Math. Z. 167, 161-167 (1979) Mathematische Zeitschrift

�9 by Springer-Verlag 1979

Uber Fittingklassen und die Lockett-Vermutung

James C. Beidleman und Peter Hauck Department of Mathematics, University of Kentucky, Lexington, Kentucky 40506, USA

.

In der Theorie der Fittingklassen endlicher aufl/Ssbarer Gruppen hat sich ein von Lockett in [12] eingeftihrter Begriff als /iuBerst fruchtbar erwiesen: Jeder Fittingklasse X ist eine Fittingklasse X* zugeordnet, die definiert ist durch

X* = (GI(G x G)~: ist subdirekt in G x G).

Unter allen Fittingklassen X sind diejenigen mit der Eigenschaft X = X*, die wit im folgenden Lockettklassen nennen, dadurch ausgezeichnet, dab sich sowohl die Radikale als auch die Injektoren direkten Zerlegungen anpassen ([12], 3.1). Die Familie der Lockettklassen ist reichhaltig; Q-abgeschlossene Fittingklassen und R0-abgeschlossene Fittingklassen geh6ren ebenso dazu wie Fischerklassen ([12], 2.2.d). Andererseits ist unter den normalen Fittingklassen einzig 50, die Klasse aller endlichen aufl6sbaren Gruppen, eine Lockettklasse ([12], 2.2.c). In [12] stellte Lockett die folgende Frage, die als Lockett-Vermutung bekannt geworden ist:

Gilt X = X * ~ N ( X ) flit jede Fittingklasse X, wobei N ( X ) die yon X erzeugte normale Fittingklasse bezeichnet?

Bryce und Cossey ([5], 3.6) zeigten, dab eine Fittingklasse X die Lockett- Vermutung erf~illt, falls gilt:

X , =X* c~5o,.

Dabei ist X , = ~ {~JYg* =X*}, und 5~ ist die kleinste normale Fittingklasse ([123, 2.2.c).

In derselben Arbeit konnten Bryce und Cossey zeigen, dab primitiv ges/ittig- te Formationen die Lockett-Vermutung ergillen. Dasselbe Resultat wurde sp~i- ter yon Berger ([1]) auf anderem Wege bewiesen, wobei jedoch beiden Beweisen gemeinsam ist, dag sie Lokalisierungen der von Lausch in [10] entwickelten Resultate verwenden.

Berger und Cossey schlieI3tich konnten in [2] eine Fittingklasse angeben, welche die Lockett-Vermutung nicht erfiillt. Auger dieser (und einiger leicht

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daraus ableitbarer Klassen) sind bis heute keine Fittingklassen bekannt, fiir die nachgewiesen ist, dal3 sie die Lockett-Vermutung nicht erfiillen.

Ebensowenig kennt man eine positive Antwort far andere Fittingklassen als primitiv ges/ittigte Formationen.

Da sich Fittingklassen, die die Lockett-Vermutung erftillen, in vieler Hin- sicht leichter handhaben lassen, erschien es uns sinnvoll, nach weiteren Beispie- len solcher Fittingklassen zu suchen. In der vorliegenden Arbeit werden wit als Korollar zu einem etwas allgemeineren Ergebnis zeigen, dal3 alle Fittingklassen der Form ~-SP~SP~, bzw. ~.A# (~" Fittingklasse, = eine Primzahlmenge) die Lockett-Vermutung erffillen. Wir verwenden dabei grunds~tzlich andere Hilfs- mittel als Bryce und Cossey bzw. Berger, deren Resultat fiber primitiv ges~ittigte Formationen sich ebenfalls als Korollar aus dem Hauptergebnis dieser Arbeit ergibt.

.

Alle in dieser Arbeit auftretenden Gruppen seien als endlich und aufl6sbar vorausgesetzt.

Ffir die grundlegenden Tatsachen fiber Fittingklassen und Injektoren verwei- sen wit auf [6, 7] und [3]. Die Definition der bier verwendeten Abschlul3opera- toren ist in [4] zu finden. Wir werden ferner h~iufig Gebrauch machen von den Resultaten in Locketts Arbeit [12]. Schliel31ich sei bemerkt, dab wit die nur aus den einelementigen Gruppen bestehende Klasse nicht als normate Fittingklasse bezeichnen.

Wit werden in diesem Abschnitt eine Reihe von Hilfssiitzen bereitstellen, die zum Beweis der Hauptergebnisse notwendig sin& Wit beginnen mit einem Resultat fiber R~inder von Fittingklassen. Ist X eine Fittingklasse, so ist der Rand b(X) von X wie folgt definiert:

b(Y{') =(GI G ~ X, jeder echte Subnormalteiler yon G liegt in X).

Hilfssatz 1 ([9], Lemma 3.5). Sei ~r eine Lockettklasse. Sei ferner c~ eine S,- abgeschlossene Klasse mit der folgenden Eigenschaft: FiJr alle G ~ ist G x G6~. Es sei ~J~X.

Dann ist b ( X . ) c ~ b ( X ) c ~ + ~.

(In der Formulierung dieses Lemmas in [9] wurde zwar vorausgesetzt, dab Y/ eine Fittingklasse ist, der Beweis benutzt jedoch nur die oben angegebenen Eigenschaften von ~.)

In [8] war zu Fittingklassen ~,~ und X die Klasse ~ ( ~ , X) definiert worden dutch Yg(~,X)=(Gl~-Injektoren von G liegen in X). q/(Y,X) ist stets S n- abgesehlossen, im allgemeinen jedoch keine Fittingklasse ([8], 3.2).

' i ~

Hilfssatz 2, S~ien ~ und Y{ Fittingklassen derart, daft o~(y, X) ebenfalls eine Fittingklasse is~.

Dann ist ~ ( ~ , X)* ~_~(Y, ~*).

Beweis. Sei G E ~ ( ~ , X)*, M = Ge(~,~:). Dann ist G/M abelsch ([12], 2.2.b). Da G in ~(,,~, X)* enthalten ist, ist G • G _~(M x M). ((g, g- 1)lgeG) ~ ( ~ , X) ([12],

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2.1.b). Sei V e i n ~--Injektor von G und W ein ~,~-Injektor von G xG mit Vx V_<_W. Es ist Vx V-~W.

Nun ist W(~ (M x M)- ((g, g- 1)[g ~ G) e ~ und daher auch

(V x V)r~(M xM) . ((g, g- 1)lg~ G) ~ X.

Folglich ist (V x V) c~ (M x M). ((g, g- 1)lg e G) < (V x V)e r. Sei v 6 V. Dann gilt:

(v, v-1)e(V x V)r~(M xM) . ((g,g-1)lg eG)

<__(v x v)~<=(v x v)~ ,= V~. x g~.

([12], 3.1). Also ist V= V~,EX*, und Gis t in N(J~, X*) enthalten, q.e.d.

Wit formulieren ftir spiitere Anwendungen das folgende Lemma allgemeiner, als dies fdr die Verwendung in dieser Arbeit notwendig ist.

Hilfssatz 3. Seien ~ und X Fittingklassen derart, daft ~ ( ~ , X) ebenfalls eine Fittingklasse ist. F~r alle G ~ J ( ~ , X *) gelte G x G ~ / ( f f , X*). Dann ist ~ ( ~ , ~r)* = ~ ( j , X*).

Insbesondere: Ist ~ ( Y , X ) eine FittingkIasse und ist ~ ( ~ , X * ) D o- abgeschlossen, so ist auch ~ ~*) eine Fittingklasse (sogar eine Lockettklasse).

Beweis, Nach Hilfssatz 2 haben wir nur ~(~ ,X*)~_~(~ ,X)* zu zeigen. Wir nehmen an, dies sei nicht der Fall. Nach Hilfssatz 1 existiert dann eine Gruppe GEW(o ~,X*)mb(N(~,X))mb(W(~,X)*) . N , =Gq/(,,=)=Ge(~.x) ist dann der einzige maximale Normalteiler yon G. Sei V e i n @-Injektor von G. Wegen G ~ ( ~ , X) ist VN=G. Ferner liegt V in X*. Sei Wein ~-Injektor von G x G mit Vx V<=W. Es ist Vx V-~ W und (Vx V ) ~ ( N x N ) ~ G x G . ( N x N ) r ~ W ist ein ~-Injektor von N x N e ~ ( ~ , X), liegt also in X. Es folgt

(V x V)~ r (N x N) (~ W = (V x V)x ((N x N) ~ W) ~

und daher (V x V)x(N x N) ~ ~ ( ~ , X). Damit erhalten wir

(V x V)~<=(G x G)~(~,~)<=(G x G)~(~..~), = G~(~,~,), x G~,(~,~), = N x N.

Da (V x V)~ subdirekt in V x Ve X* ist, folgt V__< N, ein Widerspruch. q.e.d.

Bemerkung I. Hilfssatz 3 zeigt unter anderem (man beachte [12], 3.1): Ist ~J(~, X) eine Fittingklasse, ~ eine Lockettklasse, so ist ~ (o ~, X)*= ~/(~, X*).

Ferner folgt sofort: Ist X eine normale Fittingklasse und ~ eine Fittingklas- se derart, dab ~ ( ~ , X) eine Fittingklasse ist, so ist ~ ( ~ , X ) eine normale Fittingklasse (3 ~ = ~J (~, 5 '~) = ~J (~, X*) = ~ (o~, X)*).

Dies ist eine Verallgemeinerung yon Satz 3.4 aus [8].

Hilfssatz 4. Sind ~? und ~ Fit~ingklassen, {Q, Ee} 02/= ~J, so ist (X~])* = X* ~J.

Beweis. Da ~ Q-abgeschlossen ist, gilt sicher X ~ _ X * ~ . Ferner ist ~ eine Lockettklasse ([12], 2.2.d), und da Produkte yon Lockettklassen offensichtlich wieder Lockettklassen sind, folgt mit [12], 2.3.a und 2.2.b (Xo2/) * ~_X*~.

Sei GsX*~/. Wir beweisen Ge(X~)* durch Induktion nach IGt. Ist G~r,/G~c ~ cI)(G/G~r), der Frattinigruppe yon G/G~, so folgt G/Ger = (Gx,/Gx)(U/Gx) mit U<G. Wegen Gx,/G~<Z(G/C,=) ([12], 2.1.c) ist U-~G,

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also per Induktion U~(X~)*. Es folgt G = G ~ , U ~ N 0 (X~)*=(X~)* (man beachte X*~_(X~)*, [12], 2.3.a). Ist G~c,/Gx<=~(G/G~:), so erhalten wir G / G ~ E e ( ~ ) = ~ , d.h. G ~ X ~ ( X ~ ) * . q.e.d.

Definition 1. Seien X und ~ Fittingklassen. ~ heilSt X-Injektor-abgeschIossen, falls gilt: Ist G ~ , Vein X-Injektor yon G, so ist V ~ .

Bemerkung 2. Seien X und ~ Fittingklassen. Ist eine der folgenden Bedingungen erfiillt, so ist ~ X-Injektor-abgeschlossen.

(1) X__~, (2) X beliebig, ~/S-abgeschlossen, (3) ~ = ~ - S , ~ und 2* ~ Fittingklassen, ~ {S, Q}-abgeschlossen, ~-_~7~ (4) X normale Fittingklasse, ~ beliebig, (5) X Fischerklasse, ~ = Y,.

(Die Beweise fiir (1)-(4) sind trivial; (5) steht in [8], 4.5.)

Zum folgenden Hilfssatz eine Vorbemerkung: Ist @ eine Fittingklasse, = eine Primzahlmenge, so definiert Lockett in [11]

Y~ als Klasse aller Gruppen G, deren ~-Injektoren eine rc-Hallgruppe yon G enthalten. ~ ist dann auch wieder eine Fittingklasse. Wir werden yon diesem Konzept im folgenden Gebrauch machen.

Hilfssatz 5. Sei :g" eine Fischerklasse, ~ eine 92P-Injektor-abgeschlossene Fitting- klasse fiir jede Primzahl p.

Dann ist ~ X-Injektor-abgeschlossen.

Beweis. Sei Vein X-Injektor einer Gruppe G ~ ~. Da X eine Fischerklasse ist, existiert nach [11], 4.5 und 4.4 zu jeder

Primzahl p eine p'-Hallgruppe Gp, von G, so dab VGp, ein XP-Injektor von Gist. Nach Voraussetzung ist also VGp, ~ ftir alle Primzahlen p. Da V e i n X- Injektor yon VGp, ist, k6nnen wir per Induktion nach IGI annehmen, dag VGp, = G fiir alle Primzahlen p gilt. Dann folgt sofort V= G ~ ~ . q.e.d.

Hilfssatz 6. Sei X eine Fittingklasse, X ~ = X fiir eine Primzahlmenge n. Sei ferner ~ eine X-Injektor-abgeschlossene Fittingklasse. Dann gilt: Ist V ein X- Injektor einer Gruppe G~.~, , so ist VE(X c ~ ) , ~ , .

Insbesondere ist X c~ ~ , ~_ ( X c~ ~/) , ~9~, .

Beweis. Wegen X ~ = X ist ~ ( X , ( X c ~ ) , ~ , ) nach [8], 3.3 eine Fittingklasse. Nach Hilfssatz 4 ist ferner ((X c~ ~ ) , ~,)* = (X ~ N)* 5~,. Ist G e ~, V ein X- Injektor yon G, so folgt nach Voraussetzung tiber ~ sofort V ~ X c ~

~-(X ~ ) * ~n,. Das zeigt

_ ~(X, (at ~ ~)* ~n') = ~ (~ , ((~r ~ ~ ) , ~n')*) = ~ (~ , (~ ~ ~ ) , ~n')*,

wobei letztere Gleichheit nach Hilfssatz 3 folgt (man beachte, dab q/(X, (X~q/)*2~,) nach [83, 3.3 eine Fittingklasse ist). Mit [53, 3.5 folgt nun ~d,_~(gF, (Xr~oY),~,), und dies ist gerade die Behauptung. q.e.d.

{)ber Fittingklassen und die Lockett-Vermutung 165

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Der folgende Satz verallgemeinert ein Ergebnis aus [8], wobei wit im Beweis der Schlul3weise in [8], 4.3 und 4.4 folgen.

Satz 1. Sei X eine Fischerklasse. Sei ferner ~ eine XV-Injektor-abgeschlossene Fittingklasse fiir jede Primzahl p.

Dann ist ~ , X-Injektor-abgeschlossen.

Beweis. Sei p eine Primzahl. Sei G eine Gruppe aus ~162 W ein XP-Injektor von G. Nach [-11], 3.1.b ist XvS~v,=XP. Daher ist ~176162 @) nach [8], 3,3 eine Fittingklasse. Wie im Beweis von Hilfssatz 6 folgt ~176162 o2r da qr X p- Injektor-abgeschlossen ist. Damit folgt, dab W in N, @ enthalten ist. Nach I-8], 4.2 gilt ferner W/G~cp e@, . Das zeigt W = VV~, G~rp. Da Gerp als Normalteiler von G in ~J, liegt, ist folglich auch W in N0 ~ , = ~ , enthalten. Also ist q/, X p- Injektor-abgeschlossen fiir jede Primzahl p. Mit Hilfssatz 5 folgt nun die Behauptung. q.e.d.

Satz2. Sei ~ eine Fittingklasse, = eine Primzahlmenge, X=~SP=SP,. Es sei ferner ~ eine WSa~-Injektor-abgeschlossene und XP-Injektor-abgeschlossene Fit- tingklasse ffir jede Primzahl p.

Dann gilt: Ist G E ~ , , Vein X-Injektor yon G, so ist V e ( X c>~),. Insbesondere ist ~T m q/, =(s ~

Beweis. Sei G eine Gruppe aus Yr Vein ;g-Injektor von G. Nach Hilfssatz 5 und 6 ist Ve (X c~ ~ ) , 5P=. Da X eine Fischerklasse ist (1-7], 3.2), folgt mit Satz 1, dab V in ~ , enthalten ist. Also ist auch V~SonSqr und da ~162 WS~-Injektor - abgeschlossen ist, liefert Hilfssatz6 nun V~s%e(o~Sa=m~),5~ Wegen (~,~SP= c~ 02r _c ( ~ 5~, c~ 02r ([5], 3.5) folgt V~s % e (X c~ ~J), 5~=, und damit auch ve( ;

Somit erhalten wir schlieBlich Ve(Xc~qt ) ,5~=c~(Xmq/ ) ,Se ,=(Xc~) , . q.e.d.

Korollar 1. Sei ~ eine Fittingklasse, = eine Primzahlmenge, X = ~,~=Sa~,. Dann ist

Beweis. Die Behauptung folgt sofort aus Satz 2 mit ~162 = 5 a. q.e.d.

Korollar 2. Sei ~,~ eine Fittingklasse. Dann ist o ~ Y c~ 5~, = (~A~), .

Beweis. Es ist ~ 2 = ~ ~,~@ @, = ~ - ( ~ @ @,). Setzen wir in Satz 2 X = ~,~5~z ~2' P P

und ~J=J~( ~ @@,), so folgt (beachte Bemerkung 2,(3)) p:t=2

p=~2 p:~2

Nach Koro l la r l ist (~-SP25P2,),=YSP25P2,c~SP . . Dies liefert nun (~Jg ' ) , = ~ ~ @ @ , c~ 5P, = ~ JV" c~ 5P,. q.e.d.

P

Korollar 3 (Bryce, Cossey). Sei X eine primitiv ges&tigte Formation, ~ eine S- abgeschlossene Fittingklasse. Dann ist X c~ ~ , = (X c~ o~),.

Insbesondere ist s c~ 6t', = X , .

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Beweis. (1) Wir beweisen zun~ichst: Ist ~ eine primitiv ges~ittigte Formation beschr~inkter nilpotenter L~inge, so ist ~ yon der Form 5:~c~ (~ ~r~5:~5~, mit

rcc~ a

primitiv ges~ittigten Formationen ~ , wobei <p__IP und IP die Menge aller Primzahlen ist. Ist ferner p eine endliche Primzahlmenge, so ist 5: o __= ~ 5e 5:~, fiir fast alle r~_~ IP:

Nach [5], 2.3 ist jede primitiv ges/ittigte Formation beschr~inkter nilpotenter

L~inge yon der Gestalt (~ Y'z, wobei jede der Fittingklassen ~z ein endliches i=1

Produkt von Klassen 5:~ ist. Weiterhin enthalten fast alle ~r die Fittingklasse

5~ falls [p] < o~. Daher und wegen

gentigt es, die beiden obigen Aussagen ftir Fittingklassen der Gestalt 5~ ... 5:~. zu zeigen.

Wit beweisen beide Behauptungen gleichzeitig durch Induktion nach n, der L~inge eines solchen Produktes.

Ftir n = l ist wegen 5~ =5:~ c~ n 5~5:~5:~ ' nichts zu zeigen. Sei n=2. Wir

setzen ~ =n~ u rc 2. Dann ist offensichtlich 5:~ 5:~ = 5:~c~ 5:~,~15:~,,,~ . Wenn wir a~=z'wrq und 0"2='~"U7~ 2 setzen, folgt a t w ~ 2 = I P , das heiBt a ~ a ~ . Nun ergibt sich sofort

Indem wir ~ =5:~ und ~r = 5: fiir ~4= a~ definieren, folgt die Behauptung im Fal len = 2.

Sei schlieBlich n > 2. Dann ist

•r geeignete Primzahlmengen v, #a, #2 (vgl. Fall n=2). Indem wir die Induk- tionsvoraussetzung ftir n - 1 auf 5:~ ... 5:~._2 5:~ anwenden, folgt

N N

wobei :gu2=X~2c~ 5:~1 ... 5:~. 5:,1 und Y'~=X" ftir •+#2 gesetzt ist. Ist p eine endliche Primzahlmenge, so ist 5:p nach Induktionsvoraussetzung in fast allen Klassen X~' 5"~5:~, enthalten. Nach Konstruktion der 5~ gilt folglich dasselbe f'tir die Fittingklassen W~5:~5:~,.

(2) Ist z eine Primzahlmenge, so ist (5:~c~q/),=5:~c~',: Da ~ / (5~ ,~) ftir jede Fittingklasse ~ {N 0, S,}-abgeschlossen ist, ist ~(5~ eine Fit- tingklasse mit q/,___Y/(~, (5:~c~),) ; letztere Aussage gilt nach [5],3.5 und Hilfssatz 3. Es folgt (Y~ c~ N), = 5:~ c~ N,.

(3) Der Beweisabschlug ist nun analog zum Beweis von 4.17 in [5]. Wie dort gezeigt wurde, geniigt es, die Behauptung des Korollars ftir primitiv ges~ittigte

fSber Fittingklassen und die Lockett-Vermutung 167

Formationen beschr/inkter nilpotenter L~inge zu beweisen. Nach Teil (1) ist jede solche yon der Gestalt 5:~ c~ (-] ~ 5 ~ 5:, .

r ~ P

Sei GES:~c~ (-] Y'~Y~5:~, c~ Y/,. Sei p die Menge der Primteiler von IGJ. Nach ~ c ~ o

(1) existieren ~1, ---, ~,~_clp rnit m

Aus Satz 2 folgt nun, da alle Klassen ~ J~,5~ S-abgeschlossen sind, mit einem leichten Induktionsargument:

i i i i = 1 ~ i i i

Da (~ Y" 5:~ 5~ c~ ~ S-abgeschlossen ist, folgt nun damit und mit (2): i = 1 , ~ i

~ c ] p

i = l i

i = 1 , ~

([5], 3.5). Also gilt

und dann wegen [5], 3.5 auch Gleichheit. q.e.d.

Literatur

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Eingegangen am 30. November 1978