L,,,

,,

1 tietze w yerine yxt ,x yazıldı.

v

Lyxzyx

zyxLu

L,,,

,,

xt x yazıldı

d , 4,1 41 vdudzdydxdL serbest Lie cebirlerinde standart

fonksiyon derecesi olsun. f~

ile L’ nin bir f elemanının en yüksek dereceli terimini

gösterelim.

Eğer L, L, ’nin bir otomorfizmi ise u~

, L cebirinin ikinci türetilmiş alt

cebiri LLLLL ,,,2 ’ ye aittir

zyyxxu ,,,

zyyxx ,,,

2~ Lu LL~~

olduğunu gösterdik.


34

2,,,~

,,,

Lyxzyv

yxzyxv

L

x o halde 2Lu LL fakat 2~ Lv L olup vu v bulunur.

czbyax cba ,, olsun

cba ~,~

,~ lineer bağımsız ise bacbLu~

,~,~,~~

L~

adadxdud ddd ~

cba ~,~

,~ lineer bağımlı olsun. Eğer ba~

,~ lineer bağımsız ise

adbadbad dd~

,~, .

Eğer KK, iken bac~~~ b~

a~ ise bacc bac alalım.

adbacbbacb d~

,~,~,~

,,,

KK iken ba~~ b~

ise bdad d dir.

baa baa alalım. ba~

,~ , lineer bağımsız olduğundan önceki gibi

bacbu~

,~,~,~~

,~

ve adud d .

KK, iken bac~~~ b~

a~ ise bacc baacc olmak üzere

bacbu~

,~,~,~~~

dir ve bdadud dd~

dir.

, Lie cebirinin bir otomorfizmi olduğundan ca ca , elemanları sıfır değildir. Böylece

, L nin her otomorfizmi için 2~

Lu LL~

olduğu gösterildi.

zyyxxu ,,,

= zyyxx ,,,

= zyyxx ,,,

a

= cbbaa ,,,

Her iki durumda (lineer bağımlı ve lineer bağımsızlık durumlarında

adud d~

olduğundan vu v dir.


35

Önerme 4.2.1:K bir cisim olsun. KyxLL ,,L üzerinde yx, kümesi tarafından

üretilen serbest Lie cebiri olsun. yxyyxxu ,,,,x

yxyxxv ,,,x olsun.

u ve v , u ve v tarafından üretilen L nin idealleri olsun. O halde ,v

Lu

L

dir ve vu v olacak şekilde L nin bir otomorfizmi yoktur.

İspat: Tieze dönüşümlerini uygularsak

yxyyxxyxL

uL

,,,,,

yxtyxyyxx

tyxL,,,,,,

,,

ytytttytx

tyxL,,,,,,

,,

ytytt

tyL,,,

,

yxyxx

Lyxyxx

yxL,,,,,,

,

iki üreteçli lie cebirlerinin bütün otomorfizmlerinin lineer olduğu iyi bilinir.Bu

nedenle , L ’nin her otomorfizmi için vdudud dd 45 . Dolayısıyla

vu v olacak şekilde L ’nin bir otomorfizmi yoktur.

Sonuç 4.2.1:Bir bağıntılı izomorfik u

L ve v

L Lie cebirleri vardır öyle ki

izomorfizm , L ’nin herhangi bir otomorfizmi tarafından belirlenemez ya da buna

denk olarak 'L nin u idealini v ’ ye götüren bir otomorfizmi yoktur.

İspat : L , u ve v teorem 4.1.2 veya önerme 4.2.1 deki gibi olsun. (Shirshov ,1962)

sıfır olmayan a ve b elemanları ile üretilen bir serbest Lie cebirindeki a ve b

idealleri denk olursa o halde, Kab Ka . Bunu teorem 4.1.1 ile birleştirsek sonuç

sağlanır.

36

KAYNAKLAR

BRUNNER A.M., (1976). A group with an infinitive number of Nielsen inequivalent

one-relator presentations, J.Algebra 42, 81-84.

COHN P.M., (1964). Subalgebras of free associative algebras,Proc.London

Math.soc.,(893),14 ,618-632.

DRENSKY V. and YU J.T., (2003). Primitive elements of free metabelian algebras

of rank two, Internat. J. Algebra and Comput., vol. 13, No.1.

KUKİN G.P., (1970). Primitive Elements of Free Lie Algebras, Algebra; Logika,

Vol.9.No.4 , 458-472. English translation: Algebra and Logic 9 (1970), 275-

284.

LYNDON R. and SCHUPP P., (2001). Combinatorial Group Theory, Reprint of the

1977 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin.

MAGNUS W., (1963). Über diskontinuierliche Gruppen mit einer definierder

Relation, J.Reine Angew. Math. 163 , 141-165.

MAGNUS W., KARRASS A. and D.SOLİTAR D.,(1996). Combinatorial group

theory, Interscience, New-York.

MAL’TSEV A.I., (1960). On algebras with identical defining relations, Mat. Sb. , 26

,19-33.

McCOOL J. and A.PIETROWSKI A., (1971). On free products with amalgamation

of two infinite cyclic groups.J.Algebra243,198-223.

MIKHALEV A.A., SHPİLRAİN V., UMIRBAEV U.U.,(2004). On Isomorphism of

Lie Algebras with One Defining Relation. IJAC 14(3): 389-393.

REUTENAUER C.,(1993). Free Lie algebras ,Clarendan press,Oxford

SHIRSHOV A.I., (1953). Subalgebras of free Lie algebras,Math.Sb.,33 ,441-452.

SHIRSHOV A.I., (1954). Subalgebras of free commutative and free anti-

commutative algebras, Mat.Sb. , 34 , No.1, 81-88.

SHIRSHOV A.I., (1959). On free Lie rings, Math. Sb. , 45 , 113-122.

SHIRSHOV A.I., (1962). Some algorithmic problems for algebras, Sibisk. Mat.

Zh. 3 ,No.1, 132-137.

SHIRSHOV A.I., (1962). Some algoritmic problems for Lie algebras, Sibirsk.

Matem. Zh. , 3, 292-296.

37

SHPİLRAİN V. and YU J.T., (2003). Factor algebras of free algebras: on a

problem of G.Bergman. Bulletin of the London Math. Soc., Cambridge

universty press 35:706-710.

WHİTEHEAD J.H.C., (1936). On certain sets of elements in free

group,Proc.London. Math. Soc. , 41 , 48-56.

38

ÖZGEÇMİŞ

1979 yılında Malatya’da doğdum. İlk,orta ve lise öğrenimimi Malatya’da

tamamladım. 1997-2001 yıllarında İnönü Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik

Bölümü’nde lisans eğitimimi tamamladım. 2003 yılında bölümde yüksek lisansa

başladım. Maltepe Merkez Anadolu Lisesi’nde matematik öğretmeni olarak görev

yapmaktayım.

Documents

ÇUKUROVAÜNİVERSİTESİ FENBİLİMLERİENSTİTÜSÜ YÜKSEKLİSANSTEZİ · 2019. 5. 10. · a bc cbc bc cbc a b ca aca ca aca b c ab bab ab bab c a bc a cb bc a cb a b ca b ac ca