ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ …danışman hocam sayın Doç. Dr. H. Murat ARSLAN’a teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca bana destek olan değerli hocalarım sayın

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ Ali DOĞAN

TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN VE SİLİNDİRİK SIĞ KABUKLARIN SERBEST TİTREŞİM ANALİZİ

İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ADANA, 2009

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN VE SİLİNDİRİK SIĞ KABUKLARIN

SERBEST TİTREŞİM ANALİZİ

Ali DOĞAN

DOKTORA TEZİ

İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

Bu tez / / 2009 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu İle Kabul Edilmiştir. İmza:..................................... İmza:.................................... İmza:....................................

Doç. Dr. H. Murat ARSLAN Prof. Dr. Orhan AKSOĞAN Doç. Dr. Hüseyin R.YERLİ

DANIŞMAN ÜYE ÜYE

İmza:.................................... İmza:....................................

Doç. Dr. S. Seren GÜVEN Yrd. Doç. Dr. Murat BİKÇE

ÜYE ÜYE

Bu tez Enstitümüz İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalında hazırlanmıştır.

Kod No: Prof. Dr. Aziz ERTUNÇ Enstitü Müdürü İmza ve Mühür

Bu Çalışma Çukurova Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi Tarafından Desteklenmiştir. Proje No:MMF.2007.D3

Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

Sevgili annem Aynur DOĞAN ve babam merhum Ahmet DOĞAN’ a…

I

ÖZ

DOKTORA TEZİ

TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN VE SİLİNDİRİK SIĞ KABUKLARIN

SERBEST TİTREŞİM ANALİZİ

Ali DOĞAN

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

Danışman : Doç.Dr. H. Murat ARSLAN

Yıl : 2009, Sayfa : 240

Jüri : Doç.Dr. H. Murat ARSLAN

Prof. Dr. Orhan AKSOĞAN

Doç. Dr. Hüseyin R. YERLİ

Doç. Dr. S. Seren GÜVEN

Yrd.Doç. Dr. Murat BİKÇE

Bu çalışmada, tabakalı kompozit plakların ve silindirik sığ kabukların farklı anizotropi ve eğrilik durumlarında serbest titreşim karakteristikleri incelenmiştir. Ele alınan kabukların farklı tabaka kalınlıklarına, eğrilik oranlarına ve elastisite modülü oranlarına sahip olduğu kabul edilmiştir. Analizde, ilk olarak şekil değiştirme ve deformasyonların kinematik ilişkileri gösterilmiştir. Daha sonra Hamilton prensibi kullanılarak genel eğrilikli kabuklar için diferansiyel denklemler elde edilmiştir. Sonraki adımda, tabakalı kompozit çapraz-katlı kabuklar için gerilme-şekil değiştirme ifadeleri verilmiştir. Bazı kabuller ve basitleştirmeler yapılarak ve Fourier serileri yardımıyla sığ kabuk denklemleri matris formunda yazılmış ve çözümleri yapılmıştır. MATHEMATICA bilgisayar programı yardımıyla, çözüm için bilgisayar programları hazırlanmıştır. Elde edilen sonuçlar, tablolar ve grafikler halinde verilmiştir. Çözülen örnekler ayrıca sonlu elemanlar yöntemiyle (FEM), çözüm yapan paket programlar (ANSYS ve SAP2000) kullanılarak tekrar çözülmüş ve diğer çözümlerle karşılaştırmalar yapılmıştır. Anahtar kelimeler: Anizotropi, Serbest Titreşim, Tabakalı Kompozitler, Plaklar,

Sığ Kabuklar.

II

ABSTRACT

Ph.D. THESIS

FREE VIBRATION ANALYSIS OF LAMINATED COMPOSITES

PLATES AND CYLINDRICAL SHALLOW SHELLS

Ali DOĞAN

DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING

INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES

UNIVERSITY OF ÇUKUROVA

Supervisor : Assoc. Prof.Dr. H. Murat ARSLAN

Year : 2009, Page : 240

Jury : Assoc. Prof.Dr. H. Murat ARSLAN

Prof. Dr. Orhan AKSOĞAN

Assoc. Prof.Dr. Hüseyin R. YERLİ

Assoc. Prof. Dr. S. Seren GÜVEN

Assist. Prof. Dr. Murat BİKÇE

In this work, free vibration characteristics of cross-ply laminated composite plates and cylindrical shallow shells have been studied with varying anisotropy and curvature properties. Shallow shells have been assumed to have varying thickness, curvature and elasticity modulus ratios. In the analysis, first, kinematic relations of strains and deformations have been obtained. Then, using Hamilton’s principle, the governing differential equations have been obtained for a general curved shell. In the next step, stress-strain relation for laminated, cross-ply composite shells has been given. By means of some assumptions and simplifications employing Fourier series as a displacement field, differential equations for shallows shells have been written and solved in matrix form. Employing the computer algebra system called MATHEMATICA, a computer program has been prepared for the solution. The results obtained by this solution have been given in the form of tables and graphs. The example problems have been solved also by (ANSYS and SAP2000) programs, which are based on the finite element method (FEM), and compared with the previous ones. Keywords: Anisotropy, Free Vibration, Laminated Composites, Plates, Shallow

Shells.

III

TEŞEKKÜR

Çalışmalarımda beni yönlendiren ve yardımlarıyla bana destek olan değerli

danışman hocam sayın Doç. Dr. H. Murat ARSLAN’a teşekkürlerimi sunarım.

Ayrıca bana destek olan değerli hocalarım sayın Doç. Dr. S. Seren GÜVEN

ile sayın Doç. Dr. Hüseyin R. YERLİ’ye ve tüm araştırma görevlisi arkadaşlarıma

teşekkür ederim.

Çalışmalarımda beni destekleyen çok değerli annem ve kardeşlerime sonsuz

teşekkürlerimi sunarım.

IV

İÇİNDEKİLER SAYFA

ÖZ ................................................................................................................................. I

ABSTRACT.................................................................................................................II

TEŞEKKÜR............................................................................................................... III

İÇİNDEKİLER .......................................................................................................... IV

ÇİZELGELER DİZİNİ .............................................................................................VII

ŞEKİLLER DİZİNİ...................................................................................................XX

SEMBOLLER DİZİNİ...........................................................................................XXX

1. GİRİŞ ....................................................................................................................... 1

2. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR........................................................................................ 4

3. MATERYAL VE METOD...................................................................................... 7

4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ ............................................... 10

4.1. Giriş ................................................................................................................ 10

4.2. Tanımlamaların İncelenmesi .......................................................................... 15

4.2.1. Gerilme................................................................................................. 15

4.2.2. Şekil Değiştirme................................................................................... 18

4.2.3. Genel Hooke Kanunları ....................................................................... 23

4.2.4. Malzeme Modülleri .............................................................................. 24

4.2.5. Şekil Değiştirme Enerjisi ..................................................................... 26

4.3. Farklı Tip Malzemeler İçin Hooke Kanunları ............................................... 26

4.3.1. Anizotropik Malzeme........................................................................... 29

4.3.2. Monoklinik Malzeme ........................................................................... 29

4.3.3. Ortotropik Malzeme ............................................................................. 30

4.3.4. Transversely (Enine) İzotropik Malzeme............................................. 31

4.3.5. İzotropik Malzeme ............................................................................... 32

4.4. Ortotropik Malzemelerde Gerilme ve Deformasyonların

Esneklik Matrisi İle Olan İlişkisi .................................................................. 32

4.5. Gerilme-Şekil Değiştirme İlişkisi................................................................... 39

4.6. Denge ve Hareket Denklemleri ...................................................................... 46

4.7. Enerji ve Varyasyon Prensibi ......................................................................... 47

V

4.7.1. Kinetik, Potansiyel ve Şekil Değiştirme Enerjisi................................. 47

4.7.2. Hamilton Prensibi ................................................................................ 49

5. KABUKLARIN ANALİZİ .................................................................................... 52

5.1. Giriş ................................................................................................................ 52

5.2. Deplasman Birim Deformasyon İlişkileri ...................................................... 53

5.3. Kinematik İlişkiler.......................................................................................... 61

5.4. Kalın Kabuk Teorisi ....................................................................................... 64

5.4.1. Kalın Kabuklarda Kinematik İlişkiler .................................................. 64

5.4.2. Kalın Kabuklarda Gerilme Sonuçları ................................................... 66

5.4.3. Kalın Kabuklarda Enerji Denklemleri.................................................. 74

5.4.4. Kalın Kabuklarda Hareket Denklemleri............................................... 76

5.5. İnce Kabuk Teorisi ......................................................................................... 81

5.5.1. İnce Kabuklarda Kinematik İlişkiler .................................................... 81

5.5.2. İnce Kabuklarda Gerilme Sonuçları ..................................................... 82

5.5.3. İnce Kabuklarda Enerji Denklemleri.................................................... 85

5.5.4. İnce Kabuklarda Hareket Denklemleri................................................. 86

5.6. Sığ Kabukların Analizi................................................................................... 87

5.6.1. İnce Sığ Kabukların Temel Denklemleri ............................................. 87

5.6.1.1. İnce Sığ Kabuklarda Kinematik İlişkiler ................................. 88

5.6.1.2. İnce Sığ Kabuklarda Gerilme İfadeleri .................................... 88

5.6.1.3. İnce Sığ Kabuklarda Hareket Denklemleri .............................. 88

5.6.2. Kalın Sığ Kabukların Temel Denklemleri ........................................... 92

5.6.2.1. Kalın Sığ Kabuklarda Kinematik İlişkiler ............................... 92

5.6.2.2. Kalın Sığ Kabuklarda Gerilme İfadeleri .................................. 93

5.6.2.3. Kalın Sığ Kabuklarda Hareket Denklemleri ............................ 94

5.7. Sığ Kabuklar İçin Serbest Titreşim Analizi ................................................... 98

5.7.1. İnce Sığ Kabuklar İçin Serbest Titreşim Analizi ................................. 98

5.7.2. Kalın Sığ Kabuklar İçin Serbest Titreşim Analizi ............................. 100

6. SAYISAL UYGULAMALAR ............................................................................ 103

6.1. Giriş .............................................................................................................. 103

6.2. Plaklarla İlgili Uygulamalar ......................................................................... 104

VI

6.3. Kabuklarla İlgili Uygulamalar...................................................................... 128

6.4. Mod Şekil Değiştirme Analizi...................................................................... 209

7. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ............................................................................. 231

KAYNAKLAR ........................................................................................................ 235

ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................................. 240

VII

ÇİZELGELER DİZİNİ SAYFA

Çizelge 6.1. [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki

tabakalı kompozit plakların farklı E1/E2 oranlarına göre boyutsuz

serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 22a E hω ρΩ = ) değişimi

( 1a b = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) .. 105




( 2a b = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ). 107




( 4a b = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) . 109


tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim

frekansı parametrelerinin ( 2 22a E hω ρΩ = ) değişimi

( 1a b = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) .. 111




( 2a b = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ). 113




( 4a b = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) . 115

VIII

Çizelge 6.7. [0º/90º/90º/0º] ve [0º/90º/0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimlerine sahip farklı

kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest

titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 22a E hω ρΩ = ) değişimi

( 1a b = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) .. 120




( 2a b = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ). 122




( 4a b = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ). 124

Çizelge 6.10. CLSST, ANSYS and SAP2000 kullanılarak elde edilmiş serbest

titreşim frekans parametreleri (Hertz)................................................. 129

Çizelge 6.11. Simetrik cross-ply [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı

kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı

elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı

parametrelerine ( 2 22a E hω ρΩ = ) olan etkisinin kayma deformasyon

sığ kabuk teorisi (SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST),

ANSYS ve SAP2000 ile gösterimi ( 1a b = , 1 2 1E E = ,

12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 134







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 135

IX






ANSYS ve SAP2000 ile gösterimi. ( 1a b = , 1 2 15E E = ,

12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 136







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 137







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )................. 138







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )................. 139

X

Çizelge 6.17 Simetrik cross-ply [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 140







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 141







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 142







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 143

XI







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 144







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 145







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 146







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 147

XII







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 148

Çizelge 6.26. Simetrik cross-ply [0º/90º/0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 173

Çizelge 6.27. Simetrik cross-ply [0º/90º0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 174







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 175

XIII







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 176







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 177







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 178







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 179

XIV







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 180







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 181







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 182







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 183

XV







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 184







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 185







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 186







12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ................ 187

XVI


kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı

mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim

frekans parametrelerinin ( 2 22a E hω ρΩ = ) kayma deformasyon

sığ kabuk teorisi (SDSST) ANSYS ve SAP2000 ile gösterimi

( 1a b = , 100a h = , 1 2 15E E = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = =

12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ..................................................................... 211






( 1a b = , 50a h = , 1 2 15E E = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = =

12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ..................................................................... 212






( 1a b = , 20a h = , 1 2 15E E = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = =

12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ..................................................................... 213






( 1a b = , 10a h = , 1 2 15E E = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = =

12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ..................................................................... 214

XVII






( 1a b = , 5a h = , 1 2 15E E = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = =

12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ..................................................................... 215






( 2a b = , 100a h = , 1 2 15E E = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = =

12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ..................................................................... 217






( 2a b = , 50a h = , 1 2 15E E = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = =

12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ..................................................................... 218






( 2a b = , 20a h = , 1 2 15E E = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = =

12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ..................................................................... 219

XVIII






( 2a b = , 10a h = , 1 2 15E E = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = =

12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ..................................................................... 220






( 2a b = , 5a h = , 1 2 15E E = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = =

12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ..................................................................... 221






( 4a b = , 100a h = , 1 2 15E E = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = =

12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ..................................................................... 223






( 4a b = , 50a h = , 1 2 15E E = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = =

12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ..................................................................... 224

XIX






( 4a b = , 20a h = , 1 2 15E E = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = =

12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ..................................................................... 225






( 4a b = , 10a h = , 1 2 15E E = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = =

12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ..................................................................... 226






( 4a b = , 5a h = , 1 2 15E E = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = =

12 0.25υ = ve 2 5 6K = ) ..................................................................... 227

XX

ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA

Şekil 4.1. Tabakalı kompozit elemanda fiber ve matris malzemelerin görünümü..... 10

Şekil 4.2. Normal doğrultuda yüklenmiş izotropik plağın deformasyonu ................. 11

Şekil 4.3. Normal doğrultuda yüklenmiş sıfır derece açılı fiberlere

sahip tek doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu................................... 13

Şekil 4.4. Normal doğrultuda yüklenmiş açılı fiberlere sahip tek

doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu.................................................. 14

Şekil 4.5. Rasgele bir düzlemde çok küçük bir alandaki gerilmeler.......................... 16

Şekil 4.6. y-z düzleminde çok küçük bir alandaki kuvvetler ..................................... 17

Şekil 4.7. Sonsuz küçük kübik elemandaki gerilmeler .............................................. 18

Şekil 4.8. Çok küçük bir alanda x-y düzleminde normal ve

kayma şekil değiştirmeleri......................................................................... 19

Şekil 4.9. Üç boyutlu bir elemanda kartezyen koordinat sistemi............................... 25

Şekil 4.10. Temel malzeme koordinat sistemi ........................................................... 33

Şekil 4.11. Fiberlerle güçlendirilmiş küçük bir elemandaki gerilmeler..................... 33

Şekil 4.12. σ1 gerilmesi altındaki bir elemanın deformasyonu .................................. 35

Şekil 4.13. τ12 kayma gerilmesi etkisindeki bir elemanın deformasyonu .................. 36

Şekil 4.14. Açılı tabakalarda global ve lokal akslar................................................... 41

Şekil 4.15. dx dy dz boyutundaki sonsuz küçük kübik eleman

için kartezyen koordinatlarda gerilme notasyonları. ................................ 46

Şekil 5.1. Tabakalı kompozit kabuklarda fiber ve matris malzemelerin görünümü .. 52

Şekil 5.2. Kabuğun orta düzlemindeki koordinatları ................................................. 53

Şekil 5.3. Tabakalı bir elemandaki katmanların koordinat yerleşimi ........................ 67

Şekil 5.4. Kabuk eleman üzerindeki kuvvetlerin gösterimi ....................................... 70

Şekil 5.5. Kabuk eleman üzerindeki momentlerin gösterimi..................................... 70

Şekil 5.6. Kirchoff hipotezine göre plağın eğilmesi .................................................. 82

Şekil 6.1. Farklı a/b oranlarındaki plak eleman ....................................................... 104

Şekil 6.2. [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip tabakalı kompozit plakların

farklı E1/E2 oranlarına göre boyutsuz serbest titreşim frekansı

parametrelerinin ( 2 22a E hω ρΩ = ) değişimi (a/b=1) ............................... 106

XXI







Şekil 6.5. [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki


frekansı parametrelerinin ( 2 22a E hω ρΩ = ) değişimi (a/b=1) ................. 112



frekansı parametrelerinin ( 2 22a E hω ρΩ = ) değişimi (a/b=2) ................. 114



frekansı parametrelerinin ( 2 22a E hω ρΩ = )değişimi(a/b=4) ................... 116

Şekil 6.8. [0º/90º/90º/0º] ve [0º/90º/0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimlerine sahip farklı


titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 22a E hω ρΩ = ) değişimi (a/b=1) .... 121

Şekil 6.9. [0º/90º/90º/0º] ve [0º/90º/0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimlerine sahip farklı


titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 22a E hω ρΩ = ) değişimi (a/b=2) .... 123

Şekil 6.10.[0º/90º/90º/0º] ve [0º/90º/0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimlerine sahip farklı


titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 22a E hω ρΩ = ) değişimi (a/b=4) ... 125

Şekil 6.11. ANSYS ve SAP2000 ile modellenen silindirik kabuk .......................... 128

Şekil 6.12. CLSST, ANSYS ve Sap2000 kullanılarak sonuçların

karşılaştırılması...................................................................................... 130

Şekil 6.13. İlk üç doğrusal mod (m=1, 2, 3) için frekans parametrelerinin

topluca gösterimi ................................................................................... 131

XXII

Şekil 6.14. Silindirik sığ kabuk................................................................................ 132

Şekil 6.15. [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı eğrilik oranlarındaki

tabakalı silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim

frekansı parametrelerinin ( 2 22a E hω ρΩ = ) değişimi (a/b=1) ............... 149







Şekil 6.18. Simetrik cross-ply [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı

kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik

oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine

( 2 22a E hω ρΩ = ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi

(SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST) ve sonlu elemanlar

yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ile gösterimi (a/b=1, a/h=100,50)....... 152






yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ile gösterimi.(a/b=1, a/h=20,10)......... 153






yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ile gösterimi.(a/b=1, a/h=5)................ 154

XXIII






yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ile gösterimi.(a/b=2, a/h=100, 50)...... 155


















yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ile gösterimi.(a/b=4, a/h=100,50)....... 158







XXIV







Şekil 6.27. [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların

boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( 2 22a E hω ρΩ = )

değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk

teorisi (SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST) ve sonlu

elemanlar yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ile karşılaştırılması

(E1/E2=1, a/h=100, 50) ........................................................................... 163






(E1/E2=1, a/h=20, 10) ............................................................................. 164






(E1/E2=1, a/h=5). .................................................................................... 165






(E1/E2=15, a/h=100, 50). ........................................................................ 166

XXV






(E1/E2=15, a/h=20, 10). .......................................................................... 167






(E1/E2=15, a/h=5). .................................................................................. 168






(E1/E2=50, a/h=100, 50). ........................................................................ 169






(E1/E2=50, a/h=20, 10). .......................................................................... 170






(E1/E2=50, a/h=5). .................................................................................. 171

XXVI

Şekil 6.36. [0º/90º/0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı eğrilik

oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest

titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 22a E hω ρΩ = ) değişimi (a/b=1) .. 188







Şekil 6.39. Simetrik cross-ply [0º/90º/0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı











yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ile gösterimi.(a/b=1, a/h=20, 10)........ 192







XXVII

















(SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST), ve sonlu elemanlar














XXVIII










teorisi (SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST), ANSYS ve

SAP2000 ile karşılaştırılması (E1/E2=15, a/h=100, 50) ......................... 202





SAP2000 ile karşılaştırılması (E1/E2=15, a/h=20, 10) ........................... 203

Şekil 6.26 [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların




SAP2000 ile karşılaştırılması (E1/E2=15, a/h=5) ................................... 204





SAP2000 ile karşılaştırılması (E1/E2=50, a/h=100, 50) ......................... 205

XXIX

Şekil 6.51. [0º/90º/0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların




SAP2000 ile karşılaştırılması (E1/E2=50, a/h=20, 10) ........................... 206

Şekil 6.52. [0º/90º/0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların




SAP2000 ile karşılaştırılması (E1/E2=50, a/h=5) ................................... 207


tabakalı silindirik sığ kabukların ilk altı mod için boyutsuz serbest








XXX

SİMGELER VE KISALTMALAR

δ1 : 1 doğrultusundaki normal deformasyon miktarı

δ2 : 2 doğrultusundaki normal deformasyon miktarı

σx : x doğrultusundaki normal gerilme

σy : y doğrultusundaki normal gerilme

σz : z doğrultusundaki normal gerilme

τyx, τyz, τzx : Eleman yüzeylerindeki kayma gerilmeleri

εx : x doğrultusundaki normal şekil değiştirme

εy : y doğrultusundaki normal şekil değiştirme

εz : z doğrultusundaki normal şekil değiştirme

u : x doğrultusundaki deplasman

v : y doğrultusundaki deplasman

z : z doğrultusundaki deplasman

γxy, γyz, γzx : Kayma şekil değiştirmeleri

E : Elastisite modülü

ν : Poisson oranı

G : Kayma modülü

U : Her birim hacimde depolanan şekil değiştirme enerjisi

[C] : Rijitlik (stiffness) matris

Cij : Rijitlik (stiffness) matrisinin elemanları

[S] : Esneklik (compliance) matrisi

Sij : Esneklik (compliance) matrisinin elemanları

Qij : İndirgenmiş rijitlik katsayıları

[T] : Transformasyon matrisi

[R] : Reuter matris

[ ]ijQ : Transformasyona uğramış elemanın indirgenmiş rijitlik matrisi

[ ]ijS : Transformasyona uğramış elemanın indirgenmiş rijitlik matrisi

uc : C noktasının x doğrultusunda yaptığı deplasman

uo : Orta düzlemin x doğrultusunda yaptığı deplasman

XXXI

vo : Orta düzlemin, y doğrultusunda yaptığı deplasman

wo : Orta düzlemin, z doğrultusunda yaptığı deplasman

zc : Orta düzlemin C noktasına olan uzaklığı

β : x doğrultusunda orta düzlemdeki tabaka eğimi

εxo : Orta düzlemde x doğrultusundaki normal şekil değiştirme

εyo : Orta düzlemde y doğrultusundaki normal şekil değiştirme

γxyo : Orta düzlemdeki x-y kayma şekil değiştirmesi

κx, κy, κxy : Orta düzlemdeki eğrilikler

a, b : Plak elemanın x ve y doğrultusundaki boyutları

t : Herbir tabakanın kalınlığı

h : Tabakalı plağın toplam kalınlığı

t : Herbir tabakanın kalınlığı

h0 : Birinci tabakanın üst yüzeyi

h1 : Birinci tabakanın alt yüzeyi

hn-1 : n. tabakanın üst yüzeyi

hn : n. tabakanın alt yüzeyi

hk-1 : k. tabakanın üst yüzeyi

hk : k. tabakanın alt yüzeyi

Nx, Ny : Birim uzunluktaki normal kuvvetler

Nxy : Birim uzunluktaki kesme kuvveti

Mx, My : Birim uzunluktaki eğilme momentleri

Mxy : Birim uzunluktaki burkulma momentleri

[Aij] : Uzama rijitlik matrisi

[Bij] : Eğilme uzama arasındaki bağlanma rijitlik matrisi

[Dij] : Eğilme rijitlik matrisi

xF , yF , zF : Birim hacimdeki ortalama kütlesel kuvvetler

P0 : Birim yük

Amn : x doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı

Bmn : y doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı

Cmn : z doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı

XXXII

ds : Kabuk yüzeyinde iki nokta arasındaki yay yüzeyinin uzunluğu

χ : α ile β arasındaki açı

τr

: eğriye teğet birim vektör

φ : Eğriye normal temel birim vektör Nr

ve yüzeye normal nir

vektörü

arasındaki açı

Rα : Kabuk elemanın α eksenindeki eğrilik yarıçapı

Rβ : Kabuk elemanın β eksenindeki eğrilik yarıçapı

Uur

: Kabuk üzerindeki bir noktanın deplasman vektörü

εα : α doğrultusundaki normal şekil değiştirme

εβ : β doğrultusundaki normal şekil değiştirme

γαβ, γβz, γzα : Kayma şekil değiştirmeleri

ε0α : Orta düzlemde α doğrultusundaki normal şekil değiştirme

ε0β : Orta düzlemde β doğrultusundaki normal şekil değiştirme

γ0αβ, γ0βz, γ0zα : Orta düzlemdeki kayma şekil değiştirmeleri

κα, κβ, καy : α ve β eksenlerindeki eğrilikler

Nα, Nβ : α ve β eksenlerinde birim uzunluktaki normal kuvvetler

Nαβ : α-β düzlemindeki birim uzunluktaki kesme kuvveti

Mα, Mβ : α ve β eksenlerinde birim uzunluktaki eğilme momentleri

Mαβ ve Mβα : α-β düzlemindeki birim uzunluktaki burkulma momentleri

Pα ve Pβ : Yüksek dereceden kayma terimleri

Ki ve Kj : Kayma düzeltme sabitleri

U : Şekil değiştirme enerjisi

W : Dış kuvvetlerin yaptığı iş.

T : Kinetik enerji ifadesi.

( )kρ : k nıncı tabakadaki birim alanın yoğunluğu

[ ]1 2 3 4 5I , I , I , I , I : Atalet terimleri

,α βψ ψ : Dönme ifadeleri

ω : Serbest titreşim frekansı (doğal frekans).

mn mn mn mn mnU ,V , W , ,α βψ ψ : Deplasman fonksiyonları için rastgele sabitler

1. GİRİŞ Ali DOĞAN

1

1. GİRİŞ

Tabakalı kompozit plak ve kabukların mühendislikteki kullanım alanlarının

son otuz yılda hızlı bir biçimde artması ile kompozit plak ve kabukların statik ve

dinamik davranışını anlamak için birçok araştırmacı bu konu ile ilgilenmiş ve çeşitli

araştırmalar yapmışlardır.

Yapı malzemesi olarak kompozitler düşük ağırlık, yüksek dayanım ve rijitliğe

sahip olmalarından dolayı birçok mühendislik yapılarında kullanılmaktadırlar.

Kompozit malzemeler birçok avantajlara sahiptir. Sahip olduğu avantajlar sebebiyle

kompozit malzemelerin kullanım alanları günden güne artmaktadır. Bu durum

kompozit malzemelerin üretiminde ve geliştirilmesinde yeni yöntemler ve

uygulamalara sebep olmaktadır. Bütün bu çalışmaların bir sonucu olarak, dünyada

artık hemen hemen her sektörde kompozit teknolojisi kullanılmaktadır. Bunlardan

bazıları betonarme çatılar, roketler, gemi imalatı, otomobil parçaları imalatı, yakıt

tankları, silo imalatı, borular, uzay araçlarının yapımı olarak gösterilebilir.

Kabuklar, belirli bir eğriliğe sahip ince cidarlı yapılar olarak tanımlanabilir.

Bu yapılar, tabakalı kompozit kabuklar olarak tek tabakalı veya çok tabakalı,

malzeme olarak izotrop veya anizotrop olarak imal edilebilir. Plaklar ise kabuk

elemanların özel bir halidir. Plaklarda eğrilik yarıçapları sonsuza gider.

Plaklar ve kabuklar, kalınlıkları diğer iki boyutuna oranla, çok küçük olan

taşıyıcı elemanlardır. Düşey ve yatay yükleri aktararak taşıyıcı sistem elemanları

arasındaki sürekliliği sağlamalarından dolayı, önemli bir taşıyıcı sistem elemanı

olarak görülmektedirler. İkametgah tipi yapılar genellikle, dikdörtgen veya düzgün

geometriye sahip olmaları ve çoğunlukla düzgün yayılı yük etkisi altında

kalmalarından dolayı, bu tip yapılarda plakların ve kabukların analizi daha da

kolaylaşmaktadır. Belirtilen özelliklere sahip plak ve kabuk problemlerinin çözümü

için yeterli olabilecek birçok yöntem geliştirilmiştir.

Kalınlığının açıklığına oranı yaklaşık olarak 1/20’den küçük olan plak ve

kabuklara ince plaklar ve kabuklar denilmektedir. İnce plakların ve kabukların

analizi, Kirchoff hipotezinde belirtildiği gibi, kalınlık boyunca kayma

deformasyonları ihmal edilerek yapılabilmektedir. Kalınlığının fazla olduğu


2

durumlarda, Reissner-Mindlin hipotezi veya yüksek dereceden kayma

deformasyonları dağılımı teorileri yardımıyla çözüm yapılabilmektedir. Bunlara ek

olarak, literatürde kayma deformasyonlarını dikkate alan çok sayıda teori de

bulunmaktadır.

Bazı özel durumlarda plak ve kabuk özelliklerinin iyileştirilmesi istenir. Bu

iyileştirmeler ile istenilen özelliklere sahip elemanların elde edilmesi sağlanır.

Örneğin tabakalı kompozit plaklarda ve kabuklarda olduğu gibi zayıf ve güçlü

malzemelerin belirli ölçülerde biraraya getirilmesi ile veya tabaka açılarının değişimi

ile bu iyileştirmeler sağlanabilir.

Tabakalı kompozit plak ve kabuklar çok çeşitli tabaka dizilimlerine sahip

olabilmektedirler ve bu tabaka dizilimlerine bağlı olarak farklı tabaka rijitlikleri

gösterirler. Bu tabaka rijitliklerinin iyi anlaşılması ile, istenilen amaca en uygun

tabakalanma çeşidine ulaşmak mümkün olur.

Plak ve kabukların analizinde analitik karmaşıklıklardan dolayı bazı

sınırlandırmalar ve varsayımlar yapılarak yaklaşık yöntemler uygulanabilmektedir.

Tabakalandırılmış plak ve kabuk teorisinin temellendirildiği bazı sınırlamalar ve

varsayımlar da bulunmaktadır. Sınırlamalar, dayandığı teorinin kullanımı üzerindeki

sınırlamalardır ki bunlar giderilebilir veya giderilemez. Örneğin kare plaklar için

kullanılan bir teori dairesel plaklara uymaz. Varsayımlar ise, belirsizlik türündeki

teoriler üzerindeki sınırlamalardır. Örneğin, bir plağın yüzeyine dik olan gerilmelerin

genel olarak sıfır olarak kabul edilebilmesi için boyutunun yeterince küçük olduğu

varsayılır veya değerinin sıfır olduğu farzedilir. Yinede daha doğru bir teoriye

başvurmadıkça, kesin olarak gerilmelerin ne kadar küçük olduğu bilinemez. Özetle

sınırlamalar ve varsayımlar arasındaki fark şudur ki, sınırlamalar bilineni varsayımlar

bilinmeyenleri içerirler (Jones,1975).

Plak ve kabuk elemanlar her zaman geometri ve yükleme açısından elverişli

özelliklere sahip olmayabilirler. Bu tip özelliklere sahip elemanların analizi için

yaklaşık yöntemler de yeterli olmayabilir. Bundan dolayı, geniş işlem hacmine sahip

olan ancak bilgisayar desteğiyle bu sorunu aşan Sonlu Farklar, Sınır Eleman ve

Sonlu Elemanlar Yöntemi gibi bazı sayısal çözüm yöntemleri kullanılmaktadır. Bu

yöntemlerden Sonlu Elemanlar Yöntemi, sistematik olması, her türlü yapıya


3

kolaylıkla uygulanabilmesi ve programlamaya elverişli olmasından dolayı yaygın

olarak kullanılmaktadır. Sonlu elemanlar yönteminde, analizi yapılan elemanın

geometrisine ve istenilen hassasiyete göre sonlu eleman ağı uygulanmaktadır. Ancak

problemin doğru modellenmesi, modellenen problem için uygun ağ yapısının

oluşturulması, problem çözme sürecinin zaman alıcı olması ve yoğun dikkat

gerektirmesi bu yöntemin dezavantajlarıdır.

2. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ali DOĞAN

4

2. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR

Kabuk elemanların davranışını anlamaya yönelik birçok çalışma yapılmış ve

bu çalışmalar ışığında çeşitli kabuk teorileri geliştirilmiştir. Bu teoriler, kayma

deformasyon etkisi dikkate alınarak geliştirilen kalın kabuk teorileri (SDST) ve

klasik kabuk teorisi olarak da anılan ince kabuk teorileri (CLST) biçiminde iki ana

başlık altında incelenebilir.

Serbest titreşim analizi ile ilgili yapılan çalışmaların öncülerinden birisi olan

Galilei ipe bağlı sarkaçlar ve plakların serbest titreşim davranışı üzerine deneysel

çalışmalar yapmıştır.

Kabuk teorileri ile ilgili ilk düzenli çalışmaları Germaine (1821) ve daha

sonra Love (1888) yapmıştır. Germaine (1821), yaptığı çalışmalar ile ilk kez lineer

izotropik kabuk teorisini geliştirmiştir. Love (1888) yaptığı çalışmalarda çeşitli

kabullerde bulunmuş ve kabukların eğilme analizi için kendisinin birinci kabulünü

kullanmıştır. Bu kabulle ince kabuklar için bir lineer analiz yöntemi tanımlamıştır.

Yaptığı kabulleri, şekil değiştirmelerin ve deplasmanların çok küçük olduğu ve

yüksek dereceden terimlerin ihmal edilebilir olduğu prensibine dayandırmıştır.

Ayrıca Love kabukların kalınlıklarının diğer kabuk parametreleri ile

karşılaştırıldığında çok küçük olduğu ve kayma gerilmelerinin de diğer gerilmeler

yanında çok küçük olduğunu kabul etmiştir. Bu kabuller ışığında, deformasyondan

önce yüzeye normal doğrultuda olan kesitler deformasyondan sonrada yüzeye normal

doğrultuda kalırlar. Böylece diğer kabuk teorileri de Love’un kabullerine benzer

yaklaşımları temel alarak geliştirilmiştir. İnce kabuk teorisi Kirchoff–Love hipotezi

temel alınarak geliştirilmiş ve bu teori diğer teorilerin gelişimine ışık tutmuştur.

Yapılan kabuller ve teoriler sonucunda elde edilen verilere dikkate

alındığında araştırmacılar, gerek kirişler gerekse plak ve kabuklar için hem dönme

atalet etkisini hem de kayma deformasyon etkisini dikkate almaları gerektiğini fark

etmişlerdir.

Araştırmacıların, plak, kabuk ve kirişlerde dönme atalet ve kayma

deformasyon etkilerinin dikkate alınmasının zorunlu olduğunu anlamaları ile bu

konuda çeşitli çalışmalar yapılmıştır. Bunlardan Koiter (1967) ve Gol’denveizer


5

(1961) ince kabuklar ve kısmen kalın kabuklar için bu sorunu çözmüşlerdir. Kayma

deformasyon ve dönme atalet etkilerinin işlemlere dahil edilmesi, Love (1888)’un

birinci kabulünü ve diğer kabullerde gerekli değişikliklerin yapılmasına ve böylece

kayma deformasyon kabuk teorisinin doğmasına neden olmuştur.

Timoshenko (1921) kirişler için yaptığı çalışmada, Reissner (1945) ve

Mindlin (1951) de plaklar için yaptıkları çalışmalarda kayma deformasyon etkisini

hesaplara katarak çözümler yapmışlardır. Whitney ve Sun (1973), tabakalı

kompozitlerde uzama hareketi için yüksek dereceden terimleri içeren bir teori

geliştirmişlerdir. Whitney ve Sun (1973), tabakalı anizotropik silindirik kabuklar için

bir teori geliştirmişlerdir. Srinivas ve ark.(1970) izotropik durumda tabakalı plakların

kayma deformasyon etkisini araştırmışlardır. Whitney ve Leissa (1969) homojen

olmayan anizotropik plakların analizlerini yapmışlardır. Whitney ve Pagano(1970)

homojen olmayan plaklarda kayma deformasyon etkisini araştırmışlardır.

Qatu, Reddy, Soedel gibi araştırmacılar tüm bu teorileri kullanılarak enerji

denklemleri yardımıyla hareket denklemlerini geliştirmişlerdir.

Son zamanlarda Latifa ve Sinha (2005) elips ve küresel şekle sahip çift

eğrilikli tabakalı kompozit kabukların eğilme ve serbest titreşim analizini sonlu

elemanlar yöntemi kullanarak modellemiştir.

Amabili (2003), dairesel silindirik kabukların geniş genlikli titreşimlerini

araştırmıştır.

Gautham ve Ganesan (1997) tabakalı kompozit izotrop küresel kapakların

serbest titreşim karakteristiklerini üzerine çalışmalar yapmıştır. Grigorenko ve

Yaremchenko (2007) çeşitli kalınlıklardaki dikdörtgen sığ kabukların gerilme-şekil

değiştirme durumunu incelemiştir.

Djoudi ve Bahai (2003) lineer ve lineer olmayan geometrilere sahip sığ

kabuklar için silindirik şekil değiştirmeleri esas alarak sonlu elemanlar metodu

geliştirmiştir.

Rath ve Das (1973), ortotropik silindirik kabuklar üzerine çalışmalar

yapmışlardır. Bu çalışmalarda dönme atalet ve kayma deformasyon etkisi içeren

denklemler sunulmuştur.


6

Dong (1968) Tabakalı ortotropik silindirik kabukların serbest titreşimini

araştırmıştır.

Liew ve Lim (1995b) çift eğrilikli dikdörtgen izdüşüme sahip kabukların

serbest titreşim analizleri için yüksek dereceden ifadeler içeren çözümler

sunmuşlardır.

Liew, Peng ve Ng (2002) Küresel kabuk panellerin farklı sınır şartları

etkisindeki üç boyutlu serbest titreşim analizi ile ilgili bir çalışma yapmışlardır.

Kayma deformasyon etkisini dikkate alan bir başka çalışma da

Reddy(1984a,b) ve Librescu ve ark.(1989a,b) tarafından yapılmıştır. Lim ve Liew

(1995a,b), denklemlerde yer alan yüksek dereceden terimlerle ilgili olarak birçok

çalışma yapmıştır.

Aksogan ve Sofiyev (2000) homojen olmayan tabakalı ortotropik elastik

silindirik kabukların zamana bağlı dış yükler etkisi altındaki dinamik stabilitesini

araştırmışlardır.

Leissa ve Chang (1996) denklemlerde yer alan (1+z/R) terimini geometrik

seriye açarak ve yüksek dereceden terimleri ihmal ederek bir çözüm geliştirmişlerdir.

Qatu (1993a,b) eğrisel kirişlerle ilgili bir çalışma yapmıştır. Qatu (1999a)

plak ve kalın kabuklarla ilgili olarak birçok çalışmalar yapmıştır. Qatu (2004)

tabakalı kompozit plakların ve kabukların analizini içeren bir kitap yayımlamıştır.

3. MATERYAL VE METOD Ali DOĞAN

7

3. MATERYAL VE METOD

Kompozit malzeme, belirli bir amaca yönelik olarak, en az iki farklı

malzemenin bir araya getirilmesiyle oluşan malzeme grubudur. Üç boyutlu

nitelikteki bu bir araya getirmede amaç, bileşenlerin hiçbirinde tek başına mevcut

olmayan bir özelliğin elde edilmesidir. Diğer bir deyişle, amaçlanan doğrultuda

bileşenlerinden daha üstün özelliklere sahip bir malzeme üretilmesi

hedeflenmektedir. Kompozit malzemeye, “Çok Bileşenli Malzeme”, “Çok Fazlı

Malzeme” “Donatılı Malzeme” ve “Pekiştirilmiş Malzeme” gibi adlar da

verilmektedir (Ersoy, 2001).

Yapı tasarımında en az kaynak ile en iyi tasarımın yapılması istenmektedir.

İyi bir tasarım yapabilmek için düşük ağırlıklı, yüksek mukavemetli ve düşük

maliyetli malzemeler tercih edilmektedir. Kompozit malzemeler bu özelliklerin

çoğunu bünyesinde barındırmaktadır. Özellikle hafif olmaları ve yüksek mukavemet

göstermeleri, böylelikle tasarımlarının kolay yapılması, daha az deformasyona

uğramaları ve daha fazla yük taşıyabilmeleri kompozit malzemelerin önemini her

geçen gün arttırmaktadır.

Kompozit malzemeler, rijitliği sağlayan fiber malzemeler ile fiber

malzemeleri bir arada tutmayı sağlayan matris malzemelerden meydana gelmektedir.

Kompozit malzemelerin tanımından da anlaşıldığı üzere, kompozit malzemelerde

genellikle şu dört koşul aranmaktadır:

1) İnsan yapısı olması, dolayısıyla doğal bir malzeme olmaması.

2) Farklı malzemelerin üç boyutlu olarak biraraya getirilmiş olması.

3) Bileşenlerinin hiçbirinin tek başına sahip olmadığı özellikleri taşıması,

dolayısıyla bu amaçla üretilmiş olması.

4) Kompozit malzemeleri oluşturan fiber ve matris malzemelerin bir bütün

olarak davranması.

Kompozit malzemelerin üretiminde şu özelliklerin geliştirilmesi hedeflenir.

Mekanik dayanım, korozyona karşı direnç, rijitlik, ağırlık, yüksek sıcaklığa dayanım

göstermek, ısı iletkenliği, kırılma tokluğu, ses tutuculuğu görünüm vb. Bu

özelliklerin birisi veya birkaçı geliştirilirken, kompozit malzemenin zayıf yönleri


8

iyileştirilir. Bu iyileştirme kompoziti oluşturan matris ve fiber elemanların analizi ile

mümkündür.

Kompozitler aşağıdaki şekilde gruplandırılabilir.

1) Tanelerle Donatılı Kompozit Malzeme: Kompoziti oluşturan matris

malzeme içerisinde milimetrik düzeydeki tanelerin yer almasıyla meydana

gelen kompozit türüdür. Bu türe beton (agrega ve çimento) örnek olarak

gösterilebilir.

2) Liflerle Donatılı Kompozit Malzeme: Çekme ve eğilme dayanımları istenen

düzeyde olmayan zayıf malzemelerin zayıf olan yönlerinin iyileştirilmesi

amacıyla liflerle donatılması ile elde edilen bir kompozit türüdür.

3) Tabakalı Kompozit Malzeme: En az iki farklı malzemenin, tabakalı bir

şekilde kompozitin yapısında yer almasıyla meydana gelir. Bu fazlardan birisi

kompozite özelliğini kazandıran sürekli faz, diğeri ise tabakaları bir arada

tutan bağlayıcı fazdır.

Bu çalışmada, öncelikle farklı tipteki malzemeler için tabakalı kompozitlerin

rijitlik ve esneklik matrisleri Hooke denklemleri yardımıyla elde edilmiş, daha sonra

ortotropik malzemeler için genel denklemler matris formunda yazılmıştır. Tek

tabakalı plaklar ve kabuklar için oluşturulan rijitlik ve esneklik matrisleri önce açılı

tek tabakalı elemanlara uygulanmış ve daha sonra çok tabakalı elemanlar için

geliştirilmiştir.

Bu çalışmada, tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı anizotropi ve

eğrilik etkisi altındaki serbest titreşim analizi incelenmiştir. İncelenen kabuk

elemanların farklı tabaka kalınlıklarına, farklı eğrilik oranlarına, farklı elastisite

modülü oranlarına ve farklı kenar uzunluğu oranlarına sahip olduğu kabul edilmiştir.

İlk olarak şekil değiştirme ve deformasyonların kinematik ilişkileri gösterilmiş, daha

sonra Hamilton prensibi kullanılarak genel eğrilikli kabuklar için diferansiyel

denklemler elde edilmiştir. Sonraki adımda, tabakalı kompozit çapraz-katlı kabuklar

için gerilme-şekil değiştirme ifadeleri verilmiştir. Daha sonra denge denklemleri

yazılmış, çeşitli sınırlandırmalar ve varsayımlar yapılarak serbest titreşim analizi için

gerekli denklemler elde edilmiştir. Elde edilen diferansiyel denklemler basit mesnetli

durum için sınır şartlarına maruz bırakılmış ve sınır şartlarını sağlayan u, v, w ve ψ


9

deplasman fonksiyonları diferansiyel denklemlerde yerine konularak çözüme

ulaşılmıştır. Bazı kabuller, basitleştirmeler ve Fourier serileri yardımıyla sığ kabuk

denklemleri matris formunda yazılmıştır. Kalın ve ince plak ile kabuklar için elde

edilen denklemlerin çözümü için MATHEMATICA paket programının yardımıyla,

bilgisayar programları hazırlanmıştır. Bu çalışmada, çözülen örnekler ayrıca sonlu

elemanlar yöntemi temelinde çözüm yapan ve mühendislik uygulamalarında yaygın

olarak kullanılan ANSYS ve SAP2000 paket programları yardımı ile tekrar

çözülmüştür. Çalışma sonunda, önerilen yöntem ile hazırlanan bilgisayar programı

ve literatürde mevcut olan ANSYS ve SAP2000 paket programları ile çözülen

örneklerin sonuçları tablo ve grafiklerle sunulmuş ve karşılaştırmalar yapılmıştır.

4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN

10

4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ

4.1. Giriş

Yapılar genellikle tek tabakalı bloklardan meydana gelir, bundan dolayı, bu

tek tabakalı yapıların mekanik analizini anlamak, çok tabakalılardan önce gelir. Tek

bir kompozit tabaka bile homojen ve izotrop değildir. Çünkü tabaka, homojen-

izotrop fiber elemanlarla homojen-izotrop matris elemanların birleşmesiyle meydana

gelmesine rağmen, incelenen noktanın mekanik özellikleri, noktanın fiberlerde,

matris de veya fiber-matris arasındaki bir bölgede olup olmamasına göre, noktadan

noktaya çeşitlilik gösterir. Bu durum, çok karışık mekanik tabaka modellerinin

oluşmasına neden olur. Bu sebeple, tabakaların makromekanik analizinde tabakaların

homojen olduğu kabul edilerek, ortalama malzeme özellikleri temel alınır (Şekil 4.1).

Şekil 4.1. Tabakalı kompozit elemanda fiber ve matris malzemelerin görünümü

Kompozit elemanı oluşturan fiber ve matris malzemeler incelendiğinde

elemana asıl mukavemetini veren unsur fiber malzemelerdir. Matris malzemeler ise

hem mukavemete yardımcı olur hem de fiberleri bir arada tutmaya yarar. Bu duruma

betonarme bir eleman örnek olarak gösterilebilir. Betonarme elemanda, fiberlerin

yerine çelik donatılar, matris malzemenin yerine de beton düşünülebilir. Güçlü

kompozit malzemelere örnek olarak glass epoxy ve boron epoxy örnek olarak

gösterilebilir.

Fiber malzeme Matris malzeme


11

İnce tabakaların homojenleştirilmesiyle bile, tabakaların mekanik davranışı

hala izotropik homojen malzemelerinkinden farklıdır. Örneğin eni ve boyu “w” ve

kalınlığı “t” olan küçük bir parçayı göz önüne alalım. Bu parçayı Durum-A ve

Durum-B olarak inceleyelim.

Şekil 4.2. Normal doğrultuda yüklenmiş izotropik plağın deformasyonu

w

w

t

t

2

1

Deformasyona uğramamış hal


w+δ2A

w+δ1A

P

Deformasyona uğramış hal

w+δ2B

P

w+δ1B

Deforasyona uğramış hal

P

w

w

Durum-A

w

w

Durum-B

P

1

2

1

2

1 2

12


12

Durum-A

Kare plağı 1 doğrultusunda normal tekil “P” yüküne maruz bırakalım. 1 ve 2

doğrultusundaki normal deformasyon miktarları, sırasıyla δ1A ve δ2A dır.

Durum-B

Durum-A daki gibi benzer normal “P” yükünü 2 doğrultusunda tatbik edelim.

1 ve 2 doğrultusundaki normal deformasyon miktarları sırasıyla, δ1B ve δ2B dir. Bu

iki durumdan;

δ1A=δ2B

(4.1.a)

δ2A=δ1B (4.1.b)

sonucuna ulaşırız. Bununla birlikte Şekil 4.3’de, kalınlığı t olan kompozit bir tabakayı

gözönüne alalım. Burada da tabaka içerisinde (w, w, t) ölçülerine sahip tek

doğrultudaki bir kare elemanı inceleyelim. Bu durumda aşağıdaki ifadeler ortaya

çıkar.

δ1A≠δ2B (4.2.a)

δ2A≠δ1B (4.2.b)

Bunun nedeni, tek doğrultulu tabakalarda, fiberlerin doğrultusundaki

rijitliklerin, fiberlere dik doğrultudaki rijitliklerden daha büyük olmasıdır. Sonuç

olarak, tek doğrultulu tabakanın mekanik karekteri, izotropik tabaka için ihtiyaç

duyulan parametrelerden daha fazla parametre gerektirir.


13

Şekil 4.3. Normal doğrultuda yüklenmiş sıfır derece açılı fiberlere sahip tek doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu

t

w+δ2A

w+δ1A

P


w+δ2B

P

w+δ1B

Deforasyona uğramış hal

P

Durum-A


w

w


w

w

Durum-B

Fiberler

w

t

2

1

P

1

2

1

2

1

2

1

2

Matris


14

Şekil 4.4’de görüldüğü gibi, kompozit plaktaki fiber dizilimi eleman

ekseninden faklı açılara sahip olabilir. Bu durumda farklı açılar için, farklı

deformasyonlar meydana gelecektir. Gerçekte kare plak, normal doğrultuda

deformasyonlara sahip olduğu gibi farklı doğrultuda deformasyonlara da sahiptir ve

şekli bozulmuştur. Tüm bu sebeplerden dolayı, açılı tabakaların mekanik karekteri

çok daha karmaşıktır.

Şekil 4.4. Normal doğrultuda yüklenmiş açılı fiberlere sahip tek doğrultulu tabakalı

plağın deformasyonu

t Fiberler

t

2

1

w

w

w



P

P

θ


15

4.2. Tanımlamaların İncelenmesi 4.2.1. Gerilme Gerilme, birim alana düşen yükün yoğunluğu olarak tanımlanır. Mekanik

yapılar, kütlesel kuvvetler ve yüzey kuvvetleri gibi kütle üzerinde hareket halinde

bulunan dış kuvvetleri alırlar. Bu kuvvetler, kütle içinde iç kuvvetlere dönüşür. Kütle

içinde bulunan tüm noktalardaki iç kuvvetlerin bilinmesi gerekir, çünkü bu

kuvvetlerin değeri, yapıda kullanılan malzemelerin mukavemetlerinden daha düşük

olmak zorundadır.

Şekil 4.5’de çeşitli yükler altında dengede bulunan kütle görülmektedir. Bu

kütlenin herhangi bir kesitinde, ΔA alanı üzerinde bulunan bir ΔP kuvveti düşünelim

bu kuvvet vektörü yüzeye normal, ΔPn ve yüzeye paralel ΔPs bileşenlerine sahip

olsun. Gerilmenin tanımından,

APlim n

0An ΔΔ

=σ→Δ

(4.3.a)

APlim s

0As ΔΔ

=τ→Δ

(4.3.b)

değerleri elde edilir.

Bu elemanın yüzeyine normal doğrultuda etkiyen gerilmeye σn normal

gerilme ve yüzeye paralel olarak etkiyen gerilmeye τs kayma gerilmesi denir. Aynı

noktadan farklı bir kesit alırsak, gerilme vektörü değişmeden kalır fakat gerilmenin

iki bileşeni değişir. Bununla birlikte gerilmeyi tam olarak tanımlayabilmek için

gerilmeyi tensorel bir büyüklük olarak tanımlamak gerekir.

Sağ el kuralı ile üç boyutlu x-y-z koordinat sistemi oluşturularak Şekil 4.6’da

görülen eleman üzerinde y-z düzlemine paralel bir kesit alınır. Kuvvet vektörü ΔP,

ΔA üzerinde bulunmaktadır. Kesitte görüldüğü gibi ΔPx bileşeni yüzeye normal

doğrultudadır. Kuvvet vektörü ΔPs ise yüzeye paraleldir. Ayrıca ΔPs, y ve z aksları

boyunca ΔPy ve ΔPz bileşenlerine ayrılırsa, gerilmenin tanımından aşağıdaki ifadeler

elde edilir.


16

Şekil 4.5. Rasgele bir düzlemde çok küçük bir alandaki gerilmeler

APlim x

0Ax ΔΔ

=σ→Δ

(4.4.a)

AP

lim y

0Axy ΔΔ

=τ→Δ

(4.4.b)

APlim z

0Axz ΔΔ

=τ→Δ

(4.4.c)

Benzer şekilde x-z ve x-y düzlemine paralel kesitler içinde gerilmeler

tanımlanabilir. Tüm bu gerilmelerin tanımlanabilmesi için genellikle, sağ el kuralına

ΔPn

Rasgele düzlem

ΔP

ΔPs

ΔA


17

Şekil 4.6. y-z düzleminde çok küçük bir alandaki kuvvetler (Kaw, 1997)

göre oluşturulan koordinat sisteminde sonsuz küçük kübik bir eleman alınır, bu kübik

elemanın herhangi bir yüzündeki gerilmeler bulunarak, bir noktadaki gerilmeler

tanımlanır.

Şekil 4.7’de görüldüğü gibi eleman üzerindeki herhangi bir noktada dokuz

farklı gerilme davranışı bulunmaktadır. Bu gerilmelerin altı tanesi kayma

gerilmesidir ve kayma gerilmeleri arasında şu şekilde bir ilişki bulunmaktadır.

yxxy τ=τ (4.5.a)

zyyz τ=τ (4.5.b)

xzzx τ=τ (4.5.c)

Yukarıdaki üç ifade sonsuz küçük kübik elemandaki momentlerin

dengesinden bulunur. Dolayısıyla geriye altı gerilme kalır. Bunlar kübik yüzeye dik

doğrultudaki σxx, σyy, σzz gerilmeleri ve kübik yüzeyler boyunca bulunan τxy, τyz, τzx

gerilmeleridir.

ΔPx

ΔPz

ΔA

ΔP ΔPy

z

x

y


18

Şekil 4.7. Sonsuz küçük kübik elemandaki gerilmeler

İşaret kabulüne göre çekme gerilmesi pozitif, basınç gerilmesi ise negatiftir.

Kayma gerilmesiyle beraber dış normalin yönünün negatif olması veya her ikisinin

pozitif olması durumunda kayma gerilmesi pozitif aksi halde kayma gerilmesi

negatiftir.

4.2.2. Şekil Değiştirme

Dış kuvvetler sebebiyle eleman içerisinde oluşan deformasyonun bilinmesi de

çok önemlidir. Deformasyon, kütlenin şekil ve boyutunda meydana gelen göreceli

değişim olarak tarif edilebilir. Şekil değiştirme genellikle sağ el kuralı ile oluşturulan

koordinat sisteminde sonsuz küçük kübik bir eleman üzerinde tanımlanır. Çeşitli

yükler altında, sonsuz küçük kübik elemanın kenar uzunluğu değişir, küp yüzeyinin

şeklide bozulur. Boydaki değişim, kayma şekil değiştirmelerindeki biçim

bozulmasına ve normal şekil değiştirmesine tekabül eder. Şekil 4.8’de kübik

elemanın ABCD yüzündeki şekil değiştirmeler görülmektedir. Herbir şekil

değiştirme ve deplasmanın birbiriyle ilişkisi vardır. Şekildeki AB ve AD kenarları

şekil değiştirdikten sonra A'D' ve A'B' halini alır Buradaki deplasmanlar (x,y,z)

koordinat sisteminde tanımlanırsa, herhangi bir nokta için;

σxx

τxy

τxz

τzx

τzy

σzz

σyyτyz

τyx

z

y

x


19

)z,y,x(uu = ; x doğrultusundaki deplasman

)z,y,x(vv = ; y doğrultusundaki deplasman

)z,y,x(ww = ; z doğrultusundaki deplasman

olarak ifade edilir.

Şekil 4.8. Çok küçük bir alanda x-y düzleminde normal ve kayma şekil

değiştirmeleri (Kaw, 1997)

x doğrultusundaki normal şekil değiştirme εxx, AB uzunluğundaki değişimin

AB uzunluğuna oranı olarak tanımlanır.

xA B AB

AB′ ′ −

ε = (4.6)

22 )()( PBPABA ′′+′′=′′

Δy

Δx

Q' D'

C'

B'

P' A'

D C

A B (x,y)

x

y

θ2

θ1


20

[ ] [ ] 22 ),(),(),(),( yxvyxxvyxuyxxuxBA −Δ++−Δ++Δ=′′ (4.7.a)

xAB Δ= (4.7.b)

Denklem (4.7.a) ve (4.7.b) Denklem (4.6)’da yerine yazılırsa;

1),(),(),(),(1lim2122

0−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Δ−Δ+

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Δ−Δ+

+=→Δ x

yxvyxxvx

yxuyxxuxxε

ve kısmi türevin tanımını kullanarak

112122

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=xv

xu

xε

1xu1

212

x −⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=ε

xu

x ∂∂

=ε (4.8)

elde edilir. Çok küçük deplasmanlar için , 1<<∂∂xu ve 1<<

∂∂xv dir.

Benzer şekilde y doğrultusundaki normal şekil değiştirme, εyy AD

uzunluğundaki değişimin AD uzunluğuna oranı olarak tanımlanır.

yA D AD

AD′ ′ −

ε = (4.9)

22 )()( DQQADA ′′+′′=′′


21

[ ] [ ] 22 ),(),(),(),( yxuyyxuyxvyyxvyDA −Δ++−Δ++Δ=′′ (4.10.a)

yAD Δ= (4.10.b)

Denklem (4.10) Denklem (4.9)’da yerine yazılırsa;

1),(),(),(),(1lim2122

0−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−Δ++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−Δ++=

→Δ yyxuyyxu

yyxvyyxv

yyε

ve kısmi türevin tanımını kullanarak

112122

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=yu

yv

yε

1yv1

212

y −⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=ε

yv

y ∂∂

=ε (4.11)

elde edilir. Çok küçük deplasmanlar için, 1<<∂∂yu ve 1<<

∂∂yv dir. Elemanın

uzunluğu artarsa, şekil değiştirme pozitif, azalırsa negatiftir.

AB ve AD kenarları arasındaki 90 derecelik açının değişimi kayma şekil

değiştirmesi γxy olarak adlandırılır. AB ve AD kenarlarının eğilmesiyle, açısal

değişim meydana gelir. Bu kayma şekil değiştirmesi şu şekilde tanımlanır.

21 θθγ +=xy (4.12)


22

Burada

1P BA P′ ′

θ =′ ′

(4.13a)

),(),( yxvyxxvBP −Δ+=′′ (4.13.b)

),(),( yxuxyxxuPA −Δ+Δ+=′′ (4.13.c)

2Q DA Q′ ′

θ =′ ′

(4.14.a)

),(),( yxuyyxuDQ −Δ+=′′ (4.14.b)

),(),( yxvyyyxvQA −Δ+Δ+=′′ (4.14.c)

Denklem (4.13) ve (4.14) Denklem (4.12)’de yerine yazılırsa;

yyxvyyyxv

yyxuyyxu

xyxuxyxxu

xyxvyxxv

yxxy

Δ−Δ+Δ+

Δ−Δ+

+

Δ−Δ+Δ+

Δ−Δ+

=→Δ→Δ ),(),(

),(),(

),(),(

),(),(

lim00

γ

yu

xv

xy ∂∂

+∂∂

=γ (4.15)

Burada da çok küçük deplasmanlar için, 1<<∂∂yu ve v 1

x∂

<<∂

dir.

AB ve AD kenarları arasındaki açı azaldığı zaman kayma şekil değiştirmesi

pozitiftir, aksi takdirde kayma şekil değiştirmesi negatiftir.


23

Normal ve kayma şekil değiştirmelerinin tanımından Şekil 4.7’deki sonsuz

küçük kübik elemanın şekil ve boy değişimi şu şekilde bulunabilir.

yw

zv

yz ∂∂

+∂∂

=γ (4.16.a)

zu

xw

zx ∂∂

+∂∂

=γ (4.16.b)

zw

zz ∂∂

=ε (4.16.c)

4.2.3. Genel Hooke Kanunları

Mühendislikte kullanılan malzemelerin birçoğu lineer ve izotrop özellik

gösterir. Bu malzemelerin gerilme-şekil değiştirme ilişkileri aşağıdaki denklemlerde

görülmektedir.

ii ii

ij ij

EG

σ = εσ = ε

(4.17)

Bu denklemler İngiliz Matematikçi Robert Hooke (1635-1703) tarafından

ifade edilen ve Hooke kanunu olarak bilinen ilişkilerdir. Sistemde meydana gelen her

etki sisteme verilen küçük bir yükten dolayı oluşan deformasyonlarla doğrusal olarak

ilişkilidir. Hooke kanunu olarak anılan ifadeler aşağıda matematiksel olarak

açıklanmıştır.

( )( )11 11 22 331E

ε = σ −ν σ +σ 12 121G

ε = σ

( )( )22 22 11 331E

ε = σ −ν σ +σ 13 131G

ε = σ (4.18)

( )( )33 33 11 221E

ε = σ −ν σ +σ 23 231G

ε = σ


24

Burada ν Poisson oranıdır. Kayma modülü G ise, elastik sabit E ve poisson

oranıν ’nün bir fonksiyonudur.

)1(2

EGν+

= (4.19)

4.2.4. Malzeme Modülleri

İncelenen eleman, lineer elastik özellik göstermektedir ve çok küçük

deformasyonlara sahiptir. Herhangi bir noktadaki gerilme ve şekil değiştirmeler

Hooke kanunları olarak adlandırılan altı adet eşzamanlı lineer denklem takımına

bağlıdır. Bir noktada onbeş adet bilinmeyen parametre bulunmaktadır, bunların altısı

gerilme, altısı şekil değiştirme ve üçü de deplasmandır.

Hooke kanunlarındaki altı adet eşzamanlı lineer denklem takımının

kombinasyonu, Denklem (4.8), (4.11), (4.15) ve (4.16) tarafından verilen altı adet

deplasman şekil değiştirme ilişkisi ve üç adet denge denklemi ile onbeş bilinmeyen

için onbeş adet denklem elde edilir. Deplasman şekil değiştirme ve denge

denklemleri, çözümün tamamlanması için bilinen sınır şartlarına maruz bırakılır.

Üç boyutlu gerilme durumunda, lineer izotropik bir malzeme için, Şekil

4.9’da x-y-z ortogonal sistemindeki bir noktada, Hooke kanunlarıyla elde edilen

gerilme şekil değiştirme ilişkisi matris formunda aşağıdaki gibidir.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

zx

yz

z

y

x

xy

zx

yz

z

y

x

G

G

G

EEE

EEE

EEE

τττσσσ

νν

νν

νν

γγγεεε

100000

010000

001000

0001

0001

0001

(4.20)


25

Şekil 4.9. Üç boyutlu bir elemanda kartezyen koordinat sistemi (Kaw, 1997)

Denklem (4.20)’deki 6X6 boyutundaki matris izotropik malzemenin esneklik

(compliance) matrisi [S] olarak adlandırılır. Denklem (4.21)’deki 6X6 boyutundaki

matris esneklik matrisinin tersidir. Bu matrise ise rijitlik (stiffness) matrisi denir.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

zx

yz

z

y

x

τττσσσ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν+ν−ν−

ν+ν−ν

ν+ν−ν

ν+ν−ν

ν+ν−ν−

ν+ν−ν

ν+ν−ν

ν+ν−ν

ν+ν−ν−

=

G00000

0G0000

00G000

000)1)(21(

)1(E)1)(21(

E)1)(21(

E

000)1)(21(

E)1)(21(

)1(E)1)(21(

E

000)1)(21(

E)1)(21(

E)1)(21(

)1(E

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

zx

yz

z

y

x

γγγεεε

(4.21)

Burada ν Poisson oranıdır. Kayma modülü G ise, elastik sabit E ve poisson

oranıν ’nün bir fonksiyonudur ve Denklem (4.19)’da gösterilmiştir.

z

x

y


26

4.2.5. Şekil Değiştirme Enerjisi

Enerji, iş yapabilme kapasitesi olarak tanımlanır. Çeşitli yükler altında

deformasyona uğrayan katı bir elemanda, yüzeysel yükler tarafından yapılan iş, şekil

değiştirme enerjisi olarak depolanır. Eleman içerisinde, her birim hacimde depolanan

şekil değiştirme enerjisi

( )x x y y z z xy xy yz yz zx zx1U2

= σ ε + σ ε + σ ε + τ γ + τ γ + τ γ (4.22)

olarak tanımlanır.

4.3. Farklı Tip Malzemeler İçin Hooke Kanunları

Lineer, elastik ve izotrop olmayan genel bir malzeme için gerilme-şekil

değiştirme ilişkisi Denklem (4.20) ve (4.21)’den daha karmaşıktır. Bir kompozit için

lineer ve elastik davrandığı varsayımı genellikle kabul edilebilir, fakat kompozit bir

malzeme izotrop olarak kabul edilemez. Bundan dolayı, bu malzemelerin gerilme

şekil değiştirme ilişkisi Hooke kanununa uyar, fakat gerilme ve şekil değiştirmeye

bağlı sabitler sayıca Denklem (4.20) ve Denklem (4.21)’de görüldüğünden daha

fazladır. Üç boyutlu bir kütle için, 1-2-3 ortogonal koordinat sistemindeki en genel

şekil değiştirme-gerilme ilişkisi aşağıdaki gibidir.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12

31

23

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

12

31

23

3

2

1

τττσσσ

γγγεεε

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

(4.23)


27

Yukarıdaki denklemde 36 adet sabite sahip olan 6X6 boyutundaki [S] matrisi

esneklik (compliance) matrisi olarak adlandırılır.

Denklem (4.23)’ün tersi alınarak, 1-2-3 ortogonal kartezyen koordinat

sisteminde üç boyutlu bir eleman için genel haldeki gerilme-şekil değiştirme ilişkisi

aşağıdaki şekilde elde edilir.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

γγγεεε

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

τττσσσ

12

31

23

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

12

31

23

3

2

1

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

(4.24)

Yukarıda Denklem (4.24)’de yer alan [C] matrisine rijitlik (stiffness) matrisi

denir. Malzemenin izotropik olması durumunda yukarıda verilen gerilme-şekil

değiştirme ilişkisi Denklem (4.19)’deki gibidir. Denklem (4.23)’de verilen esneklik

(compliance) matrisinin elemanları,

332211 SSE1S ===

323123211312 SSSSSE

S =====ν

−=

665544 SSG1S === (4.25)

şeklindedir. Ayrıca diğer tüm Sij ler sıfırdır.

Rijitlik matrisinin [C] simetrik olmasından dolayı Denklem (4.24)’de görülen

otuzaltı adet sabit, yirmibir sabite iner.


28

j

6

1jiji C ε=σ ∑

=

i=1,........,6 (4.26)

Burada

234 τ=σ ; 315 τ=σ ; 126 τ=σ ; 234 γ=ε ; 315 γ=ε ; 126 γ=ε (4.27)

olarak değişken dönüşümü yapılmaktadır.

Elemanın birim hacmindeki şekil değiştirme enerjisi Denklem (4.22)’de

açıklanmıştı. Yeni notasyona göre Denklem (4.22) tekrar yazılırsa;

6

i ii 1

1U2 =

= σ ε∑ (4.28)

halini alır. Denklem (4.26), Denklem (4.28)’de yerine yazılırsa

6 6

ij j ii 1 j 1

1U C2 = =

= ε ε∑∑ (4.29)

olur. Yukarıdaki ifadenin kısmi diferansiyeli alınırsa

iji j

U C∂=

∂ε ∂ε (4.30)

ve

jij i

U C∂=

∂ε ∂ε (4.31)

ifadeleri elde edilir. Denklem (4.30) ve Denklem (4.31)’den


29

jiij CC = (4.32)

elde edilir.

Sonuçta Denklem (4.23)’deki genel rijitlik matrisinde, 21 adet bağımsız

elastik sabit bulunmaktadır. Bu sonuca göre, Denklem (4.24)’de görülen esneklik

matrisinde de 21 adet bağımsız elastik sabit olduğu görülür.

4.3.1. Anizotropik Malzeme

Bir noktada yirmibir adet bağımsız elastik sabite sahip olan malzemeye

anizotropik malzeme denir. Bu sabitler bir kez özel bir nokta için bulunduğu zaman

gerilme-şekil değiştirme ilişkisi o noktada geliştirilebilir. Eğer malzeme homojen

değilse, bu sabitler noktadan noktaya değişiklik gösterebilirler. Malzeme homojen

olsa bile (veya öyle olduğu farz edilsin) analitik olarak veya deneysel olarak, bu 21

adet elastik sabiti bulmak gerekir. Birçok doğal ve sentetik malzeme, malzeme

simetrisine sahiptir, yani elastik nitelikler simetri doğrultularında özdeştir. Bu simetri

özelliği 6X6 rijitlik [C] ve 6X6 esneklik [S] matrislerindeki sabitlerin bazılarını ya

sıfırlayarak yada birbirleriyle ilişkilendirerek bağımsız elastik sabitlerin sayısını

düşürür. Bu durum, elastik simetrinin değişik türleri için Hooke kanunundaki

ilişkileri basitleştirir.

4.3.2. Monoklinik Malzeme

Eğer malzemenin, bir tane malzeme simetri düzlemi varsa bu tip malzemelere

monoklinik malzemeler denir. Simetri düzlemine dik olan doğrultu, “temel doğrultu”

olarak adlandırılır. Bu tip malzemeler 13 adet bağımsız elastik sabite sahiptir.

Monoklinik malzemede rijitlik matrisi Denklem (4.33) ve esneklik matrisi Denklem

(4.34)’e indirgenir.


30

C =

11 12 13 16

12 22 23 26

13 23 33 36

44 45

45 55

16 26 36 66

C C C 0 0 CC C C 0 0 CC C C 0 0 C0 0 0 C C 00 0 0 C C 0

C C C 0 0 C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.33)

S =

11 12 13 16

12 22 23 26

13 23 33 36

44 45

45 55

16 26 36 66

S S S 0 0 SS S S 0 0 SS S S 0 0 S0 0 0 S S 00 0 0 S S 0

S S S 0 0 S

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.34)

4.3.3. Ortotropik Malzeme

Eğer malzeme, karşılıklı olarak birbirine dik üç adet malzeme simetri

düzlemine sahipse bu tip malzemelere ortotropik malzeme denir. Bu tip malzemeler

9 adet bağımsız elastik sabite sahiptir. Ortotropik malzemeler için rijitlik ve esneklik

matrisleri aşağıdaki gibidir.

C =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

66

55

44

332313

232212

131211

C000000C000000C000000CCC000CCC000CCC

(4.35)


31

S =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

66

55

44

332313

232212

131211

S000000S000000S000000SSS000SSS000SSS

(4.36)

4.3.4. Enine (Transversely) İzotropik Malzeme

Ortotropik elemanın düzlemlerinin birinde, bir malzeme izotropi düzlemi

varsa bu tip malzemelere enine (transversely) izotropik malzemeler denir. Bu tip

malzemeler beş adet bağımsız elastik sabite sahip olup rijitlik ve esneklik matrisleri

aşağıdaki şekildedir.

C =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

55

55

2322

222312

232212

121211

C000000C0000002/)CC(000000CCC000CCC000CCC

(4.37)

S =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

55

55

2322

222312

232212

121211

S000000S000000)SS(2000000SSS000SSS000SSS

(4.38)


32

4.3.5. İzotropik Malzeme

Eğer ortotropik bir elemanda bütün yüzeyler özdeşse, bu tip malzemelere

izotropik malzemeler denir. İzotropik malzemeler iki adet bağımsız elastik sabite

sahiptir. İzotropik malzemeler için rijitlik ve esneklik matrisleri aşağıdaki gibidir.

C =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

2/)CC(0000002/)CC(0000002/)CC(000000CCC000CCC000CCC

1211

1211

1211

111212

121112

121211

(4.39)

S =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

)SS(2000000)SS(2000000)SS(2000000SSS000SSS000SSS

1211

1211

1211

111212

121112

121211

(4.40)

4.4. Ortotropik Malzemelerde Gerilme ve Deformasyonların Esneklik Matrisi

İle Olan İlişkisi

Şekil 4.10’da 1-2-3 ortogonal koordinat sisteminde tanımlı kompozit bir

eleman görülmektedir. Bu elemanın fiberlere paralel olan 1 doğrultusuna “fiber

doğrultusu”, fiberlere dik olan 2 ve 3 doğrultularına “matris doğrultusu” denir. Bu

kompozit elemandan, sonsuz küçük kübik bir parça ele alalım. Şekil 4.11’de sonsuz

küçük kübik elemandaki gerilmeler görülmektedir. Kübik eleman, üzerinde bulunan

bu gerilmelerden dolayı çeşitli deformasyonlara maruz kalmaktadır. Bu

deformasyonları tanımlayabilmek için eleman üzerindeki gerilmeleri ayrı ayrı ele

almak gerekmektedir.


33

Şekil 4.10. Temel malzeme koordinat sistemi

Şekil 4.11. Fiberlerle güçlendirilmiş küçük bir elemandaki gerilmeler (Hyer, 1998)

τ13

τ12

σ1 σ2

σ3

τ23 τ13

τ23

τ12

1

2

3

Küçük eleman

3 Matris doğrultusu

2 Matris doğrultusu

1 Fiber doğrultusu

Tabakalı malzeme


34

Şekil 4.12.a’da görüldüğü gibi sonsuz küçük kübik eleman 1 doğrultusunda

σ1 gerilmesi etkisindedir. Bu durumda Denklem (4.23) ve Denklem (4.36)’dan

1111 S σ=ε 023 =γ

1122 S σ=ε 031 =γ

1133 S σ=ε 012 =γ

olduğu görülür. 1 doğrultusu dikkate alındığında esneklik matrisinin S11 elemanı

elastisite modülü cinsinden elde edilir. Aynı işlemler diğer doğrultular için de yapılır.

1

11 E

σ=ε (4.41)

111

11 S

1E =εσ

= , 111

1SE

= (4.42)

Genel olarak Poisson oranı νij, i doğrultusunda sadece normal yük

uygulandığı zaman, j doğrultusundaki normal şekil değiştirmenin, i doğrultusundaki

normal şekil değiştirmeye oranının negatifi olarak tanımlanır. Yani kısaca enine

daralmanın boyuna uzamaya oranının negatifidir.

Poisson oranının tanımından

11

12

1

212 S

S−=

εε

−=ν , 1

1121122 Eσ

ν−=εν−=ε (4.43)

11

13

1

313 S

S−=

εε

−=ν , 13 13 1 13

1Eσ

ε = −ν ε = −ν (4.44)

ifadeleri elde edilir. Aynı işlemler 2 ve 3 doğrultuları için de uygulanır.


35

Şekil 4.12. σ1 gerilmesi altındaki bir elemanın deformasyonu (Hyer, 1998)

1

2

3

σ1

σ1

(a) Genel görünüş

σ1 σ1

2

1

(b) 1-2 Düzlemi

σ1 σ1

3

1

(c) 1-3 Düzlemi

3

2

(d) 2-3 Düzlemi


36

Ayrıca, sonsuz küçük kübik eleman Şekil 4.13’de görüldüğü gibi kayma

gerilmelerininde etkisi altındadır.

Şekil 4.13. τ12 kayma gerilmesi etkisindeki bir elemanın deformasyonu (Hyer, 1998)

Şekil 4.13.a’ da görüldüğü gibi sonsuz küçük kübik eleman τ12 kayma

gerilmesinin etkisi altındadır. Bu durumda Denklem (4.23) ve Denklem (4.36)’dan

01 =ε 023 =γ

02 =ε 031 =γ

03 =ε 126612 S τ=γ

olduğu görülür.

3

2

(d) 2-3 Düzlemi

3

1

(c) 1-3 Düzlemi

122γπ

−

2

1

(b) 1-2 Düzlemi

1

2

3

τ12

(a) Genel görünüş


37

12

1212 G

τ=γ (4.45)

6612

1212 S

1G =γτ

= (4.46)

Aynı işlemler diğer yüzeyler için de uygulanır.

Burada her malzeme düzleminde bir tane olmak üzere 3 adet elastisite

modülü (E1, E2, E3), her düzlemde iki tane olmak üzere 6 adet Poisson oranı (υ12, υ13,

υ21, υ23, υ31, υ32) ve her düzlemde 3 adet kayma modülü (G23, G31, G12)

bulunmaktadır.

Bunun yanı sıra altı adet Poisson oranı Betti-Maxwell teoremine göre

birbirinden bağımsız değildir.

12 21

1 2E Eν ν

= (4.47)

13 31

1 3E Eν ν

= (4.48)

23 12

2 3E Eν ν

= (4.49)

Bu ilişkiler bağımsız malzeme sabitlerini toplam 9’a indirir. Esneklik ve

rijitlik matrislerinde bu sayı aynıdır.


38

Mühendislik sabitleri cinsinden esneklik matrisi tekrar yazılırsa;

[ ]

1312

1 1 1

2321

2 2 2

31 32

3 3 3

23

31

12

1 0 0 0E E E

1 0 0 0E E E

1 0 0 0E E E

S10 0 0 0 0

G10 0 0 0 0

G10 0 0 0 0

G

νν⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ν ⎥ν− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ν ν− −⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.50)

elde edilir. Yukarıdaki matris diyagonalin sağına ve soluna göre simetriktir. Esneklik

matrisinin elemanları aşağıda görülmektedir.

1

11 E1S =

222 E

1S = 3

33 E1S =

1212 21

1

S SEυ

= = − 1313 31

1

S SEυ

= = − 2323 32

2

S SEυ

= = − (4.51)

2344 G

1S = 31

55 G1S =

1266 G

1S =


39

4.5. Gerilme-Şekil Değiştirme İlişkisi

Plak ve kabuklar fiberlerin yönelimine bağlı olarak farklı tipte ortotropiye

sahip olabilirler. Bu sebeple tabakalı kompozit elemanlar için gerilme-şekil

değiştirme ifadeleri yazılırken bazı temel kabuller göz önüne alınır. Malzeme

içerisinde yer alan fiberler birbirlerine paralel olarak dizilmişlerdir. Fiberler doğrusal

bir düzlem üzerinde devam etmeyebilir, özellikle kabuk elemanlarda bu durum

görülür. Her bir tabakadaki fiberler farklı açılarla dizilim yapabilirler. Makroskopik

aşamada her bir tabakanın homojen ve ortotrop olduğu dikkate alınacaktır. Bazı

durumlarda genel koordinat sistemi ile fiberlerin doğrultusunun birbirine paralel

olması mümkün olmayabilir. Bu durumda dönüşüm işlemleri ile gerilme-şekil

değiştirme ifadesi genel halde yazılacaktır. Ortotropik bir tabaka için gerilme-şekil

değiştirme ilişkisi tabakaların fiber doğrultuları dikkate alınarak üç boyutlu olarak

aşağıdaki gibi yazılabilir.

1

2

3

23

13

12

σσσσσσ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

11 12 13

12 22 23

13 23 33

44

55

66

Q Q Q 0 0 0Q Q Q 0 0 0Q Q Q 0 0 00 0 0 Q 0 00 0 0 0 Q 00 0 0 0 0 Q

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1

2

3

23

13

12

εεεγγγ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.52)

Yukarıdaki denklemde Qij terimleri indirgenmiş rijitlik katsayıları olarak

tanımlanır. Gerilme-şekil değiştirme ilişkisi esneklik matrisi açısından da aşağıdaki

gibi yazılabilir.

1

2

3

23

13

12

εεεγγγ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

11 12 13

12 22 23

13 23 33

44

55

66

S S S 0 0 0S S S 0 0 0S S S 0 0 00 0 0 S 0 00 0 0 0 S 00 0 0 0 0 S

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1

2

3

23

13

12

σσσσσσ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.53)


40

İndirgenmiş rijitlik katsayıları ile esneklik katsayıları arasındaki bağlantı aşağıdaki

gibidir [ ] [ ]( )1Q S −= .

2

22 33 2311

S S SQS−

= , 13 23 12 3312

S S S SQS−

= −

2

33 11 1322

S S SQS−

= , 12 23 13 2213

S S S SQS−

=

2

22 11 1233

S S SQS−

= , 12 13 23 1123

S S S SQS−

= (4.54)

4444

1QS

= , 5555

1QS

= , 66

66 S1Q =

2 2 211 22 33 11 23 22 13 33 12 12 23 13S S S S S S S S S S 2S S S= − − − +

Denklem (4.51), Denklem (4.54)’de yerine yazılırsa,

23 3211 1

1Q E − υ υ=

Δ, 21 31 23 12 32 13

12 1 2Q E Eυ + υ υ υ + υ υ= =

Δ Δ

31 1322 2

1Q E − υ υ=

Δ, 31 21 32 13 12 23

13 1 3Q E Eυ + υ υ υ + υ υ= =

Δ Δ

12 2133 3

1Q E − υ υ=

Δ, 32 12 31 23 21 13

23 2 3Q E Eυ + υ υ υ + υ υ= =

Δ Δ (4.55)

44 23Q G= , 55 13Q G= , 66 12Q G=

12 21 23 32 31 13 21 32 131 2Δ = −υ υ −υ υ −υ υ − υ υ υ

denklemleri elde edilir. Burada E1, E2 ve E3 sırasıyla 1, 2 ve 3 doğrultularındaki

elastisite modülleri, G12, G23 ve G13 kayma (rijitlik) modülleri ve ν12, ν21, ν13, ν31, ν23,

ν32 ise Poisson oranlarıdır. Poisson oranları birbirlerine Beti-Maxwell teoremi

(νij/Ei= νji/Ej) ile bağlıdır. Böylece her bir tabaka için 9 adet bağımsız malzeme sabiti

vardır.


41

Tek doğrultulu tabakalarda, enine doğrultudaki düşük mukavemet özellikleri

ve düşük rijitlikler sebebiyle, tabakalanma genellikle sadece tek doğrultulu

tabakalardan meydana gelmez. Bundan dolayı bazı tabakalar belirli açılarla

tabakalanma içerisinde yer alır. Bu durumun bir sonucu olarak açılı tabakalarda

gerilme-şekil değiştirme ilişkisinin geliştirilmesi gerekmektedir.

Açılı tabakalar için verilen koordinat sistemi Şekil 4.14’de görülmektedir. 1-2

koordinat sistemi, lokal eksen veya malzeme ekseni olarak adlandırılır. 1 doğrultusu

fiberlere paraleldir ve 2 doğrultusu fiberlere diktir. Bazı kaynaklarda 1 doğrultusu

boylamasına (longitudinal) doğrultu (L) ve 2 doğrultusu enlemesine (transverse)

doğrultu (T) olarak tanımlanır. x-y koordinat sistemi global koordinat sistemi olarak

isimlendirilir. İki koordinat sistemi arasında θ açısı bulunmaktadır ve açılı

tabakalardaki global ve lokal eksenler doğrultusundaki gerilmeler bu θ tabaka açısına

bağlıdır.

Şekil 4.14. Açılı tabakalarda global ve lokal eksen takımları

y

x

1 2

θσx

σx

σy

σy

σyx

σyx

σxy

σxy


42

x

y

z

yz

xz

xy

σσ

σσ

σσ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= [ ] 1T −

1

2

3

23

13

12

σσσσσσ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.56)

[T] transformasyon matrisi olarak adlandırılır ve aşağıdaki şekilde tanımlanır.

[ ]T =

2 2

2 2

2 2

0 0 0 20 0 0 2

0 0 1 0 0 00 0 0 00 0 0 0

0 0 0

c s scs c sc

c ss c

sc sc c s

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.57)

Burada

( )θ= cosc ve ( )θ= sins (4.58)

Transformasyon matrisinin tersi,

[ ] 1T − =

2 2

2 2

2 2

0 0 0 20 0 0 2

0 0 1 0 0 00 0 0 00 0 0 0

0 0 0

c s scs c sc

c ss c

sc sc c s

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.59)

şeklindedir.

Denklem (4.52)’de lokal eksenlerdeki gerilme-şekil değiştirme ilişkisi

kullanılarak, Denklem (4.56) şu şekilde yazılabilir.


43

x

y

z

yz

xz

xy

σσ

σσ

σσ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= [ ] 1T − [ ]Q

1

2

3

23

13

12

εεεγγγ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.60)

Global ve lokal eksenler doğrultusundaki şekil değiştirmeler, birbirlerine

transformasyon matrisiyle bağlanır.

1

2

3

23

13

12

2

2

2

εεεγ

γ

γ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= [ ]T 2

2

2

x

y

z

yz

xz

xy

εεεγ

γ

γ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.61)

Yukarıdaki denklem aşağıdaki şekilde de yazılabilir.

1

2

3

23

13

12

εεεγγγ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= [ ]R [ ]T [ ] 1R −

x

y

z

yz

xz

xy

εεεγγγ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.62)

Burada [R], Reuter matristir ve aşağıdaki şekilde tanımlanır.


44

[ ]R =

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 2 0 00 0 0 0 2 00 0 0 0 0 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.63)

Denklem (4.62), Denklem (4.60)’da yerine konursa,

x

y

z

yz

xz

xy

σσ

σσ

σσ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= [ ] 1T − [ ]Q [ ]R [ ]T [ ] 1R −

x

y

z

yz

xz

xy

εεεγγγ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.64)

elde edilir. Denklem (4.64) açık şekilde yazılırsa,

x

y

z

yz

xz

xy

σσ

σσ

σσ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

11 12 13 16

12 22 23 26

13 23 33 36

44 45

45 55

16 26 36 66

Q Q Q 0 0 QQ Q Q 0 0 QQ Q Q 0 0 Q0 0 0 Q Q 00 0 0 Q Q 0

Q Q Q 0 0 Q

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x

y

z

yz

xz

xy

εεεγγγ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.65)

olur. Burada [ Q ] transformasyona uğramış elemanın indirgenmiş rijitlik matrisi

olarak adlandırılır. [Q ] matrisinin açık şekli aşağıda görülmektedir.


45

( ) 226612

422

41111 csQ2Q2sQcQQ +++=

( ) ( )4412

2266221112 scQcsQ4QQQ ++−+=

2 213 13 23Q Q c Q s= +

( ) 226612

422

41122 csQ2Q2cQsQQ +++=

2 223 23 13Q Q c Q s= +

33 33Q Q=

( ) ( ) csQ2QQscQ2QQQ 3661222

366121116 −−−−−= (4.66)

( ) ( ) scQ2QQcsQ2QQQ 3661222

366121126 −−−−−=

( )36 13 23Q Q Q cs= −

( ) ( )4466

226612221166 csQcsQ2Q2QQQ ++−−+=

2 244 44 55Q Q c Q s= +

2 255 55 44Q Q c Q s= +

( )45 55 44Q Q Q cs= −

Tek doğrultulu tabakalar için, Denklem (4.52) ve Denklem (4.53)’de

görüldüğü gibi normal ve kayma gerilmeleri ile şekil değiştirmeleri arasında bir

bağlantı yoktur. Fakat, açılı tabakalarda, Denklem (4.65)’de görüldüğü gibi normal

ve kayma gerilmeleri ile şekil değiştirmeleri arasında bir bağlantı mevcuttur. Açılı

tabakalarda, sadece normal gerilmelerin etkimesi durumunda, kayma şekil

değiştirmeleri sıfır değildir ve sadece kayma gerilmeleri etkidiğinde normal şekil

değiştirmeleri sıfır değildir. Bu nedenle Denklem (4.65), gerilme şekil değiştirme

denklemi ortotropik tabakalar için genel denklemler olarak adlandırılır (Kaw, 1997).


46

4.6. Denge ve Hareket Denklemleri

Boyutları dx, dy ve dz olan sonsuz küçük kübik bir elemanda, kuvvet ve

momentlerin dengesi hesaba katılarak, bir ‘O’ noktası için denge denklemleri elde

edilir (Şekil.4.15). Denge denklemleri yazılırken, her bir tabakanın ortotropik

olduğu, elemanın kalınlığının uzunluğu ve genişliğine göre çok küçük olduğu,

deplasmanların (u, v ve w) eleman kalınlığı yanında çok küçük olduğu varsayılmıştır.

Şekil.4.15’den yararlanarak x, y, ve z doğrultularında denge denklemleri yazılabilir.

Şekil.4.15. dx, dy, dz boyutundaki sonsuz küçük kübik eleman için kartezyen

koordinatlarda gerilme notasyonları.

dyy

yy ∂

σ∂+σ

z

y

x

dx

dy

dz

yzyz dy

yσ

σ∂

+∂

yxyx dy

yσ

σ∂

+∂

zz dz

zσσ ∂

+∂

zy

zy dzzσ

σ∂

+∂

zx

zx dzzσσ ∂

+∂

xzxz dx

xσσ ∂

+∂

xx dx

xσσ ∂

+∂

xyxy dx

xσ

σ∂

+∂

O

σy σyx

σyz

σzx

σz

σzy

σxz

σxy σx


47

x doğrultusunda denge yazılarak

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ−

∂σ∂

+σ dydzdxx x

xx

yxyx yxdy dxdz

y∂σ⎛ ⎞

σ + −σ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

2

zxzx zx x 2

udz dxdy q dxdydz dVz dt

∂σ ∂⎛ ⎞σ + −σ + = ρ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (4.67)

denklemi elde edilir. Aynı işlemler y ve z doğrultuları için de yapılır. Burada dV

hacimdir ve dV=dx dy dz olarak ifade edilir. Denklemler düzenlendiğinde gerilmeler

cinsinden aşağıdaki ifadeler elde edilir.

2

yxx zxx 2

uqx y z t

∂σ∂σ ∂σ ∂+ + + = ρ

∂ ∂ ∂ ∂

2

y zy xyy 2

vqy z x t

∂σ ∂σ ∂σ ∂+ + + = ρ

∂ ∂ ∂ ∂ (4.68)

2

yzz xzz 2

wqz y x t

∂σ∂σ ∂σ ∂+ + + = ρ

∂ ∂ ∂ ∂

Yukarıdaki denklemde yer alan xq , yq ve zq ifadeleri, hiçbir kütlesel

kuvvetin mevcut olmadığı varsayımı dikkate alınarak sıfıra eşitlenebilir.

4.7. Enerji ve Varyasyon Prensibi

4.7.1. Kinetik, Potansiyel ve Şekil Değiştirme Enerjisi

Enerji ve varyasyon prensipleri kullanılarak elastisitede yer alan birçok

denklemin türetilmesinde büyük basitleştirmeler sağlanır. Bu prensipler birçok

araştırmacı tarafından kullanılmıştır. Enerji ifadeleri şekil değiştirme enerjisi, dış

kuvvetlerin yaptığı iş ve kinetik enerji olarak tanımlanır. Sınır şartları ve denge


48

denklemlerinin türetilmesinde ve enerji yönteminin uygulanmasında varyasyon

ifadesini içeren Hamilton prensibi kullanılabilir.

Enerji, iş yapabilme kapasitesi olarak tanımlanır. Çeşitli yükler altında

deformasyona uğrayan katı bir elemanda, yüzeysel yükler tarafından yapılan iş, şekil

değiştirme enerjisi olarak depolanır. Eleman içerisinde, her birim hacimde depolanan

şekil değiştirme enerjisi

( )x x y y z z xy xy yz yz zx zx1U dV2

= σ ε +σ ε +σ ε + τ γ + τ γ + τ γ∫ ∫ ∫ (4.69)

olarak tanımlanır. Denklem (4.8), (4.11), (4.15) ve (4.16) yukarıdaki denklemde

yerine yazılırsa enerji fonksiyonları gerilme ve deplasmanlar açısından aşağıdaki gibi

yazılabilir.

dxdydz

zv

yw

zu

xw

yu

xv

zw

yv

xu

21U

yzxzxy

zyx

∫ ∫ ∫⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

τ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

τ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

τ+

∂∂

σ+∂∂

σ+∂∂

σ

= (4.70)

Dış kuvvetler tarafından, sistem içerisinde ek bir enerji meydana getirilmektedir. Bu

enerji, dış kuvvetlerin yaptığı iş olarak tarif edilmektedir ve şu şekilde

tanımlanmaktadır.

[ ]dxdydzwqvquqW zyx∫ ∫ ∫ ++= (4.71)

Sabit yoğunluk için kinetik enerji ifadesi aşağıdaki biçimde yazılabilir.

∫ ∫ ∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ρ

= dxdydztw

tv

tu

2T

222

(4.72)


49

4.7.2. Hamilton Prensibi

Hamilton prensibi birçok mekanik problemine uygulanabilen genel bir

prensiptir. Bu yöntemde, dinamik sistemler zaman uzayında bir noktadan diğer bir

noktaya taşınabilirler. Sistem, potansiyel ve kinetik enerji arasındaki farkın zamana

göre integrali alınıp minimize edilmesiyle uygulanır. Hamilton prensibi kullanılarak,

enerji denklemlerine virtüel deplasmanlar uygulanır ve elde edilen denklem sıfıra

eşitlenerek hareket denklemlerine ulaşılabilir. Sistemin potansiyel enerji ifadesi

U WΠ = − (4.73)

olarak yazılabilir. Kartezyen koordinatlarda tanımlanan üç boyutlu elastisite

problemleri için Lagrangian fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir.

L T T U W= −Π = − +

( )2 2 2

x y z

x y z xy

xz yz

u v w uq vq wq2 t t t

u v w v uL dxdydzx y z x y1

2 w u w vx z y z

⎡ ⎤⎛ ⎞ρ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥= σ +σ +σ + τ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟+τ + + τ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ (4.74)

Yukarıda yer alan şekil değiştirme enerjisi, dış kuvvetlerin yaptığı iş ve

kinetik enerji ifadeleri yerine yazılır ve t0 ile t1 aralığında enerjinin korunumu ilkesi

ile denklem sıfıra eşitlenirse (t0-t1 aralığında sistemin toplam enerjisindeki varyasyon

yani değişim, sıfıra eşittir) aşağıdaki denklem elde edilir.

( )1

0

t

tT W U dt 0δ + − =∫ (4.75)


50

( )x y z

x y z xy

xz yz

u u v v w wt t t t t t

q u q v q w

u v w v ux y z x y

w u w vx z y z

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ∂ ∂δ ∂ ∂δ ∂ ∂δ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ρ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥

= + δ + δ + δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎛ ⎞ ⎥∂δ ∂δ ∂δ ∂δ ∂δσ +σ +σ + τ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎜ ⎟⎢ ⎥−⎜ ⎟⎢ ⎛ ⎞∂δ ∂δ ∂δ ∂δ⎛ ⎞⎜ ⎟+τ + + τ +⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

1

0

t

tdxdydzdt

⎥⎥⎥

∫ ∫ ∫ ∫ (4.76)

Yukarıdaki denklemin integrasyonu alınırsa;

( )1

0

t

tT W U dt 0δ + − =∫

{ }

1

0

1

0

1

0

t

t

t

t

t

x y zt

yxx y

u v wu v w dtt t t t t t

u v wu v w dxdydzt t t

q u q v q w dxdydz

u u dx dydz v v dy dxdzx y

⎡ ⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ρ δ + ρ δ + ρ δ⎨ ⎬⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭⎣⎤∂ ∂ ∂⎧ ⎫+ρ δ + δ + δ ⎥⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎩ ⎭ ⎥⎦

⎡− δ + δ + δ⎢⎣

∂σ⎧ ⎫∂σ⎧ ⎫σ δ − δ + σ δ − δ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭

+

∫∫∫ ∫

∫ ∫∫∫

∫ ∫ ∫∫ ∫xyz

z xy

xy xzxy xz

yzxzxz yz

yzyz

w w dz dxdy u u dy dxdzz y

v v dx dydz u u dz dxdyx z

w w dx dydz v v dz dxdyx z

w w dyy

∂σ⎧ ⎫∂σ⎧ ⎫+ σ δ − δ + σ δ − δ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭∂σ⎧ ⎫ ∂σ⎧ ⎫+ σ δ − δ + σ δ − δ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭⎩ ⎭

∂σ⎧ ⎫∂σ⎧ ⎫+ σ δ − δ + σ δ − δ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭∂σ⎧

+ σ δ − δ⎨ ∂⎩

∫

∫∫ ∫ ∫∫ ∫

∫∫ ∫ ∫∫ ∫

∫∫ ∫ ∫∫ ∫

∫ dxdz

⎧ ⎤⎫⎪ ⎥⎪⎪ ⎥⎪⎪ ⎥⎪⎪ ⎥⎪⎪ ⎥⎪⎪ ⎥⎪⎪ ⎥⎪⎨ ⎬⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥

⎫⎪ ⎪⎥⎬⎪ ⎪⎥⎭ ⎭⎦⎩

∫∫dt

(4.77)


51

denklemi elde edilir. Fonksiyonelin başlangıç ve bitiş zaman aralığındaki sınırlarda

sıfır değerini aldığı kabul edilir ve elde edilen yeni denklem δu, δv ve δw parantezine

alınırsa enerji denklemleri kullanılarak hareket denklemleri elde edilmiş olur.

( )1

0

t

tT W U dt 0δ + − =∫

1

0

xyx xzx

t xy y yzy

t

yzxz zz

uq ux y z t t

vq v dxdydzdtx y z t t

wq wx y z t t

⎡ ∂σ ⎤⎧ ⎫∂σ ∂σ ∂ ∂⎛ ⎞+ + + − ρ δ⎢⎨ ⎬ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢⎩ ⎭ ⎥⎢ ⎥∂σ ∂σ ∂σ⎧ ⎫∂ ∂⎛ ⎞⎢ ⎥= + + + + − ρ δ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎩ ⎭⎢ ⎥

∂σ⎧ ⎫⎢ ∂σ ∂σ ∂ ∂ ⎥⎛ ⎞+ + + + − ρ δ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎦⎣

∫ ∫∫∫ (4.78)

5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN

52

5. KABUKLARIN ANALİZİ

5.1. Giriş

Daha önceki bölümde belirtildiği üzere, bir tabaka, homojen izotrop fiber

takviyeler ile fiber malzemelerin etrafını saran, fiberlerin belirli bir dağılım ve düzen

içerisinde bulunmalarına olanak sağlayan, homojen izotrop matris malzemelerin

belirli oranlarda bir araya getirilmesiyle meydana gelmektedir (Şekil 5.1.). Elde

edilen kompozit tabakanın rijitliği, tabaka üzerindeki herhangi bir noktanın fiber

eleman üzerinde, matris eleman üzerinde veya fiber-matris birleşim bölgesinde

olmasına bağlı olarak noktadan noktaya çeşitlilik gösterir. Bu çeşitlilik sebebiyle,

tabakalı kompozitlerin makromekanik analizi yapılırken ortalama malzeme

özellikleri temel alınır.

Şekil 5.1. Tabakalı kompozit kabuklarda fiber ve matris malzemelerin görünümü

Kabuk elemanların davranışını anlamaya yönelik birçok çalışma yapılmış ve

bu çalışmalar ışığında çeşitli kabuk teorileri geliştirilmiştir. Bu teoriler, kayma

deformasyon etkisi dikkate alınarak geliştirilen kalın kabuk teorileri (SDST) ve

klasik kabuk teorisi olarak da anılan ince kabuk teorileri (CLST) biçiminde iki ana

başlık altında incelenebilir.

Fiber malzeme

α

β

h

Matris malzeme


53

Kabuk elemanın yaptığı deformasyonların, orta düzleme göre meydana gelen

yer değiştirmelere bağlı olarak yazıldığı kabul edilmiştir. Hareket denklemleri

türetilirken, iki temel kabul esas alınmıştır. Bu kabullerden ilki, kabuk elemanın

küçük deplasmanlara sahip olması, ikincisi ise, sığ kabuklar için kabuk kalınlığının

eğrilik yarıçapı yanında çok küçük olduğu kabulüdür. Teorik yaklaşımın temelinde

Love (1888,1944) ve Reissner (1941)’in yaptığı çalışmalar ve çözülen örnekler için

Qatu (2004) tarafından izlenen yol esas alınmıştır. Eğrilik yarıçapı düzlemsel yer

değiştirmelerle karşılaştırıldığında çok büyüktür. Sığ kabuklardaki, u ve v yer

değiştirme bileşenlerinin tanjantıyla meydana gelen eğrilik değişimi, normal bileşen

olan w ile karşılaştırıldığında çok küçüktür.

5.2. Deplasman Birim Deformasyon İlişkileri

Sonsuz küçük bir kabuk elemanını göz önüne alınırsa, kabuğun bir noktası ile

diğer bir noktası arasındaki ilişkiyi aşağıdaki denklemlerle türetilebilir (Şekil 5.2).

Şekil 5.2. Kabuğun orta düzlemindeki koordinatları

y

z

x

dr

ds

İα

İn

C

rr

r dr+r r

β

α

İβ

B

ζ

O


54

Şekil değiştirmemiş yüzeyin denklemleri α ve β koordinatları cinsinden

vektörel olarak yazılabilir.

r r( , )= α βr r

(5.1)

r vektörünün artış miktarı yüzey üzerinde (α,β) noktasından (α+dα , β+dβ) noktasına

taşınmasıdır. Bu durumda C noktasının yeri

r dr+r r

(5.2)

olur. Bu Denklemde yer alan drr

aşağıda yazıldığı gibidir.

, ,dr r d r dα β= α + βr r r

(5.3)

Yukarıdaki Denklemde yer alan ,r αr

ifadesi rr

vektörünün α ya göre birinci türevini

ifade etmektedir. İki nokta arasındaki yay yüzeyinin uzunluğu;

2 2 2 2 2ds dr dr A d 2ABCos d d B d= • = α + χ α β+ β

r r (5.4)

dir. Burada;

2A r, r,α α= •r r

, 2B r, r,β β= •r r

ve ABCos r, r,α βχ = •r r

(5.5)

Burada yer alan (,) ifadesi türevi ifade eder. χ terimi ise α ile β arasındaki açıdır.

Yukarıdaki denklemlerin sağ tarafı, yüzeyin “birinci temel formu” olarak adlandırılır.

r, Aα =r ve r, Bβ =

r olduğu düşünülerek, α ile β arasındaki χ açısı ve yüzey

koordinatlarına teğet birim vektörler;


55

1Cos ( i, i, )

i, r, / A

i, r, / B

−α β

α α

β β

χ = •

=

=

r r

r r

r r (5.6)

olarak yazılabilir. Bir vektör birim vektör ile şiddetin çarpımı şeklinde ifade

edilebilir. Bu durumda C i, i,α β= Χr rr

ise C 1 1 Sin( )= ∗ ∗ χr

olur. O zaman

nC i, i, Sin( ) iα β= Χ = χr r rr

olur. Sonuç olarak yüzeye normal birim vektör aşağıdaki gibi

tanımlanır.

ni ( i, i, ) / Sinα β= Χ χr r r

(5.7)

Yüzey üzerindeki bir eğrinin, eğriliği ikinci kuadratik form olarak

adlandırılır. Eğer yay uzunluğu s olan yüzey üzerindeki bir eğrinin denklemi r r(s)=r r

ise eğriye teğet birim vektör aşağıdaki gibi yazılabilir.

dr d dr, r,ds dsds α βα β

τ = = +r

r r rr (5.8)

Yukarıdaki vektörün türevi eğriliği vermektedir. Frenet’in formülüne bağlı olarak

aşağıdaki formül yazılabilir. (Kreyszig 1993)

d Ndsτ=ρ

r ur

(5.9)

Burada 1/ρ eğrilik ve Nr

eğriye normal temel birim vektördür. Yukarıdaki eğrilik

denklemlerinde Denklem (5.9)’da yer alan τr , yerine Denklem (5.8) yazılırsa sonuç

olarak aşağıdaki denklem elde edilir.


56

d d d dr, r,ds ds ds dsα βτ α β⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

rr r

(5.10.a)

Ara işlemler yapılırsa;

2 2

2 2d d d d d d dr, r, r, r,ds ds ds ds dsds dsα α β βτ α α β β= + + +

rr r r r

2 2

2 2d d d d d d d(r, ) r, r, r,ds ds ds ds ds ds ds

S

α β α βτ α β α β= + + +

rr r r r

144424443

dr, dr,dr, dr,d d d d d d d Sds d ds d ds ds d ds d ds ds

β βα α ⎞⎞ ⎛⎛τ α β α α β β= + + + +⎟⎟ ⎜⎜ ⎟α β α β⎝ ⎝⎠ ⎠

r r rr r

2 2d d d d d d dr, r, r, r, Sds ds ds ds ds ds dsαα αβ αβ ββ

⎛ ⎛τ ⎛ α α β α β ⎛ β⎞ ⎞ ⎞ ⎞⎜ ⎜= + + + +⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎜⎜⎠ ⎠ ⎠ ⎠⎝ ⎝⎝⎝

rr r r r

2 2 2 2

2 2d d d d d d dr, 2r, r, r, r,ds ds ds ds ds ds dsαα αβ ββ α βτ ⎛ α ⎛ α β ⎛ β α β⎞ ⎞ ⎞= + + + +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎠ ⎠ ⎠⎝ ⎝ ⎝

rr r r r r (5.10.b)

ifadesi elde eldir. Bu ifadede sol tarafa Denklem (5.9)’daki eşitlik yazılırsa;

2 2 2 2

2 2N d d d d d dr, 2r, r, r, r,

ds ds ds ds ds dsαα αβ ββ α βα α β β α β⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

urr r r r r

(5.11)

elde edilir. Eğriye normal temel birim vektör Nr

ve yüzeye normal nir

vektörü

arasındaki açı φ ise,

ni N 1 1 Cos• = • • φurr

nCos ( ) i Nφ = •urr

(5.12)


57

olur. Yukarıda yer alan Denklem (5.11)’in her iki tarafı nir

ile çarpılırsa (burada

'n α n βi r, =i r, 0• • =r rr r dır) aşağıdaki denklem elde edilir.

2 2

2

Cos L(dα) +2M(dα)(dβ)+N(dβ)=ρ dsφ (5.13)

Burada;

nL r, iαα= •r r

, nM r, iαβ= •r r

ve nN r, iββ= •r r

(5.14)

Yukarıdaki denklemlerin sağ taraftaki kısmı “ikinci kuadratik form” olarak

adlandırılır. Bu denklemler normal eğriliği bulmaya yardımcı olan denklemlerdir. nir

vektörünün doğrultusu yüzeye normal pozitif yöndedir ve Nr

vektörüne ters

yöndedir. Bu durumda φ =π olur. Sonuç olarak;

2222

22

dBddABCos2dAdNddM2dL

R1

β+βαχ+αβ+βα+α

=−)())(()( (5.15)

elde edilir. α ve β eğrilerinin eğrilik değerleri α= Sabit ve β= Sabit değerlerinin

yerine koyulmasıyla elde edilir. Bu işlem denklemde anılan sıraya göre yapılır.

Böylece;

2α

1 L=R A

−

2

1 NR Bβ

= − (5.16)

1 MR ABαβ

= −


58

denklemleri elde edilir. Yukarıdaki denklemlerin üçüncüsü yüzeyin burulma eğriliği

denklemidir. rr vektörünün ikinci türevleri matris formunda aşağıdaki şekilde

yazılabilir.

1 211 111 212 121 2

n22 22

Lr, r,

r, M r,

r, iN

αα α

αβ β

ββ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤Γ Γ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= Γ Γ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Γ Γ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

r r

r r

r r (5.17)

Burada ijkΓ Christoffel sembolüdür. Matris elemanları aşağıdaki gibi açıklanmıştır.

(Gol’denveizer 1961)

111

1 AA∂

Γ =∂α

, 122 2

B BA

∂Γ = −

∂α , 1

121 AB∂

Γ =∂β

(5.18)

211 2

A AB

∂Γ = −

∂β , 2

221 BB∂

Γ =∂β

, 212

1 BB∂

Γ =∂α

n ni i 1• =r r

dir. Bu ifadenin α ve β ya göre türevini alırsak

n n n ni i , i i , 0α β• = • =r r r r

(5.19)

ifadesi elde edilir. Bunun yanı sıra,

n ni r, i r, 0α β• = • =r rr r

(5.20)

ifadesinin türevi yazılıp Denklem (5.13)’de yerine yazılırsa L, M ve N’nin aşağıda

görülen ifadeleri elde edilir.


59

nL r, i ,α α= •r r

n nM r, i , r, i ,α β β α= − • = − •r rr r

(5.21)

nN r, i ,β β= •r r

Yukarıdaki açıklamalar ışığında Denklem (5.16) kullanılarak Weingarten formülleri

elde edilir.

n

n

A Ai , i iR R

B Bi , i iR R

α βαα αβ

β αββ αβ

= +

= +

r rr

r rr (5.22)

Denklem (5.17) ve Denklem (5.22) kullanılarak Denklem (5.6) ve Denklem

(5.7)’deki birim vektörlerin türevleri şimdi bulunabilir. Bu denklemler şu şekilde

yazılabilir;

n n

1 B A0B Ri i

1 A Ai 0 iA R

i iA A 0

R R

α α

β β

α

αβ

α αβ

⎡ ⎤∂⎢ ⎥− −

∂β⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥= − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∂α ∂β⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

r r

r r

r r

(5.23)

n n

1 B B0A Ri i

1 B Bi 0 iA R

i iB B 0

R R

α α

β β

αβ

β

αβ β

⎡ ⎤∂− −⎢ ⎥

∂α⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥= − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∂β ∂α⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

r r

r r

r r


60

Buna ek olarak aşağıdaki özdeşlikler ortaya konulabilir.

n n

(i , ), (i , ),

(i , ), (i , ),

(i , ), (i , ),

α α

β β

α β β α

α β β α

α β β α

=

=

=

r r

r r

r r (5.24)

Denklem (5.23) ve yukarıdaki eşitlikler ile

αββα

αβαβ

αββα

+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β∂

∂β∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α∂∂

α∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β∂∂

+α∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α∂∂

+β∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β∂∂

2

2

2

RAB

RRABA

B1B

A1

RA

A1B

R1

RB

RB

B1A

R1

RA

(5.25)

denklemleri elde edilir. Yukarıdaki ilk iki denklem Mainardi-Codazzi denklemleri

olarak bilinir. Son denklem ise Gauss karakteristik denklemi olarak bilinir.

( ) ( ) ( )n nU U , ,n , U U , ,n , U U , ,nα α ββ= α β = α β = α βur uur ur

olmak üzere kabuk

üzerindeki bir noktanın deplasman vektörü α, β ve n koordinatları cinsinden ifade

edilirse;

nnU U i U i U iα βα β= + +ur r r r

(5.26)

vektörünü yazılabilir. Yukarıda yer alan deplasman vektörünün, Denklem (5.23)

kullanarak α ve β ya göre türevleri alınırsa, aşağıdaki denklemler elde edilir.


61

, n , n

nn,

, n , n

nn,

1 A A 1 A AU, u u u i u u u iB R B R

A Au u u iR R

1 B B 1 B BU, u u u i u u u iA R A R

B Bu u u iR R

α βα α α β β α αα αβ

α α βα αβ

α ββ α β β β β ααβ β

β β αβ αβ

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂= + + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂β ∂β⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= − + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂α ∂α⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ur r r

r

ur r r

r

(5.27)

5.3. Kinematik İlişkiler

Kabuğun orta düzleminde, (α,β,0) koordinatlarında bir nokta düşünülürse, bu

noktanın deformasyondan önceki pozisyonu 0r ( , )α βr

ve deformasyondan sonraki

pozisyonu 0r ( , )′ α βr dır. Bu noktadaki yer değiştirme vektörü şu şekilde tanımlanır.

0 0 0r ( , ) r ( , ) U′α β = α β +

r r ur (5.28)

Bu noktadaki deformasyon, yer değiştirme vektörü cinsinden şu şekilde yazılabilir.

n0 0 0 0U u i v i w iα β= + +ur r r r

(5.29)

Bu denklemde ni , i ve iα β

r r r, sırasıyla α, β ve z doğrultusundaki birim vektörlerdir. α

eğrisine paralel yay uzunluğu göz önüne alınır ve α0ds (= αAd ) olarak gösterilirse bu

yay uzunluğu deformasyondan sonra α′0sd (= α′dA ) olacaktır. Uzama şekil

değiştirme aşağıdaki denklem ile tanımlanır.

( ) ( ) ( )0 00 0

0

ds ds A Aveya A A 1

ds Aα α

α αα

′ ′− −′ε = = = + ε (5.30)


62

Orta düzlemin şekil değiştirmesi için Denklem (5.28)’in türemesiyle aşağıdaki

denklem elde edilir.

( ) 0,0

U1 i iA

αα αα

′+ ε = + (5.31)

Kabuktaki dönmenin çok küçük olmasından dolayı 1ii =′ αα . olarak kabul

edilebilir. Bu yaklaşım sayesinde lineer olmayan terimler ihmal edilebilir. Böylece

Denklem (5.31) kullanılarak αε0 şu şekilde yazılabilir.

0,0

U iA

αααε =

urr

(5.32)

Benzer şekilde bir yol izlenerek aşağıdaki denklemler elde edilir.

0,0

0,0

0,0

0, 0,0

0,n 0,z0 z

0,n 0,z0 z

U iBU i

AU i

BU Ui i

A BU i U i

AU i U i

B

βββ

αβαβ

βαβα

α ββ ααβ

ααα

βββ

ε =

ε =

ε =

γ = +

γ = +

γ = +

urr

urr

urr

urr r

urr ur r

urr ur r

(5.33)

Son iki denklem z doğrultusundaki kayma şekil değiştirmeleridir. Denklem (5.33)

orta düzlemdeki birim deformasyonları ifade etmektedir. Orta düzlemden z

uzaklığında “dz” kalınlığındaki sonsuz uzunlukta bir elemanın yeri aşağıdaki gibidir.


63

( )

( ) β=β⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+

β=

α=α⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+

α=

ββ

ββ

αα

αα

dBdRz1BzR

RBdds

dAdRz1AzR

RAdds

0z

0z

(5.34)

Yukarıdaki denklemde A ve B orta düzlemin Lamé parametreleridir. A, B, Rα, Rβ ve

Rαβ terimleri birbirlerine Lamé denklemleri ile bağlanırlar. Benzer şekilde orta

düzlem şekil değiştirmelerinin yardımıyla kabuk içerisindeki herhangi bir noktanın

şekil değiştirmesi bulunabilir.

0

,0

,0

,0

, ,0 0

,n ,z0 z 0

,n ,z0 z 0

U,i

AU iBU iAU iBU Ui iA BU i U iAU i U iB

ααα

βββ

αβαβ

βαβα

α ββ ααβ

ααα

βββ

ε =

ε =

ε =

ε =

γ = +

γ = +

γ = +

urr

urr

urr

urr

ur urr r

urr ur r

urr ur r

(5.35)

z doğrultusundaki şekil değiştirme ise

nz zU, iε = •ur r

(5.36)

olarak yazılır. Yukarıdaki denklemler yardımıyla deplasman şekil değiştirme

ilişkileri şu şekilde elde edilebilir.


64

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )βαβββ

ββ

ααβαα

αα

αββαβααβ

βββ

ααα

+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+∂∂

++β∂

∂+

=γ

+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∂

∂++

α∂∂

+=γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

α∂∂

−β∂∂

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

β∂∂

−α∂∂

+=γ

∂=ε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

α∂∂

+β∂∂

+=ε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

β∂∂

+α∂∂

+=ε

Rz1Ru

Rz1Bv

zRz1Bw

Rz1B1

Rz1Rv

Rz1Au

zRz1Aw

Rz1A1

RwB

ABvu

B1

Rz11

RwA

ABuv

A1

Rz11

dzw

RwB

ABuv

B1

Rz11

RwA

ABvu

A1

Rz11

z

z

z

(5.37)

Yukarıdaki denklemler lineer eğrilikli koordinatlarda üç boyutlu bir kütlenin

kinematik ilişkilerinin temellerini oluşturur.

5.4. Kalın Kabuk Teorisi

Kalın kabuklarla ilgili olarak Love birçok çalışma yapmıştır. Love yaptığı

çalışmalarda birçok kabullerde bulunmuş ve üç boyutlu elastisite denklemlerini

eğrisel koordinatlarda iki boyuta indirgemiştir. Bu kabullerden ilki şekil

değiştirmelerin ve yer değiştirmelerin çok küçük olması ve yüksek dereceden

terimlerin ihmal edilebilmesidir. İkinci kabul ise, kabuk kalınlığının diğer kabuk

parametreleri yanında çok küçük olmasıdır. Üçüncü kabul, kayma gerilmelerinin

diğer gerilmeler yanında çok küçük olduğudur. Sonuçta Love, şekil değiştirme

olmadan önce orta düzleme dik olan yüzeyin şekil değiştirme olduktan sonrada orta

düzleme dik kalacağı kabulünü yapmıştır.

5.4.1. Kalın Kabuklarda Kinematik İlişkiler

Kalın kabukların serbest titreşim analizinde kullanılan Denklemler, kayma

deformasyon ve dönme atalet faktörleri içerirler. Kalın kabuk teorisi, orta düzlem


65

kabuk deplasmanlarının kabukların kalınlıkları açısından genişletilmesi ile elde

edilir. Bu genişletme birinci dereceden yada yüksek dereceden olabilir. Birinci

dereceden olan açılım literatürde, birinci dereceden kayma deformasyon teorisi

olarak adlandırılır. Bu teoride üç boyutlu elastisite teorisi, orta düzleme paralel

normal şekil değiştirmelerin diğer doğrultulardaki şekil değiştirmeler yanında ihmal

edilebilir olduğu kabulü ile iki boyuta indirgenir. Diğer bir deyişle orta düzleme

düşey doğrultudaki şekil değiştirmenin sıfır olduğu kabul edilir ( εz=0).

Orta düzleme normal şekil değiştirmeler deformasyon esnasında doğrusal

olarak kalır. Kabuk eleman için deplasman ifadeleri ise şu şekilde yazılabilir.

),(w)z,,(w

),(z),(v)z,,(v),(z),(u)z,,(u

0

0

0

βα=βα

βαψ+βα=βαβαψ+βα=βα

β

α

(5.38)

Burada u0, v0 ve w0 kabuk elemanın orta düzlem deplasmanları,. αψ ve βψ

ise orta düzlem dönmeleridir. Bu denklemlerde yer alan ( 0 ) ifadesi orta düzlemi

ifade eder. Yukarıdaki denklemler birinci dereceden kayma şekil değiştirme teorisi

SDST olarak tanımlanır ve kabuğun herhangi bir noktasındaki şekil değiştirmeler,

orta düzlem şekil değiştirmeleri ve eğrilikler cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

0

0

0

0

z 0 z

z 0 z

1 z1 z R

1 z1 z R

1 z1 z R

1 z1 z R

1 z R1 z R

1 z R1 z R

α α αα

β β ββ

αβ αβ αβα

βα βα βαβ

α α α αα

β β β ββ

ε = ε + κ+

ε = ε + κ+

ε = ε + κ+

ε = ε + κ+

γ = γ + ψ+

γ = γ + ψ+

(5.39)


66

Yukarıdaki denklemlerde yer alan orta düzlem şekil değiştirmeleri ve eğrilikler

aşağıda gösterilmiştir.

0 0 00

0 0 00

0 0 00

0 0 00

0 0 00 z

0 0 00 z

u v w1 AA AB R

v u w1 BB AB R

v u w1 AA AB R

u v w1 BB AB R

w u v1A R R

w v u1B R R

αα

ββ

αβαβ

βααβ

α αα αβ

β ββ αβ

∂ ∂ε = + +

∂α ∂β

∂ ∂ε = + +

∂β ∂α

∂ ∂ε = − +

∂α ∂β

∂ ∂ε = − +

∂β ∂α

∂γ = − − +ψ

∂α

∂γ = − − +ψ

∂β

(5.40)

α∂∂ψ

−β∂ψ∂

=κ

β∂∂ψ

−α∂

ψ∂=κ

α∂∂ψ

+β∂

ψ∂=κ

β∂∂ψ

+α∂ψ∂

=κ

βαβα

αβαβ

αββ

βαα

BABB

1

AABA

1

BABB

1

AABA

1

(5.41)

5.4.2. Kalın Kabuklarda Gerilme Sonuçları

Tabakalı kompozit kalın kabuklar için gerilme-şekil değiştirme ilişkisi

aşağıdaki gibidir.


67

z

z

z

α

β

β

α

αβ

σ⎡ ⎤⎢ ⎥σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎢ ⎥σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎣ ⎦

=

11 12 13 16

12 22 23 26

13 23 33 36

44 45

45 55

16 26 36 66

Q Q Q 0 0 QQ Q Q 0 0 QQ Q Q 0 0 Q0 0 0 Q Q 00 0 0 Q Q 0

Q Q Q 0 0 Q

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

z

z

z

α

β

β

α

αβ

ε⎡ ⎤⎢ ⎥ε⎢ ⎥⎢ ⎥ε⎢ ⎥γ⎢ ⎥⎢ ⎥γ⎢ ⎥γ⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.42)

Denklem (5.39-41)’deki orta yüzey şekil değiştirmeleri ve eğilmeleri,

tabakadaki gerilme ve şekil değiştirmeleri bulmak için gerekli olan bilinmeyenlerdir.

Fakat Denklem (5.42), bu bilinmeyenlerin ışığında, her bir tabakadaki gerilmeleri

verir. Her bir tabakadaki gerilmelerin, tabaka kalınlığı boyunca integre edilmesiyle,

kuvvetler ve momentler elde edilir. Bu sayede, bir tabakadaki kuvvetler ve

momentler bilinirse orta yüzey eğilmeleri ve şekil değiştirmeleri bulunabilir.

Şekil (5.3)’de gösterilen ‘n’ adet tabakaya sahip bir plağı göz önüne alalım.

Burada her bir tabaka ‘tk’ kalınlığına sahiptir. Tabakalı elemanın kalınlığı ise ‘h’ ve

orta yüzey, tabakanın alt veya üst yüzeyinden h/2 mesafededir.

∑=

=n

1kkth (5.43)

Şekil 5.3 Tabakalı bir elemandaki katmanların koordinat yerleşimi

Orta düzlem

1

2

3

k-1

k

k+1

n

tk

h/2

h/2

h0

h1

h2

h3

hk-1

hk

hn-1

hn

z


68

Burada;

2hh 0 −= (1. tabakanın üst yüzeyi)

11 t2hh +−= (1. tabakanın alt yüzeyi)

2hh n = (n. tabakanın alt yüzeyi)

n1n t2hh −=− (n. tabakanın üst yüzeyi) (5.44)

∑−

=− +−=

1k

1LL1k t

2hh (k. tabakanın üst yüzeyi)

∑=

+−=k

1LLk t

2hh (k. tabakanın alt yüzeyi)

Kabuk kalınlığı boyunca gerilmelerin integrasyonu alınarak kabuk

elemandaki kuvvet ve moment değerleri elde edilir. Normal ve kesme kuvvetleri

aşağıda görülmektedir.

( )

( )dzRz1QNN

dzRz1QNN

2h

2hz

2h

2hz

α−

β

αβ

β

β

βα

β

β−

α

αβ

α

α

αβ

α

+∫⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσσ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+∫⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσσ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

(5.45)

Eğilme ve burulma momentleri ile yüksek dereceden kayma terimleri aşağıda

verildiği gibidir.


69

( )

( )zdzRz1P

MM

zdzRz1P

MM

2h

2hz

2h

2hz

α−

β

αβ

β

β

βα

β

β−

α

αβ

α

α

αβ

α

+∫⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσσ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+∫⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσσ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

(5.46)

Yukarıdaki ifadelerde Mα ve Mβ eğilme momentleri, Mαβ ve Mβα burulma

momentleridir. Pα ve Pβ ise yüksek dereceden kayma terimleridir. R Rα β≠

olduğundan, N Nαβ βα≠ ve M Mαβ βα≠ dır. Yukarıdaki denklemler yardımıyla

gerilme şekil değiştirme ilişkisi aşağıdaki gibi yazılabilir. Bu denklemler yardımıyla

hareket denklemlerine ulaşılabilir.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

κκκκεεεε

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

βα

αβ

β

α

βα

αβ

β

α

βα

αβ

β

α

βα

αβ

β

α

0

0

0

0

6666261666662616

6666261666662616

2626221226262212

1616121116161211

6666261666662616

6666261666662616

2626221226262212

1616121116161211

DDDDBBBBDDDDBBBBDDDDBBBBDDDDBBBBBBBBAAAABBBBAAAABBBBAAAABBBBAAAA

MMMMNNNN

(5.47)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ψ−ψ−γγ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ββ

αα

β

α

β

α

β

α

RR

DDBBDDBBBBAABBAA

PPQQ

z0

z0

44454445

45554555

44454445

45554555

(5.48)


70

Şekil 5.4. Kabuk eleman üzerindeki kuvvetlerin gösterimi.

Şekil 5.5. Kabuk eleman üzerindeki momentlerin gösterimi.

iz

İα

β

α

βαM

βM

ββ∂

∂+ β

β dM

M

ββ∂

∂+ βα

βα dM

M

αMαβM

αα∂

∂+ αβ

αβ dM

M

αα∂

∂+ α

α dMM

İβ

iz

İα

α

βQ

ββ∂

∂+ β

β dQ

Q

ββ∂

∂+ β

β dN

N

ββ∂

∂+ βα

βα dN

N

αN αβN

αα∂

∂+ α

α dQ

Q

αα∂

∂+ αβ

αβ dN

Nα

α∂∂

+ αα d

NN

İβ

β


71

Bu denklemlerde yer alan ijijijijijijijijij DveBADBADBA ˆˆ,ˆ,,,,,, terimleri

aşağıda tanımlanmıştır.

N(k)

ij ij k k 1k 1

N(k) 2 2

ij ij k k 1k 1N

(k) 3 3ij ij k k 1

k 1

A Q (h h )

1B Q (h h )21D Q (h h )3

−=

−=

−=

= −

= −

= −

∑

∑

∑

i,j =1,2,6 (5.49)

N(k)

ij i j ij k k 1k 1

N(k) 2 2

ij i j ij k k 1k 1N

(k) 3 3ij i j ij k k 1

k 1

A K K Q (h h )

1B K K Q (h h )21D K K Q (h h )3

−=

−=

−=

= −

= −

= −

∑

∑

∑

i,j =4,5 (5.50)

ijij ij

ijij ij

ijij ij

ijij ij

ijij ij

ijij ij

BA A

R

BA A

RD

B BR

DB B

RE

D DR

ED D

R

αα

β

ββ

α

αα

β

ββ

α

αα

β

ββ

α

= +

= +

= +

= +

= +

= +

(5.51)

Bu denklemlerde yer alan Ki ve Kj terimleri kayma düzeltme sabitleri olup,

değeri 5/6 olarak alınmaktadır (Timoshenko, 1921).


72

k

k 1

k

k 1

k

k 1

N Nh (k) (k) n kijn ij nh

k 1 k 1n n k 1

N Nh (k) (k) n kijn ij n k k 1 nh

k 1 k 1n n k 1

2N Nh (k) (k) 2ijn ij n n kh

k 1 k 1n

R hdzA Q R Q ln1 z R R h

R hzdzB Q R Q (h h ) R ln1 z R R h

z dz 1D Q R Q (R h ) (R1 z R 2

−

−

−

= = −

−= = −

= =

⎛ ⎞+= = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞+= = − −⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎣ ⎦

= = + −+

∑ ∑∫

∑ ∑∫

∑ ∑∫ ( )

( )

( )

k

k 1

2n k 1

2 n kk k 1 n

n k 1

3N Nh (k) (k) 3 3ijn ij n n k n k 1h

k 1 k 1n

2 2n n k n k 1

2 3 n kn k k 1 n

n k 1

h )

R h2(h h ) R lnR h

z dz 1E Q R Q (R h ) (R h )1 z R 3

3 R (R h ) (R h )2

R h3R (h h ) R lnR h

n ,

−

−

−−

−= =

−

−−

⎡ +⎢⎣

⎤⎛ ⎞+− − − ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎦

⎡= = + − +⎢+ ⎣

+ + − +

⎤⎛ ⎞+− − − ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎦

= α β

∑ ∑∫

(5.52)

Leissa ve Chang (1996) yukarıdaki denklemde görülen ( )1 1 nz R+ terimini

geometrik serilere açmışlar ve açılan seride yüksek dereceden terimleri ihmal

etmişlerdir.

( ) 2 2n n n1 1 z R 1 z R z R yüksek dereceden terimler+ = − + + (5.53)

Sonuçta, yukarıdaki Denklem (5.49-51) tekrar yazarak, aşağıdaki denklemleri

elde etmişlerdir.


73

ij0ijij

ij0ijij

ij0ijij

ij0ijij

ij0ijij

ij0ijij

EcDD

EcDD

DcBB

DcBB

BcAA

BcAA

+=

−=

+=

−=

+=

−=

ˆ

ˆ

ˆ

i,j = 1,2,4,5,6 (5.54)

Burada

N(k)

ij ij k k 1k 1

N(k) 2 2

ij ij k k 1k 1N

(k) 3 3ij ij k k 1

k 1N

(k) 4 4ij ij k k 1

k 1

A Q (h h )

1B Q (h h )21D Q (h h )31E Q (h h )4

−=

−=

−=

−=

= −

= −

= −

= −

∑

∑

∑

∑

i,j =1,2,6 (5.55)

ve

N(k)

ij i j ij k k 1k 1

N(k) 2 2

ij i j ij k k 1k 1N

(k) 3 3ij i j ij k k 1

k 1

A K K Q (h h )

1B K K Q (h h )21D K K Q (h h )3

−=

−=

−=

= −

= −

= −

∑

∑

∑

i,j =4,5 (5.56)

dir. Bu denklemlerde yer alan hk ifadesi, k nıncı tabakanın orta düzleme olan

uzaklığıdır. Yukarıdaki denklemlerde yer alan c0 terimi ise aşağıda verilmiştir.


74

01 1

α β

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

cR R

(5.57)

5.4.3. Kalın Kabuklarda Enerji Denklemleri

Enerji denklemleri, yaklaşık metodların kullanımı için gerekli olan sınır

şartları ve hareket denklemlerinin oluşturulmasında önemlidir. Bir kabuk elemanın

şekil değiştirme enerjisi şu şekilde tanımlanır.

{ }

{ }( )( )

z z z z z zv

h 2

z z z z z zh 2

1U dV2

12

1 z R 1 z R ABd d dz

β

α α β β αβ αβ α α β β

α α β αβ αβ α α β β−

α β

α β

= σ ε +σ ε + σ ε + σ γ +σ γ + σ γ

= σ ε + σ ε +σ ε + σ γ + σ γ +σ γ

+ + α β

∫∫ ∫ ∫ (5.58)

Denklem (5.39), (5.45) ve (5.46) yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa

0 0 0 0

0 z 0 z

N N N N M1U M M M Q Q ABd d2

P R P R

α α β β αβ αβ βα βα α α

β β αβ αβ βα βα α α β β

α βα α α β β β

⎧ ⎫ε + ε + ε + ε + κ⎪ ⎪

= + κ + κ + κ + γ + γ α β⎨ ⎬⎪ ⎪+ ψ + ψ⎩ ⎭

∫ ∫ (5.59)

ifadesi elde edilir. Dış kuvvetlerin yaptığı iş;

{ }0 0 n 0W q u q v q w m m ABd dα β α α β βα β

= + + + ψ + ψ α β∫ ∫ (5.60)

ifadesi ile bulunabilir. Burada qα, qβ ve qn sırasıyla α, β ve z doğrultusundaki düzgün

yayılı yüklerdir. Yine bu denklemde yer alan mα ve mβ ise kabuk elemanın orta

düzlemindeki moment çiftleridir. Kabuk elemanda kinetik enerji denklemi aşağıdaki

şekilde açıklanabilir.


75

{ }( )

( )( )

2 2 2

V

2 2 2 2 2 2 20 0

1T u v w dW21 u v w z z 2zu 2zv2

1 z R 1 z R ABd d dz

α β α βα β

α β

= + +

= + + + ψ + ψ + ψ + ψ

+ + α β

∫∫ ∫

& & &

& & & && & & & & (5.61)

Yukarıdaki terimler açılırsa;

( )

( )

( )

2h 22 2 2

h 2

22 2 2

2

0 0

1 1 1 zT u v w 1 z2 R R R R

1 1 zz 1 zR R R R

1 1 z2z u v 1 z ABd d dzR R R R

α β − α β α β

α βα β α β

α βα β α β

⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪= + + ⎜ + + + ⎟⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎩⎛ ⎞⎛ ⎞

+ ψ +ψ ⎜ + + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎫⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎪+ ψ + ψ ⎜ + + + ⎟ α β⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎭

∫ ∫ ∫ & & &

& &

& && &

(5.62)

denklemi elde edilir. Elde edilen denklemde h/2 ve –h/2 sınırlarında integrasyon

alınarak aşağıdaki denklem elde edilir.

( )

( )

( )

2 2 2 31 2

2 2 53 4

40 0 2 3

I1 1 1T u v w I I2 R R R R

I1 1I IR R R R

I1 1u v I I ABd dR R R R

α β α β α β

α βα β α β

α βα β α β

⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪= + + ⎜ + + + ⎟⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎩⎛ ⎞⎛ ⎞

+ ψ +ψ ⎜ + + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎫⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎪+ ψ + ψ ⎜ + + + ⎟ α β⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎭

∫ ∫ & & &

& &

& && &

(5.63)

Burada yer alan [ ]1 2 3 4 5I , I , I , I , I atalet terimleri


76

[ ] ( )k

k 1

N hk 2 3 4

1 2 3 4 5hk 1

I , I , I , I , I 1, z , z , z , z dzρ−=

⎡ ⎤= ⎣ ⎦∑∫ (5.64)

olarak ifade edilebilir. ( )kρ k nıncı tabakadaki kabuk elemanın birim alanının

yoğunluğudur. Elde edilen enerji denklemleri, hareket denklemlerinin türetilmesinde

kullanılır.

5.4.4. Kalın Kabuklarda Hareket Denklemleri

Sınır şartları ve hareket denklemleri oluşturulurken Hamilton prensibi

kullanılabilir.

( )

( )

z z z z z z

Vh 2

z z z z z zh 2

1U dV2

12

z z. 1 1 ABd d dzR R


−


α β

α β

= σ ε + σ ε +σ ε + σ γ + σ γ + σ γ

= σ ε + σ ε + σ ε + σ γ + σ γ + σ γ

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + α β⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫

∫ ∫ ∫ (5.65)

Denklem (5.39-41) yukarıdaki denklemde yerine yazılır ve z doğrultusunda integre

edilirse;


77

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

0 0 z z

0 0

z 0 z

z 0 z

1 1z z1 z R 1 z R

1 1z z1 z R 1 z R1U

2 1 z R1 z R

1 z R1 z R

z z1 1R R

α α α β β βα β

αβ αβ αβ βα βα βαα β

α β α α α αα

β β β ββ

α β

⎡ ⎤⎛ ⎞σ ε + κ +σ ε + κ +σ ε⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟+σ ε + κ +σ ε + κ

+ +⎢ ⎥⎜ ⎟= ⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎜ ⎟+σ γ + ψ⎢ ⎥⎜ ⎟+⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟+σ γ + ψ⎢ ⎥⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫

ABd dα β

(5.66)

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

0 0 z z

0 0

z 0 z

z 0 z

1 z R z 1 z R z

1 z R z 1 z R z1U2

1 z R z R

1 z R z R

ABd d

α β α α β α β β

αβ β αβ αβ βα α βα βα

α βα β α α α

β α β β β

⎡ ⎤⎛ ⎞σ + ε + κ +σ + ε + κ +σ ε⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥+σ + ε + κ +σ + ε + κ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟

= ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟+σ + γ + ψ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟+σ + γ + ψ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

α β

∫ ∫

(5.67)

Aşağıda yer alan ifadeler Denklem (5.67)’de yerine yazılırsa, enerji ifadesi Denklem

(5.69)’daki gibi elde edilir.


78

h 2 h 2

h 2 h 2

h 2 h 2

h 2 h 2

h 2 h 2

z zh 2 h 2

h 2

h 2

z z1 dz N , 1 dz NR R

z z1 dz N , 1 dz NR R

z z1 dz Q 1 dz QR R

z z1 z dz M , 1 zR R

− −

α α β ββ α

− −

αβ αβ βα βαβ α

− −

α α β ββ α

−

α α ββ α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ + = σ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ + = σ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ + = σ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ + = σ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫h 2

h 2

h 2 h 2

h 2 h 2

dz M

z z1 z dz M 1 z dz MR R

−

β

− −

αβ αβ βα βαβ α

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ + = σ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫

∫ ∫

(5.68)

0 0 0 0

0 z 0 z

N N N N

1U M M M M ABd d2

Q Q P R P R

α α β β αβ αβ βα βα

α α β β αβ αβ βα βα

α β

α α β β α α α β β β

⎛ ⎞ε + ε + ε + ε⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= + κ + κ + κ + κ α β⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ γ + γ + ψ + ψ⎝ ⎠

∫ ∫ (5.69)

denklemi elde edilir. Denklem (5.40) yukarıdaki ifadede yerine yazılır ve elde edilen

denklemin varyasyonu alınırsa;

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

u v w v u w1 A 1 BN NA AB R B AB R

v u w u v w1 A 1 BN NA AB R B AB R

1 A 1 BM M1U A AB B AB2

1 A 1 BM MA AB B AB

α βα β

αβ βααβ αβ

β βα αα β

β βα ααβ βα

∂δ δ δ ∂δ δ δ∂ ∂+ + + + +

∂α ∂β ∂β ∂α

∂δ δ δ ∂δ δ δ∂ ∂+ − + + − +

∂α ∂β ∂β ∂α

δψ ∂δψ∂δψ δψ∂ ∂+ + + +

δ = ∂α ∂β ∂β ∂α∂δψ δψδψ ∂δψ∂ ∂

+ − + −∂α ∂β ∂β

0 0 0 0 0 0

ABd d

w u v w v u1 1Q QA R R A R R

P R P R

α β

α α β βα αβ β αβ

α α α β β β

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ α β⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂α⎜ ⎟

∂δ δ δ ∂δ δ δ⎜ ⎟+ − − + δψ + − − + δψ⎜ ⎟∂α ∂α⎜ ⎟⎜ ⎟+ δψ + δψ⎝ ⎠

∫ ∫

(5.70)


79

şekil değiştirme enerjisinin varyasyonu elde edilir. Aşağıda yer alan kinetik enerji

ifadesinin varyasyonu alınarak Denklem (5.72) elde edilir.

( )

( )

( )

22 2 20 0 0

22 2 2

2

0 0

1 1 1 zT u v w 1 z2 R R R R

1 1 zz 1 zR R R R

1 1 z2z u v 1 z ABd dR R R R

α β α β α β

α βα β α β

α βα β α β

⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪= + + ⎜ + + + ⎟⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎩⎛ ⎞⎛ ⎞

+ ψ +ψ ⎜ + + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎫⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎪+ ψ + ψ ⎜ + + + ⎟ α β⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎭

∫ ∫ & & &

& &

& && &

(5.71)

( )2

0 0 0 0 0 01 1 1 zT 2u u 2v v 2w w 1 z2 R R R Rα β α β α β

⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪δ = δ + δ + δ ⎜ + + + ⎟⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎩∫ ∫ & & & & & &

( )4

2 3 1 1 z2 2 z zR R R Rα α β βα β α β

⎛ ⎞⎛ ⎞+ ψ δψ + ψ δψ ⎜ + + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

& & & &

( )3

20 0

1 1 z2 u 2u z zR R R Rα αα β α β

⎛ ⎞⎛ ⎞+ δ ψ + δψ ⎜ + + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

& && &

( )3

20 0

1 1 z2 v 2v z z ABd dR R R Rβ βα β α β

⎫⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎪+ δ ψ + δψ ⎜ + + + ⎟ α β⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎝ ⎠⎭& && & (5.72)

Denklem (5.64) kullanılarak aşağıdaki ifade elde edilir.

( ) 30 0 0 0 0 0 1 2

I1 1 1T 2u u 2v v 2w w I I2 R R R Rα β α β α β

⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪δ = δ + δ + δ ⎜ + + + ⎟⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎩∫ ∫ & & & & & &

( ) 53 4

I1 12 2 I IR R R Rα α β βα β α β

⎛ ⎞⎛ ⎞+ ψ δψ + ψ δψ ⎜ + + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

& & & &

( ) 40 0 2 3

I1 12 u 2u I IR R R Rα αα β α β

⎛ ⎞⎛ ⎞+ δ ψ + δψ ⎜ + + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

& && & (5.73)

( ) 40 0 2 3

I1 12 v 2v I I ABd dR R R Rβ βα β α β

⎫⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎪+ δ ψ + δψ ⎜ + + + ⎟ α β⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎝ ⎠⎭& && &


80

( )1

0

t

tT W U dt 0δ + − =∫ (5.74)

Denklem, yukarıda elde edilen enerji terimleri ile tekrar düzenlenir ve kısmi

integrasyonlar alınırsa, hareket denklemlerine ulaşılır. Varyasyon yapılırken

fonksiyonelin sınırlarda sıfır değerini aldığı kabulü geçerlidir.

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2 21 20

2 21 20

A B AB ABBN AN N N Q Q ABqR R

AB I u I

B A AB ABAN BN N N Q Q ABqR R

AB I v I

α βα αβ β α β αα αβ

α

β αβ βα α β α ββ αβ

β

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + +

∂α ∂β ∂β ∂α

= + ψ

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + +

∂β ∂α ∂α ∂β

= + ψ

&&&&

&&&&

( ) ( )

( )

n

21 0

N N NNAB BQ AQ ABqR R R

AB I w

β αβ βααα β

α β αβ

⎛ ⎞+ ∂ ∂− + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂α ∂β⎝ ⎠

= &&

(5.75)

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2 22 30

2 22 30

A B ABBM AM M M ABQ P ABmR

AB I u I

B A ABAM BM M M ABQ P ABmR

AB I v I

α βα αβ β α α αα

α

β αβ βα α β β ββ

β

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + +

∂α ∂β ∂β ∂α

= + ψ

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + +

∂β ∂α ∂α ∂β

= + ψ

&&&&

&&&&

Yukarıdaki denklemde yer alan qα, qβ ve qn dış kuvvetlerin yaptığı iştir. iI terimi ise

aşağıda genel olarak formüle edilmiştir. Bu denklemde yer alan iI terimi Denklem

(5.64)’de açıklanmıştır.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

βα

+

βα+ RR

IR1

R1III 2i

1iii i=1,2,3 (5.76)


81

5.5. İnce Kabuk Teorisi

Eğer bir kabuk elemanda kabuk kalınlığının açıklığına oranı 1/20 den küçük

ise bu tip kabuklar ince kabuk olarak adlandırılmaktadır. İnce kabuk teorisinde

kayma deformasyonları ve dönme atalet kuvvetleri ihmal edilmektedir. Bu kabullere

dayanarak çeşitli ince kabuk teorileri geliştirilmiştir. Teoriler geliştirilirken öncelikle

tek tabakalı izotropik kabuklar temel alınmış daha sonra ise ortotropik kabuklar için

teoriler geliştirilmiş ve sonunda anizotropik tabakalı kompozit ince kabuklar için

genel ifadeler içeren formülasyonlar geliştirilmiştir.

5.5.1. İnce Kabuklarda Kinematik İlişkiler

İnce kabuklar için kabuk kalınlığının eğrilik yarıçapına oranı olan z/R çok

çok küçük olduğu için ihmal edilebilir. Bu durumda şekil değiştirmeler aşağıdaki

gibi yazılabilir.

0

0

0

zz

z

α α α

β β β

αβ αβ

ε = ε + κε = ε + κ

γ = γ + τ

(5.77)

Orta düzlem şekil değiştirme ve eğriliklerinin ifadeleri aşağıda görülmektedir.

0 0 00

0 0 00

0 0 0 0 00

u v w1 AA AB R

v u w1 BB AB R

v u u v w1 A 1 B 2A AB B AB R

1 AA AB1 BB AB

1 A 1 BA AB B AB

αα

ββ

αβαβ

βαα

β αβ

β βα α

∂ ∂ε = + +

∂α ∂β∂ ∂

ε = + +∂β ∂α

∂ ∂∂ ∂ε = − + − +

∂α ∂β ∂β ∂α

ψ∂ψ ∂κ = +

∂α ∂β∂ψ ψ ∂

κ = +∂β ∂α

∂ψ ψψ ∂ψ∂ ∂τ = − + −

∂α ∂β ∂β ∂α

(5.78)


82

Yukarıdaki denklemde yer alan αψ ve βψ ifadeleri aşağıdaki gibidir.

β∂∂

−+=ψ

α∂∂

−+=ψ

αβββ

αβαα

000

000

wB1

Ru

Rv

wA1

Rv

Ru

(5.79)

5.5.2. İnce Kabuklarda Gerilme Sonuçları

İnce kabuk için Kirchoff hipotezi kullanılabilir. Bu hipoteze göre ince

kabuklar, kalınlığının açıklığına oranı 1/20 den küçük olan kabuklar olarak

tanımlanır. Kabuk malzemesinin homojen, izotrop (veya burada ortotrop) ve elastik

olduğu kabul edilmektedir.

İnce kabuklarda klasik tabaka teorisi olarak bilinen Kirchoff hipotezi’nin

temel kabulleri aşağıda verilmektedir.

a) Orta düzlemdeki çökme kabuk kalınlığı yanında çok küçüktür (w << t).

b) Eğilmeden sonrada orta düzlem şekil değiştirmez.

c) Başlangıçta orta düzleme dik olan düzlemler eğilmeden sonrada orta düzleme

dik kalırlar.

Buna göre γαz ve γβz kayma deformasyonları ihmal edilir.( γαz =0, γβz =0).

Şekil 5.6. Kirchoff hipotezine göre plağın eğilmesi

d) εz=0 dır.

m

m

m'


83

e) Orta düzleme dik olan normal gerilme σz diğer gerilme bileşenleri yanında

çok küçüktür ve ihmal edilebilir.

Bu durumda kabuk eleman için kayma deformasyon ifadesi ve εz ihmal

edilebilir. Ayrıca ince kabukta kalınlık çok küçük olduğu için z/Rα ve z/Rβ terimleri

de ihmal edilebilir. Böylece Nαβ=Nβα ve Mαβ=Mβα olur.

Tabakalı kompozit ince kabuklar için gerilme-şekil değiştirme ilişkisi

aşağıdaki gibidir.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσσ

αβ

β

α

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

662616

262212

161211

QQQQQQQQQ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

γεε

αβ

β

α

(5.80)

Yukarıda görüldüğü gibi ince kabuk için elde edilen transformasyona uğramış

indirgenmiş rijitlik matrisi 3X3 boyutundadır. Kabuk elemanın kalınlığı boyunca

gerilmelerin integrasyonu alınarak, kabuk elemandaki kuvvet ve moment değerleri

elde edilir. Normal kuvvetler ve momentler aşağıda görülmektedir.

dzzMMM

dzNNN

2h

2h

2h

2h

∫

∫

−αβ

β

α

αβ

β

α

−αβ

β

α

αβ

β

α

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσσ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσσ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

(5.81)

Denklem (5.77-80), Denklem (5.81)’ de yerine yazılır ve elde edilen ifadeler

tabakadan tabakaya, tabaka kalınlığı boyunca integre edilirse, normal kuvvetler ve

momentlerin yer aldığı aşağıdaki denkleme ulaşılmaktadır.


84

11 12 16 11 12 16 0

12 22 26 12 22 26 0

13 26 66 16 26 66 0

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

N A A A B B BN A A A B B BN A A A B B BM B B B D D DM B B B D D DM B B B D D D

α α

β β

αβ αβ

α α

β β

αβ

ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥γ

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥κ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥κ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

τ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

(5.82)

Bu denklemlerde yer alan ij ij ijA ,B ve D terimleri aşağıda tanımlanmıştır.

N(k)

ij ij k k 1k 1

N(k) 2 2

ij ij k k 1k 1N

(k) 3 3ij ij k k 1

k 1

A Q (h h )

1B Q (h h )21D Q (h h )3

−=

−=

−=

= −

= −

= −

∑

∑

∑

(5.83)

Yukarıdaki ifadelerde [A] uzama rijitlik matrisi, [B] eğilme-uzama arasındaki

bağlanma rijitlik matrisi, [D] eğilme rijitlik matrisidir. [B] matrisinin varlığı, eğilme

ve uzama arasında bir girişim bulunduğunu göstermektedir, bu yüzden [B]

matrisinde yer alan Bij terimleri tabaka üzerinde çekme etkisi yaparak, tabakanın

eğilme ve burulmasına neden olur. A16 ve A26 terimleri, bir tabakadaki kayma şekil

değiştirmesi ile normal gerilme arasında ve normal şekil değiştirme ile kayma

gerilmesi arasında varolan bağı gösterir. D16 ve D26 ise bir tabakadaki eğilme ile

burulma arasındaki bağı göstermektedir. [A], [B] ve [D] matrisleri kompozitlerin

çeşitli şartlar altında davranışını anlamamızda bize yardımcı olmaktadırlar.


85

5.5.3. İnce Kabuklarda Enerji Denklemleri

İnce kabuklar için enerji denklemleri yazılırken, ince kabuk elemanlar için

yapılan kabuller dikkate alınır. Böylece denklemler daha basit bir hal alırlar. İnce

kabuk elemanların şekil değiştirme enerjisi şu şekilde tanımlanır.

{ }

{ }vh 2

h 2

1U dV2

1 ABd d dz2 β

α α β β αβ αβ

α α β αβ αβ

α β −

= σ ε + σ ε + σ γ

= σ ε + σ ε +σ γ α β

∫

∫ ∫ ∫ (5.84)

Denklem (5.77) ve (5.81) yukarıdaki denklem de yerine yazılırsa;

0 0 0N N N1U ABd dM M M2α α β β αβ αβ

α α β β αβα β

ε + ε + ε⎧ ⎫⎪ ⎪= α β⎨ ⎬+ κ + κ + τ⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫ (5.85)

denklemi elde edilir. Dış kuvvetlerin yaptığı iş ise aşağıdaki gibi yazılabilir.

{ }0 0 n 0W q u q v q w ABd dα βα β

= + + α β∫ ∫ (5.86)

İnce kabuklar için kinetik enerji ifadesi de yapılan kabuller ve ihmaller dikkate

alınarak şu şekilde yazılabilir.

{ }

( )

2 2 2

Vh 2

2 2 2

h 2

1T u v w dV2

1 u v w ABd d dz2 α β

−

= + +

= + + α β

∫

∫ ∫ ∫

& & &

& & & (5.87)

Yukarıdaki denklemin h/2 ve –h/2 sınırlarında integrasyonu alınırsa aşağıdaki

denklem elde edilir.


86

( )( ){ }2 2 21

1T u v w I ABd d2 α β

= + + α β∫ ∫ & & & (5.88)

Burada yer alan [ ]1I atalet terimi daha önceden Denklem (5.64)’de açıklanmıştı.

Daha önceden açıklandığı üzere ( )kρ , k nıncı tabakadaki kabuk elemanın birim

alanının yoğunluğudur. Elde edilen enerji denklemleri, ince kabuklar için elde

edilecek hareket denklemlerinin türetilmesinde kullanılır.

5.5.4. İnce Kabuklarda Hareket Denklemleri

Sınır şartları ve hareket denklemleri oluşturulurken kalın kabuk

denklemlerinde olduğu gibi Hamilton prensibi kullanılabilir ve kalın kabuk

denklemlerindeki işlem adımları uygulanarak aşağıdaki denklemlere ulaşılır.

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

21 0

21 0

n

21 0


AB I u


AB I v


AB I w



β αβ βααα β

α β αβ

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + +

∂α ∂β ∂β ∂α

=

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + +

∂β ∂α ∂α ∂β

=

⎛ ⎞+ ∂ ∂− + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂α ∂β⎝ ⎠

=

&&

&&

&&

(5.89)

Yukarıdaki denklemde;

( ) ( )

( ) ( )

A BABQ BM AM M M

B AABQ AM BM M M

α α βα αβ β

β β αβ βα α

∂ ∂ ∂ ∂= + + −∂α ∂β ∂β ∂α∂ ∂ ∂ ∂

= + + −∂β ∂α ∂α ∂β

(5.90)

Bu denklemde yer alan 1I terimi Denklem (5.64)’de açıklanmıştır.


87

5.6. Sığ Kabukların Analizi

Kabuk elemanların küçük eğriliklere sahip olmaları durumunda bu kabuklar

sığ kabuk olarak adlandırılırlar. Daha önceki kısımlarda yazılan genel kabuk

denklemleri, sığ kabuklara uygulanabilir. Bu uygulama esnasında, genel kabuk

denklemlerinde bazı kabuller yapılarak sığ kabuklar için denklemler tekrar

düzenlenir.

Bu kısımda ince ve kalın sığ kabukların temel denklemleri elde edilecek ve

elde edilen denklemler yardımıyla, çeşitli durumlardaki sığ kabukların serbest

titreşim analizleri yapılacaktır. Kabuklar için elde edilen çözüm yöntemleri için iki

farklı teori kullanılmaktadır. Bu teoriler literatürde, ince kabuklar için klasik tabakalı

sığ kabuk teorisi (classical laminated shallow shell theory, CLSST), kalın kabuklar

için ise kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (shear deformation shallow shell

theory, SDSST) olarak adlandırılmaktadır.

Sığ kabuklarda, eğrilik yarıçapı düzlemsel deplasmanlarla karşılaştırıldığında

çok büyüktür. Ayrıca u ve v düzlemsel deplasmanları da kendilerine normal

doğrultudaki w deplasmanı ile karşılaştırıldıklarında çok küçüktürler. Bunlara ek

olarak kayma kuvvetleri ii

NRi

∂∂

terimi yanında çok küçüktür ( ii i

NQ Ri

∂<<

∂)

(Ambartsumian 1964). Ayrıca i

z1R

+ terimi de 1’e çok yakındır. Bütün bu kabuller

dikkate alındığında kabuklar için yazılan genel denklemler sığ kabuklar için özel

denklemlere dönüşür.

5.6.1. İnce Sığ Kabukların Temel Denklemleri

Genel ince kabuklar için yapılan kabuller, ince sığ kabuklar için geliştirilen

denklemler için de geçerlidir. Klasik tabaka teorisi çok ince sığ kabuklar için iyi

sonuçlar vermektedir. Kabuk kalınlığı arttıkça, yapılan kabuller ve ihmallerden ötürü

ince kabuklar için yapılan çözümlerin gittikçe kalınlaşan kabuklar için iyi sonuçlar

vermediği görülür.


88

5.6.1.1. İnce Sığ Kabuklarda Kinematik İlişkiler

Genel kabuk denklemlerinde yukarıdaki kabuller ışığında ihmaller

yapıldığında Denklem (5.77) ve Denklem (5.79) aşağıdaki gibi yazılabilir.

0

0

0

zz

z

α α α

β β β

αβ αβ αβ

ε = ε + κε = ε + κ

γ = γ + τ

(5.91)

0

0

w1A

w1B

α

β

∂ψ = −

∂α∂

ψ = −∂β

(5.92)

5.6.1.2. İnce Sığ Kabuklarda Gerilme İfadeleri

İnce sığ kabukların gerilme ifadeleri ince kabuklar için yazılanlara

benzemektedir. Bu ifadelerde z/R ifadesi ihmal edildiği için bu denklemler plaklar

için yazılan denklemlere de benzemektedir. İnce sığ kabuklar için gerilme ifadeleri

yardımıyla elde edilen kuvvetler Denklem (5.81-83) ile aynıdır.

5.6.1.3. İnce Sığ Kabuklarda Hareket Denklemleri

İnce kabuklar için denklem (5.89) ve (5.90)’da yazılan ifadeler yukarıda ince

sığ kabuklar için yapılan kabuller dikkate alınarak tekrar düzenlenirse hareket

denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir.


89

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

21 0

21 0

n

21 0

A BBN AN N N ABq AB I u

B AAN BN N N ABq AB I v


AB I w

α βα αβ β α

β αβ βα α β

β αβ βααα β

α β αβ

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + =

∂α ∂β ∂β ∂α∂ ∂ ∂ ∂

+ + − + =∂β ∂α ∂α ∂β

⎛ ⎞+ ∂ ∂− + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂α ∂β⎝ ⎠

=

&&

&&

&&

(5.93)

Yukarıdaki denklemde görülen,

( ) ( )

( ) ( )

A BABQ BM AM M M

B AABQ AM BM M M

α α βα αβ β

β β αβ βα α

∂ ∂ ∂ ∂= + + −∂α ∂β ∂β ∂α∂ ∂ ∂ ∂

= + + −∂β ∂α ∂α ∂β

(5.94)

şeklindedir. Bu denklemde yer alan 1I terimi Denklem (5.64)’de açıklanmıştır.

Denklemlerde yer alan eğrisel (α,β) koordinatları kartezyen koordinatlarda (x,y)’dir.

Denklemler eğrisel (α,β) koordinatlarında yazılmıştır ve bu durumda Lamé

parametreleri A=1 ve B=1 olur. Denklemler, izdüşümü dikdörtgen olan silindirik sığ

kabuklar için tekrar düzenlendiğinde orta düzlem şekil değiştirmeleri ve eğrilikleri şu

şekilde yazılabilir;

0 00

0 00

0 0 00

20

2

20

2

20

u wR

v wR

v u w2R

w

w

w2

αα

ββ

αβαβ

α

β

∂ε = +

∂α∂

ε = +∂β

∂ ∂γ = + +

∂α ∂β

∂κ = −

∂α∂

κ = −∂β

∂τ = −

∂α∂β

(5.95)


90

Bu durumda hareket denklemleri aşağıdaki şekilde yazılır.

21 0

21 0

2 222

n 1 02 2

N N q I u

N N q I v

N N N M MN M 2 q I wR R R

α βα α

β αβ β

β αβ βα αβ βα α

α β αβ

∂ ∂+ + =

∂α ∂β∂ ∂

+ + =∂β ∂α

⎛ ⎞+ ∂ ∂∂− + + + + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂α∂β∂α ∂β⎝ ⎠

&&

&&

&&

(5.96)

Denklem (5.82) ve Denklem (5.95), Denklem (5.96)’da yerine yazıldığında, elde

edilen denklemler matris formunda şu şekilde yazılabilir.

11 12 13 0 1 02

21 22 23 0 1 02

31 32 33 0 1 0 z

L L L u I 0 0 u pL L L v 0 I 0 v p

tL L L w 0 0 I w p

α

β

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(5.97)

Denklem (5.97)’de yer alan Lij sabitleri aşağıda listelenmiştir.


91

( )

2 2 2

11 11 16 662 2

2 2 2

12 21 16 12 66 262 2

3 3 3 3

13 31 11 26 16 12 663 3 2 2

16 16 26 6611 12

22

L A 2A A

L L A (A A ) A

L L B B 3B B 2B

2A A A 2AA AR R R R R R

L A

α β αβ α β αβ

∂ ∂ ∂= + +

∂α∂β∂α ∂β

∂ ∂ ∂= = + + +


⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂= = − + + + +⎢ ⎥

∂α ∂β ∂α ∂β ∂α∂β⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂

+ + + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂α ∂β⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

( )

( )

2 2 2

66 26 222 2

3 3 3 3

23 32 16 22 26 12 663 3 2 2

16 26 66 6612 22

4 4 4

33 11 16 12 664 3 2 2

4

26

2A A

L L B B 3B B 2B

A A 2A 2AA AR R R R R R

L D 4D 2 D 2D

4D


∂ ∂ ∂+ +


⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂= = − + + + +⎢ ⎥

∂α ∂β ∂α∂β ∂α ∂β⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂

+ + + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂α ∂β⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∂ ∂ ∂= + + +

∂α ∂α ∂β ∂α ∂β

∂+

∂α

4 21611 12

223 4 2

2 216 26 66 2612 22

2

16 26 6611 12 222 2

BB BD 2 2R R R

B B B BB B2 2 2R R R R R R

A A AA 2A A 4R R R R R RR R

α β αβ


α β αβ α β αβα β

⎧⎛ ⎞∂ ∂⎪+ − + +⎜ ⎟⎨⎜ ⎟∂β ∂β ∂α⎪⎝ ⎠⎩⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ⎪+ + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂α∂β ∂β ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭

⎡ ⎤+ + + + + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.98)


92

5.6.2. Kalın Sığ Kabukların Temel Denklemleri

Kalın plak ve kabukların genel denklemleri kalın sığ kabuklar için yazılan

denklemlere benzemektedir. Kalın kabuklarda dikkate alınan kayma deformasyon

etkisi ve dönme atalet faktörü burada da geçerlidir.

5.6.2.1. Kalın Sığ Kabuklarda Kinematik İlişkiler

Genel kabuk denklemlerinde kalın kabuklar için yazılan Denklem (5.38)

burada da geçerlidir. Denklem (5.39)’da yer alan z/R terimi ve Rψ terimleri ihmal

edilirse herhangi bir noktadaki şekil değiştirmeler, orta düzlem şekil değiştirmeleri

ve eğrilik değişimleri açısından aşağıdaki gibi yazılabilir.

0

0

0

0

z 0 z

z 0 z

zz

zz

α α α

β β β

αβ αβ αβ

βα βα βα

α α

β β

ε = ε + κε = ε + κ

ε = ε + κ

ε = ε + κ

γ = γ

γ = γ

(5.99)

Sığ kabuklar için yapılan kabuller ve Denklem (5.40) dikkate alınarak orta düzlem

şekil değiştirmeleri aşağıdaki biçimde yazılabilir.


93

0 0 00

0 0 00

0 0 00

0 0 00

00 z

00 z

u v w1 AA AB R

v u w1 BB AB R

v u w1 AA AB R

u v w1 BB AB R

w1A

w1B

αα

ββ

αβαβ

βααβ

α α

β β

∂ ∂ε = + +

∂α ∂β

∂ ∂ε = + +

∂β ∂α

∂ ∂ε = − +

∂α ∂β

∂ ∂ε = − +

∂β ∂α

∂γ = +ψ

∂α∂

γ = +ψ∂β

(5.100)

Eğrilik ifadeleri de Denklem (5.41)’deki gibidir.

5.6.2.2. Kalın Sığ Kabuklarda Gerilme İfadeleri

Kalın kabuklar için elde edilen gerilme değerlerinin integrasyonu alınarak ve

sığ kabuklar için yapılan kabuller hesaba katılarak kuvvet ve moment değerleri şu

şekilde yazılabilir.

11 12 16 11 12 16 0

12 22 26 12 22 26 0

16 26 66 16 26 66 0

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

N A A A B B BN A A A B B BN A A A B B BM B B B D D DM B B B D D DM B B B D D D

α α

β β

αβ αβ

α α

β β

αβ

ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥γ

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥κ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥κ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

τ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

(5.101)

0 z55 45

0 z45 44

Q A AQ A A

α α

β β

γ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ γ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦


94

5.6.2.3. Kalın Sığ Kabuklarda Hareket Denklemleri

Kalın kabuklar için daha önceden elde edilen Denklem (5.75) ifadesi sığ

kabuk kabulleri dikkate alınarak tekrar düzenlenirse hareket denklemleri aşağıdaki

gibi yazılabilir.

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2 21 20

2 21 20


AB I u I


AB I v I


α


β

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + +

∂α ∂β ∂β ∂α

= + ψ

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + +

∂β ∂α ∂α ∂β

= + ψ

&&&&

&&&&

( ) ( )

( )

n

21 0


AB I w

β αβ βααα β

α β αβ

⎛ ⎞+ ∂ ∂− + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂α ∂β⎝ ⎠

= &&

(5.102)

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2 22 30

2 22 30

A B ABBM AM M M ABQ P ABmR

AB I u I

B A ABAM BM M M ABQ P ABmR

AB I v I

α βα αβ β α α αα

α

β αβ βα α β β ββ

β

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + +

∂α ∂β ∂β ∂α

= + ψ

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + +

∂β ∂α ∂α ∂β

= + ψ

&&&&

&&&&

dir. Bu denklemde yer alan iI terimi Denklem (5.76)’da açıklanmıştır. Burada da

Lamé parametreleri A=1 ve B=1 olur. Denklemler, izdüşümü dikdörtgen olan

silindirik sığ kabuklar için tekrar düzenlendiğinde orta düzlem şekil değiştirmeleri ve

eğrilikleri şu şekilde yazılabilir;


95

0 00

0 00

0 00

0 00

0 0 00

0 00 z 0 z

u wR

v wR

u wR

v wR

v u w2R

w w,

, , ,

αα

ββ

αβαβ

βααβ

αβαβ

α α α β

β βα αα β αβ βα

∂ε = +

∂α∂

ε = +∂β

∂ε = +

∂β

∂ε = +

∂α

∂ ∂γ = + +

∂α ∂β

∂ ∂γ = +ψ γ = +ψ

∂α ∂β∂ψ ∂ψ∂ψ ∂ψ

κ = κ = κ = κ =∂α ∂β ∂α ∂β

(5.103)

Bu durumda hareket denklemleri aşağıdaki şekilde yazılır.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 21 20

2 21 20

N N q I u I

N N q I v I

α βα α α

β αβ β β

∂ ∂+ + = + ψ

∂α ∂β∂ ∂

+ + = + ψ∂β ∂α

&&&&

&&&&

( ) ( ) ( )21n 0

N N NNAB Q Q q I wR R R

β αβ βααα β

α β αβ

⎛ ⎞+ ∂ ∂− + + + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂α ∂β⎝ ⎠

&& (5.104)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 22 30

2 22 30

M M Q m I u I

M M Q m I v I

α βα α α α

β αβ β β β

∂ ∂+ + + = + ψ

∂α ∂β∂ ∂

+ + + = + ψ∂β ∂α

&&&&

&&&&

Denklem (5.101) ve Denklem (5.103), Denklem (5.104)’de yerine yazıldığında elde

edilen denklemler matris formunda şu şekilde yazılabilir.


96

011 12 13 14 15

021 22 23 24 25

031 32 33 34 35

41 42 43 44 45

51 52 53 54 55

01 2

01 2 2

01 2

2 3

2 3

uL L L L LvL L L L LwL L L L L

L L L L LL L L L L

uI 0 0 I 0v0 I 0 0 Iw0 0 I 0 0

tI 0 0 I 00 I 0 0 I

α

β

α

β

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ψ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ψ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− − ⎡⎡ ⎤⎢⎢ ⎥− − ⎢⎢ ⎥ ∂ ⎢⎢ ⎥+ −

∂ ⎢⎢ ⎥ ψ− − ⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ ψ− −⎣ ⎦ ⎣

n

pp

pmm

α

β

α

β

−⎤ ⎡ ⎤⎥ ⎢ ⎥−⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥=⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎦

(5.105)

Denklem (5.105)’de yer alan Lij sabitleri aşağıda listelenmiştir.


97

2 2 2

11 11 16 662 2

2 2 2

12 16 12 66 262 2

16 16 26 6611 1213

2 2 2

14 11 16 662 2

2 2 2

15 16 12 66 262

L A 2A A

L A (A A ) A

2A A A 2AA ALR R R R R R

L B 2B B

L B (B B ) B


∂ ∂ ∂= + +


∂ ∂ ∂= + + +


⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂= + + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∂α ∂β⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∂ ∂ ∂= + +


∂ ∂ ∂= + + +

∂α∂β∂α 2

2 2 2

22 66 26 222 2

26 16 66 6622 1223

2 2 2

24 16 12 66 262 2

2 2 2

25 66 26 222 2

2 2 2

33 55 45 442

L A 2A A

A A 2A 2AA ALR R R R R R

L B (B B ) B

L B 2B B

L A 2A A

β α αβ β α αβ

∂β

∂ ∂ ∂= + +


⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂= + + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∂α ∂β⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∂ ∂ ∂= + + +


∂ ∂ ∂= + +


∂ ∂ ∂= − − −

∂α∂β∂α ∂11 12 22

2 2 2

16 26 66

16 16 26 6611 1234 55 45

16 26 66 2612 2235 45 44

A 2A AR RR R

A A A4R R R R

2B B B 2BB BL A AR R R R R R

B B 2B 2BB BL A AR R R R R R

α βα β

αβ α β αβ



+ + +β

⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂

= − + + + + − + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂α ∂β⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂= − + + + + − + + +⎢ ⎥ ⎢

∂α⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣2 2 2

44 55 11 16 662 2

2 2 2

45 45 16 12 66 262 2

2 2 2

55 44 66 26 222 2

L A D 2D D

L A D (D D ) D

L A D 2D D

∂⎥∂β⎥⎦

∂ ∂ ∂= − + + +


∂ ∂ ∂= − + + + +


∂ ∂ ∂= − + + +


(5.106)


98

5.7. Sığ Kabuklar İçin Serbest Titreşim Analizi

Bu çalışmada, izdüşümü dikdörtgen olan, dört kenarından basit mesnetli sığ

kabuk problemlerinin analizi yapılmıştır. Analizlerde hem ince kabuk hem de kalın

kabuklar için çapraz-katlı (cross-ply) tabaka dizilimine sahip tabakalı kompozit sığ

kabuk problemleri incelenmiştir.

5.7.1. İnce Sığ Kabuklar İçin Serbest Titreşim Analizi

Dört kenarından basit mesnetli, aXb kenar uzunluklu ince sığ kabuk için sınır

şartları aşağıda verilmiştir.

0 0

0 0

N w v M 0 0,aN w u M 0 0,aα α

β β

= = = = α =

= = = = β = (5.107)

Yukarıda anlatılan sınır şartlarını sağlayan deplasman fonksiyonları ise şu şekildedir;

M N

0 mn m n mnm 0 n 0M N

0 mn m n mnm 0 n 0

M N

0 mn m n mnm 0 n 0

u ( , , t) U Cos( )Sin( )Sin( t)

v ( , , t) V Sin( )Cos( )Sin( t)

w ( , , t) W Sin( )Sin( )Sin( t)

= =

= =

= =

α β = α α β β ω



∑∑

∑∑

∑∑

(5.108)

Burada;

m n mnm n, ,a bπ π

α = β = ω ise doğal frekanstır.


99

Yukarıdaki denklemler Denklem (5.97)’de yerine konulursa ince sığ kabukların

çözümü için gerekli denklem sistemi matris formunda elde edilir. Bu denklemlerde

yer alan yüklemeler sıfıra eşitlenirse, serbest titreşim analizi için gerekli denklem

takımı elde edilmiş olur.

11 12 13 m n

21 22 23 m n

31 32 33 m n

11 m n m n2

m n 22 m n m n

33 m n zm n

C C C UC C C VC C C W

M 0 0 U p0 M 0 V p0 0 M W p

α

β

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ ω = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(5.109)

2 211 11 m 66 n

12 21 12 66 m n

2 222 66 m 22 n

3 2 11 1213 31 11 m 12 66 m n m

3 2 12 2223 32 22 m 12 66 m n n

4 2 2 433 11 m 12 66 m n 22 n

C A A

C C (A A )

C A A

A AC C B (B 2B )R R

A AC C B (B 2 B )R R

C (D 2(D 2D ) D )

α β

α β

= − α − β

= = − + α β

= − α − β

⎛ ⎞= = α + + α β + + α⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= = α + + α β + + β⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= − α + + α β + β

2 211 12 12 22m n

11 12 222

11 1 22 1 33 1

B B B B2R R R R

A A A2R R R R

M I , M I , M I

α β α β

α α β β

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + α + + β⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞

+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= − = − =

(5.110)

Aşağıdaki denklemin çözümü ile serbest titreşim frekansları elde edilmiş olur.

Denklemde yer alan [C] matrisi rijitlik matrisi [M] matrisi ise kütle matrisidir.

[ ]{ } ( ) [ ]{ }2

mnC M 0Δ + ω Δ = (5.111)


100

5.7.2. Kalın Sığ Kabuklar İçin Serbest Titreşim Analizi

Dört kenarından basit mesnetli, aXb kenar uzunluklu kalın sığ kabuk için

sınır şartları aşağıda verilmiştir.

0 0

0 0

N w v M 0 0,a

N w u M 0 0, bα α β

β β α

= = = = ψ = α =

= = = = ψ = β = (5.112)

Yukarıda anlatılan sınır şartlarını sağlayan deplasman fonksiyonları ise şu şekildedir;

M N

0 mn m n mnm 0 n 0M N

0 mn m n mnm 0 n 0

M N

0 mn m n mnm 0 n 0

M N

mn m n mnm 0 n 0

u ( , , t) U Cos( )Sin( )Sin( t)

v ( , , t) V Sin( )Cos( )Sin( t)

w ( , , t) W Sin( )Sin( )Sin( t)

( , , t) Cos( )Sin( )Sin( t)

( , ,

= =

= =

= =

α α= =

β




ψ α β = ψ α α β β ω

ψ α β

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑M N

mn m n mnm 0 n 0

t) Sin( )Cos( )Sin( t)β= =

= ψ α α β β ω∑∑

(5.113)

Burada, m n mnm n, ,a bπ π

α = β = ω ise doğal frekanstır. Bu denklemlerde yer alan

mn mn mn mn mnU , V , W , ,α βψ ψ ifadeleri rastgele sabitlerdir. Yukarıdaki denklemler

Denklem (5.105)’de yerine konulursa kalın sığ kabukların çözümü için gerekli

denklem sistemi matris formunda elde edilir. Daha öncede belirtildiği üzere, bu

denklemlerde yer alan yüklemeler sıfıra eşitlenirse, serbest titreşim analizi için

gerekli denklem takımı elde edilmiş olur.


101

m n11 12 13 14 15

m n21 22 23 24 25

m n31 32 33 34 35

m n41 42 43 44 45

m n51 52 53 54 55

m n11 14

m n11 252

m nm n 11

m14 44

25 55

UK K K K KVK K K K KWK K K K K

K K K K KK K K K K

UM 0 0 M 0V0 M 0 0 MW0 0 M 0 0

M 0 0 M 00 M 0 0 M

α

β

α

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ψ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ψ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ω⎢ ⎥ ψ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

z

n

m n

pp

pmm

α

β

α

β β

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ψ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(5.114)

Aşağıdaki denklemin çözümü ile serbest titreşim frekansları elde edilmiş olur. [ ]{ } ( ) [ ]{ }2

mnK M 0Δ + ω Δ = (5.115)

[K] ve [M] matrisinin elemanları aşağıda görülmektedir.


102

2 211 11 m 66 n

12 21 12 66 m n

11 1213 31 m

2 214 14 11 m 66 n

15 51 12 66 m n

2 222 66 m 22 n

12 2223 32 n

24 42 12 66 m n

225 52 66 m 2

K A AK K (A A )

A AK KR R

K K B BK K (B B )

K A A

A AK KR R

K K (B B )

K K B B

α β

α β

= − α − β= = − + α β

⎡ ⎤= = + α⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦= = − α − β= = − + α β

= − α − β

⎡ ⎤= = + β⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦= = − + α β

= = − α − 22 n

2 2 11 12 2233 55 m 44 n 2 2

11 1234 43 55 m

12 2235 53 44 n

2 244 55 11 m 66 n

45 54 12 66 m n

2 255 44 66 m 22 n

ij ji

11

A 2A AK A AR R R R

B BK K AR R

B BK K AR R

K A D DK K (D D )

K A D DM M ,

M M

α α β β

α β

α β

β

⎡ ⎤= − α − β − + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

= = − + + α⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

= = − + + β⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= − − α − β= = − + α β

= − − α − β=

= 22 33 1

14 25 2

44 55 3

M I ,M M I ,M M I ,

= = −= = −= = −

(5.116)

ijve diğer tüm M 0 dır.=

6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

103

6. SAYISAL UYGULAMALAR

6.1. Giriş

Bu bölümde, tabakalı kompozit plakların ve silindirik sığ kabukların serbest

titreşim davranışının anlaşılabilmesi için çeşitli yöntemler kullanılarak analizler

yapılmıştır. Plaklar için yapılan analizlerde, sonlu elemanlar yöntemi (FEM), kayma

deformasyon plak teorisi (SDPT) ve klasik plak teorisi (CLPT) olmak üzere üç farklı

yöntem ile çözümler yapılmıştır. Kabuklar için yapılan analizlerde ise, sonlu

elemanlar yöntemi (FEM), kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (SDSST) ve klasik

sığ kabuk teorisi (CLSST) olmak üzere üç farklı yöntem ile çözümler yapılmıştır.

Sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak yapılan çözümlerde, modellemelerin ve

analizlerin yapılabildiği ANSYS ve SAP2000 adlı paket programlardan

yararlanılmıştır. Plaklarla ilgili örneklerin çözümünde, sonlu elemanlar yöntemi ile

ilgili yapılan analizler için sadece ANSYS programı kullanılmıştır. Kayma

deformasyon sığ kabuk teorisi ve klasik sığ kabuk teorisi ile yapılan analizlerde

Leissa (1996), Qatu (2004) ve Reddy (2003) gibi araştırmacıların örnekleri

incelenmiş, özellikle Leissa ve Qatu’nun denklemlerinden faydalanılmıştır. Hem

plak hem de kabuk elemanlar için kullanılan kayma deformasyon teorisi ve klasik

tabaka teorisi yöntemlerinin matematiksel temelleri daha önceki bölümde

açıklanmıştır. Matematiksel denklemlerin çözümlerinin çok uzun olması, işlem

yükünün ağır olması ve çok zaman alması sebebiyle, matematiksel ifadeler

MATHEMATICA adlı bir bilgisayar programı yardımıyla çözülmüştür. Böylelikle

yapılan çözümlerde işlem hızı arttırılmış, hesap kolaylığı sağlanmış ve bilgilerin

programa doğru girilmesi halinde, hata yapma olasılığı en aza indirilmiştir.

ANSYS programı ile yapılan modellemede kabuk eleman 25X25 parçaya

ayrılmıştır (ağ yapılmıştır). Örnekte, 8 noktalı kuadratik eleman özelliğine sahip

SHELL99 elemanı kullanılmıştır.


104

6.2. Plaklarla İlgili Uygulamalar

Bu bölümde, tabakalı kompozit plakların serbest titreşim davranışının

anlaşılabilmesi için farklı kalınlık oranlarının etkisine (a/h), farklı kenar uzunluğu

oranlarının etkisine (a/b) ve çeşitli elastisite modülü oranlarının etkisine (E1/E2) sahip

simetrik çapraz-katlı (cross-ply) dizilimli plak durumu için analizler yapılmıştır.

Uygulamalarda, sonlu elemanlar yöntemi (FEM), kayma deformasyon plak teorisi

(SDPT) ve klasik plak teorisi (CLPT) olmak üzere üç farklı yöntem ile çözümler

yapılmıştır. Sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak yapılan çözümlerde, ANSYS paket

programından yararlanılmıştır. Analizlerde kullanılan diğer yöntemlerin

matematiksel temelleri daha önceki bölümde açıklanmıştır. Matematiksel

denklemlerin çözümlerinin çok uzun olması, işlem yükünün ağır olması ve çok

zaman alması sebebiyle, matematiksel ifadeler MATHEMATICA adlı bir bilgisayar

programı yardımıyla çözülmüştür.

Şekil 6.1 Farklı a/b oranlarındaki plak eleman

a

b

a/b=1 a/b=2 a/b=4


105

Çizelge 6.1. [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların farklı E1/E2 oranlarına göre boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 2

2a E hω ρΩ = ) değişimi ( 1a b = ,

12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ).

a/h E1/E2 ANSYS SDPT CLPT 1 6.12007 6.15286 6.15478 2 6.71786 6.74753 6.74999 5 8.31823 8.34196 8.34662

10 10.46814 10.48666 10.49630 15 12.24592 12.26147 12.27733 25 15.18489 15.19662 15.22779

100

50 20.76159 20.76970 20.85199 1 6.08297 6.14710 6.15478 2 6.68223 6.74017 6.74999 5 8.28242 8.32803 8.34662

10 10.42313 10.45793 10.49630 15 12.18572 12.21434 12.27733 25 15.08314 15.10439 15.22779

50

50 20.51701 20.52936 20.85199 1 5.95853 6.10739 6.15478 2 6.55763 6.68949 6.74999 5 8.13420 8.23281 8.34662

10 10.19500 10.26416 10.49630 15 11.84917 11.90100 12.27733 25 14.47669 14.50844 15.22779

20

50 19.06903 19.07681 20.85199 1 5.72154 5.97300 6.15478 2 6.30492 6.51924 6.74999 5 7.77779 7.92144 8.34662

10 9.57756 9.66106 10.49630 15 10.92149 10.97163 12.27733 25 12.87592 12.89123 15.22779

10

50 15.81186 15.79485 20.85199 1 5.20789 5.52658 6.15478 2 5.71829 5.96600 6.74999 5 6.85979 6.98622 8.34662

10 8.02737 8.06957 10.49630 15 8.77425 8.77841 12.27733 25 9.71770 9.69256 15.22779

5

50 10.93025 10.89103 20.85199


106

Şekil 6.2 [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip tabakalı kompozit plakların farklı E1/E2 oranlarına göre boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 2

2a E hω ρΩ = ) değişimi (a/b=1)

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50E1/E2

Frek

ans

Par

amet

rele

riANSYSSDPTCLPT

1100

a ba h

==

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50E1/E2

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

150

a ba h

==

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50E1/E2

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

120

a ba h

==

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50E1/E2

Frek

ans

Par

amet

rele

riANSYSSDPTCLPT

110

a ba h

==

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50E1/E2

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

15

a ba h

==


107



12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ).


10 20.69184 20.74604 20.77257 15 23.32362 23.37057 23.40746 25 27.84923 27.88672 27.94751

100

50 36.77636 36.80128 36.93693 1 14.95377 15.10163 15.14769 2 15.56422 15.70463 15.75551 5 17.57696 17.69729 17.76668

10 20.56970 20.66716 20.77257 15 23.17919 23.26112 23.40746 25 27.64606 27.70705 27.94751

50

50 36.37166 36.40420 36.93693 1 14.56333 14.86817 15.14769 2 15.16445 15.44724 15.75551 5 17.12358 17.34854 17.76668

10 19.98409 20.14322 20.77257 15 22.42767 22.54188 23.40746 25 26.49593 26.55107 27.94751

20

50 33.99383 33.97448 36.93693 1 13.73673 14.13192 15.14769 2 14.29369 14.64037 15.75551 5 16.05347 16.27805 17.76668

10 18.49386 18.59041 20.77257 15 20.46156 20.48083 23.40746 25 23.50352 23.44015 27.94751

10

50 28.37816 28.25728 36.93693 1 11.85534 12.10948 15.14769 2 12.27995 12.45597 15.75551 5 13.50514 13.52062 17.76668

10 14.98740 14.88911 20.77257 15 16.03092 15.89580 23.40746 25 17.42272 17.28304 27.94751

5

50 19.20007 19.10522 36.93693


108



05

10

15202530

354045

0 10 20 30 40 50E1/E2

Frek

ans

Par

amet

rele

riANSYSSDPTCLPT

2100

==

a ba h

05

10

15202530

354045

0 10 20 30 40 50E1/E2

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

250

==

a ba h

05

101520

2530354045

0 10 20 30 40 50

E1/E2

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

220

==

a ba h

05

10

15202530

354045

0 10 20 30 40 50E1/E2

Frek

ans

Par

amet

rele

riANSYSSDPTCLPT

210

==

a ba h

05

10

15202530

354045

0 10 20 30 40 50E1/E2

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

25

==

a ba h


109



12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ).


10 69.22367 69.29122 69.57911 15 78.11166 78.15969 78.55923 25 93.32764 93.34869 94.00514

100

50 123.0865 123.0674 124.5234 1 49.86136 50.03832 50.53991 2 51.78647 51.94518 52.49509 5 58.47123 58.57605 59.32164

10 68.41284 68.45224 69.57911 15 77.00938 77.00196 78.55923 25 91.54094 91.46768 94.00514

50

50 119.1737 119.0071 124.5234 1 47.70981 47.67943 50.53991 2 49.45178 49.37184 52.49509 5 55.36961 55.15000 59.32164

10 63.79802 63.42782 69.57911 15 70.71550 70.25646 78.55923 25 81.60519 81.06158 94.00514

20

50 99.54279 98.98777 124.5234 1 42.38488 41.67071 50.53991 2 43.65315 42.89839 52.49509 5 47.73789 46.90936 59.32164

10 52.99471 52.16609 69.57911 15 56.84935 56.07699 78.55923 25 62.15549 61.52304 94.00514

10

50 69.16991 68.78797 124.5234 1 31.58823 30.63010 44.63875 2 32.14337 31.23376 47.08189 5 33.77080 33.04046 51.62412

10 35.57083 35.05687 57.53299 15 36.71065 36.33229 62.74080 25 38.07084 37.84116 71.95660

5

50 39.56032 39.46403 90.92717


110



0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50E1/E2

Frek

ans

Par

amet

rele

riANSYSSDPTCLPT

4100

==

a ba h

0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50E1/E2

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

450

==

a ba h

0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50

E1/E2

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

420

==

a ba h

0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50E1/E2

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

410

==

a ba h

0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50E1/E2

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

45

==

a ba h


111

Çizelge 6.4. [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 2

2a E hω ρΩ = ) değişimi ( 1a b = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = ).

a/h E1/E2 ANSYS SDPT CLPT 100 6.12007 6.15286 6.15478 50 6.08297 6.14710 6.15478 20 5.95853 6.10739 6.15478 10 5.72154 5.97300 6.15478 5

1

5.20789 5.52658 6.15478 100 8.31823 8.34196 8.34662 50 8.28242 8.32803 8.34662 20 8.13420 8.23281 8.34662 10 7.77779 7.92144 8.34662 5

5

6.85979 6.98622 8.34662 100 12.24592 12.26147 12.27733 50 12.18572 12.21434 12.27733 20 11.84917 11.90100 12.27733 10 10.92149 10.97163 12.27733 5

15

8.774250 8.778410 12.27733 100 15.18489 15.19662 15.22779 50 15.08314 15.10439 15.22779 20 14.47669 14.50844 15.22779 10 12.87592 12.89123 15.22779 5

25

9.717700 9.692560 15.22779 100 20.76159 20.76970 20.85199 50 20.51701 20.52936 20.85199 20 19.06903 19.07681 20.85199 10 15.81186 15.79485 20.85199 5

50

10.93025 10.89103 20.85199


112

Şekil 6.5 [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 2


0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

150

a bE E

==

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

125

a bE E

==

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

115

a bE E

==

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

15

a bE E

==

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

11

a bE E

==


113

Çizelge 6.5. [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 2



1

11.85534 12.10948 15.14769 100 17.68436 17.74924 17.76668 50 17.57696 17.69729 17.76668 20 17.12358 17.34854 17.76668 10 16.05347 16.27805 17.76668 5

5

13.50514 13.52062 17.76668 100 23.32362 23.37057 23.40746 50 23.17919 23.26112 23.40746 20 22.42767 22.54188 23.40746 10 20.46156 20.48083 23.40746 5

15

16.03092 15.89580 23.40746 100 27.84923 27.88672 27.94751 50 27.64606 27.70705 27.94751 20 26.49593 26.55107 27.94751 10 23.50352 23.44015 27.94751 5

25

17.42272 17.28304 27.94751 100 36.77636 36.80128 36.93693 50 36.37166 36.40420 36.93693 20 33.99383 33.97448 36.93693 10 28.37816 28.25728 36.93693 5

50

19.20007 19.10522 36.93693


114



0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

225

a bE E

==

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

215

a bE E

==

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

25

a bE E

==

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

21

a bE E

==

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

250

a bE E

==


115

Çizelge 6.6.[0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 2



1

31.58823 30.63010 44.63875 100 59.03703 59.13198 59.32164 50 58.47123 58.57605 59.32164 20 55.36961 55.15000 59.32164 10 47.73789 46.90936 59.32164 5

5

33.77080 33.04046 51.62412 100 78.11166 78.15969 78.55923 50 77.00938 77.00196 78.55923 20 70.71550 70.25646 78.55923 10 56.84935 56.07699 78.55923 5

15

36.71065 36.33229 62.74080 100 93.32764 93.34869 94.00514 50 91.54094 91.46768 94.00514 20 81.60519 81.06158 94.00514 10 62.15549 61.52304 94.00514 5

25

38.07084 37.84116 71.95660 100 123.08652 123.06736 124.52345 50 119.17367 119.00711 124.52345 20 99.54279 98.98777 124.52345 10 69.16991 68.78797 124.52345 5

50

39.56032 39.46403 90.92717


116


2a E hω ρΩ = )değişimi(a/b=4)

04080

120160200240

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

450

a bE E

==

04080

120160200240

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

425

a bE E

==

04080

120160200240

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

415

a bE E

==

04080

120160200240

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

45

a bE E

==

04080

120160200240

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

41

a bE E

==


117

Bu çalışmada, tabakalı kompozit plakların tabaka kalınlık oranlarındaki

değişimin frekans parametrelerine olan etkisi incelenmiştir. Plak elemanın kenar

uzunluğunun kalınlığına oranı olan a/h değeri 100, 50, 20, 10 ve 5 olmak üzere beş

farklı durum için çözümler yapılmıştır. Analizlerde bu kalınlık oranlarının her biri

için, E1/E2 oranının 1, 2, 5, 15, 25 ve 50 olması halinde plak elemanın frekans

parametrelerindeki değişim de araştırılmıştır. Ayrıca, örneklerde plak elemanın

kenarları olan a ve b uzunluklarının birbirlerine oranı da dikkate alınarak yapılan

geometrik sınıflamada, a/b oranı 1, 2 ve 4 olacak şekilde örnekler modellenmiş

(Şekil 6.1) ve bu a/b oranlarının her biri için yukarıda belirtilen a/h ve E1/E2 oranları

ayrı ayrı dikkate alınarak çözümler yapılmıştır.

Elde edilen çizelgeler ve şekiller incelendiğinde, Çizelge 6.1 ve Şekil 6.2’de

görüldüğü gibi, tüm a/h ve E1/E2 oranlarında, ANSYS ve SDPT çözümleri ile

bulunan boyutsuz serbest titreşim frekansı değerleri, birbirleriyle uyum içerisinde

olmaktadır. Şekil 6.2’de plak kalınlık oranı olan a/h değerinin değiştiği durumlar için

ayrı ayrı grafikler oluşturulmuştur. Bu grafiklerden a/h oranının 100 olduğu durumda

üç yöntemle elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekansı değerlerinin tamamen

uyum içerisinde olduğu görülmüştür. Bunun yanı sıra, plak kalınlık oranının a/h=20

olması durumunda, ince plak teorisi (CLPT) ile kalın plak teorisi (SDPT)

sonuçlarının birbirinden uzaklaşmaya başladığı görülmektedir. Bütün grafiklerde,

E1/E2 oranlarındaki artışın, boyutsuz serbest titreşim frekansı değerlerini de arttırdığı

anlaşılmaktadır. Analizlere, plak elemanın kenar uzunlukları oranının (a/b)

arttırılması ile devam edilmiş ve a/b oranının 2 olduğu durumda elde edilen sonuçlar,

Çizelge 6.2 ve Şekil 6.3’de sunulmuştur. Çizelge 6.2 ve Şekil 6.3 incelendiğinde,

davranışın Şekil 6.2 de görülen a/b=1 durumuna benzer olduğu, ancak a/b=2 olduğu

durumda boyutsuz frekans değerlerinde a/b=1 olduğu duruma göre artış meydana

geldiği görülmüştür. Çizelge 6.3 ve Şekil 6.4’de a/b oranının 4 olduğu tabakalı plak

örneği incelenmiştir. Bu durumda ise, boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinin,

a/b oranı 1 ve 2 olması durumuna göre aşırı miktarda artış gösterdiği görülmüştür.

Çizelge 6.3. ve Şekil 6.4 incelendiğinde ANSYS ve SDPT yöntemleri ile ulaşılan

sonuçların yine birbirleri ile uyumlu olduğu, CLPT yöntemi ile elde edilen

sonuçların ise, a/h=100 olduğu durum için diğer iki yöntemle uyumlu olduğu


118

görülmektedir. Ancak a/h değerinin artması durumunda, CLPT yöntemi ile elde

edilen boyutsuz serbest titreşim frekansı değerleri, SDPT ve ANSYS çözümleri ile

bulunan boyutsuz serbest titreşim frekansı değerlerinden uzaklaşmaktadır. Şekil 6.2,

Şekil 6.3 ve Şekil 6.4 karşılaştırıldığında eğrilerin davranışlarının birbirlerine benzer

olduğu görülmüştür. Ancak a/b oranı arttıkça eğriler daha yatık hale dönüşmektedir.

Yani incelenen plak eleman kareden dikdörtgene şekline dönüşürken, E1/E2 oranı

arttıkça boyutsuz serbest titreşim frekansı değerlerindeki artış miktarı azalmaktadır.

Çizelge 6.4-5-6 ve Şekil 6.5-6-7 incelendiğinde plak kalınlık oranı olan a/h

ifadesinin boyutsuz frekans parametrelerine olan etkisi daha net görülmektedir. Tüm

grafiklerde, SDPT ve ANSYS sonuçlarının birbirleriyle örtüştüğü görülmüştür.

CLPT ile yapılan çözümlerle elde edilen sonuçların ise a/h=50 ve 100 olduğu

durumlar için diğer yöntemlerle uyum içerisinde olduğu belirlenmiştir. Çizelge 6.4

ve Şekil 6.5’de plak elemanın kenar uzunluklarının oranı 1 iken, a/h oranının artması

ile boyutsuz frekans parametrelerinin arttığı görülmektedir. Ancak a/h oranı 50 ve

100 olduğunda eğrinin yatay bir seyir izlediği, bir başka ifade ile frekans

parametrelerindeki artışın durduğu belirlenmiştir. Şekil 6.5’de E1/E2 oranı 1 iken, üç

yöntem ile elde edilen verilerle çizilen grafiğin yatay bir çizgi şeklinde olduğu

görülmektedir. Ancak E1/E2 değeri 1 den 50 ye doğru arttıkça ANSYS ve SDPT

sonuçları kullanılarak çizilen eğrilerin a/h=5,10 ve 20 de eğrisel bir hal aldığı, a/h=50

ve 100 de ise yatay bir seyir izlediği görülmektedir. Şekillerde, CLPT verileri ile

çizilen eğrilerin a/h oranının bütün değerlerinde yatay bir çizgi çizdiği görülmektedir.

Şekiller incelendiğinde, E1/E2 oranının artmasıyla her üç yöntemde de boyutsuz

frekans parametrelerinin arttığı görülmektedir. Çizelge 6.5 ve Şekil 6.6’da, a/b

oranının 2 olması durumu gösterilmiş ve çeşitli kalınlık oranlarındaki plakların

boyutsuz frekans parametreleri elde edilmiştir. Şekil 6.6 incelendiğinde davranışın

genel itibariyle Şekil 6.5’e benzediği görülmekle birlikte boyutsuz frekans

parametrelerinin arttığı görülmektedir. Çizelge 6.6 ve Şekil 6.7 yardımıyla, plak

elemanda a/b oranının 4 olduğu durum incelendiğinde, CLPT yöntemi ile elde edilen

veriler ışığında çizilen eğrilerin, a/b oranı 1 ve 2 olduğu durumlardaki gibi yatay

olmadığı görülmektedir. a/b oranının 4 olduğu durum için çizilen grafikte, eğrinin

yataylığı, a/h oranı 5 olduğu anda bozulmaktadır. Diğer bir deyişle, a/b oranı 1 ve 2


119

olduğu durumlarda CLPT ile elde edilen değerlerin plak kalınlığının artmasından

etkilenmediği ve sabit olduğu görülmektedir. Ancak CLPT yöntemi ile yapılan

çözümlerde, a/b oranı 4 olduğu durumda, a/h oranı 100, 50, 20 ve 10 iken, boyutsuz

frekans parametreleri birbirlerine eşit ve sabit olmaktadır. Ancak, a/h oranı 5 olması

durumunda ise boyutsuz frekans parametreleri sabit olarak devam etmemekte ve

azalmaktadır (Çizelge 6.6 ve Şekil 6.7).

Plaklarda tabaka sayısındaki değişimin boyutsuz serbest titreşim frekansı

parametrelerine olan etkisini anlayabilmek için, dört tabakalı olarak çözülen simetrik

çapraz-katlı plak örneği, altı tabakalı olarak da çözülmüştür. Bu durum için yapılan

çözümlerde a/h=100, 50, 20, 10 ve 5 olarak, a/b=1, 2 ve 4 olarak, E1/E2=1, 15 ve 50

olarak seçilmiştir.

Çizelge 6.7. [0º/90º/90º/0º] ve [0º/90º/0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimlerine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 2

2a E hω ρΩ = ) değişimi ( 1a b = , 12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ =

ve 2 5 6K = ).

ANSYS SDPT CLPT a/h E1/E2 [0º/90º/90º/0º] [0º/90º/0º/0º/90º/0º] [0º/90º/90º/0º] [0º/90º/0º/0º/90º/0º] [0º/90º/90º/0º] [0º/90º/0º/0º/90º/0º]100 6.12007 6.12007 6.15286 6.15286 6.15478 6.1547850 6.08297 6.08297 6.14710 6.14710 6.15478 6.1547820 5.95853 5.95853 6.10739 6.10739 6.15478 6.1547810 5.72154 5.72154 5.97300 5.97300 6.15478 6.154785

1

5.20789 5.20789 5.52658 5.52658 6.15478 6.15478100 12.24592 12.24814 12.26147 12.26360 12.27733 12.2773350 12.18572 12.19438 12.21434 12.22273 12.27733 12.2773320 11.84917 11.89804 11.90100 11.94921 12.27733 12.2773310 10.92149 11.07211 10.97163 11.11920 12.27733 12.277335

15

8.77425 9.04993 8.778410 9.04950 12.27733 12.27733100 20.76159 20.77670 20.76970 20.78481 20.85199 20.8519950 20.51701 20.57544 20.52936 20.58767 20.85199 20.8519920 19.06903 19.35977 19.07681 19.36650 20.85199 20.8519910 15.81186 16.42916 15.79485 16.41093 20.85199 20.851995

50

10.93025 11.49869 10.89103 11.47188 20.85199 20.85199

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

120

Şekil 6.8.[0º/90º/90º/0º] ve [0º/90º/0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimlerine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 2


0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

115

a bE E

==

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

115

a bE E

==

[0º/90º/90º/0º][0º/90º0/º0º/90º/0º]

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

11

a bE E

==

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

11

a bE E

==

[0º/90º/90º/0º][0º/90º0/º0º/90º/0º]

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

150

a bE E

==

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

150

a bE E

==

[0º/90º/90º/0º][0º/90º0/º0º/90º/0º]

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

121



ve 2 5 6K = ).


1

11.85534 11.85534 12.10948 12.10948 15.14769 15.14769100 23.32362 27.79165 23.37057 27.82933 23.40746 27.8878750 23.17919 27.59408 23.26112 27.65615 23.40746 27.8878720 22.42767 26.47256 22.54188 26.53678 23.40746 27.8878710 20.46156 23.51591 20.48083 23.48642 23.40746 27.887875

15

16.03092 17.43514 15.89580 17.34393 23.40746 27.88787100 36.77636 46.27307 36.80128 46.28914 36.93693 46.5442950 36.37166 45.53600 36.40420 45.54945 36.93693 46.5442920 33.99383 41.28833 33.97448 41.23780 36.93693 46.5442910 28.37816 32.36400 28.25728 32.27012 36.93693 46.544295

50

19.20007 20.33972 19.10522 20.29734 36.93693 46.54429

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

122

Şekil 6.9.[0º/90º/90º/0º] ve [0º/90º/0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimlerine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 2


0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

21

a bE E

==

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

21

a bE E

==

[0º/90º/90º/0º][0º/90º0/º0º/90º/0º]

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

215

a bE E

==

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

215

a bE E

==

[0º/90º/90º/0º][0º/90º0/º0º/90º/0º]

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

250

a bE E

==

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

250

a bE E

==

[0º/90º/90º/0º][0º/90º0/º0º/90º/0º]

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

123



ve 2 5 6K = ).


1

31.58823 31.58823 30.63010 30.63010 44.63875 44.63875100 78.11166 99.58233 78.15969 99.59416 78.55923 100.3920250 77.00938 97.41443 77.00196 97.32069 78.55923 100.3920220 70.71550 85.58921 70.25646 85.05315 78.55923 100.3920210 56.84935 63.69495 56.07699 63.17472 78.55923 100.392025

15

36.71065 38.31276 36.33229 38.16090 62.74080 67.11076100 123.08652 167.10083 123.06736 167.03864 124.52345 170.7064050 119.17367 157.59883 119.00711 157.35521 124.52345 170.7064020 99.54279 118.53079 98.98777 118.12174 124.52345 170.7064010 69.16991 74.48938 68.78797 74.31994 124.52345 170.706405

50

39.56032 40.44334 39.46403 40.40863 90.92717 101.39940

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

124

Şekil 6.10.[0º/90º/90º/0º] ve [0º/90º/0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimlerine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların

boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 22a E hω ρΩ = ) değişimi (a/b=4)

0

80

160

240

320

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

450

a bE E

==

0

80

160

240

320

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

450

a bE E

==

[0º/90º/90º/0º][0º/90º0/º0º/90º/0º]

0

80

160

240

320

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

41

a bE E

==

0

80

160

240

320

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

41

a bE E

==

[0º/90º/90º/0º][0º/90º0/º0º/90º/0º]

0

80

160

240

320

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

415

a bE E

==

0

80

160

240

320

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100a/h

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDPTCLPT

1 2

415

a bE E

==

[0º/90º/90º/0º][0º/90º0/º0º/90º/0º]

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

125


126

Plaklarda tabaka sayısındaki değişimin boyutsuz serbest titreşim frekansı

parametrelerine olan etkisini anlayabilmek için, daha önce dört tabakalı olarak

çözülen simetrik çapraz-katlı plak örneği, altı tabakalı olarak da çözülmüştür. Bu

durum için yapılan çözümlerde a/h=100, 50, 20, 10 ve 5 olarak, a/b=1, 2 ve 4 olarak,

E1/E2=1, 15 ve 50 olarak seçilmiştir. Elde edilen sonuçlar çizelgeler ve şekiller

halinde verilmiştir.

Çizelge 6.7 ve Şekil 6.8 de a/b oranının 1 olması durumu ele alınmıştır. Bu

durumda, dört ve altı tabakalı simetrik çapraz katlı plakların, E1/E2=1 olduğu izotrop

durum için beklendiği gibi aynı sonuçları verdiği görülmüştür. E1/E2 oranının artması

ile boyutsuz frekans parametrelerinde dört ve altı tabakalı durumda bir miktar fark

oluşmuş ancak bu farkın çok az olduğu görülmüştür. Plak elemanın a/b oranının 2

olduğu Çizelge 6.8 ve Şekil 6.9 incelendiğinde, E1/E2 oranının artmasıyla boyutsuz

serbest titreşim frekansı değerlerinin de arttığı görülmüştür. Ayrıca Çizelge 6.8’de

E1/E2 oranının artmasıyla dört tabakalı durum için elde edilen değerler ile altı

tabakalı durum için elde edilen değerler arasındaki farkın da arttığı görülmektedir.

Örneğin, ANSYS programı kullanılarak yapılan çözümlerde, E1/E2=1 ve a/h=100

için elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekansı değerleri dört ve altı tabakalı

durumlarda eşit ve değeri 15.05853 dir. E1/E2=15 ve a/h =100 olması durumunda

dört tabakalı plakta boyutsuz serbest titreşim frekansı değeri 23.32362 ve altı

tabakalı plakta boyutsuz serbest titreşim frekansı değeri 27.79165 olmakta ve

aralarında. %16.07 lik bir fark oluşmaktadır. E1/E2=50 ve a/h =100 olması

durumunda ise dört tabakalı plakta boyutsuz serbest titreşim frekansı değeri

36.77636 ve altı tabakalı plakta boyutsuz serbest titreşim frekansı değeri 46.27307

olmakta ve aralarıda %20.52 lik bir fark oluşmaktadır. Çizelge 6.9 ve Şekil 6.10 da,

a/b oranı 4 olması durumu görülmektedir, Şekil 6.10 incelendiğinde davranışın a/b

oranı 2 olması durumundaki gibi olduğu ancak bulunan boyutsuz serbest titreşim

frekansı değerlerinin daha büyük olduğu görülmüştür. Dört ile altı tabakalı plaklar

için bulunan boyutsuz serbest titreşim frekansı değerleri arasındaki farkın en yüksek

olduğu durum a/b=4 olduğu durumdur. Örneğin a/b=4, E1/E2=50 ve a/h =100 olması

durumunda dört tabakalı plakta boyutsuz serbest titreşim frekansı değeri 123.08652


127

ve altı tabakalı plakta boyutsuz serbest titreşim frekansı değeri 167.10083 olmakta ve

aralarında %26.34 lik bir fark oluşmaktadır. Bu oran a/b=2 durumu için %20.52 idi.

Sonuç olarak, a/b=1 olması halinde tabaka sayısının artması sonuçları çok

fazla etkilememektedir. Plak elemanımızda a/b oranının 1 den 4 e doğru artması ile

dört tabaka ve altı tabakalı durum için elde edilen sonuçlar arasındaki fark belirgin

bir hale dönüşmektedir. Ayrıca, a/h=20 olduğu durumda, ANSYS (sonlu elemanlar)

ve SDPT (kayma deformasyon plak teorisi) yöntemleri ile elde edilen sonuçların

uyumlu çıktığı ve CLPT (klasik plak teorisi) yöntemi ile elde edilen sonuçların diğer

iki yöntemden belirgin bir biçimde ayrıştığı görülmektedir. Bu durum, ince plak ve

kalın plak sınıflandırmasında ayrım noktasının a/h=20’de oluştuğunu

göstermektedir..


128

6.3. Kabuklarla İlgili Uygulamalar

Silindirik sığ kabukların çözümünden önce ANSYS modelinin kontrolü

açısından bir silindir kabuk örneği çözülmüştür. Bu örnek Qatu (2004) tarafından da

çözülen bir örnektir. Silindir kabuk örneğimiz izotrop ve çelik malzemeden

yapılmıştır. Kalınlığı h=0.02 in, silindirin boyu a=11.74 in, yarıçapı R=5.836 in,

malzeme yoğunluğu 734X10-6 lb s2/in4, elastisite oranı 29.5X106 lb/in2 ve Poisson

oranı 0.285 dir. Benzer silindir kabuk örneği, Bert ve arkadaşları (1993) tarafından

da Love’s kabuk teorisi kullanılarak, Rat ve Das (1973) tarafından dönme atalet ve

kayma deformasyon teorisi kullanılarak, Bray ve Egle (1970) tarafından deneysel

çalışmalar yardımıyla ve Qatu (2004) tarafından da klasik tabaka teorisi kullanılarak

analiz edilmiştir. Bu çalışmada silindir eleman ANSYS paket programında 160X20

parçaya ayrılarak ağ yapılmış ve uzunluk doğrultusunda ilk üç (m=1,2,3) mod,

dairesel doğrultuda da ilk otuz (n=1,2,3,……,30) mod dikkate alınarak sonuçlar elde

edilmiştir. Aynı özelliklere sahip örnek SAP2000 programında da modellenmiştir

(Şekil 6.11).

(a) ANSYS (b) SAP2000

Şekil 6.11 ANSYS ve SAP2000 ile modellenen silindirik kabuk.

Çizelge 6.10 CLSST, ANSYS and SAP2000 kullanılarak elde edilmiş serbest titreşim frekans parametreleri (Hertz).

m n CLSST ANSYS SAP2000 m n CLSST ANSYS SAP2000 m n CLSST ANSYS SAP20000 5328,25 5325,99 5320.80 0 5442,58 5343,30 5344.00 0 5458,11 5446,97 5359.30 1 3270,54 3336,81 3333.80 1 4837,71 4832,71 4801.10 1 5197,96 5205,68 5118.00 2 1861,97 2144,79 2144.80 2 3725,02 3729,93 3713.80 2 4563,85 4565,18 4502.50 3 1101,78 1469,94 1471.70 3 2742,67 2799,58 2793.20 3 3813,65 3817,14 3777.60 4 705,71 1061,33 1063.90 4 2018,09 2142,28 2141.60 4 3114,51 3139,31 3117.20 5 497,54 803,13 805.85 5 1515,06 1684,79 1687.40 5 2530,39 2587,26 2577.00 6 400,18 642,65 645.14 6 1174,98 1363,45 1367.80 6 2069,45 2157,05 2154.50 7 380,82 556,52 558.47 7 953,72 1139,82 1144.70 7 1719,25 1829,20 1831.30 8 416,82 533,12 534.35 8 824,39 993,07 997.52 8 1464,11 1585,77 1590.20 9 488,69 561,49 561.99 9 770,52 912,16 915.29 9 1291,20 1414,21 1418.90 10 583,96 628,94 628.83 10 778,47 889,54 890.74 10 1190,96 1306,51 1309.70 11 696,30 724,51 723.93 11 834,33 917,13 916.10 11 1154,97 1256,83 1257.00 12 822,76 840,92 839.99 12 925,62 985,64 982.38 12 1174,09 1259,24 1255.40 13 961,95 973,94 972.73 13 1043,11 1086,24 1080.90 13 1238,37 1306,82 1298.30 14 1113,21 1121,24 1119.80 14 1180,85 1211,93 1204.60 14 1338,48 1392,15 1378.80 15 1276,17 1281,56 1279.90 15 1335,26 1357,80 1348.70 15 1466,80 1508,31 1490.10 16 1450,68 1454,19 1452.40 16 1504,23 1520,68 1509.90 16 1617,78 1649,69 1626.70 17 1636,62 1638,73 1636.70 17 1686,51 1698,52 1686.00 17 1787,61 1812,07 1784.40 18 1833,93 1834,97 1832.70 18 1881,37 1890,06 1875.80 18 1973,77 1992,46 1960.20 19 2042,59 2042,76 2040.20 19 2088,34 2094,50 2078.40 19 2174,60 2188,81 2151.80 20 2262,58 2262,04 2259.10 20 2307,14 2311,34 2293.30 20 2389,01 2399,71 2357.90 21 2493,87 2492,77 2489.40 21 2537,59 2540,26 2520.10 21 2616,30 2624,22 2577.40 22 2736,47 2734,93 2730.90 22 2779,58 2781,06 2758.60 22 2855,96 2861,71 2809.60 23 2990,36 2988,52 2983.70 23 3033,04 3033,61 3008.60 23 3107,69 3111,75 3054.10 24 3255,54 3253,55 3247.70 24 3297,90 3297,84 3270.00 24 3371,26 3374,05 3310.40 25 3532,02 3529,36 3522.80 25 3574,13 3573,71 3542.60 25 3646,52 3648,43 3578.30 26 3819,79 3818,06 3809.10 26 3861,71 3861,21 3826.40 26 3933,35 3934,75 3857.60 27 4118,84 4117,60 4106.40 27 4160,63 4160,34 4121.30 27 4231,69 4232,96 4148.10 28 4429,18 4428,72 4414.80 28 4470,86 4471,14 4427.30 28 4541,48 4543,02 4449.80 29 4750,81 4751,49 4734.20 29 4792,41 4793,63 4744.20 29 4862,68 4864,92 4762.50

1

30 5083,73 5085,96 5064.60

2

30 5125,26 5127,88 5072.10

3

30 5195,25 5198,69 5086.10

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

129


130

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 5 10 15 20 25 30

Dairesel Modlar (n)

Frek

ans

Para

met

rele

ri (H

z)

CLSST

ANSYS

SAP2000

m=1

(a)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 5 10 15 20 25 30

Dairesel Modlar (n)

Frek

ans

Para

met

rele

ri (H

z)

CLSST

ANSYS

SAP2000

m=2

(b)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 5 10 15 20 25 30

Dairesel Modlar (n)

Frek

ans

Para

met

rele

ri (H

z)

CLSST

ANSYS

SAP2000

m=3

(c)

Şekil 6.12. CLSST, ANSYS ve SAP2000 kullanılarak sonuçların karşılaştırılması.


131

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 5 10 15 20 25 30Dairesel Modlar (n)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri (H

z)

m=1 m=2 m=3

Şekil 6.13 İlk üç doğrusal mod (m=1, 2, 3) için frekans parametrelerinin topluca

gösterimi.

Şekil 6.12 ve Şekil 6.13’de görüldüğü üzere CLSST, ANSYS and SAP2000

çözümleri birbirine çok yakın değerler vermektedir. Bu yakınlık, doğrusal modların

birincisi olan m=1 durumundan üçüncüsü olan m=3 durumuna doğru gidildikçe daha

da artmaktadır. Bu örnek yardımıyla ANSYS ve SAP2000 paket programlarıyla

yapılan modellemelerin doğruluğunun test edilmesi sağlanmıştır. Analizde ANSYS

ve SAP2000 programları ile yapılan modellemelerle elde edilen sonuçların

beklendiği üzere hemen hemen aynı olduğu görülmüş, CLSST ile elde edilen

sonuçların ise bu iki yöntemle bazı durumlarda bir miktar farklılık gösterdiği ancak

genel olarak çok yakın sonuçlar verdiği görülmüştür (Çizelge 6.10). Ayrıca bu örnek

bize göstermiştir ki, farklı yöntemler kullanılarak elde edilen frekans

parametrelerinin karşılaştırılmasında, yöntemler arasındaki yakınlık, karşılaştırma

yapılan moda göre değişmektedir. Bu örnek, ANSYS programı kullanılarak

oluşturulan sonlu elemanlar modelinin doğruluğundan emin olunmasını sağlamış ve

silindirik kabuk örneklerinin çözümüne geçilmiştir.

Bu çalışmada seçilen örnek, basit mesnetli silindirik sığ kabuk örneği olup,

bir kenarının eğrilik yarıçapı sonsuz diğer kenarının ise eğrilik yarıçapı değişkendir.

Bu tip kabuklara tek eğrilikli sığ kabuklar denilmektedir (Şekil 6.14). Çalışmada

kullanılan kabuğun izdüşümü dikdörtgen biçiminde olup kenarlarının birbirine oranı


132

a/b değişkendir ve incelenen duruma göre 1,2 ve 4 dür. Tabaka dizilimi olarak

[0°/90°/90°/0°] ve [0°/90°/0°/0°/90°/0°] dizilime sahip tabakalı kompozit simetrik

cross-ply elemanlar kullanılmıştır. Analizlerde kabuk kalınlığının ve eğrilik

yarıçapının E1/E2 elastisite modülleri oranının (anizotropi etkisinin) değişiminin

silindirik sığ kabuk problemleri üzerine etkisi araştırılmıştır. Elastisite modülü oranı

(E1/E2) 1 ile 50 arasında değişmektedir. Kalınlık oranı yani kenar uzunluğunun

kabuk kalınlığına oranı, a/h=100, 50, 20 ve 5 arasında değişmektedir. Ayrıca örnekte

eğrilik yarıçapı değişkendir. Farklı kalınlıktaki kabuklar için kabuk kenar

uzunluğunun/kabuğun eğrilik yarıçapına oranı (a/R) 0 ile 0.1 arasında değişmektedir.

Analizlerde birinci mod değerleri dikkate alınmıştır. Birden fazla mod değerinin

karşılaştırılması mod analizi kısmında yapılacaktır.

Şekil 6.14 Silindirik sığ kabuk

Bu çalışmada, her durum için kabuk üç teori ile çözülmüştür. Bu teorilerden

ilki klasik tabakalı sığ kabuk teorisi (CLSST), ikincisi kayma deformasyon sığ

kabuki teorisi (SDSST), üçüncüsü ise sonlu elemanlar yöntemi ile çözüm (FEM). Bu

çalışmada, sonlu elemanlar yöntemi ile yapılan çözümlerde ANSYS ve SAP2000

paket programları kullanılmıştır. ANSYS programı ile yapılan modellemede kabuk,

25X25 sonlu eleman ağına ayrılmıştır. Örnekte 8 noktalı kuadratik eleman özelliğine

sahip SHELL99 elemanı kullanılmıştır. Kayma deformasyon sığ kabuk teorisi ve

klasik sığ kabuk teorisi ile yapılan analizlerde Qatu (2004) ve Reddy (2003) gibi

araştırmacıların örnekleri incelenmiş, özellikle Qatu (2004)’nun denklemlerinden

faydalanılmıştır. Bu denklemlerin çok karışık olması, işlem yükünün ağır olması ve

çözümlerinin uzun sürmesi sebebiyle, yapılan çözümlerde işlem hızını arttırmak,

hesap kolaylığını ve doğruluğunu sağlamak için bu denklemler MATHEMATICA

z

y


133

programı yardımıyla çözülmüştür. Daha önceden çeşitli araştırmacılar tarafından

çözümü yapılan örnekler, oluşturulan MATHEMATICA programında denenmiş ve

sonuçların uyumlu olduğu görülerek, oluşturulan programın doğruluğundan emin

olunmuştur.


134


kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik

oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( 2 22a E hω ρΩ = ) olan

etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (SDSST), klasik sığ kabuk teorisi

(CLSST), ANSYS ve SAP2000 ile gösterimi ( 1a b = , 1 2 1E E = ,

12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )

a/h a/R ANSYS SAP2000 SDSST CLSST 0.000 6.1200712 6.1200712 6.1528572 6.1547797 0.025 6.5530746 6.5496980 6.2961423 6.2980442 0.050 7.7047143 7.6937404 6.7075909 6.7094414

100

0.100 11.1535466 11.1258675 8.1473774 8.1491154 0.000 6.0829732 6.1058540 6.1471034 6.1547797 0.025 6.1947561 6.2162600 6.1831553 6.1908101 0.050 6.5185312 6.5363694 6.2900536 6.2976466

50

0.100 7.6757911 7.6824110 6.7003632 6.7077474 0.000 5.9585280 6.0307693 6.1073863 6.1547797 0.025 5.9769749 6.0488074 6.1130791 6.1604490 0.050 6.0319245 6.1024774 6.1301230 6.1774226

20

0.100 6.2467734 6.3127147 6.1977870 6.2448129 0.000 5.7215446 5.8391478 5.9729983 6.1547797 0.025 5.7266095 5.8437684 5.9743439 6.1560955 0.050 5.7410489 5.8576302 5.9783784 6.1600404

10

0.100 5.7983177 5.9128108 5.9944787 6.1757841 0.000 5.2078852 5.3260170 5.5265845 6.1547797 0.025 5.2094357 5.3272610 5.5268480 6.1549877 0.050 5.2134121 5.3309708 5.5276383 6.1556116

5

0.100 5.2292954 5.3458323 5.5307961 6.1581041


135






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 17.7495839 17.7000013 10.3847602 10.3888021 0.000 8.2824179 8.3037482 8.3280318 8.3466158 0.025 8.5132524 8.5321124 8.3636951 8.3822221 0.050 9.1705102 9.1829947 8.4697626 8.4881238

50

0.100 11.4231408 11.4170984 8.8810714 8.8988334 0.000 8.1342034 8.1924984 8.2328074 8.3466158 0.025 8.1722922 8.2299075 8.2383982 8.3521457 0.050 8.2852836 8.3411573 8.2551448 8.3687102

20

0.100 8.7224188 8.7718504 8.3217438 8.4345926 0.000 7.7777913 7.8658577 7.9214445 8.3466158 0.025 7.7879295 7.8755876 7.9227386 8.3478368 0.050 7.8176524 7.9046440 7.9266189 8.3514980

10

0.100 7.9353888 8.0198924 7.9421093 8.3661152 0.000 6.8597888 6.9390945 6.9862196 8.3466158 0.025 6.8630546 6.9418269 6.9864596 8.3467445 0.050 6.8714516 6.9499574 6.9871794 8.3471304

5

0.100 6.9048843 6.9824126 6.9900556 8.3486726


136





(CLSST), ANSYS ve SAP2000 ile gösterimi. ( 1a b = , 1 2 15E E = ,

12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 28.2344322 28.1469963 13.9561431 13.9703189 0.000 12.1857172 12.1943808 12.2143399 12.2773269 0.025 12.5975724 12.6024596 12.2424766 12.3053339 0.050 13.7583422 13.7540549 12.3264822 12.3889561

50

0.100 17.6461314 17.6155866 12.6566525 12.7176703 0.000 11.8491688 11.8834679 11.9009970 12.2773269 0.025 11.9178558 11.9513551 11.9053271 12.2815177 0.050 12.1213398 12.1527954 11.9183050 12.2940783

20

0.100 12.9029318 12.9264791 11.9700316 12.3441502 0.000 10.9214948 10.9876938 10.9716272 12.2773269 0.025 10.9401994 11.0060429 10.9725737 12.2781069 0.050 10.9957798 11.0609125 10.9754123 12.2804458

10

0.100 11.2153027 11.2775475 10.9867495 12.2897888 0.000 8.7742495 8.8470017 8.7784062 12.2773269 0.025 8.7799142 8.8526664 8.7785475 12.2772343 0.050 8.7971748 8.8696382 8.7789713 12.2769563

5

0.100 8.8658173 8.9371700 8.7806649 12.2758456


137






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 35.7649855 35.6510256 16.6483393 16.6769989 0.000 15.0831433 15.0829211 15.1043949 15.2277943 0.025 15.6217762 15.6171778 15.1279651 15.2511812 0.050 17.1349999 17.1193166 15.1984395 15.3211112

50

0.100 22.1675867 22.1206699 15.4768842 15.5974535 0.000 14.4766898 14.5034359 14.5084431 15.2277943 0.025 14.5682132 14.5935376 14.5120074 15.2311591 0.050 14.8377184 14.8606437 14.5226923 15.2412468

20

0.100 15.8694447 15.8833954 14.5653161 15.2814952 0.000 12.8759190 12.9518923 12.8912312 15.2277943 0.025 12.9023542 12.9771724 12.8919693 15.2282909 0.050 12.9787274 13.0526125 12.8941828 15.2297803

10

0.100 13.2795994 13.3500191 12.9030251 15.2357311 0.000 9.7176957 9.8042875 9.6925563 15.2277943 0.025 9.7274923 9.8126179 9.6926412 15.2277551 0.050 9.7527723 9.8375203 9.6928956 15.2277551

5

0.100 9.8531592 9.9365077 9.6939123 15.2277551


138






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 49.8238221 49.66032404 21.8869447 21.9651424 0.000 20.5170113 20.50301618 20.5293619 20.8519882 0.025 21.2911836 21.27163493 20.5470330 20.8693772 0.050 23.4588662 23.42487815 20.5999425 20.9214446

50

0.100 30.6143513 30.53948874 20.8100439 21.1282430 0.000 19.0690313 19.10546293 19.0768068 20.8519882 0.025 19.2048946 19.23946028 19.0793699 20.8542346 0.050 19.6045764 19.63567658 19.0870555 20.8609706

20

0.100 21.1261749 21.14501277 19.1177388 20.8878684 0.000 15.8118649 15.93737639 15.7948517 20.8519882 0.025 15.8540723 15.97762891 15.7953176 20.8520625 0.050 15.9756740 16.09776446 15.7967152 20.8522854

10

0.100 16.4526620 16.56915434 15.8022988 20.8531763 0.000 10.9302473 11.03525486 10.8910270 20.8519882 0.025 10.9468415 11.04978308 10.8910382 20.8514862 0.050 10.9908705 11.09325669 10.8910719 20.8499807

5

0.100 11.1651203 11.26532955 10.8912067 20.8439639


139






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )

a/h a/R ANSYS SAP2000 SDSST CLSST 0.000 15,0585297 15,0498217 15,1361255 15,1476904 0.025 15,2477965 15,2377556 15,2789577 15,2904728 0.050 15,8020017 15,7891174 15,6996469 15,7110235

100

0.100 17,8417737 17,8186263 17,2801148 17,2910685 0.000 14,9537665 14,9940635 15,1016299 15,1476904 0.025 15,0017052 15,0413802 15,1374588 15,1834683 0.050 15,1446106 15,1828860 15,2444368 15,2902963

50

0.100 15,7027477 15,7358028 15,6649970 15,7102978 0.000 14,5633260 14,6939467 14,8681731 15,1476904 0.025 14,5712343 14,7016774 14,8739070 15,1533705 0.050 14,5948705 14,7248692 14,8910951 15,1703975

20

0.100 14,6890596 14,8172812 14,9596418 15,2383071 0.000 13,7367276 13,9220403 14,1319178 15,1476904 0.025 13,7388158 13,9240396 14,1333515 15,1490617 0.050 13,7450802 13,9301263 14,1376516 15,1531744

10

0.100 13,7700492 13,9542956 14,1548367 15,1696120 0.000 11,8553444 11,9990495 12,1094846 15,1476904 0.025 11,8559220 11,9996270 12,1098484 15,1479558 0.050 11,8577213 12,0012931 12,1109395 15,1487517

5

0.100 11,8648744 12,0080241 12,1153025 15,1519341


140






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 23,7696014 23,7418778 20,8350488 20,8510714 0.000 17,5769557 17,6335802 17,6972892 17,7666760 0.025 17,6893828 17,7448745 17,7495699 17,8188358 0.050 18,0223547 18,0740921 17,9054813 17,9743921

50

0.100 19,2951074 19,3340937 18,5157878 18,5833853 0.000 17,1235817 17,2642434 17,3485365 17,7666760 0.025 17,1421530 17,2824592 17,3568403 17,7748504 0.050 17,1975113 17,3368401 17,3817254 17,7993488

20

0.100 17,4171674 17,5529419 17,4808755 17,8969709 0.000 16,0534689 16,2368267 16,2780535 17,7666760 0.025 16,0584005 16,2416250 16,2800784 17,7685468 0.050 16,0731065 16,2560644 16,2861510 17,7741575

10

0.100 16,1318858 16,3135553 16,3104094 17,7965734 0.000 13,5051423 13,6286545 13,5206195 17,7666760 0.025 13,5065863 13,6300540 13,5210953 17,7669115 0.050 13,5108959 13,6342525 13,5225224 17,7676178

5

0.100 13,5281787 13,6510466 13,5282269 17,7704408


141






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 34,6188994 34,5558549 26,5382030 26,5718865 0.000 23,1791867 23,2240598 23,2611200 23,4074594 0.025 23,4004423 23,4430940 23,3137702 23,4598590 0.050 24,0515468 24,0879784 23,4709867 23,6163348

50

0.100 26,4920224 26,5069060 24,0892184 24,2317606 0.000 22,4276731 22,5389229 22,5418849 23,4074594 0.025 22,4642824 22,5751768 22,5501385 23,4154421 0.050 22,5740216 22,6834943 22,5748772 23,4393700

20

0.100 23,0072027 23,1114328 22,6735009 23,5347780 0.000 20,4615641 20,5949839 20,4808317 23,4074594 0.025 20,4715606 20,6048915 20,4827692 23,4090692 0.050 20,5015945 20,6345255 20,4885798 23,4138972

10

0.100 20,6211969 20,7525729 20,5117908 23,4331859 0.000 16,0309213 16,0973646 15,8957974 23,4074594 0.025 16,0340980 16,1004968 15,8962077 23,4073717 0.050 16,0436057 16,1098713 15,8974383 23,4071085

5

0.100 16,0815479 16,1473693 15,9023561 23,4060570


142






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 42,7976249 42,7067680 30,8065592 30,8626835 0.000 27,6460612 27,6776057 27,7070518 27,9475050 0.025 27,9452894 27,9741681 27,7548159 27,9949224 0.050 28,8238695 28,8451953 27,8975902 28,1366680

50

0.100 32,0920542 32,0869449 28,4611255 28,6962511 0.000 26,4959321 26,5835458 26,5510651 27,9475050 0.025 26,5460478 26,6331283 26,5584664 27,9545279 0.050 26,6957730 26,7813429 26,5806535 27,9755816

20

0.100 27,2863210 27,3658486 26,6691534 28,0595770 0.000 23,5035172 23,6020603 23,4401500 27,9475050 0.025 23,5176011 23,6160110 23,4418332 27,9487252 0.050 23,5598085 23,6578185 23,4468811 27,9523846

10

0.100 23,7277939 23,8242045 23,4670470 27,9670059 0.000 17,4227210 17,4563759 17,2830381 27,9475050 0.025 17,4274527 17,4610631 17,2833678 27,9471398 0.050 17,4416033 17,4751026 17,2843566 27,9460443

5

0.100 17,4980945 17,5311496 17,2883081 27,9416671


143






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 58,4083605 58,2675212 39,2124365 39,3406056 0.000 36,3716612 36,3803248 36,4041976 36,9369306 0.025 36,8150609 36,8201702 36,4427580 36,9749652 0.050 38,1139377 38,1088284 36,5581701 37,0888100

50

0.100 42,9058091 42,8662675 37,0158474 37,5403684 0.000 33,9938302 34,0459897 33,9744819 36,9369306 0.025 34,0700701 34,1216075 33,9802995 36,9421607 0.050 34,2976346 34,3473060 33,9977423 36,9578429

20

0.100 35,1923423 35,2349051 34,0673669 37,0204528 0.000 28,3781595 28,4256983 28,2572791 36,9369306 0.025 28,4009515 28,4483126 28,2585157 36,9374330 0.050 28,4691497 28,5161110 28,2622246 36,9389398

10

0.100 28,7402100 28,7854830 28,2770426 36,9449607 0.000 19,2000741 19,1937652 19,1052192 36,9369306 0.025 19,2000741 19,2021178 19,1054289 36,9360611 0.050 19,2336179 19,2271313 19,1060577 36,9334532

5

0.100 19,3337827 19,3267629 19,1085704 36,9230331


144






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 51,2557633 51,2122231 51,3067920 51,4329905 0.000 49,8613645 49,8955747 50,0383250 50,5399133 0.025 49,8769146 49,9109026 50,0524505 50,5539739 0.050 49,9231206 49,9568865 50,0948031 50,5961324

50

0.100 50,1072781 50,1401554 50,2638544 50,7644141 0.000 47,7098096 47,8494938 47,6794263 50,5399133 0.025 47,7123864 47,8520707 47,6817284 50,5421452 0.050 47,7200282 47,8596236 47,6886341 50,5488403

20

0.100 47,7508618 47,8900129 47,7162465 50,5756117 0.000 42,3848811 42,5405597 41,6707125 50,5399133 0.025 42,3855919 42,5412261 41,6713316 50,5404498 0.050 42,3877690 42,5433143 41,6731890 50,5420593

10

0.100 42,3962993 42,5516669 41,6806174 50,5484968 0.000 31,5882313 31,6460554 30,6301008 44,6387459 0.025 31,5884534 31,6462775 30,6302977 44,6387096 0.050 31,5891198 31,6469440 30,6308885 44,6386008

5

0.100 31,5920077 31,6495430 30,6332514 44,6381655


145






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 61,2620243 61,2415870 60,9599609 61,1464263 0.000 58,4712273 58,5307620 58,5760486 59,3216448 0.025 58,5069925 58,5663050 58,6051015 59,3504829 0.050 58,6142882 58,6727121 58,6921722 59,4369116

50

0.100 59,0410271 59,0965631 59,0391458 59,7813518 0.000 55,3696063 55,5235967 55,1499978 59,3216448 0.025 55,3756487 55,5295501 55,1547162 59,3261289 0.050 55,3936868 55,5474105 55,1688686 59,3395788

20

0.100 55,4658392 55,6187632 55,2254375 59,3933435 0.000 47,7378886 47,8699755 46,9093564 59,3216448 0.025 47,7396657 47,8716638 46,9106060 59,3225940 0.050 47,7445529 47,8767731 46,9143542 59,3254413

10

0.100 47,7654345 47,8970771 46,9293429 59,3368274 0.000 33,7707975 33,7859922 33,0404634 51,6241229 0.025 33,7714639 33,7865475 33,0408332 51,6237426 0.050 33,7732411 33,7882802 33,0419424 51,6226023

5

0.100 33,7803497 33,7951445 33,0463781 51,6180475


146






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 82,3332852 82,2861906 80,6682308 81,0586724 0.000 77,0093785 77,0404787 77,0019593 78,5592260 0.025 77,0782432 77,1088991 77,0417663 78,5984218 0.050 77,2846151 77,3137160 77,1610563 78,7158844

50

0.100 78,1038828 78,1265415 77,6362672 79,1838772 0.000 70,7155017 70,7891647 70,2564572 78,5592260 0.025 70,7274086 70,8010716 70,2628303 78,5649062 0.050 70,7633071 70,8366147 70,2819447 78,5819428

20

0.100 70,9064568 70,9785204 70,3583294 78,6500326 0.000 56,8493529 56,8550842 56,0769945 78,5592260 0.025 56,8529072 56,8587274 56,0786112 78,5597898 0.050 56,8640144 56,8696569 56,0834606 78,5614808

10

0.100 56,9079990 56,9132860 56,1028471 78,5682400 0.000 36,7106531 36,6507853 36,3322887 62,7408033 0.025 36,7122082 36,6521626 36,3327185 62,7399227 0.050 36,7164289 36,6562945 36,3340080 62,7372822

5

0.100 36,7330897 36,6728220 36,3391627 62,7267356


147






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 98,9527774 98,8741383 95,9430155 96,5850429 0.000 91,5409379 91,5384943 91,4676841 94,0051369 0.025 91,6335720 91,6304620 91,5086447 94,0451302 0.050 91,9112522 91,9059207 91,6314043 94,1649961

50

0.100 93,0110879 92,9975371 92,1206236 94,6427614 0.000 81,6051855 81,6099838 81,0615828 94,0051369 0.025 81,6217130 81,6264225 81,0680225 94,0104417 0.050 81,6713845 81,6757385 81,0873364 94,0263522

20

0.100 81,8697148 81,8725582 81,1645134 94,0899386 0.000 62,1554880 62,0910662 61,5230409 94,0051369 0.025 62,1612638 62,0964421 61,5246076 94,0047865 0.050 62,1772581 62,1124365 61,5293069 94,0037356

10

0.100 62,2416799 62,1765029 61,5480906 93,9995366 0.000 38,0708418 37,9839167 37,8411606 71,9565980 0.025 38,0730632 37,9860715 37,8415577 71,9553580 0.050 38,0795054 37,9925137 37,8427485 71,9516396

5

0.100 38,1054962 38,0183047 37,8475083 71,9367869


148






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 131,2907451 131,1507943 125,4759297 126,9066915 0.000 119,1736705 119,1061387 119,0071117 124,5234464 0.025 119,3113999 119,2427573 119,0446662 124,5593000 0.050 119,7232551 119,6515026 119,1572414 124,6667826

50

0.100 121,3526824 121,2693784 119,6062284 126,9066915 0.000 99,5427922 99,4415834 98,9877739 124,5234464 0.025 99,5685610 99,4677075 98,9934211 124,5269655 0.050 99,6476443 99,5459022 99,0103579 124,5375201

20

0.100 99,9613118 99,8577926 99,0780337 124,5796999 0.000 69,1699116 69,0307161 68,7879669 124,5234464 0.025 69,1792417 69,0400461 68,7892536 124,5206674 0.050 69,2072318 69,0679919 68,7931128 124,5123342

10

0.100 69,3196368 69,1796859 68,8085362 124,4790610 0.000 39,5603183 39,4526672 39,4640306 90,9271665 0.025 39,5643169 39,4567102 39,4643551 90,9252587 0.050 39,5765348 39,4688837 39,4653285 90,9195375

5

0.100 39,6254065 39,5174222 39,4692185 90,8966846


149

Şekil 6.15. [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı eğrilik oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 2


05

1015202530

0 0.025 0.05 0.075 0.1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYSSDSSTCLSSTSAP2000

1 2 1100

E Ea h

==

05

1015202530

0 0.025 0.05 0.075 0.1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SDSSTCLSST

SAP2000

1 2 110

E Ea h

==

05

1015202530

0 0.025 0.05 0.075 0.1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 150

E Ea h

==

05

1015202530

0 0.025 0.05 0.075 0.1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SDSSTCLSST

SAP2000

1 2 15=

=E Ea h

05

1015202530

0 0.025 0.05 0.075 0.1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

riANSYSSDSSTCLSSTSAP2000

1 2 1520

E Ea h

==

05

1015202530

0 0.025 0.05 0.075 0.1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1510

E Ea h

==

05

1015202530

0 0.025 0.05 0.075 0.1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 15100

E Ea h

==

05

1015202530

0 0.025 0.05 0.075 0.1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1550

E Ea h

==

05

1015202530

0 0.025 0.05 0.075 0.1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 155=

=E Ea h

05

1015202530

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 120

E Ea h

==


150



0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1100

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 150

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 120

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 110

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 15=

=E Ea h

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 15100

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1550

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1520

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1510

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 155=

=E Ea h


151



0102030405060708090

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1100

E Ea h

==

0102030405060708090

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 150

E Ea h

==

0102030405060708090

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 120

E Ea h

==

0102030405060708090

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 110

E Ea h

==

0102030405060708090

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 15=

=E Ea h

0102030405060708090

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 15100

E Ea h

==

0102030405060708090

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1550

E Ea h

==

0102030405060708090

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1520

E Ea h

==

0102030405060708090

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1510

E Ea h

==

0102030405060708090

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 155=

=E Ea h

Şekil 6.18. Simetrik cross-ply [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( 2 2

2a E hω ρΩ = ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST) ve sonlu elemanlar yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ile gösterimi (a/b=1, a/h=100,50).

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50Elastisite Oranı (E1/E2)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

100=SDSSTa h 100=

CLSSTa h

50=ANSYSa h

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

2000100

SAPa h =

200050

SAPa h = 50=

CLSSTa h50=

SDSSTa h

100=ANSYSa h

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

152


2a E hω ρΩ = ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST) ve sonlu elemanlar yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ile gösterimi.(a/b=1, a/h=20,10)

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

20=ANSYSa h 20=

SDSSTa h 20=

CLSSTa h

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

200020

SAPa h =

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

10=ANSYSa h 10=

SDSSTa h 10=

CLSSTa h

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

200010

SAPa h =

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

153


2a E hω ρΩ = ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST) ve sonlu elemanlar yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ile gösterimi.(a/b=1, a/h=5)

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

5=ANSYSa h 5=

SDSSTa h 5=

CLSSTa h

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

20005

SAPa h =

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

154


2a E hω ρΩ = ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST) ve sonlu elemanlar yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ile gösterimi.(a/b=2, a/h=100, 50)

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

100=SDSSTa h 100=

CLSSTa h

50=ANSYSa h

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

2000100

SAPa h =

200050

SAPa h = 50=

CLSSTa h50=

SDSSTa h

100=ANSYSa h

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

155



0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

20=ANSYSa h 20=

SDSSTa h 20=

CLSSTa h

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

200020

SAPa h =

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

10=ANSYSa h 10=

SDSSTa h

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

200010

SAPa h = 10=

CLSSTa h

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

156



0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

5=ANSYSa h 5=

SDSSTa h 5=

CLSSTa h

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

20005

SAPa h =

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

157



0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

100=SDSSTa h 100=

CLSSTa h

50=ANSYSa h

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

2000100

SAPa h =

200050

SAPa h = 50=

CLSSTa h50=

SDSSTa h

100=ANSYSa h

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

158



0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

20=ANSYSa h 20=

SDSSTa h 20=

CLSSTa h

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

200020

SAPa h =

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

10=ANSYSa h 10=

SDSSTa h 10=

CLSSTa h

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

200010

SAPa h =

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

159


2a E hω ρΩ = ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST) ve sonlu elemanlar yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ile gösterimi.(a/b=4, a/h=5).

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

5=ANSYSa h 5=

SDSSTa h 5=

CLSSTa h

0102030405060708090

100110120130140150


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

20005

SAPa h =

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

160


161

Bu çalışmada, üç yöntem ile elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekansları

çizelgeler ve grafikler halinde sunulmuştur. Analizler sonucu bulunan frekans

değerleri birinci modlar için elde edilen değerlerdir. Diğer modlarla ilgili irdelemeler

bir sonraki bölüm olan mod şekil değiştirme analizi bölümünde yapılmıştır. Çizelge

6.11-15’de a/b oranı 1 olması durumunda, Çizelge 6.16-20 de a/b oranı 2 olması

durumunda ve Çizelge 6.21- 25 de a/b oranı 4 olması durumunda farklı tabaka

kalınlıklarına, farklı eğrilik oranlarına ve farklı E1/E2 oranlarına sahip tabakalı

kompozit sığ kabuk örneklerine ait boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri

görülmektedir.

Çizelgelerde, kabuk kenar uzunluğunun kabuk eğrilik yarıçapına oranı olan

a/R oranı arttıkça, boyutsuz serbest titreşim frekanslarının da arttığı görülmektedir.

Kabuk kalınlık oranı olan a/h oranı 100 (yani ince kabuk durumunda) iken bu artış

daha fazla olmakta a/h oranı 100 den 5 e doğru gittikçe (yani kabuk kalınlaştıkça) bu

artış oranı azalmaktadır. Ayrıca, a/h oranı 100 iken, kabuk eğrilik oranı a/R 0 olduğu

durum için tüm yöntemler birbirleriyle uyumludur. Ancak, a/R oranı 0 dan 0.1 e

doğru gittikçe yöntemler arasındaki farkta artmaktadır. Yöntemler arasında meydana

gelen bu fark, E1/E2 oranının 1 olduğu durumda minimum, 50 olduğu durumda

maksimumdur. Çizelgeler incelendiğinde tüm durumlar için, E1/E2 oranının 1 den 50

ye doğru artması ile boyutsuz serbest titreşim frekansı değerlerinin de arttığı

görülmektedir. Bunun yanı sıra, çözümlerde a/R oranının 0 ile 0.1 olduğu durumlar

için bulunan boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri arasındaki fark, E1/E2

oranının artmasıyla daha da yükselmektedir. Çizelgelerde ve şekillerde, a/R oranının

0 olması durumunda (yani eğriliğin olmadığı plak durumu) sonlu elmanlar (ANSYS,

SAP2000) ve SDSST yöntemleri ile bulunan sonuçların birbirlerine çok yakın çıktığı

görülmektedir. Bu yakınlık CLSST yöntemi kullanılarak elde edilen sonuçlarda ise

sadece a/h=100, 50 ve 20 olduğu ince kabuk durumlarında geçerlidir.

Çizelge 6.11-15 incelendiğinde, a/b=1 durumu için, ANSYS ve SAP2000

programları ile elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekansı değerlerinin birbirine

çok yakın olduğu görülmektedir. SDSST yöntemiyle elde edilen sonuçların ise, a/h

oranının 5, 10 ve 20 olduğu durumlarda, ANSYS ve SAP 2000 programları ile elde

edilen boyutsuz serbest titreşim frekansı değerleri ile yakınlaştığı görülmektedir


162

(Şekil 6.18-20). Elde edilen sonuçlarda, a/b oranının 1, a/h oranının 50 ve 100 olduğu

durumlar için, eğrilik oranının küçük olduğu hallerde sonlu elmanlar (ANSYS,

SAP2000) ve SDSST yöntemleri ile bulunan değerlerin birbirlerine yakın, büyük

olduğu hallerde ise uzak olduğu görülmektedir. a/h oranı azaldıkça sonlu elmanlar

(ANSYS, SAP2000) ve SDSST yöntemleri ile bulunan değerlerin birbirlerine

giderek yaklaştığı görülmektedir (Şekil 6.15).

Çizelge 6.16-20’de a/b oranının 2 olduğu durum ele alınmıştır. Bu durumda

elde edilen sonuçlar incelendiğinde, boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinin

a/b=1 olduğu duruma göre artış gösterdiği belirlenmiştir. Farklı yöntemlerle çizilen

eğrilerin davranışlarının ise, genel olarak a/b=1 olduğu durumda çizilen eğrilere

benzediği görülmektedir. Analizlerde, a/b=1 olduğu durum için, farklı yöntemlerle

bulunan boyutsuz frekans değerleri arasında bazı hallerde bir miktar fak meydana

gelmekte iken, a/b=2 durumunda yöntemler arasında meydana gelen bu fark

azalmaktadır (Şekil 6.21-23). Elde edilen sonuçlarda, a/b oranının 2 olduğu durumda

da a/b=1 olduğu duruma benzer bir şekilde, a/h oranının 50 ve 100 olduğu durumlar

için, eğrilik oranının küçük olduğu hallerde sonlu elmanlar (ANSYS, SAP2000) ve

SDSST yöntemleri ile bulunan değerlerin birbirlerine yakın, büyük olduğu hallerde

ise uzak olduğu görülmektedir. Ancak bu uzaklık a/b=1 olduğu durumdaki kadar çok

değildir. a/h oranı azaldıkça sonlu elmanlar (ANSYS, SAP2000) ve SDSST

yöntemleri ile bulunan değerlerin birbirlerine giderek yaklaştığı görülmektedir (Şekil

6.16).

Çizelge 6.21-25’de ise, a/b oranının 4 olduğu durum için boyutsuz serbest

titreşim frekans değerleri bulunmuştur. Bu durumda elde edilen boyutsuz serbest

titreşim frekans değerleri a/b=1 ve 2 olduğu duruma göre oldukça büyüktür.

Yöntemlerin birbirleriyle uyumlu sonuçlar verdiği ve aralarındaki farkın hemen

hemen yok olduğu görülmektedir (Şekil 6.24-26). Eğrilik oranı a/R=0 olduğu

durumda elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri ile a/R nin 0.1

olduğu durumda elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri birbirlerine

çok yakın çıkmıştır (Şekil 6.17). Bu fark, a/b oranı 1 iken çok fazla olmakta, 2 iken

biraz daha azalmakta ve 4 olduğunda ise hemen hemen yok olmaktadır (Şekil 6.17-

26).

Şekil 6.27 [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( 2 2

2a E hω ρΩ = ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST) ve sonlu elemanlar yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ile karşılaştırılması (E1/E2=1, a/h=100, 50).

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4Kenarların Oranı (a/b)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0100

1

a Ra hE E

===

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.1100

1

a Ra hE E

===

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.05100

1

===

a Ra hE E1 2

0.025100

1

===

a Ra hE E

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

050

1

===

a Ra hE E

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.150

1

===

a Ra hE E0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4

Kenarların Oranı (a/b)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.02550

1

===

a Ra hE E

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0550

1

===

a Ra hE E

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

163



0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

010

1

a Ra hE E

===

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.110

1

a Ra hE E

===

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.02510

1

a Ra hE E

===

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0510

1

a Ra hE E

===

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

020

1

===

a Ra hE E

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.120

1

===

a Ra hE E

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.02520

1

===

a Ra hE E

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0520

1

===

a Ra hE E

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

164


2a E hω ρΩ = ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST) ve sonlu elemanlar yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ile karşılaştırılması (E1/E2=1, a/h=5).

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

05

1

a Ra hE E

===

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.15

1

a Ra hE E

===

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0255

1

a Ra hE E

===

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.055

1

a Ra hE E

===

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

165



0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0100

15

a Ra hE E

===

0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.1100

15

a Ra hE E

===

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.025100

15

a Ra hE E

===

0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.05100

15

a Ra hE E

===

0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

050

15

a Ra hE E

===

0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.150

15

a Ra hE E

===

0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.02550

15

a Ra hE E

===

0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0550

15

a Ra hE E

===

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

166



0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

020

15

a Ra hE E

===

0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.120

15

a Ra hE E

===

0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.02520

15

a Ra hE E

===

0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0520

15

a Ra hE E

===

0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

010

15

a Ra hE E

===

0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.110

15

a Ra hE E

===

0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.02510

15

a Ra hE E

===

0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0510

15

a Ra hE E

===

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

167


2a E hω ρΩ = ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST) ve sonlu elemanlar yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ile karşılaştırılması (E1/E2=15, a/h=5).

0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

05

15

a Ra hE E

===

0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.15

15

a Ra hE E

===

0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0255

15

a Ra hE E

===

0102030405060708090


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.055

15

a Ra hE E

===

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

168



0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

050

50

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.150

50

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.02550

50

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0550

50

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.05100

50

a Ra hE E

===1 2

0100

50

a Ra hE E

=== 1 2

0.025100

50

a Ra hE E

=== 1 2

0.1100

50

a Ra hE E

===

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

169



0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

020

50

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.120

50

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.02520

50

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0520

50

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

010

50

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.110

50

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.02510

50

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0510

50

a Ra hE E

===

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

170


2a E hω ρΩ = ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST) ve sonlu elemanlar yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ile karşılaştırılması (E1/E2=50, a/h=5). .

0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

05

50

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.15

50

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0255

50

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120

140


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.055

50

a Ra hE E

===

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

171


172

Şekil 6.27-35’de tabakalı kompozit silindirik sığ kabuklar için elde edilen

boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinin a/b oranına göre değişimi

görülmektedir. Şekiller, E1/E2 oranının 1, 15 ve 50 ve a/h oranının da 100, 50, 20, 10

ve 5 olması durumu için oluşturulmuştur. Şekillerde, a/b oranının artması ile tüm

yöntemler için boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri artmaktadır. a/R=0 olduğu

plak durumu için tüm yöntemlerde sonuçların birbirleriyle uyum içerisinde olduğu

belirlenmiştir. Elde edilen eğrilerin üç yöntemde de davranış olarak birbirlerine

benzediği görülmektedir. Ancak bazı durumlarda, sonlu elemanlar yöntemi ile elde

edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri ile diğer yöntemler kullanılarak

elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri arasında farklılıklar olduğu

görülmüştür. Grafikler detaylı olarak incelediğinde E1/E2=1, a/h=100 ve a/b=1

olduğu durum için, eğrilik oranı a/R=0’dan 0.1’e doğru arttıkça, sonlu elmanlar

(ANSYS ve SAP2000 programları) ile elde edilen sonuçlarla, SDSST ve CLSST

yöntemleri kullanılarak elde edilen sonuçlar arasında bir miktar fark meydana geldiği

görülmektedir. Bu fark, a/b oranının 2 olması halinde azalmakta ve a/b oranının 4

olması halinde sona ermektedir. Aynı grafiklerde, a/h oranı azaldıkça ANSYS,

SAP2000 ve SDSST çözümleri ile bulunan boyutsuz serbest titreşim frekans

değerleri birbirleriyle uyumlu sonuçlar vermektedir. Ancak beklendiği üzere, a/h

değerinin azalması durumunda, kabuk kalınlığının artmasından dolayı, CLSST

yöntemi ile bulunan sonuçlar, diğer yöntemler ile bulunan sonuçlardan

uzaklaşmaktadır. Yapılan çözümlerde, E1/E2 oranının 15 olması durumunda ANSYS

ve SAP2000 programları ile elde edilen sonuçlarla, SDSST ve CLSST yöntemleri

kullanılarak elde edilen sonuçlar arasındaki fark, yukarıda bahsedilen E1/E2 oranının

1 olması durumuna göre daha da artmaktadır. Bu fark, E1/E2 oranının 50 olması

halinde, en büyük değerini almaktadır.

Tüm grafiklere topluca bakıldığında CLSST yöntemiyle elde edilen

sonuçların, ince kabuklar için a/b=1 durumunda, kalın kabuklar için ise a/b=4

durumunda, diğer yöntemlerden belirgin bir biçimde ayrıştığı görülmektedir. SDSST

yöntemi ve sonlu elemanlar (ANSYS, SAP2000 ) yöntemi kullanılarak elde edilen

sonuçların ise, genel olarak birbirleriyle uyumlu oldukları anlaşılmıştır.


173






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 11.1535466 11.1258675 8.1473774 8.1491154 0.000 6.0829732 6.1058540 6.1471034 6.1547797 0.025 6.1947561 6.2162600 6.1831553 6.1908101 0.050 6.5185312 6.5363694 6.2900536 6.2976466

50

0.100 7.6757911 7.6824110 6.7003632 6.7077474 0.000 5.9585280 6.0307693 6.1073863 6.1547797 0.025 5.9769749 6.0488074 6.1130791 6.1604490 0.050 6.0319245 6.1024774 6.1301230 6.1774226

20

0.100 6.2467734 6.3127147 6.1977870 6.2448129 0.000 5.7215446 5.8391478 5.9729983 6.1547797 0.025 5.7266095 5.8437684 5.9743439 6.1560955 0.050 5.7410489 5.8576302 5.9783784 6.1600404

10

0.100 5.7983177 5.9128108 5.9944787 6.1757841 0.000 5.2078852 5.3260170 5.5265845 6.1547797 0.025 5.2094357 5.3272610 5.5268480 6.1549877 0.050 5.2134121 5.3309708 5.5276383 6.1556116

5

0.100 5.2292954 5.3458323 5.5307961 6.1581041


174






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 19,1840131 19,1292768 10,3624418 10,3662796 0.000 8,2834909 8,3046368 8,3290657 8,3466158 0.025 8,5643233 8,5825391 8,3642791 8,3817774 0.050 9,3556896 9,3662637 8,4690186 8,4863656

50

0.100 12,0034257 11,9928961 8,8753054 8,8921062 0.000 8,1406900 8,1989850 8,2390256 8,3466158 0.025 8,1871136 8,2445690 8,2445284 8,3520625 0.050 8,3246031 8,3799881 8,2610111 8,3683779

20

0.100 8,8529152 8,9006051 8,3265632 8,4332712 0.000 7,8008738 7,8874501 7,9433133 8,3466158 0.025 7,8131651 7,8993126 7,9445719 8,3478057 0.050 7,8493301 7,9347668 7,9483455 8,3513737

10

0.100 7,9924354 8,0748509 7,9634100 8,3656183 0.000 6,9218897 6,9950304 7,0435725 8,3466158 0.025 6,9257659 6,9983403 7,0437921 8,3467276 0.050 6,9359401 7,0082480 7,0444509 8,3470627

5

0.100 6,9765036 7,0477008 7,0470834 8,3484018


175






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 31,3220581 31,2250256 13,9419560 13,9542790 0.000 12,1943808 12,2030444 12,2227295 12,2773269 0.025 12,7228395 12,7270825 12,2505535 12,3050420 0.050 14,1896795 14,1823488 12,3336295 12,3877958

50

0.100 18,9396545 18,9015790 12,6601996 12,7131427 0.000 11,8980405 11,9304736 11,9492078 12,2773269 0.025 11,9861873 12,0177318 11,9534613 12,2814620 0.050 12,2468957 12,2756856 11,9662099 12,2938561

20

0.100 13,2375697 13,2566741 12,0170242 12,3432641 0.000 11,0721086 11,1230684 11,1191963 12,2773269 0.025 11,0958780 11,1464824 11,1201011 12,2780860 0.050 11,1666975 11,2164578 11,1228142 12,2803622

10

0.100 11,4453996 11,4918277 11,1336505 12,2894545 0.000 9,0499304 9,0897831 9,0495047 12,2773269 0.025 9,0572612 9,0969139 9,0496176 12,2772259 0.050 9,0788980 9,1182842 9,0499560 12,2769228

5

0.100 9,1649344 9,2032099 9,0513083 12,2757115


176






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 39,9220578 39,7953468 16,6426064 16,6667159 0.000 15,1029141 15,1029141 15,1240295 15,2277943 0.025 15,8022461 15,7944488 15,1473850 15,2509993 0.050 17,7336117 17,7142186 15,2172198 15,3203869

50

0.100 23,9291454 23,8729429 15,4931645 15,5946043 0.000 14,5857181 14,6055334 14,6164615 15,2277943 0.025 14,7039877 14,7224700 14,6199563 15,2311231 0.050 15,0523097 15,0676821 14,6304332 15,2411027

20

0.100 16,3703353 16,3747782 14,6722284 15,2809197 0.000 13,1726148 13,2136670 13,1845025 15,2277943 0.025 13,2061585 13,2460112 13,1851931 15,2282769 0.050 13,3037242 13,3426439 13,1872640 15,2297244

10

0.100 13,6867896 13,7220661 13,1955373 15,2355076 0.000 10,1355266 10,1677153 10,1119204 15,2277943 0.025 10,1476335 10,1782005 10,1119717 15,2275465 0.050 10,1793557 10,2096117 10,1121256 15,2268032

5

0.100 10,3051781 10,3342124 10,1127408 15,2238327


177






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 55,8888016 55,7075320 21,8964966 21,9603844 0.000 20,5754352 20,5612180 20,5876721 20,8519882 0.025 21,5885680 21,5670867 20,6052060 20,8692944 0.050 24,3732115 24,3334477 20,6577055 20,9211143

50

0.100 33,2243229 33,1361317 20,8661912 21,1269334 0.000 19,3597735 19,3690147 19,3665036 20,8519882 0.025 19,5360671 19,5432646 19,3689925 20,8542166 0.050 20,0533964 20,0566842 19,3764555 20,8608989

20

0.100 21,9986683 21,9881831 19,4062514 20,8875817 0.000 16,4291591 16,4702113 16,4109303 20,8519882 0.025 16,4825626 16,5215711 16,4113348 20,8520557 0.050 16,6369527 16,6747172 16,4125481 20,8522582

10

0.100 17,2400297 17,2730403 16,4173960 20,8530673 0.000 11,4986920 11,5217061 11,4718774 20,8519882 0.025 11,5193514 11,5400552 11,4718506 20,8514904 0.050 11,5746208 11,5948804 11,4717703 20,8499973

5

0.100 11,7928553 11,8114931 11,4714491 20,8440302


178






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 17,8417737 17,8195149 17,2801148 17,2910685 0.000 14,9537665 14,9938413 15,1016299 15,1476904 0.025 15,0017052 15,0424909 15,1374588 15,1834683 0.050 15,1446106 15,1839967 15,2444368 15,2902963

50

0.100 15,7027477 15,7369135 15,6649970 15,7102978 0.000 14,5633260 14,6938579 14,8681731 15,1476904 0.025 14,5712343 14,7020328 14,8739070 15,1533705 0.050 14,5948705 14,7252246 14,8910951 15,1703975

20

0.100 14,6890596 14,8176366 14,9596418 15,2383071 0.000 13,7367276 13,9220847 14,1319178 15,1476904 0.025 13,7388158 13,9240396 14,1333515 15,1490617 0.050 13,7450802 13,9301707 14,1376516 15,1531744

10

0.100 13,7700492 13,9543844 14,1548367 15,1696120 0.000 11,8553444 11,9990495 12,1094846 15,1476904 0.025 11,8559220 11,9996048 12,1098484 15,1479558 0.050 11,8577213 12,0012931 12,1109395 15,1487517

5

0.100 11,8648744 12,0080241 12,1153025 15,1519341


179






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 26,1659592 26,1312603 22,5471807 22,5674851 0.000 19,3471113 19,3942947 19,4535958 19,5415676 0.025 19,4713343 19,5184733 19,5044352 19,5922579 0.050 19,8169684 19,8825676 19,6561474 19,7435311

50

0.100 21,2441557 21,2738564 20,2513870 20,3371279 0.000 18,8253836 18,9450749 19,0138593 19,5415676 0.025 18,8458208 18,9656010 19,0219041 19,5494524 0.050 18,9071326 19,0259353 19,0460154 19,5730849

20

0.100 19,1501583 19,2654067 19,1421158 19,6672902 0.000 17,5210864 17,6663687 17,6873232 19,5415676 0.025 17,5265956 17,6717002 17,6892626 19,5433140 0.050 17,5429899 17,6878723 17,6950787 19,5485517

10

0.100 17,6085668 17,7522496 17,7183135 19,5694783 0.000 14,4016495 14,4803996 14,4013126 19,5415676 0.025 14,4032933 14,4819990 14,4017520 19,5416932 0.050 14,4082249 14,4868418 14,4030699 19,5420699

5

0.100 14,4279958 14,5061461 14,4083374 19,5435755


180






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 40,1444685 40,0690284 30,6418653 30,6960931 0.000 27,5940795 27,6216254 27,6561525 27,8878651 0.025 27,8335509 27,8597639 27,7020812 27,9334746 0.050 28,5393028 28,5592958 27,8393878 28,0698338

50

0.100 31,1957026 31,1939254 28,3816090 28,6084098 0.000 26,4725626 26,5437375 26,5367761 27,8878651 0.025 26,5125485 26,5837235 26,5438916 27,8946307 0.050 26,6323286 26,7022596 26,5652229 27,9149136

20

0.100 27,1057622 27,1707172 26,6503191 27,9958421 0.000 23,5159128 23,5779799 23,4864226 27,8878651 0.025 23,5271533 23,5890427 23,4880386 27,8890454 0.050 23,5608304 23,6224532 23,4928852 27,8925851

10

0.100 23,6950054 23,7552509 23,5122478 27,9067286 0.000 17,4351389 17,4393152 17,3439328 27,8878651 0.025 17,4389153 17,4430472 17,3442487 27,8874822 0.050 17,4501780 17,4542211 17,3451964 27,8863339

5

0.100 17,4952289 17,4988054 17,3489834 27,8817457


181






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 50,3658539 50,2605575 36,6479862 36,7469149 0.000 33,8141156 33,8254450 33,8549687 34,2693525 0.025 34,1337810 34,1433332 33,8948727 34,3088148 0.050 35,0741172 35,0761165 34,0142793 34,4269062

50

0.100 38,5964348 38,5717768 34,4874119 34,8949183 0.000 31,9089630 31,9477049 31,9173164 34,2693525 0.025 31,9632550 32,0019081 31,9233802 34,2749226 0.050 32,1257757 32,1629182 31,9415610 34,2916240

20

0.100 32,7668837 32,7984281 32,0141247 34,3582956 0.000 27,1671629 27,1846234 27,0850054 34,2693525 0.025 27,1830684 27,2003512 27,0863160 34,2700352 0.050 27,2307850 27,2477123 27,0902466 34,2720828

10

0.100 27,4206293 27,4360017 27,1059505 34,2802647 0.000 18,8179195 18,7951053 18,7399781 34,2693525 0.025 18,8236286 18,8007700 18,7402092 34,2685899 0.050 18,8407782 18,8177863 18,7409025 34,2663029

5

0.100 18,9091319 18,8856069 18,7436729 34,2571657


182






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 69,5822111 69,4227116 48,2504047 48,4957818 0.000 45,5359958 45,5200014 45,5494463 46,5442942 0.025 46,0036092 45,9851713 45,5802744 46,5744528 0.050 47,3777929 47,3489142 45,6726128 46,6647911

50

0.100 52,4959941 52,4320166 46,0398040 47,0241040 0.000 41,2883331 41,2777591 41,2378021 46,5442942 0.025 41,3710596 41,3602190 41,2422838 46,5479964 0.050 41,6184394 41,6057327 41,2557229 46,5590985

20

0.100 42,5919639 42,5721486 41,3093896 46,6034419 0.000 32,3640030 32,3281934 32,2701245 46,5442942 0.025 32,3903938 32,3543176 32,2710016 46,5441524 0.050 32,4693438 32,4327789 32,2736320 46,5437272

10

0.100 32,7828336 32,7442250 32,2841422 46,5420280 0.000 20,3397180 20,2936898 20,2973363 46,5442942 0.025 20,3501810 20,3040861 20,2974657 46,5428645 0.050 20,3815255 20,3352307 20,2978538 46,5385770

5

0.100 20,5062817 20,4591871 20,2994047 46,5214486


183






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 51,2557633 51,2122231 51,3067920 51,4329905 0.000 49,8613645 49,8955747 50,0383250 50,5399133 0.025 49,8769146 49,9109026 50,0524505 50,5539739 0.050 49,9231206 49,9568865 50,0948031 50,5961324

50

0.100 50,1072781 50,1401554 50,2638544 50,7644141 0.000 47,7098096 47,8494938 47,6794263 50,5399133 0.025 47,7123864 47,8520707 47,6817284 50,5421452 0.050 47,7200282 47,8596236 47,6886341 50,5488403

20

0.100 47,7508618 47,8900129 47,7162465 50,5756117 0.000 42,3848811 42,5405597 41,6707125 50,5399133 0.025 42,3855919 42,5412261 41,6713316 50,5404498 0.050 42,3877690 42,5433143 41,6731890 50,5420593

10

0.100 42,3962993 42,5516669 41,6806174 50,5484968 0.000 31,5882313 31,6460554 30,6301008 44,6387459 0.025 31,5884534 31,6462775 30,6302977 44,6387096 0.050 31,5891198 31,6469440 30,6308885 44,6386008

5

0.100 31,5920077 31,6495430 30,6332514 44,6381655


184






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 70.1535659 70.1175785 69.7161846 69.9847046 0.000 67.0331071 67.0635408 67.0823951 68.1525131 0.025 67.0708716 67.1010832 67.1115517 68.1813570 0.050 67.1839429 67.2134881 67.1989432 68.2678132

50

0.100 67.6346734 67.6608864 67.5473447 68.6125147 0.000 62.6305211 62.7232885 62.2916163 68.1525131 0.025 62.6370077 62.7295973 62.2963680 68.1569231 0.050 62.6562898 62.7487017 62.3106204 68.1701510

20

0.100 62.7334182 62.8251193 62.3675913 68.2230308 0.000 52.2380847 52.2841574 51.4541403 68.1525131 0.025 52.2398619 52.2860679 51.4554063 68.1533086 0.050 52.2456376 52.2916659 51.4592040 68.1556948

10

0.100 52.2682963 52.3141469 51.4743895 68.1652364 0.000 35.2400589 35.2036495 34.7784529 52.9804531 0.025 35.2407253 35.2043381 34.7788257 52.9801998 0.050 35.2427246 35.2063374 34.7799442 52.9794398

5

0.100 35.2509440 35.2143790 34.7844167 52.9764020


185






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 103.8363943 103.7519795 101.8145848 102.5978836 0.000 97.4144292 97.3871054 97.3206935 100.3920202 0.025 97.4841824 97.4564144 97.3557248 100.4260850 0.050 97.6932201 97.6638970 97.4607344 100.5282012

50

0.100 98.5233727 98.4878297 97.8795143 100.9355037 0.000 85.5892075 85.5579296 85.0531521 100.3920202 0.025 85.6018253 85.5704585 85.0587227 100.3964544 0.050 85.6397675 85.6080453 85.0754309 100.4097544

20

0.100 85.7911810 85.7582148 85.1422062 100.4629148 0.000 63.6949470 63.6046231 63.1747170 100.3920202 0.025 63.6993898 63.6087995 63.1761052 100.3911146 0.050 63.7118299 63.6212840 63.1802689 100.3883990

10

0.100 63.7620345 63.6711331 63.1969131 100.3775526 0.000 38.3127567 38.2185454 38.1609046 67.1107556 0.025 38.3145339 38.2202559 38.1612765 67.1102062 0.050 38.3196432 38.2253652 38.1623918 67.1085581

5

0.100 38.3403026 38.2457803 38.1668501 67.1019695


186






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 128.6943243 128.5685908 125.2707331 126.7263951 0.000 119.1587868 119.0852571 118.9952666 124.5933346 0.025 119.2514209 119.1770027 119.0290073 124.6255414 0.050 119.5284347 119.4520171 119.1301596 124.7221001

50

0.100 120.6276039 120.5431892 119.5337277 125.1074109 0.000 99.2957679 99.1985577 98.7648498 124.5933346 0.025 99.3135395 99.2160626 98.7700494 124.5966147 0.050 99.3659655 99.2686664 98.7856443 124.6064529

20

0.100 99.5774467 99.4786370 98.8479664 124.6457735 0.000 68.8371397 68.7068299 68.4892352 124.5933346 0.025 68.8433597 68.7130944 68.4904712 124.5897489 0.050 68.8620198 68.7318878 68.4941784 124.5790004

10

0.100 68.9379931 68.8070169 68.5089955 124.5361348 0.000 39.4025959 39.2985658 39.3197866 78.4886143 0.025 39.4054838 39.3012760 39.3201172 78.4878552 0.050 39.4137031 39.3094287 39.3211087 78.4855782

5

0.100 39.4463583 39.3419728 39.3250716 78.4764750


187






12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )


100

0.100 175.0837980 174.8794253 168.9020447 172.5301071 0.000 157.5988322 157.4477741 157.3552080 170.7063995 0.025 157.7356730 157.5837264 157.3838154 170.7323162 0.050 158.1450846 157.9902501 157.4695915 170.8100289

50

0.100 159.7674033 159.6010174 157.8120075 171.1203230 0.000 118.5307853 118.3691532 118.1217435 170.7063995 0.025 118.5592198 118.3979431 118.1258793 170.7068340 0.050 118.6463003 118.4842239 118.1382835 170.7081373

20

0.100 118.9928452 118.8281919 118.1878508 170.7133453 0.000 74.4893753 74.3338300 74.3199352 170.7063995 0.025 74.5009268 74.3452482 74.3208860 170.6954622 0.050 74.5351370 74.3794140 74.3237375 170.6627099

10

0.100 74.6724221 74.5158105 74.3351331 170.5325828 0.000 40.4433412 40.3336909 40.4086289 101.3993956 0.025 40.4486727 40.3389113 40.4089009 101.3982512 0.050 40.4644449 40.3546169 40.4097167 101.3948187

5

0.100 40.5275339 40.4172615 40.4129769 101.3810957


188

Şekil 6.36. [0º/90º/0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı eğrilik oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 2


0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 15100

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1550

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

riANSYSSDSSTCLSSTSAP2000

1 2 1520

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1510

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 155=

=E Ea h

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1100

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 150

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 120

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SDSSTCLSST

SAP2000

1 2 110

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SDSSTCLSST

SAP2000

1 2 15=

=E Ea h


189



0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 15100

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1550

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1520

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1510

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 155=

=E Ea h

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1100

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 150

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 120

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 110

E Ea h

==

0

10

20

30

40

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 15=

=E Ea h


190



0102030405060708090

100110120

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 15100

E Ea h

==

0102030405060708090

100110120

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1550

E Ea h

==

0102030405060708090

100110120

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1520

E Ea h

==

0102030405060708090

100110120

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1510

E Ea h

==

0102030405060708090

100110120

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 155=

=E Ea h

0102030405060708090

100110120

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 1100

E Ea h

==

0102030405060708090

100110120

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 150

E Ea h

==

0102030405060708090

100110120

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 120

E Ea h

==

0102030405060708090

100110120

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 110

E Ea h

==

0102030405060708090

100110120

0 0,025 0,05 0,075 0,1Eğrilik Oranı (a/R)

Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2 15=

=E Ea h

Şekil 6.39. Simetrik cross-ply [0º/90º/0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( 2 2


0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

100=SDSSTa h 100=

CLSSTa h

50=ANSYSa h

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

2000100

SAPa h =

200050

SAPa h = 50=

CLSSTa h50=

SDSSTa h

100=ANSYSa h

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

191



0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

20=ANSYSa h 20=

SDSSTa h 20=

CLSSTa h

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

200020

SAPa h =

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

10=ANSYSa h 10=

SDSSTa h 10=

CLSSTa h

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

200010

SAPa h =

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

192



0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

5=ANSYSa h 5=

SDSSTa h 5=

CLSSTa h

0

10

20

30

40

50

60


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

20005

SAPa h =

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

193



0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

100=SDSSTa h 100=

CLSSTa h

50=ANSYSa h

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

2000100

SAPa h =

200050

SAPa h = 50=

CLSSTa h50=

SDSSTa h

100=ANSYSa h

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

194



0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

20=ANSYSa h 20=

SDSSTa h 20=

CLSSTa h

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

200020

SAPa h =

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

10=ANSYSa h 10=

SDSSTa h 10=

CLSSTa h

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

200010

SAPa h =

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

195


2a E hω ρΩ = ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST), ve sonlu elemanlar yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ile gösterimi.(a/b=2, a/h=5)

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

5=ANSYSa h 5=

SDSSTa h 5=

CLSSTa h

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

20005

SAPa h =

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

196



020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

50=ANSYSa h

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

200050

SAPa h =

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

100=SDSSTa h 100=

CLSSTa h

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

2000100

SAPa h =

50=CLSSTa h50=

SDSSTa h

100=ANSYSa h

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

197



020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

20=SDSSTa h 20=

CLSSTa h

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

200020

SAPa h =

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

10=ANSYSa h 10=

SDSSTa h 10=

CLSSTa h

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

200010

SAPa h =

20=ANSYSa h

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

198



020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

5=ANSYSa h 5=

SDSSTa h 5=

CLSSTa h

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri

a/R=0 a/R=0.025a/R=0.05a/R=0.1

20005

SAPa h =

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

199


200

Daha önceki örnekte, tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların dört tabakalı

simetrik cross-ply durum için çözümleri yapılarak boyutsuz serbest titreşim frekans

değerleri elde edilmiştir. Dört tabakalı durum için çözülen örneklerin, tabaka

sayısındaki artışın, sonuçlar üzerindeki etkisinin anlaşılması için, silindirik sığ kabuk

altı tabakalı olarak da çözülmüştür. Dört tabakalı durum için yapılan çözümlerde

kullanılan a/h, a/b, a/R ve E1/E2 parametreleri, altı tabakalı durum için de

kullanılmıştır. Çözümler sonucu elde edilen veriler ışığında, gerekli çizelge ve

şekiller oluşturulmuştur.

Çizelge 6.26-30’da, a/b oranının 1 olması durumu için simetrik cross-ply

dizilimli, altı tabakalı kompozit silindirik sığ kabuğun çözümü ile elde edilen

sonuçlar görülmektedir. Elde edilen veriler incelendiğinde, altı tabakalı durumda elde

edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri, dört tabakalı duruma göre bir

miktar artmıştır. Bu artış E1/E2 oranının artmasıyla daha fazla hissedilmektedir.

Ancak, dört tabakalı çözümler ile altı tabakalı çözümler arasında, a/b=1 durumu için

aşırı bir fark meydana gelmediği de görülmektedir (Şekil 6.39-41).

Çizelge 6.31-35’de, a/b oranının 2 olduğu durum incelenmiştir. Elde edilen

veriler, dört tabakalı durum ile altı tabakalı durum arasında meydana gelen farkın

a/b=2 durumunda daha da belirgin hale geldiğini göstermektedir. Özellikle E1/E2

oranının artması ile dört tabakalı durum için elde edilen boyutsuz serbest titreşim

frekans değerleri ile altı tabakalı durum için elde edilen boyutsuz serbest titreşim

frekans değerleri arasındaki fark artmaktadır. Altı tabakalı silindirik sığ kabuk

örneğimiz için oluşturulan grafiklerin davranışının, genel olarak dört tabakalı

silindirik sığ kabuk örneğimiz için oluşturulan grafiklerin davranışına benzediği

görülmektedir (Şekil 6.42-44).

Çizelge 6.36-40 da ise a/b oranının 4 olduğu silindirik sığ kabuk örneği için

bulunan boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri görülmektedir. Bu durumda, elde

edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinde a/b=1 ve 2 olmasına göre,

büyük bir artış meydana gelmiştir. E1/E2 oranının artması ile dört tabakalı durum için

elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri ile altı tabakalı durum için

elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri arasındaki fark artmaktadır.

Sonlu elemanlar yöntemi ve SDSST yöntemi ile bulunan sonuçlar arasında büyük bir


201

uyum söz konusudur (Şekil 6.45-47). Ancak, CLSST yöntemi ile elde edilen

değerlerin, sadece a/h=100 olduğu ince kabuk durumunda diğer yöntemlerle uyumlu

olduğu, diğer hallerde uyumsuz olduğu görülmektedir.

Altı tabakalı örnekte, eğrilik oranının artması ile boyutsuz serbest titreşim

frekans değerlerinin değişimi, Şekil 6.36-38’de görülmektedir. Şekilde çeşitli

yöntemler için oluşturulan eğriler, çeşitli tabaka kalınlık oranlarına göre verilmiştir.

Şekil incelendiğinde, genel davranışın ve yöntemler arasındaki uyumluluk ve

uyumsuzluk durumunun dört tabakalı durum ile benzerlik gösterdiği görülmektedir.

Şekil 6.48. [0º/90º/0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( 2 2

2a E hω ρΩ = ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST), ANSYS ve SAP2000 ile karşılaştırılması (E1/E2=15, a/h=100, 50).

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0100

15

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.1100

15

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.025100

15

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.05100

15

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

050

15

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.150

15

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.02550

15

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0550

15

a Ra hE E

===

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

202



0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

020

15

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.120

15

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.02520

15

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0520

15

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

010

15

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.110

15

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.02510

15

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0510

15

a Ra hE E

===

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

203

Şekil 6.26 [0º/90º/0º/0º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( 2 2

2a E hω ρΩ = ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST), ANSYS ve SAP2000 ile karşılaştırılması (E1/E2=15, a/h=5).

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

05

15

a Ra h

E E

===

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.15

15

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0255

15

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.055

15

a Ra hE E

===

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

204



020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0100

50

a Ra hE E

===

020406080

100120140160180200


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.1100

50

a Ra hE E

===

020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.025100

50

a Ra hE E

===

020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.05100

50

a Ra hE E

===

020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

050

50

a Ra hE E

===

020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.150

50

a Ra hE E

===

020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.02550

50

a Ra hE E

===

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0550

50

a Ra hE E

===

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

205



020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

010

50

a Ra hE E

===

020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.110

50

a Ra hE E

===

020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.02510

50

a Ra hE E

===

020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0510

50

a Ra hE E

===

020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

020

50

a Ra hE E

===

020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.120

50

a Ra hE E

===

020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.02520

50

a Ra hE E

===

020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0520

50

a Ra hE E

===

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

206


2a E hω ρΩ = ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (SDSST), klasik sığ kabuk teorisi (CLSST), ANSYS ve SAP2000 ile karşılaştırılması (E1/E2=50, a/h=5).

020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

05

50

a Ra hE E

===

020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.15

50

a Ra hE E

===

020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.0255

50

a Ra hE E

===

020406080

100120140160180


Frek

ans

Par

amet

rele

ri


1 2

0.055

50

a Ra hE E

===

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

207


208

Şekil 6.48-52’de, altı tabakaya sahip kompozit silindirik sığ kabuklar için

elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinin a/b oranına göre değişimi

görülmektedir. Şekiller, E1/E2 oranının 15 ve 50, a/h oranının da 100, 50, 20, 10 ve 5

olması durumu için oluşturulmuştur. Bu örnekte verilen boyutsuz serbest titreşim

frekans değerleri birinci modlar için bulunmuştur. Şekillerde, a/b oranının artması ile

tüm yöntemler için boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri artmaktadır. Şekiller

incelendiğinde, genel davranışın dört tabakalı duruma benzediği görülmektedir.

Ancak, a/b oranı 4 iken, a/h oranının 100, 50 ve 20 olduğu ince kabuk durumunda,

dört tabakalı çözümler ile altı tabakalı çözümler sonucunda elde edilen boyutsuz

serbest titreşim frekansları arasında belirgin bir fark oluştuğu görülmektedir. Bu fark

a/b oranının 2 olması halinde daha az, a/b oranının 1 olması halinde ise çok daha

azdır. Dört tabakalı durum için yapılan yorumlarda, yöntemler arasındaki

uyumluluğun ve uyumsuzluğun görüldüğü haller altı tabakalı durum için de

geçerlidir. Grafiklerde a/R oranının artması, ince kabuk durumunda sonlu elemanlar

yöntemi kullanılarak elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri ile

SDSST ve CLSST yöntemi kullanılarak elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans

değerleri arasında uyumsuzluğa sebep olmaktadır. Kabuk kalınlık oranı a/h değeri

azaldıkça bir başka deyişle kabuk kalınlığı arttıkça, sonlu elemanlar yöntemi ile elde

edilen sonuçların SDSST yöntemiyle elde edilen sonuçlarla uyumlu olduğu

görülmektedir.


209

6.4. Mod Şekil Değiştirme Analizi Önceki bölümlerde, analizleri yapılan plak ve kabuk örnekleri için elde edilen

verilerin tümü, birinci modlar için bulunmuştur. Yapılan plak analizlerinde, sonlu

elemanlar yöntemi (ANSYS) ve kayma deformasyon plak teorisi (SDPT) yöntemleri

kullanılarak birinci modlar için elde edilen frekans değerlerinin, birbirleriyle uyumlu

oldukları görülmektedir. Ayrıca klasik plak teorisi (CLPT) yöntemi ile bulunan

değerlerin de ince plak durumunda diğer yöntemlerle uyumlu oldukları

belirlenmiştir. Bu durumda, plaklar için yapılan analizlerde, yöntemleri birbirleriyle

karşılaştırırken, birinci modlar için elde edilen verilerin yeterli olduğunu

söyleyebiliriz. Ancak sığ kabukların analizi için aynı ifadeyi söylememiz mümkün

değildir. Sayısal uygulamalar kısmında çözülen ilk silindirik kabuk örneğinden de

anlaşılmıştır ki, yöntemlerin karşılaştırılması esnasında sadece tek bir modun esas

alınması uygun olmamaktadır. Silindirik kabuk örneğinde, m=1, 2 ve 3 n=1, 2,...,30

modları dikkate alınmış ve elde edilen frekans değerleri kullanılarak çizilen

grafiklerdeki eğrilerin, genel olarak birbirleriyle uyumlu oldukları görülmüştür.

Ancak, analizler ilk 30 mod için değil de, eğriler arasındaki uyumsuzluğun olduğu

dar bölge içerisinde tutulsaydı, kullanılan yöntemlerin farklı sonuçlar verdiği

düşünülecekti (Şekil 6.12). Analizlerin geniş bir mod aralığında yapılmasıyla,

yöntemler arasında yapılacak olan karşılaştırmalarda, mümkün olduğu kadar çok

modun dikkate alınması gerektiği anlaşılmaktadır. Bu bağlamda, silindirik sığ

kabukların analizinde, ilk modların dikkate alınmasının, kullanılan yöntemler

arasında bir kıyas yapmamız için yeterli olmadığı düşünülmektedir. Bu sebeple,

silindirik sığ kabukların analizinde, sadece ilk modun değil, birkaç modun

değerlendirilmesi, çeşitli yöntemlerin birbirleriyle kıyaslanması için gereklidir.

Yukarıda anlatılan durum sebebiyle, bu bölümde silindirik sığ kabuk

örnekleri sonlu elemanlar yöntemi (ANSYS, SAP2000) ve SDSST yöntemi ile ilk

altı mod dikkate alınarak çözülmüş, elde edilen veriler yardımıyla grafikler ve

çizelgeler oluşturulmuştur.

Çözülen örnekler için a/h oranı 100, 50, 20, 10 ve 5 olarak, a/b oranı ise 1, 2

ve 4 olarak seçilmiştir. Örneklerde E1/E2 oranı ise 15’tir. Çizelgelerde, ilk altı mod


210

için elde edilen serbest titreşim frekans değerleri, boyutsuz serbest titreşim frekans

değerleri ve mod şekilleri verilmiştir.

Çizelge 6.41. Simetrik cross-ply [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( 2 2

2a E hω ρΩ = ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (SDSST) ANSYS ve SAP2000 ile gösterimi ( 1a b = , 100a h = , 1 2 15E E = ,

12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )

Mod Şekilleri (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (1,3) (2,3)

Yöntem

Frekans Değerleri

Frekanslar 0,0635498 0,0779312 0,0966567 0,1125340 0,1181872 0,1499657

ANSYS Boyutsuz Frekanslar 28,2344322 34,6239324 42,9434598 49,9975474 52,5092004 66,6279913Frekanslar 0,0633530 0,0775330 0,0967820 0,1120820 0,1181120 0,1489940

Sap2000Boyutsuz Frekanslar 28,1469963 34,4470043 42,9991097 49,7967205 52,4757790 66,1962900Frekanslar 0,0314124 0,0597319 0,0960632 0,1109773 0,1098197 0,1480592

SDSST Boyutsuz Frekanslar 13,9561430 26,5382030 42,6797416 49,3059289 48,7916015 65,7809761

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

211

Çizelge 6.42. Simetrik cross-ply [0º/90º/90º/0º]] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( 2 2


12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )

Mod Şekilleri (1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (2,3)

Yöntem

Frekans Değerleri

Frekanslar 0,0794355 0,1193781 0,1889675 0,2123203 0,2176640 0,2899911




6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

212



12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )

Mod Şekilleri (1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (2,3)

Yöntem

Frekans Değerleri

Frekanslar 0,1452088 0,2596835 0,4282378 0,4880812 0,4945359 0,6610698




6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

213



12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )

Mod Şekilleri (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (1,3) (2,3)

Yöntem

Frekans Değerleri

Frekanslar 0,2524332 0,4660960 0,6738730 0,7950045 0,8381079 1,0690420




6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

214



12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )

Mod Şekilleri (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (1,3) (3,1)

Yöntem

Frekans Değerleri

Frekanslar 0,3991018 0,7263921 0,8577088 1,0578339 1,1804628 1,3321164




6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

215


216

Şekil 6.53. [0º/90º/90º/0º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların ilk altı mod için boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( 2 2


020406080

100120

0 1 2 3 4 5 6Modlar

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SAP2000

SDSST

020406080

100120

0 1 2 3 4 5 6Modlar

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SAP2000

SDSST

020406080

100120

0 1 2 3 4 5 6Modlar

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SAP2000

SDSST

020406080

100120

0 1 2 3 4 5 6Modlar

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SAP2000

SDSST

020406080

100120

0 1 2 3 4 5 6Modlar

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SAP2000

SDSST

1 2 1520

/ 1

E Ea ha b

===

1 2 1550

/ 1

E Ea ha b

===

1 2 1510

/ 1

E Ea ha b

===

1 2 155

/ 1

E Ea ha b

===

1 2 15100

/ 1

E Ea ha b

===



12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )

Mod Şekilleri (1,1) (2,1) (1,2) (2,2) (3,1) (3,2)

Yöntem

Frekans Değerleri

Frekanslar 0.0779199 0.1124891 0.1853962 0.2128185 0.2216833 0.2947969

ANSYS Boyutsuz Frekanslar 34.6189138 49.9776063 82.3693587 94.5527840 98.4912791 130.9748160Frekanslar 0.0777780 0.1125910 0.1855710 0.2121490 0.2228240 0.2934270

Sap2000Boyutsuz Frekanslar 34.5558549 50.0228633 82.4470230 94.2553172 98.9980948 130.3661812Frekanslar 0.0597319 0.1109773 0.1815673 0.2113131 0.2208087 0.2943438

SDSST Boyutsuz Frekanslar 26.5382030 49.3059289 80.6682308 93.8839466 98.1027036 130.7734876

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

217



12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )

Mod Şekilleri (1,1) (2,1) (1,2) (2,2) (3,1) (3,2)

Yöntem

Frekans Değerleri

Frekanslar 0.1192558 0.2174021 0.3519310 0.4126688 0.4269034 0.5692173




6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

218



12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )

Mod Şekilleri (1,1) (2,1) (1,2) (3,1) (2,2) (3,2)

Yöntem

Frekans Değerleri

Frekanslar 0.2589222 0.4932970 0.7996048 0.8879495 0.9277655 1.2068448




6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

219



12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )

Mod Şekilleri (1,1) (2,1) (3,1) (1,2) (2,2) (4,1)

Yöntem

Frekans Değerleri

Frekanslar 0.4641400 0.7926763 1.2449014 1.2841816 1.4512037 1.7191464




6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

220



12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )

Mod Şekilleri (1,1) (2,1) (3,1) (1,2) (2,2) (4,1)

Yöntem

Frekans Değerleri

Frekanslar 0.7239239 1.0556704 1.4722396 1.6567510 1.8270842 1.9107719




6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

221


222



0

50

100

150

200

250

0 1 2 3 4 5 6Modlar

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SAP2000

SDSST

0

50

100

150

200

250

0 1 2 3 4 5 6Modlar

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SAP2000

SDSST

0

50

100

150

200

250

0 1 2 3 4 5 6Modlar

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SAP2000

SDSST

0

50

100

150

200

250

0 1 2 3 4 5 6Modlar

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SAP2000

SDSST

0

50

100

150

200

250

0 1 2 3 4 5 6Modlar

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SAP2000

SDSST

1 2 1520

/ 2

E Ea ha b

===

1 2 1550

/ 2

E Ea ha b

===

1 2 15100

/ 2

E Ea ha b

===

1 2 1510

/ 2

E Ea ha b

===

1 2 155

/ 2

E Ea ha b

===



12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )

Mod Şekilleri (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (1,2)

Yöntem

Frekans Değerleri

Frekanslar 0,1853153 0,2125250 0,2943316 0,4330226 0,6217663 0,6779934




6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

223



12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )

Mod Şekilleri (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (1,2)

Yöntem

Frekans Değerleri

Frekanslar 0,3515909 0,4115605 0,5675427 0,8190710 1,1447607 1,2879296




6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

224



12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )

Mod Şekilleri (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

Yöntem

Frekans Değerleri

Frekanslar 0,7979779 0,9234359 1,2014841 1,5881381 2,0291080 2,4937093


Sap2000Boyutsuz Frekanslar 70,9785204 82,2537576 107,2969558 141,9497544 180,7652678 220,3622843Frekanslar 0.7918094 0.9223101 1.1992433 1.5806939 2.0153587 2.4738535


6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

225



12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )

Mod Şekilleri (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (,)

Yöntem

Frekans Değerleri

Frekanslar 1,2808783 1,4454129 1,7435573 2,1152051 2,5231180 2,8304739


Sap2000Boyutsuz Frekanslar 56,9132860 64,2810076 77,6383131 93,9950532 111,2946619 125,3231981Frekanslar 1.2627577 1.4312723 1.7262197 2.0928377 2.4954631

SDSST Boyutsuz Frekanslar 56.1028471 63.5897531 76.6939225 92.9823291 110.8705024

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

226



12 2 13 2 13 2 0.5G E G E G E= = = 12 0.25υ = ve 2 5 6K = )

Mod Şekilleri (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (,)

Yöntem

Frekans Değerleri

Frekanslar 1.6535688 1.8238802 2.0917589 2.4199611 2.7864882 2.8308209


Sap2000Boyutsuz Frekanslar 36.6728220 40.3527286 46.1133707 53.0068145 60.4204756 62.6701738Frekanslar 1.6358371 1.8071996 2.0734731 2.3998783 2.7642635

SDSST Boyutsuz Frekanslar 36.3391627 40.1458806 46.0609914 53.3118923 61.4064951

6. SAY

ISAL U

YG

ULA

MA

LAR

A

li DOĞ

AN

227


228



050

100150200250300350400450500

0 1 2 3 4 5 6Modlar

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SAP2000

SDSST

050

100150200250300350400450500

0 1 2 3 4 5 6Modlar

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SAP2000

SDSST

050

100150200250300350400450500

0 1 2 3 4 5 6Modlar

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SAP2000

SDSST

050

100150200250300350400450500

0 1 2 3 4 5 6Modlar

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SAP2000

SDSST

050

100150200250300350400450500

0 1 2 3 4 5 6Modlar

Frek

ans

Par

amet

rele

ri

ANSYS

SAP2000

SDSST

1 2 1520

/ 4

E Ea ha b

===

1 2 1550

/ 4

E Ea ha b

===

1 2 15100

/ 4

E Ea ha b

===

1 2 1510

/ 4

E Ea ha b

===

1 2 155

/ 4

E Ea ha b

===


229

Mod şekil değiştirme analizi ile elde edilen çizelgeler ve şekiller

incelendiğinde, silindirik sığ kabuklar için elde edilen frekans değerlerinin,

kullanılan üç yöntemde de genel olarak birbirleriyle uyumlu oldukları görülmüştür.

Ancak, bazı durumlarda özellikle birinci ve ikinci modlar için, sonlu elemanlar

yöntemi kullanılarak elde edilen frekans değerleri ile SDSST yöntemi ile elde edilen

frekans değerleri arasında farklılıklar olduğu görülmektedir. Bu durum, daha önceki

kısımda birinci modlar için çözümleri yapılan, silindirik sığ kabuk örneklerinde de

görülmektedir. Yöntemler arasında birinci modlar için meydana gelen bu farkın,

diğer modlarda da devam edip etmediğinin anlaşılması için mod şekil değiştirme

analizi yapılmıştır.

Elde edilen çizelgeler incelendiğinde, Çizelge 6.41’de, a/b oranının 1 ve a/h

oranının 100 olduğu durum ele alınmıştır. Çizelgede de görüldüğü gibi, boyutsuz

serbest titreşim frekans değerlerinde, birinci ve ikinci modlarda yöntemler arasında

uyumsuzluk görülmektedir. Çizelge 6.42’de ise a/b oranının 1 ve a/h oranının 50

olduğu durumda bu uyumsuzluğun azaldığı belirlenmiştir. Çizelge 6.43-46’da ise

yöntemlerin tamamen birbirleriyle uyum içerisinde olduğu görülmektedir. Daha

önceki kısımda, elde edilen sonuçlarla uyumlu olarak, silindirik sığ kabuk

örneklerinin birinci mod için çözümünde de, tabaka kalınlığının artması ile

yöntemler arasındaki farkın giderek azaldığı belirlenmiştir. Ulaşılan bu sonuç Şekil

6.53 de toplu olarak görülmektedir.

Analizlere, a/b oranının 2 olduğu durum için devam edilmiş ve elde edilen

veriler Çizelge 6.46-50’de sunulmuştur. Çizelge 6.46’da kabuk kalınlık oranının 100

olduğu ince kabuk durumu incelenmiştir. Çizelge incelendiğinde, birinci modlar için

SDSST yöntemi ile bulunan verilerle ANSYS ve SAP2000 ile bulunan verilerin bir

miktar farklılık gösterdiği görülmektedir. Bu fark a/b=1 ve a/h=100 olması

durumuna göre daha azdır. Ayrıca, ikinci mod ve sonrası için yöntemler arasında

herhangi bir uyumsuzluk görülmemektedir (Şekil 6.54).

Yapılan çözümlerde, a/b oranının 4 olduğu durum için elde edilen sonuçlar

incelendiğinde, Şekil 6.55’de görüldüğü gibi, bütün modlar için tüm yöntemlerin

birbirleriyle uyumlu sonuçlar verdikleri görülmektedir (Çizelge 6.51-55).


230

Daha önceki örneklerde, silindirik sığ kabuklarda, birinci modlar için bulunan

boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinin bazı durumlarda yöntemler arasında

farklılık gösterdiği görülmüştü. Bu farklılığın, her mod durumunda mı yoksa sadece

birinci mod durumunda mı oluştuğunun belirlenmesi için, mod şekil değiştirme

analizi yapılmıştır. Sonuçta, yöntemler arasında bazı durumlar için meydana gelen bu

farkın, birinci modlar ve kısmen de ikinci modlar için oluştuğu belirlenmiştir. Diğer

mod durumlarında, büyük bir uyumluluğun söz konusu olduğu grafiklerden de

anlaşılmaktadır.

7. SONUÇLAR VE ÖNERİLER Ali DOĞAN

231

7. SONUÇLAR VE ÖNERİLER

Bu çalışmada, literatürde yer alan sonlu elemanlar yöntemi (FEM), kayma

deformasyon teorisi (SDT) ve klasik tabaka teorisi (CLT) kullanılarak tabakalı

kompozit plakların ve silindirik sığ kabukların serbest titreşim analizleri yapılmıştır.

Analizlerde, kalınlık oranı etkisi (a/h), elastisite oranı etkisi (E1/E2), kenar

uzunlukları oranı etkisi (a/b) ve eğrilik oranı etkisi (a/R) olmak üzere birçok

parametrelerin etkileri araştırılmıştır. Elde edilen sonuçlar ışığında, oluşturulan

çizelgeler ve şekiller yardımıyla, yöntemler hem kendi içlerinde hem de birbirleri ile

karşılaştırılarak yorumlanmıştır.

Çalışmada öncelikle tabakalı kompozit plak örneklerinin çeşitli parametreler

etkisi altında serbest titreşim davranışlarının anlaşılması için çözümleri yapılmıştır.

Çözümlerde, kayma deformasyon plak teorisi (SDPT) ve klasik plak teorisi (CLPT)

ile sonlu elemanlar yöntemi (FEM) temelinde çözüm yapan ANSYS paket programı

kullanılmıştır.

Sonuçlar incelendiğinde, a/h=20 olması durumunun ince plak ile kalın plak

ayrımının oluştuğu sınır olduğu görülmektedir. Elde edilen bütün grafiklerde, E1/E2

oranının artması ile boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinin arttığı

görülmüştür. Ayrıca a/b oranının artması ile de boyutsuz serbest titreşim frekans

değerlerinin arttığı gözlemlenmiştir. Yöntemler arasındaki karşılaştırmalarda ise,

sonlu elemanlar yöntemi (ANSYS) ve SDPT kullanılarak elde edilen sonuçlar

arasında büyük bir uyum söz konusudur. CLPT kullanılarak elde edilen sonuçların

ise ince plak durumunda diğer iki yöntemle uyumlu olduğu görülmüştür. Ancak

beklendiği üzere kabuk kalınlığı arttıkça CLPT kullanılarak elde edilen sonuçların

diğer iki yöntem kullanılarak elde edilen sonuçlardan uzaklaştığı görülmektedir.

Plaklarla ilgili çözümlerde ikinci aşama olarak, tabaka sayısının artmasının

boyutsuz serbest titreşim frekansı sonuçlarına olan etkisi araştırılmıştır. Çizelge ve

şekiller incelendiğinde a/b oranının 1 olması halinde dört tabakalı ve altı tabakalı

durumlar için elde edilen sonuçların birbirlerine çok yakın olduğu görülmektedir.

Ayrıca, E1/E2 oranının artması ile fark bir miktar artmaktadır. Fakat yinede a/b=1

durumu için, dört tabakalı ve altı tabakalı durumlar arasında pek bir fark


232

oluşmamaktadır. Çözümlerde a/b oranının 2 olması ile dört tabaka ve altı tabakalı

durum arasındaki farkın arttığı ve E1/E2 oranının artması ile bu farkın belirgin hale

geldiği görülmektedir. a/b oranının 4 olması ile dört tabakalı ve altı tabakalı durum

için elde edilen sonuçlar arasındaki farkın çok daha fazla olduğu görülmüştür.

Çalışmanın ikinci aşamasında silindirik sığ kabuk örneklerinin çözümleri

yapılmıştır. Çözümlerde sonlu elemanlar yöntemi (FEM) temelinde çözüm yapan

ANSYS ve SAP2000 paket programı, kayma deformasyon sığ kabuk teorisi

(SDSST) ve klasik sığ kabuk teorisi (CLSST) kullanılmıştır. Tüm sonuçlar birinci

modlar için elde edilmiştir. Kabuk kenar uzunluğunun kabuk eğrilik yarıçapına oranı

olan a/R oranı arttıkça, boyutsuz serbest titreşim frekanslarının da arttığı

görülmektedir. Bu artış ince kabuklar için daha fazla olmaktadır. Kabuk kalınlığı

arttıkça boyutsuz serbest titreşim frekanslarındaki artış oranının azaldığı

görülmektedir. Silindirik sığ kabuklarda, tüm durumlar için, E1/E2 oranının artması

ile boyutsuz serbest titreşim frekansı değerlerinin de arttığı görülmektedir. Elde

edilen sonuçlarda, a/b oranının 1, a/h oranının 50 ve 100 olduğu durumlar için,

eğrilik oranının küçük olduğu hallerde sonlu elmanlar (ANSYS, SAP2000) ve

SDSST yöntemleri ile bulunan değerlerin birbirlerine yakın, büyük olduğu hallerde

ise uzak olduğu görülmektedir. a/h oranı azaldıkça sonlu elmanlar (ANSYS,

SAP2000) ve SDSST yöntemleri ile bulunan değerlerin birbirlerine giderek

yaklaştığı görülmektedir. a/b oranının 2 olduğu durumda, boyutsuz serbest titreşim

frekans değerlerinin a/b=1 olduğu duruma göre artış gösterdiği belirlenmiştir. a/b

oranının 4 olduğu durumda ise, elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans

değerleri a/b=1 ve 2 olduğu duruma göre oldukça büyüktür. a/b=4 olduğu örnekte,

yöntemlerin birbirleriyle uyumlu sonuçlar verdiği ve yöntemler arasındaki farkın

hemen hemen yok olduğu görülmektedir.

Silindirik sığ kabuklarda, tabaka sayısının artmasının sonuçlara etkisinin

anlaşılabilmesi için çözümler altı tabakalı durum için de yapılmıştır. Şekiller

incelendiğinde, genel davranışın dört tabakalı duruma benzediği görülmektedir. a/b

oranı 4 iken, ince kabuk durumunda, dört tabakalı çözümler ile altı tabakalı çözümler

sonucunda elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekansları arasında belirgin bir fark


233

oluştuğu görülmektedir. Bu fark a/b oranının 2 olması halinde daha az, a/b oranının 1

olması halinde ise çok daha azdır.

Çalışmanın son aşamasında silindirik sığ kabuk örnekleri için mod şekil

değiştirme analizi yapılmıştır. Plaklar için ise mod şekil değiştirme analizi

yapılmasına gerek duyulmamıştır. Çalışmanın birinci aşamasında çözümleri yapılan

plak örneklerinde, sonlu elemanlar yöntemi (ANSYS) ve kayma deformasyon plak

teorisi (SDPT) yöntemleri kullanılarak birinci modlar için elde edilen frekans

değerlerinin, birbirleriyle uyumlu oldukları görülmektedir. Ayrıca klasik plak teorisi

(CLPT) yöntemi ile bulunan değerlerin de ince plak durumunda diğer yöntemlerle

uyumlu oldukları belirlenmiştir. Bu durumda, plaklar için yapılan analizlerde,

yöntemleri birbirleriyle karşılaştırırken, birinci modlar için elde edilen verilerin

birbirleriyle uyumlu oldukları söylenebilir. Ancak silindirik sığ kabukların analizi

için aynı ifadeyi söylememiz mümkün değildir. Silindirik sığ kabuk örneklerinin

çözümünde, birinci modlar dikkate alınmıştır ve sonuçlar incelendiğinde yöntemler

arasında bazı hallerde aşırı miktarda farklar oluştuğu görülmüştür. Bu farklılığın, her

mod durumunda mı yoksa sadece birinci mod durumunda mı oluştuğunun

belirlenmesi için, mod şekil değiştirme analizi yapılmıştır. Mod şekil değiştirme

analizi sonucunda, silindirik sığ kabukların analizinde, ilk modların dikkate

alınmasının, kullanılan yöntemler arasında bir kıyas yapmamız için yeterli olmadığı

düşünülmektedir. Bu sebeple, silindirik sığ kabukların analizinde, sadece ilk modun

değil, birkaç modun değerlendirilmesi, çeşitli yöntemlerin birbirleriyle kıyaslanması

için gereklidir. Sonuçta, yöntemler arasında bazı durumlar için meydana gelen bu

farkın, birinci modlar ve kısmen de ikinci modlar için oluştuğu belirlenmiştir. Diğer

mod durumlarında, büyük bir uyumluluğun söz konusu olduğu anlaşılmıştır. Yani

çözülen örneklerde, yöntemler arasındaki karşılaştırmalar birinci modlar için değil de

üçüncü modlar için yapılsaydı, sonlu elemanlar yöntemi (ANSYS ve SAP2000) ve

kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (SDSST) yöntemi arasında, her durumda tam

bir uyum görülmüş olacaktı.

Bu çalışma, tabakalı kompozit plak ve silindirik sığ kabukların serbest

titreşim etkisi altındaki davranışlarının anlaşılabilmesi için yapılmıştır. Bu çalışma

daha sonra yapılacak olan çalışmalar için bir fikir oluşturabilir. Bir sonraki aşamada


234

çift eğrilikli sığ kabukların serbest titreşim analizi yapılabilir. Daha sonra serbest

titreşim analizine ek olarak zorlanmış titreşim analizi yapılabilir. Farklı tabakalanma

ve farklı fiber açılarına sahip kabuklar için serbest titreşim ve zorlanmış titreşim

analizleri yapılabilir. Yukarıda bahsedilen tüm durumların analizi silindirik,

hiperbolik paraboloidal ve küresel sığ kabuklar için ayrı ayrı yapılabilir. Bütün bu

çalışmaların tümüne deneysel çalışmalar eklenebilir.

235

KAYNAKLAR

AKSOGAN, O., SOFIYEV, A., 2000. The Dynamic Stability of a Laminated

Nonhomogeneous Orthotropic Elastic Cylindrical Shell Under a Time

Dependent External Pressure. International Conference on Modern Practice in

Stress and Vibration Analysis, Nottingham, United Kingdom;349-360.

AMABILI, M., 2003. A Comparison of Shell Theories For Large-Amplitude

Vibrations of Circular Cylindrical Shells: Lagrangian Approach. J Sound Vib

;264:1091-1125.

AMBARTSUMIAN, S.A., 1961. Theory of Anisotropic Shells. Fizmargiz,

Moskva,English Translation, NACA TTF-118,1964.

AMBARTSUMIAN, S.A., 1962. Contributions to The Theory of Anisotropic

Laminated Shells. Appl. Mech. Rev.;15(4):245-249.

AMBARTSUMIAN, S.A., 1970. Theory of Anisotropic Plates. Firmargiz, Moskva

Technomic, Stanford.

ANSYS, Theory Reference Manual and ANSYS Element Reference.

http://www.ansys.com

BERT, C.W., KIM, C.D., BIRMAN, V.,1993. Vibration of Composite-Material

Cylindrical Shells With Ring and/or Stringer Stiffeners. Compos.

Struct.;25(1-4):477-484.

BRAY, F.M., EGLE, D.M., 1970. An Experimental İnvestigation of the Free

Vibration of Thin Cylindrical Shells With Discrete Longitudinal Stiffening. J.

Sound Vib.;12:153-164.

DJOUDI, M.S., BAHAI, H., 2003. A Shallow Shell Finite Element For The Linear

and Non-Linear Analysis of Cylindrical Shells. Eng Struct; 25(6):769-778.

DOĞAN, A., 2004. Fiber Çubuklarla Güçlendirilmiş Tabakalı Plakların Plak

Düzlemine Dik Yükleme Etkisindeki Davranışı. Yüksek Lisans Tezi, Ç. Ü.

Fen Bilimleri Enstitüsü, Adana, 136.

DONG, S.B., 1968. Free Vibration of Laminated Orthotropic Cylindrical Shells.

Journal of Acoustical Society of America;44: 1628-1635.

236

ERSOY, H.Y., 2001. Kompozit Malzeme. Literatür Yayıncılık Dağıtım Pazarlama

San. ve Tic. Ltd. Şti., İstanbul, Türkiye, 227.

GALILEO GALILEI’’ Website: http://eotvos.dm.unipi.it/nobili.

GAUTHAM, B.P., GANESAN, N., 1997. Free Vibration Characteristics of Isotropic

and Laminated Orthotropic Spherical Caps. J Sound Vib; 204(1):17-40.

GERMAINE, S., 1821. Recherches sur la Theories des Surfaces Elastiques, Paris.

GOL’DENVEIZER, A.L., 1961. Theory of Elastic Thin Shells (English Translation).

Pergamon Press, New York.

GRIGORENKO, A.Y., YAREMCHENKO, N.P., 2007. Stress-strain state of shallow

shells with rectangular planform and varying thickness: Refined formulation.

Int Appl Mech;43(10):1132-1141.

GURDAL, Z., HAFTKA, RT, (1998) HAJELA P., Design and Optimization of

Laminated Composite Materials. USA: John Wiley & Sons Inc.

HYER, M.W., 1997. Stress Analysis of Fiber-Reinforced Composite Materials.

Singapore: McGraw-Hill Book Company.

JONES, R.M., 1975. Mechanics of Composite Materials. USA: Scripta Book

Company, Washington D.C.,355.

JONES, R.M., 1984. Mechanics of Composite Materials. USA: Taylor & Francis.

KAW, A.K.,1997. Mechanics of Composite Materials.,CRC Pres, Boca Raton

London New York Washington, D.C., 329.

KOITER, W.T., 1967 Foundation and Basic Equations of Shell Theory. In

Proceeding of IUTAM, 2nd Symposium. Theory of Thin Shells. F.L.

Niordson, ed., Springer-Verlag, New York, pp. 93-05.

LATIFA, S.K., SINHA, P.K., 2005. Improved Finite Element Analysis of

Multilayered, Doubly Curved Composite Shells. J. Reinf. Plast.

Comp.;24:385-404.

LEISSA, A.W., CHANG, J., 1996. Elastic Deformation of Thick, Laminated

Composite Shallow Shells. Composites Structure;35:53-170.

LIBERSCU, L. KHDEIR, A.A., FREDERICK, D.,1989a. A Shear Deformable

Theory For Laminated Composites Shallow Shell-Type Panels and Their

Response Analysis I. Free Vibration and Buckling. Acta Mech: 76;1-33.

237

LIBERSCU, L. KHDEIR, A.A., FREDERICK, D.,1989b. A Shear Deformable

Theory For Laminated Composites Shallow Shell-Type Panels and Their

Response Analysis II. Static Analysis. Acta Mech: 77;1-12.

LIM, C.W., LIEW, K.M., 1995a. A Higher Order Theory For Vibration of Shear

Deformable Cylindrical Shallow Shells. International Journal of Mechanical

Sciences;37(3):277-295.

LIEW, K.M., LIM, C.W., 1995b. A Higher Order Theory For Vibration Analysis of

Constrained Curvilinear Shallow Shells. Journal of Vibration and

Control;1(1):15-39.

LIEW, K.M., PENG, L.X, NG, T.Y., 2002. Three Dimensional Vibration Analysis of

Spherical Shell Panels Subjected to Different Boundary Conditions. Int J

Mech Sci; 44:2103-2117.

LOVE, A.E.H., 1888. On the Small Free Vibrations and Deformation of Thin Elastic

Shell. Philosophical Transactions of The Royal Society; Vol:179, 527-546.

LOVE, A.E.H., 1944. A Treatise on The Mathematical Theory of Elasticity. Dover,

New York.

MATHEMATICA, Wolfram Research, http://www.wolfram.com/

MINDLIN, R.D., 1951. Influence of Rotatory Inertia and Shear on Flexural Motions

of Isotropic, Elastic Plates. Journal of Applied Mechanics, Vol:73, 31-38.

NOVOZHILOV, V.V., 1958. The Theory of Thin Shells., 376.

PHAN, N.D., and REDDY, J.N., 1985. Analysis of Laminated Composite Plates

Using A Higher-Order Shear Deformation Theory. International Journal for

Numerical Methods in Engineering; 21: 2201-2219.

QATU, M.S., 1989. Free Vibration and Static Analysis of Laminated Composite

Shallow Shells. PhD. Dissertation. The Ohio University, 212.

QATU, M.S., 1991a. Free Vibration of Laminated Composite Rectangular Plates. Int

J Solids Struct;28: 941- 954.

QATU, M.S., 1991b. Curvature Effects on The Deflection and Vibration of Cross-

Ply Shallows Shells. In Mechanics and Computing in 90’s and Beyond, eds.

ADELI H. and SIERAKOWSKI R. ASCE pp:745-750.

238

QATU, M.S., 1992. Review of Shallow Shell Vibration Research. Shock Vib Digest;

24:3-15.

QATU, M.S., 1992. Mode Shape Analysis of Laminated Composite Shallow Shells.

J Acoust Soc Am;92:1509-1520.

QATU, M.S., 1993a. Vibration of Doubly Cantilevered Laminated Composite Thin

Shallow Shells. Thin Walled Struct;15:235-248.

QATU, M.S., 1993b. Theories and Analysis of Thin and Moderately Thick

Laminated Composite Curved Beams. Int J Solids Struct;30(20):2743-2756.

QATU, M.S., 1999a. Accurate Theory For Laminated Composite Deep Thick Shells.

Int. J. Solids Struct.;36(19):2917-2941.

QATU, M.S., 2004. Vibration of laminated shells and plates. Netherlands: Elsevier.

RATH, B.K. ve DAS, Y.C.,1973. Vibration of Layered Shells. Journal of Sound and

Vibration; 28: 737-757.

RAYLEIGH, L.,1877. Theory and Sound Vol. I and II, Dover Publications, New

York, 1945.

REDDY, J.N.,1984a. Exact Solutions of Moderately Thick Laminated Shells.

Journal of Engineering Mechanics, 110(5), 794-809.

REDDY, J.N.,1984b. Energy and Variational Methods in Applied Mechanics.

McGraw-Hill, New York.

REDDY, J.N.,1984. A Simple Higher-Order Theory for Laminated Composite

Plates. Journal of Applied Mechanics, 51, 745.

REDDY, J.N. ve LIU C.F.,1985. A Higher Order Shear Deformation Theory of

Laminated Elastic Shells. International Journal of Engineering Sciences,

23(3), 440-447.

REDDY, J.N.,1987. A Refined Nonlinear Theory of Plates with Transverse Shear

Deformation. International Journal for Solids Structures, 20, 881-896.

REDDY, J.N., 1993. An introduction to the finite element method. USA: McGraw

Hill.

REDDY, J.N., 2003. Mechanics of laminated composite plates and shells: Theory

and analysis. USA: CRC press.

239

REDDY, J.N., 1995. Miravete A. Practical analysis of composite laminates. USA:

CRC Press.

REISSNER, E., 1941. On Transverse Bending of Plates Including The Effect of

Transverse Shear Deformation. International Journal For Solids

Structures;11:569-573.

REISSNER, E., 1941. A New Derivation of Equations of The Deformation of Elastic

Shells. American Journal of Mathematics. 63(1), 177-184.

REISSNER, E., 1945. The Effect of Transverse Shear Deformation on The Bending

of Elastic Plates. Journal of Applied Mechanics;67:A69-A77.

REISSNER, E., 1952. Stres-Strain Relation in The Theory of Thin Elastic Shells.

Journal of Mathematics and Physics, 31, 109-119.

SAP2000, Computer and Structures,Inc.

SOEDEL, W., 2004. Vibrations of Shells and Plates. 2nd. Edition. Marcel Dekker,

Inc., 270 Madison Avenue, New York, NY 10016, U.S.A. 553.

SRINIVAS, S., JOGA RAO, C.V., RAO, A.K., 1970. An Exact Analysis of

Vibration of Simply Supported Homogeneous and Laminated Thick

Rectangular Plates. Journal of Sound and Vibration;12:187-199.

TIMOSHENKO, SP., 1921. On The Correction of Shear of The Differential

Equation For Transverse Vibration of Prismatic Bars. Philos Mag;41:744.

TIMOSHENKO, SP., 1940. Theory of Plates and Shells. New York a.London, Mc

Graw-Hil Book Comp.

UGURAL, A.C., 1981. Stres In Plates and Shells. New York a.London, Mc Graw-

Hil Book Comp, 317.

WHITNEY, J.M., LEISSA A.W., 1969. Analaysis of Heterogeneous Anisotropic

Plates. Journal of Applied Mechanics;36:261-266.

WHITNEY, J.M., PAGANO N.J., 1970. Shear Deformation in Heterogeneous

Plates. Journal of Applied Mechanics;37:1031-1036.

WHITNEY, J.M., SUN C.T., 1973. A Higher Order Theory For Extensional Motion

of Laminated Composites. Journal of Sound and Vibration;41(2):471-476.

WHITNEY, J.M., SUN C.T., 1973. A Refined Theory For Laminated Anisotropic

Cylindrical Shells. Journal of Applied Mechanics;41:47-53.

240

ÖZGEÇMİŞ

1979 yılında Adana da doğdu. İlk ve orta öğrenimini Adana da tamamladı.

1997 yılında Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümünü kazandı ve 2001

yılında İnşaat Mühendisi olarak mezun oldu. Aynı yıl Çukurova Üniversitesi, Fen

Bilimleri Enstitüsü İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı’nda tezli yüksek lisans

çalışmalarına başladı. 2002 Aralık ayında aynı bölüme Araştırma Görevlisi olarak

atandı. Yüksek lisans çalışmalarını 2004 yılında tamamlayarak Çukurova

Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümünden İnşaat Yüksek Mühendisi olarak

mezun oldu. Aynı yıl doktora çalışmalarına başladı. Yazar halen Çukurova

Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümünde Araştırma Görevlisi olarak

çalışmaktadır.

Documents

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ …danışman hocam sayın Doç. Dr. H. Murat ARSLAN’a teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca bana destek olan değerli hocalarım sayın