Ukuran Variabilitas Data

Juang SunantoJuang Sunanto

Ukuran Variabilitas

• Range (jangkauan)

• Rata-rata simpangan (simpangan rata-rata)

• Simpangan standar (Standard Deviation)

• Nilai standar• Nilai standar

• Koefisien variabilitas

A 70 65 60 60 60 65 70 65 75 60

B 75 50 40 45 20 85 80 90 80 85

Rata-rata=65

Range A = 60-75

Range B =90-20

Ukuran Penyebaran (variabilitas)

Adalah suatu ukuran yang

menyatakanseberapa besar nilai-nilai data

berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran

pusatnya atau seberapa besar penyimpengan pusatnya atau seberapa besar penyimpengan

nilai-nilai data dengan nilai pusatnya

5, 8, 9, 7, 9, 5, 6, 10

Range (R)

R = 10-5 = 5

Kelas Frekuensi

1 – 5

5 – 10

11 – 15

16 – 20

21 – 25

26 – 30

31 -- 35

36 – 40

2

7

13

27

22

17

8

3

Nilai tengah kelas ke -1 = 3

Nilai tengah kelas ke-8 = 38

R = 38 – 3 = 35

Simpangan rata-rata

Adalah suatu simpangan nilai unit observasi terhadap rata-rata

n

XXSR

n

i∑

=

−= 1

nSR =

databanyaknyan

ikedata

rataratanilaiX

rataratasimpanganST

X i

=

−=−=

−=

4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9

710

7010

9988777654

1

==

+++++++++=

=∑

=

X

X

nX

n

iix

n

XXSR

n

i∑

=

−= 1

2,110

1210

79...767574

==

−+−+−+−=

SR

SR

Kelas Frekuensi

52 – 58

59 – 65

66 – 72

73 – 79

80 - 86

87 – 9 3

94 -- 100

2

6

7

20

8

4

3

∑

∑ −=

fXf

i

iiX

SR

Jumlah 50

Nilai

52-58

59-65

66-72

73-79

80-86

87-93

94-100

2

6

7

20

8

4

3

55

62

69

76

83

90

97

110

372

483

1520

664

360

291

21

14

7

0

7

14

21

42

84

49

0

56

56

63

Jumlah 50 3800 350

XX i− XXf ii

−Xifi

Xf ii

∑

∑ −=

fXf

i

iiX

SR

750

350 ==SR

∑

∑=

fxf

i

iiX

7650

3800 ==X

Simpangan Standar

Jika :

ratarataX

datanilaiXXXX n

−=

...,,,321

( ) ( ) ( ) ( )n XXXXXXXXS+−−− +++

=

2222

2 321( ) ( ) ( ) ( )n

n XXXXXXXXS+−−−

=2 321

( )n

i

n

iXX

S∑ −

== 1

2

2( )

n

iS

n

iXX∑ −

== 1

2

databanyaknyan

rataratanilaiX

ikenilai

darssimpanganS

iasi

X

S

i

=−=

−==

=tan

var2

3, 5, 5, 6, 7, 8, 8

3

5

5

6

7

8

-3

-1

-1

0

1

2

9

1

1

0

1

4

X i XX i− ( )XX i−

2

8

8

2

2

4

4

( ) 202

=∑ −XX i

( )69,186,2

86,27

20

2

1

2

2

===

===∑ −

=

S

XXS

S

n

i

n

i

75, 70, 80, 65, 65, 65, 80, 85, 70, 60, 70, 70

Misal X0 = 70

75

70

80

65

5

0

10

-5

25

0

100

25

X i XX oi− ( )XX i 0

2− ( ) ( )[ ]n

ini XXXXS

∑ −− ∑−=

01

022

2

12

.121

6252

2 15−=S65

65

65

80

85

70

60

70

70

-5

-5

-5

10

15

0

-10

0

0

25

25

25

100

225

0

100

0

0

15 625

11,753,50

53,5012

25,60612

2

2

===

==

=

S

S

S

S

Nilai Frekuensi

52-58

59-65

66-72

73-79

80-86

87-93

94-100

2

6

7

20

8

4

3

Jumlah 50

( )

∑

∑∑

−

−

=1

2

2

ff

XfXf

i

i

i

iii

S

Nilai Xi fi fixi xi2 fixi2

52-58

59-65

66-72

73-79

80-86

87-93

94-100

55

62

69

76

83

90

97

2

6

7

20

8

4

3

110

372

483

1520

664

360

291

3025

3844

4761

5776

6889

8100

9409

6050

23064

33327

115520

55112

32400

28227

Jumlah 50 3800 293700

( )

( )

1010049

800,288293700

4950

293700

1

38002

2

2

==−=

−=

−

−

=∑

∑∑

S

S

iii

Sf

fXf

Xf

i

i

i

Nilai Xi ci ci2 fi ci2fi cifi

52-58

59-65

66-72

73-79

80-86

87-93

94-100

55

62

69

76

83

90

97

-3

-2

-1

0

1

2

3

9

4

1

0

1

4

9

2

6

7

20

8

4

3

18

24

7

0

8

16

27

-6

-12

-7

0

8

8

9

Jumlah 50 100 0

( )∑−= ∑=

fcfc iiinn

pS

i

k

i

2

1

2

9,97,70.50

75000

50

7

2)0()100(5050

7

===

−=

S

S

Koefisien Variasi

%100xX

SK =

ratarataX

darssimpanganS

iasikoefisienKV

−=

==

tan

var

Jika KV makin kecil datanya makin seragam (homogen), sebaliknyaJia KV makin besar datanya makin hiterogen

Kelompok A

Rata-rata = 70S = 4,5

Kelompok B

Rata-rata = 60S = 5,1

%4,6%10070

5,4 == xK %5,8%10060

1,5 == xK

Nilai Standar (angka Baku)

Nilai standar (angka baku) adalah perubahan yang dipergunakan untukMembandingkan dua buah keadaan atau lebih.

Angka baku yang lazim dipergunakan adalah Z skor

XxZ

−= tertentunilaix

darnilaisZ tan

==

S

XxZ

−=

darsimpangansS

ratarataX

tertentunilaix

tan=−=

=

Nilai matematika 65Rata-rata 60Simpangan standar 12

Nilai bahsa 75Rata-rata 70Simpangan standar 15

42,056065 ==−=Z 33,0

57075 ==−=Z42,01212

===Z 33,01515

===Z

Ukuran Kemiringan

Koefisien kemiringan I Koefisien kemiringan II

S

XSK M o

−= S

XSK M e

−=

ratarataX

darssimpanganS

medianus

kemiringankoefisienSK

MM eo

−=

=

===

tan

mod

Rata-rata = 45,2Modus = 43,7S = 19,59

08,059,19

7,432,45 =−=SK

SK=0,08 (positif) berarti sebaran datanya miring ke kanan

Rata-rata = 76,6Median = 77,3S = 12,98

05,098,12

3,776,76 −=−=SK

Karena koefisien kemiringannya negatif, model kurvanya miring ke kiri

Kurtosis

Adalah keruncingan kurva. Berdasarkan keruncingan kurva dapat dfigolongkan menjadi tiga golongan:

Kurva LeptokurtikKurva MesokurtikKurva Platikurtik Kurva Platikurtik

Untuk menentukan jenis kurva tersebut dapat digunakan koefisien kurtosisyang disebut α4

( )∑

=

−==

n

i

i

SX

Sm X

n 1 4

4

4

4

4

1α

ikedatanilai

kurtosiskoefisien

x4

−=

=α

Untuk data tidak dikelompokkan

darssimpanganS

databanyaknyan

ratarataX

ikedatanilaixi

tan==

−=

−=

( )S

xf

Sm

n

iii

Xn

41

4

4

4

4

1∑

=

−==α

ikedatanilai

kurtosiskoefisien

xi−=

=4α

Untuk data dikelompokkan

ikekelasfrekuensifi

darssimpanganS

databanyaknyan

ratarataX

xi

−===

−=

tan

Nilai f Xi Xi-X (Xi-X)⁴ fi (Xi-X)⁴

52-58

59-65

66-72

73-79

80-86

87-93

94-100

2

6

7

20

8

4

3

55

62

69

76

83

90

97

-21

-14

-7

0

7

14

21

194481

38416

2401

0

2401

38416

194481

388962

230496

16807

0

19208

153664

583443

Jumlah 50 1392580Jumlah 50 1392580

Rata-rata = 76S = 10N = 50

78,210000

1392580.501

4

4

4===

Smα

Karena α4 kurang dari 3, maka kurvanya platikurtik