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mariano-rodriguez
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Estadistica Distribucion de Probabilidad
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Chap 5-*Captulo 5
Distribuciones Tericas de Probabilidad. (Variables Discretas)Estadstica
Chap 5-*Objetivos de aprendizajeEn este captulo aprender; Las propiedades de las distribuciones de probabilidadCalcular el valor esperado ,y, varianza de una distribucin de probabilidadCalcular la covarianza, y ,su aplicacin en finanzasCalcular probabilidades de la binomial, hipergeomtrica y Poisson Como usar la binomial, hipergeomtrica y, Poisson para resolver problemas de negocios
Chap 5-*Introduccin a las Distribuciones deto ProbabilidadVariable AleatoriaRepresenta a un posible valor numrico para un evento posible
Variables AleatoriasDiscretas VariableAleatoriaContinuaVariableAleatoriaC05C06
Chap 5-*Variables Aleatorias DiscretasPuede asumir solo valores numricos que proceden de un conteo
Ejemplos:
Arrojar un dado dos vecesSea X el numero de veces que aparece el 4 (X puede tomar valores 0, 1, 2)
Arrojar 5 veces una moneda. Sea X el numero de caras (luego X = 0, 1, 2, 3, 4, o 5)
Chap 5-*Experimento: Arrojar 2 Monedas. Sea X = n de caras.TTProbabilidad de Distribuciones Discretas4 posibles resultadosTTHHHHDistribucin de Probabilidad 0 1 2 X X Valor Probabilidad 0 1/4 = 0.25 1 2/4 = 0.50 2 1/4 = 0.250.500.25 Probabiidad
Chap 5-*Variables Aleatorias Discretas (Medidas de Resumen)Valor Esperado (o media) de una distribucin discreta(tambin llamado promedio ponderado)
Ejemplo: Arrojo 2 monedas, X = n de caras, calcular el valor esperado de X: E(X) = (0 x 0.25) + (1 x 0.50) + (2 x 0.25) = 1.0 X P(X) 0 0.25 1 0.50 2 0.25
Chap 5-*Varianza de una variable aleatoria discreta
Desvo estndar de una variable aleatoria discreta
donde:E(X) = Valor esperado de una variable aleatoria discreta X Xi = el iesimo resultado de XP(Xi) = Probabilidad de la iesimo ocurrencia de X(continua)Variables Aleatorias Discretas (Medidas de Resumen)
Chap 5-*Ejemplo: Se arrojan 2 monedas, X = # de caras, calcular la desviacin estndar (E(X) = 1)Variable aleatoria discreta Medidas resumen (continua)Numero posible de caras = 0, 1, o 2
Chap 5-*La covarianzaLa covarianza mide la intensidad de la relacin entre dos variablesLa covarianza:
donde:X = variable discreta XXi = el iesimo resultado de XY = variable discreta YYi =el iesimo resultado de YP(XiYi) = probabilidad de ocurrencia del iesimo resultado de X y el iesimo resultado de Y
Chap 5-*Calculo de la media y del retorno de la inversinRetorno por $1,000 para dos tipos de inversin Fondo Pasivo X Fondo Agresivo Y 0.2 Recesin - $ 25 - $ 200 0.5 Economa estable +$ 50 +$ 60 0.3 Economa Expansiva +$ 100 +$ 350 InversinE(X) = X = (-25)(0.2) +(50)(0.5) + (100)(0.3) = 50E(Y) = Y = (-200)(0.2) +(60)(0.5) + (350)(0.3) = 95P(XiYi) Condicin econmica
Chap 5-*Calcular el desvo estndar para el retorno de inversin Fondo Pasivo X Fondo Agresivo Y 0.2 Recesin - $ 25 - $ 200 0.5 Economa estable +$ 50 +$ 60 0.3 Economa Expansiva +$ 100 +$ 350 InversinP(XiYi) Condicin econmica
Chap 5-*Calculo la covarianza para retorno de inversin Fondo Pasivo X Fondo Agresivo Y 0.2 Recesin - $ 25 - $ 200 0.5 Economa estable +$ 50 +$ 60 0.3 Economa Expansiva +$ 100 +$ 350 InversinP(XiYi) Condicin econmica
Chap 5-*Interpretando los resultados del retorno de una inversinEl fondo agresivo tiene un retorno esperado mas alto, pero mucho mayor riesgo
Y = 95 > X = 50 peroY = 193.71 > X = 43.30
La covarianza de 8250, indica que las dos inversiones estn positivamente relacionados y varan en la misma direccin
Chap 5-*La suma de dos variables aleatoriasEl valor esperado de la suma de dos variables aleatorias:
Varianza de la suma de dos variables aleatorias
Desviacin estndar de la suma de dos variables aleatorias:
Chap 5-*Retorno esperado del Portfolio y Riesgo del Portfolio El retorno esperado del Portfolio (retorno promedio ponderado):
Riesgo del Portfolio (variabilidad ponderada)
donde w = porcentaje del activo X en el portfolio (1 - w) = porcentaje del activo Y en el portfolio
Chap 5-*Portfolio Ejemplo Inversin X: X = 50 X = 43.30 Inversin Y: Y = 95 Y = 193.21 XY = 8250
Supongamos 40% del portfolio est en la Inversin X y 60% en la Invesin Y:
El retorno del portfolio y la variabilidad del portfolio entre los valores para las inversiones en X e Y
Chap 5-*Distribuciones de ProbabilidadDistribuciones de Probabilidad ContinuasBinomialHipergeomtricaPoisonDistribuciones deProbabilidadDistribuciones de Probabilidad Discretas NormalUniformeExponencialC 5C 6
Chap 5-*La Distribucin Binomial BinomialHipergeomtricaPoissonDistribuciones deProbabilidadDistribuciones de Probabilidad Discretas
Chap 5-*Distribucin de Probabilidad BinomialUn numero finito de observaciones, np.ej.,15 lanzamientos de una moneda; 10 tubos de luz tomados de un depositoDos eventos mutuamente excluyentes y con categoras exhaustivasp.ej., cara o cruz en cada tirada de una moneda; defectuoso o no defectuoso tubos de luzGeneralmente llamados xitos y fracasoProbabilidad de xito es p, probabilidad de fracaso es 1 pProbabilidad constante para todas las observacionesp.e., Probabilidad de obtener una cara en cada lanzamiento de una moneda
Chap 5-*Distribucin de Probabilidad Binomial (continua)Las observaciones son independientesEl resultado de cada observacin no afecta, al resultado de otroDos mtodos de muestreoPoblacin Infinita sin reemplazoPoblacin finita con reemplazo
Chap 5-*Algunos ejemplos de la distribucin Binomial Una fbrica que produce tems aceptables o defectuosos.Una firma de acuerdo a que firme contrato o no.Una firma de investigacin en marketing de encuestas, cuyas respuestas son: Si, yo voy a comprar o, No , no voy a comprar.Nuevos procesos de trabajo en las que acepto o rechazo los mismos.
Chap 5-*La Regla de CombinacionesEl numero de combinaciones de elegir X objetos de n objetos es: donde:n! =(n)(n - 1)(n - 2) . . . (2)(1)X! = (X)(X - 1)(X - 2) . . . (2)(1) 0! = 1 (por definicin)
Chap 5-*P(X) = probabilidad de X xitos en n pruebas con probabilidad de exito p, constante para cada prueba
X = numero de sucesos en la muestra, (X = 0, 1, 2, ..., n) n = tamao de la muestra (numero de observaciones de las pruebas) p = probabilidad de suceso o xito P(X)nX !nXp(1-p)XnX!()!=--Ejemplo: Arrojo una moneda cuatro veces y obtengo x = # caras:n = 4p = 0.51 - p = (1 - 0.5) = 0.5X = 0, 1, 2, 3, 4Formula de la Distribucin Binomial
Chap 5-*Ejemplo: Calculando la Probabilidad BinomialCul es la probabilidad de un xito en cinco observaciones, si la probabilidad de xito es .1? X = 1, n = 5, y p = 0.1
Chap 5-*n = 5 p = 0.1n = 5 p = 0.5Mean 0.2.4.6012345XP(X).2.4.6012345XP(X)0Distribucin BinomialLa forma de la distribucin binomial depende de los valores de p y nAqu, n = 5 y p = 0.1Aqu, n = 5 y p = 0.5
Chap 5-*Caractersticas de la Distribucin BinomialMedia
Varianza y desviacin estndardonden = tamao de la muestrap = probabilidad de xito(1 p) = probabilidad de fracaso
Chap 5-*n = 5 p = 0.1n = 5 p = 0.5Mean 0.2.4.6012345XP(X).2.4.6012345XP(X)0Caractersticas de la BinomialEjemplo
Chap 5-*Utilizando la tabla de la Binomial Ejemplo: n = 10, p = 0.35, x = 3: P(x = 3|n =10, p = 0.35) = 0.2522n = 10, p = 0.75, x = 2: P(x = 2|n =10, p = 0.75) = 0.0004
n = 10xp=.20p=.25p=.30p=.35p=.40p=.45p=.500123456789100.10740.26840.30200.20130.08810.02640.00550.00080.00010.00000.00000.05630.18770.28160.25030.14600.05840.01620.00310.00040.00000.00000.02820.12110.23350.26680.20010.10290.03680.00900.00140.00010.00000.01350.07250.17570.25220.23770.15360.06890.02120.00430.00050.00000.00600.04030.12090.21500.25080.20070.11150.04250.01060.00160.00010.00250.02070.07630.16650.23840.23400.15960.07460.02290.00420.00030.00100.00980.04390.11720.20510.24610.20510.11720.04390.00980.0010109876543210p=.80p=.75p=.70p=.65p=.60p=.55p=.50x
Chap 5-*La Distribuci de PoissonBinomialHipergeomtricaPoissonDistribucin de ProbabilidadDistribucin de Probabilidad Discreta
Chap 5-*La Distribucin de PoissonSe aplica la Distribucin de Poisson cuando:Se desea contar el numero de veces en que ocurra un evento en una determinada rea de oportunidadLa probabilidad que un evento ocurra en un rea de oportunidad, es la misma para todas las reas de oportunidad El numero de eventos que ocurren en un rea de oportunidad es independiente del numero de eventos que ocurren en las otras reas de oportunidadLa probabilidad que, dos o mas eventos ocurran en un rea de oportunidad tiende a cero, cuando el rea de oportunidad tiende a ser pequeoEl numero promedio de eventos por unidad es (lambda)
Chap 5-*Formula de la Distribucin de Poissondonde:X = numero de eventos en un rea de oportunidad = valor esperado de eventose = base del sistema de los logaritmos naturales 2.71828...)
Chap 5-*Caractersticas de la Distribucin de PoissonMedia
Varianza y desviacin estndardonde = numero esperado de eventos
Chap 5-*Utilizando la Tabla de PoissonEjemplo: Encontrar P(X = 2) if = 0.50
X0.100.200.300.400.500.600.700.800.90012345670.90480.09050.00450.00020.00000.00000.00000.00000.81870.16370.01640.00110.00010.00000.00000.00000.74080.22220.03330.00330.00030.00000.00000.00000.67030.26810.05360.00720.00070.00010.00000.00000.60650.30330.07580.01260.00160.00020.00000.00000.54880.32930.09880.01980.00300.00040.00000.00000.49660.34760.12170.02840.00500.00070.00010.00000.44930.35950.14380.03830.00770.00120.00020.00000.40660.36590.16470.04940.01110.00200.00030.0000
Chap 5-*Grafico de las Probabilidades de PoissonP(X = 2) = 0.0758 Graficamente: = 0.50
X =0.50012345670.60650.30330.07580.01260.00160.00020.00000.0000
Chart2
0.6065306597
0.3032653299
0.0758163325
0.0126360554
0.0015795069
0.0001579507
0.0000131626
0.0000009402
x
P(x)
Histogram
0
0.6065306597
0.3032653299
0.0758163325
0.0126360554
0.0015795069
0.0001579507
0.0000131626
0.0000009402
0.0000000588
0.0000000033
0.0000000002
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Number of Successes
P(X)
Histogram
Poisson2
Poisson Probabilities for Customer Arrivals
Data
Average/Expected number of successes:0.5
Poisson Probabilities Table
XP(X)P(=X)
00.6065310.6065310.0000000.3934691.000000
10.3032650.9097960.6065310.0902040.393469
20.0758160.9856120.9097960.0143880.090204
30.0126360.9982480.9856120.0017520.014388
40.0015800.9998280.9982480.0001720.001752
50.0001580.9999860.9998280.0000140.000172
60.0000130.9999990.9999860.0000010.000014
70.0000011.0000000.9999990.0000000.000001
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130.0000001.0000001.0000000.0000000.000000
140.0000001.0000001.0000000.0000000.000000
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170.0000001.0000001.0000000.0000000.000000
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200.0000001.0000001.0000000.0000000.000000
&A
Page &P
Poisson2
0
0
0
0
0
0
0
0
x
P(x)
Poisson
Poisson Probabilities for Customer Arrivals
Data
Average/Expected number of successes:0.1
Poisson Probabilities Table
XP(X)P(=X)
00.90480.9048370.0000000.0951631.000000
10.09050.9953210.9048370.0046790.095163
20.00450.9998450.9953210.0001550.004679
30.00020.9999960.9998450.0000040.000155
40.00001.0000000.9999960.0000000.000004
50.00001.0000001.0000000.0000000.000000
60.00001.0000001.0000000.0000000.000000
70.00001.0000001.0000000.0000000.000000
&A
Page &P
Sheet1
Sheet2
Sheet3
Chap 5-* Forma de la Distribucin de PoissonForma de la Distribucin de Poisson depende del parmetro : = 0.50 = 3.00
Chart3
0.0497870684
0.1493612051
0.2240418077
0.2240418077
0.1680313557
0.1008188134
0.0504094067
0.0216040315
0.0081015118
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0.0008101512
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x
P(x)
Histogram
0
0.6065306597
0.3032653299
0.0758163325
0.0126360554
0.0015795069
0.0001579507
0.0000131626
0.0000009402
0.0000000588
0.0000000033
0.0000000002
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Number of Successes
P(X)
Histogram
Poisson2
Poisson Probabilities for Customer Arrivals
Data
Average/Expected number of successes:3
Poisson Probabilities Table
XP(X)P(=X)
00.0497870.0497870.0000000.9502131.000000
10.1493610.1991480.0497870.8008520.950213
20.2240420.4231900.1991480.5768100.800852
30.2240420.6472320.4231900.3527680.576810
40.1680310.8152630.6472320.1847370.352768
50.1008190.9160820.8152630.0839180.184737
60.0504090.9664910.9160820.0335090.083918
70.0216040.9880950.9664910.0119050.033509
80.0081020.9961970.9880950.0038030.011905
90.0027010.9988980.9961970.0011020.003803
100.0008100.9997080.9988980.0002920.001102
110.0002210.9999290.9997080.0000710.000292
120.0000550.9999840.9999290.0000160.000071
130.0000130.9999970.9999840.0000030.000016
140.0000030.9999990.9999970.0000010.000003
150.0000011.0000000.9999990.0000000.000001
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&A
Page &P
Poisson2
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P(x)
Poisson
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P(x)
Sheet1
Poisson Probabilities for Customer Arrivals
Data
Average/Expected number of successes:0.1
Poisson Probabilities Table
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60.00001.0000001.0000000.0000000.000000
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&A
Page &P
Sheet2
Sheet3
Chart2
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x
P(x)
Histogram
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0
0
0
0
0
0
0
0
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Number of Successes
P(X)
Histogram
Poisson2
Poisson Probabilities for Customer Arrivals
Data
Average/Expected number of successes:0.5
Poisson Probabilities Table
XP(X)P(=X)
00.6065310.6065310.0000000.3934691.000000
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30.0126360.9982480.9856120.0017520.014388
40.0015800.9998280.9982480.0001720.001752
50.0001580.9999860.9998280.0000140.000172
60.0000130.9999990.9999860.0000010.000014
70.0000011.0000000.9999990.0000000.000001
80.0000001.0000001.0000000.0000000.000000
90.0000001.0000001.0000000.0000000.000000
100.0000001.0000001.0000000.0000000.000000
110.0000001.0000001.0000000.0000000.000000
120.0000001.0000001.0000000.0000000.000000
130.0000001.0000001.0000000.0000000.000000
140.0000001.0000001.0000000.0000000.000000
150.0000001.0000001.0000000.0000000.000000
160.0000001.0000001.0000000.0000000.000000
170.0000001.0000001.0000000.0000000.000000
180.0000001.0000001.0000000.0000000.000000
190.0000001.0000001.0000000.0000000.000000
200.0000001.0000001.0000000.0000000.000000
&A
Page &P
Poisson2
0
0
0
0
0
0
0
0
x
P(x)
Poisson
Poisson Probabilities for Customer Arrivals
Data
Average/Expected number of successes:0.1
Poisson Probabilities Table
XP(X)P(=X)
00.90480.9048370.0000000.0951631.000000
10.09050.9953210.9048370.0046790.095163
20.00450.9998450.9953210.0001550.004679
30.00020.9999960.9998450.0000040.000155
40.00001.0000000.9999960.0000000.000004
50.00001.0000001.0000000.0000000.000000
60.00001.0000001.0000000.0000000.000000
70.00001.0000001.0000000.0000000.000000
&A
Page &P
Sheet1
Sheet2
Sheet3
Chap 5-*La Distribucin HipergeomtricaBinomialPoissonDistribucin de ProbabilidadDistribucin Discreta de ProbabilidadHipergeomtrica
Chap 5-*La Distribucin Hipergeometrica n pruebas de una muestra tomada para de poblacin finita de tamao NMuestras tomadas sin reemplazoLos resultados de las pruebas son dependientesQueremos encontrar la probabilidad de X xitos en la muestra donde hay A exitos en la poblacin
Chap 5-*Formula de la Distribucin HipergeomtricadondeN = tamao de la poblacin A = numero de xitos en la poblacin N A = numero de fracasos en la poblacinn = tamao de la muestraX = numero de xitos en la muestra n X = numero de fracasos en la muestra
Chap 5-*Propiedades de la Distribucin HipergeomtricaLa media de la distribucin hipergeomtrica es
La desviacin estndar es
donde es llamado Factor de Correccin de Poblacin Finitade la muestra sin reemplazo proveniente de una poblacin finita.
Chap 5-*Utilizando la Distribucin HipergeomtricaEjemplo: 3 diferentes computadoras son chequeadas de 10 en un departamento. 4 de 10 computadoras tienen cargados software ilegal. Cual es la probabilidad que 2 de 3 computadoras seleccionadas tengan software ilegal cargado?
N = 10n = 3 A = 4 X = 2La probabilidad que 2 de 3 computadoras seleccionadas tengan software ilegal cargados es 0.30, o 30%.
Chap 5-*Resumen del CaptuloDireccionar la probabilidad de la variable aleatoria discretaDefinir la covarianza y discutir su aplicacin en finanzasDiscutir la distribucin Binomial Discutir la distribucin de Poisson Discutir la distribucin Hipergeomtrica