Uber einen Satz von Herrn J. H. Maclagan Wedderburn. Yon EMIL ARTIN in Hamburg.

Fiir den sch(inen Satz yon Herrn WEDDERBURN1), der aussagt, dab ein aus endlich vielen Elementen bestehendes System hyperkomplexer Zahlen ohne Nullteiler ein K0rper ist, und also in Galoisfeldern das kommutative Gesetz der Multiplikation eine Folge der fibrigen Rechen- regeln ist, existieren meines Wissens bisher drei Beweise. Zwei von ihnen stammen yon Herrn WEDDERBURN selbst, der dritte von HerTn DICKSON ~). Alle diese Beweise stiitzen sich auf Teilbarkeitseigenschaften gewisser Zahlen. Der Nachweis dieser Teilbarkeitseigenschaften selbst ist aber aufierordentlich mfihsam, so dat~ man diese Beweise, die tiberdies noch gewisse AusnahmefMle gesondert behandeln mtissen, kaum als leicht zugi~nglich bezeichnen kann. Ein weiterer Beweis yon fterrn WEDDERBURN, der jene Teilbarkeitseigenschaften vermeidet, ist leider nicht stichhaltig. Die groBe Wichtigkeit dieses Satzes ftir die Arithmetik hyperkomplexer Zahlen hat kfirzlich Herr SPEISER s) gezeigt.

In dieser Note soll deshalb ein einfacherer Beweis gegeben werden, wobei Kenntnisse aus der Theorie der hyperkomplexen Zahlen nicht vorausgesetzt werden sollen. Nur einfache Tatsachen aus der Theorie der Galoisfelder werden benutzt. Wie ich glaube, beansprucht tibrigens auch der im ersten Tell bewiesene Satz ein selbsti~ndiges Interesse.

o

Ein System | Elementen wollen wir einen Schiefk0rper ~) nennen, wenn es zwei Operationen zwischen den Elementen yon ~ gibt, die ,,Addition" und die ,,Multiplikation". Beide Operationen seien assoziativ und beiderseitig distributiv, d. h.:

a ( b + c ) z a b + a c ; ( b ~ c ) a ~ b a + c a .

Beziiglich der Addition sollen die Elemente yon ~ eine Abelsche Gruppe bilden. Wird die Einheit in dieser Gruppe mit 0 bezeichner so sollen endlich die von 0 verschiedenen Elemente von ~ auch beziig- lich der Multiplikation eine (nicht notwendig kon~mutative) Gruppe er- geben, deren Einheit mit 1 bezeichnet werde.

I) j . H. MACLAGAN WEDDERBURN, A theo rem on finite algebras. Transac t ions

of the American Mathematical Society, Bd. 6, S. 349. 2) DICKSO.~', 0n finite algebras. Giittinger Nachrichten, 1905,. S. 379. 3) A, SPEISER, Allgemeine Zahlentheorie. Vierteljahrsschrift der Naturforsehenden

Gesellschaft in Ztirich, Bd. 71 (1926). 4) Diesen Namen hat Herr B. L. VA~, DER WAERDEN vorgeschlagen.

246 E. Artin.

Sollte in ~ fiberdies das kommutative Gesetz der Multiplikation gelten, so liegt ersichtlich ein KOrper vor.

Gilt ffir zwei Elemente yon ~ die Gleiehung ab ~ ba, so sagen wir, a sei mit b vertauschbar.

Nunmehr stellt man mfihelos fest, da~ die Menge ~ aller Elemente, die mit jedem Element yon ~ vertauschbar sind, einen KOrper bilden~ der das Zentrum yon ~ genannt werde.

Es sei jetzt t eine Unbestimmte. Wir betraehten den Bereich aUer Polynome yon t m i t Koeffizienten aus unserem Schiefk6rper ~ :

(1) f ( t ) = an t" + an-1 t n-1 + . . . -~ ao.

Das Rechnen mit Polynomen werde nun in naheliegender Weise qrkli~rt: man betrachte die Unbestimmte t als mit allen Elementen yon

vertauschbar und definiere Summe und Produkt yon Polynomen wie gew0hnli~h. Beim Produkt hat man nur auf die Reihenfolge der Fak- toren zu achten. Ist also

(2) g (t) = b,n t 'n + b,n-1 t m-1 ~ - - . . -J- bo, so sei :

f ( t ) g ( t ) = an b,n t n~''n + (an- i bm + an bin-l) t n+'n-1 + . . . + ao bo.

Sind n u n f ( t ) # 0 und g (t) # 0 zwei feste Polynome, so suche malt unter alleu Polynomen der Form

(:3) r (t) -= f ( t ) - - . q ( t ) . q (t) = ck t k + ok-1 t k-1 + . . . + Co

eiu Polynom mtiglichst niedrigen Grades. Dabei bedeute q (t) ein beliebig w~hlbares Polynom. Wir behaupten k < m . W~re nAmlich k ~ m, so hatte alas Polynom

r~ (t) = r ( t ) - - g (t) , b,~ 1 ck t ~-'~

wieder die Form (3), aber kleineren Grad als r(t). Damit ist aber ein Divisionsalgorithmus begriindet. Ist r (t) = 0, so heilie g (t) ein linker Teiler yon f ( t ) . Analog wird ein rechtsseitiger Divisionsalgorithmus und der Begriff des reehtsseitigen Tellers erklart.

Wir wollen jetzt Rechtsideale unseres Polynombereichs betrachten. Eine Menge yon Funktionen bildet ein Rechtsideal, wenn mit zwei Polynomen auch ihre Differenz und m i t f ( t ) aueh jedes Polynom f ( t ) . q (t) zur Menge geh(Jrt.

Es sei ]a) ein nicht aus 0 allein bestehendes RechtsideaP)und g (t)~: 0 eine der Funktionen aus la) mit mtiglichst niedrigem Grade. Sollte der Koeffizient der h~iehsten Potenz yon t yon 1 verschieden, etwa ~ a sein, so wahle man g ( t ) a -~ an Stelle von g(t). Das so

~) Die Klammer bei [a) bezeichnet die Seite, auf der Multiplikation erlaubt ist, w~hrend der Strich die Verbotsseite kenuzeichnet.

?~ber einen Satz yon Herrn J. H. Mael~gan Wedderburn. 247

gefundene g (t) ist als Funktion niedrigsten Grades mit hOehstem Koefti- zienten 1 eindeutig bestimmt, da die Differenz zweier solcher Funktionen wieder zu la) gehOrt und dabei sicher niedrigeren Grad hat. Eine beliebige F u n k t i o n f ( t ) aus la) werde nun gem~tl3 (3)durch g (t) dividiert. Wie (3) zeigt, geh6rt dann r (t) auch zu la). Da es kleineren Grad hat als g (t), so mul~ r (t) ~- 0 sein. Wir erkennen also, dafi ]a) aus allen Polynomen der Form g (t). q (t) besteht und somit als Hauptideal erkannt ist.

Liegen alle Koeftlzienten einer Funktion F(t) in ~ , s o ist ersiehtlich jedes Polynom mit F ( t ) vertausehbar. Wir sagen dann, F(t ) sei ein Polynom aus ~. Ist umgekehrt F(t) mit jedem Polynom vertausehbar, so folgt aus a F( t ) ~- F ( t ) a , wo a eine beliebige Konstante aus bedeuten kann, daf F( t ) ein Polynom aus ~ ist.

Zwei Polynome f ( t ) und g (t) sind endlich sicher dann miteinander ver- tauschbar, wenn ihr P r o d u k t f ( t ) . g (t) == F(t) ein Polynom des Zentrums ist: denn/ ' ( t ) . (q (t) . f( t)) - - ( f ( t ) . g ( t)) . f i t) - - f ( t ) . ( f (t) .q (t)). Da es im Polynombereieh keine Nullteiler gibt, folgt unmittelbar die Behauptung.

Wir beweisen nun zwei Hilfss~tze: H i l f s s a t z 1: Ist h (t) eine nicht konstante Funktion, und hat g(t) ~-0

die Eigenschaft, daft fi~r jgdes a ~ 0 aus ~ die Funktion h(t) ein linker Teller yon ag(t)a -1 ist, so gibt ea eine nit'ht konstante Funktion F( t ) des Zentrums, die ein Teiler yon g(t) ist.

Beweis: Man erkennt mtihelos, daft die Menge aller Funktionen mit der gleichen Eigenschaft wie g(t) ein Rechtsideal bildet. Es sei F(t) die Funktion niedrigsten Grades unseres Ideals mit h6chstem Ko- effizienten 1. Nach Definition dieses Ideals geh6rt bei beliebigem a 4 0 aus ~ auch aF(t) a - t zum Ideal. Da aucli sie den htichsten Koeffizienten 1 hat, und F(t) im Ideal eindefitig bestimmt ist, muff somit gelten: F(t) ~ aF( t )a -1 oder F ( t ) a ~ aF( t ) . Da aber a beliebig ist, erkennt man, daf F(t) zum Zentrum geh0rt. Als Funktion des Ideals ist g(t) teilbar durch F(t)~ Ferner kann F(t) nicht konstant sein, da es teilbar ist durch die nicht konstante Funktion h(t).

H i l f s s a t z 2: Ist die _Funktion ersten Grades t--~. linker Teiler des Pro&&ts f ( ! ) g ( t ) , nicht aber yon f ( t ) , so gibt es ein a =~ 0 aus ~ yon der Art, daft ag( t )a :-1 den linken Teller t - - ~ hate).

Beweis: Entsprechend dem Divisionsalgolithmus setze man

f ( t ) --- (t--'.5) q(t) +, a,

wo a konstant und :~ 0 ist, da f ( t ) nieht dureh t--.~ linksseitig teilbar ist. Aus

. / ( t )g( t )a -~ -~ ( t - -~ )q ( t )g ( t )a -~ + ag(t)a -~

und der Voraussetzung folgt, daf ag(t)a -~ den linken Teiler t - - ~ hat.

6) Vgl. L. E. Dxr.Ksos, Algebras and their arithmetics. Chicago 1923, S. 230, Lemma.

248 E. Artin.

Nun sind wir in der Lage, das Ziel dieses Abschnitts zu beweisen: Sa t z 1 : Die Funktion F( t ) aus ~ sei in ~ irreduzibel, d. h. nicht

z(~rlegbar in zwei Faktoren positiven Grades mit Koeffizienten aus dem Zentrum. Ist dann F( t ) teilbar dutch jeden der beiden Linearfaktore~ (t--'e_') und (.t--v), so gibt es ein c~:O aus ~ yon der Art, daft

Beweis: Es ist F ( t ) ---- g(t) . ( t - -~) . Ware bei beliebigem b t 0 a u s ~ stets bg(t)b -~ linksseitig durch t - - , ] teilbar, so ware nach Hilfssatz 1 die Funktion g (t) teilbar dt~rch eine nicht konstante Funktion H( t ) aus ~ , die also htichstens den Grad yon g(t) hat. Dies zOge die Teilbarkeit von F (t) durch H (t) nach sich und widersprache der hTeduzi- bilitat yon F(t ) in ~ . Sei also b so bestimmt, dag bg(t)b -1 nicht den linken Teiler t - -~ hat. Da F( t ) zu ~ gehOrt, ist bF(t )b - 1 ~ - F( t )

bg(t)b -a . ( t - -b~b-1 ) . Nunmehr treffen aber die Voraussetzungen von Hilfssatz 2 fiir unser Produkt z u . . Also gibt es ein a ~-0 aus ~ , so dab a(t--b~, b-~)a -1 ~ t--ab~, b-~a -~ teilbar ist durch t--~l. Dies besagt aber ~ ~ (ab) ~_(ab) -1.

2. Es sei nunmehr ~ ein Schiefk6rper mit endlich vielen Elementen.

Ihre Anzahl sei N. Wir zeigen: S a t z v o n WEDDERBURN : Je(~er e~dliche Schiefk~rper ist ein K6rper,

also ein Galoisfeld. Beweis: 1. Ist N : 2, so besteht ~ nur aus den Elementen 0

und 1, und unser Satz ist bewiesen. Wir verwenden also vollstandige Indukfion und nehmen an, er sei fiir Schiefk0rper yon weniger als N Elementen bewiesen.

2. Sei also ~ ein Schiefktirper von NElementen und verschieden yon seinem Zentrum ~ . Aus dieser Annahme soll ein Widerspruch hergeleitet werden.

ist ein KOrper, also ein Galoisfeld. Die Anzahl der Eiemente yon ~ sei q.

Man konstruiere nun einen mOglichst umfassenden Schiefk6rper ~o, der ~ enthalt, aber nicht alle Elemente yon ~ . Da ~ nur endlich viele Elemente enthalt und ~ ~: ~ ist, so gibt es solche umfassendsten SchiefkOrper (wie wir gleich sehen werden, mehrere).

Ist a ein beliebiges Element aus ~ , so kann man es sogar so einrichten, dal~ ~o das eine vorgegebene Element (t enth~lt. Adjungieren wir nfimlich ct zum Zentrum, so entsteht ein Bereich g (a ) , der sicher kommutativ ist. Denn ct ist mit jedem Element yon g und mit sich selbst vertauschbar. DR aber ~ kein K6rper sein sollte, so ist ~(a) sicher Yon | verschieden und kann nunmehr zu einem maximalen Bereich ~o erg~mzt werden. Daraus folgt, dal~ man mehrere solche

Cber einen 8atz yon Herrn J. H. Maclagan Wedderburn. 249

maximale Bereiche herstellen kann, je nachdem, yon welchem Element a man ausgeht. Adjungiert man zu einem maximalen Bereich ~o ein beliebiges, nicht in ~o enthaltenes Element b, so erh~lt man ~ , da es auger ~ keinen ~o umfassenden Schiefk0rper gibt.

Nun besteht aber doch ~o aus weniger als N Elementen, ist also nach Induktionsvoraussetzung ein Galoisfeld. Dieses hat ~ als Teilfeld. Nach bekannten S~tzen fiber Galois~elder gibt es also ein Element .~ aus ~o von der Art, daft ~o ~ ~(-~) ist. Das Element ~ geniigt in einer gewissen, in ~ irreduziblen Gleichung, etwa vom r-ten Grad. Bekanntlich enthalt dann ~o genau q~ Elemente. Es sei F ( t ) = 0 diese Gleichung. Dann gilt in ~(.~) folgende Zerlegung:

(5) F ( t ) = (t - - ~) ( t - ~ " ) . . . (t - - ~ .r

und es ist 'Sq" ~- ~, dagegen ~C ~ ~qu flit # ~ v(modr). Demnach sind t - - ~ und t - _~q Linearfaktoren yon F(t). Wegen

Satz l gibt es also ein Element ~ ~-0 aus ~ v o n d e r Art, dag ~]~-~ ~ ~q. Daraus fo]gt: (6) ~ .~ ~ ~C. ~/~.

Fiir v ~ r ergibt sich, daft ~ vertauschbar ist mit _.. ~ Da es als Potenz von ~ auch mit ~ vertauschbar ist, so ist es mit jedem Element des SchiefkC~rpers ~o(~) vertauschbar. Da ~/ nicht vertausehbar ist ]nit .~, so ist ~ nicht in ~o enthalten, also ~ o ( ~ ) = ~ . Also ist q~ mit jedem Element von ~ vertauschbar und geh0rt zu 3 . Es gilt also

(7) , f - a , wo a ein Element von ~ ist.

Wir fragen nun, ob es eine Gleichung der Form

(8) ~" = ~ , - ~ (-~) ~ * - ' + % - , (;') ~ ' - ~ + - - . + s% (-~)

geben kann, worin s < r ist und ~ (~) ein Element aus ~ (.~) bedeutet. Man setze (8) ein in:

und findet wegen (6):

(9) 9~s-~ (~)" (~'' -' -- -" u'~%' qs-a _L y's-._ (~) ('e'r - - ~q'). ~t s -"

+ . . . + % (~) (~ - - ~'~') = o .

Wiirden hierin nieht alle Koeffizienten yon ~/" versehwinden, so erhielte man daraus leieht eine Gleiehung derselben Form wie (8) mit noeh kleinerem s. Nehmen wir also an, daft in (8) die Zahl s sehon m0gliehst klein ist, so folgt das Versehwinden aller Koeffizienten yon (9). Wegen s < r ist aber nun ~q'-~--'_.'q' :[ 0, so dag ~o~(~)---0 die Folge ist. Dies fiihrt wegen (8) auf ~* ~--- 0, also, da es keine Nullteiler gibt, auf ~ = 0, entgegen der Konstruktion.

]g

250 E. Artin.

Diese Betrachtung lehrt uns, dab die r ~ Elemente

.~" ~ (0 ~ v < r, 0 < ~ -4 r)

linear unabhi~ngig in bezug auf ~ sind. Man erhi~lt also qg" verschiedene Elemente der Form

r---I r - -1

ao) 2: 2:..,.. ,J", v ~ O 1.~ ,~-0

wenn die a,,u je die q Elemente yon ~ dm~hlaufen. Die Rechenregeln (6) und (7), sowie die Gleichung r-ten Grades F ( . ~ ) ~ 0 zeigen, dal] das Produkt und selbstverst~tndlich aueh die Summe zweier Elemente der Form (10)wieder die ]~orm (10) haben. Da es in G keine Nullteiler gibt, so gentigt dies, u:n dieses System yon Elementen als Schiefk6rper zu erkennen. Er en~hMt ~, ~ und ~, ist also G selbst, wie bereits fest- gestellt wurde. Somit besteht G aus .q Elementen. Go bestand aus q~ Elementen. Nun war aber doch Go ein beliebiger maximaler Bereich

r' in G. Da q , die Anzahl der Elemente von G, eine invariante Bedeutung hat, hat auch ~-eine invariante Bedeutung, und wir erkennen, dab jeder maximale Bereieh Go dieselbe Anzahl q" yon Elementen hat. Es sei G~ ein anderer maximaler Bereich. Da er gleich viel Elemente wie Go hat, und da beide Bereiche Galoisfelder" sind, so sind sic nach einem bekannten Satz isomorph. Man kann somit annehmen, da~ G~ aus ~ durch Ad- junktion eines Elements ~ entsteht, das derselben Gleichung F ( t ) ~ 0 in ~ wie .~ genfigt. Dann aber ist t - - ~ aueh Linearfaktor yon F(t), und wegen Satz 1 gibt es ein ~ aus G yon der Art, dab ~ ~ ~'~-~. Also ist auch G~ ~ ~Go~ -1. Lassen wir aus den maximalen Bereichen das Element 0 weg, so bleiben Untergruppen gv der Multiplikations- gruppe (~ von G iibrig. Wie eben festgestellt, bilden sie konjugierte Untergruppen yon @.

Nun ist aber ein Widerspruch leicht herstellbar. Einerseits n~imlich sahen wit schon, dat~ jedes Element yon G in einem der maximalen Bereiche, also in einer der konjugierten Untergruppen liegt (falls es ~ 0 ist). Die Vereinigungsmenge der Untergruppen mfi~te also (~ ersch6pfen, wobei man noch beaehte, dal~ ~ 4 (~ ist, da aus fl ~ q~ sicher Go ~ G folgt, entgegen der Konstruktiofl von Go. Andrerseits aber gibt es h0ch- stens so viele verschiedene konjugierte Untergruppen von@, als der Index yon .q in bezug auf (~ betri~gt. Da @ aus endlich vielen E]ementen besteht, k6nnte die Vereinigungsmenge nur dann die ganze Gruppe erschSpfen, wenn sie alle kein Element gemein haben. ~ie haben aber sieher alle das Einheitselement gemein. Damit sind wir am Ziel.

Hamburg , Mathematisches Seminar, Januar 1927.