2. allgsn. MA&. Mech. 248 D. Wehrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Bd. 92 Nr. 8/9 AagJEept. 1952 zeln in ein Schema aus je p Spalten und n Zeilen einordnen lassen, erhalt man als Versuchsfehler bei Abzug der Spalten- und Zeilenstreuungen und der Streuungen zwischen den Versuchen qn2 = m, = Fehler der Einzelversuche (v = 1, 2, . . ., q) rn* = Fehler aus dem Schema der Mittelwerte der Einzelversuche. Uber eine statistlsche Theorie zur Beurteilung dee Giitegrades von Mischungen Von K. Stange in Karlsruhe Es wird die Frage beantwortet, wie groB das kleinste Teilvolumen einer Mischung (welche zwei Stoffe mit gegebenem Volumen- oder Gewichtsverhaltnis enthalt) sein muB, damit es innerhalb gewisser zulassiger Toleranzbereiche hinsichtlich seiner Bestandteile ,,homogen" ist. Wesentlich ist die Unterscheidung der Ekgriffe , ,Volumenhaufigkeit", ,,Gewichtshaufigkeit" und ,,Teilchenhaufigkeit" fur die einzelnen Bestandteile in der Mischung. Es wird vorausgesetzt, daB fur die Teilchenhaufigkeit statistische GesetzmaBigkeiten gelten, und gezeigt, daB die fur Stichproberi mit gleicher Teilchenzahl hergeleiteten Ergebnisse in erster Naherung auch fur Stichproben gleichen Volumens oder gleichen Gewichts gelten, so daB der Ubergang von den Teilchenhaufigkeiten zu den Volumenhhufigkeiten oder den Gewichtshaufigkeiten erlaubt ist. Die Ergebnisse werden auf Mischungen mit drei und mehr Komponenten erweitert. - Die Arbeit erscheint voraussichtlich in ausfuhrlicher Fassung im 1ng.-Archiv. Uber asymptotische Entwicklungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ') Von H. Lens in Munchen x,, %, .. ., zfi seien zufallige Groom mit den Mittelwert Cy = 0, den Streuungen Z; = (I und den Verteilungsfunktionen Pv(zv) = vV (5); ferner sei 5 a ; = as> 4-n und < k; fur ein r2 3. Dann ist die charakteristische Funktion a der zufalligen GroBe 5 = - - 2 z,, wie sich durch T a y 1 o r entwicklung (mit Integralrestglied) ergibt, bis auf Glieder der GroBen- ordnung n*+12 gleich der char. Funktion eTt der zufalligen Grol3e y = - 2 yv ; wobei die yv zufallige GfoBen sind, deren Verteilungsfunktionen man aus den qV erhalt, indem man diese nach der Normalverteilung @ - und ihren Ableitungen entwickelt und nach dem r-ten Glied abbricht. Man erhalt so die Formel 1 " (Y v-1 UV .=1 l n a v=1 ( ; ) (3 mit 1) Ein ausfiihrlicheres &fanurJkript wurde der Redektion der Mathematischen Annalen eingereicht.

Über eine statistische Theorie zur Beurteilung des Gütegrades von Mischungen

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2. allgsn. MA&. Mech. 248 D. Wehrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Bd. 92 Nr. 8/9 AagJEept. 1952

zeln in ein Schema aus je p Spalten und n Zeilen einordnen lassen, erhalt man als Versuchsfehler bei Abzug der Spalten- und Zeilenstreuungen und der Streuungen zwischen den Versuchen

qn2 =

m, = Fehler der Einzelversuche (v = 1, 2, . . ., q) rn* = Fehler aus dem Schema der Mittelwerte der Einzelversuche.

Uber eine statistlsche Theorie zur Beurteilung dee Giitegrades von Mischungen

Von K. Stange in Karlsruhe

Es wird die Frage beantwortet, wie groB das kleinste Teilvolumen einer Mischung (welche zwei Stoffe mit gegebenem Volumen- oder Gewichtsverhaltnis enthalt) sein muB, damit es innerhalb gewisser zulassiger Toleranzbereiche hinsichtlich seiner Bestandteile ,,homogen" ist. Wesentlich ist die Unterscheidung der Ekgriffe , ,Volumenhaufigkeit", ,,Gewichtshaufigkeit" und ,,Teilchenhaufigkeit" fur die einzelnen Bestandteile in der Mischung. Es wird vorausgesetzt, daB fur die Teilchenhaufigkeit statistische GesetzmaBigkeiten gelten, und gezeigt, daB die fur Stichproberi mit gleicher Teilchenzahl hergeleiteten Ergebnisse in erster Naherung auch fur Stichproben gleichen Volumens oder gleichen Gewichts gelten, so daB der Ubergang von den Teilchenhaufigkeiten zu den Volumenhhufigkeiten oder den Gewichtshaufigkeiten erlaubt ist.

Die Ergebnisse werden auf Mischungen mit drei und mehr Komponenten erweitert. - Die Arbeit erscheint voraussichtlich in ausfuhrlicher Fassung im 1ng.-Archiv.

Uber asymptotische Entwicklungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ') Von H. Lens in Munchen

x,, %, . . ., zfi seien zufallige Groom mit den Mittelwert Cy = 0, den Streuungen Z; = (I

und den Verteilungsfunktionen Pv(zv) = vV (5); ferner sei 5 a; = as> 4 - n und < k; fur ein r 2 3. Dann ist die charakteristische Funktion a der zufalligen GroBe 5 = - - 2 z,, wie sich durch T a y 1 o r entwicklung (mit Integralrestglied) ergibt, bis auf Glieder der GroBen-

ordnung n*+12 gleich der char. Funktion e T t der zufalligen Grol3e y = - 2 yv ; wobei die

yv zufallige GfoBen sind, deren Verteilungsfunktionen man aus den qV erhalt, indem man

diese nach der Normalverteilung @ - und ihren Ableitungen entwickelt und nach dem

r-ten Glied abbricht. Man erhalt so die Formel

1 "

(Y v-1

UV . = 1

l n

a v=1

(;) (3

mit

1) Ein ausfiihrlicheres &fanurJkript wurde der Redektion der Mathematischen Annalen eingereicht.