Übersicht

• Täuschung des Tages

• kurze Wiederholung – 2D Fourier-Transformation– Unschärferelation

• Koordinatentransformation / Polarkoordinaten

• Licht / Schwingungen u. Wellen

Rubin'sche Vase I

Rubin'sche Vase II

mit

Basisfunktionen als Produkt 1dim. kompl. harmon. Schwingungen:

2D Fourier-Transf. kann getrennt nach den einzelnen Variablen durchgeführt werden!

xdexsfS

Rfffxxxxfi 22

22121

)()(

:),(),,(

dxdyexxs xfxfi )(221

2211),(

2D Fourier-Transformation

xfie 2

2211 222 xfixfixfi eee

2D Fourier-Transformation

Modellvorstellung: – Bilder zusammengesetzt aus "Basisbildern":

nur ein Pixel = 1, Rest = 0.

– Basisbilder bilden orthonormale Basis, die einen Vektorraum aufspannt

jedes Bild repräsentiert einen Punkt im VR

2D Fourier-Transformation

– Transformation: ändert Koordinaten ("Blickwinkel"), nicht die Information, also das Bild

alle Bilddarstellungen einander äquivalent!

– Zwei wichtigste Bilddarstellungen:

(1) Ortsdarstellung: Basisbilder = Grauwertpunkte.

(2) Darstellung im Fourier-Raum: Basisbilder = periodische Muster

Unschärferelation

• Quantenphysik: zwei komplementäre Variablen nicht gleichzeitig beliebig "scharf" meßbar!Bsp: Ort x und Impuls p:

• Ursache: Welle-Teilchen-Dualismus von atomaren Teilchen.

• Signalverarbeitung: • Bildverarbeitung:

2/hpx

1yx ffyx 1ft

Diracsche Distribution: nD

n=1 n=2 n=3

k=1: (a(x)) PunkteLinien

(Geraden)Flächen

(Ebenen)

k=2: (a1(x),a2(x)) PunkteLinien

(Geraden)

k=3: (a1(x),a2(x),a3(x)) Punkte

Geometrische Orte, die von k-dim. Funktionen im n-dim. Raum belegt werden (x=x1,...,xn):

Koordinatentransf./Polarkoord.

• Substitution in 2D-Integralen:

RRdudvJvuyvuxfdxdyyxf

ˆ,,,,

where:

vy

uy

vx

ux

v,uy,x

J „Jacobimatrix“ oder „ Funktionalmatrix“

x(u,v), y(u,v) differenzierbar in R̂

• Polarkoordinaten und Jacobimatrix: sincos ry,rx

xy

,yxr tan22

Koordinatentransf./Polarkoord.

• Polarkoordinaten und Jacobimatrix: sincos ry,rx

xy

,yxr tan22

rrr

J

cossinsincos

rdrdr,rfdxdyy,xf

0sincos

Was ist Licht?

• bis Ende 19. Jh.: Licht = em. Wellen, die sich durch eine Substanz (Äther) fortbewegen, höhere Frequenz entspricht höherer Energie.

• Quantenphysik: einige Experimente (Photoeffekt) nicht mehr mit Wellenmodell erklärbar. Licht = Teilchen mit festem Energiegehalt (Lichtquanten, Photonen):

• Kompromiß: "Welle-Teilchen-Dualismus", je nach Anwendung wird das passende Modell zugrunde gelegt.

Physik:

hE

Licht als Welle• harmonische Schwingungen: an jedem Ort harmonischer

Zeitverlauf der Frequenz: • Kohärenz: zwei Wellen haben feste (zeitl. konst.)

Phasenbeziehung; nur dann Interferenz möglich!reel:

komplex:

mit , zeitunabh., für Berechnungen im Raum benutzt.

• Es gilt: • Vorteile komplex: e-Funktion invariant gegenüber:

– Differentiation, Integration– Fourier-Transformation

.0 konst

))(2cos(|)(|),( xtxutxureel tixti exuexutxu 2))(2( )(|)(|),(

)(|)(|)( xiexuxu

tireel exutxu 2)(Re),(

Kohärent-optische Fouriertransformation