Über die fixpunktfreien Abbildungen der Ebene

Uber die fixpunkffreien Abbildungen der Ebene.

Von GIUSEPPE SCORZA DRAGON I (in Padua).

Vorgetragen in Hamburg im Januar 1941.

Ich m6chte im folgeaden darlegen, was man fiber die Struktur der t opologischen, indikatrixertmltenden Abbildungen der zweiseitigen Fli~6hen ~,) auf sich wei~.

Es sei gleich erwahnt, daft man nur in den einfachsten Fallen etwas ~enaues behaupten kann: Ni~mlich bei den Abbildungen einer Kugelflache mit genau einem oder mit genau zwei Fixpunkten~). Im zweiten Falle muff man iiberdies noch etwas fiber die Bi]der der Umgebungen der Fixpunkte voraussetzen. Genauer gesagt, diese Umgebungen milssen yon der Abbildung in entgegengesetztem Sinne gedreht werden.

w Betrachten wir zuerst eine derartige Abbildung der Kugelflache

mit nur einem Fixpunkte O. Aus solch einer Abbildung To kann man durch eine stereographische Projekt ion/ / raft dem Fixpunkte 0 als Pro- jektionszentrum immer eine topologische, fixpunktfreie, indikatrixerhal- teude Abbildung to ~= ][-1 To 17 s) tier euklidischen Ebene auf sich her|eiten.

Fiir diese gilt der sch6ne und tiefliegende BROUWERsche ebene Trans- lationssatz, der wichtiger Anwendungen in der geometrischen Theorie der zweigliedrigen kontinuierlichen Gruppen fahig ist. Um ihn auszusprechen, brauchen wir den Begriff des Translationsfeldes.

Naeh B~0UWEa verstehen wir unter einer einfachen, offenen Linie eiu solches topologisches Bild der euklidischen Geraden, das alle seine Haufungspunkte enthiilt. Eine offene Linie ist demnach immer beidseitig anbeschr~tnkt.

Ist cinc Abbildung einer Fl~tche auf sich gegeben, so nennen wit eine Punktmenge eine freie Punktmenge (in bezug auf die Abbilduag.), wenn sie mit ihrem Bilde keinen Punkt gemeinsam hat.

' ) W i r betrachten immer Fl~tchen des dreidimensionalen, euklidischen Raumes. D ann ist Zweiseitigkeit gleichbedeatend mit 0rientierbarkeit; vgl. SEIFERT und THR~:L- FALL, Lehrbuch der Topologie (Teubner, Lipsia, 1934), S. 276, Satz HI.

2) Wenigstens ein Fixpunkt ist bei einer topologischen, indikatrixerhaltenden Abbildung der Kugelfl~he auf sich immer vorhanden. - - L. E. J. B~OVWER, f~ber ein- deutige ste~ige Transformationen yon Fliichen m sick (Sathematische Annalen, Bd. 69 (1910), 8. 176--180), S. 180.

3) Erst H ~ dann To und nachher H ausfiihren! 1

2 G. Scorza Dragoni.

Nach diesen Vorbereitungen betrachten wir jetzt die Abbildung t4,. Ein einfach zusammenh~tngendes Gebiet, das yon einer freien, einfachen, offenen Linie Lund yon ihrem Bilde to (L) begrenzt wird, ist ein Trans- lationsfeld (der Abbildung to). Wir wollen es ein Translationsfeld erster Art nennen. Es ist ein maximales Gebiet (der Abbildung to), d. h. ein fi'eies Gebiet, das in keinem freien Gebiete als echter Teil enthalten ist.

Nun zum BRouwEaschen Translationssatze: Wenn to eine topologische, fixpunktfreie, indikatrixerhalte~de Abbildung

der euklidischen Ebene auf sich ist, dann liegt jeder Punkt der Ebene in einem und folglich in unendlich vielen Translationsfeldern erst~" Art~).

Aus einem Translationsfelde erster Art yon to erhalt man sehr leicht ein Translationsfeld der Abbildung To tier Kugelfiliehe (mit dem Fix- punkte 0). Darunter verstehen wir ein einfaeh zusammenhangendes Gebiet der Kugelfiitche, alas auflerhalb seines Bildes liegt und alas yon zwei JORDa~sehen, gesehlosseneu Kurven j , To (j), die den Punkt 0 und nur diesen Punkt gemeinsam haben, begrenzt wird. Wir nennen es wieder ein Translationsfeld erster Art. In diesem Falle k6nnen wir den BROUWERsehen Satz so fassen:

Jeder Punkt der Ku.qe~fldche aufler 0 ist in einem Translatio~sfelde erster Art der Abbildung To enthaiten.

Als Beispiel betraehten wh" die folgende Abbildung :~o, indem wit" in der Ebene rechtwinklige kartesische Koordinaten einfiihren.

Es sei P ~--- (x, y) ein Punkt der Ebene, P' ~ (x', y') sein Bild; dann wollen wir festsetzen, daft bei ~o

x ' ~ x~-2 , y'----= y for y >= 2 sei und

x'--~ x - - 2 , y ' ~ y fiir -y ~: --2.

Es bleibt noeh iibrig, Oo im Inneren des Streifens - -2 ~ y <: 2 zu definieren. Zu diesem Zweeke setzen wir lest, daft 5% das Segment (a, 1 ) (a , 2) linear auf alas Segment (a, 0) ( a + 2 , 2) abbildet, wobei (a, 1) in (a, 0), (a, 2) in ( a + 2 , 2) iibergehen soll. Dabei ist a irgendeine reelle Zahl. Ebenso soil der Punkt (a, - -2) in den Punkt (a--2, --2) iibergehen und das Segment (a, 1) (a, - -2) linear auf das Segment (a, 0) ( a - - 2 , --2) abgebildet werden. Diese Abbildung ist lopologisch, indikatrixerhaltend und fixpunktfreiS).

Ein Translationsfeld, das den Punkt (0, ~) enthitlt, ist yon den beiden Geraden y ----- 1, y = 0 begrenzt, wovon die zweite das Bild der

4) BaouwEa, Beweis des ebenen Translationssatzes (MathematischeAmmlen, Bd. 72 (1912), S. 37--54), S. 37.

5) Vgl. B. DE KEREKJ~R'r0, Vorlesungen iiber Topologie (Springer, Berlin 1923), S. 210.

I~ber die fixpunktfreien Abbihlungen der Ebene. 3

ersten ist. Weiter: Jeder innere Punkt, des Streifens -- 2 ~ y ~ 2 ist in einem yon zwei zur x-Achse parallelen Geraden begrenzten Trmas- lationsfelde enthalten. Das ist klar. Ein Translationsfeld, das den Punkt (a, b), mit b ~ 2, enth~tlt, gewinnt man in folgender Weise, Wit betrachten die Linie, die aus den beiden Halbgeraden

a . . . . ~t--1, y ~ 1; x ~<~ a - - l , y ~ 1

entsteht, und ihr Bild, das sich aus der Halbgeraden

x = a + l , 2, dem Segmente

(a + 1, 2) (a - - 0) und der Halbgeraden

x ~ a - - 1 , y ~ O

zusammensetzt. Diese sind zwei einfaehe, offene Linien, die ein (a, b enthaltendes Translationsfeld begrenzen. Ganz ebenso konstrtriert man ein Translationsfeld, das (a, b) enthalt, mit b <_--2 .

Unsere Abbildung ,~o ist beziiglieh x periodiseh. Damit ist gemeint: Sind

x' ~- ~ (x, y), y' ~ ~ (x, y)

die Koordinaten des Bildpunktes yon (x, y), so soil

~ ( x W p , y) -~ ~_ (x, y)-+p,

~/(x +t7, y) ~ q (x, y)

sein, wenn p die Periode bezeiehnet. Die Periode p k0mmn wit in unserem FaUe beliebig vorschreiben.

Da die Abbildung periodisch 1st, ktinnen wit in leichtversti~ndlieher Weise aus ihr eine Abbildung einer Zylinderititehe auf sich herleiten, die topologiseh, indikatrixerhaltend und fixpunktfrei ist, und aus dieser, wiederum dutch eine passende Projektion, eine Abbildung 6)~ der Kugel- fii~che auf sich mit genau zwei Fixpunkten.

Noeh weiter. Bei O, sind zwei Kugelkappen, die die Fixpunkte als Zentram enthalten, invariant6), in entgegengesetztem Sinne gedreht und yon einer invarianten Kugelzone getrennt. Und jedes Translations- feld der Abbildung ,9o, die yon zwei y ~--- yo, y ~ y~ im offenen Streifen I x { ~ + ~v, i Y ! < 2 liegenden Geraden begrenzt ist, geht in ein Gebiet der Kugelfii~che fiber, das aui3erhalb seines Brides liegt und yon einem freien Kreise j und seinem Bilde O1 (j) begrenzt ist.

Diese Tatsache gilt ganz allgemein. Betrachten wir irgendeine topologisehe, indikatrixerhaltende Abbildang T~ der Kugelfiaehe auf sieh

o) Man nennt eine Punktmenge invariant, bei einer hbbildung, wenn sie mit ihrer Bildmenge zusammenfRllt.


mit zwei Fixpunkten 0, 0', und nennen wir Translationsfeld zweiter At~ ein Gebiet, das auflerhalb seines Brides ]iegt und yon zwei J0aVANschen, gescnlossenen, freien Kurven j und Tx (j) begrenzt wird. dann k0nnen wir sages:

Wenn T~ je eine Umgebung de~" zwei Punkte O, O' in entgegengesetztem Sinew dreht, dann besitzt T1 wenigstens ein (und folglicl~ u~endlich viele) Translationsf eld zweiter Art7).

Hierbei brauchen die betrachteten Umgebungen yon O, O' nicht invariant zu sein, wie es in dent ebeu gegebenen Beispiele der Fall war. Wenn aber zwei solche invarianten Umgebungen vorhanden sind, die yon ~wei JORDANSchen, geschlossenen Kurven begrenzt werden, dann stimmt der Satz mit tier folgenden, topologischen Fassung des letzten geometrischen POINCARgSChen Satzes tibereine):

Bei jeder topol~schen, indikatrixerhaltenden Abbil&~ng eines Kreis- tinges auf sich, die die Randkreise in entgegengesetztem Sinne &'eht, gibt es entweder wenigstens einen FixptmlCf oder mindestens eine (und folglich ~mendlich vide) einfache, gesehlossene, freie Kurve, die das Zentrum des Ringes einschliefltg).

Verlangt man yon der Abbildung Flachentreue, so ist der zweite Fall nicht m0glich, und man kann dann bekanntlich die Existenz yon getrennten Fixpunkten beweisen, also yon wenigstens zwei. Das hat BmKHOFF bewiesen. Er hat auch eine topologische Formulierung des POINCAR~schen Satzes gegeben, in tier er feststellt, dati entweder gar kein oder wenigstens zwei verschiedene Fixpunkte vorhanden sind ~o). Dazu mug er jedoch verallgemeinerte SCHOENFLIESSSChe Kurven anstatt JOaDANseher betrachten. AuBerdem geniigt es nicht mehr, diese Kurven als frei oder nicht frei vorauszusetzen, sondern man mug noch etwas iiber alas Schneiden dieser Kurven und ihrer Bilder hinzunehmen. Es sei darauf hingewiesen, daft bei dem BIRKHOFFsChen Satze nur wenigstens einer der beiden Randkreise invariant sein mug.

Versuchen wir, uns jetzt vorzustellen, was ffir Translationsfelder eine Abbfldung T~ mit zwei Fixpunkten O, O' haben kann. Es ist klar,

~) 0. 8co~zx DaAOoNI, Su l'ultimo teorema geometrico di Poinea,'~ (Memorie della Reale Accademia d'Italia, Bd. 7 (1936), S. 35--59), S. 35--36.

e) H. POmOAaJ~, Bur un th~or~'me de g&m~trie (Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, Bd. 33 (1912), S. 375--407), S. 377. Vgl. loc. cit. 5), S. 210.

9) DE KERI~KJART~J, The plane translation theorem of Brouwer and the last geometric theorem of Poinear~ (Acta litterarum ac scientiaru.m, Szeged, Bd. 4 (1928), S. 86-10~), S. 99. -- ScoltzA DRAOO~Ii Usa estenslone dell'ultimo teorema geomelrieo di Polncar~ (Memorie della lteale A~cademia d'Italia, Bd. 4 (1933), S. 213--269), S. 219.

10) G. D. BIRKHOFF, Proof of Poinear~'s geometric theorem (Transactions of the American Mathematical Society, Bd. 14 (1913), S. 14--2'2); An extension of Poincar~'s last geometric theorem (Aeta mathematics; Bd. 47 (1926), S. 297--311).

t~ber die fixpunktfreien Abblldungen der Ebene. 5

dali noch eine dritte Art sicher dazukomrat, Es sind dies die Gebiete. die auferhalb ihrer Bilder liegen und yon zwei einfachen, offenen Kurven c, T, (c) begTenzt werden, welche nur die Grenzpunkte O, O' gemeinsam haben. Denken wir nur an den Fall einer Drehung der Kugelfli~ehe.

Man k0nnte nun vielleicht erwarten, daft jeder Punkt aufer 0 und 0: immer in einem Translationsfelde tier ersten oder tier zweiten oder der dritten Art enthalten sein muff. Das ist aber nicht richtig. Die sehon vorher angefiihrte .~bbfldung O, besitzt nm" Translationsfelder zweiter Art, und diese liegen alle in der invarianten Kugelzone, k(~nnen also hie einen Punkt der beiden invarianten Kugelkappen enthalten ").

Im Falle der Abbildung O1 kann man leicht eine gewisse Ver- allgemeinerung des ebenen Translationssatzes angeben, hber trotzdem sieht man noch nicht klar, wie im allgemeineren FaUe zu verfahren ist. Um sich bier Klarheit zu verschaffen, ktinnte man sieh fragen, ob die allgemeine Abbildung T~ mit den Fixpunkten 0, O' Translationsfelder erster oder zweiter oder dritter Art haben muf, ohne nattirlieh zu ver- langen, daft ein passendes dieser Translationsfelder einen willkiirlich vorgegebenen yon 0, 0' verschiedenen Punkt enthielte. Auch hieriiber weir man aber noch nichts.

Wir woUen diese Frage an einem anderen Beispiele behandeh|

and eine topologisehe, indikatrixerhaltende, fixpunktfreie Abbildung ~) der Ringil~iche auf sich betraehten.

Aus To kOnnen wir eine doppeltperiodisehe, fixpunktfreie Abbildung ~, der euklidisehen Ebene (x, y) auf sieh herleiten. Es geniigt, die allgemeine Uberlagerungsflaehe tier Ringiliiehe zu betraehten.

Unter einer doppeltperiodischen Abbildung der Ebene (x, y) auf sieh verstehen wir eine Abbildung, die mit allen gew(ihnlichen Trans- ]ationen d~r Ebene

~m,n:x'~-- x-}-mp, y '~ y+nq

vertauschbar ist, wobei p, q passende reelle Zahlen (die Perioden der hbbildung) und m, n ganze Zahlen sind.

Dann gilt tier Satz: Die Abbildung to besitzt wenigstens ein Translationsfeld erstcw Art,

das yon ~wei einfachen, offenen Linien begren~t win'd, die bei einer Trans- lation 0%., h invariant sind.

Hierbei sind m~ und nl 2assende ganze Zahlen, die nicht beide gleichzeitig Null sind. Sind beide yon Null verschieden, so kann man sie prim

") ScoRzA DaAoosx, Sul teorema generale di traslacione (Rendiconti del Seminario m~tematico della R. Universit~ di Padova, Bd. 8 (1937), S. 83--91), Nr. 3.


zueinander annehmen; ist dagegen eine gleich Null, so ],'an~ ma~ die andere gleich Eins annehmenlJ).

Das ist alles, was bis heute bewiesen worden ist, und wozu wahr- scheinlich die heutigen Mittel ausreichen. Es ist jedoch einleuchtend; daft dan)it die Existenz eines Translationsfeldes zweiter Art bei einer fixpunktfreien Abbildung der Ringfi~tche auf sieh noch nicht sicher- gestellt ist.

Wir haben gesehen, daft sich in drei Beispielen die Fragen iiber topotogische, indikatrixerhaltende Abbildungen yon zweiseitigen Fli~chea auf sich in Fragen fiber topologische, indikatrixerhaltende, fixpunktfreie Abbildungen der Ebene fibersetzen lieften. Nach einer Bemerkung, die yon DE K~.R~KJART(i herrtihrtlS), gilt dies allgemein fiir Abbildungen zweiseitiger Fli~chen mit einer endlichen Anzahl yon Fixpunkten. Das empfiehlt eine gevauere Kenntnis der fixpunktfreien Abbildungen der Ebene auf sich.

Attfler den Sittzen, die z~lm Beweise des ebenen BROUWERSchen Translationssatzes und des verallgemeinerten POINCAR~schen SatZes n(Itig sind, von donen wir zusammen mit anderen eng verbundenen Resultaten spitter sprechen wollen, kennen wir zwei topologische Kennzeichnungen der gew(lhnlichen Translationen.

Die eine verdanken wir SPERNER~4), und diese besagt, daft eine fixpunktfreie, topo[ogische, indikatrixerhaltende Abbildung der Ebene auf sich einer gew(~hnlichen Translation topologisch i~quivalent is~ wenn bei ihr jeder beschrankte Bereich nur mit endlich vielen seiner Bilder Punkte gemeinsam hat. Demnach ist die schon oft betrachtete Ah- bildung ~o keiner gewtihnlichen Translation topologisch i~quivalent.

Die andere Kennzeichnung stammt yon DE I~ER~KJ/~RT6 und ist alter als die SP~.nNERsche. Betrachten wir eine topologische, indikatrix- crhaltende Abbildung t* der euklidischen Ebene auf sich. Aus ilu erhalten wir, wie wir schon gesehen haben, durch stereographische Pro- jektion eine topologische, indikatrixerhaltende Abbildung T* der Kugel- fiache auf sich. Es sei P ein Punkt der Kugelfiache, undes sei folgende Bedingung erfiillt: Fiir jedes E > 0 kann man eine Umgebung von P so finden, daft, wenn Q irgendein Punkt dieser Umgebung und ~, irgend-

t~) SCORZA DBAeO~I, Sullr traslazioni plane del Brouwer doppiamente perio- diche (Rendiconti della Reale hccademia Nazionale dei Lincei, Bd. 23, Serif. 6 (1936), S. 256--261), Nr. 1.

13) DE KER~:KJ.~RTS, Note on the general translation theorem of Brouwer (Atti del Congresso intenlazionale dei gatematiei del ~928, Zanichelli, Bologna, Bd. 4, S. 235--238), Nr. 5.

J9 E. Se~RNEt~, t~ber die fi.~7)unktfreien Abbildungen der Ebene (Abhandlunget~ arts dem Mathematischen Seminar der Hamburgisehen Universitiit~ Bd. 10 (1934), S. 1--47), w 4.

?~ber die fixpunktfreien Abbildungen der Ebene.

eine relative, ganze Zahl ist, die Bilder yon P und Q in der n-ten Potenz yon T* weniger enffemt sind als e. Dann sagen wit, daft P ein regularer Punkt der Abbildung T* ist. Ist nun T*, mit Ausnahme eines einzigen Punktes, fiberall auf der Kugelfl~iche regular, so ist t* einer gewtihnlichen Translation topologisch i~quivalent~).

bIit diesem Regulariti~tsbegriffe hat DE KEa~K~iaT6 alle linearen Transformationen einer komplexen VCriinderlichen topotogisch charak- terisiert: Eine topologische, indikatfixerhaltende Abbildung der Kugel- fli~che auf sich ist einer elliptischen, parabolischen oder hyperbolischen Transformation hom(~omorph, je nachdem die Regulariti~t in keinem, einem oder zwei Punkten gest6rt ist~6). Dabei ist zu beachten, dab hyperbolische und loxodromische Transformationen topologisch aquivalent sind.

Mit demselben Begriffe hat DE KER~KJ.~RT5 noch andere Sittze gewonnen. Wir werden nur auf die S~ttze hinweisen, welche die fiberall reglflfiren Abbildnngen der Ringfiache auf sich betreffen.

w

Von llUn au bezieheu wir uns immer auf eine feste, fixpunkffreie, topologische, indikatrixerhaltende Abbildung t der euklidisehen Ebene auf sich. Und weisen ausdriicklich darauf bin, dab alle folgenden Definitionen nur fiir diese Abbildung Sinn haben.

Die S~ttze, die wir im folgenden behandeln werden, sind im all- gemeinen in der Art angeordnet, da6 sie sich logisch auseinauder ergeben oder beweisen lassen. Ich babe jedoch mehr Wert darauf gelegt, die inhaltlich verwandten zusammenzustellen.

Translationabiigen. Zun~tchst wollen wir uns mit den sogenannten Translationsb(~gen beschttftigen.

Ist ). eine Jom)ANsche, offene Kurve, so ist )~ ein Translations- bogen, wenn

1. einer der Endpunkte, P, yon X den anderen als Bild, t (P) , hat und auflerdem, wenn

2. ). mit ihrem Bride tO,) nur den Punkt t (P ) gemeinsam hat~7).

I~) DE KERkKJ~RT0, On a geometrical theory of continuous groups (Annals of Mathematics, Bd. 27, Serie 2 (1925): S. 105--117), Nr. 10 ; Topologische Charakterisierung der linearen Abbildungen (Acta litterarum ac scientiarum, Bd. 6 (1934), S. 935--262), S. 252.

1G) DE KERI~KJ~,R~6, Topologische Charakteri$ierung der linearen Abbildungen (Aeta litterarum ac seientiarum, Bd. 6 (1934), S. 235--26~); Erg~inzung zu meinem A ufsatz: Topologische Charakterisierung der linearen Abbildungen (ibidem, Bd. 7 (1934), S r)8-59).

t~) Loe. eit. ~), S. 38.


S

Man kann die Definition noch etwas weiter fassen und sagen: I)amit it ein Translationsbogen ist, gentigt es, daft

1. wenigstens ein Endpunkt yon it Bild des anderen ist und daft 2. tier Durchschnitt von it und t (it) keinen inneren Punkt von i uud

t (it) enthalt 18). DieseDefinition k(innte unzureichend erscheinen, weft sie anscheinend

den F~ill umfa6t, dal~ it und t(it) ihre beiden Endpunkte gemeinsam haben. Man beweist aber, daft bei den yon nns betrachteten Abbildungen dieser Fall nicht eintreten kann.

Nach dieser letzten Definition ist es leicht, dutch jeden Punkt A einen Translationsbogen zu legend9), Wit legen um A eine Kreis- scheibe K omi t dem Radius e. Wenn Q geniigend klein ist, so ist K~. frei. W~tehst e stetig ins Unendliche, so muff es einmal eintreten, da~ K e nicht mehr frei ist und m i t t (Ko) nur Randpunkte gemeinsam hat. In diesem Falle sei B ein gemeinsamer Punkt yon K e und t (Ke). Die beiden Segmente t - l ( B ) A und A B bilden, zusammengenommen, einen Translationsbogen, der A enthitlt.

In einer meiner Arbeiten babe ich die Definition der Translation~,- bSgen in noch etwas weiterer Fassung, wie folgt, gegeben: Damit ~ ein Translationsbogen ist, genfigt es, daft

t. it und t(it) wenigstens einen gemeinsamen Endpm~kt haben und auBerdem, daft

2. it und t (it) keinen Punkt gemeinsam haben, tier gleichzeitig innerer Punkt yon it und t(it) ist. t t iernach kSnnte es scheinen, dab auch die folgenden drei Piill~

mtiglich waren. Ich babe jedoch bewiesen, daft diese bei den yon uns betrachteten Abbild.ungen nicht auftreten kClnnen2~

tdD) tGP)

~t) t )

/ Fig. 1.

/ Fig. ? Fig. ,'L

P Is) Loc. tit. 14), S. 8. 19) Die naehfolgende Konstruktion stammt yon H. TEa,~SAK,~, Eiu Be~ceis d,'.,

Brouwersehen ebenen Translationssatzes (Japanese Journal of Mathematics, Bd. 7 (1930), S. 61--69), S. 62. - - Vgl. aber auch loc. eit. 4), S. 45.

2o) ScoRz:~ DRAGONI, Intorno ad alcuni teore.mi sulle t,raslaziol6 pia~e (Memori~ della Reale Aceademia d'Italia, Bd. 4 (1933), S. 159--212), Nr. 11.

)

0ber die fixpunktfreien Abbildungen der Ebene. 9

Es ist mir aber gelungen, mit Hilfe dieser Definition einen Satz herzuleiten, der beim Beweise des POINCAR~.schen Satzes wesentlich ist, ni~mlich den Satz:

Die Menge der in einer JOR1)A~'Schen, offenen Kurve c enthaltcn~ 'l'r~,hslationsb6gen ist abgescldossen.

Damit ist gemeint: Die Menge der Punkte P yon c,. die zusammen mit ihre~ Bild~rp~

auf c einen Translationsbogen bestimmen, ist abgescI~lossen. Bahnkurven. Wit betrachten jetzt einen Translationsbogen ~, der

als Endpunkte P und t(P) hat. Da it und t(it) den Punkt t(P) als gemei~l.. samen Endpunkt haben, haben t -~ (it) und it beide den Punkt P a l s Endpunkt; t -~- (~) und t -1 (it) den Punkt t -~ (P); t (it) und t s (it) den Punkt t 2 (P)usw.

Die Vereinigungsmenge (~ yon it und allen seinen Bfldern ist also eine Linie, d. h. das stetige Bild einer Geraden; ~ ist in der Abbildung invariant (in sich selbst ,,versehoben"), und wit nennen es eine Bahnkurve.

Uber die Bahnkurven kennt man eine Reihe sch(/ner Satze, die wir BRouwEa verdanken.

Bis jetzt haben wir nur gezeigt, dai~ eine Bahnkurve stetiges Bild einer Geraden ist. Aber BROUWER hat weiter bewiesen, daft eine Bahn- kurve topologisches Bild einer Geraden ist, indem er zeigte, dab eine Bahnkurve eine einfache Linie ist und nicht in beliebige Nithe eines ihrer Punkte zurtickkehren kann.

Daraus folgt: I. DaB jede Potenz yon t wieder fixpunktfrei ist, weil man durch jeden

Punkt einen Translationsbogen legen kann; 2. da~ irgendein Punkt der Bahnkurve (Tz zusammen mit seinem Bilde

auf der Bahnkurve eine offene JOI~DANSChe Kurve bestimmt, die wieder ein Translationsbogen ist;

3. daft, wenn P ein Punkt yon ~ ist und s ein ihn im Inneren ent- haltender Bogen yon ax ist, so ist P kein Hitufungspunkt yon ~ - - s. Jedoch braucht eine Bahnkurve keine einfache offene Linie zu sein.

Beispiele daftir hat schon BROUWER gegeben. Etwas Derartiges kann jedoch nur auftreten, wenn t nicht einer gew(ihnliehen Translation topologisch aquivalent ist.

Fiir die gewOhnlichen Translationen ist der BaouwERsche Satz selbstverstitndlich. Wir wollen jedoch an diesem einfaclmn Falle zeige,, wie der ~Beweisgang ist.

Bei einer gewOhnlichen Translation befindet sich unter den Bahn- kurven ein Biischel paralleler Geraden. Jede yon diesen Geraden teilt die Ebene in zwei invariante ttalbebenen.

Wir greifen aus dem eben genannten Parallelenbfischel eine abzi~ht- bare Menge von Geraden heraus, die im Endlichen keine H~ufungsgerade

lO G, Scorza Dragoni.

besitzt, und derart, daft die einzelnen Elemente der Gesamtheit der ganzen relativen Zahlen so zugeordnet werden k0nnen, daft zwischen der ( i - l)-ten und der i-ten Geraden keine weitere Gerade der Menge liegt. Wit betraehten auf der /-ten Geraden zwei Punkte P/, R~§ die ein freies Segment ~i : / ~ Ri+~ bestimmen, und verbinden/~i und Pi mit einem ebenfalls freien J0aDANsChen Bogen l~, der mit der ( i ~ l ) - t e n und der /-ten Geraden nur je einen Punkt gemeinsam hat (li kann z.B. gleieh Ri Pi sein). Dann ist die einfaehe, offene Linie

�9 . . 4 , , - 1 + z o 4 , ' o 4 tl 4- ,', 4 - . . . sieher ~ei.

Dieser Gedankengang liegt allen Beweisen des ebenen Translations- satzes zugrunde. Die betraehteten parallelen Geradea werden dabei dureh passende Bahnkurven ersetzt und die invarianten Halbebenen dutch die. invarianten, an eine Bahnkurve angrenzenden Gebiete, yon welehen wir jetzt spreehen wollen.

Angrenzende Gebiete. Wir betrachten auf der Bahnkurve a einen Puakt P. Dieser teilt die Bahnkurve in zwei I-Ialhlinien: Die eine, a*, enthiilt t-~(P), die andere, a**, enthi~lt t(P). Es sei E ~ die YIenge der I-Iaufungspunkte yon a*, die nieht zu o geh0ren; E** habe dieselbe Bedeutung ffir a**. Die Definitionen von E* und E** hitngm~ nieht yon der Wahl yon P ab.

.Iede dieser beiden Punktmengen ist nieht besehri~nkt und peffekt, we~m sie nieht leer ist~'). Sie haben auflerdem keinen Pankt gemeinsam (ira Endliehen). Ihre Surame ist eine perfekte Menge, die in der Ebene endlieh viele oder h0ehstens abzahlbar unendlieh viele Gebiete bestimmt. Eins yon diesen enthiZlt die ganze Linie a (eben weil kein Punkt yon o zu E* oder E** geh0rt); es wird yon a in zwei Gebiete ~ und ~' geteilt, die invariant sind und cr-F E*+E** als gemeinsame Begrenzunghaben, und die wir die angrenzenden Gebiete yon a nennen wollen.

Jeder Punkt yon Y. kann mit jedem anderen Punkt yon 5" dutch eine J0aDANsehe Kurve verbunden werden, die die Menge a -q-E*~-E** nieht trifft. Umgekehrt: Jeder Punkt, der sieh mit einem Punkte yon dutch eine, die lgenge a q- E* -t- E** nieht treffende, JORDANSehe Kur~'e verbinden l~t/~t, geh(irt zu 2L Das ergibt sieh aus tier Definition.

Diese Umkehrung abet l~tltt sieh weiter versehi~ffen: Jeder Punkt, d e r m i t einem Pnnkte yon ~ dureh eine ~ nieht treffende, JoRoaNsehe Kurve verbunden werden kann, geh(irt zu ~t Die Begrenzung yon :~' besteht aus aq-E*q-E**, jedoeh trennt sehon a allein 2' yon den fibrigen Teilen der Ebene.

Dasselbe gilt fiir ~".

~.1) Loe cir. 4)~ S. 41.

?)ber die fixpunktfreien Abbi|dungen der Ebene. 11

Jeder Punkt von ~ ist sowohl yon ~ als yon ~" erreichbar. [}er Fundamenialaatz. Wir gehen zum Fundamentalsatze fiber

l~ahnkurven iiber. Auch diesen fiir die Anwendungen auiierordentlich wichtigen Satz verdanken wir BROUWER2t). Er lautet so:

Wenn c ei~ JOttDAlVscher Boge~ ist, der zusammen mit einem Bogen ;"

e~i~,,r Bahnkurve eine gescl~lossene, .]ORDAI~'SC]?e Kurve bildet, und wenn ;"

einen Translationsbogen als echten Tell enthiilt; dann haben c und sei~ Bild wenigstens einen Punkt gemeinsam.

Die Bedingung, daft 7 einen Translationsbogen als echten Teil enth~tlt, ist gleichbedeutend mit der Bedingung, daft das Bild eines End- punktes yon ;" mit einem inneren Punkte yon ;" zusammenfi~llt.

Im Falle einer gew6hnlichen Translation ist tier Satz ziemlich leicht zu beweisen. Wit wollen jedoch einen anscheinend noch spezielleren Fall betrachten, in dem nicht nur die Abbildung t eine gew6hnliche Translation ist, sondern auch die Bahnkurve a eine Gerade ist, und c, aui~er seinen Endpunkten, ganz in einem der beiden angrenzenden Gebiete, z. B. 2", yon ~ liegt.

Da ;, das Bild t (P) eines seiner beiden Endpunkte, P, im Inneren (~nthiilt, liegt das Bild t (Q) de.~ anderen. Q, aulierhalb w n r , Das Bild yon c liegt, abgesehen yon seinen End- punkten, in 2, auBerdem mull es t (P) m i t t (Q) verbinden, so dal] sieh c und t (c) not- wendigerweise treffen.

c L'(c)

P t ~/:'] ~ t(~) tlQ)

Fig'. 4.

Wie man aus der untenstehenden Figur ersieht, ist die Bedingung fiber die Einfachheit yon c 4- r notwendig fiir die Richtigkeit des Satzes.

C t(cl

t(Q)

Fig. 5.

Dieser Satz spielt eine Hauptrolle in tier Entwicklung der Theorie. Er kehrt beim Beweise der folgenden Vorbereitungss~tze immer wieder, die als Etappen fiir die Beweise der BROUWERschen und P01NCARt~schen Sittz, e gelten k~Jnnen.

'-'-~) Loc. cit. 4), S. 44.


Die Vorbereitungssfitze. Diese Satze sind in metriseher Form ant- gefaBt, weil diese Auffassung eine wesentliehe Vereinfaehung der Spraeh- weise erlaubt, und weil sie fiir die Anwendungen hinreiehend ist. Man ktinnte ihnei, aber leieht eine topologisehe.Fassnng geben.

Im folgenden verstehen wh" unter Translationssegment einen Tr~m~,- ]ationsbogen, der mit einem geradlinigen Segmente zusammenfa]lt.

Es sei it--=-PS ein solehes Translationssegment. Es sei ~z db" v0n it erzeugte Bahnkurve und ~'z ein angrenzendes Gebiet von a~.

Dann gibt es a~tf it wenigstens einen Punkt R so, daft entweder eine zu it senkrechte Halbgerade r mit dem tJrsprun.qe R

f r e i und, mit Ausnahme yon R, in 21 enthalten ist ; oder daft ein zu it senkrechtes Segment v ~ RS~ mit den fol,.qende~,

Eigenschaften vorhanden ist :

1. v ist, mit Ausnahme yon R , in ~x enthalten ; 2. v enthiilt einen und nut einen Translationsb~. en, itj, als echten

Tell; 3. itt soll in der Form ).~ ~ P~ S~ darstellbar sein (Erster Vor-

bereitungssatz")). Im zweiten Falle i~tllt tier Punkt P~ mit einem inneren Punkte

yon v zusammen. Das Segment l = R P t ist h:el. Die Bahnkurve az. ist ganz in $~ enthalten und hat mit I nur den Punkt Pt gemeinsam, Die Bahnkmwe r ist ganz in einem der beiden angrenzenden 0ebiete yon a~, enthalten (und hat mit I nur den Punkt /~ gemeinsam). In dieser Weise haben wir zwei Bahnkurven, die sich dureh einen freien Bogelt verbinden lassen, gewonnen.

Wenn R und v oder R und r den Bedingungen des Satzes gentigen, so sagen wir, dab R e i n ausgezeirhneter Punkt yon it, v ein ausgezeichnete.~ 8eqment and r eine ausgezeichnete Halbgerade in bezug auf das betraehtete angrenzende Gebiet yon ax sind.

Man kann noeh etwas mehr sagen. Wir betraehten alle Translationssegmente, die in einem beschrankten

Gebiete/" liegen. Ist dann it ~-- P S irgendein Translationssegment im Inneren des Gebietes r u n d ist d ~ 0 eine passend gewithlte Zah], so kl~nnen wir auf it fiir jedes der beiden an a~ angrenzenden Gebiete eine,

ausgezeichneten Phnkt R so finden, daft P R > d, R S ~ d ist, wobei (I nur yon der Wahl des Gebietes r abhangt. Noch weiter. Diese ausgezeichneten Punkte fiillen wenigstens ein ganzes Teilsegment yon it au.~.

Und jetzt der zweite Vorbereitungssatz.. Wir betraehten alle Translationsb5gen, die in einem Segmente .,"

einer Geraden enthalten sind. Diese Gesamtheit ist in dem oben erklRrte,

~3) Loc. cit. 2o), Nr..98. Vgl. aber auch DE KEI~kKJ:~RT0, lOC. cit. 9), S. 94--(.r

Ober die fixpu•ktfreien Abbildungen der Ebene. 13

~inne abgeschlossen. Man kann also den H~[NE-BORELSchen Ober- deckungssatz anwenden. Mit seiner H~fe und der des l~untlamental- ~atzes fiber Bahnkurven gelingt es zu beweisen:

Die besaqte Gesamtheit li~l~t ~ch i~ ei~e endliche A~zahl yon Klassen,

1,, (n - ~ 1, . . . . ~0,

zerle.qen. 1st )~ ir.qe~dein Element t'o'~ L,, so kann man zu~i nicht van abhangende Pankte F,, und F~ so finden, daft b~w. Fn und. F~ zn be~.q

,l~/" die beide~ an ax angrenzenden Gebiete a~ts.q~zeichnete P~nkte yon ,.i~d~).

Es sei bemerkt, da~ diese Klasseneinteilung nicht nut auf eine Wcise m0glich za sein braucht.

Der dritte Vorbereitungssatz, dessen Beweis recht sehwierig ist, gibt uns eine bemerkenswerte Eigenschaft einer Kol~figuration, die yon ). ~ P~, a~, ~).. ~: = R S t und von einer in einem inneren Punkte Q yon ,: senkrechten Geraden g gebildet ist. An die Stelle yon v kann auch eine in bezug auf ~'~ ausgezeichnete Halbgerade r treten. Wit werden den Satz zunachst ffir den Fall yon ~: und dann yon r aussprechen.

Wir brauchen dazu einige Bezeichnungen. Es sei ~ - - ~ P , S~ der in ~ enthaltene Translationsbogen, o~, die zugeh0rige Bahnkurve, 2"~, das an a~, angrenzende und a~ nicht enthaltende Gebiet, und endlich seien m~ und ~o~ die beiden einfachen ~Ialblinien, die yon R Q und je einer tier Halbgeraden yon g mit dcm U~rsprunge Q gebildet werden.

Unter diesen Voraussetzungen sind drei Fal le m0glich: Entweder ist wenigstens eine tier Halblinien ~,~,, ~,~ frei un(t. mit A~s-

nah me yon R, ganz in ~ enthalten ; oden" zweiteq~s lieqen alle in bezu.q a~ f Y.~.~ au.~geze~chneten l~nk te yon ~t

im Inneren yon R Q; oder drittens liegt au f g ein ganz in 2"z ent]~altener Transtationsbogen )~,

so daft die zu.qel~6rige Bahnkurve o~ und ~x sich mi~ einem freien JOR~)A~schen Bogen 1 verbinden la.qsen rail folgeneten Eigenschaften : l hat mit (r~ nut einen in ~ liegenden Endpunld und sonst ~:einen P~nkt, mit a~, ebe~falls nu t ei~en in ~ liegenden Endpu~kt und sonst keinen Punkt gemeinsam~a).

Tritt r an die Stelle yon ~, so ist den" zweile Fall au,~yescl~l~ssen~). Daraus folgt, daft a~., ganz in Y.z enthalten ist, wahrend az in einem

der an 6~.~ angrenzenden Gebiete liegt.

~') Loc. cit. ~o), Nr. 42. -~) Loc. cit. ~o), Nr. 52. Man darf immer annehmen, daft /~ der in ). liegende

Endpunkt yon l sei. :e) Sco~zA DRb(~OSL A proposito di un teorema fondamentale per lo studio

r traslazioni piane del Brouwer (Rendiconti del Seminario matematico dell~t R. Uni- versitit di Roma, Bd. 1, Serie 4 (1936--37), S. 110--119), Nr. 1.

14 G. Scorza Dragoni,

Man kOnnte sich nun fragen, ob n i t Rficksicht auf den drit~en Vorbereitungssatz eine ahnliche Klasseneinteilung wie im vorhergehendeu Falle m{~glich ware. Da6 die Frage zu bejahen ist, wiirde nicht schwer zu beweisen sein, wenn man den Beweis des zweiten Vorbereitungssatzes zum Vorbilde nahme. Aber der Beweis ware sehr umstandlich und die Anwendungen waren wenig elegant und vielleicht nicht einmal erforde,.- lich. Es ist mir beispielsweise gelungen, sie auch in den F~llen zu vermeiden, in denen sie, wie beim Beweise des POINCAR~:schen Satzes. notwendig ersehien. Und zwar durch die folgende Bemerkmlg:

Es sei ~ iu der xy-Ebene eine topologische. /ndil~'ah'ixer/~altende. bezi~glich x periodische Abbildung des 8treifens - -1 ~ y <1.. 1 ,~ff' sich. 1st dann die obere Grenze der zur x-Achse parallelen und in bezug a~(f O. freien Segmente unendlich, sa enthdlt der Slre~/bn minde,~ten,r ein,, freie Gerade~7),

was, in einem gewissen Sinne, ein Sonderfall sowohl des BR~)I wJ;:Rschcn wie des POINCAR~sehen Satzes ist.

w Jetzt wollen wir kurz fiber die Beweise des BRouw~nsehen und

PolNcaR~.schen Satzes sprechen, die man mit den vorbereiteten Hilfs- mitteln durehfiihren kann. Wir bemerken gleich ausdriicklieh, daft diese Hilfsmittel ffir den Beweis des BRouwEnsehen Satzes ausreichen. Fiir den POINCAR~sehen gilt dasselbe, wenn man eine Abbildung des Kreis- rings auf sich betraehtet. Will man aber den Satz iiber topologische Abbildungen einer Kugelflache auf sich mit zwei Fixpunkten in der oben ausgesprochenen Mlgemeinheit gewinnen, so sind noch einige andere I-Iilfssatze ntltig28), mit denen wir uns aber nicht beschiifligen werden.

Wit wollen noch erwahnen, daft der Gedanke des folgenden Beweises des Baouw~asehen Satzes yon DE KER~KJ~RT6 stammt ~9), da6 abet einer der sehfinsten Beweise dieses Satzes TERASAKA gehOrtS~ der SCHERRER- sche Betraehtungen vervollstandigt hat31).

Und jet.zt gehen wir weiter. Es sei eine topologische, indikatrixerhaltende, fixpunktfreie Abbil-

dung t tier euldidischen Ebene atff sieh gegeben und A ein Punkt der Ebene

27) ScoRzA Daa(~o~, loc. tit. ~), Nr. 22. 2s) Loc. tit. 7),. w 2. ~9) Loc. cir. 9). DE KEItl~KJ~.RTb verdanken wir auch den Gedankengang eim~.s

gemeinsamen Beweises des B~ouwEuschen und PoI~oARf:schen Satzes. 3o) Loc. cit. is). 31) W. SCHERmZR, Translationcn iiber einfach zusammenhdnge~de Gebietc (Viertel-

jahrschrift der Naturforschenden Gesellschaft Ziirich, Bd. 70 (1,925), S. 77--84). Die,~e Arbeit habe ich nicht einsehen kiinnen.

0ber die fixpuaktfreien Abbildungen der Ebene. 15

Wh" betrachten einen der durch A gehenden Translations~)Ogen und dtiden annehmen, daft dieser ein Translationssegment )~ = PoSo ist. Denn, bildet man einen Translationsbogen von t dureh eine topologische, indikatrixerhaltende Abbi ldungf der Ebene auf sich ab, so ist das Bild ein Translationsbogen der mit f transformierten Abbildung f - i t f . Dabei kann man f gerade so w~hlen, daft dieses Bild ein Segment ist.

Zur weiteren Vorbereitung ftihren wir rechtwinklige Koordinaten mit dem Ursprunge A ein, deren x-Axe ito enthMt und deren Einheit so gew~thlt ist, daft die Quadrate

)~: - 2 < x < 2, - - 2 < y < ~;

alle ito in, Inneren enthalten. Die Gesamtheit .4~ der rranslationssegmente, die einen Endpunkt

in V, haben, liegt in einem besehrankten Gebiete. Deshalb gibt es fiir die soeben genannte Gesamtheit -//i eine Zahl di ~ 0 mit folgender Eigen- schaft. Ist it -----= P S ein in -4i enthaltenes Translationssegment, so k0nnen wit auf it ffir jedes der beiden an ax angrenzenden Gebiete, naeh einer bestimmten Vorschrift, einen ausgezeichneten Punkt so wahlen, daft seine Entfernungen v o n P und S gr0i~er als ai sind. Diesen Punkt nennen wir den it und dem betrachteten Gebiete entsprechenden Punkt.

Wir betrachten jetzt die Geraden

Xh, )~,. mit den Oleichungen

y ~- h, x ~ h

(h relative ganze Zahl) und nennen Ih (it) die Gesamtheit aller auf Xh liegenden Translationssegmente, die wenigstens einen Punkt auf der Be- grenzung von Va haben. Dieselbe Bedeutung babe Ja (it) fiir I71,.. Ist la(it) nieht leer, so sind die Elemente yon Ia (it)in einem Segmente enthalten. Nach dem zweiten Vorbereitungssatze kOnnen wir die Elemente yon h,(it) in eine endliehe Anzahl yon Klassen

Ih,,(it), h , 2 ( i t ) , - " ", Ih,,,~(it)

einteilen. Ist 2 irgendein Element yon Ia,,()-), so k/Jnnen wit zwei feste Punkte Fh,,,, F / k,,, so ridded, datl die beiden an qz angrenzenden Gebiete je einen von ihnen als ausgezeiehneten Punkt yon it besitzen. )~hnlich definieren wir die Klassen

Jh, ~ (it), Jh, 2 (it), - . . , Jh,,, (lit) und die Punkte

Gh, x, Gh..~, " " ", Gh, v~ I -?r

16 G. 8corza Dragoni.

Naeh diesen Vorbereitungen gehen wir zur Konstruktion eines den beliebig gewithlten Punkt A enthalt~nden Translationsfeldes fiber. Dazu betrachten wir wieder alas A enthaltende Translationssegment ~to ~ Po 80. Es seien :~Zo und :~o die beiden an ~o angrenzenden Gebiete. Zunfichst wollen wir eine, mit Ausnahme des Ursprungs, ganz in ~).o enthaltene, einfache, offene, freie Halblinie 8~) d konstruieren.

Rj sei der 4o und ~o entsprechende Punkt. Es ist a/so ein ausgezeichneter Punkt yon ito in bezug auf ~o. Ist R~ Ursprung einer in bezug auf "~'~o ausgezeichneten Halbgeraden r~, so nehmen wit fiir d einfach rj. Sonst sei f~ ~--- R~ S~ das in bezug auf ~'~oausgezeichnete Segment mit dem Ursprunge R~, )~ = Pt S~ tier in v~ enthaltene Translations- bogen, ~'~, das ~o nicht enthaltende an ~, angrenzende Gebiet. R~ der

2~, ~)., entspreehende Punkt und l~ .= R ~ P ~ , v~ :-- P~.R~.

Ist R~ Ursprung einer in bezug auf 2'~, ausgezeichneten Halb- geraden r~, so setzen wit'

Sonst sei t~ := R~ S~ das in bezug auf 2"zl ausgezeichnete Segment mit dem Ursprunge Rj, k s - - P ~ $2 der in z~ enthaltene Translationsbogen, -~. das az, nicht enthaltende an az, angrenzende Gebiet. R8 der it~ und 2).. entsprechende Punkt und li = R2 P2, v~ : Pg Rs.

Ist Rs Ursprung einer in bezug auf ~ : ausgezeichneten Halb- geraden rs, so setzen wir

d = 1,4-,,,41~4-,,0.4r.~.

Sonst sei ts ~ Rs Ss das in bezug auf ~z~ ausgezeiehnete Segment mit dem Ursprunge Rs usw.

Wit setzen dieses Verfahren fort. Dann treffen wir entweder eine ausgezeiehnete Halbgerade, und damit sind wir fertig. 0tier naeh einer endliehen Anzahl yon 8ehritten erhalten wir sieher ein ausgezeiehne~s Segment ~r~ = R~ 8 , dessen Ursprung R~ noeh im tnneren, w/~hrend ,~ auBerhalb des Quadrates V~ liegt.

Dann wenden Wir den dritten Vorbereitungssatz auf )~_~, t~ und auf die Gerade g an, die die ~i sehneidende Seite yon 171 enthalt.

Entweder alle in bezug auf 2~z, ausgezeiehneten Punkte von ,~ liegeu auf derselben Seite von R~ bezfiglieh g. In diesem Falle setzen wit unser Verfahren fort. 0der wir erhalten eine einfaehe, offene, freie und mit Ausnahme ihres Ursprungs Ri ganz in :~z,_, enthaltenen Halblinie ~. Dann setzen wir

d :-= 1 ,4 -v ,~ - . . . 4 1 ~ - ~ 4 v i - ~ 4 , , .

.~2) Jede einfache, offene Linie wird durch einen beliebigen ihrer Punkte ill zwei einfache, offene Halb|inien geteilt.

Uber die fixpunktfreien Abbildungen der Ebene. 1~

0der es gibt einen auf g liegenden, in 2~,-1 enthaltenen Translations-

bogen ~t} ~ Pi'S', dessert Bahnkurve ~; sich mit ~,-1 durch einen freien

JORDANSCheU Bogen li verbinden lttflt, der R~ und einen Punkt Qi yon ~t~ als Endpunkte hat. Aul~erdem hat /~ mit ~,_1 nur den Punkt R~, mit ~t:

nur den Punkt Qi gemein. Danu sind zwei F~ille mOglich. Entweder hat ~t} mit VI keinen Punkt

gemeiilsam. ]:)ann setzen wir unser Verfahren fort, auch wenn ~t} die Begrenzung eines der Vk trifft. 0der ~ hat mindestens einen Punkt mit der Be~enzung yon V1 gemein. .q ist aber eine der Geraden X+I, ~ 1 . Der Einfachheit halber sei g-----X1. I)ann geht~rt ~t} zu einer del Klassen II,,,(~t), z.B.L.~(~t). In diesem Falle wtthlen wir fiir R i§ entweder F~.~ oder F~',~, je nachdem F~,z oder F~',, ausgezeichneter Punkt desjenigen angrenzenden Gebietes yon o~, : ~ , ist, das ~,_~ nicht enthitlt, und wir gehen weiter mit unserem Verfahren.

Dieses Verfahren setzen wir fort und wenden den dritten Vor- bereitungssatz jedesmal an, wenn wir ein ausgezeichnetes Segment ~j erhalten, das die Begrenzung mindestens eines Vk schneidet. Unter diesen Irk w~thlen wir dasjenige mit kleinstem Index und diejenige seiner yon ~j geschnittenen Seiten, die Rj am nttchsten liegt.

Sollte es bei diesem Verfahren eintreten, daft wir ein auf Xh oder Yh liegendes in Ih (~t) oder Jh (~t) enthaltenes Translationssegment ~tj erhalten, so wiihlen wir fiir Rj+I unter den Punkten F~,n, Fh',n, G~,~, G~,,~ einen passenden aus.

So gewinnen wir nach einer endlichen Anzahl oder nach einer unendlichen Anzahl von Schritten eine einfache, offene, mit Ausnahme ihres Ursprungs R~, ganz in :~o enthaltene, freie Halblinie, die wir fiir d nehmen k0nnen.

Mit. demselben Verfahren gewinnt man eine einfache, offene, mit Ausnahme ihres Ursprungs R_~ ganz in :~o enthaltene, freie Halbliuie d'.

R~ und R-1 sind beide ausgezeichnete, also innere Punkte yon ~ . Setzen wir ro ~ R-1 R~, so ist ro ein freies Segment.

Die einfache, offene Linie

L d'4 o -d

ist wieder frei. Sie und ihr Bild t (L) bestimmen ein Translationsfeld .4. Hier sind drei F~tlle m0glieh: 1. Entweder geh0rt A zu ,4 oder

2. zu t -~ (J) oder 3. zu L. In den ersten beiden F~llen sind wit fertig. Im dritten genfigt es, auf L eine zweckentsprechende Deformation aus- zuiiben, um den Translationssatz als wahr zu erkennen. Daft man eine solche Deformation immer angeben kann, ist nicht schwierig zu beweisen.

Der hier angegebene Beweis konnte einfacher dargestellt werden. Die Heranziehung des zweiten Vorbereitungssatzes ist unn0tig. Nach

18 O. Scorza Dragoni.

einer neuerlichen Bemerkung "-n DS KERI~KJt(RT(~ kann man auch die Anwendung des dritten Vorbereitungssatzes vermeiden s~). Ich habe aber vorgezogen, die vorgetragene Konstruktion anzugeben, weil wir jetzt imstande sind, fast unmittelbar den Beweis des POINCAa~.schen Satzes iiber die topologischen Abbildungen des Kreisringes auf sich zu geben.

Zu diesem Zwecke fassen wir den Satz folgendermafien: Ist in der xy-Ebene ,9 eine topologische, i~dikatrixerhaltende, f ix-

pm~kt fi'eie Abbildung des "Strei f ens

- - ~r < x<~ -+- ~c, - - l ~ y ~ l

a ~ f sich, die be2iiglich x periodisch mit der Periode 2 7~ ist und die die beiden Geraden y --= 1, y ~ - - 1 in entgegengesetztem Single in sich rer- schiebt, so besitzt ,9 ein Translationsfeld, das sich dutch die gew6hnl/che Translation x' ~ x + 2 ~ , y' ~ y in sich selbst iibe~'ihren lii,flt.

Wir erweitern ,9 zu einer topologischen, fixpunktfreien, indikatrixerhaltenden, beziiglich x periodischen Abbildung der Ebene ~auf sich yon der Periode 2 z , die wir wieder a nennen wollen.

Wie wir schon gesagt haben, diirfen wir annehmen, daft die zur x-Achse parallelen, freien Segmente eine endliche obere Grenze a haben. Wir wiihlen die ganze Zahl fl so, daft

ist und bezeichnen das Quadrat

- - 2 k f l u ~ x < 2 k f l z , - - 2 k B r ~ ~ y ~ 2 k B z ( k = 1 , 2 . . . . )

mit Wu. Danu teilen wir die Translationssegmente, die auf den Geraden

Y h : x = 2 h S z (h = O, +__'l, ~ 2, . . .)

liegen und mit dem Streifen ~ x i < + ~ , I Y < 1 Punkte gemeinsam haben, ill eine endliehe Anzahl yon Klassen ein, Khnlieh wie im vorhergehenden FalleS4).

Diese Einteilung nehmen wir so vor, da~ die Klassen auf den beiden Geraden Yo, Yh, bei der gewfhnliehen Translation x ' - ~ - x + 2h/~Tr, y' --=-- y ineinander iibergehen.

Bei der Wahl des ~t und ~ entsprechenden Punktes kOnnen wir so vorgehen, daft, wenn ~t und ~ durch die gewOhnliche Translation x'.----- x + 2 ~ , y' ~ y in ~t' und ~ . iibergehen, dasselbe ffir den ~t und 2~

3~) DE KERI~.KJ,ILRT0, Sur la structure des transformations topologiques des sur- faces en elles-m~mes (Enseignement mathdmatique, Bd. 35 (1936), S. 297--316), S. 305.

al) Man beachte, dab man bei der Erweiterung yon 0 immer so vorgehen kann, dal~ jedes auf Ya liegende Translationssegment yon der erweiterten # mit dem eben genannten Streifen einen Punkt gemeinsam hat.

~ber die fixpunktfreien Abbildungen der Ebene. 19

entspreehenden Punkt gilt, der also in den ~' und 2z, entspreehenden Punkt fibergehen soll.

Ganz ahnlich gehen wir bei der Wahl der ausgezeichneten Punkte aller Elemente, die zu einer der den Geraden Yh entsprechenden Klassen gehtiren, vor.

Dann wi~hlen wir ftir ~o ein den Punkt R~ ~--- (0 , - 1) im Inneren enthaltendes, auf der Geraden y : - - 1 liegendes Translationssegment, so daft, bei der Abbildung 5 ~, a~ o die Gerade y = - -1 ist. Wir nenneh

-~'~o das die Punkte mit y ~ - l enthaltende an aXo angrenzende Gebiet.

Dann ist R1 in bezug auf :~x, ausgezeichneter Punkt von ;to, und

wir k(innen die friihere Konstruktion wieder aufnehmen, indem wir Vk dureh Wk ersetzen35).

So erh~tlt man eine mit Ausnahme des Ursprungs R~ ganz im Inneren des Streifens x '; ~ ~ ~c, I Y: ~ 1 enthaltene, offene, einfache, freie Halblinie d, die, abgesehen von einem Anfangsstfick, beziiglich x

die Periode 2 3 ~ hat, wobei /~ eine passende natfirliehe Zahl ist. Aus einem solehen d kann man, wie schon DE KER~:KJART5 bemerkt hat, sehr leieht eine einfache, offene, freie, im Streifen I x i --~ -}- or, ] y i ~ 1 enthaltene Linie bekommen, die beziiglich x die Periode 2 z hat.

Somit ware der POINCARgsche Satz bewiesen. Beim Beweise des verallgemeinerten P01NCAn~.schen Satzes kann

man die Abbildung der Kugelfi~tche auf sich durch eine Abbildung des Streifens [xl < -}-Qr !Yi ~ 1 auf eine bei der Translation x' = x ~ 2 ~ y'=y invariante Punktmenge ersetzenS~). Es sind jedoch, wie wir schon gesagt haben, noch einige Hilfssittze ntitig, die dazu dienen, zu beweisen, daft die Halblinie d, die man durch die vorhergehende Kon- struktion gewinnt, immer im Streifen [ x I "~ �9 ~ , ! y I ~ 1 enthalten ist.

Im Gegensatz zu unserer Bemerkung beim Beweise des BaOUWER- schen Translationssatzes seheint die tteranziehung des zweiten und dritten Vorbereitungssatzes jetzt erforderlich zu sein. Man kSnnte jedoch den dritten vermeiden, wenn sich der zweite auf alle in einem Quadrate enthaltenen, zu einer festen Geraden parallelen Translationssegmente iibertragen lieBe.

Diese Gesamtheit yon Translationssegmenten ist aber nieht abgeschlossen in dem Sinne, daft die Menge ihrer Endpunkte nicht abge- sehlossen ist. Man muB sich also erst eine genauere Kenntnis fiber die Segmente, Fasttranslationssegmente, die Hi~ufungselemente dieser Oesamt-

3~) Da man diesmal keine der Geraden y ~ 2 fl h ~ (h ---- +_ l, +2, ...) trifft, haben wit die oben vorgenommene Klasseneinteilung der auf diesen Geraden liegenden Trans- lationssegmente vermeiden k(innen.

36) Vg]. Ioc. cit. 7), Nr. 1 und 2.

20 G. Seorza Dragoni.

heit siad, versehaffen. In dieser Riehtung hat man zwar einige Ergeb- nisse erhalten87), aber diese genfigen noeh nieht.

Es ist zweekmaBig, die Definition der Fasttranslationssegmente etwas allgemeiner zu gestalten. Wir ffihren diesen Begriff folgendermafien ein: Es ist

t~ = P S ,

rait S = t (P), ein Fasttranslationssegment, wenn man ftir jedes ~ ~ 0 einen Translationsbogen it so angeben kann, daft sieh it so atff t~ homOo- morph abbilden lafit, dab die Entfernungen ent- spreehender Punkte immer < �9 sind. Dann ist die t-2(p~ entspreehende Fastbahnkurve ~/, die Vereinigungs- menge

. . . 4 O t, 4 tO,) 4 . . . .

t )

~ Fig. 6.

i p A t (~.~ t fz,]

Diese Fasttranslationsseg- mente, die entspreehenden Fast- bahnkurven und die an eine solehe angrenzenden Gebiete hat man nun studiert. Dabei haben sieh fiir/, vier mtigliehe Falle ergeben.

Der erste Fall ist dureh ein Translationssegment gegeben. Die drei restliehen Falle wollen wir in den Figuren 6--8 sehetnatiseh dar- stellen.

Fig. 7.

Fig. 8.

a7) SCORZA DRAGON1, Sugl i archi di traslazione di un automorfismo piano e sulle loro curve di accumulazione (Memorie 'della Reale heeademia d'Italia, Bd. 9 (1937), S. 1--75).

~ber die fixpunktfreien Abbildungen der Ebene. 21

In Fig. 6 haben wir zwei Translationssegraente, A t (.4) und Bt (B) Die an die zugeh0rigen Bahnkurven angrenzenden, P und t(P)nieht enthaltenden Gebiete nennen wir die an die Fastbahnkurve ~t~ angrenzenden Gebiete.

In Fig. 7 haben wir nur ein Translationssegment 2 ----- A t (A). Das angrenzende Gebiet seiner Bahnkurve, das P und t(P) nicht enthttlt, liefert uns ein angrenzendes Gebiet you ~,, wtthrend man das zweite in folgender Weise gewinnt. Man betrachtet einen Kreis K, dessert Mittelpunkt im Inneren yon ~ liegt und der so klein ist, da5 er mit t -1(/~), t ~), t -2 (~), t ~ (/~), �9 .. keinen Punkt gemeinsam bat. Das ist immer m0glich. Es set C ein innerer Punkt yon K, der weder auf ~, noch in dem eben definierteu, an cry, angrenzenden Gebiete lieut. Alle Pankte, die sich mit C durch einen ~/~ nicht tref[enden JORDA~SChen Bogen verbinden lassen, bilden das zweite an a/, angrenzende Gebiet. Da6 solch eine Punktmenge ein echtes Gebiet ist, halte ich fiir wahr- scheinlieh, jedoch ist es noch nicht bewiesen. Ftir den Augenblick kann man sich damit begniigen, an ihrer Stelle die Menge deljenigen Punkte zu betrachten, die sich mit C durch JOaDANSChe BOgen verbinden lassen, deren siimtliche Punkte eine positive Entfernung yon ~,, haben.

Der vierte Fall l~tBt sich auf den vorhergehenden zuriiekftthren, weil B t(B) ein Fasttranslationssegment derselben Art ist wie Pt(P) in Fig. 7.

Man miifite jetzt den Baouw~.aschen Fundamentalsatz fiber die Bahnkurven und den ersten Vorbereitungssatz in passender Weise auf die Fastbahnkurven iibertragen. Dann wttre die gesuchte VeraUgemei- nerung des zweiten Vorbereitungssatzes wahrseheinlich leieht zu gewinne~, und damit wiirde auch der Beweis des BROUWERSehen und PoI~cAR~schen Satzes auSerordentlich durchsichtig.

Namrlieh diirften neue Schwierigkeiten den Beweis der Vor- bereitungss~tze nicht zu sehr erschweren. Anderenfalls wiirde die Erweiterung des zweiten Vorbereitungssatzes nur dann yon Wert seiu, wenn er sich als ein wirksames Hilfsmittel bet weiteren Untersuehungen tiber die hier behandelten Fragen verwenden liel~e. Aber in dieser Hinsicht wage ich keine Vermutung zu ttul~ern.

Es set noeh folgendes bemerkt: Die schon bekannten Stttze fiber Fastbahnkurven sind mit Hilfe der entsprechenden Stttze fiber Bahn- kurven gewonnen. Es w~tre zweekm~t~ig, ein Beweisverfahren aus- zuarbeiten, das gemeinsame Beweise fiir m5glichst viele S~tze iiber Bahn- und Fastbahukurven gestattet, u~n auf einem kiirzeren Wege zum Ziele zu gelangen.

Documents

Über die fixpunktfreien Abbildungen der Ebene