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4 - 37 Comportamiento Grfico y Problemas de Optimizacin
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIN (2)
Sugerencia para el profesor Resolver en el pizarrn los
siguientes problemas, solicitando la intervencin de los
alumnos en cada uno de los pasos a seguir.
Procedamos a resolverlo: v(r) = k (R r) r2, v(r) = k (R r2-
r3)
1. )32( 2rrRkdrdv
=
2. k (2R r 3r2) = 0.
3. 2R r 3 r2 = r(2R 3r) = 0; r1 = 0; 2R 3r = 0; r2 = R32
4. )62(22
rRkdr
vd=
5.
=
RRkRv3262
32
" = k(2R 4R) = - 2kR < 0, porque k y R son positivas.
6. La velocidad del aire expulsado v(r) tiene un mximo cuando r
= R32
.
Ejemplo 1 Problema de la tos Cuando alguien tose, la trquea se
contrae
violentamente, lo que afecta de modo directo a la velocidad del
aire expulsado a travs de ella. Si la velocidad del aire durante
una tosida se puede expresar v(r) = k (R r) r2, donde k es una
constante positiva que depende de la persona, R es el radio normal
de la trquea y r el radio durante el golpe de tos, qu valor del
radio r producir la mxima velocidad del aire expulsado?
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4 - 38 Comportamiento Grfico y Problemas de Optimizacin
Resolvmoslo:
1. ( )2323
27)3(3)27(3
t
ttt
dtdC
+
+= = ( )23
33
279381
t
tt
+
+ = ( )23
3
27816
t
t
+
+
2. ( ) 027681
23
3
=
+
t
t;
227
6813
=
=t ; 32
27=t .
3. 3811.22
273 ==t .
Obtener la segunda derivada resulta un proceso largo, probemos
el criterio de la primera derivada.
4. t = 2.3811 divide al eje X en dos intervalos: ( )3811.2, y (
),3811.2 Pasos 5 y 6.
Intervalo ( )3811.2, ( ),3811.2 Valor de t 2 3
Valor de C(t) 0269.01225
33= 02777.0
291681
=
Signo de C(t) + -
2. C(t) tiene un mximo en t = 2.3811 horas = 2 h 22 min 51
seg
Ejemplo 2 Problema del medicamento La concentracin C de un
medicamento en la
sangre, despus de t horas de inyectado en tejido muscular, se
expresa como 327
3)(t
ttC
+= . Para
qu valor de t la concentracin C en la sangre es mxima?
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4 - 39 Comportamiento Grfico y Problemas de Optimizacin
venta = (precio de primera) (y) +
primeradeprecio21 (x). Sea p el precio de
la tonelada de acero de primera.
La funcin que necesitamos optimizar es: pxx
xpxV21
10540)( +
=
1. ( ) ppxxx
dxdV
21
10)1)(540()10)(5(
2 +
= = ( ) =+++ pp
x
xx
21
10540550
2
( ) ppx 21
1010
2 +
= ( )
+
21
1010
2x
p
2. 021
)10(10
2 =
+
xp ; ( ) 2
110
102 =
x; (10 x)2 = 20; 100 20x + x2 = 20;
x2 20x + 80 = 0; 2
8020)1(2
)80)(1(4)20(20 2 =
=x
3. x1 = 14.47, x2 = 5.52
4. V(x) = dxd (p (-10 (10 x)-2+
21 ) = p (20 (10 x)-3(-1)) = ( )310
20x
p
.
V(14.47) = ( )347.141020
p= 0.2239 p > 0, porque p es positivo. Por lo tanto es un
mnimo.
V(5.52) = ( )352.51020
p= - 0.2224 p < 0, porque p es positivo. Por lo tanto es
un
mximo.
Ejemplo 3 Problema del acero Una planta productora de acero
puede producir x
toneladas de acero de segunda clase al da y y toneladas de acero
de primera clase al da. La relacin entre x y y est dada por la
expresin
x
xy
=
10540
. Si el precio de venta del acero de
segunda es la mitad del de primera, qu cantidad de acero de
segunda clase le da a esa planta la venta mxima?
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4 - 40 Comportamiento Grfico y Problemas de Optimizacin
La planta obtiene la mxima ganancia produciendo 5.52 toneladas
de acero de segunda clase al da.
La funcin que queremos optimizar es A = Acrculo + Acuadrado 22
xrA += pi ....... (2)
Con el propsito de que A dependa slo de una variable, por
ejemplo r, despejaremos x en (1) y la sustituiremos en (2).
De (1): 421 r
xpi
= , as que ahora 2
2
421)(
+=
rrrA pipi
Procedemos a resolverlo:
1. =drdA
2pi r + 2
42
421 pipi
= 2pi r + 16
84 2rpipi + = 2pi r -
24
2rpipi
+
2. 024
22
= rrpipi
pi ; 2r - 24
1 rpi+ = 0; 8r 1 + 2pi r = 0; r (8 + 2pi) = 1;
3. pi28
1+
=r
4. 2
22
2
2 pipi +=
drAd
= 16.1527 > 0, constante positiva.
Ejemplo 4 Problema de la varilla Se tiene una varilla de un
metro de longitud para
hacer un crculo y un cuadrado. Cmo debe cortarse la varilla para
que la suma de las reas de las figuras construidas sea mxima? Y
para que sea mnima?
r
x
1 m 2 rpi 4x
Llamemos r al radio del crculo y x al lado del cuadrado. La suma
de los permetros:
mxr 142 =+pi ..(1) El rea del crculo ser A = pi r2 El rea del
cuadrado ser A = x2
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4 - 41 Comportamiento Grfico y Problemas de Optimizacin
5. A(r) tiene un mnimo absoluto en pi28
1+
=r , es decir, un crculo de radio
pi281
+=r m y un cuadrado de lado
421 r
xpi
= = 0.14 m producen el rea mnima.
6. Acrculo = 2
281
+ pipi = 0.015399 m2; Acuadrado =
2
2821
161
+
pi
pi = 0.019606
La funcin A(r) es cncava hacia arriba en todo su dominio, tiene
un mnimo absoluto, sin embargo en los valores extremos permitidos
para r, A(r) tiene mximos relativos, el mayor de ellos, si lo hay,
ser el mximo relativo de la funcin en ese intervalo.
Cul es el menor valor que puede tomar r? r = 0
El mayor valor que puede tomar r es pi21
=r , por qu?
Porque 2pi r = 1 m
De manera que pi210 r
Evaluamos A(r) en cada extremo del intervalo y tomamos el mayor,
si lo hay.
A(0) = pi (02) + 161 (1 - 2pi(0)) =
161
= 0.0625 m2
22
2121
161
21
21
+
=
pipi
pipi
piA =
pi41
= 0.0795 m2
Para este valor del radio, el lado del cuadrado es cero.
El valor mximo de A(r) sucede cuando pi21
=r , por lo tanto no hay que
cortar la varilla, slo doblarla para formar el crculo.
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4 - 42 Comportamiento Grfico y Problemas de Optimizacin
Esta grfica corresponde a la funcin con que hemos trabajado:
A la derivada del costo se le llama costo marginal.
1. C(x) = - 10 x-2+ 100
102002
2x
x
x+= .
2. 0100
102 =+
x
x
3. 210
100 xx
= ; x3 = 1000; 3 1000=x ; x1 = 10.
4. =22
dxCd 20 x-3 +
1001
=
100120
3 +x
5. C(10) = 1000
301000
1020100
11020
3 =+
=+ > 0
Ejemplo 5 Problema del costo Un economista determin que el costo
de
producir x artculos diarios, para cierta empresa, es
20010100)(
2x
xxC ++= .
Cuntos artculos diarios deben producirse para que el costo de
produccin sea mnimo?
00.020.040.060.080.1
0.120.140.160.180.2
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
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4 - 43 Comportamiento Grfico y Problemas de Optimizacin
C(x) tiene un mnimo cuando x = 10.
=++=200100
1010100)10(C 101.5 artculos.
La empresa debe producir 101.5 artculos diarios para minimizar
el costo de produccin.
2. Determina el radio y la altura del cilindro de volumen mximo
que puede inscribirse en una esfera de 5 cm de radio. Calcula
tambin el volumen mximo.
3. Una compaa de televisin por cable sabe que obtiene una
ganancia de $15 por cada cliente, si tiene 1000 clientes o menos en
cada seccin. Si hay ms de 1000 clientes, la ganancia disminuye un
centavo por cada cliente que pasa de 1000. Cuntos clientes por
seccin le producen la mxima ganancia?
Ejercicio El estudiante resolver los siguientes
problemas de optimizacin. 1. Un granjero necesita cercar una
zona
junto al ro. Si dispone de 1000 m de malla ciclnica, qu
dimensiones debe darle a la zona cercada para que su rea sea mxima?
El lado que queda junto al ro no requiere malla.
