39

Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

  • Upload
    others

  • View
    5

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

������������ ������������������� �!���"�$#%���& �"��'"���(*)+���,����.- �/ 0"�1�2�3�4�

- 526� ����7�0"���8�:9*�;�8�;�=<��>�!�@?��4AB526!�CD�!�>�

EGFIHJ%KDLNMPORQ4FSUT LIH�FOVK,WXTDY3FSUT L[Z]\_^�FIF`OVF[L

a 9@� a ���b9@c�ded�defg �h��eij�;�+kCcec�d

l m�npoVm�q(rRs%q/t(m�uVmwv4qyx{z2s|n"}=v4q~v4����m��`l s%�1����o~v4oV��s|nth��x~m��hn����|m�qVu{��o�����w�%��� s%��o{z2�2v4��n � oVqVm�m�olht/}�l��D� �1���� s|��uVo{s%n`���h���%� �|�%�

Page 2: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

�����; �¡[¢=£�¤�¥,¦�§[¥(¨©��ª2«­¬~¢`¬���ª�¥D§[¡N®%��§�¬�ª�¥�¯�£�¨8¢,°P¥��P¢`��ª²±�¥�¢`³��1«­¡¬�ª²±µ´�¶~¢`¬~ �¦�³2£;¡`¥b§[¥D¡¥D§I·e��¬�§P¡`¬�±¸´�¶w£/¢`¬���ª ¹

º¼»½=¾¿�À ÁÃÂÅÄ »Æ�½BÇ�ÈÊÉ`Ë�ÌÎÍ Á�¾=½Ä�À�ÏXÍ Ð »½ÎÇ�ÈÊÑÒÍ Ó�Ô+ÌÎÍ Á�Õ+ÖÒ×CØÚÙe½=½Ä�½Á+Û`È ÜÝ2Þ�ß~à[á�âwã�ä"ß|å`ã;æ~ç2è/æ�ä�à=é�ã�á�ã�êëæ�åá�ìDá�å`í�î;à�à=ì�êëßwí2ïðá�ãëñ�ß%ä�á�ã�êëò4ówôhõ�êRòwßðöDåêR÷|ß%â�óøêëã�ù|ô

úûæ�é�ó4ã�æ�å[ô�ü`ßþýÿápó����������|ô"ö� î�� ü`ß4ýpápó� wå[ó4ã�êRã�éIã�ß�çøæ�â�è�æ�ä�à8é�ã�á�ã�êRæ�åá�ì á�å`í�î;à�à8ì�êRßwí2ïðá�ãëñ�ß|ä"á�ã�êRòþó!ô­ö å`êë÷%ß|â�ó4êRã�ù æ~ç

ü`ß4ýpápó!ô�î�é�óøã�êëå[ô�ü`ß4ýpápó����������pô"ö� î�

����������������! #"%$'&)(+*�&)&�,.-#/�01&.,32�4% 65�7) �(+/%8�"%$9,:$9/%8� �73&�;</�76&./>=9?%$@8�4A&.B�&.,) �C�&D/>;E(+/�*�5�=@ �"�8�/%8�=F$@8� �2�7G5�2>7)0

,.$'2�=6"%$IHJ �7) �8�,.$'2�=J �K�*�2�,:$9/%8�&G$@8�,)L� MC�/�"� +=I$98�4N/�;6*�8�"� �7)4�7O/�*�8�"PC�*�=9,:$95�L�2%&. MQ�/�-R5�L� �8�/�C�0 �8�2�S�TUL� #=I$98� �2>7V&.B�&.,) �C�&G2>7.$'&W$@8�4X;<7)/�CY,)L� Z"%$'&)(+7) �,.$@[�2�,:$9/%8\2�8�"N]Z �-Z,O/�8^=F$@8� �2�7:$9[�2>,.$@/�8\2>7) 8�/�8�&:B_C�CN �,)7.$'(Z2�8�"^$@8�"� +`�8�$@,) Ma�*�,V(+/� +b\(O$@ �8_,#a�=@/�()c�&d2�&O&./e(O$'2�,O �"A-U$9,OL�2X5�2�7O,.$'(+*�=f2>7d,.B_5g /�;J*�8�c�8�/�-Z8�5�/_&O&. �&)&h5�7)/�5g �7),.$@ �&h,)L�2�,V(�2>8�ag X +ie5�=@/�$@,) �"P,)/^$@C�5�7)/�?� j,)L� k(+/%8�"%$9,:$9/%8�$98�4P/�;,)L� A(+/%*�5�=9 �"l&.B�&.,) �CmS��! A&.L�/�-n,)L�7O/�*�4�L�,)L� �/�7O �,.$'(�2�=o"%$'&)(+*�&)&W$@/�8!2�8�"p8_*�CN �7.$'(�2�=6 +i�5� �7.$@0C� �8�,3&q,)L�2�,d"� �(+/�*�5�=I$@8�4�&.,)7+2�,) �4�$@ �&d(+/%Cra�$@8� �"N-#$@,)L�,.-#/�01&.,32>4� d5�7) �(+/%8�"%$9,:$9/%8� �73&Z2�7) #C�/%7) +HJ �(+,.$@?� �,)/�2�(�(+ +=@ �732�,) PsM7)B�=@/�?t&:*�a�&.5�2�(+ �C� �,)L�/�"�&X&.*�(OLu2�&wvkxlyZz#{|2�8�"l}q$<~ZvA{_T�X},)L�2>8t&.,32>8�"�2�73"�/%8� �&Z-ZL�$'(OLR�+a�=I$98�"%=@B���5�7) �(+/%8�"%$9,:$9/%8t,OL� A �8�,.$@7) �(+/�*�5�=@ �"�=I$@8� �2�7�&.Be&:,) �C|S�! M2�='&./A&.L�/�-R2A"%$'&.,)7:$9a�*�,O �"�C� �CN/�7)BA5�2>732�=I=@ +=�$@C�5�=@ �C� �8�,32�,.$@/�8P/�;�&:/�C� Z/�;D,)L� #$@,) �732>,.$@?� &)(OL� �C� �&j5�7)/�5g/_&. �"N$@8|,)L�$'&j-#/�7)cDS

� ��������G�d�h���>�W�J�

�^���X�_�D���D���g�+�����<�g�>�N�%�U�O�_�������D �¡J�%¢3�+�£�%�G���f¤6��¢+���g�3�<�%�J��¥�¦J���+���_�J��§.¨Z©�ªX«F�­¬#�'�g���_�������D ® ���'���'���J�J�%�J¦D��¯g�D���X�J�d�<�G°�>±�� ® �'�D X¡D�£�%¦J�)��°D�'�X�%�����%�+�3¢��_±��+�'���j�3���+���M��¦ ® ��¢3�<±��������D²�%�'�D�)�d�%�J���+�D���%¡�¡D���£±��%�3������¡D¢3�� _¢�� ®t® ��¢J�����+±������J±��Z�%�J�����D _���D����¢+���� D³�´.��¡J��¢+�+�£±�¦D�£�%¢���+�D�r�D�����p�1�_¢X�)���������� ��O¦�±­�l�£�%¢3 ���¡D¢3��°D�'� ® �#�X���3�!�O������¢����¦��D¯g���%�X���M¡��¢M �¢3�<�g°�����±�¯�J���X°J��±�� ® �^�_�D���%�V�+�D� ® �����t±­���%���'���D _���j�'�µ�3�D��¢3���O��¢3�����'¢X±�� ®l® ¦��D���.�e³�¶M�D��¢+���1�_¢+�· TUL�$f&w-#/�7)cP-U2%&Z5�2�7O,.$'2�=I=9B!&.*�5�5g/�7),) �"¸a_Bm¹18�,) �?� �5º{�S»��S@¼�½�/_&XTJ �K%*� �&�¼Jzh"�/�S�xp$@732�8�"�2E¼¾G �8� �[�*� +='2�¼�¿�]Myn4%732�8�,U]MÀ�À�ÀEÁ�Â�01Ã�Ä�0)Á­01À�Á�Å�ÆX2�8�"¸~VyZÇU~�SÈ�É�ÊgË�Ì�Í�ÎDË%Ï_ÌGÐ)Ì�Ñ>ÒÓeÔÕ Î�Ï�Ì>Ê�Ö�Í�ÎDË�Ï�ÌGÐ)Ì�Ñ�Ò× ÔgØ�Ù Í%Ú�Ë%Ï ÕÛÔ Ð<Ò�ÚgÌ�Ü Õ_Ý ÐOÌ>Ñ>Ò

Þhß+à.á�ß.â@ã�ä#å�æ�ç�è�â<ä)ä:à�é|ä.êAëGì@å+à�í�â�à3ß^î�ï.â�à3ãDï+à ð�ñAòræ­ó�æ�å­äZô�õ�õ�ö

Page 3: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

�+�D�r±��_�J±���¡D�3���_�l�%�o¢+��°�¦J�O�A���J�m��÷¸±������g�#�'�+��¢Û�%�3�����X�)���'����¢��#¡D�£�>���M���l� ® ¡�_¢+�Û�%���#¢+�_������!�+���N�_���G�'�J�g¦J�)�+¢+�t¢+���)���%¢Û±­�l�'�u±����D����±��+�'���!�+�t�O�_�������D |±���¦D¡D�'���!�O���Û�M�%�Z�����D�'���D����¢��¥�¦J�%�3�������M���Z��°D�Û�%�'�D���m°��|�ø�1¦D�'����� ® ¡D���£±��@�#���<�+±�¢+���3��ù����+���_�m��� ® ¦D���3��²1¡D�J�_�O� ® ���g���<��³

´.�ú�3�D�<���M�_¢+¯û���P�1��±�¦J�N�_¦D¢��%�3�+�����+�'���R���R�O����²ü�O�Û�% ��t¡D¢+��±��>�g¦D¢+�>�p§ü�%�£�O�º¯��D���X�R����+�D�|���'�+��¢Û�%�3¦D¢+�\���N�����O�3���ý�_¢����D�D��¢+²1��¦D�3��¢�¡D¢3��±����g¦D¢3����þd�)���m�e³ÿ D³'�����g� ¹�� � ¹�� �����W¬Û³� R����D��¢+���3�j�+������¢Z¦J�)�����Z¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢Û�h�1��¢M�3�D���)������¢����D�<��¢+ _���O¡J��¢��)�����'�D���%¢��)�D�)�+� ® ��%¢3�<�O�'�D ú�1¢3� ® �3�D�û±������'².±����g�3��¢+�����J�D���3�R�g�f¤6��¢3���J±��!�_¢��M��¥�¦D�'�����������+�'���h�'���M���)�+²1��¢�����¢® ���������J�D���3�m����� ® ���g�A�g�£�+±�¢3���+�'ù��%�3���_�n§W�X���3� ���n�%¡�¡D¢+�_¡D�<���+�!¥�¦J����¢��%�3¦D¢+�|¢+¦�����þG�)���� � ���W¬ø�%�J� �3�D�!�O¦�°J�O��¥�¦D�������A���X�+�_� ���'�D���%¢3��ù����+�'���R�%�r�+�D�!±���¦D¡D�'���R�%�� _��°D¢Û�%�<±t�O���O²�+� ® �%�ø�D���D�'���D�>�%¢P�>¥E¦J���+�'���J��³Z¶M�D���O�!�'���D����¢��)�D�)�+� ® �|§W�ü³ÿ��³'�q�'�J�O�Û�%�J±����P�%�ø�^���X�3�����¥�¦J�%�3�������­¬A��¢+�|�D���J�)� ®t® ���+¢3�<±A�%�J�û�D�' ��D�'�º�����g���J�D�'�+��³J�A�����)¦D¢+¡D¢3�<�)���D _�����6�O¡J��±����6±¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢��^�1��¢��+�����O�|�)�g¡J���%�k¡D¢+�_°D��� ® ���%¢3�m�����N�1¢3��¥�¦D���������û�3�D�m�'���3��¢����+¦D¢3��g¦D�l�'� ¡J��¢+�P�3�û�+�D�¸±�� ® ¡����������)�u�O¦D _ ����)�+���R°g�R�+�D�¸±������+¢Û���O�3���D u¡D���D�)�<±����M°J���J����²���_¢��%���+��������¢+�£�%°D�'���^���������'��������¡D¢+���3�O¦D¢3���P§1�����'��¡D�3�<±���¢�¡��%¢���°J�����£±�±�� ® ¡�_�D������¬k�%�J��+���+¦D¢Û�%�+�'���J��§W���g¡J��¢3°�_���£±^��¢r±���������±��3���_�D².��� ® �'�J�%�3���m±�� ® ¡J�������g��³f¬

©^���)¡D���3�N�3�D�����f÷¸±�¦D���)�|�%�Z�3�D���)�P���'�D����¢A�O���O�+� ® �����+�D��¢3����¢+��±���¢+�Û�%�������t�O� ® ���3�D�<±����¡D¢+�_¡J��¢+�3�����X�_�+�O��±��<�%�3���l�+���3�D��±�����÷¸±��������Z°D����±�¯��j�+���%�A�>¤6��±��X����±��l�ü� ® �'���P���#�����D�%�¦D�D¯��D���X�J��³��^�J�g��¢ ® ���£�û±������g���3�������ø¢3�� �¦��<�%¢3��� ® ��������� ® ���g���O���3� ® �\�O�+��¡ �)��ù��������±��n�%���3�D���)�µ°�����±�¯D����¢+�º�'¢+¢3���g¦J±��'°D���t�%��� �g�£�% ��_�J�%�'��� �g� ® ���J���g��³������g���3�������%���'����+�D�\�O�3¢+�<±����g�£�% _���J���M��� ® �'�J�%�J±��N�'�û�)� ® ���%���+�D�>�O�P°�����±�¯D�^�'�������w�3�l�+�D���º² ® ���+¢+� �¡D¢+�_¡J��¢+�)��³�¶M�����O�A���� ���°D¢����<±j¡�¢+��¡J��¢3�+�'���#±����m°J�X����¡D���_���3���P�)���+�J���Z°���+�+��¢Z±������g���3������²���D u±���� °J�l�_±­�����������!���R�+�D�|�����+�'¢+�|±��_¦D¡D���>�ú�)�D�)�+� ® ³!�º��¢3��������¢��6�g�����<±����^���>���g�'�D �+�R�+�D�£�m�����O�'¢��%°����û�)���3¦J�%�3����� �D���'¡ �����%¯���� �3�D�û±���¦D¡D�'���D R°J���)�M����� �3�D�º�����D�'���D����¢¡J�%¢3�+�£�%�X���f¤6��¢+���g�3�<�%�V��¥E¦��%�+�'���J��¢+��¡�¢+���)���g�3���º°��û�+�D�l��¤6².�g�£�% _���J���X°D����±�¯D��³" ú�!±��%����+�D�>�O�t�g�����<±������g�>±���¦D¡������� µ�_¡J��¢����+��¢Û�m���J�ú¦J�)�l�+��� ® �����º¡D¢+��¡�¢+��±����3�O�'�D û�)�+��¡ �3����D�J���J±����+���P��¤6��±��3�����������+�Z�%�Z�)�M�_².�)���� ��P¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D��¢Û��³J¶M�D���)��¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢Û��%¢3�P��� ® �>�l�%�A�_�D�g���� m��÷¸±��'���J±��|���J�µ¢3��°D¦J�)�+�D�>�+�X�+�|�O�����M���'��¯��D���X�$#ø¢3�g�'���l�)¦D°D²�O¡J�_±��l�'�+��¢Û�%�+�'��� ® ���+�D���D�%��&'��(Aª*)R�%���,+M�.-/&0)�¶1�'+�³"(X���O¦����������A�+�D�£�ø����¢3¯ ��¢+��%¡D¡����<±��%°D�'�M�+�����g°�¢+�<�2#�¢+�������g²ü�O�>±��%��� ® ���+�D�����#�g�������'��¡J����°g���+���A�%¦D�3�D��¢Û�3���4��J�%�J��%�£�O�|�+���D�' ��D��¢X�_¢��g��¢'#�¢+��������²W°����O�>�¸�'�D������±��k�^���X�3��� ® ���3�D���D�0�5� � �ü³¶M�D�<�#¡J��¡J��¢M�£�U�_¢+ e�%�D�'ù����l�_�U�1���'�����A��³6)���±��3�����7�P±��%����¢��h�3�D� ® ���g���D��¥�¦J���+���_�J�����3�D����¢�g�<�3±�¢+���+��ù>�%�+�'��� �%�J�û���'�D���%¢3��ù����+�'���º°��!�+�D�|�A���X�+�_� ® ���+������³�´.�,)��>±��+�'��� � ���M�|���D²�%�'�gù����3�D�t�O�+¢3¦J±��3¦D¢+�|�%�A�3�D��8��_±���°��<�%� ���������%¢��)�D�)�+� ® ³9)���±��3���_��:µ�1��±�¦J�)���N�3�D�t�g�<�)²±�¦J�3�O���_�û���û�)�M�¸�g�f¤6��¢3���g�A����±���¦�¡D���'�D l��¡J��¢Û�%�3��¢������J�º�+�D����¢r�%°D�'�����)�l�3�!±��'¦J�O�3��¢^�3�D����� _����������¦D�>�M�%�Z�3�D�P�_¢+�� _���J���#±���¦D¡D�'���!�O���O�3� ® ³;)e��±��+�'���<4p�£�^�g�������+�>�¸�3�!�g�£�+±�¦J�3�O�'�D �+�D�!�ü� ® �'���R�%���)�M�_².�)���% _�û¡D¢+��±����g¦D¢3���m���J� �+� �g���+±�¢+��°����D R�+�D�e�O�u¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢Û��+�J���M����±��_�J�O�£�g��¢ ® �e�O���%¡D¡�¢+��¡�¢+�<���+�A���l�_¦D¢�±������+�=�g��³�¶q�>±­�D���<±����J�g�<�3±�¦J�3�O���_�l�<�Z�)¦D¡D²¡J��¢+�3���µ°��l����¡J��¢+� ® �������h�'��)���±��3�����$>�³�-Z���J±��'¦J�O�'���J�A�%¢3�� ��������l����)���±��+���_� � ³

Page 4: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

? @BA6C������.DG���1��n�FEA��G9A$H��%�JI1K.A6L¶M�D�º¡��%¡J��¢!±��_�J±������+¢Û�%�3���P�+�D� �%�J�������O�£�m��� �+�D�u��¥E¦��%�+�'���J�P�1��¢t�O����²1¡D�J�_�O�û°D�£��±�¯g²���'�d�O� ® ¦D�£�%�+�'���l�X���<±��º±����J�)�+���3¦D�+���+�D���)� ® ¡D�'���O���X���!�+�|¢+�������£�O�+�£±��%�'��� ® ���g��� ® ¦����+�'²¡D�J�_�O��M��%� �%�J�n�+¢����J�O¡J�_¢+�l�'� ¡J�_¢+��¦��m¦D�J�g��¢+ �¢3��¦D��� �1��¢ ® �%�3���_�J��³Zª����+���J�)���_�J�p�3�® ��¢3��¦D�D¯��D���X�J�X¡J��¢X �¢3�<�g°D�'��±­¯¸�%¢+��¢3�����g�'���|�����<�g������³

NFOQP R2S T0U%VWU%XZY[SQ\];^`_�a6\YbSQcdXfe¶M�D��°J�_�O�£±^��¥�¦J�%�3�������U�1��¢��)�M��²1¡D�J�_�O��°��<��±�¯�²W�_���6�O� ® ¦D�£�%�3�����|±����J�)�<�O���%�V±��_�J�O��¢+�_�%�3�������¥�¦J�%�3�������o�1�_¢Z�w�����+�3���D �§W�ü³ÿ��³'���k�%�+��¢�¬o�%�J���X�D����²W�����+�3���D �§1�.³ ��³��������1¬�¡��J���)���������D���3���°g�\�O¦D°��+±�¢3��¡D�Û��gY�%�J��hh�_¢+���)¡�>±��+�'��������³=� ® ��¢3�M�3�D��¢3��¦D _�!�g���3±�¢+�'¡D�+�'���P���G�3�D� ® ���g���±��%�!°J�N�1�_¦D�J�!���i� � �.³D¶M��� ® ���+�X±����J�)��¢+�_�%�3���_�º�%�V���_±­�!¡D�J�_�O���<�M ��'�����l°��

j §lkJmndoJn�¬j;p qsrut §bmn � ng¬wvyx%nZz § ¹ ¬j §{k|m}�oJ}h¬jJp q~r�t §bm } � } ¬wv�x } z §b��¬�X�D��¢3��md�Z�<�P�3�D�u�g���J�)���)����kn�£�P�+�D�!¡J��¢3���)���)���*o!�M�<�P�3�D�u�+���+¦D¢Û�%�+�'���G� p �£�P�+� ® ���"x���<���+�D� �O�_¦D¢�±��u�+��¢ ® �X���3�Y�g���D���3���p�3�D�º¡�¢+���g¦J±��+���_�����'��)��±��3���_� ¢Û�%�3���l�%�|¢+�>�O��¢3������¢±������g���3���������J�%��� � ��<�M�3�D��¡D�J�_�O��©r�%¢�±��l��������±����)���X�D�<±��!�<�M����¡D¢3���+�)���!���

� �;v�� #����l�� � § r7� �F�imd��� rB� ¬Jz�X�D��¢3��# �<�^�3�D�|�%°��O���'¦D�+�|¡J��¢ ® ���%°D�'���'�O�t�+���J�)��¢��9���l�h�£�^�+�D�|¢+���<�%�3������¡J��¢ ® ���%°D�'���'�O�e�� �J�<�M�+�����g�£�+±��e�O�'�O�e� � ��£�M�+�D�r¡D¢+���3�O¦D¢3���Z�t�<�j�3�D�� �¢Û�>�����)�|���J� � �<�Z�+�D���g��¡D�+�G³�¶M�D��O¦D°��+±�¢3��¡D���X±����n°�t�����3�D��¢2g �1��¢��+�D�!�����+�3���D !��¢�h �1��¢��3�D�l�D�_�D²W�����+�3���D û¡��J���)��³¶M�D���)�N�>¥E¦J���+�'���J�A�%¢3�P±���¦D¡D�'���l�+�D¢3��¦D _�º�3�D���1�����'���X���D ������+¢Û�P¢+���£�%�3���������� R���+�3���D |���J�µ�����D²1�M���3�+�'�D |�+���+¦D¢Û�%�+�'���J�r���D�!¦D¡!�+�|���D�d��o } q o n v ¹ ³� -���¡D���'�<�%¢3�l¡D¢3���+�)¦D¢+�d� �9� §{o } ¬�v � n � � } ³� (X���<���+�'���^¡J��¢ ® ���%°������'�+�'���#�g��¡J�����µ���!°J���3�û����±����+�'���u�%�J�u�+���+¦D¢Û�%�+�'���G³

¶M�D� ® ���g���G���<�)�l���������A�j�1�_¢��)���� _�g�A±�� ® ¡D¢3���+�)��°D�'���'�O���%�Z°J�_�+�û¡D�J�_�O�����D�.³ ��³���md�%§ � �<¬�vm����� �Q�5��� �J�X�D��¢+�2m���G�%�������G��¢+�P _�������!¡D�����O�<±��%�d±��_�J�O�Û�%������³!�^°J�)���'¦D�+��¡J��¢ ® ���%°D�'���'�O�e�¡J��¢+�e�O�'�O�e�D�g�£�+±��e�O���)����±��%¡������£�%¢3�m¡D¢3���+�)¦D¢+�����J�º�g��¡D�+�u�g��¡J�����¸�_�D���t���º�'��±��%�3���_�G³

¶M�D���)� ® ¦D�<���+�_¢X¦J�O���!���u�+�D�����g¡J��¢3� ® ���g�Û�U¡�¢+���)���g�3���µ�'�!�+�D�£�w����¢+¯u±����R��±�±�� ®l® �_²�D�%�3�!¡D¢+�_°D��� ® �ø�1¢+� ® °J���3� �3�D�!¡J���+¢3������¦ ® ���J� �3�D�!�����g�'¢+��� ® �������%�V���D ��'�D����¢3���D 

Page 5: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

�g�<�3±���¡����������U�1�_¢X���A±����º�)¡J��±��f�1�t ����D��¢��%�G°J�_¦D�J�D��¢+�u±������g���3�������w _�������l°��� � } t;�h q��6� }�v¡ 6}R�%��� � � n tJ�h q��f� n¢v¡ 6n6z�X�D��¢3� � ���J� � �%¢+�A�)¡J�%�3�<���������_�%¢3�g�'�D �±�����÷¸±������g�Û��� �hm�£�h�+�D�X�_¦D�)�X��¢�����¦��D�������D��¢ ® �%�����±��3��¢Z���J�� ��g�<�Z���O¡��%�+�£�%�'�����_�%¢3�g�'�D ��1¦D�J±��3�����o³�´.�D���3�<�%�'����� � nP���J��oJ}º��¢+�r�O¡J��±����J����³�  �¢Û���g�'�O�û�>¥E¦D�'���'°D¢+�'¦ ® ±��_�J�g�'�+���_�n�<�N�3�D��� ¦��O���ú�3�R�O�_�����m�1�_¢|�%� �'�D���3�<�%�Z�_�%�'¦D�!�%�oJnD³G¶M���m¡D¢3� ® ��¢+�!¦D�D¯��D���X�J�����û�_¦D¢��)� ® ¦D�<���+�_¢���¢+� � n!���J�,�Wn�v£mnZoJn����ü³ÿ��³'��3�D��D�����M���+�+�'�D  ¡D�����O�¥¤ cdX ¤ U%XZY[V¦\Y[SQcdX §1��¢���¡��¢+�J��¡J��� ® ��¢+�u¡D¢+�_¡J��¢+�'�¨§ \�eWe�©JU%V�a6XFS�Y©�cdVªU�«�c]¬a § U ¬Û³w�^���V���+����¢��_�%¢+�£�%°D�'����±��%�n�3�D��� °J�!±�� ® ¡D¦D�3���û���g¡����<±����+�'�!°J���)���ú����+�D�>�O���)�M�D³

´.�µ�3�D��±����O���%���)���' ����A±�� ® ¡�¢+���3�O��°������'�.�����_¦D¢��)�D�)�+� ® �'�!�+�D��¡D¢+� ® �%¢3�m¦D��¯g�D���X�J�X����²±���¦��g���G���D�X�D�_�D���'�D����¢#¡J�%¢Û�%°J���'�<±M��¥�¦J���+���_�P�'���+��¢ ® ���%�6¡D¢3���+�)¦D¢+�A���J�P���D�X�����D�'���D����¢±���������±��3���_�D².���f¤6¦J�O�'������¥�¦J�%�3���_�N�'���+��¢ ® ����J±��_�J±������+¢Û�%�3�����7� � �.³�´.���+���<� ® ���g���.���+�D��¢+��%¢3�N�����%¯|�D�_�D���'�D���%¢3���3�����Z¢+���£�%�+�>�m�+�|�+�D�e�O���_�%¢3�<�%°������M�3�J�%�A�g��¡���J�l¦D¡J���º¡�¢+���3�O¦D¢3����%�o���D�X¡D�����O��§W�e³ÿ D³'�������J�O�'�+�'���­¬o�%�J���+������¢#��¤��>±��Z�g��¡J�����D�h���|�+���A�g�� �¢3���X�%�o¡D¢+�>�+�O¦�¢+�±­���%�D _��³�´:�¸±������+¢Û���O���D�)�+¢+�_�D ��D�_�D���'�D���%¢3���3�����Z�%¢3��¡D¢3���O�����Z���l�_��¢+�<��°D���>�U�3�J�%�A����¡J���J���� ±����J±����g�3¢����+���_�J���O¦�±­�n�_�p¢3���<���+�'���m¡J��¢ ® ���%°������'�)�û�%��� ±���¡D���'�<�%¢3�ú¡�¢+���3�O¦D¢3��³Z¶M�D�¡D¢+�>�+�O¦�¢+�P�>¥E¦J���+�'���u�g�� _���D��¢Û�%�+�>�M�����+�t�%�º�������'¡D�+�£±w�>¥E¦J���+�'���!�X�D���u°�_�+�û¡D�����O�>�^��¢+����J±�� ® ¡D¢3���+�)��°D�'�l§1�.³ÿ�e³��!�ªn�v£�W}�v­E¬Û³�®^�R�+���m�_�+�D��¢��J���J���d�+�D�t�g�f¤6¦J�)�������3��¢ ® ����+�D�A�<���+�3��¢Z��¥E¦��%�+�'���l�_���D�<�)�D���j�'�m�3�D�r�%°J�)���J±������V±��%¡������£�%¢3�P¡D¢3���+�)¦D¢+���� _�������D �¢+�£�O���3��¯��¢��O�X�_¢��g��¢�¥�¦J���)��²1���'�D���%¢��g��¡J��¢+°J�_���<±���¥�¦J���+���_�G³NFO�N R2S°e ¤ VWUWYbS°±=\Y[SQcdX´.�ú�3�D�!±��_�g�3���g�����A�+�D�|�)�M��²1¡D�J�_�O�l¡�¢+��°���� ® °J���'�D û�g�£�+±�¦��+�O�>�ú���R�+�D�£�N����¢+¯6�G°J���+�¡D¢+�>�+�O¦�¢+�r�%�J�l±����J±����g�3¢��%�3���_��¦D�D¯��D���X�J�^§ü�g�� �¢3�����#�%�6�1¢+���>�g� ® ¬6��±�±�¦�¡g���3�D��±����g�3��¢���%�A�3�D�l���<�+±�¢+���3��ù����+���_�û°D����±�¯��N���J�ú�����'��±����3�����r�%¢+�t�%¡�¡D¢+����� ® ���+���º�_� �+�D�|���g _���N�_¢�ü��±��>�^�%�k�+�D�|�g�£�+±�¢3���+�'ù��%�3���_�º°D�'��±­¯���³G¶M���|±�� ® ¡J�_�D�������^���X�+����MJ��� ±�����÷¸±��'���g�Û�w�_¢® ���3� ® �_°D���'���+�'�����²��G§{�!v�h9z³gø¬d°J���)�M�������O���� �¢+�£�p����� ® ���g�Û�G�%¢+�r�g�����D�������#�1���'�����A�

²Z´�µ ·��¶ · µ ·l¸)È ¶ ¹lº v¼» md���½�� �*¾ ´�µ ·· µ ·{¸)È ¶ ¹b¶ º!¿ · µ ·l¸OÈ ¶ ¹Àº z�X�D��¢3�X�+�D�A�)¦D¡J��¢��3±�¢+�'¡D�ÂÁ q ¹ �g���D�_�+���d�+�D��§[Á q ¹ ¬.²1�+�t�%¡D¡D¢3���g� ® �%�3�������%�o�+�D�A�^���X²�+�_�ú�'�+��¢Û�%�+�>�^�+�u�l�_�%��¦��|�%���+�D�u§bh q ¹ ¬.²1�+�R�+� ® �P�'�������üþD�+�D�|�)¦D°J�+±�¢+��¡����0æzbÄu�%�J�,����J���<±����+�X�+���X �¢+�£�P°D����±�¯P�'��±��%�3���_�G³�¶M�D�X°D¢��_±­¯����+�����ü��±��3��¢Z���|�+�D�A¢+�' ����#�J���J�m�)�<�g�X�£��%¡D¡�¢+���g� ® �%�3���µ�3�D¢+�_¦D �� ¦D¡J�O�3¢+��� ® �M���' ����+�'�D l���J�ú�3�D��¡J��¢ ® �>�%°D�'�����)�|�<���M���� ����+�>��J�%¢ ® �����<±����������'�m�3�D�ÅM��%� �g��¢3��±��3�������3���_±�±���¦��g�#�1��¢Z�_�%¢3�<���+���_�J�j�'�� �¢3�<��°D����±�¯|�O�'ù�����³

©^�<�3±�¢+���+��ù>�%�+�'���u�%���+�D� ® ���g���d��¥E¦��%�+�'���J��§ ¹ ¬ü²+§[�E¬A�<�A¡��¢O�1��¢ ® ���!°g�u°D����±�¯g²ü±������+��¢+����J�D�'�+�X���f¤6��¢+���J±����#§1��¢�����¥�¦D���_���������+�'����°g�����������O�3²W�_¢��g��¢ ® � �g���/�J�D���3�Z����� ® ���g�Û�­¬���°J����²:

Page 6: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

���D ��E�1�_¢X�P���<�% _���J���G¡D¢+� ® ���%°������'�)���+�����O��¢��D���O�������|¡J���'�g�k�O�+���J±����D�1�_¢M¡D¢3���+�)¦D¢+�����%�J�±�����±������+¢����+�'���J�P����°J���+� ¡D�J�_�O�����j�3�g¦J�P _�������D û¢3�<�)�µ�3�,�½Æú±�����÷!±��������������+�)��±��<���+����X���3�º���º�'�g�3��¢+�J�����D������³J¶M�D�<�X¢+�>�O¦D�'���M���!�3�D���D���D�'���D�>�%¢A�%�' ���°�¢��%�£±��O���O�+� ®Ç6·5¹Àº�§3§bmd��o!��¬ ´�µ ··5¹Àº � §bmd�Qo!�£¬ n·5¹Àº ¬wv�È p n ÈÊÉF·�ÈÊË�¹�ÈÊÌ�º%x ´�µ ·��¶ ·5¹lº

q È p n ÈÊË�¹�È�Ì�º�Íβ ��¶ · µ�ÏÐ � ��¶ · µ · ¶ ¹Àº*� � �¬¶ ·5¹ÀºÈÊÉ · µ ·l¸)È �����² ��¶ · µ ÏÐ md���6� � · µ · ¶ ¹lº/� � ·5¹ÀºÈÊÉF· µ ·{¸)È ���² ��¶ ·�Ñ ÏÐ � ��¶ ·5¹Àº*� � n�¶ ·�Ñ · ¶ ¹ÀºÈÊÉ ·�Ñ ·l¸)È qq ��² ��¶ ·�Ñ ÏÐ m � �6� � ·5¹Àº*� � ·�Ñ · ¶ ¹ÀºÈÊÉ ·�Ñ ·{¸)È Ò ´Fµ ·¹lºq �O� ® ���<��¢Z�+��¢ ® �U�1�_¢X�+�D���!���J�µù��g�'¢+��±��3���_�J���

§ � ¬

�X�D��¢3�ÓÈÊÉ · µ ·l¸)È v §[ÉF· µ · ��ÉF·<¬¦Ô��g���.³ ��³����3�D�A±����'� ® �<�g¡J���'�g�d�����_�D ��+�D�ÓÉ|�g��¢3��±��3�����\�%�J�Ç6·5¹lºBvÕÈ�É|· È�Ë�¹³È�Ì�º�k�·5¹Àº��G�.³ÿ�e³����3�D�l¡J��¢3�µ���_��¦ ® ��³�´.�n�u�O� ® ���£�%¢��k�>�e�9È�Ë · µ ·l¸OÈ �%�J�ÈÊÌ · µ ·{¸)È ��¢+�\�g���J�D�>��³G©����A�O�_� U³YÓ\]�O � ¹ ���#�����+�����g���µ�3�D�<�X�+�u� ¹=Ö ²1¡J���������O�3���J±��'�G����O¡J�_±����%�J��¦J�)���k�1¦D�'��¡J��¢ ® ���%°������'�)�M�+���J�O�_¢G�+�X�J���J�g���Z¦D���g��¢+ _¢+�_¦D�J�N�����+��¢3�� _���D���'�+���>��³�^¦ ® ��¢+�<±��%�D����¡J��¢+� ® �������#����)��>±��+�'���$>��%¢3���g�_�D��¦J�O�'�D m�3�D�<�M�=�g�3���J�O�'���G³¶M�D�A���g�3¢��^¢3���<���+�'���J� ® ���g�3���_�D���N�'���+�D�X¡�¢+�������_¦J�Z�O¦D°J�)��±��3�����|���J�m�3�D����¢V¡J�%¢3�+�<���J�g�@�1²�1��¢+���g�3�<�%�3���_���X���3�P¢+�>�O¡J��±��G�3�D�Z¡D¢+� ® �%¢3�^¦D��¯g�D���X�J�d�%¢3�M¦J�)���N�'����°D�Û�%�������D A�+�D���^���X²�+�_�P���'�D����¢+��ù>�%�+�'���A�%�J�3�D�Z�D�������������%¢d±��_�J�O��¢+�_�%�3��������¥�¦J���+���_�J��³) ® �%�'��±�� ® ¡D¢3���+�)��°D�'���'�O��%�'�����A�U�1�_¢X�O� ® �A�O� ® ¡D�'�°�6±����+�'���J�����X���3�D��¦D�k�>¤6��±��3���D ��3�D���_�%�'�<�g�'�O���%�d�3�D����¦ ® ��¢3�<±�����%¡D¡�¢+���g� ® �%�3���_�G³J¶M�D����°J�%����¡D¢+��±����g¦D¢3�P�1�����'���A�w�3�D���g�>�+±�¢3��¡D�3�����!°��B Y�D�����'��¢A�%�J�) ® �'�+�$� �½� �J���¸�g�������'��¡D�'�D ��N¡J��¢��%�'������°D�<�_±­¯�²W�_���6�O� ® ¦��<�%�3��¢�³×D¦D¢3�+�D��¢Z�'�J�O�' ������M��°J��¦D��g�<�3±�¢+���+��ù>�%�+�'���l���Z�+�����O����¥�¦J�%�3���_�J�X±��%�!°J�N�1�_¦D�J�!���Ø� � �.³NFO Ù Ú�UªÛ9YbcdX�Ü=V¦\ § UªÛ�cdV³Ý¶M�D�l�1¦D���'�û� ® ¡����<±����^�1�_¢ ® ¦D�<���+���_�ú�����3�D�l�)�M�_²W¡��J���)�º°D�£��±�¯g²1���'�j�>¥E¦J���+�'���J�P�'�����D�P�3��+�D���)����¦��+���_�!�%�k§ � ¬#�1�_¢X����±��l�3� ® �r�O�3��¡G�g�X���<±��!±��%�!°J���%°J�)�+¢Û��±��3���l¢3��¡D¢+�>�O�����+����°��Þ §bß�¬Óvu��G�X�D��¢+��ÞÕ�6´à( nBá ´à( n ³ãâ^��¢+�e��3�D�m���>±��+�_¢'ßú¢3��¡D¢3���O�������A¡D¢+���3�O¦D¢3�|�%�J�±�����±������+¢����+�'���!¦D�D¯��D���X�J�X�%�V�+�D���D�_�D²W�����+�3���D |¡D�J�_�O��³

¶M�D��±�� ® ¡J���)���+�'���l���V�^���X�3���l�X�'�+�!�¢#�¢+���������'�+��¢Û�%�+�'���A�O�_������¢Z�X���3�!��±�¢3���+��¢+���_�p�1�_¢�g���J�����D ����'�D����¢h�3������¢��%��±����#�g���J� ® �<±������'�����%�J�|�����'�D��²ü�O����¢�±��P°J�_±­¯��+¢Û��±�¯g�'�D ��O�3¢����+�� _�

4

Page 7: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

� ¹ :�G�<�M�3�D��°J���)�<�X�%�Z�_¦D¢X�������D�_±��A�^���X�3���u�%�' ��_¢+���3� ® ���J�µ�£�X�g���+±�¢+��°J���!�_�j�1�����'���A���ä Kæå�J���<��G9L � §.´.�D������±��k�^���X�3��� ® ���+�D���J¬

�Jç0è ���Óß�é ��ê °J���%�º�'�D���3�<���� �¦����+��³?!ç ×��_¢'�ÊvëZz ¹ zW�Zz�ì=ì�ìD¦D���+���o±���������¢3 ����J±����g�?!ç1� -Z�D�����)�¢í é º�ê�î �56z ¹ ¬³ì?!çQ? ���O�'�D |�O� ® �0#�¢+�������|���3��¢����+����� ® ���+�������D±�� ® ¡D¦D�3��������±��3��¢`ï é º¦ê �3�%�3�<�:�1������ ð é º¦ê ï é º¦ê v¨�ñÞ é º¦ê q~ò é º¦ê z §.:�¬�X�'�+� ó �bô¬õbö óóW÷ §.ø ô¬õbö ¬ ó�ù í é º�ê ³?!ç ú )����Óß�é º µ · ê v�ß�é º¦ê q ²;é º¦ê ïé º�ê ³

¶M�D��¢+���)�<�g¦��%�G�)���'¦D�+�'���G� ò é º�ê �D¢3��¡D¢3���O�������Z�+�D�ø� ® �_¦D�g�X°��|�X�D�<±��l�+���P�)���'¦D�+�'���G�Jïé º¦ê � ��'�����P°��P�3�D�/#�¢+�����������3��¢����+�'���X�O�_������¢G�ü�%�'�<�h�3���+���+�£�:�1�P�3�D� Ú2U%Û9Y[cdX<U�_=aZ\Y[SQcdX §1��¢/û \ü¤ cdý�SQ\dXþU�_=aZ\Y[SQcdX ¬��D�ü³ÿ��³'�Zð é º¦ê ï é º�ê v¡�ñÞ é º¦ê ³D¶M�D�ø�O�+��¡l������ ��+�$² é º�ê �£�M±�� ® ¡D¦D�3����°g�|����'�D��²ü�O����¢�±���°J��±�¯g�3¢��_±­¯����D  ® ���3�D�����+�����J�)¦D¢+�A���g��±�¢3�����)�X�%�1ÿ�§[ßo¬�v ·È Þ §[ßo¬��½Þ §bß�¬3³¶M�D���O�_��¦D�3����� ï é º¦ê ���X§æ:g¬U�O�D�_¦D�<�l°J�����g���+±����g�k�g��¢3��±��3�������1��¢Óÿd§bß�é º�ê ¬Å� ¹ :�.³�´.�l¡D¢��_±�²�+�£±����g�3�D�'�J�J���h¢3���O�£�g¦J�%�G _�������!°��l�+���N�'�+��¢Û�%�3�������'���D����¢A�O�_������¢��<�A��±�±���¡D����°D�����X�D����²������¢��+�D� R¢U § ýWcüæ^/S°e�UªXfe%Yb\Yæü��JYlU%S���\da�� ¤ cdX�dS�Y[SQcdX �£� ® ���0� ¹�� �.�D�.³ ��³�� ò é º¦ê� v Þ é º¦ê q ð é º¦ê ï é º�ê� ù í é º¦ê Þ é º¦ê z �yí é º¦ê �yí ����� � ¹ z §b4�¬�X�D��¢3��� �'�J�g�£±��%�3���^�+���m��¦ ® °��¢��%�k���������%¢����3��¢����+�'���J��� ® ¡�����������³J¶M�D�|���'�D����¢N�3���'²��¢����J±��Øí é º¦ê �<�|¯g�D���X� �_�¸�3�D� Ü=cdV ¤ SQX�� YlU%V § �%�t§b4�¬�³/â^��¦D¢+�£�O�+�£±����+� �O���'��±��|���'�D���%¢�+�_����¢Û�%�J±��>�ø�_¢N�1�_¢�±��'�D !�+��¢ ® ����±�±���¢Û�g���D !�3�º�+���m¡D¢3�� _¢+���3�N�%�A�3�D�|���D������±����^���X�3���® ���3�D�����%¢+�X _���������'�B� ¹ 4g� ¹ >��ü³�¶M��� ® ������ ��e�%�D�D��¢+�Z�<�G�+��¡�¢+����������������¢Û�O�_�������D A�%�J�3�D���¥�¦J�%�3�������X�����D������¢V�+�D��¢3�X�<�#��±��_�J�O�£�g��¢Û�%°D�'�A�g�<�3�% �¢3��� ® ���g�G°J���)�M�������+�D�X�����D�'���D����¢�1¦D�J±��3���_�,Þ �%���ú���Û�ø�'��±��%�Z�'���D����¢ ® ���g���.³G¨#¢��_±��+�£±��%�V���g¡J��¢3������±����^�_� �+�D�£���<�g���_������+�D�k±������+�=�g�d�%�6¢+�>�O��¢3������¢V�O� ® ¦��<�%�3���_�P��¢+��¢+��¡J��¢3�+���P�'�$� ¹ ���.³½×h�'�J�%�'�������1¦D�'�D�����+±�¢3��¡D�3���_��%�J�û�)������¢Û�%�G¡J���'�g�3��¢��^�'�g�3�m�3�D�P�'���3��¢����+¦D¢3�N���`#ø¢3�g�'���!�O¦D°��O¡J�_±������3��¢����+����� ® ���+�����D�±��%�R°J�p�1�_¦D�J�ú�'�y��4��ü³G¶M�D���'¢�¦J�O�t�������'�D���%¢ø�O���'����¢��A�X���+����� �^���X�+�_�G«I� ® ���+�D���û��¢+��g���Û�%���'���p�1�_¢^�'�J�O�Û�%�J±��e�g���i� ¹ ��ü³ú �2G9A��FK.åJA6Ih���D�1�!���J�9D1K.A���K1�1�9A��D��C��1C���A6L E)���FLsA����J��� ú���D��� ¡�¢+���g�£�g�� �������¢����#�g�>�+±�¢3��¡D�3�����!���Z�+�D���'���D����¢A�O���O�3� ® ��§W�ü³ÿ��³'���^���X�+�_�º��¥�¦J��²�+�'����¬|��¢+�£�O����  �'� �O�3��¡��g³�� ���¯�^�� _��¢+�'�+� ® ¹ ³* R�û�<�����g�3�f�1�n¡D¢3��¡J��¢+�3�����t���+�)��±��<���+����X���3� �3�D�!°D����±�¯��P�%�r�+�D�!¡J��¢+�+�'�+�'���D���n�)�D�)�+� ® ���J� �>�O����°D���£�O� �O� ® � ® ������¢����+�!�_�O²�O¦ ® ¡D�+�'���J�P�3�º�ü��±��'�����Û�%�3�l�+�D�u���J�%�'�D�)�<�|�%�J�n�+�D�u�g����������¡ ® �������%���3�D�!¡D¢+��±����g¦D¢3������û�X�D�£±­�u�+�D��¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢��X�%¢3��°J���)����³6¶M�D���)�����3�O¦ ® ¡D�+�'���J����¢+���D�����'�g�3���J�g�>�

>

Page 8: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

�+�R ��'���!�ú�����J�D�'�+�����¸±­�J��¢��_±��+��¢3��ù����+�'���n�%�r¢+�����^�'�f�1�!�)� ® ¦D�<���+�'��� ® �%�3¢+�<±����N°D¦��l��¢+�® �����X����� �+���l�+� ® �|�O�3��¡ �<���O�D�_¢+�����D��¦� ��n�+�u���J�O¦�¢+�!±��_�g����¢+ ����J±����%�A�3�D�!�^���X²�+�_� ® ���+�����¸�'���)���f�����J���J�+�D��¢+���1�_¢+���D¡D¢3���g�£�g���p�1¢Û� ® ���M��¢3¯m�1��¢A���_�%�'¦J�%�3���D t�+�D���<���)����g�_���J±����X���!¡D¢3��±������g���3���������D |±��_¦D¡D�'���m���'�D����¢A�O���O�+� ® �j�'�µ¢3���O��¢+�����'¢M���� ���������¢+�'�D D³

ÙZOQP �JY[V�a ¤ Y[aZVWU2c{Ü��'U¦e=ad]�Y[SQX��! ÎSQX;U�\dV"�$#�e%YlU §ªZ��±��ú�'���D����¢��O���O�+� ® ���3�O��±��£�%�3���ú�X���3� �+�����O���!¡D�J���)� ® ���g���Z�g��¡D�£±��+�>�º��� § ¹ ¬ü²+§[�E¬±��%�!°J�P¡��%¢+�3���3���������l���!�+�D���1�_�������X�'�D ��!%$�p°�����±�¯p�1�_¢ ®

ð1É v ÿ'& ()* ð�+,+2ð�+ �ð � +�ð �Q�-/.0 ()*21 � -/.0 v¡� ()* ÿ�nÿ�} -/.0 ì §b>�¬

ªZ��±��û°D����±�¯ ðd· ¶ ¹�z³Ã¦zbÄ�v ïdz 1 �£�^�%�k�O�'ù���h435%<h43����X�D��¢3�¢h63����£�^�+�����g¦ ® °J��¢X�%�k �¢3�<�°D����±�¯����%�J�yÿ�nM§[ÿ�}h¬Û�#�<�P�3�D�º¢3���O�£�g¦J�%�X���>±��+�_¢|±���¢3¢+���)¡�_�J�g�'�D ú�3�ú�3�D�!�D����²W�����+�3���D §W�����+�3���D �¬Z¡D�J���)��±�����÷¸±�����������³

0 100 200 300 400 500

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

nz = 55047$@4�SÁ�S�xt2>,)7.$Iip&:,)7)*�(+,)*�7) X/>;6=I$@8� �2�7X&.Be&:,) �C�&h$@8|,OL� A]Z �-Z,O/�8P$@,) �732�,.$@/�8JSªZ��±��µ _¢+�_¦D¡º���Z¦D�D¯��D���X�J�M�<�M��¦ ® °J��¢+�������u�|�O��¥�¦D�����+�£�%�6�������<±��_ �¢Û���6±w�ü�_�O�D�'���"�D�3�D�¡D¢+�>�+�O¦�¢+�P¦��D¯g���%�X�����%¢3���g¦ ® °J��¢+�>�p�1¢+� ® �_�D���+��¢+��¦� ��û�+���P�+�_�����#�g¦ ® °J��¢��%�� �¢3�<�°D����±�¯���§bh43�¬��%���µ�+���P±����J±����g�3¢��%�3���_�J�X�%¢3�N��¦ ® °J��¢+���P�1¢+� ® h43 q ¹ �+�D¢3��¦D _���h63�³¶M�D�X°D�'��±­¯�ð�+,+M�����j�3�D�A�O�3¢+¦J±��+¦D¢3�X�%�d��¡D¦�¢+���'�N�������'¡D�+�£±#¡D¢+�_°D��� ® �����3�D�X�D����²W�����+�3���D ¡D�J�_�O�M¡�¢+���3�O¦D¢3����³�¶M�D�Z°D�'��±­¯2ð + � ���J�+���*8��_±���°��<�%� ® �%�3¢+� �^�J�_�h�X�)�+¢3¦J±��+¦�¢+���O� ® ���£�%¢��3��+�J�����%�k�l���<�+±�¢+���3��ù����Ê�J¢Û�O�3²W�_¢��g��¢r�g��¡J��¢+°J���'�<±�¡D¢+�_°D��� ® �'�û�+�D���D���D²1�M���+�+�'�D l¡D�����O�±�����±������+¢����+�'���J��³Åð � + �J���m�3�D�û±�����÷!±����������P����� ±��_�g����±��+���_�D²<�1¢+���l¡��%¢���°J�����£±º¡D¢+�_°D²��� ® ���!�+�D���D����²W�����+�3���D |¡D�J�_�O��¡D¢3���+�)¦D¢+�\�%�J���F�J�J�����'���;ð �Q� ¢3��¡D¢3���O�������X��¡J��¢��%°J�_���<±§.±��_�g���>±��+�'����².���f¤6¦J�O�'���%¬d¡D¢3��°D�'� ® ���!�+���P���'�d±�����±������+¢����+�'���J��³J¶M�D���)¡J�%¢Û�O���)�!¡J���+�+��¢+��%�r�º _�������i8���±��_°D�<��� ® ���+¢+� �û�<���O�D���X� �'�s×h�� _¦D¢+� ¹ ³1 ú�¸±��%� �_°J�O��¢+���l�3�D�m��¤��>±���%���+���P¦D¡J�)�+¢3��� ® �M���� ����+�'�D |�X���+�����º�3�D�P°�����±�¯þð8+ � �X���3�º�D�!�)¦D¡J��¢����<�% _���J����±�����÷t²±������g�Û���g�X���<±��!�%¢3�������g���l�+�|�+�D� ® �����!���<�% _���J���h���#�3�J�%�A°D�'��±­¯6³

Page 9: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

ÙZO�N 9ñX�\]:�6U%ý�V¦\dS ¤ \dXF\];#�e=S°e2c{Ü2Y<�JU ¤ cda�©J]�U=� û \ ¤ cdý�SQ\dX § \Y[V�S�>¶M�D�û¡D¢3���O����±��û�%�p�O���' ����!±�� ® ¡D¢+�>�+�O�'°D���'���.� ���J�O¦�¢+���m�'�g����¢+�+�'°D���'���.�R�%�\�+�D�Ø8��_±���°��<�%�® �%�3¢+� �y� � �.³Z´.�  ����D��¢��%�ü�#��� �O���O�+� ® §[>E¬Û�j�3�D�!°D����±�¯ ±�����÷¸±����������Êð8+�+�z�ð�+ � ���J� ð � +�O�J��¢+���3�D�X�1�����'���X���D �¡D¢3��¡J��¢+�3�����A§.�)���^�e³ÿ D³'�J� � �D�1��¢j�1¦�¢+�+����¢Z¡D�g���O�£±��%�����J�)�� ������Z���J���5����1��¢ ® �%�3�D� ® ���+�£±��%�J�����J�D�'�+���_�J�X�%���µ¢+���<�%�3���m�3�D����¢3���+�£±��%�6¢+���)¦D���Û�­¬³�� ©^�£�% _���J���#�g� ® �����%�J±��e�� ¨h�e�O�'�+����� �g�<�� ��_�J�%�����g�3¢+�'���m���J�Y�D�� ����+�'���û�%¤6².���<�% _���J���������+¢+�'���!§W�.³ ��³��Z�+�����Y��¢+�?J² ® �%�3¢+�£±����­¬Û���%�J�� ´.¢+¢3���g¦J±���°D�'�����)�_³)��+¢3�<±��r�g�£�% ��_�J�%�U�g� ® �'�J�%��±������R�%�'�h¢3���A�^�<�X���D�'�º¡D¢3���O���g�X�'�,ð�+ � �%��� ð � +\���^¢3���O¦D�'��%�w±�� ® ¡�¢+���3�O��°������'�)�l���J�ý¡J�_¢+�l���_��¦ ® ���3��¢ ® ±������+¢3��°D¦D�3���_�J�^�+�!�3�D� ® �%��� �g�<�� ��_�J�%��%���+�����O��°D�'��±­¯���³6´.�û±��_�J�O�>¥E¦D���J±����J�+�D�>�O�P°�����±�¯D����¢+���D�_�J�O�'�D �¦��<�%¢���¡J���)���+�'�����)���%°�����%�J�7�º² ® ���+¢3�<±�����³Z)��3¢+�<±��M���<�% _���J���G�g� ® �����%�J±��M�1�_¢X�)� ® �A�%�d�3�D�^¢3���A�M�%�wð�+,+A±��%�l°J���±��D���������p°��|�+�D��±������+¢+�'°D¦D�3�����t�%�V°�_�+�3� ® �D���'��¡D¢3���+�)¦D¢+���X�)¡J��±��°�����l���M¡��%¢+�X���#�3�D�°J��¦D�J���%¢+�u±��_�J�g�'�+���_�J��� ® �%¯����� P�+���<�j°�����±�¯l��¢3¢+���g¦�±���°D�'�A�%�J�u�g�<�� ��_�J�%�'���t�g� ® �'�J�%����³´.�!���D�����+�'���G��¦D�J�g��¢X� ® �%���6±��J�%�� ����Z�%�d�1��¢ ® �%�+�'���|�����'¦ ® �M�ü��±��+��¢Û�@º���J�ÊMJ��� ¢Û�%�3���°J���)�M�����¸�����3�_±������X �¢+�£�µ°D�'��±­¯��M°J���3�º°D�'��±­¯��3ð�+,+����J��ð � +���¢+���D����¢+���¸�O� ®l® ���3¢+�'±�³¶M�D�u±�����±������+¢����+�'��� ±�����÷¸±������g��°D����±�¯y� ð �Q� ¡�¢+���)���g�Û���%�' ���°D¢Û�%�£±¸¡�¢+��¡J��¢3�+�'���m�)� ® �'²�<��¢P�+�u�+�D�|���3�D��¢�°D����±�¯D��³d´:���J�����º±��_�g���>±��+�'���D²ü�g�f¤6¦J�)���_�þM6�����_¢�±��J�%¢Û��±��3��¢+�'ù����º°��±��%¡������£�%¢3�m¡D¢3���+�)¦D¢+���g��¢+���_���+�����r�+��¢ ® �^§1�+�D���g�@¤�¦��O�����r¡J�%¢3��¬k�%�J�!�M���3�+���� �¡D�J���)��¢+���'²�%�3������¡J��¢ ® ���%°D�'���'�O�¸�g��¢+�'�_�%�+�'���P�3��¢ ® ��§W�+���l±��_�g���>±��+�'���N¡��%¢+��¬�³d¶M�D�t�g�f¤6¦J�)������¡J��¢+�°J��±�� ® ���Z�g� ® �'�J�%���M������¢Z�3�D��±��_�g����±��+�����X¡��%¢+�X�X�����!±���¡D���'�<�%¢3��¡D¢+�>�+�O¦�¢+�� �¢Û���g�'���g�Û��%¢3�m�D�' ��D��¢��+�J���ú¢3���<���+�'���P¡J��¢ ® ���%°D�'���'�O�| �¢Û���g�'���������%�k�+�D�������+�3���D l¡��J���)��³G¶M�D�£�ø�£����'¯������u�+�û��±�±�¦�¢��%���3�D�l°J�� _���D�D�'�D R�%��� ���J�ú�%�r�+���l�%�r�+�D�¸�O� ® ¦D�£�%�+�'���R�X�D��� �3�D�±��%¡������£�%¢3�ú¡D¢3���+�)¦D¢+�u�g��¢+���_���+�����t�X���+�n¢3���O¡J��±����3�ú�����+�3���D u¡D�J�_�O�û±����J±����g�3¢��%�3���_� �£��D�� _�D���)��³

©^���)��¢���°D���|���<�% _���J�����g� ® �'�J�%��±��P�'���0ð �Q� ±��%�û�����g�����º°J�t��±��D�������>�¸°��û�)�D��¢3�+�������D �+�D�t�+� ® �|�O�+��¡G³" ú�l���>���|��°��O��¢3�����ý�3�J�%���3�D�t±����J�����+�'���D�'�D º���A�+�D�£�N°D�'��±­¯R�J�_�P�%�� ®l® ���g�'�%�3�h�'�J±��<�����J±��#�_�P�3�D�X±��_�J�g�'�+���_�D���� X�%�J�3�D�M�X�D�_�����O���O�3� ® ³=�º��¢+���%����¢����'���3�h�%��g�<�� ��_�J�%�o�g� ® �'�J�%��±��M���d�+�D�£�U°�����±�¯P�D�_�j�_�D���|��¤6��±����Z�D�� e�%�+�'���������3�D�^�'���D�>�%¢Z�)��������¢�«I�±���������¢3 ����J±��N¢Û�%�3�m°D¦����%�£�O�u±�� ® ¡D¢+� ® �<�)���j�3�D�|�^���X�3���R±��_�g����¢3 �����±��P�������º�X���3�û��ü�%�'¢+���|�_±�±�¦D¢Û�%�3���O�_��¦D�3�����t�%�V�+�D���'���D�>�%¢��O���O�3� ® ³dâ^���J±������'�X��¡D¡J���%¢Û�M�+�J���X�+�D�£�U°�����±�¯�<�Z±�¢3¦J±��<���D���|�����+��¢ ® �������D A�+�D�r±��_�J�g���3���_�D���D r�%�d�+���X���g�3��¢3�A�O���O�+� ® ³�¶M���^¢3�����g��¢M±��%�����¢+�@�1�m�3�D�P¢3���O� ® °D�£�%�J±��^°J���)�M�����!�+�D���O¡J��±��+¢+¦ ® ���/ð �Q� ���J�µ�3�J�%�A�%���+����8��_±���°��<�%�ðR�+�D¢3��¦D _�º�����O¡J��±��3�����!���Â×h�� _¦D¢+� �m���J��×h�' �¦D¢3� � ³@ 7E/�7)C�2>,.$@/�8l?�/�=@*�C� N; 2�(+,O/�73&M/�;Z �2�(OL!5�L�2�&. P2�7) �"� +`�8� �"û2�&w,)L� �732>,.$@/�/�;Z,)L� �?�/�=@*�C� /�(�(+*�5�$@ �"|a�BP,)L� X5�L�2�&. �2�,#7) �&. �7)?�/>$97M(+/�8�"%$@,.$@/�8�&Z,O/r,OL� A?�/�=@*�C� X/�(�(+*�5�$@ �"l2�,�óøã�æ|òBADC~ã�á�åEA/�7M2�,)C�/_&:5�L� �7.$'(X(+/�8�"%$@,.$@/�8�&�S

Æ

Page 10: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

ú�\�O�D�_¦D�<�û�)�+¢3���+�^�3�J�%�r�+�D�$���g�� _¢+�����m�%�k�g�£�% ��_�J�%�U�g� ® �'�J�%��±����<�^¡D¢3��¡J��¢3�+�'���J���j�3��+�D�û¡J�_¢+�û�����'¦ ® �!�%���3�D�û �¢3�<� °�����±�¯D�l���J�Y��������¢��)�����R¡D¢+�_¡J��¢+�3���_�J�%���+� �+�D�û�3� ® ��O�3��¡l�)��ù���§1����±���¡D�h�1�_¢/ð�+,+����X�D���)�����<�% _���J���G�g� ® �����%�J±����<�#�����g��¡J���J�g���g�#���1È p ¬�³Z®A��+�D�|���3�D��¢��J���J���d�g���J�����+�'���û���X°J���3�+� ® �D�_���|¡D¢+���3�O¦D¢3��������¡J��¢+�P���X�3�D�m°J�_¦D�J�D��¢+�±������g���3�������^���D�J���J±����A�+�D�|�g�£�% _���J���Z�g� ® ���J���J±��P�����+�D��°D�'��±­¯����J�X�D��¢3�����r�O¡J��±����J���¢����+���X���l�3�D���O�_¦D¢�±����M���'�<���g�m�����A�>¤6��±��^�3�D���g�<�� ������%�V�g� ® �'�J�%��±������u���g�l�k����³

−4000 −3500 −3000 −2500 −2000 −1500 −1000 −500 0 500−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

7$@4�SDFES�{�5� �(+,)7O*�C /�;�,OL� d&)2�C�5�=@ �G%2�(+/�a�$'2�8�C�2�,)7:$FiX,)/Zag d*�&. �"^,)L�7O/�*�4�L�/�*�,D,)L� #"%$f&O(+*�&)&W$@/�8/�8�,.-#/�01&.,+2�4� Z5�7) �(+/%8�"%$9,:$9/%8� �73&�S´.� �+�D�£�N����¢+¯6�h���!���3�O¦ ® �m�3�D�l°D�'��±­¯�� ð�+,+t���J�y� ð �Q� ��¢+�!��¢3¢+����¦J±���°����û���<�% _���J�����'��g� ® ���J���g�r�%�J�º�3�D��°D�'��±­¯�� ð8+ � ���J�,ð � +\�%¢+�|���<�% _���J�����'�û�g� ® ���J���g��³F Y���3�û�+�D� ® ��²�g¦��j�)�� _�m�'�p�1¢3�����#�%�wð �Q� �%�'�D°D�'��±­¯��Z�%¢+�5?J² ® �%�3¢+�<±����q�X�'�+�|¡J���O�'�+�'���A�g�<�� ������%�J�����+¢+�'����³¶M�D���)�û±��_�J�g���3���_�J�l�g� �����l _¦J�%¢Û�%���+���û�D�£±��!¡D¢+�_¡J��¢+�3���������Y�3�D�û�X�D���'� ® ���+¢3����ðZ³�º��¢3��������¢����+�D�Ó8��_±���°��<�%� ® ���+¢+� ���<�h�D�' ��D�'�P�D�_�D²ü�O� ®l® ���3¢+�<±V�%�J�����J�����J�D�'�+�X����¡�¢+����²±���¡�����³�¶M�D�£�M�<�M�+��� ® �%���¸�%¢+ _¦ ® �����M�'�l�ü�>���_¢M�����g��±��_¦D¡D�'���D \�O�+¢Û�%�3�� ��'���w�3�� �������¢����+�¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢��M�1��¢�§b>E¬k�O�'�J±���°���+�+��¢A±���������¢+ _���J±���°J���J�������_¢�±����º°J�P�_°D�������D�>�µ°������¡D���_���+�'�D P�3�D���%�' ���°D¢Û�%�£±ø¡�¢+��¡J��¢3�+�'���M�%�Z�3�D�28���±��_°D�<���º°D�'��±­¯���³

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.01

0

0.01

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−1

0

1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000−10

0

10

−4000 −3500 −3000 −2500 −2000 −1500 −1000 −500 0−0.5

0

0.5

7$@4�SJÄ�S{�5� �(+,O732P/�;d,)L� �a�=@/e(Oc�&A(+/�C�5g/_&W$@8�4�,)L� �&)2�CN5�=9 HG�2�(+/�a�$'2�8!CP2�,)7.$IiJSI7E7)/�C ,)/�5|,O/ag/�,),)/�Cm¼_,OL� �B\(+/�7O7) �&.5�/%8�"�,)/HJ +,+8K J + � K J � + 2�8�"�J �Q� S´.���+�D�A�D�����Z�O�>±��+�'���G�����X¡D¢+�_ �¢3���+�)�������'�P���'��¦J�)�+¢Û�%�+�X�_¦D¢��%�J�������O�£�U°��P�'����¯����D ����X�O¡J��±�²�+¢3¦ ® ±��J�%�D _���X�%�����)�g¡D�£±��%�ã8���±��_°D�<��� ® ���+¢3���t�>�1�+��¢���¡D¡D�������� |�g�f¤6��¢3���g�X�_¡J��¢����+��¢Û���¢+���)¦D���3���D ��1¢3� ® �P� ® �%�'�J�+±��%���A¢+�>�O��¢3������¢U�O� ® ¦D�£�%�+�'���!§1�.³ÿ�e³��_�N¡D¢3��°D�'� ® �X���3�m _¢+�<�t�O��ù���%� ÆL%iÆL%Ø:�¬P�X�D��¢+�!�+�D�t°D����±�¯D�Êð +�+ z%ð + � z�ð � + �%�J��� ð �Q� ��¢+�!¡J���O�'�+�'���º�)����°D�����V���±����>�%¢+�'�!�g��¡��<±��3���l���$×h�� _¦D¢+� � ³!×h�� _¦D¢+�2�l�)�D���A�^�+���%�A�+�D� ® �%�3¢+���|�<�X�����g�����l�D�' ��D�'����J�����J�D�'�+��³Z�^�_�+�u�+�J���l�����+����¦D _� �3�D�º���' ������_�%�'¦D�����%¢3�û�<��¢+ ������n�)¡D¢+���_�Y�%�'���D  �3�D��D�� e�%�+�'����¢+�>�%�G���g�£�M�+�D�¢)��������>�O�+��¢�«I�#�£�>�Y���Z������¢+�3�<�N���J�O¦D¢3���j�3�J�%�A�+����¢+����¢+���%�X�'�����)�h43�§1�.³ ��³����J���f�V�%�Z�3�D���+���Û�%�1¬Z���� _���g�_����¦D���M�X�'�+�!¡J���)���+�'����¢+�>�%�G¡J��¢+��³

Ö

Page 11: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

M @BA�����1D1KW�1�9åR�JDwAg���g���J��C¶M�D�M�£�g���M���G����±���¦�¡D���'�D X��¡J��¢Û�%�+�_¢��h�����h�D�_�h�_�D����°J������°J�%¢3�����ø�O�����+���������+�D�Z ����D��¢�������'�+��¢Û�%�+¦�¢+�|°D¦D�����<�)�û�J���P°J����� �+¢+�>�%�+�>�ú���D�'�ú�'� ¡J�_�+�O�'�D º�1��¢�¢3���O��¢+�����'¢��O� ® ¦D�£�%�+�'������'�D���%¢V�O�_������¢Û��³Z)e� ® �����%� �+�D���'¢h¡J�_�+�����+�£�%�J�_�U��¤��>±��+�'���j¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D��¢Û�q�1��¢Z±���¦D¡D�'����O���O�3� ® �M�J�_�^°J�����º¦��J�g��¢3���O�3� ® ���+���m�_¢�������¢+�'����¯����6�g¡J��¢+���%¡J����¦D�P�3�l�+�D�\���3�O¦ ® ¡�²�+�'���û�+���%��¡D¢3���+�)¦D¢+��°J���)���û¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢Û�^�_±�±��_¦D�g�X�1��¢ø�%���d�+���|�g� ® �'�J�%���X��¤6��±��Û����n�+���º�)�D�)�+� ® ³��^�g�1�_¢+�3¦D�J�%�3�����e�h�+���<���<�P�D�R���_�D ���¢��3¢+¦D�u¦D�J�g��¢��<�%¢3 �� ±­�J���D ��>�P���±�����±������+¢����+�'���J�M�'��¯����'����±�±�¦D¢3¢+���� |�%�A�D�� _� M��%� ¢��%�3���M��¢r�%�A�<��¢+ _��¢X�+� ® ���)�+��¡���³+X�%�D¯ UWY�\]�O � :�ü�%�X�'�+���3�D����¢ \]�Y{UªV�XF\YlUWülý%]�c ¤ Ý*Ü=\ ¤ Y[cdV%S°±=\YbSQcdXLNO9QPSR$T § UWYO��c�� ��¡D¢+�_¡J���O��û�O� ® ¡D�����X���R�+�û�M�>�%¯����R�+�D�¸±���¦D¡������� º�%�r��¢+�f�1�3².���f¤6¦J�O�'���n��¥�¦J�%�3���_�J�N�3�J�%����±�±�¦D¢���!�)� ® �£±����J��¦J±��+�_¢��g�����<±�� ® ���g���'���D �³�¶M�D���l¦J�)�� �¢3���%�3���t�O� ® ¡D���@�1�g�'�D ��_�+�O¦ ® ¡D�+�'���J����D���M������¢����+���%�J������ù��X�+���A�g��±��_¦D¡D���'�D �¡D¢3��±����3�U�1��¢Z¡D¢3��±��_�J�g���3���_�D���D r���������%¢Z�)�D�)�+� ® ��³(w�>±������M����¡J��¢+�'���J±����#�X�'�+�$+X�%�D¯ UWY`\]�O ����±���¦�¡D���'�D ���¡J��¢Û�%�+�_¢���¢+��¢+��¡�_¢+�3���l���Ø� ¹�Ö �ü³¶M�D���'¢j����¢3¯m�J�_�j�_�%�'¦D�A���|�+�D��±������+�����#�%� ® ¦D�'�+��²1¡D�J�_�O�*MJ��� �)���J±��X�3�D���'¢M����±���¦�¡D���'�D ��¡J��¢Û�%�+�_¢����>���D�X�+�!�|�O�' ��D���6±����g�r±���¦��O�+��¢+���� ��%�Z���' ������_�%�'¦D���X���3�O��±��£�%�3���º�X���3��8���±���²°D�<��� ® ���+¢+�£±����#��±�±�¦�¢+¢+�'�D ���¦D¢+�'�D ��+�D�ø�O� ® ¦D�£�%�+�'����¡D¢3��±����3��³F�º�_¢+��������¢������l����¢3��¢���¢+�±����)���!§.�g���3��±��3��� ���D�'�n�>�1�3��¢m�=�g�3���J�O�'���l����¡J��¢+� ® �������%�3���_�ú�X�'�+�n¢����J�g� ® ® �%�3¢+�£±�����X�D���)�P°D�'��±­¯��X��°J���!��¦D¢r���3�O¦ ® ¡D�+�'���J�M�1��¢A�+�D��°D�'��±­¯��X�%�/ð#¬Û�D�+�D��¢3���O¦D�'�+�'�D l����±���¦�²¡D���>�m�)�D�)�+� ® �ü�%�'�<�#�+���J�����r�%�'����� ����g�_�%�'¦D���#�������� P���t�+�D��¢3�� _�g�Z�J���f�d�%�d�3�D��±�� ® ¡D�'���¡D�<���D��³J¶M�D�£�^�)¦D � _���O�Û�^�+����±��_�g�����������J±��^���M� ® ¡D���������D ��)¦J±­� �g��±��_¦D¡D�'���D ��_¡��¢��%�3��¢Û��1��¢A¢+� ® �%������ P���D�' ��u�g�� _¢+�����%�V�����g���J�D�'�+�������+�M�'�l�+�D���_¢+�� _���J���h�'���D�>�%¢X�)�D�)�+� ® ³

U�OQP P/]�c ¤ ÝV�ZU ¤ cda�©J]�SQX��-Z���J�)�<�g��¢^�3�D�28���±��_°D�<���º�)�D�)�+� ® �O�D���X�º�'�R§b>E¬k�%���¸�'���X¦J�A�g���J���

W v ()* WX+,+5WX+ �W � +VW �Q�-/.0 v ()*ZY Ã/[�6§{ð�+,+�¬ Y Ã/[�6§{ð�+ � ¬

Y Ã�[ �6§lð � +�¬ Y Ã/[ �6§lð �Q� ¬-/.0 z § � ¬

�+�J���X�<���g� ® �%�+¢3�����%���\% �P°D����±�¯D�#���_±­�t�%�d�+��� ® ±��������%�'�D���� P�+��� ® �%�'�l���<�% _���J���G�%��+�D��±��_¢+¢3���O¡J�����g���D |°D�'��±­¯l���/ðZ³�´:�A±�������¢+�����1���'�����A�M�+���%�

ð^]`_aW Ñ · ð�v ()* È Ñ · È Ñ · -/.0 ()* W �Q� ð�+,+`�bWX+ � ð � +�W �Q� ð�+ � �bWX+ � ð �Q�WX+,+½ð � +`�bW � +�ð�+,+5WX+,+�ð �Q� �bW � +�ð�+ �-/.0

_ ()* ð ]+,+ ð ]+ �ð ]� + ð ]�Q�- .0 z §bÆ�¬

¹

Page 12: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

�X�D��¢3�0Èc_dWX+,+eW �Q� �fWX+ � W � +_�D���J�l�+�D���)¦D¡J��¢��3±�¢+�'¡D�ZW �J�����^°J�����t�����+¢+����¦J±����p�1�_¢�<���+��¢����������+�'���J���X±��_�g�����������J±���³F�^�'� ® �����û���<�% _���J���Z���g�3¢+�'���^�%���3�D� ® �%��� �g�<�� ��_�J�%�°D����±�¯��G�%¢+�Z��¥�¦J�����+�A���D���%���N�+�����O���%���+�D�Z��¤�²ü�g�£�% ��_�J�%��°D����±�¯D�G��¢+�k�%���_��¥�¦J�%���3�^ù���¢+�D³´.�º�ü��±������M�|±����ú�=�g¡J��±��r�+�J���N�3�D�|�g�� _¢+�������A±��_¦D¡D�'���D !�%���3�D�m��¤6².�g�£�% _���J���M°D�'��±­¯���%�ñðn�J����°J�����R¢+����¦J±����º�3�º�)� ® �������+������³!+X�%�D¯ U³Y{OÂ\]�O � :½�#��°J�)��¢+�����3�J�%���3�D�<�^�_¡D²��¢����+�'���º�����%¯����J�M�+�D��±��_¦D¡D�'���D |°J���)�M�����!�3�D��¡J�%¢3�+�<���#���f¤6��¢+���g�3�<�%�6��¥�¦J�%�3��������³J�^�_�+��+�J�����+�D�t��¡J��¢����+�'���n�<���O� ® ¡D���|�+� ±��%¢3¢+�R��¦D�|���J� ® ���û�D����� ® ¡D��� �%�'�+��¢Û�%�+�'���J�P�3��+�D�t¦D�J�g��¢3�������D u�D�����û�)�+¢+¦�±��+¦D¢3�l�D�_�<�g�'�D º�3�D�l±�����÷!±�����������§W�e³ÿ D³'�d�g�<�� ������%� ® ���+¢+� ��O�3��¢��� ���¬Û³d´:�û�3�D�<�r±����)���;�J���|�g�£�% _���J���<���%�k�����D _�+�Øh63��%¢3�����D�_¦D �� �3�l ��!°J�_±­¯ �%�J��1��¢3�+�R°���O�������u�+�D���_¢+�� _���J�����O���O�+� ® ð ���J�û�+�D�|¡J�%¢3�+�£�%���'�u�g��±��_¦D¡D���>�û�O���O�+� ® ð ] ì´.�µ¡��g���O�£±��%�6�+��¢ ® �����+���P����±���¦�¡D���'�D P�_¡��¢��%�3��¢A�+�����D�w�3�|�%¡D¡�¢+���g� ® �%�3��¡D¢3���+�)¦D¢+��±��_²��÷¸±����������Z�_�w�@�Z±��_�J±������+¢Û�%�3�����¸�g��¢+�'�_�%�+�'�����j����¢+�r�D�� ��'��±��3���m���!�3�D���+¢����J� ® �<�+�)��°D�'���'�O�±�� ® ¡D¦D�����+�'���G³Jâ^���J±����D�3�D�<�X�<�^�'��¯����3�+� ® ��²1�<�% _ ��'�D d�m�_¢^��������¦J���+�'�D !�O� ® �P�3¢����J� ® �£�O²�O�'°D���'���+�'���j�=�g¡D�'�<±��'�+�'��³ R�P¡D¢3���1��¢X�+���ø�1�_¢ ® W Ñ · ðR������¢'ðgW Ñ · �O�'�J±����+���N�£�%�3�+��¢ ® ����O¡J���'�G�+�D���'�D�D��¢3���g�k�g�<�� ��_�J�%�Z��� ® �'�J�%�J±��^���/ðFì¶M�D���'+/× �g��±��_¦D¡D���'�D |��¡J��¢����+�_¢P�_� ® �'���A�%�D�_�+�D��¢r¢+��¡D¢3���O���g�Û�%�+�'���G�J°��û���3�O��±��£�%�3���D � ® �����'��¢ ® �%�+¢3����°D�'��±­¯��h�X���3�m¦��D¯g���%�X���j�)�J�%¢3���D \�� �¢+�£�p°�����±�¯�³�¶M���<� ® �����J�q�3�P¡J��¢3²® ¦��+�M¢3���A�M�%���l±����'¦ ® �J�d�%�wðZ���ü³ÿ��³'���+����¦ ® °��¢#������¢3�P¡D¢3���+�)¦D¢+�A¦D�D¯��D���X�m�1���'�����M�>�°g���3�D�X±��_�J±������+¢Û�%�3������¦D��¯g�D���X�|���#�+�D�k�+� ® �Z �¢+�£�N°D�'��±­¯|§1�����+��¢3�����������X�g¦ ® °J��¢3���D �¬�³è ��� � °J���+�D� ® ���+¢+� �m�3�J�%�X¡J��¢)�1��¢ ® �X�O¦J±��!¡J��¢ ® ¦D�����+�'���!���J�º�g�%�J�D�

hð�v � ð � � v())))))))*hð · ¶ · hð · ¶ È t�t�t hð · ¶ neihð È ¶ · hð È ¶ È hð È ¶ nei³³³ ³ ³ ³ ³³³hðdnji.¶ · hðdnei.¶ È t�t�t hðdnei.¶ nji

-/........0z

�X�D��¢3�

hðd·�¶ ¹Âv ()* §{ð�+,+�¬ ·�¶ ¹ §lð�+ � ¬ ·�¶ ¹§lð � +�¬ · ¶ ¹ §{ð �Q� ¬ ·�¶ ¹-/.0 z

�<�h�3�D�ñ�"%2� ® �%�3¢+� �N¢3��¡D¢3���O�����+�'�D ��3�D�A±���¦�¡D���'�D �°���O��������¦D�D¯��D���X�J�M�)�J�%¢3���D ��� �¢3�<�°D����±�¯6³D´.�A±����>�%¢+�'�p�1�_���'�%�A�j�1�_¢A�%�u��������¢+�3��°D�'�QW �3�J�%�5kW Ñ · v � W Ñ · � � ³FâA���J±����lkW Ñ ·�<�#�A°D����±�¯��g�£�% _���J��� ® �%�+¢3�����X�����O�A°D�'��±­¯��#�%¢3�X�+�D�X�'�g����¢��O�>���%�G�3�D�/8��_±���°��<�%�|°D�'��±­¯��

¹�¹

Page 13: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

���3�O��±��£�%�+�>�µ�+�t������±����G¡D¢+�_°D��� ® �%�A���_±­�! �¢3�<�l°D�'��±­¯6³D¶M�J���^�£���

kW Ñ · v())))))))*hð Ñ ·· ¶ · t�t�t hð Ñ ·È ¶ È ³³³ ³ ³ ³ ³³³ t�t�t hð Ñ ·nei.¶ nji

- ........0ì § Ö ¬

¶q�A�1�����'��� �+�D�X¦��J�g��¢3�������D X�D�_�����+���_�G���'���h¦��#�g���J���M�+���X�%�'�+��¢3�J�%�3�X�g�>±���¦D¡��������O���O�+� ®��� hð ] _mkW Ñ · hð,v � W Ñ · ð � � ìJ¶M�D�£�w�£�g���|�%¡D¡J����¢��^¢Û�%�3�D��¢A�J�%�3¦D¢����.³6´:�!�ü��±����J+M���D�'��%�J��n��'�J�O� ® �¯� � �o±�� ®t® �����#��°�_¦D�A�+�D��¡J�e�+�O�'°D���'���)�|�%�V�g��±���¦D¡D�'���D  ® ��¢+�A��¥�¦J�%�3���_�J���� �+�D����¢ ® ���+�D���Y°D¦D�!�������Y�X���3� ¢3���O¡J��±��µ¡�¢+���3�O¦D¢3� ±�����÷!±��'��������³k¶M�D���Y���<�Y�D����1��¢3���O���A�+���^¡J���)���3�����A��¤6��±����e���j�����)�J�%�'�J�D���3��°J�����������3�J�%�k�ø�1¦D�'�J�g��±��_¦D¡D�'���D ��%�d�3�D� �¢3�<�l°D����±�¯l�J�_�w�'�u±����J�����+�'���D�'�D ��+���P�)�D�)�+� ® ³

¶M�D�û±���¢+�u�%���+���û±�� ® °D�'�J�%�3�����!��¡D¡D¢3����±��Y�<���+���º��¤6��±��3�����!�)���'¦D�+�'���Y�%��¡D¢3���+�)¦D¢+��²°J���)��� �)�D�)�+� ® ���d�O�R�+�D��¢+�!�<�P�D�R�D���>� �3�ú _�ú°J�����_�J� ���n�+���º����±���¦�¡D���'�D û¡D¢+��±����+���������¡D¢+�>�+�O�>�ý�'�n§ Ö ¬Û³d¶M�D�l±�����÷!±����������X�����+¢3���g¦J±��'�D !�+�D�|±��_¦D¡D�'���D !�X���3�ú¡�¢+���3�O¦D¢3����X���3�D��� �+�D�R �¢3�<�Y°D����±�¯ �%¢3�úù���¢+����� ��¦D�u�O� �+�J���û±��_¢+¢3���O¡J�����g���D  ±�����÷!±����������l����D���' ���°�_¢+�'�D P _¢+�<�|°D����±�¯D�Z��¢+������¡J��±��3���p�3�P°J��±�� ® �A� ® �%���ü³�¶G�P°J� ® �_¢+�X¡D¢3��±��<�)���������

kop+Óv())))))))*§ kop+�¬ · tdtdt § kop+�¬ È ³³³ ³ ³ ³ ³³³ t�t�t § kop+�¬[nji

- ........0z § ¹ E¬

�X�D��¢3�!§�koq+�¬b·wvsr�n ø8t n ø �y� · � � · q §l� � · ð ·�·.� · ¬�� · � � · hð Ñ ··�· �G���J�~� · v § ¹ zWE¬,�)³G¶M����¢+���1�_¢+����+�D�A��¡J��¢Û�%�3��¢ ko + §W�'�g�3¢+���g¦J±����p°��� �%�'���£�h���|�D�<�V´{�û¨Zª*)��O����²ü�O�Û�% ��r¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢� �`¹ �W¬J�£�h�X°D�'��±­¯r�g�<�� ��_�J�%� ® �%�+¢3���A�+�J���G¢+� ® �%���>��+���M±���¦D¡D�'���D X�'������±��2�u%Â���g�<�� ��_�J�%�°D����±�¯l�X�'�+�!¢+���)¡J��±��X�+���3�D��¡D¢+�>�+�O¦�¢+�P¦��D¯g���%�X�o�D�.³ÿ�e³������X¢3�����g�'�����1���'�����A�M�+�J���

§ ko + ¬ · hð ·�· v hð ·�· ��� · � � · hð ·�· qmv � � · hð ·�· � ·,w � · � � · v ()* §lð +,+ ¬ ·�¶ ¹ §{ð � + ¬ ·�¶ ¹ §bð �Q� ¬ ·�¶ ¹

- .0 ì¹ �

Page 14: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

ú�t±��_¦D�<� ���<�)�û�g�����D�l��� ��¡J��¢Û�%�3��¢ ko � �X�'�+� �3�D�l±��%�D�_�D�<±����Z����±��+�_¢¢� È v §b6z ¹ ¬ � ³¶M�D��±������O��±�¦��+�����ø±���¦D���+��¢+¡J��¢+���xoq+_�g���Z�+���P�����3��¢+�J���+����¡J��¢Û�%�3��¢ kop+��£�M ��'�����l°��

ð4y�z{_aoq+�ð v ()* È Ñ · WX+�+ r�nji t nji -/.0 ()* W �Q� ð�+,+`�bWX+ � ð � +|W �Q� ð�+ � �bWX+ � ð �Q�ð � + ð �Q�-/.0

_ ()* ð y z+�+ ð y z+ �ð y z� + ð y z�Q�-/.0 ì § ¹�¹ ¬

-Z������¢+�'����3�D����������¢�°D�'��±­¯����%¢3��¦D� ® �����°�J���û�_���M���'�#�_�ø�3�D� ® �����û���<�% _���J���Z�%�X�3�D�¢+���)¦D���3���D �¡�¢+���3�O¦D¢3�N°�����±�¯û§W�ü³ÿ��³'�|ð y�z� + _¡ð � +����J��ð yuz�Q� _¨ð �Q� ³@¬´.�l��¢Û�g��¢X�+��¢+����¦J±����3�D���%�'¢+���_�g�t�g��±��_¦D¡D���>�l�O���O�3� ® �3�P�_�D������������������ ��P¡J�%¢3�+�£±�¦D�<��¢�O�����%�ø±�����÷¸±������g�Û���d�+�����d�+�D�e�O�u���3�O��±��£�%�+�>� �3�û¡D¢+�>�+�O¦�¢+�!¦D�D¯��D���X�J���d�+�D�!�_¡��¢��%�3��¢} �+ î ´à( nji t È nei �£�^�g�%�J�D���l°��

§/} �+ ¬[·5¹/v ~�� ��¹ �@� Ã9v¡�¸�%�J��ÄÊv ¹ q ��§¦��� ¹ ¬Jz����3�D��¢+�X�£�O�

�1��¢��,v ¹ zW�6z�ì�ì�ì�z³h43�³h´.� �3�D�<���'���g�£±��� _¢���¡D�D�<±|�%�'�+��¢3�J�%�3�m¦��D¯g���%�X�n��¦ ® °��¢+���� D�J�M�±���¦��<���%�£�O�r�g���J�D�ãÄÊv�� q ��§{�2� ¹ ¬J�1��¢g} � � �+�X�_°D�������P�3�D��±���¢3¢+���)¡J���J�g�'�D r±����J±����g�3¢���²�+�'���û±�����÷!±�����������³g¶M���<�X¡D¢+���)�������%�3���_�º±��%�º°J�������)�����|�����+�����g���l�+� ® ��¢3��¦D�D¯��D���X�J��O�J��¢+�'�D l�� ��'�����l _¢+�<�l¡J���'�g��§W�e³ÿ D³'�g�3�D¢+���r¡D�J���)���A�%�J� ® ¦D�'�+�'².±�� ® ¡J�_�D�����M�)�D�)�+� ® ��³f¬

U�O�N �`V¦c�©JU%VWYbS.U¦e c{Ü0YO�JU/©�\dVªY[SQ\]�];#V�ZU ¤ cda�©J]�U=�7ý�]�c ¤ Ý�e´.�º ����D��¢����.�D�'�X�<�A�g�f÷¸±�¦D�'��§.���J�µ�'�µ�ü�_±����J���û��¡J���º¡�¢+��°���� ® �'� ® ���g�|¢+���<�%�3���Ê�J���£�D�� ¹ �5:D� Ö � ¹ Æ��1¬G�+��±��J�%¢Û��±��3��¢+�'ù��Z¡D¢+�_¡J��¢+�3�����h�1��¢V�+�D�r±���¦�¡D�����28���±��_°D�<��� ® �%�+¢3�����%���p�������® ��¢3�A�O���@�G���Z�J�_�M°J�����t�>¤6��±��3���m°��|�O� ® �^���d�+�D�A��¡J��¢Û�%�+�_¢��X�g�>�+±�¢3��°J���l��°������³�¶M�D�£��<�m�_�D�º�����+�D�û¢3�����)���J�l�+���%�l�3�D����¢3� ±����J±���¢+�D�'�D  �����<�)�+����±��u�%�J�Y��¡D¡D���£±��%°������'�)� �%��g�f¤6��¢3�����G���������%¢o�O���'����¢����_¢h¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D��¢Û���<��°J�_�O���������)� ® �U�O¡J��±����6±Z���+�)¦ ® ¡D�3���_�J����n�+��� ® �%�3¢+� �,ðZ³d´:� ��¦D¢|±��_�O���d�+�D��¢+�|�<�P�D�u�+�D���_¢+���3�<±����M¢3���O¦D�'���+�J���|�g���+��¢ ® �'�D����X�D���Øðú�£�w¡J�e�O���3�������O�Û�%°D�'�����J� ® �_¢+��������¢��g�X�D���º�+���P�)� ®t® ���+¢3�<±M¡J��¢+�A�%�Óð ±���¦��<��J�����P�_�D���u¡�e�O�'�+���������� _����������¦D�>�^�����+����¦D _�ú�3�D� ® ���+¢3���l�J�_���O� ® �P°D�'��±­¯��^�+���%����¢+��º² ® �%�+¢3�<±��>�j���J�µ¡�¢+���)���g�A���<�% _���J���#��� ® �'�J�%�J±���³

´.�m�3�D���%¡�¡D���£±��%�3�������U���d���3��¢����+�����A�)���'����¢��#���Z�£�V�1¦��J�D� ® ���g�Û�%�D�3�P�J�����r�%�l�£�g�����%�d�3�D��O¡J��±��3¢+¦ ® �%�V�+������¡J��¢Û�%�+�_¢��M�_�µ�X���<±��l�+�D���|�%¢+����¡D¡D���'�������1��¢X�@�d���������� ����g�_�%�'¦D���h�ü�%�'���� �3�D�|¢+�� _�g���J�%�@�X���A�+�D�t±�� ® ¡D�����u¡D�<���D�����3�D���_¢+���3�<±����M±���������¢+ _���J±������A�+�D�|���3��¢���²�+�'��� ® ���+�D���û�<�P�����O¦D¢3����³1�^�<�)�º� ® ¡J��¢+�Û�%���P�£�N�+� �g���3��±����º¡J�e�+�O�'°D���¸±���¦J�)�+��¢3���D u�%�

¹=�

Page 15: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

�+�D�|���' ������_�%��¦������O����±��m�3�D�<� ® ���û�'�J±�¢+�>���O���3�D�l¢Û�%�+�|�%�r±���������¢+ _���J±���³o¶M�M�º� ®l® ��²�g�<���+��¢+���)¦D���Û�^±����û°J���O���%�X�º�1�_¢��+���P�����g�����<�g¦��%�d�g�£�% ��_�J�%�V°D����±�¯D�X�%���3�D�P¡J��¢+�3�<�%�'����g��±��_¦D¡D�'���B8���±��_°D�<���º�+��¢+��¦� ��º�3�D����±��3���_�µ����W!�J���X���J�g�£±��%�3���l���û§[ÆE¬Û³��G1Ag�J��A6L � �UWY ð�+,+ \dX� �0ð �Q� ý�UQ�dSQ\j�dcdXF\] ];#ÊSQV%VªU=�da ¤ SQý�]�#��1ü § \Y[V�S ¤ U�eñ\dX��]�UWY ð�+ �\dX� ð � + ý�U��<ü § \YbV%S ¤ U¦e2SQX ´à( nei t nei�� YO�JU%X ð ]+,+ \dXI� ð ]�Q� \dVªUQ��ü § \Y[V%S ¤ U¦e�O

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−4

−2

0

2

4x 10

−3

−4000 −3500 −3000 −2500 −2000 −1500 −1000 −500 0 500−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

7$@4�S%Â�S�{�5� �(+,)7+2A/>;�,OL� Z5�2�7),.$'2�=I=@B�"� �(+/�*�5�=@ �"N;</�7)C�&�/>;�,OL� �&)2�C�5�=@ ZG�2�(+/�a�$'2�8PC�2�,O7.$Ii�S�T#L� /�8� A2>a�/�?� A(+/�7)7O �&.5�/�8�"�&j,)/5� Ñ · JG¼D2�8�"P,)L� X/�8� ^a� +=@/�-n,)/!k� hJf�1/�7# �K%*�$9?�2�=@ �8_,:=9B�¼x��JGS��¶M�D���O�3¢��%�' ����O�1�_¢+�X��¢��l¡D¢3���%��±����l°J���1��¦D�J�l�'�Ø�5� � �.³�´.�X±����º���<�)��°���)�D���X�µ�3�J�%�X�3�D��g�<�� ��_�J�%�d°D����±�¯��3ð ]+,+ ���J�þð ]�Q� ��¢+��¡J���O�'�+�'�����O�Û�%°D�'�����g�J¶M�D����¢+� ® >g³ ¹ �g�J¡J�� ��¢� ¹I¹ �.³¶M�D����¤6��±��A�%���3�D���O��¡D¢+�_¡J��¢+�3������±��%�û°J�|�O�����û����×d�� �¦�¢+��:t�X�D�<±��û�)�D���A�ø�3�D�|�O¡J��±�²�+¢3¦ ® �%�o�+�D�A¢+���)¦D���3���D  8���±��_°D�<��� ® �%�3¢+� �P���1�+��¢���¡D¡D�������� N�3�D�r�g��±��_¦D¡D���'�D ��_¡��¢��%�3��¢Û�W Ñ · ���J��ko ³d¶M�D�B8���±���°D�£�%�n�)¡�>±��+¢3¦ ® �J���P°J����� �)�� ����°�6±����g�3���R±�� ® ¡D¢3���+�)���û�%�J��O�D�@�1�+���û�+�u�+�D�|¢+�' ������J���f�A�%�k�+�D�t±�� ® ¡D���=�µ¡��<�%���m°��û�+�D�t��±��+���_� �%��W Ñ · ³�)�������¢��%��O� ® ���£�%¢#����¡J��¢+� ® �������h�'�J�g�£±��%�3���+�J���X°D¢+�>�%¯����D ��+�D��±��_¦D¡D���'�D P°J���)�������l¦D��¯g�D���X�J�M�£�® ��¢3�^��¤��>±��+�'�������X�+�D�£�j�+���%�º�3¢+�����D ��+��¡D¢3���O��¢+���r�O� ® ���g���)��¢���°D���r¡D¢+�_¡��¢+�+�'���j���#�3�D����J�������<�g¦J����°D�'��±­¯����J�_�^�����+���J�g���m°��!�+�D���g�>�O�� _�º���Zo §.�)�����+�D�� �¢3���%�r¢+���)� ® °��<�%��±��°J���)�M�����t�+�D���O¡J��±��+¢����%��o ðý�%�J��ð#¬�³

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2

0

2x 10

−3

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4−1

0

1x 10

−3

−0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03−0.01

0

0.01

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5−1

0

1x 10

−3

7$@4�S�Å�S�{�5� �(+,)7+2�/�;Z �2�(OL!a�=@/e(Ocu2�;<,) �7A"� �(+/�*�5�=I$@8�4º-#$@,)L��mSl7�7)/�C ,)/�5l,)/ma�/�,),O/�C|¼D,)L� �B(+/�7O7) �&.5�/%8�"�,)/�,)L� ��3Á%¼@Áj�3¼��3Á�¼�F��3¼E�/F�¼@Áj�G2�8�"���FE¼�F��6a�=@/�()c�&

¹ :

Page 16: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

� �5�P��³C����FåJA�Dd��A����J�h�d�<���W�J�1Ag��C�ZOQP 9£ý�V�S.U Ü¢ýW\ ¤ ÝD�dV¦cda6X��^¡D¡J����¢+���J±��l�%�ø�g��±��_¦D¡D�'���ú¡D¢3��±������g���3��������¢������n¢+���)��¢+���_��¢��O� ® ¦��<�%�3���_� �D���+���P°���±�¯�+� �3�D�¥¤ c § ý�SQXF\Y[SQ«�U ¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢l�%�¯+M���D�'�u�%�J��n������O� ® �,� � �ü�j°J�_�O���Y���Y�3�D��O�_��¦D�3���������6�^¢3���g¦J±��>�N¡D¢3���+�)¦D¢+�k�O���O�+� ® ³�� ® �����°�6±����+�'�����)����¯����D X�3������±���¦J���M ��'��°J������g�1�_¢ ® ���+�'�����X�_�q�£�%�+��¢G¡D¢+�_¡�e�O����°��0+M���D�'�Z�%�J�¢×D�_¢��O���+�7��>����%�J�0 �������£�w� � g� �`¹ �ü³f®A��+�D�����3�D��¢A�J�%�J�6���+�D�\±�����±��%�3���J�%�3���_�º��¢ø±�� ® °D�����%�+�'���l�������D������±��X¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D�'�D �O�Û�% ��>�M�J���M°J�����t¡D¢+�_¡�e�O���l�1��¢� ����D��¢��%�o�O� ®l® ���3¢+�'±M���J�l�D����².�)� ®l® ���+¢3�<±j¡�¢+��°���� ® �� � ��X°D¦D�\�O¡J��±��£�%�'���R��� �3�D�u±������+�������%�ø�g� ® �%��� �g��±�� ® ¡J���O�'�+�'������Æg���½���Z�1��¢�MJ��� ���¡J��¢+�_¦J� ® ���g�£�g³�¶M�D���)�P��¤6�_¢+�������D���M������¢����g�m�������_�D�g¢+�>�+�^�3�D���+��¡��<±N�����O¡J��±��<�%�'��ù��>�¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢��j�1��¢A±���¦D¡D�'���l��¥�¦J�%�3��������³

¶M�D�|¦J�O�l���X�)�M�_².�)���� �� ® ���+�D���D���£�ø�����P����� §ü�O���|��³ÿ �³��w���>��M���J�ú¢3���1��¢+���J±�����±����+�>��+�D��¢+��¬Û³�¶M�D���|��¢+�r�%�<�)��¯g�D���X�t���Z���D�D��¢+²1��¦D�3��¢Z��¢Z���D�=�D�_±��#���3��¢����+�'���J�Ó� ¹=� �����ü³�´.�m�3�D�±������+�=�g���%�A¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D���� º�+�����û�J�����m°J����� ¢+���1��¢+¢+�>�ý�3�û���P�����D�'���D����¢��G�_�%¢3�<�%°������¢X�'�D�D��¢3²W�_¦D�+��¢X¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D��¢Û�'�5����� � �.³�¶M�D���l���>���r°�����u�%�<�)�|�O¦D°F�)�>±��M���Z�)�+¦J�g�t���¡J�%¢Û�%�'�����J±�� ® ¡D¦��+���� ��O���3�+�'�D ��A§W��³  D³��)���¢� ¹I¹ �����J�p�1¦D¢3�+�D��¢#¢+���1��¢+���J±����h�+����¢+���'�G³f¬�â^���X²������¢������l�3�D�r±������+�����Z�%�d�£�%¢+ _��²ü�+±��������)�D�)�+� ® �d�%�V±��_¦D¡D���>�m��¥�¦J�%�3�������j�+�����|�O�3¢��%�� ����'��O��� ® �3���J������°J�����l������¢3������¯��>��³�¶M�D��¢+���D���M���������+��¢3���O�����l¦��O���� ��O����²ü�O�Û�% �� ® ���+�D²���D�M�<���g¦D���3��¢+��±����g���g���������_¡ ® �������G���B#�¢3�g�'�%��²ü�O¦D°J�)¡J��±�� ® ���3�D���D�#�+�J��� ® �%¯��X�3�D��O�_��¦D�3�����u�%�Z�3�D���<��¢+ ������D����¢X���'�D���%¢A�)�D�)�+� ® �M�>¤6�_¢��D��°D����³!×D��¢A����� ® ¡D�'�����+�D�2�^ù>�>�k��%�' ���¢3���3� ® �J���G°J��������¢+�_¦D�J�ø�1�_¢ ® ��¢+�Z�3�J�%� � 4X�����%¢Û�h���J�N�'�G�X���G��������¢+��±����g�3���X�3�J�%��O� ® �m¢3���O�>�%¢�±��D��¢Û�ø�1�_¢ ® ������ù����º���Û�ø�'�D������±�������¢��)���_� §1��³ÿ �³��Â� ¹�� �W¬Û³#´.�n�3� ® ���ü���)�D���_�G������+�����O�����X����¢3¯��J���M°J�����|¢+�>±������+���\�g�����_�+�����+�����g�3���J�g�'�D �±�¦D¢3¢+�����Z�D���D²ü�O� ®l® ���+¢+�£±���3��¢����+�����r�O�_������¢Û�M�+�|�_±�±�� ®t® ���D�%�3�^�3�D�����D�=�D�_±��+�D�>�+�M��¢X�_��¢+�<��°D���'���)�|�%�V�+�D��¡D¢3��±�����²�g���3���_�D��¢M�1¢+� ® ���3��¢����+�'���!�+���'�+��¢Û�%�+�'���GþD�e³ÿ D³ã�5����� � ��� Ö �.³�ZO�N �wc § ý�SQXF\Y[SQ«�U0Y[Û�cü.e%Y[\j�ZU3©!VWU ¤ cdX�dS�Y[SQcdX;U%V-Z���J�)�<�g��¢µ�3�D�R�O����²ü�O�Û�% �� ¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢�� ����¡D¢+���3�O���Y�_�µ�3�D�R�O�_��¦D�3����� �%���3�D�¡D¢+�>±����J�����+�'���D�>�ý¢3���O�£�g¦J�%����¥�¦J�%�3�������L+e� v ò ³��^�<�)�D�d�g�������+� hð yuz _�koq+ hð#³V¶M�D����+�D���_±��+�'���!�%�Z�3�D��¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢Z�L+��£�X�g���3±�¢+�'°�>�m°g�t�+�D���1���'�����X���� |�O�+��¡J���ä Kæå�J���<��G9L ? §.¶M�M�_².�)���� ���-Z� ® °D�'�J�%�3������¬�Jç )����'��� v } �+ hð y z }�+ w 1 v�} �+ koq+ ò �%�J�u�g���D�_�+�����Û�X�O�_��¦D�3�����!°��� 1 ³?!ç ®^°����%�'�!���g¡��%�J�g�>�µ�)���'¦D�+�'��� 1 v�}Z+6 1 ³ú"ç -Z� ® ¡D¦��+���D��� ¢+���)�<�g¦��%�� ò v ò � hð 1 ³M"ç ¨U¢3��±��_�J�g���3���_�º���J�º±���¢+¢3��±����Êv  � Ñ ·  ò/q 1 ³

¹ 4

Page 17: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

¶M�D����±��3���_�º�%�V�+���N�X��������¡D¢3��±��_�J�g���3���_�D��¢A±����µ°J�\±�� ® ¡���±��3�����X¢+�'�+�3���u���

� v�� Ñ ·+ ò v  � Ñ ·{¡ r0� v hð��  � w }Z+ v } �+ hðgy z }�+ w Ñ · } �+ koq+B¢ ò ì § ¹ �E¬¶M�D�P¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D��¢  � �<�X�+�|°J��¡D¢+���1��¢��%°����l¢3��±�� ® ¡D¦D�+�>�p�1��¢A����±��u�^���X�3���!���3��¢���²�+�'���G�_�O���'�Z�O����¦D�£�P°�������)���'�ø�ü�_±��+�_¢+���6³f)��_�������D  v } �+ hð yuz }�+ w 1 v�} �+ koq+ ò ���+��¢��%�3�������'� ��'�����j¢3�<�O�r�+�|�P�D���)�+���|¡D¢+��±��>�g¦D¢+�e³D�^�_�+���3�J�%�Q� + �<���%�!������±��������1����������¢��)�X�%� hðû����+�D���)¦D°J�O¡���±��\�O¡J���D�D���!°g�|�+�D��±��_��¦ ® �J�j����}�+_³J¶M�J���^�£��� v � Ñ ·+ hð w }�+'v£}�+½ì

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

7$@4�S�¤�S�{�5g �(+,)732w/�;�,)L� SG�2�(+/�a�$'2�8�5�7O �(+/�8�"%$@,.$@/�8� �"P/�8�,)L� Z7.$@4�L�,d&W$'"� Ma_B�,)L� # +i�2�(+,d?� �7+&W$@/�8/�;Z,)L� F�{�~d/%Cra'�ü½zg7GTS�3¼a_Bl,)L� HF�{��k"�"L�)~Vzh]�TjzdyS�X2�8�"!a�Bl,)L� F�{_xm*�=9,^5�7) �(+/�8�"%$@0,.$@/�8� �7+&S�üy#¹Ov�¥MTS�3S¶M�D�<�P�£�N�3�D�l¡D¢3��±������g���3��������¢��_���O�����+���R°g�Ø �����'�<��� �¹ �.³#´.�n±������+¢��_�O���3�û�+�D�!±�� ® ²°D�����%�+�'��� ® ���+�����¸���`+M���D�������J�'n������O� ® ��� � �.�D�D��¡D¢+�_¡�e�O�����3�l�)���������+�D��¡D¢+�>�+�O¦�¢+��O���O�3� ® ���3��¢����+���������u�%�J�ú�1�_¢ ® ������ù����w�3�D�m�1�_¢ ® �%�A�+���m�_¡��¢��%�3��¢Û� ko + ���J�`} + ³1�^�'²�+�D�_¦D ��B �%�'���<�#¢3���1��¢��#�3���+�D�A¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢M�_�M�)�M��²ü�O�3��¡!´l�û¨Zª*)P¡D¢3��±��_�J�g���3���_�D��¢���M�!±����J�)�<�g��¢��+�D�t�+��¢ ® �O����²ü�O�Û�% �� ±�� ® °D�'�J�%�3�����P¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D��¢|§b�d)F-Z� ® °�¬ ® ��¢3��%¡D¡�¢+��¡�¢+�<���+���6��±�±���¢Û�g���D ��3�l� ® �_¢+���_±�±���¡D�3���l�+��¢ ® ���������_ ��P�1�_¢�±��_�g����¢+ ����g���D���O�3������D�=�D�_±��#¡D¢3��±����g¦D¢3���Z�%�J���+���3�D�M�1��¢ ® ��¢V�g���O�' ��J���+�'���|� ® ¡D�'�%���>�ø°��¢+M���D���k�%�J� n�����²�O� ® ��³!×h�� _¦D¢+�¯>ý§1�����1�A �¢Û�%¡D�6¬��)�D���A���+�D�|�)¡�>±��+¢3¦ ® ���M�3�D����¡J��¢Û�%�3��¢��1��¢��%�û�=�D�_±���O�_��¦D�3�����u�%�V�+�D��¡D¢3���+�)¦D¢+���)�D�)�+� ® ���X�D��¢3�  � �£�M�+�D���+¢3�<�g�£�% _���J���h¡J��¢+�A�%� hðZ³�ZO Ù 9Q�E�dS�Y[SQ«�U0\dXI� § ad]�Y[S5©J]�S ¤ \Y[SQ«�UÊU=>�Y{UªXfe=SQcdXfe Y���3�P�+���M¦J�)�M�%� kW Ñ · �%�J�P�'�J±��_¢+¡J��¢Û�%�+�'�D ��+�D�k�O�_��¦D�3�������+���A¢+���g¦�±�����±�����±������+¢����+�'����O���O�3� ® §1���û�_�D�g�'�+���_�ú�3�l�+���%���3�µ�3�D��¢+�>�g¦J±����!¡D¢+�>�+�O¦�¢+�|�O���O�3� ® ¬��M�\±��%�R� ® ¡�¢+������+�D�R¥�¦J�������)� �%���3�D�û¡D¢3���g�'��¦J�|¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢�³* R�û¡D¢+�_¡�e�O� �3� ��±�±�� ® ¡D�'�<�O� �+�D�£����D�����+�'�������!�_¢ ® ¦D�'�+��¡����'±��%�3���_�����_³D¶M�D�|¡D¢3��±������g���3���������º¢+���)�<�g¦��%�¦��vs� Ñ ·Ý,§B§=ò ���û�3�D�

¹ >

Page 18: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

���D�����+�'����±�� ® °D�'�J�%�3�����X�)�M�_².�)���� ����3±­��� ® ��§b�f)f���D�¬��<�M�_°D�������D���l°��ä Kæå�J���<��G9L ú §.¶M�M�_².�)���� ������D�����+�'����¬�Jç )����'��� v } �+ hð ] }Z+ w 1 v�} �+ kW Ñ · ò ���J�º�����D���3�������X�)���'¦D�+�'���º°��� 1 ³�Jç )����'��� v } � � hð ] } � w �3v¨} �© kW Ñ · ò �%���µ�����D���3�P�'���X�O�_��¦D�3���_�µ°��b ��³?!ç ®^°����%�'�!���g¡��%�J�g�>�µ�)���'¦D�+�'���J� 1 v¨}�+6 1 �%�J�$�3v�} �  ��³ú"ç ���D�l°J���+� �%¡D¡�¢+���g� ® �%�3���O�_��¦D�3���_�J�3Ë¢v 1 q ��³M"ç -Z� ® ¡D¦��+���D��� ¢+���)�<�g¦��%�� ò v ò � hð"ËJ³�!ç ¨U¢3��±��_�J�g���3���_�º���J�º±���¢+¢3��±����Êv  � Ñ ·  ò/q ËJ³´.�J�O�3���������3�D� ® ¦����+�'¡D���£±��%�3�@���R±�� ® °D�����%�+�'���û�)�M��²ü�O�Û�% _�Y¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢ §b�d)6�º¦D����¬¡D¢+�_¡J���O�>�µ�+���û�O�>¥E¦D���g�3�<�%�A�+¢3���%� ® �������%�\�+�D�u¡J�%¢3�+�<�����'� ¡D¢3��±������g���3��������� ¢3���O�£�g¦J�%�£��+�|��°D�Û�%�'�'�Êv¨� Ñ ·ª$«B¬�­ ò ³J´.�u�%�' ��_¢+���3� ® �£±^�+��¢ ® �#���X�£�M ��������µ°��ä Kæå�J���<��G9L M §.¶M�M�_².�)���� ����º¦D�'�+��¡����<±��%�+�'���%¬

�Jç )����'��� v } �+ hð ] }Z+ w 1 v�} �+ kW Ñ · ò ���J�º�����D���3�������X�)���'¦D�+�'���º°��� 1 ³?!ç ®^°����%�'�!���g¡��%�J�g�>�µ�)���'¦D�+�'���J� 1 v¨}�+6 1 ³ú"ç -Z���J�)�+¢+¦�±��^����� ¢3���O�£�g¦J���<�! ò v ò � hð 1 ³M"ç )����'��� v } � � hð ] } � w �3v¨} � � kW Ñ ·  ò �%�J�u�g���D�_�+�����Û�X�O�_��¦D�3�����u°g�® ïE³�!ç ®^°����%�'�!���g¡��%�J�g�>�µ�)���'¦D�+�'���J�Óï v�} �  �%³¯"ç -Z� ® ¡D¦��+���D��� ¢+���)�<�g¦��%�"g v ò � hðZ§[ï q 1 ¬�³° ç ¨U¢3��±��_�J�g���3���_�º���J�º±���¢+¢3��±����Êv  � Ñ · g q ï q 1 ³���+�)¦ ® �'�D ��+�J����°J���3�û¢+���g¦�±����µ¡�¢+���3�O¦D¢3���^���J�û±��_�J±������+¢Û�%�+�'���J�A�%¢3���)�������>�µ������±��3����%�J� �'�g�3¢+���g¦�±����D  �+�D�u�D���Û�%�+�'��� p �X_ }'� v } � � hð ] }'� w Ñ · } � � kW Ñ · �U�1�_¢���v 1 zWï��j�3�D���±��3���_�µ���Z�+�����O��¡D¢3��±������g���3��������¢��X±����!°��±��J�%¢Û��±��3��¢+�'ù����m°��

� v�� Ñ ·Ý,§B§ ò v  � Ñ ·"± r2� v hð$�  � w § p + q p � ¬/² ò z § ¹=� ¬�%�J�

� v�� Ñ ·ª$«B¬�­ ò v  � Ñ ·�± r0� v hð$�  � w v p + q p � � p � hð p + w ² ò ì § ¹ :g¬¶M�D���g�f¤6��¢3���J±��A°J���)�M�����l�+�D���)�M��¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢��j¢3���O�£�g���Z���!�+�D�r���J±��'¦J�O�'���l���#�3�D�±�¢+�e�+���+��¢ ® p � hð p + ¢3���O¦D�'�+�'�D m�1¢+� ® �+�D�|±�� ® ¡D¦����%�3���_�û�%�A�l�D��� ¢+�>�O�<��¦J�%�Z���,)e�+��¡Ø>�%�Å�^�� _��¢+�'�+� ® :�³h¨#¢3����� ® ���J��¢+�!±�� ® ¡D¦����%�3���_�J�%�#�=�g¡J��¢3�����J±����M�X���3�ú�3�D���O��¡�¢+��±��_�J�g�'²�+�'���D��¢Û�M�M��¢3��¡D¢+���)�����+���l���i����:�ü³J×h�� _¦D¢+�2>l§ü±������+��¢A���J�µ¢3�� ����X �¢Û�%¡D���­¬k�O�D���A�^�3�D����¢��¤6��±��3�������D�>�+�����n±���¦J�)�+��¢3���D u�+�D�!�)¡J��±��+¢3¦ ® ��¢+��¦��J� �+�D�!¡J���'�g�t§ ¹ z³E¬��%�r�+�D�!±�� ® ²¡D���=� ¡��<�%����³M�A���+�û�3�J�%�t�+�D� ® ¦D�'�+�'¡D���£±��%�3�����t�O����²ü�O�Û�% ��û¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D��¢|¡D¢+����¦J±�����+�D� ® ���)�_¢A±���¦J�)�+��¢3���D ������+�D��¢+�����G¡J�%¢3���^���M�3�D������ _����������¦D�>�^��¢+��¦��J�º¦D�D�'�O�¸� ® �_�D �+�D���3�D¢+���e�D�%�'�+�D�_¦D ��u�+�D��¢3���O¦D�'�+�'�D |�O���O�3� ® �J�_�^���D�� e�%�+�'�������' ������_�%��¦���³

¹��

Page 19: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

�ZO�U �wcdXfe�U ¤ adYbSQ«�U¢ý�]¬c ¤ Ý�YbÛ�cüæe%Yb\j�ZUÓ©!VªU ¤ cdXI�dS�YbSQcdX;UªV³e´.� �+�D�u�3� ® �|�X���R�+�J���|�g��±��_¦D¡D���'�D û��¡J��¢Û�%�3��¢����J�����|�����+��¢3¡D¢+���Û�%�3����� ���n�����+��¢+�J���+�°D����±�¯û�1��¢ ® ���M�!±��%�n����¡D¢+���3���+�D�l¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D��¢Û�P�g���3±�¢+�'°J��� �%°J�����l�'�n±������O��±�¦�²�+�'����°D����±�¯ý�1�_¢ ® ³ãâ^���M������¢���'� �+���<����¡D¡J�_¢+�+¦��D���)�R�M�|¡D¢+���)�����P�+��� ® ��� �º�)� ® ¡D�'��¢�1��¢ ® �D ��'�����!�+�J���^�3�D���g�>±���¦D¡������� m�_¡��¢��%�3��¢���������� �3 ������F�¢�)��°º���k±���¦J�)�+��¢3���D ��3�D��O¡J��±��3¢+¦ ® ���M�3�D����¢3�� _���J���#±��_¦D¡D�'���û�O���O�3� ® ³D´.�û�_�+�D��¢A�M�_¢��D�����M�\�%¡D¡����º�3�D�P°�����±�¯����¢��)���_�J�^����¢+�>±��+�'�m�3��ð ] ���J�º� ® ���X�+����±��_¢+¢+�>±��+�'�D |�O�3��¡û�g�£�  � ¦J�O�>�º���º�3�D��±�� ® ²°D�����%�+�'����¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢A���J�µ�'���A±���¢3¢+���)¡J���J�g�'�D !�_�D�g���3���������J� ® ¦D���3��¡D�'�<±��%�+�'���X����²�+�����O���_�J�����O�'�J±��A�+�D��������¢3�D���_�m�����+¢3���g¦J±����|°g���3�D�<�Z��¡J��¢����+�'���!�<���g�f÷¸±�¦D�'�j�3�3�)¦J�)�+�@�1�±������O�<����¢+�'�D ������#�'� ® �'�+����¡D¢3��±������g���3���������D ���¤6��±��3�������)��³½×D��¢Z�+�D�A���_�O�����G¡D¢3���O���������+�'����M��±��_�J�O�£�g��¢X�+���ø�ü�_±��+�_¢+���m�1�_¢ ® ���Z�+�D��°D�'��±­¯�²1¡J�%¢3�+���3���_�D���!�O���O�3� ® §[ÆE¬Û�

ð ] v ()* r%nji t nei3ð ]+ � v ð ]�Q� w Ñ · r%nji t nei -/.0 ()* o ] ð ]�Q�-/.0 ()* r�nji t nji

v ð ]�Q� w Ñ · ð ]� + r�nji t nji -/.0 z § ¹ 4E¬�O�|�+�J���

v ð ] w Ñ · v ()* v o ] w Ñ · � v ð ]�Q� w Ñ · ð ]� + v o ] w Ñ · v ð ]�Q� w Ñ · -/.0 ()* r�nei t nei3� ð ]+ � v ð ]�Q� w Ñ · r%nji t nei -/.0 z�§ ¹ >�¬�X�D��¢3�þo ] v ð ]+,+ � ð ]+ � v ð ]�Q� w Ñ · ð ]� + �#�<�P�3�D��)�±­��¦D¢\±�� ® ¡���� ® �������%�¢ð ] �X�'�+�n¢+��²�O¡J��±����3� ð ]�Q� ³d´ü� ò ] v v�ò ]n z ò ]} w � �£���¸ _�������û¢3���O�£�g¦J���.�G�+�D���'�D������±����_±��+�'���R�%�X�3�D�¡J�%¢3�+�'�+���_�D���l°D�'��±­¯��X���3�O��±��£�%�+�>�µ�+�u§ ¹ >E¬k±��%�!°J�������+±�¢3��°J���l�_�k�1�_���'�%�A��³ä Kæå�J���<��G9L � §b+M����±�¯t�O���'�g�'�D g¬�Jç )����'����ð ]�Q� x v ò ]} �%�J�!�g���D���3�P���Û�X�O�_��¦D�3�����!°��� xdì?!ç g v ò ]n ��ð ]+ �  xdìú"ç )����'����o ] 1 v g �%�J�u�g���D�_�+�����Û�X�O���'¦D�+�'���!°��� 1 ìM"ç Ë v ò ]} �sð ]� +  1 ì�!ç )����'����ð ]�Q� ï vëËm���J�º�g���D���3�N�'���X�)����¦��+���_�º°��³ ï�³¯"ç (w���3¦D¢+�R§E 1 z� ï�¬�³´W�A�O�3��¡J� ¹ � � �%�J�s4u�%¢+�¸�O���'�����û���+��¢��%�3�������'�!���J�)�+���_�ú�%�A���<�u�º�g�'¢+��±�� ® ���+�D�����6�M���°D�Û�%�'�|�^�)�M��²ü�O�Û�% _� ® ���+������³f®A°��g�'��¦J�)�������3�D�X±���������¢+ _���J±��Z�%�6�3�D�M�X�D�_���X¡D¢3��±����g¦�¢+��g��¡J���J���M�D�����g�'����¦D¡J���º�3�D��±��_�g����¢+ ����J±��A�%�d���_±­�l�'�J�g�'�g�£�g¦J�%�J�'�D�D��¢k�O���'����³6(w�� ��%¢Û�g²���D  �+�D�£�m�_�µ�R¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢��#���Û�p��÷¸±��'���J±�� �£�m���<±��Û�%�+�>� °�� �+���º�X���n���Y�X���<±���+�_����¢Û�%�J±��>�X�%¢+��±��D���)���u�%�J�u�+���+�<�b�J���l�1��¢X������¢3�m����� �_¦D�+��¢X���+��¢��%�3���_�G³

¹ Æ

Page 20: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

0.9 0.95 1 1.05 1.1−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 1.1 1.2 1.3 1.4−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

7$@4�S�´_S�{�5g �(+,)732w/�;�,)L� SG�2�(+/�a�$'2�8�5�7O �(+/�8�"%$@,.$@/�8� �"P/�8�,)L� Z7.$@4�L�,d&W$'"� Ma_B�,)L� # +i�2�(+,d?� �7+&W$@/�8/�;Z,)L� HF�{_}2Gq�.½Jzg7GTS�+¼Da_Bl,)L� F�{�vA{p�)~Vzd]MTZzhyS��2�8�"µa_Bl,)L� |Fe{8µXÇn5�7) �(+/%8�"%$9,:$9/%8� �73&�üyU¹)v�¥MTS�3S-Z������¢+�'�����P¡D¢3��±������g���3��������¢#���'¯��X�+�D�£�j�£�M±��e�O�+�'���+��� ® ¡D�'� ® ���g�G�'�l��¦�¢X±��_�g�3���g��³�´.�X�g��²® �%���D�j�3�D���)���'¦D�+�'���!�%�d�3�D¢+���A���'�D����¢X�O���O�3� ® �#�X���3��o ] ¡�¢+��°��%°D�'�!�g���J�)��³6â^���M������¢��¦D�J�g��¢N�3�D�<��¡D¢3���O���g�Û�%�+�'���R�����£���O�+¢Û�%�' ����O�1��¢3�X��¢��ú�3�û�g�����<�)���+�D�|�)�+��¡��ø�1��¢�±���¢+¢3�g�'�D ��¦D���+�D�r��±��+���_�l�%�V���f¤6��¢+���g���%¡�¡D¢+����� ® ���+���_�J�h�3�l§{ð ] ¬ Ñ · ³�©^�£�+±���¢��g�'�D P�3�D�/�J¢��)�X�O�3��¡�%���^�� _��¢+�'�+� ® 4��%���l���3�O¦ ® �'�D ��3�D�X°D����±�¯���ð�+ � ���J��ð � +X�3��°J�^ù���¢+� ® ���+¢3�<±����G�M�X�_°D²�������º�3�D���)�M��²ü�O�Û�% _��°D����±�¯B8���±���°D��§b�d)6+/8g¬M¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D��¢X�X�D��¢+���_�w�3�D���O����²ü�O�Û�% ��&r�%¦J�3�O²l)����<�����M§[�f)F&0)D¬k¢+���)¦D���Û�j�1¢+� ® �D�� ����>±��+�'�D ����D�'�!�+�D��°D����±�¯�ð�+ � ³J¶M�D�£�w¢3���g¦J±����)��+��¡ � �%�Î�^�' ���¢3���3� ® 4N�1��¢A°J���3���f)f+/8m���J���d)F&0)l�+�|�+���P�)���'¦D�+�'���!�%�/ð ]+�+ 1 v ò ]n ì¶M�D���)�m¡D¢3��±��_�J�g���3���_�D��¢���§ �1��¢�������±��P�)���'¦D�+�'���R�%�X�3�D�|°D����±�¯û�)¦D°J�O���O�3� ® ��¬^�������<�µ�3�D��O¡J��±��3¢��n�O���%�X� ����×h�� _¦D¢+� � §W�����1�!�%�J� ±������+��¢l �¢Û�%¡D�J��¬�³r¶M�D�ú�'���1�l _¢��%¡�� �O�D���A�� �)�� ����°�6±����g�u±��'¦J�O�3��¢+�'�D  ���|�+�D�R���� _����������¦D�>�l�%¢3��¦D�J� �3�D� ±�� ® ¡D�'���n¡J�������R§ ¹ zWE¬¡D¢+����¦J±���� °��Ø�f)6+/8D³V�^���|�)¦D¢+¡D¢3�<�)���D _�����G�+���B�f)F&0)R¡D¢3��±������g���3��������¢��g�������%�n�������°J���+�3��¢��)��°!�%�U±��'¦J�O�3��¢+�'�D P�3�D�����' ������_�%��¦����j����±���¡��j�1��¢X�_�D���+�J���A�%¡D¡J����¢��A�O��¡��%¢����+����1¢+� ® �3�D�º¢3���O�t���|�O���%�X�Y�_� ±������+��¢� �¢Û�%¡D�G³`�^�<�)�D�#���Û�m�_±��+�'��� �<�|�O� ® ���<��¢P�3�ú�3�J�%��%���+�����d)6�º¦D�'�l�����+����¦D _� �3�D�º�£�%�+�3��¢����>�>���>�P���D�u���� _���g�_����¦D�!���Y�3�D�º�'���1���J���f���%��+�D�t±�� ® ¡D���=�µ¡��<�%����³G¶M�D�£�r�ü�_±��P�'���'¦J�O�3¢��%�3���^�3�D�l±������)��¢+���£�%�3�������O�D�'¡ú°J���)�M�����û�+�D�>�O�¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢���³� ® �_¢+��¢+��°�¦J�O��¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D��¢r±��%�û°J���_°D�������D���º°�� ® �����J�w���k�m°J���+�3��¢���¡D¡D¢3����²� ® ���+�'���º�3�l�+����)�±­��¦D¢�±�� ® ¡D�'� ® ���g���FoM�6�X�D��¢+�|�����d°D����±�¯��^�%�k�+�D���_¢+�� _���J��� ® ���+¢+� ��%¢3�P���������'������³�´:�!�_¢��g��¢r�+�t�g�l�+���<�A�%�A¢+���_�O�����%°D�'�|±�� ® ¡�¦D�����+���_�J�%�d±����O�Û���J���A�<�A±�¦J�)²�+� ® �%¢3���+�P¡�¢+���g�£�g�A�P�)� ® ¡����A�%¡�¡D¢+����� ® ���+���_���+�t§{ð ]+,+ ¬ Ñ · ³|)e�+¢����+�� _�����#�'�g���_�������D ��3�D�)�±��g¦D¢|±�� ® ¡D�'� ® �������J�����!°����� � ® ¡D���������û��� �O������¢Û�%�X�'���D����¢l�)���'����¢��_�%¢+�£�%������³M´.�-Â×#© ¡D¢+�_°D��� ® ��� ® ���g�t�O�� _¢+�� e�%�3���g²1�O��¡J���%�� _��¢3���+� ® �j����¢+¯t¦D�J�g��¢X�3�D�<��±�����±���¡D��³F�±��<�_�+�)�<±����G���D� ® ¡D�'�^�£�M�+�D�2�^ù����k���%�� _��¢3���+� ® �X�D�<±��!�)�������>�M�+�D�¢)�±��g¦�¢A±�� ® ¡���� ® ������X���3�ú¢3���O¡J��±����3�µ��������±��'�O�u±�����÷!±��'�������^°��û�+�D��(X�<±��J��¢��D�)��� �'�+��¢Û�%�+�'���G³o´:� ±��_�g�3¢����)��+�¢MJ��� ���!¡J��¢+�_¦J� ® ���g�£�P��¡D¡D���£±��%�3���_�J���D�3�D�P _����°��%�V�g�<�3±�¢+���3��ù��>�m��¥�¦J�%�3�����u�<�X�D������¢���3�O� ® °D���>�P�%���l�O�_�������P�'�m�'���h�����+�'¢+���)���1��¢#�1¦D�'����� ® ¡D�'�<±��'���1��¢ ® ¦D�£�%�3��������³½�û�%��������¢+�'²�%�3�������l�%¢3�û¡�e�+�)��°D�'� §.�)���º�e³ÿ D³'�Ó�5� ¹ �W¬\¢��%�� ����� ú�1¢+� ® �)���'�g�'�D n�O��¡J�%¢Û�%�+����� �1��¢|����±���D���D���#¦D�D¯��D���X�º�3�l�)���������� |�O� ® ¦D�'���%������¦J�)�����1��¢r�%�'�G�+�D���g�� _¢+���>�M�%�#�1¢3�����g� ® ���3�O��²±��<���+���º�X�'�+�R���D�|��¢��)� ® �t§W°D¦D���D�_�������W¬k�%�X�3�D��¡D¢3� ® ��¢+�!¦D�D¯��D���X�J��³1� ® ���D l�3�D�

¹=Ö

Page 21: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

�O������¢��%�d�_�%¢3�<�%����������|±������O�+¢3¦J±����|�+�D�'¢��µ¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D��¢A���J�)¡D��¢3���µ°��!�+�D�|���<�+±�¢+���3�¡D¢+�½�)��±��+�'��� ® ���3�D���l¡D¢+�_¡J���O�>�º°g�!¶G¦D¢3��¯i�5�Æ��G�+�t�O�_�������+�_�D�g����¡J�������X�1��¢ ® ¦D�£�%�+�'���J��%¢3�<�O�'�D l�1¢+� ® �+�D�|�g�£�+±�¢3���+�'ù��%�3���_�û�%�A�r�>������¢+²l)��+�_¯����w�>¥E¦J���+�'���J�^�1��¢��'�J±�� ® ¡D¢+���3�O�'°D���MJ����³D¶M�D�ø�%�� _��¢3���+� ® �g��¡J�%¢3���j�1¢+� ® ���u�%¡D¡D¢3���g� ® �%�3�����|�+���+�D�2)�±­��¦D¢k±�� ® ¡���� ® ������X���3�º¢+�>�O¡J��±��A¡D¢+�>�+�O¦�¢+���A�%�J�û�)���'�����w�'�+��¢Û�%�3�������'���+�D���g��¡J��¢+°J���'�<±�±�� ® ¡J�_�D�����X ��������°g�t�+�D�������'��±����3�����X§W¢3���'�N¢3��¡D¢3���O�����+�>�m°g�¸±����J±����g�3¢����+���_�J�M���!�_¦D¢A±����)��¬�³ä Kæå�J���<��G9L ¯ §.¶M�M�_².�)���� ��|©^�£�+±�¢3���+��¨#¢3��)��±��3�����6¬�Jç )���� v2¶ð ]�Q� w Ñ ·�· §lð ]�Q� ¬ Ñ · ì?!ç )����'��� ¡ ð ]+,+ ��ð ]+ � v ¶ð ]�Q� w Ñ · ð ]� + ¢�� + v ò ]n ��ð ]+ � v ¶ð ]�Q� w Ñ · ò ]} ³�®^°����%�'�� � + ³ú"ç )����'����ð ]�Q� � � v ò ]} ��ð ]� +  �¸+_³J®^°����%�'�� � � ³M"ç (w���3¦D¢+� §¹ �¸+�z� � � ¬ � ���.³ ��³����3�D��¡D¢3��±��_�J�g���3���_�D���m¢3���O�£�g¦J�%�6±��_¢+¢3���O¡J�����g���D ��3�!§ ò n6z ò }q¬Û³¶M�D���<�g�>�P°���D���J�l�3�D�<�X¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢M�<�M�3�m _���������)�J�%¢3¡J��¢��O�_��¦D�3���_�µ�3�m¡�¢+���3�O¦D¢3��� ��'����� �)� ® �|��¡D¡D¢3����� ® �%�+�'���R�+� ±����J±����g�3¢����+���_� ±�����÷!±�����������³� ú�|¡D¢3��¡J���)�µ�3�D�<���%�'² ��_¢+���3� ® °J���)���º���û�3�D�Ê)E±­��¦D¢A±�� ® ¡D��� ® �����M�X�'�+�u¢+���)¡�>±���±����J±����g�3¢��%�3���_�J�^�)���J±��N�'��<� ® ��¢3��±��'���O�����|¢+���£�%�+�>�µ�+�|�+���P´l�û¨Zª*)l¡D�������e�O�_¡D�g�t�+�J���º�+���Ê)�±��g¦�¢A±�� ® ¡���� ® ������X���3�l¢+���)¡J��±��Z¡D¢+�>�+�O¦�¢+���Z�X�D�<±��m����¦D�£�p¢3���O�_����� ® ��¢3�A��±�±�¦D¢����+���'���+�D�r±�����±������+¢����+�'���±�� ® ¡�_�D��������³�¶M�D¢+�_¦D �����¦D�X�3�D�<�#�M�_¢+¯6���M�A¢+���1��¢#�+���+�D�£�#¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢U���M���<�+±�¢+���3�¡D¢+�½�)��±��+�'���!�)�M�_².�)���% _�P¡D¢3��±��_�J�g���3���_�D��¢�§[�f)�©r¨k¬Û³¶M�D� ��¢��O�r�O�3��¡º�'���^�' ��_¢+���3� ® >m�£�M�����+¢3���g¦J±����!�+�!�����_�<�!�%�R�_�D�g���3���_�J�%�V�%�J�u±����)�+�'����3��¢����+���_�Y�+� �O�_�����,ð ]�Q� x v ò ]} �X�_�µ�)¦D � _���O�3���Y���¡)��3��¡ ¹ �����^�' ���¢3���3� ® 4g³A¶M�D���¡J��¢Û�%�+�_¢ ¶ð Ñ ·�Q� �£�M±��D���)���!�+��°J��±�� ® ¡D¦����%�3���_�J�%�'���|±��D���%¡o³D¶G¦D¢+��¯þ�5�Æ��G�)¦D � _���O�Û�w�3�J�%�¶ð Ñ ·�Q� °J�M�+���j�'�g����¢��O�V�%���+�D���g�£�% ��_�J�%��¡J�%¢3�G�%�"ð �Q� §W�ü³ÿ��³'��8��_±���°��g¡D¢3��±��_�J�g���3���_�D��¢�¬J�X���<±��±����>�%¢+�'�û¢+����¦J±������+�u�+�D�t�<�g�����+�'�)� ® ���+¢+� �û���R��¦D¢|±����O�e³h¶M���l���� _����������¦D�t�O¡J��±��+¢+¦ ®�+��¦J�M ����D��¢����+���!�<�X�)�D���X�º��� ×h�� _¦D¢+� � §W¢+�' ����X �¢Û�%¡D��¬Û³

�ZOº� �'UW]¬\YbSQcdX$ý�UWYbÛwUWU%X \]�Y{U%V%XF\YlU¢\dXI� ¤ cdXde�U ¤ afY[SQ«�UwÜ=cdV § e¶M�D��¢3�µ�£���ú±�������¢P¢+���<�%�3���_� °J���)�������n�+�D�$�d)6���D�n�%��� �+�����d)6+/8û¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢Û��%�J� °J���)�M�����ú�3�D�$�f)6�º¦��������J� �+�D� �f)F&0)R¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢���³d´.� �3�D���J¢��)���O�3��¡n�%��^�� _��¢3���+� ® � �6�+�D�|�)����¦��+���_�ú���X�3�D�|�O���O�3� ® �£�^��¥�¦D���_�%�'�����^�3�µ�3�J�%�������M��¦��<�û�J�������°D�Û�%�'�D���µ�'�l�+��¢ ® �Z�%�/ð ]+,+ ³J´:�l�ü�_±����

v } �+ hð6]2} + w 1 v�} �+ kW Ñ · ò & v } �+ � W Ñ · ð � � } + w 1 v�} �+ � W Ñ · � � ò& ð6]+,+ 1 v ò ]n § ¹�� ¬)�� ® ���<��¢+�'�����M�X±��%����°����%�'���+�D�k�+� ® �X±��_¢+¢3���O¡J�����g���J±��Z�1��¢#�3�D�A±��_�J±������+¢Û�%�+�'���J��³®A�J±���ú�)���'¦D�+�'��� �1��¢|°J���3�Y�O��¡J�����%���_�%¢3�<��°D�������<�|±�� ® ¡D¦D�3�����h�3�D�û�����3��¢+�J���+�u�O����²ü�O�Û�% ��

�½

Page 22: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢��m¡D¢3��±������Y�+� � ® ¡�¢+�����!�+�D�R¢+���)�<�g¦��%�<�|°g� �n±��_¢+¢+�>±��+�'���Y�X���3� �3�D�¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢  � ³

´.�M�1�����'���A�M�+�J���^�3�D����¢+¢3��¢X¡D¢3��¡J�� ��%�3���_�û��¡J��¢����+�_¢����3�O��±��£�%�+�>�µ�+�|�+�����d)F-Z� ® °!¡D¢+��²±������g���3��������¢X�<�M _�������l°��»�¼¾½ ª � v¨r��  ð^� Ñ ·+v v r�� hð  � Ñ · w!¿ r2� hð6} + v } �+ hð y�z } + w Ñ · } �+ ko +DÀ ì´.�n�º�)� ® �'�<�%¢r�X�����G�M�!±��%�  _���P����¡D¢3���+�)�������ø�1��¢��+�D�¸���D�g�'�+�'���l���J� ® ¦D�'�+�'¡D���'±����+���_������+���J�)���_�J���» Ý,§B§ v v r � hð  � Ñ · w ± r�� hð|§ p + q p � ¬ ² z

» ª$«B¬�­ v v r � hð  � Ñ · w ± r � hð v p + q p � � p � hð p + w ² ì+M�û§ ¹�� ¬��M���_°D�������u�+�D�2�f)f+/8m���J���d)F&0)l��¢3¢+��¢A¡D¢3��¡J�� ��%�3���_�û��¡J��¢����+�_¢��A���»�Á�Â/v�r���ð4� Ñ ·Á� v¨r�� hð6]!§ p + q p � ¬Jz

»"ÃlÄ3v�r0��ðg� Ñ ·ÃlÄ v�r0� hð v p + q p � � p � hð ] p + w ì�^���3�m�3�J�%���������û�f�k�M�!�g¢3��¡ �3�D�!±��_¢+¢3��±��+�'��� �O�3��¡Y§W _�������û°��  � ¬^�1¢3� ® �+�D�t�%�'�+��¢3²�J�%�3�^�)����²ü�O���� ���¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D��¢Û�����+�D��¢3�^�£�h�D���X���P�3�N¢3��¡D¢3���g¦J±��A�+�D�r�+� ® �X¢+���<�%�3�����¢+���)�<�g¦��%��±���������¢+ _���J±��V�D�<�)�+��¢3���X���+�����P�3�D�M�'�+��¢Û�%�3�����Z�)��������¢d�O����±��M�3�D�X�����+��¢+�J���+�Z�)�g¡J���±��Û�w�_�º�3�D��±��_¦D¡D�'���!�O���O�+� ® �X����¢+���_�w�3�D��±������O��±�¦��+�������)��¡���_±����X���u�+�D�\�%��¢3��������g��±��_¦D¡D�'���!�O���O�+� ® �X�D�£±­�!�£�M���g¡J��±��+���m�3�m°J�����_�O����¢X�+�t�O���'����³���l�)�D���X� �%°J�������j�3�D�º��¢+¢+�_¢l¡D¢3��¡J�� ��%�3���_� ���3�O��±��£�%�+�>� �+�  � �£�l�ý�ü��±��+��¢t��� �3�D���¢+¢3��¢Z¡D¢3��¡J�� ��%�3���_�º�_�+�)��±��<���+�����+���+�D�X�X�D�_���A�)�M��²ü�O�Û�% _��¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢�³�¶G�����J�O¦�¢+�±���������¢3 ����J±����j�3�D�û�D�_¢ ® �%�\����±��Y��¢3¢+��¢u�)�D��¦D�£� °J�R°J��¦D�J����� ��°J�%���R°�� ¹ ìA¶M�D�£�� ® ¡J�e�O���M�3�D���+� ® �N¢3���O�3¢+�£±��+�'���J�M�_�º���_±­�!�%�U�+�D���ü��±��+��¢Û�w�'�g���_�������|���!�+�D��±�� ® ¡D�'���+���¢+¢3��¢l¡�¢+��¡��% ����+�'��� ��¡J��¢����+�_¢�³/�º�_¢+��������¢��Z�ú�D�� _�Y��¢+¢3��¢l¡�¢+��¡��% ����+�'��� �D��¢ ® §W�_�D�® �%¢3 ��'�J�%�'��� ±����e�O�û�3� ¹ ¬t�O�D�_¦D�<� °J� ±�� ® ¡���J�+���+��� °��Y� ����� ��¢3¢+��¢!¡D¢3��¡J�� ����+���_��1¢+� ® �3�D�!���3�D��¢��ü��±��3��¢|���n��¢Û�g��¢|�+�R ����P�ü�_�O�+��¢l±��_�g����¢+ ����J±��l¢Û�%�+�>��³Z´.�m�£���%�|�+�D�£�¡J�������Z�+�J���M���*�J�J�l���O��¢+���_¦J�j�'� ® �'�����+���_�G���D�_�M�+���3�>�|���g¢����X°J�_±­¯6���'�m�3�D�^¦��O�A�%�  ��+��±���¢+¢3��±��d¢+���)�<�g¦��%�<��³�¶M���<�d�O���3¦J�%�3���_�|�O��� ® ���+��°J� ® �_¢+���O������¢+�����h�3�D�X¡D¢3��°D�'� ® �O��ù����¢����D�D��¢+�����Z±�� ® ¡D���=�g�'�O�����d�+�D�A¡D¢+�_°D��� ® ���J±�¢3�����)����³�¶G�P¡D¦��j�3�D���� ��j�'�l¡J��¢��)¡J��±��+�'������M��±���� ® ���g�3���_�!��±���¦�¡D�����%�V�ü��±��Û���� ¶M�D��¢+�|�<���%� �'�D�D��¢3������¡J���J�%�'�)�û���R�����+¢+����¦J±����� µ�3�D�|��¡J��¢����+�_¢  � ³d¶M�D�!±�� ® ¡D¦D²�Û�%�+�'���!�%�U�D��� ¢+���)�<�g¦J���<�M�'�g���_�������#�����P�����+¢Û� ® �%�3¢+�������>±��+�_¢ ® ¦D���3��¡D�'�<±����+���_�|�%�J������QÅ�¨2Æ ��¡J��¢Û�%�+�'���G³6¶M�D�£�X±��%�u±���¢3�������D�'�m°J��±�� ® ¡D¦D�����+�'���J�������t�g� ® �%�J�g�'�D N�1�_¢

� ¹

Page 23: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

�£�%¢+ _�l�3±��%�'�m¡�¢+��°���� ® �A�%���ý�1��¢����+��¢��%�3�����\�O���'����¢��A�+�J���P¡J��¢O�1�_¢ ® ® �_¢+���3�J�%� �_�D�±������6�+�|�+�D��¡D¢3��±������g���3��������¢M¡J��¢A���3��¢����+���_�û§W�e³ÿ D³'�F+M�æ-/& )E¶9�'+��J-/&0)D¬�³� ©^�>±���¦D¡������� P��¡J��¢Û�%�3��¢��X��¢+����¤6��±��3�����X�'�!±���¦��O�+��¢+���� N�3�D�����' ������_�%�'¦D���#�%�V�+�D�r��¢+�' ��'²�J���D�D�' ��D�'�P�����g���J�D�'�+�`8���±��_°D�<���G³�¶M�D�A±�� ® °����J���+�����e�������g���3�����X���J� ® ¦D�'�+�'¡D���'±����+���_�¢3��� ® ¡J�e�O���3�D�<�M�Û���O¯t���º�3�D����¡J��¢Û�%�+�_¢  ��ìJ×D��¢X�'�J�O�Û�%�J±����D�M��¢3��¥�¦D��¢3�ó » Ý,§B§Zó ù r0� hð|§ p + q p � ¬ r0� hð  � Ñ · ù ¹ z�1�_¢M�+�����)�M��²ü�O�Û�% _�P�_�D�g�'�+�����X��¢+¢+�_¢M¡D¢3��¡J�� ����+���_�º�_¡��¢��%�3��¢�³J´ü� p + q p � �g�����M�P _������)�_°m���G¡D¢3��±������g���3������  hðV�  � �)�D��¦��<��°�X�1��¢ ® ¦��<�%�3���N�3���J�����A�ø°J���3�+��¢V��¢��%�Z���>���O�����±�� ® ¡J�%¢Û�%°D�'�X��¤6��±���³��^���3�X�+�J���M�3�D�X� ® �£�+�)�������3�D�r�g��±��_¦D¡D���'�D ���¡J��¢Û�%�+�'���|������������_�D�l�X���3� �+���!�g�f÷¸±�¦D�'�������)¯ú���3���J�g���� û�%�n��÷¸±��'���g�r ����_°J�%��¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢  ��1�_¢��+�D�l�_¢+�' ������%�Ó8���±���°D�£�%� ® �%�3¢+� �����X���<±�� �<���_�D�g���3���_�J�%�'���R���g¡J��±��+���ú�3�û����� ® ��²�J���+���3�D���)������� ��¢+¢3��¢j�1¢3��¥�¦D���J±��'���h¢3� ® �%�'�D���� ^�1¢+� ® ¡D¢+���3�O¦D¢3���%���l±�����±������+¢����+�'����'�+��¢Û�%�+�'���J��³��A���r�O¦D¢3¡D¢+�£�O���� ����e��3�D���)¡�>±��+¢3¦ ® ¡D�'���Û�k�1�_¢��+�D�|�����3��¢+�J���+���O����²ü�O�Û�% ��¡D¢3��±��_�J�g���3���_�D��¢X��¢+�������3�X±�� ® ¡���±����+�J���µ�3�D���'¢A±����J�)��±�¦D�3������±���¦D���+��¢3¡J�%¢3����³®X�V±���¦D¢Û�O����� ® ��¢3�^���<�%°J�_¢��%�3���  � ® �������������+¦J��������¡D¢+�����<�g�r�+�D�������O�'¢+���m��¤��>±��+�'����²

�D���3�N°D¦D�\�%�\�º�O�' ��D���6±����g�3���º���� �����¢�±��e�O��³9�A���+����¦D _� �+�D�t¦J�O�|�%�A�3�D�l��¡J��¢Û�%�3��¢  ��O��� ® �#�+��°J��°���+�+��¢��)¦J�O�3�°�J���|���!�+�D�r��¢+�' ��'�J�%�d±�� ® °����J���+����� ® ���+�D���6�E�'�X�)�+���'���J�_�w�3�±��%¡��+¦D¢3�µ¡��%¢+�����A�+�D�!���g¡J��¢3°J�����£±m°J���J��������¢\±������������D�>�ú��� ±��_�J±������+¢Û�%�+�'���J���1¢+� ® ����'�D���%¢�¡D¢+�_°D��� ® �X�D���)�P°D�'��±­¯¸�%�� _��°D¢Û�%�<±�¡D¢3��¡J��¢3�+���>� ® �%¯��A���A�g�@÷!±�¦D���r§W¢+�>±��%�'�G�O¡J��±�²�+¢3¦ ® ¡D�£±��+¦�¢+���h�'��×h�� _¦D¢+�>� � ²[>E¬Û�E�'�J�O�3�����P���6���%¯����� P�_�g�_�%������ ��A�%�d���m�>���O�'��¢#¢3���g¦J±��>�±�����±������+¢����+�'���!¡D¢+�_°D��� ® ��°D�Û�%�'�D���l°g�¸�P°���+�+��¢A�g��±��_¦D¡D���'�D |�O�3¢����+�� _��³

¶M�D���<�_�O�A¡�_�����A±��%�!°J� ® ���g� ® ��¢+�r¡D¢+��±��<�O�r°g�l�'����¯����D |���^�3�D��±�� ® ¡D¦D�����+�'���!�%�» Ý�§B§ v v r0� hð  � Ñ · w ± r�� hð|§ p + q p � ¬ ²v v r0� hð  � Ñ · w ± r�� hð ] § p + q p � ¬1� v hð$� hð ] w § p + q p � ¬/²1ì-Z���J�)��¥�¦D�����+���e�g°��l����¯g�'�D ��D��¢ ® �M�M�r��°D�Û�%���ó » Ý�§B§�ó ù�Ç § ó »ZÁ� ó q í�¬|z § ¹ ÆE¬�X�D��¢3� Ç v r�� hð  � Ñ · ���J�,í,v v hð�� hð ] w § p + q p � ¬ ³dªZ¥�¦J�%�3����� § ¹ ÆE¬ø�O�D���A��+�D�r¡���J�%�'�O�|�����+¢3���g¦J±��>�p°���í������+���+�D�Ó�J�J�%�6��¢+¢3��¢����O�3� ® ���+�A���X�P¢3���O¦����Z�%�V�����������D ��¦D���3�D�|¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D�'�D º��¤6��±��N�����3�D�!�g�>±���¦D¡������� µ�_¡J��¢����+��¢�³w���D�g�'�+�'���J�������e���+�D�£��_�%¢+�£�%°D�'�Z�<��¦D�D�'��¯����'�^�3�X°J�X� ® �%���'��¢J�+�J��� ó » Á� ó ³�¶M���j�_��¢+�<��°D��� Ç �J�_�q�3��±�� ® ¡J���J�3�%�3��+�D�£�M¡J���J�%�'�)�m°��m¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D���� P��¤6��±��3�������'�P�X�'�+�  � �+�D���_¢+�' ������%�G±���¦D¡D�'���l���'�D���%¢�O���O�3� ® �%���º�g��±�¢+���_�O���� ��+�D��������¢������J��¢3¢+��¢A¡D¢3��¡J�� ��%�3���_�º�ü��±��3��¢�³

¶M�D�P¦��O�P���  � �O��� ® �j�3�l°J�P�_�D���¢�)¦J�)�+�°�����µ�'�º�)¡J��±��<���#±����O�>��³!×��_¢^�=�D� ® ¡D���e�E�'��±��%�°J��¦J�O���º�1��¢r¢+���3¢+�����g�'�D m¡��%¢+�r�%�X�3�D�P _���_°J�%�Z�����1��¢ ® �%�+�'���u�����)�����R�l�'���D��±��_¢+¢+�>±��+�'���® ���3�D����³�®A�+�D��¢A��±�±���¡D����°D�����1��¢ ® ±��_¦D�<�!°�\�m±����%¢Û�O��¢+��¡D¢3���O���g�Û�%�+�'���!�%�U�+�D����¢+�' ��'²�J�%���g�<�3±�¢+���3��ù����+�'���G³�â^����������¢���¢+���'�<��°D����±��e�%¢��)� ® ���)�D�����1��¢#���g¡J��¢3°J�����£±#¡D¢+�_°D��� ® �h��¢+�

�½�

Page 24: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

�D���r�����)�º�+�t��°D�Û�%���R±�¢+�����+���� l�m¡�¢+��°���� ® �1��¢r���D�J���J±����� l±��_�J±������+¢Û�%�3�����û¢3���O�£�g¦J���<��³´.�l �������¢����.�g�'���O�D�_¦D�<�l°J���g���O�' ��D�>�m¦D�J�g��¢X�O� ® ¡D�'�X�+��¢ ® �#���u�O��¥�¦D�����+�£�%�J� ® ¡D��� ® ���D²�����+���_�J�A�%�J�!�X���+� ® �_¢+��¢3���<���g�>�m°J��¦D�J���^�f�d�'�X�<�M�����+���J�g���p�1�_¢^���>±��+�_¢X�%���µ¡J��¢��%�'������ ® ¡���� ® �������%�3�@���J��³� ú�t°�����������m�3�J�%��°J���3�+��¢�¢+���)¦D���Û�P�%���'���M��¢�±�� ® ¡D¦D�Û�%�+�'���J���X�g��²® �%���D��±��%�R°J�l��°D�Û�%�'�D���ú°��º�'�J±���¢3¡J��¢����+�'�D  ® ��¢3�����g�1�_¢ ® ���+�'���R±��_�g�Û�%�������ý�'�ú�3�D��g��±��_¦D¡D�'���m°D�'��±­¯��X�%�J�!� ® ¡�¢+���g�'�D ��+�D�r¡��¢O�1��¢ ® �%��±����%�U����±��!�O¦�°J�O���O�3� ® �O�_��¦D�3���_�G³×h�����%���'�����M�A¢+� ® ��¢+¯��+�J���/×J�%� UWYw\]�O �)¦��O�Z¢+��±����g�3���\�%¢+¢3�����������X�)� ® �'�<�%¢d��°��O��¢3�����+�'���J����!�+����±��_�g�3���g���%� ® �<±�¢3��������±��+¢+�_�D�<±A�g�����<±����O� ® ¦D�£�%�3�����<� ¹=Ö �ü³J¶M�D���!����¡��¢+� ® ���g�Û�%�'�f���°J�)��¢+���>�N�+���%�h�1¦D¢3�+�D��¢h¡D¢3��±��_�J�g���3���_�D���D r�>�1�3��¢d�+�D�k�g��±��_¦D¡D���'�D r�O���� ��X�X�'�+�P�3�D�/�ñ+/×�+¢Û�%�J�.�1��¢ ® �%�+�'��� ¡�¢+��¡J�e�O��� °��,+X���D¯ U³Y0\]�O ¢+���)¦D���3���ý�'�n�O�' ��D���6±����g��� ® ¡D¢+����� ® �����±�� ® ¡J�%¢3���m�+�|°D�'��±­¯l¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D���� ��%�'���D�e³

¯ È��JLsDh�G���g�>�W�J�g�FK*AEÉ1DwAg���æL,Ag�J��C ú���'�J±���¦��g�^°J�_�+�û�)��¥�¦D�����+�<���6�%�J�!¡J�%¢Û�%���'����� ® ¡D�'� ® �������%�3���_�J��³�´.�!�+��� ��¢��O�X�_�D�����M�±�� ® ¡J�%¢3���+�D���)���l¡D¢3��±��_�J�g���3���_�D��¢����g�<�3±�¦J�3�O���l���!�3�D�<�M����¢+¯¸�%�J�!�+�D¢3�������3�D��¢¢�Û±��<�_�O²�O�£±��%���¸�_�D�����X�D�<±�� ���º�D�_�P¦J�)�l���g� �g��±��_¦D¡D�'���D u�O�3¢����+�� _��³d´:�R�+���m¡J��¢����������j� ® ¡D�'��²® ���������+���_��¡J�%¢3�������X���D�'�P±�� ® ¡J��¢+���+�D�Ó�d)F-Z� ® °l§1���D�X���G�+���M°J���O�V¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢Û�¯g���%�X� �O�µ�ü��¢����R�+�D�l¢3���O��¢+�����'¢�±�� ®l® ¦��D���.�J¬��%���,�f)F&0)R¡D¢3��±������g���3��������¢���§W�X���<±�����J±���¢+¡J�_¢��%�3���M�1¦D���o�g��±��_¦D¡D���'�D |�O�3¢����+�� _�º�_�^�P¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D���� |�O���� ���¬Û³

ÊdOQP R¢U¦e ¤ V%S5©JY[SQcdX�c{Ü2Y{U�e%Y ¤ \�e�UT�2�a�=@ �ÁÇqL_B�&W$'(�2�=J$@8�5�*�,X"�2�,32�S

¹W8�$9,:$f2�=o8�/�8�-# �,),.$@8�4�5�L�2�&: X5�7) �&)&.*�7) �2�,#Â_Ã^;<, Ä%À�ÀBË�Ì�͹W8�$9,:$f2�=o-# �,),.$@8�4�&O2�,)*�732�,:$9/%8\2�,jÂ_Ãw;£, ÎÿÅ]j/�8�-V �,O,.$@8�4r5�L�2%&. r"� �8�&W$@,.B Â�Æ�ÏOÐ�ÑeÒ�Ó Ó]j/�8�-V �,O,.$@8�4r5�L�2%&. r(+/�CN5�7) �&)&W$@a�$I=I$9,.B Â�Î�F"Ô!Á�À Ñ @ Ë�ÌDÍ Ñ ·�! �,O,.$@8�4�5�L�2�&. �(+/�C�5�7) �&)&ü$9a�$I=I$@,.B Ä�Î Ä"Ô!Á�À ÑEÕ Ë�ÌDÍ Ñ ·]j/�8�-V �,O,.$@8�4r5�L�2%&. A?%$'&)(+/_&W$@,.B Á¹Î�¤�Ö/Ë�! �,O,.$@8�4�5�L�2�&. ^?�$'&)(+/_&ü$9,.B À�Î�F�Ä�Ö/Ë�M7) �2�=J5� �7OC� �2�a�$I=I$9,.B Á�Å�À�× ØÇ� �7)CN �2�a�$I=F$@,.B|2�=@/�8�4|Á�&.,�2�8�" F�8�"PL�2�=F;d/>;o?� �7O,.$'(�2�=64�7.$'"�a�=@/�()c�& Á�À�× Ø�2�8�"�Ä�À¹× Ø

¶h��°D��� ¹ �)¦ ®l® ��¢+�'ù����X�+�D�|¡D���D�)�<±����j¡��%¢�� ® ���3��¢��^�1��¢��3�D�<��¡D¢+�_°D��� ® �����J�,×h�' �¦D¢3��Æ�O�D���A�l�+���º¢+���<�%�3�����!¡J��¢ ® ���%°D�'���'�O� �%��� ±���¡D���'�<��¢+�n¡D¢+�>�+�O¦�¢+�µ�1¦��J±��+�'���J�|¦J�O���6³X¶M�D�

� �

Page 25: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Wetting phase saturation, Sw

Re

lativ

e p

erm

ea

bili

ties

kn kw

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Wetting phase saturation, Sw

Cap

illar

yPre

ssur

e, P

si

7$@4�S�Æ�S�y# +='2�,:$9?% Z5� �7)CN �2�a�$I=F$@,.B�/�;�a�/%,)LA5�L�2�&: �&6�ü½zg7GTS�J2�8�"�~#2�5�$I=F='2�7OBA5�7) �&)&:*�7) h;£*�8�(+,.$@/�8�üyU¹)v�¥MTS�3S® ���g���A±����J�)�<�O�Û�m�%�\�û�X���+��¢l�'��)��±��3���_� �������X�'��±��%�3���Y�%�|�+���R±�����¢Û�g���J���+�n§ ¹ z ¹ ¬��%��+�D��¡D�£�%�D�����J�º��¡D¢+����¦J±��+�'���u�M���'�#§W°J�_�+�º����¢+�+�£±��%�o�%�J�!�X���3�µ°J�_�+�+� ® �D�_����¡D¢+�>�+�O¦�¢+��O¡J��±����J���¬����^�3�D����¡D¡J�e�O���3��±��_¢+�D��¢X�%�Z�3�D��¡D�<���D��³J¶M�D��¡��¢ ® ����°D���'���)�P�£�M¦D�D�@�1��¢ ® ����+�D����¢+�����d�O���J�)���%�J�$4%² ¹ 4m�3� ® ���#�D�' ��D��¢X�+�J���º�+���%�A���!�+�D������¢3�+�£±��%�6�g�'¢+��±��3���_�G³

ÊdO�N �"U�_�aFU%XZY[SQ\]�S § ©J] U § U%XZY[\YbSQcdX ¤ \�e�U ú��¦J�O���D����²W¦D���f�1��¢ ®  �¢+�£�P�)¡J��±��'�D ����J�P�)�M�A�g�@¤���¢+�����#���<�+±�¢+���3��ù����+���_���O�'ù����%��ÆÙ%`ÆÙ%Â:�%�J� ¹ >p% ¹ >p%$:D³� R�P¢Û�%�R°J���+�R±����O�>�^�X���3�û�+� ® �P�)�+��¡��'È p v¨6ì ¹ z ¹ ì�t�D���D��³G¶M�D��D�%�Û�p�1��¢r�+�D���+���)���X�X���r�g���X�D���e���g���µ�1¢3� ® �+�����O� ® ¦��<�%�3���_�º���1�+��¢ ¹ �3� ® ���)�+��¡ �%�J��>�1�3��¢ � �^���X�+�_�n���+��¢��%�3���_�J���X���+����� �3�D�!±�¦D¢3¢+�������+� ® �����������.³6¶M�D�!±����g�!�'�J±���¦��g���D �%�'�X�+�D� ±�� ® °D�����%�+�'���J�P�������'�D����¢|�O���'����¢|�%��� ¡D¢3��±������g���3��������¢m�3���O�3��� �X�_�p�X¢3���+�3������s×�®ñ(#¶/(Ó��� �� ���J�n�%���Z�����3�D�m�3���O�Û�P�M��¢3�m¢3¦D� �_� �u�O�'�D ��'�m�D�����µ���r�%� ´l+/�)�¨ ¹ §[( )6>½½g� ® ���g��� �f� ��#�X���3� ��>½�g³�4���â^ù!±��'��±­¯J¬�³d¶M�D���)�l�D���g�>�p _�����!�º¡J����¯¡J��¢O�1�_¢ ® ���J±������ ¹ �½4Ê��×h�'��¡J�X���J�µ���>��� ¹ �Æ7��+ �%�Â(Ó�'� ³

¶M�D���+�>�O���X����±���¦J�����µ¢3¦D�J� ® �_�g���X���3�û°�_�+�,&ñ��(Aª`)u���J��+M�.-/&0)�¶1�'+ ¡�¢+��±��_�J�g�'²�+�'���D���R�X���+�R���_±­� ���A�+�D�t�+±��D� ® �����%���%����ù����R�%�����#�_�D�g���3���_�J�%�'�����G�X���3� �+��¢+���|¡D¢+��²±������g���3��������¢��h���d±�� ®l® �_�P¦J�)�^�'��¢+���)��¢+���_��¢Z�)� ® ¦D�<���+���_�l§1¡J�%¢3�+�<±�¦D�<��¢+�����3�D�^�£���)�#�)�M�g¬Û��.³ ��³����+¢3�<�g�£�% ��_�J�%�ü��´ è ��§bE¬k§W�'�J±�� ® ¡D�����3� è � �ü�_±��+�_¢+��ù>�%�+�'���l�X�'�+�|�D�����Z�����W¬V���J�p°�����±�¯8���±��_°D�.³_¶d�%°D�'�*�A�O���%�A�d�+�D��¢+���)¦D���Û��1��¢V�%�����3�D�M¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D��¢Û�G�%¡D¡D�'�������+�0&ñ��(^ª*)�%�J� ¶h��°D��� � �O�D���A�N�3�D�t±���¢3¢+���)¡�_�J�g�'�D º¢3���O¦D�'���^�1��¢2+M�æ-/& )E¶9�'+ ¡D¢+�>±����J�����+�'���D�>��X���3� ����±��R�%�A�+���!�+±��D� ® �>��³6ªj�_±­� �%�A�+�����O�l�Û�%°D�'�����J���P¢3���O¦��������1��¢��+�D���1��¦D¢�¡J�e�O²�O�'°D���|±�� ® °����J���+���_�J�^���X�+� ® ���O�3��¡ �)��ù��|���J� �)¡J�%�3�<�%���g�£�+±�¢3���+�'ù��%�3���_�û�O�'ù���³G¶M���p�1�_¦D¢±����'¦ ® �J�G�%�6���_±­�����6�+�D���)�A�O��±��+���_�J�h�_�m°J���3�m�Û�%°D�'���h�'�<�O�V�+�D�X��¦ ® °��¢G�%�6��¦D�3��¢Z���'�D���%¢���3��¢����+���_�J���gÚ · � �G�+�D�|�+�_���%�����<��¡J�O�>�ý�3� ® �P�1�_¢N�3�D�l�'�+��¢Û�%�+�'���R�%�k�+�D�!�)���'����¢��"Á © �q�3�D����<��¡J�O�>�ú�+� ® �m�'�J±�¦D¢3¢+���û��� �O���3�+���� û¦D¡ �+���l¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢���Á+��V�%�J� �+���!������¢��� ���g¦ ® °J��¢��%�����D����¢����'�D���%¢|���3��¢����+�'���J��¡J��¢m�_�D�º�_¦D�+��¢l���3��¢����+���_�G�¦Ú · ¶ � �#¢3���O¡J��±��3�������'��1¢+� ® �����1�X�3��¢+�' �����³

��:

Page 26: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

T�2�a�=@ {FvXxtyjz#{|y# �&.*�=@,3&�S�ÇG7) �(+/%8�"%$9,:$9/%8� �73&A&.L�/�-Z8m;<7)/�C ,)/%5t,O/�ag/�,),)/�C!Û�T7.$'"%$'2�4�/�8�2�=1¼¹18�(+/�C�05�=@ �,) A½lÜ ; 2�(+,O/�7.$@[�2�,.$@/�8�-U$9,OL�8�/X$@8�`�=I= ¼D}q=@/e(Oc|G�2�(+/%a�$ ¼�F�{�~d/�C�aJ¼�F�{��X"�"D¼EF�{_xm*�=9,�¼ÝFe{_}�GE¼F�{�v^{�¼�F�{8µXÇ�STh$@C� N{�,) �5l{�$@[� HÞ ß�Ógà®ÎfÁ ß�Óuà Á�Î

ÇG7) �(+/%8�"DS á · � â © â + á ·�¶ � á · � â © â + á · ¶ �TJ7:$f"%$'2�4gS ´�Æ�F ÁDFES@ÁD¤ À�S�F�¤ ãXÁ�À%À�À 0 0

Çq7)/�aJS ¹ü½lÜ��üÀ�� Æ�Å�à Á�À�ÃES À�Á À�S Ä�´ ãXÁ�À%À�À 0 0{�$@[� }2G Ä�¤�Ä ´_S�¤%À À�S@Áj´ Ä%Å�Æ ´_SÿÅ�´ ÀES@Á�Æ F�{�~d/�C�aJS Ä�Ã�À F�F�´�S Å�À À�S�¤�Ä Â8F ãXÁ�À%À�À 0 0Ô F�{��X"�"DS Â8F Æ�ÄES Ä�Æ Á�S À�À ÁDF�Á Ä�À ´�Ã�SÿÀ�À ÀES Æ�Æ F�À%ÀÆ F�{_xm*�=@,�S Á�à Ä�ÆES Ä�Æ Á�S À�À ÁDF�À Á�Æ ÂE´_S�¤�Ä ÀES Æ�Æ Á�Ã%ÅÔ F�{_}2G Ä�F Á�ÃES Å� À�S À�F ÁDF�Ä F�Á F�Â�S Â�Á ÀES À�F Á�Ã%ÆÆ F�{�vA{ ÁD¤ Ã�S Å%Ä À�S À�F Á�Á�à Á�Ä Á�Å�S Â8F ÀES À�F Á�ùFF�{8µXÇ Á�Å Á�ÅES Æ�À À�S À�Ä ÁDF�F Á�Á F�À�SÿÄ�à ÀES À� Á�Æ%ÆTh$@C� N{�,) �5l{�$@[� HÞ ß�Ógà®ÎfÁ ß�Óuà Á�Î

ÇG7) �(+/%8�"DS á · � â © â + á ·�¶ � á · � â © â + á · ¶ �TJ7:$f"%$'2�4gS ãXÁ�À�À�À 0 0 ãXÁ�À%À�À 0 0

Çq7)/�aJS ¹ü½lÜ��üÀ�� Æ�Â_À Á�Â�Á%S�F�F Å�S Å�Á ãXÁ�À%À�À 0 0{�$@[� }2G Áj´�À Á�Å�FES Å�Á ÄÝ´_S@Á�Æ Â�F� Ä�Æ�Á�S�F�F Ä�´�S»Â� F�{�~d/�C�aJS Å�Å�Å Å�F�´�S�F�Å Ã�S�¤�Ä Á�Å ãXÁ�À%À�À 0 0Ô F�{��X"�"DS F�Ä�´ ¤�Æ�ÀES À�À Á�Ä�S Å�À Å�F Ä%Æ� ÁD¤�´�Æ�SfÁ�Ä Á�ÄES Å�À Æ�ÀÁD¤ F�{_xm*�=@,�S Á�À�Ä Ä�À�ÅES�¤�Ä Á�Ä�S Å�À Å�F Ã�À Ä�Ã�F�S�´�Å Á�ÄES Å�À ´�ÃÔ F�{_}2G Å�F Å�ÆES�¤�¤ À�S À�à Å�F Ä�´ ¤�Á�S�´�´ ÀES À�à Æ�ÀÁD¤ F�{�vA{ F�Å F�ÆES�´�´ À�S À�à Å�F Á�à Ä�Á�S�¤�Æ ÀES À�à ´�ÆF�{8µXÇ F�Á Â_ÃES Ã�Á À�S@Á�Ä ¤�Ä Áj´ Å�F�S�F�´ ÀES@Á�Ä Æ�Å

�^���X�����+�D�û�'���D����¢l�)�D�)�+� ® �P�M��¢3�û�O�_�������n���3��¢����+��������� ¦D���+�'�A�ú�D�_¢ ® ¢3���g¦J±��+���_�Y�%�¹ % ¹ ÑEÕ �X�_�º�_±­�D�'���������Z¢+���<�%�3�����u�+� �3�D�R���D�'�+�<���������  ��'�����Y°g�Y�3�D�i�%²1�D��¢ ® �%��+�D�û¢3�� _�g�l���%�J�Y�)�<�g�R�)���J±��uù���¢3� �X�_�¸¦��O���Y�_�¸�3�D�û�������+�£�%�X _¦D���+�l�'�Y������¢+� ±����)��³&ñ��(^ª*)J§ � E¬Û�D�X���3�l�+¢3�<�g�£�% ��_�J�%�G¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D���� ��%���µ�����'�D���%¢��+�_����¢Û�%�J±��r��¥E¦��%���3��+�J���^���#�3�D����¦D�3��¢r�O���'���������X�_�w¦J�)���!���X�+�D���)�M�_².�)���� ��P�'�D�D��¢A�)���'����¢�³)�� ® �� �������¢����#±�� ®l® �����3�#�%�Z�3�D�P¢3���O¦D�'���X��¢+�����u��¢�����¢�³J¶M�D���+¢Û���g�'�+���_�J�%�G¡�¢+��±��_�J�g�'²�+�'���D��¢Û�^���l�D���A����¯��P�'�g�3�l�_±�±���¦��g�r�%���!�%�Z�3�D�P¡D�����O�<±��M�%���+�D� ® ¦����+�'²W¡��J���)� ® ���g���

�½4

Page 27: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

T�2�a�=@ rÄ}q$<~ZvA{_T�X} yU �&.*�=@,3&�SGÇG7) �(+/%8�"%$9,:$9/%8� �73&�&.L�/�-Z8l;<7)/�C ,)/�5º,)/|ag/�,),)/%CäÛ6T7.$'"%$'2�4�/�8�2�=1¼�¹18�0(+/�CN5�=9 �,O \½lÜ ; 2�(+,O/�7.$@[�2�,.$@/�8º-#$@,)Lº8�/|$@8�`�=I=1¼d}q=@/e(Oc�G�2�(+/%a�$ ¼uF�{�~d/�C�aJ¼lF�{��X"�"D¼6F�{_xm*�=9,�¼F�{_}2G�¼�F�{�vA{�¼�Fe{8µXÇ6STh$@C� N{�,) �5l{�$@[� HÞ ß�Ógà®ÎfÁ ß�Ó6à Á�Î

ÇG7) �(+/%8�"DS á · � â © â + á ·�¶ � á · � â © â + á ·�¶ �TJ7:$f"%$'2�4gS ÁDF�´ Ä�S»Â�F À�S�F�¤ F¹F�´ ¤�S�F%À À�S�F�´

Çq7)/�aJS ¹ü½lÜ��üÀ�� F�Ä�à Å�´�S Ã�À À�S Ä�´ ãXÁ�À%À�À 0 0{�$@[� }2G Æ�À F�S Ã%Æ À�S@Áj´ ´�Å F�S Æ%Ä À�SfÁj´Â F�{�~d/�C�aJS Á�À�¤ Á�Á�ÄES�´�Å À�S Å�À Â_À Á�F�Å F�Å�Ä�S Å%À À�SÿÅ�À Æ�ÁÔ F�{��X"�"DS F� Æ�ÆES�´�Å Á�S À�À Á�Á�Æ Ä� Á�Å�Æ�S Ä%Æ À�S�´�Å Á�Æ�ÄÆ F�{_xm*�=@,�S Á�Ä ¤�Á%S Ä�Æ Á�S À�À Á�Á�Å Á� ¤�´_S Ä%Æ À�S�´�Å Á�Æ�ÆÔ F�{_}2G F�Ä F�ÂgS Ã�´ À�S À�F Á�ÁD¤ F� Â8¤�S ÃEÁ À�SÿÀ�F Áj´�ÄÆ F�{�vA{ Á�Á Á�Á%S Ã�Á À�S À�F Á�Á�Å ÁDF F�Â�S@Á�Å À�SÿÀ�F Áj´�´F�{8µXÇ Á�À F�ÀES À� À�S À�Ä Á�Á�Æ Á� Â�Â�S ÀEÁ À�SÿÀ�Ä Áj´�ÃTh$@C� N{�,) �5l{�$@[� HÞ ß�Ógà®ÎfÁ ß�Ó6à Á�Î

ÇG7) �(+/%8�"DS á · � â © â + á ·�¶ � á · � â © â + á ·�¶ �TJ7:$f"%$'2�4gS Áj´e¤ Â_ÄES Ä�´ Å�S Å� ãXÁ�À%À�À 0 0

Çq7)/�aJS ¹ü½lÜ��üÀ�� ãXÁ�À�À�À 0 0 Â�F� Ä�Æ�Á�S�F¹F Ä�´_S Â�Â{�$@[� }2G Å�´ Á�Á�ÆES Å�Ä Â�Å�S Ã�à ¤�à Á�Á�Å�S�¤> Ä�´_S Â8¤ÁD¤ F�{�~d/�C�aJS Áj´�À F�Ã�FES Å�À Ã�S�´�Å Á� Á�Æ�À ¤�Ã�À�S À%À ÁDF�SÿÀ�À F�ÅÔ F�{��X"�"DS ¤�Æ Ä�¤�Á%S�´�Å Á�Ä�S Ä�Æ Å�À ¤�Á Â_Ã�À�S�¤%Ä Á�Ä�SfÁ�Æ ´�´ÁD¤ F�{_xm*�=@,�S Â� F�Ä�ÆES Æ�Æ Á�Ä�S Ä�Æ Â_à Ä�F F�Å�Å�S�F%Å Á�Ä�SÿÄ�Æ ´�ÅÔ F�{_}2G Â�Á Æ�ÄES�F�Á À�S À�à Â_à F�Ä ¤�Æ�S ÃEÁ À�SÿÀ�à ´e¤Â F�{�vA{ Áj´ Ä�ÅES Æ�F À�S À�à Å�À Á�Á Ä�Ä�S ÆEÁ À�SÿÀ�à ´e¤F�{8µXÇ Á�Ä Å�¤ES�´eF À�S@ÁDF ¤�Á Á�À Å�Æ�S�¤¹F À�SfÁDF Æ�F

�%�J�l���'�+�D��¢j�ü�%�'���3��±��_�g����¢3 ����_¢A�%¢3����¦D�3¡J��¢O�1�_¢ ® ���|°g�t�O� ® ���%�d�3�D� ® ��¢3�^�3�D��¦� ����+²�1¦D�X¡D¢3��±������g���3��������¢����#�����+���µ�3¢+����� �)¦D � _���O�Û�p�X����� �3�D�u�O¡J���+�<���A�g�<�3±�¢+���+��ù>�%�+�'��� �£�¢+�����D����³��^�_�+�<±��^�3�J�%���D�����3�D��¢#���#�3�D�A�O���P¡D¢3��°D�'� ® �O�'ù����#�+�>�O�+�>�p�D��¢+����¢+�r�%���g�X�D��¢+��D����¢m�3�D�u�O��ù��µ������¦ ® ��¢3�<±���� ® ���g���<���+�J���m�3�D�º¢3���O��¢+�����'¢��)� ® ¦D�<���+���_�n±�� ®l® ¦��D���.��X�<�)�D���M�+���Û��±�¯g�'�^�'�l�+�����>�6«I�M���� ��!¡J��¢)�1��¢ ® �%�J±��ø±�� ® ¡�¦D�+�'�D ����g����¢3��� ® ���g��³�´.�l¡J��¢+²�+�£±�¦D�<��¢��J´ è �P§[E¬M�ü�����<�X�+�|¢+�>�O���'���P�3�D�P�'�%� ��¢+¢3��¢X�1¢+��¥�¦D���J±�������³J�º��¢+���%����¢��g�3�D�P°�����±�¯8���±��_°D�Z¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢P��¡D¡J���%¢Û�N�3�º°J�m�3�D� ® ��¢3��¢+���'�<�%°����P�_�D�l���X�+���m�3¢��������+�'���J���¯g�'�J��³½â^���M������¢�����¦�¢j� ® ¡D�'� ® �������%�3���_�N���6°D����±�¯¢8��_±���°D����������¢+�Û�h�g�'¢+��±��+�����1�_¦D¢#°D�'��±­¯��

�½>

Page 28: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

�%�k�+�D��8��_±���°D�£�%� ® �%�3¢+� ��³")�¦J±��R�l¢+�<±��º°�����±�¯�8���±���°D�Z¡D¢3��±������g���3��������¢ ® ���!�D����°J�¢+�������'ù��%°D�'�����!¡D¢Û��±��3�<±��e�D�O¡J��±��<�%�'���l�'�!¡J�%¢Û�%���'����� ® ¡D�'� ® ���g�Û�%�+�'���J�#�X�D��¢+������±��!�%�Z�3�D�°D����±�¯��X�O�D�_¦D�<�l���'�������t���D��¡D¢3��±����+�)��¢A�+� ® ����� ® ��ù����+�D��±�� ®l® ¦��D�<±����+�@���|������¢+��������³

¶q¦�¢+�D�'�D ��+�t� ® ��¢3���g���Û�%�'�����|�%�J�������O�£�w���#�3�D��¢+�>�O¦D�'�����D�3�D���3� ® �'�D ��Z�%�Î+M�.-/&0)�¶1�'+�%�J� &ñ��(Aª*)!�%¢3��±�� ® ¡J��¢��%°�������� �O¡D�'�+�P���Z�+���P��������¢X�g¦ ® °J��¢��%����¦D�3��¢A���+��¢��%�3���_�J� ��'�����l°���+M�æ-/& )E¶9�'+�³�¶M�D�£�M���M���Z�+���+���^�ü��±��X�3�J�%�Ó+M�æ-/&0)�¶9�ñ+ �J���M�)�M� ® �%�3¢+� �g²����±��3��¢ ® ¦D���3��¡D�'�����M¡J��¢����3��¢����+���_�ú�'�J�O�3�����û�%�A�3�D�t�O���� ����|�����l�D���������º°g�,&ñ��(Aª*)J³���D�g�'�+�'���J�������e�D�+�D�|±��_�g����¢+ ����J±����%�`+M�.-/&0)�¶1�'+ �£�^��¢3¢��%�3�<±��J�_���<�^�������G¯��D���X�R�%�J�±��%�!°J����¡D¡D¢3��±��<���+���l�'��×d�� �¦�¢+� ¹ g³-Z� ® ¡��%¢+�£�O�_�ú°J���)�M�����û�+�D�|¢+�>�O¦D�'���w�1�_¢¢È p vu6ì ¹ ���J�û�+�D�e�O�m�1�_¢�È p v ¹ ì�!�O�D���A��p _¢+�����+��¢A��¦ ® °J��¢Z���Z��¦D�3��¢A���+��¢��%�3���_�J�j�1��¢A�+�D�'�J¢Û�O�X�1��¦D¢A¡D¢3��±������g���3��������¢���§1�X���+�u��1��� �=�D±���¡D�+�'���J��¬q�1�_¢Z�+�D�A���_�D ���¢��+� ® �X�)�+��¡G³ â^���M������¢����%�'�D�%�d�3�D�A�O����²ü�O�Û�% ��\§W����±���¡D��1��¢��+�D�0�d)F-Z� ® °�¬d¡D¢3��±������g���3��������¢��Z ������r�P� ® �%�'����¢V�g¦ ® °J��¢#���#�_¦D�+��¢����3��¢����+���_�J�U�1�_¢�+�D�u���_�D ���¢|�+� ® �t�O�+��¡G³M¶M���º¯���� �'�n�����+��¢3¡D¢+���3���D û�3�D���)�µ¢3���O¦��������<�����n�3�D�û�_±��+�'����%�d�3�D�^�1¦D�'��²ü�g��±��_¦D¡D���'�D ���¡J��¢Û�%�+�_¢X� ® ¡���� ® �����+�>�ø�1��¢��+�D�r�O����²ü�O�Û�% ��r¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢Û��%�J� �'���P���X�Y¡J���M��¢��3� ¡D¢+�>±����J�����+�'���n�+���û�O���O�3� ® ³1 ú�u°�����������l�+�J���m�3�D� ÛwU%S��¹�6Y�%���+���P�%¤6²ü�g�<�� ��_�J�%�`8���±��_°D�<���û°D����±�¯D�A�>�1�3��¢^�1¦D�'�#����±���¦�¡D���'�D m�£�w�'���+�X�1��¢A�+�D���'���D _��¢�+� ® �l�)�+��¡n�3�J�%�n�1��¢��+���º�)�D��¢3�+��¢��_�D�u�%�J�n�+�D�!¡D¢3��±��_�J�g���3���_�D��¢P�£� ® ��¢3�l��¤6��±��3����������m¢3���O¦D�'��³G¶G�l�3�D�<�^¡J�_���������D�_�+�£±����+�J�����+���|±�� ® °D�����%�+�'����¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢���X���<±�����D�'� ¦J�)���P¡J�%¢3�+�£�%�A�g��±���¦D¡D�'���D  �O�D���A�|�º �¢3���%�3��¢��g¦ ® °J��¢��%�r��¦��+��¢��'�+��¢Û�%�+�'���J�N�1�_¢È p v ¹ ì�N�3�J�%�t�+�J���j�1��¢��+�D�ø�O�D�_¢+�+��¢/È p ³e¶M�D������±�¢+���_�O���|�g�@÷!±�¦����)�P���d�+�D�A¡D¢+�_°D��� ®�X���3�R�m���_�D ���¢r�+� ® �P�)�+��¡û�£�w¢3��MJ��±��+���!���R�%�'�#±����O�>�^°g�u�+�D�� �¢3�%�X�3�ú�'�û�+�D�\������¢��� ���g¦ ® °J��¢��%�V���D�D��¢X���+��¢��%�3���_�J�M¡J��¢X¦D�D�'�X��¦D�3��¢X���3��¢����+���_�G³

¶M�D����¦ ® °J��¢A�%���'�D�D��¢��'�+��¢Û�%�3�������w¡J��¢��O�3��¡û�%���3�D����¦D�3��¢��'�+��¢Û�%�+�'���û�£��±�� ® ¡J�%¢Û�%°D�'���� �3�D�!¢+���)¦D���Û�ø�1�_¢�°�_�+� ���+��¢��%�3�����t�O�_������¢Û���G����±���¡D���1��¢ ® �'�D��¢��g�@¤���¢+���J±����P�g¦��µ�3�¡J�%¢3�+�£±�¦D�<��¢X±��_�g����¢+ ����J±��X�D�£�O�+�_¢+�|�%�V����±��t±����)��³D�^�_�+�£±��^�3�J�%�����l�3�D��±��_�O�����d�+�D�r�<���)��J����¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢��ZÚ · ¶ � �O�D���A�^�3�D����±�±�¦ ® ¦��<�%�3���l������¢Û�% ������Z°J���+�u�+�D��¡D¢+�>�+�O¦�¢+��%�J�t±����J±����g�3¢����+���_�l±�� ® ¡J�������g�Û�#�X�D��¢+�>���*�d)F-Z� ® °|���D�'�|�O���'�����h�1��¢Z¡D¢3���+�)¦D¢+��±�� ® ²¡J���D���������%�J�R�+�D��¢3���1��¢3�l�)�D��� �!�����M��¢��g¦ ® °J��¢����A���D����¢����+��¢��%�3���_�J��³1�^� �'�J±�¢3�����)����R�+�D�|�+� ® �|�O�3��¡ �O��ù��|�D� ® �� ������+�D�t�g�£�% ��_�J�%�k�g� ® ���J���J±����%�A�3�D� ® �%�'�D².���<�% _���J���°D����±�¯��N�%�A�3�D�!�g�>±���¦D¡������Ø8���±��_°D�<��� �+��¦J��¡D¢+���g¦�±����D û���%¢�����¢P�'�D�D��¢��O�_���������d���P¢+��²MJ��±��3���º°��º�+����¢+���)¦D���Û�^���R°J���+�R����°D���>��³9)�� ® ���D��� �O¦�¢+¡D¢3�<�O�'�D ��'���6�¸ _¢+���X�+�R���û�3�D��O�'ù����%�U�+�D�����'�D����¢X�O���O�3� ® �g�>±�¢+���_�O���qÚ0·�¶ � ���!������¢+�t±����)��³���h�1��¢Z�+����¥�¦D���)�+���_�m���G��÷¸±��'���J±������3�D�r±����J�)��±�¦D�3������²1�)�g¡J��¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢Û�����ü³ÿ��³'�%�3�D��)�M��²ü�O�Û�% _�N°�����±�¯�8���±��_°D�.�J&���¦J�+�)²{)e���<�g���d�%�J�l���<�+±�¢+���3�^¡D¢3��)��±��3���_�G���g�<�)¡D�<���|�+�D��°J���)����<��¡J�O�>�¸�3� ® �>�U�3�|±���������¢3 ����3�D�����������%¢k�O���O�+� ® �j�)��¡D�<±������'�m�1¦D���'�m� ® ¡D�'�<±��'�#°D�<�_±­¯�²1������O� ® ¦D�£�%�3�����o³"��� ® ���g�3���_�D���û�%°J�������V�%���3�D��¦� ��n�+�D�t¡D¢+�_°D��� ® �)��ù��>�N¡D¢3���O�����+�>�ý�D��¢+��%¢3�N�_�D��� ® ���g���)���g�3�D��±��_�J�O�>±�¦D�+�'����¡D¢3��±������g���3��������¢����%¡D¡J����¢^�3���J�������+�D��¢3��¥E¦���¢+�>�¢+�_°D¦J�O�3�D���3�ø�1��¢�¡D¢+�_°D��� ® �^�%�k �¢3���%�3��¢��)��ù���³o¶M�D�l±�� ® °D���J���+�'���P¡D¢3��±������g���3��������¢���1�_¢����� ® ¡D�'�����<�M�D�_�X¢+�_°D¦J�O�A���D�_¦D ��u�������m�1�_¢^�3�D���)�N¢Û�%�3�D��¢M�1¢+�'���J�g�'�m¡�¢+��°���� ® ��³

� �

Page 29: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

50 100 150 200 2500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Iter.

Rel. r

es. n

orm

s

10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Iter.

Rel. r

es. n

orm

s

5 10 150

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Iter.

Rel. r

es. n

orm

s

5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Iter.

Rel. r

es. n

orm

s7$@4�S�Ã�SGy# +='2�,.$@?� �7) �&W$'"�*�2�=Z8�/�7OC�&X?�&�SD$@,) �7+2�,.$@/�8�&^/�;�5�7) �(+/%8�"%$9,:$9/%8� �"úvkxlyZz#{�Sh{�*�a�5�=@/�,�3Á K Áj�=Û�¹.½lÜZ�.À�� �ü"�/�,B�+¼dTJ7:$f"%$'2�4��ü"�2�&.L�3¼ha�=@/e(OcbG�2�(+/�a�$��ü&./>=F$'"��3SM{�*�a�5�=@/�,��+Á K F��åÛ^Fe{�~d/�C�a�ü"�/%,B�3¼DF�{��X"�"X�ü"�2�&.L�+¼eF�{_xm*�=@,2�ü&./>=F$'"��3S�{�*�a�5�=@/�,2�/F K Áj�åÛDF�{_}2G"�ü"�/�,B�+¼DF�{�vA{"�ü"�2�&.L�+¼eF�{8µXÇ�ü&:/�=I$f"��+SG{�*�a�5�=@/�,H��F K F��=ÛD}G=@/�()c'G�2�(+/�a�$S�ü"�/�,B�3¼F�{_xm*�=@,5�ü"�2%&.L�3¼$Fe{8µXdz�ü&./�=I$'"��3S�ÇG7)/�a�=@ �C{�$@[� �ÛgÂ5Ô|Æ�ÔtÆESÝß�Ógà À�Î@Á�S��±�±��_¢��g�'�D ��3���+�D�X�3¢+�������O¦D _ ����)�+����°g���_¦D�+��¢Z�'�+��¢Û�%�+�'���J���%�3�D�Ó�f)E©�¨ �%¡�¡�>�%¢��Z�_�U�3�D�°J���O��¡D¢3��±������g���3��������¢|§.�%�'�+�D�_¦D ��o�9�d)F&0)R��±��D�'���������)� ® �'�<�%¢A¢+�>�O¦D�'���­¬Û³"â^���M������¢��J�+�D�£��%¡D¡�¢+��±��£�%�3����� ±��%� °J� ® �<�)�����_�g���D u�X�D��� ������¯����� n�%�l������¢Û�%�'�M�+� ® ���� ���³Z�A���+�!�3�J�%��f)�©ñ8 ¡J��¢)�1��¢ ® � ® ��¢3�l�����D��¢����3��¢����+�'���J����� �>����¢��% _�!�+�J��� ���Û�m±������)��¢|±�� ® ¡J���+�'�+��¢�f)F&0)J³k¶M�D�û¢+���_�O�_� �£�p�3�J�%�!�+��� )�±��g¦�¢l±�� ® ¡D�'� ® ����� ® �%�3¢+��� �X���+�Y¢3���O¡J��±��l±��_�D²±������+¢Û�%�+�'���J���<� ® ��¢3��¡���_¢+�'�n±������g���3���������ú�+���%�n�+�D�t¡D¢+���3�O¦D¢3�!�%��� ±�����±������+¢����+�'���°D����±�¯��j¢+�>�O¦D�'�+���� P�1¢+� ® �+���P����±���¦�¡D���'�D P¡D¢3��±����3��³J�^�'�+�D�_¦D ��G��¡D¢+�>�+�O¦�¢+���%�J�!±��_�J±�����²�+¢Û�%�+�'���R°D����±�¯����%¢3���º² ® �%�3¢+�£±�����§W¢+�>±��%�'�#¶M�D����¢+� ® ¹ ¬A�+�D��¢+���<�A�D�! �¦J��¢��%���+���m�3�J�%�)�±��g¦D¢�±�� ® ¡D�'� ® ���g�d�)�D�)�+� ® �d��¢X��¡D¡D¢3����� ® �%�+�'���|�+���+�D� ® �%¢3���M���'�D°J���J�����������|�+�D�£�±����)��³D´.�!�����6���g¡J��¢3� ® ���g�Û�����M��¦J�)���+�����<�g���g�3���)� ® ���+¢3�����+�\�%¡D¡�¢+���g� ® �%�3� ¶ð ]�Q� ���l�3�D�±������O�+¢3¦J±��3�����!���Z�+�D�¢)�±���¦D¢X±�� ® ¡D�'� ® �����#�X���3�!¢+���)¡�>±��X�+�|±��_�J±������+¢Û�%�3��������³�~�J���%���M��¢Û�P�<�d�g�����_�+�����+�r�+�D�k±�� ® ¡��%¢+�£�O�_�P�%���+�D�k�%���3��¢+���%�+���X���3�P�+���X±��_�J�O��±�¦D�+�'���¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢���³o¶M�D�P�1��¢ ® ��¢^�ü� ® ���'�l�<����¡D¡D¢3����� ® �%�+�����!��¥�¦D���_�%�'�����^�3�µ�3�D���<���+�3��¢°D¦D�|�X���3�Y�+�D� ���D�g�'�+�'��� �����+�D�u ����_°J�%�A¡D¢3��±������g���3���������D  �O�3��¡  _������� °g�  � §1�+�D�£��O�3��¡!�<�A�%°J�)���g�X�'�!�+�D�\±����J�)��±�¦D�3�����A�)�g¡J��¬Û³J¶M�D���+���Û�%�d���<��¡J�O�>�¸�3� ® �>�j�+�>�O�+�@�1�m�3�m�3�D��D�� _�û������¢+�D�>���µ�'�J±�¦D¢3¢+���!���u�+�D�|��¡D¡D���£±��%�3���_�º�%���3�D�� ��'��°J���#¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢^���M�3�D��%�'�+��¢3�J�%�3�|�+±��D� ® ����³F�º�_¢+��������¢����_�ø�k��� ® ���g�3���_�D���!�%°J�������  � �O�D�_¦D�<�º°J�t�%���'�����)�������¤6��±��3�����������l¡D¢3��±������g���3��������¢��_���%¢+���3�D�������g�����<�g¦��%�V�g��±��_¦D¡D���>�º¡D¢+���3�O¦D¢3�|�%�J�±�����±������+¢����+�'��� °D�'��±­¯���³�â^���M������¢��  � �<���º¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢ø�1�_¢��+�D�|�1¦D���`8���±��_°D�<���G��X�D�<±��l�3�D¢+���A�M¦J�M°J�_±­¯|�+��°J�� _���D�����D ����#�3�D��¡J���+�G����¢X�M�_¢��)��³F ú�ø�%¢+�r�D��� �'����¯����D �1��¢k�N¡D¢3��±������g���3��������¢#�1��¢3ð �+�J���M�J�_�j�+��°J���%�X�3�D���_±��+�'���l���d�+�D�r�g��±���¦D¡D�'���m°D�'��±­¯���³¶M�D���)�j�=�g¡J��¢3� ® �������J�)�D���n±����>�%¢+�'�^�3�J�%�G�3�D�<�G�<�G�M�'�����)���D �¡�¢+��¡J�e�O���3���_���%���N�+����¢+���1�_¢+����+�D�\�%¡D¡����<±��%�+�'���u�%�  � ¢3���O¦D�'���X���u�X���)�+���!�+� ® ��°��µ�3�D�����3��¢����+�������)��������¢�³J´.�A�O�D�_¦D�<�

�½Æ

Page 30: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

°J� ® �����+�'���D�>�¸�3�J�%�  � �X�_��±��D���)���û�_���%�çæSè �ü��±��+��¢3��ù����+�'���û�%�`ð �X���3�û±�� ® ¡D�'���+����Z�����G�����O�<�����m°J���J�g�X�£�g�+�û��� ¹=Ö ³G¶M�����g¦ ® °J��¢M����°J�%�J���ø�k����±��D�e�O��� �O�l�3�J�%���3�D�±���¦�¡D���'�D m���Z�D����¢+���)�+²1�D���' ���°�_¢^�£������¢��M�k���A�%���k���D�X¢+���Û�%�'�D���û§W�D�_�+�£±����+�J���������V±����)����J������:l _¢+�£�º°D����±�¯D�X���û�3�D�Pù�².�g�'¢+��±��+���_�G�J�X�D�<±��º�£� ® �e�O�A¢���¡D�<�g�'�!���J±�¢3�����)���D t���º�3�D��g¦ ® °J��¢3���D |�3±­�D� ® ���%�X�3�D�� �¢3�<�º°D�'��±­¯��­¬Û³�´.�R�)¡D���3���%���+�D�|�_�+�)¦ ® ���!¢+��°�¦J�O�3�D���+���%��+�D�£�^ ��'��°J���Z¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢���'��� ® �%���u��¤6��±����)��� ® �X�+�t°�|�+����¡�e�O�3���D !�%�k �¢3���%�3��¢���<��¡J�O�>�¸�3� ® �>��Á © �X���3�µ����¢+���g¦�±��+�'���!���!�+���N��¦ ® °J��¢M���#�'���D����¢X���3��¢����+���_�J��³

10 20 30 400

1

2

3

Iter.

Rel. r

es. n

orm

s

10 20 30 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Iter.

Rel. r

es. n

orm

s

2 4 6 8 100

0.005

0.01

0.015

0.02

Iter.

Rel. r

es. n

orm

s

2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Iter.

Rel. r

es. n

orm

s

7$@4�S�Á�À�S�yU +=f2>,.$@?� �7) �&W$'"�*�2�=d8�/�7)CP&#?e&­S�$@,) �732>,.$@/�8�&Z/>;d5�7) �(+/�8�"%$@,.$@/�8� �"!}q$<~ZvA{_T�X}�S�{�*�a�05�=@/�,2�3Á K Áj�=Û+¹.½lÜZ�.À��6�ü"�/�,B�+¼�TJ7:$f"%$'2�4��ü"�2�&.L�3¼�a�=@/e(Oc5G�2�(+/�a�$�ü&./>=F$'"��3S�{�*�a�5�=@/�,2�+Á K F��åÛéFe{�~d/�C�a�ü"�/%,B�3¼DF�{��X"�"X�ü"�2�&.L�+¼eF�{_xm*�=@,2�ü&./>=F$'"��3S�{�*�a�5�=@/�,2�/F K Áj�åÛDF�{_}2G"�ü"�/�,B�+¼DF�{�vA{"�ü"�2�&.L�+¼eF�{8µXÇ�ü&:/�=I$f"��+SG{�*�a�5�=@/�,H��F K F��=ÛD}G=@/�()c'G�2�(+/�a�$S�ü"�/�,B�3¼F�{_xm*�=@,5�ü"�2%&.L�3¼$Fe{8µXdz�ü&./�=I$'"��3S�ÇG7)/�a�=@ �C{�$@[� �ÛgÂ5Ô|Æ�ÔtÆESÝß�Ógà À�Î@Á�S ú� ® ���g�3���_�D���N�'���+�D�r�%�' ���°�¢��%�£±X�%�J�������O�£�U���G�3�D�Ó8���±��_°D�<��� ® ���+¢+� ��°D����±�¯D�d�+�J���j�3�D�¡D¢+�_¡J��¢+�3�����^���P¢3��¥E¦���¢+���1¢3� ® �3�D�P�'�J�g�'�g�£�g¦J�%�d°D�'��±­¯��^��¢+� ® ���M�1��¢�¢3�����)���J��°D�����3� ® ��O�3��¡R�O�'ù������6�.³ÿ�e³��J±��'���%¢3���!��¦D¢��_�+�O¦ ® ¡D�+�'���J�A�X�����d�D�_�N°J�t�%�'�#�_�%���£�µ�1��¢0È p °�������J�û� ��'�����!�+�D¢3���O�D�_�<�l�_�%�'¦D��³F R���%�£�O�|¢+� ® �%¢+¯��>�p�3�J�%�A�+�D���)�M��²ü�O�Û�% _��±�� ® °D�'�J�%�3�����A¡D¢+��²±������g���3��������¢#�X�_�#���g¡J��±��+�����+���g���+��¢3����¢Û�%�3�A���#�+�D�X�3� ® ���)�+��¡|�)��ù��X�'�J±�¢+�>���O�>�h°J��±��%¦��O��+�D��¡D¢+�>�+�O¦�¢+��±�� ® ¡J�������g�Û�N§1�X�D�<±��!���A�<�X°J���)���µ�_��¬A��¢+�P���l���_�D ���¢r�g� ® ���J���g��³J¶M�D�¢+���)¦D���Û�N���A�+�D���)�l����¡J��¢+� ® �������A�O�D��� �+�J���P�+���<�N�£�N�3�D�!±��_�O�l�X�D�'���|�D���������+�£±�����°D����>¤6��±��3���D ¸�%���º�%�k�+�D���_�+�D��¢��)�M��²ü�O�Û�% _�l�3±­�D� ® ����³�´.�û�g�'��� �%���+�D�>�O��¢+�>�O¦D�'���^���P°J��²���'�������+�D��¢+�l�£���O�+�'����±��_�J�O�£�g��¢���°D���t¢+��� ® �'�n±­�������O�'�D R��È p �X���<±�� �X���'�M �¦��%¢����g�3���±���������¢3 ����J±����%�V�+�D���^���X�+��� ® ���+�D���l���Û�O���@�d�X���3�D��¦D�A�)¦D°J�)���%���+�£�%�'���!�D� ® �% _���D ��3�D�¡J��¢O�1�_¢ ® ���J±��������%���l�%�V�+��� �����N�����X���|¡D¢+�_¡J���O�>�º�O����²ü�O�Û�% ��\�+±��D� ® �>��³×h�� _¦D¢+� Ö �)¦ ®l® ��¢+�'ù����#�+�D�\±���������¢3 ����J±���°J���J���g�'��¢A�%�/&ñ��(Aª*)m�1��¢A�+�����g�£�+±�¢3���+�'ù��%²�+�'���û�)��ù������ÂÆ�%$Æ�%$:l���J��È p v¡6ì ¹ ³�®^�u�+�D��¦D¡D¡J��¢A�����1�A±���¢+����¢��D�3�D�P¡D�'���r�O�D���A��+�D�X¢3���O¦������h�1�_¢j�3�D�X�+��¢+���A�)���%���D�%¢Û�m¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢���³e¶M�D�^¡������Z�_�m�3�D�X¦D¡D¡J��¢Z¢+�' �����O�D���A���+�D� ±���������¢3 ����J±��l�%���3�D�u�%�'�+��¢3�J�%�3�º¡D¢3��±������g���3��������¢������J� �3�D�!���D�u��� �3�D�

� Ö

Page 31: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

�����M��¢#�����1�U±���¢3�D��¢��O�D���A�Z�+�D�A¢+���)¦D���Û�q�1��¢��+�D�r±��_�J�O��±�¦D�+�'���X�+±��D� ® ����³�¶M�D�A¢+� ® �%�'�D���D ¡D���_�^�_�û�+�D���'�%����¢X¢+�' �����±���¢+����¢��)�D���A�^�+���N°J���)��¢+�>�O¦D�'���M��¦����%�Z�>��±��º�%�U�+�D�����+����¢�+�D¢3���A¡D���_����³�×h�� _¦D¢+� ¹ P�)�D���A�M�+�D�ø�+� ® �^������±��M��¢+¢Û�%�D _� ® �����#�1��¢Ó+M�.-/&0)�¶1�'+�³ R��D���3�X�+�J���Z���d�+�D����¤6��±��+�'�����D���3���%�6�+���X¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢G�'�J±�¢3�����)�������+�D�k±­���%¢��_±��+��¢+�<�)�+�£±��¢+¢Û�%�3�<±#°J���J���g�'��¢d�%�!+M�æ-/&0)�¶9�ñ+º ����Û�h�D� ® ¡J����³�¶M�D�Z¢3���O¦D�'�����1��¢w&ñ��(^ª*)��3���O�3�f�1���3����Û�j¢+�_°D¦J�)�+�D���3�^���J�l��÷¸±�������±��P�X�D���µ¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D����°g�|�)�M�_².�)���% _� ® ���+�D���D�����O¡J��²±��<�����'�µ���k±����J�)��±�¦D�3�������O��¡J��³6�^���3���������J _¦D¢+� Ö �������M��¢+²1¢+�� _�g�A¡D�'�����6�+�J���N�3�D���f)�& )±������O��±�¦��+�����|¡D¢3��±������g���3��������¢�¡D¢+����¦J±������R�g¢�� ® �%�3�<±������'�º�ü���O�3��¢|±��_�g����¢3 �����±��m�3�J�%��g�����X�+�D���ü�_�O�+�>�O�A�%�V�+�D���%�'�+��¢3�J�%�3��¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢Û��³

ÊdO Ù �`\dV¦\]�] UW]1S § ©J]�U § U%X6Yb\Y[SQcdX ¤ \�e�U ú�X�3���O�V¡J�%¢Û�%���'���D� ® ¡D��� ® ���������+�'���J�������3�D�ñ�f)F-Z� ® °!§1¦J�O���P�X�'�+��¢3���<���+�����k�O¦J±�±����+�d���¢+���)��¢+���_��¢A�)� ® ¦D�<���+���_�Ø� �`¹ �1¬X���J���f)F&0)!¡D¢3��±��_�J�g���3���_�D��¢����J�%�3����±��D���!�+�|�+�D�\�^���X�3����+±��D� ® ���%�o�+�D�r�O� ® ¦D�£�%�3��¢Z�g�>�+±�¢3��°J�����%°J������³�¶M�D�A¡J�%¢Û�%�'�����J�d)F-Z� ® °|¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢���J±���¦J�g�>��� Ì�²1���'�D�u±���¢3¢+��±��3���_� §ü�O���u��³ÿ �³��`�5����W¬\�%�J�y&ñ��(^ª*)n�)���'¦D�+�'��� �����+�D�$��©���D����¢A�O���O�3� ® ���X���3�µ°�����±�¯�8��_±���°D�d¡D¢3��±������g���3��������¢��� ��������� P���A�)� ® �ø���g�_�%������ ����D�������¡D���_���+�>�P���|�+�D�r�O��¥�¦D�����+�£�%�D� ® ¡D�'� ® ���g�Û�%�+�'���G³�¶M�������'�D�A±���¢3¢+��±��+���_� ® ���3�D���p�'�m�3�D��f)F&0)t�J���X�)� ® �����f÷¸±�¦D���3�����Z�g¦��N�3���+�D���£��±�¯m���Z�g�£�% _���J���d�g� ® �'�J�%��±����%�V�+���N¡�¢+���)²�O¦D¢3�l°D�'��±­¯ ® ���+¢3���º�X����� �+����¢+�t�%¢3�l¢+���£�%�3�����|� ® �%���U±��%¡D�'���£�%¢+�û¡�¢+���3�O¦D¢3�l �¢Û���g�'���g�Û�±�� ® ¡J�%¢3���l�+�|¡��¢ ® ����°D���'���)�� �¢Û���g�'�������X�%���+�D���M���3�+�'�D �¡D�J�_�O�|�%�A�<��¢+ _�P�+� ® ���)�+��¡J����+��¦J�^�����_�<�%�3���D |�+����±��_�J�g���3���_�J�^�%�k¶M�D����¢+� ® ¹ ³#§.¶M���<�A�O���3¦J�%�3���_�R�g�������D���ø�%¢+�£�O������+�D�|±����J±����g�3¢��%�3���_�û±�����÷¸±��'���g�A°D�'��±­¯!°D¦D�r�+�D�£� � © �O���O�3� ® �<�^¢3���%�'���!�����)�º�3�º�)���'������3��¢����+���������u�%���g�k����³f¬0)��'�J±����+���l���'�D��²ü�O����¢�±��û°J��±�¯g�3¢��_±­¯����D  ® ���+�D���û�D���'¡J���J�%�J����� �¦D�>�+�O�>�q�ü�%¢G�1¢+� ® �3�D�M�����D�'���D����¢#�)���'¦D�+�'���G�����Z¢+���'�g�1��¢Û±��Z�+�D��¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢d¢+�_°D¦J�)�+²�D���3�h°g��¦J�O�'�D �&ñ��(Aª`)��3���O�_������°�_�+� � ©Y���D����¢h¡�¢+��°���� ® �����X���3��°D����±�¯P�3¢+�<���<�% _���J���¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢��J���R��¢�����¢��+�!°J�t�%°D�'���+�!����¯����<�%¢3 ���¢��3� ® ���O�3��¡J��³Î®A����¢Û�%�'�.�J�M�����)²�+� ® �%�3�µ�_�D�û���'�D����¢m�'�+��¢Û�%�+�'��� ¦J�O�'�D  �+���Ø�f)F&0) �+±��D� ® �µ�3� °J�R�%°J��¦���: �ê ® ��¢3�����¡���J�O�'�����+�J���º¦J�)���D ��3�D�2�f)F-Z� ® °o³�^¦ ® ��¢+�<±��%�#����¡J��¢+� ® ���������%¢3�!¡��¢O�1��¢ ® ���ú�_�Y��� ´.���+���k¨#�%¢Û�% _��� �%��� ��� ���Y´l+/�)�¨w�p¡��%¢������'��� ® �_±­�����D����³�¶M�D��¨#��¢��% _��� ® ��±��D�����^�J�_�*:d���D���g���X��¢+¢Û�%�D _���µ�'�º�¢��².©® ���)�µ�3��¡J���'�� _���">�: �º°g���+���X�%��(3�'� ¡D��¦J� ¹ >7#ø°����+���X�%�����%���t±���±��D�����J�û�m¡J����¯¡J��¢O�1�_¢ ® ���J±��M���1ƽ���MJ�_¡J�#¡��¢j�����g�����X�'�+�t�ø¡J����¯������+��¢3¡D¢+��±����+�)��¢#�3¢��%���:�1��¢Z¢����+�A�%�:d¢�º°��g�3���ª�>��³�¶M�D��)E¨�� ® ��±��D���D�A±����J�)�<�O�Û�j��� ¹ >N�D���g�>���D���_±­�|�X���3� ¹ �½Æ¢�º°g���+���Z�%�(3�ñ� ���J�P¡J���%¯�¡J��¢O�1�_¢ ® ���J±��Z�%�;�>ñ��×h���_¡J�h���J�P�A°D�<�g�'¢+��±��+���_�J�%�e±�� ®t® ¦D���<±��%�+�'���¢����+�P���`4���+M���+���W����³F ú��¦J�O���+�D�¯�û¨j´¦-Ââ ® ���+�3�% _�N¡����+�)���D ¸�O���O�+� ® �'��°D¢Û�%¢3�¸�1�_¢¡J��¢+�Û�%°D�'���'�O�t�%�V�+�D���O� ® ¦��<�%�3��¢�³

¶M�D�u�D�%�Û� �%¢3�u�g��±�� ® ¡J���O�>� �'� �%� �%¢3���%�r�O�����O�R§W�ü³ÿ��³'�q�>��±�� ¡�¢+��±����3�O�_¢����D���£�D�p�3�D��+� ® ����¢+�' ��'�J�%�#��¦ ® °J��¢M���M _¢+�£�g°D����±�¯��^�������� l�+�D�|����¡D�+� �g��¢3��±��3�����6¬��J�O�'�J±������ ® ���O�¢+���)��¢+���_��¢r�g� ® �%�����^�+�D�|����¢3�+�<±��%�V�g� ® ���J�O�'���!�<��¢+���<�%�3�������'� ® ¦J±­�u� ® �%�'����¢A�+�J���ú�3�D��D��¢3��ù��_�g�Û�%�#¡��<�%����³�¶M������¤6��±��+�'��� ® �%�D�'¡D¦D�£�%�+�'���!�%�w�p�1¦D�'�h¡J��¢ ® ���%°������'�)�m�3���J�O�_¢�����²

Page 32: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

T�2�a�=@ AÂ{�*�C�CP2�7)B�/�;�=I$98� �2>7M$9,O �732�,.$@/�8�&��ü½D¹��3¼�8�/%8�=F$@8� �2�7M$@,) �7+2�,.$@/�8�&��ü]Z¹��3¼�8�*�C�a� �7M/�;da�2�(Oc_,)7+2�()c�&�ü]M}ë�k2�8�"¸ +ie �(+*�,.$@/�8û,:$9CN �&X/�;XvkxlyZzU{t2�8�"!}q$@0.~Zv^{_TJ�X} -#$@,)L�F�{�~d/%Craº2�8�"qF�{�v^{�S{�$@C�*�='2�,.$@/�8!/�;¦F�ÀN,.$@C� �&.,) �5�&M-#$@,)Lqß�ÓSàdÎÿÀ�Å�2�8�"�ß�ÓSàdÎÿÅ�Çq7)/�a�=@ �C &W$@[� �Û6ÆXÔVF�ÂHÔVF>Â4�7:$f"�a�=@/�()c�&�Sg¹18�,) +=6ÇG2�732�4%/�8�5�7O/e(+ �&)&:/�7#C� �&.L|/>;6Â�Ô�Â�8�/e"� �&­S�,ì��=Û�}#2�()c�,)732%()c%$@8�4�C� �,)L�/�";12�$I=@ �"|2�;<,) �7Z,)L� �Á¸´DÓ�íp,.$@C� r&.,O �5lî�,ì�ì��åÛ8ß�Ó#-Z2�&hL�2�=@?� �"|2�;£,) �7j,)L� �ÁD¤jÓ/í�,.$@C� �&.,) �5JSß�Ó ½g$@8� �2�7X&./�=@?� �7�ï�ÇG7) �(�S ½D¹ ]Z¹ ]�} Th$@C� j�/¥Z73&­S��

vXxtyjz#{EïeF�{�~h/�C�a Á�Â�Å�À Â_Å À Á�SfÁ�ÀS À�Å vXxtyjz#{EïeF�{�v^{ Á�À¹F Â_à À À�SfÁ�Á

}q$@0.~ZvA{_T�X}¦ïjF�{�~d/�C�a Æ�Å%Å Â_Å À Á�SfÁ�Ã}q$@0.~ZvA{_T�X}¦ïjF�{�vA{ ¤�¤ Â� À À�SÿÀ�´vXxtyjz#{EïeF�{�~h/�C�a ¤�´�Â_Å Á�À�À À ¤�SÿÄ�´

S Å vXxtyjz#{EïeF�{�v^{ Å�Ä%Æ Á�À�´ À À�SÿÅ�Á}q$@0.~ZvA{_T�X}¦ïjF�{�~d/�C�a�,ì�� F�Æ%À�Æ Á�Ã�À Â�Á Å�S�¤�F}q$@0.~ZvA{_T�X}¦ïjF�{�vA{!�,ì�ì�� Â_Ã%Ä Á�À�F ÁDF À�S�´�À

�g¦J±��>�X� ¹�Ö ²1¡J���'�g���)�+����±����o�g�<�3±�¢+���3��ù����+�'�����1��¢A�+�D��¡D¢3���+�)¦D¢+���X���J�º±����J±����g�3¢��%�3���_�J�M�%��+�D�A���'�D����¢+��ù����N�����+�3���D �¡��J���)����¥�¦J�%�3�����t�%������� ¹=Ö ²1¡J�������X�)�+����±����g�1�_¢Z¡D¢+���3�O¦D¢3���Z�%�J�� � ²W¡J�_�������O�3���J±��'��1��¢r±��_�J±������+¢Û�%�+�'���J�X�%�U�+�D�����'�D����¢+��ù����m�D�_�D²W�����+�3���D |¡D�J�_�O����¥�¦J��²�+�'���n§W�3�D�<�X ��'�����X¢+�<�)�P�3�l�+�D�¯>�:!±�����÷!±��������A�%¢3¢����D�r��±�±�� ® ¡J���g�����D ��>��±��º �¢3�<�g°�����±�¯¦D�D¯��D���X��¬�³6¶M�D��¢3���1��¢3��� ® �%�3¢+����²1����±��+�_¢Z¡D¢+���g¦�±��������������'�������%���!±�� ®l® ¦D�D�'±��%�3���_�l�%�����±��!�D���g���X���+�!�'���j�1��¦�¢X�<�%�3��¢����d�%�J�l�1��¦D¢r±��_¢+�D��¢X������ _�g°J��¢Û�0� ¹ ���.³¶h��°D���Ó:l§ü´.�g�3���J¨#��¢��% _����¬��)�D���A�j�3�J�%��°�_�+��&ñ��(^ª*)\�%�J�7+M�.-/&0)�¶1�'+ ���� ��_¢+�'�+� ® �¡J��¢O�1�_¢ ® �)� ® �'�<��¢+���|�1��¢��l¡D¢3��°D�'� ® ��� ® ���g���O�ø�g�f÷¸±�¦D�'�O� §W�.³ ��³��g�1�_¢2È p v ì�4E¬Û³G�^�_²�+�£±����+���%�Ó+M�.-/&0)�¶1�'+n� ® ¡D�'�%���Z�%� ® ���)�M�J���f�d�%�V�+�����+�_���%�G��¦ ® °J��¢Z�%�V���+��¢��%�3���_�J�M�%�&ñ��(^ª*)l°�¦D�����_�º�3�D�P�_�+�D��¢r�J�%�J�6��+M�æ-/& )E¶9�'+ �g��¦D°������X�+�D���g¦ ® °J��¢X��� ® �%�3¢+� �g²����±��3��¢ ® ¦D���3��¡D�'�<±��%�+�'���J�6�%�J�P¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D��¢d±������£� ® ���g�Z°��¢&'��(Aª*)����h���_±­�����'�D���%¢���3��¢����+���_�G� ® ��¯g�'�D l�3�D�m�3� ® �>�^±�� ® ¡J��¢��%°�����°J���)�M�����ú�3�D���O�|�)�M�!���'�D����¢��O�_������¢Û��³G´.��O� ® ¡D���V¡D¢+�_°D��� ® ����+M��²l-/&0)�¶1�'+ ±����P��¦��+¡J��¢O�1�_¢ ® &'��(Aª*)J���X�D��¢+���_�q�'� ® ��¢3�M±�� ® ²¡D���=��¡D¢+�_°D��� ® ���+�D�Z�£�%�+�3��¢d�+���J���q�3�^°J� ® ��¢+�Z¢3��°D¦J�)�#���J�P��÷¸±������g�o���G�+�D�k�O� ® ¦D�£�%�+�'����1��¢ñÈ p v�ì�4�¢+���������<��³�^�<�)��¢+� ® �%¢+¯_��°D���A�<�Z�+�D��¡J��¢O�1�_¢ ® ���J±������#°J�_�+�º�'���D�>�%¢X�)���'����¢��Z�X���+�!�3�D�0�f)�& )t¡D¢+��²±������g���3��������¢h�'��¢+���£�%�+�'�����+���3�D�Â�f)F-Z� ® °�¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢�³�×D��¢d�+�D�£�q¡J��¢+�3�<±�¦D�£�%¢d¡D¢+�_°D²��� ® ���+���Ó�f)F&0)�¡D¢3��±������g���3��������¢h¢3���g¦J±����q°�� ® ��¢+�Z�3�J�%�|� ¹ %²<�1���£�p�3�D�X�+�_���%���g¦ ® °J��¢�%�d�'���D����¢M�'�+��¢Û�%�+�'���J��³F)����J±��^�3�D����¦ ® °J��¢Z���d�D���D�'���D�>�%¢M�'�+��¢Û�%�3�������j�<�Z¡D¢��_±��+�£±��%�'����¦D�D²±­���%�D _���������^� ® ¡D¢+�����Z�+���A±�� ® ¡�¦D�+��¢d�+� ® ���G°g�\�%� ® ���)� ¹ ��+� ® ���Z§W¢3��±��%�'�J�g�£�+±�¦J�3�O�'������ ±����)���%�X°J�_�+� �+±��D� ® ����¬�³J¶M�D�£��¢+���)¦D����±���¢+¢3��°J��¢Û�%�3���N�3�D����°J�)��¢+�_���+���_�J� ® ���g������+�D��¡D¢3��������¦��X�O��±��3���_�¸�1�_¢A�+� ® ¡D��� ® �%�3¢+�<±����j�����+¢Û��±��3���p�1¢3� ® �3�D�<�M¡D�����O�<±��%� ® ���g���.³+M�.-/&0)�¶1�'+ �ü�%�'�<�X�)�X�<±��^�1�_¢����f¤6��¢+���g��¢+���_�O������³!×��_¢'È p v¨ì�4��D�+�D�¯�f)F&0)l¡�¢+��±��_�J�g�'²

�`¹

Page 33: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

�+�'���D��¢Z�1��¢Û±����Z�P¢+����¦J±��+�'���|�%�d�3�D���+� ® �A�O�3��¡!�g¦��^�3���+�D�A�D�� _�!±��J�%�D _���j���#¡�¢+���3�O¦D¢3����%�J�R±��_�J±������+¢Û�%�+�'���J�X�X���3�D���û�3�D�P�3� ® ���)�+��¡G³o´:� ® �%���!¢+���)��¢+���_��¢A�)� ® ¦D�<���+���_�u±����g��������<�P±�¦J�O�3� ® ��¢+�û�+�û¢3�� �¦��<�%�3�l�+���l�D�����P�3� ® �|�)�+��¡n�_±�±��_¢��g�'�D û�+� � ® ����� ® ¦ ® �%�'²�����X��°D����±��J�%�� ��P����¡D¢+���3�O¦D¢3���A�%�J�û±��_�J±������+¢Û�%�3�������w�X�'�+�D�'�µ�3�D��±�¦D¢+¢3���g�X�3� ® �ø�O�+��¡G³¶M�D�<�|¡D¢+�������g�Û�P¡�e�+�)��°D�'�û�����3�m�%� ® ���+��¢3�<���M°J���<�%��±��R�g¦D�u�+� �3�D�û�g���+��¢3����¢Û�%�3�����Y�_¢���������+¦J�����ü�%�'��¦D¢3�P�%���3�D���D�������������%¢��)���'¦D�+�'���G³")��D�_¢+�+���D���D t�+�D���3� ® ���O�3��¡º�'�J±�¢3�����)����+�D� ±­���%�J±��>�P�%�\±���������¢3 ����J±��m�1��¢|�+�D�u�D�������������%¢ ® ���3�D����³Z¶M�D�!�ü�%���'¦D¢+�!�X�'�+� �3�D��f)F-Z� ® °�¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D��¢#�£� ® ��¢3�A�O��¢3����¦���³�¶M�D�A���'�D��²ü�O����¢�±��P�ü�%�'�����P°J��±���¦J�O�A�+���X������²���%¢r�O�_������¢X�k���^¦��J�%°D�'�P�3�l±��_�g����¢+ ��������+�D� ® ���g� ® ¦ ® �+���'��¢����J±����%�'�����M�>�ý§[Zì ¹ �J�����¦D¢U±����)��¬�³_¶M�D��¢3���1��¢3����+M�.-/&0)�¶1�'+ ±��_¦D�<���D���V¡D¢+�����<�g�k�%�|��±�±���¡D�Û�%°D�'�M����¢+�>±��+�'���N�1�_¢�g��±�¢3�����)���D  ó Þ ó ³o�^���3���+�J������°J���1�_¢+�|°D¢+����¯D���%�X�o���+�D�£�^������±�¦D�3���_�º�J�_�ý¦D���g��¢+ _���D��p���� ��!��¦ ® °��¢M�%�V°J�_±­¯��+¢Û��±�¯D�X���J�l�D���D�'���D�>�%¢A�O�3��¡J��³

4x12x12

8x24x24

12x36x36

16x48x48

4 5 6 7 8 9 10 11 121

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

N. processors

Spe

edup

4x12x12

8x24x24

12x36x36

16x48x48

4 5 6 7 8 9 10 11 121

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

N. processors

Spe

edup

7$@4�SMÁ�Á�S#{�5g � �"�*�5n?�&�Sd8�*�C�a� �7P/�;A5�7)/�(+ �&)&./�7+&�;</�7�,)L� l,.-#/�0<5�L�2�&. �5�7O/�a�=@ �C *�&W$@8�4û,)L� ]j �-Z,)/�8ïjF�{�vA{r&:/�=@?� �7#/�8\2>8�¹W8_,) +=6ÇG2�7+2�4�/�8 �.½Jzg7GTS�G2�8�"P2�8�¹.}#x {_ÇgFX�üyU¹)v�¥MTS�d2�;<,) �7F�Àø,.$@C� A&.,) �5�&�S×h�� _¦D¢+�>� ¹I¹ ���J� ¹ �l�)¦ ®l® ��¢+��ù���¡J�%¢Û�%�'�����V�+±������'�D l���û�3�D��¨V�%¢��� ��_�n�%�J�û´l+/� )E¨���³�^���3�ú�3�J�%� �O¡J������¦D¡J�º��¢+�R�D��¢ ® �%�'��ù��>� �+�¥:�²1¡D¢+��±����+�)��¢û¢+¦��J��³ñ×��_¢l�1��¦D¢ �g�f¤6��¢3���g�¡D¢+�_°D��� ® �O�'ù������%���A±�� ® ¡��%¢+���+� ® ���D e�q�_�Ê:��6Æ��%�J� ¹ ��¡D¢3��±����3�O��¢Û��³�¶M�D�<�h�k���#���D�_¦D ���+�|±���¡D�+¦�¢+���+�D�r��÷!±������J±����+¢+���J�m�%�V�+���P�A���X�+�_�����d)F&0)!�O�_������¢Z�_�º°J���3� ® ��±��D���D�>��³¶M�D�A�O� ® ¦��<�%�3��¢d�3±��%�'���q°J���3�+��¢d�����3�D�X´l+/� )E¨��A�+�J���������+���X´.�g�3����¨#��¢��% _���G� ® �����D�'��g¦D�l�3�º�3�D�m�'���M��¢��<���+����±��R�%�J�R�D�� _�D��¢P°��%�J�g�X�£�g�+� �%�A�+���m�1��¢ ® ��¢�³ã�������g¡J��±��+������+�D�r�<�%¢3 ���¢Z�3�D��¡D¢3��°D�'� ® �O�'ù��^�3�D�A �¢+�>�%�+��¢M�+������÷¸±�������±������G��°����%�'�D����³��^���3�^���%�Y�3�D�±�� ® ¡D¦D�+�'�D l�3� ® �P�1�_¢N�3�D�t� ® �������>�O��¡D¢3��°D�'� ® �O�'ù����<��¡D¢��_±��+�£±��%�'���u �������¢+�����º°g�û�3�D�±�� ®t® ¦D���<±��%�+�'���|������¢+�D�>���l���!°J���3� ® �_±­�D�'�D����³

¶M�D� ® ���)�_¢G°D¦D��¯r�%��¡J�%¢Û�%���'�����£� ® ¢+���)�<�g�>�������+�D�k±�� ® ¡D¦D�����+�'�������J�+�D�Z¡D¢3��±��_�J�g���3���_�D��¢�³¶M�D�A°D����±�¯��+¢3�<�g�£�% ��_�J�%�6¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢j¦��O�������|�+�D�A�����D��¢ ® ���O�/&ñ��(Aª`)��<�#�3���������'�¡J�%¢Û�%�'�������%��� �O¦g÷¸±��'���g�r�+� ® �����^�3�D�l¢+�>¥E¦D�'¢+���º�'���D�>�%¢��+�_����¢Û�%�J±��>��³1�^�g�1�_¢+�+¦��J�%�3�������® ���)���%�A�+���l��¡J��¢Û�%�+�'���J�P�'� �+���m�'�D�D��¢\�%�J�ú�_¦D�+��¢Ê&ñ��(^ª*)R��¢+�l¡��%¢������'�����'ù��%°D�'�l����+�D���'�������J�%�Â+ è �0)�² ¹ �_¡J��¢����+���_�J�P§1�.³ÿ�e³��6�"Å�¨2Æ�«F�M�%���µ�����D��¢M¡�¢+���g¦J±����­¬Û³�´.�!�+���<�M¢+��² ���¢������3�D��±��<���3�O�£±��%�w&A¢�� ® ²{)�±�� ® �£�g�M�£��±��D���)���º������¢A�+�D� ® ���g���J���þ&A¢Û� ® ²l)�±�� ® �<����+�R����¡D���_���P�1¦D¢3�+�D��¢�¡��%¢������'�����£� ® �'� �3�D�u±������O�+¢3¦J±��3����� �%���3�D��#�¢3�g�'�%� °J���)�<���X���+��²��¦D�A�3��±�¢3�°�6±����D \�O����°D���'���)�|¢+��¥�¦D��¢3� ® �����Û��³D§[â^���M������¢����3�D��&ñ��(^ª*)|� ® ¡D��� ® �����3�%�+�'���±������+� ® ¡D�<���+���#�'�+��¢Û�%�+�'����¢+�%�J�D� ® ���g�#�3�m¡�¢+���)��¢+�����_¢+�3�D�� _���J�������)�!�f�V¢+�>¥E¦D�'¢+���6³f¬

� �

Page 34: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

â����g�'�D ��'� ® �'�J�P�+���A�%°J�������g�<�3±�¦J�3�O���_�G���3�D���3±��%�'���D �¢3���O¦D�'���Z�O���%�X�t����°J���3�Ê�J �¦�¢+����%¢3�û�O� ® ���D��� ����±���¦D¢Û�% _���D  �'� �O¡D�'�+�!�%���3�D�u�O�' ��D���6±��%����¡J��¢3�+���_�Y�%�ø±����g�u�X���+� �� ® �������g�� _¢+���X�����J�D�A �¢Û�%�'�m¡J��¢������������<� ® ³�¶M���^¢3���O¦D�'���h�_�m�3�D�r¨#�%¢Û�% ��_�!�O���%� � ® ��¢3�¢���¡D�<�R�O¡J������¦D¡ ���� �¢Û���D���+���_� °D¦D�����N�3�D�t�+� ® �P�+� ® �����<�O¡��<���û�l �¢3���%�3��¢���÷¸±�������±�� ������u���M�3�D��¡D¢3��°D�'� ® �O�'ù�������±�¢+���_�O���#�3�J�%�!�+����)�¨w�g³J¶M�D�£�j�£�j����¡D�<�����D�>�p°��m�3�D�^�ü�_±���+�J���������+��¢+¡D¢3��±����+�)��¢r±�� ®t® ¦D���<±����+���_�m�_�û�+�D�|¨V�%¢��� ��_�û�<�^�£�%�+���J±���²W°J��¦��J�º°J��±��%¦��O��%�A�3�D�l¢+���<�%�3�������'�º�'���D u�+� ® ���^�D���>�g���ú�3�û�O���P¦D¡n� ® ���+�3�% ��|�%�rù���¢3�!�����D _�+�G³V¶M�D�® ¦�±­�|�)�D��¢3�+��¢X�£�%�+���J±����>�U���d�+�D�2)�¨w� ® �%¯��X�3�D�������+��¢+¡D¢3��±����+�)��¢X�3¢��%���:�1��¢��+� ® � ® ��¢3����'�D���%¢3���!����¡J���J�g�����X��� ® ���+�3�% ����'���D ��3�G�D�+��¦J�X¯�����¡D�'�D ��+���P¢����+�'�m���X±�� ® ¡D¦����%�3���_��+�t±�� ®t® ¦D����±��%�+�'�����ü�%�'¢+���t±��_�J�O�Û�%���w�1�_¢A�g�f¤6��¢3���g�X¡�¢+��°���� ® �O�'ù�����³

4x12x12

8x24x24

12x36x36

16x48x48

101

103

104

Log10 of N. processors

Log1

0 of

Tim

e in

sec

s.

Slope = −1

4x12x12

8x24x24

12x36x36

16x48x48

101

103

104

Log10 of N. processors

Log1

0 of

Tim

e in

sec

s.

Slope = −1

7$@4�S�Á�F�S�½D/�4%0�=9/%4�5�=@/�,�/�;�,)L� G8_*�C�ag �76/�;�5�7O/e(+ �&)&:/�73&D?�&�S� +i� �(+*�,.$@/�8�,.$@C� G;</�7J,OL� d,.-#/�0<5�L�2�&. 5�7)/%a�=9 �C *�&W$@8�4X,)L� ¦F�{�vA{X5�7) �(+/%8�"%$9,:$9/%8� �7d/�8�2�8�¹18�,) +=�ÇG2�7+2�4�/�8��ü½zg7GTS�J2�8�"^/�8�2�8�¹ü}#x{_ÇuFH�üy#¹Ov�¥MTS�V2�;<,) �7�F�À^,.$@C� �&.,) �5�&�S¶M�D�Z���_ �²1���� A¡D�'�����G���2×h�' �¦D¢3� ¹ �A�O���%� �+�D���g�����<���+�'�����1¢+� ® �<�g�>�%���)¡J�����g¦D¡t§W�'�J�g�<±��%�+�>��X���3�n�O�'��¡J�l² ¹ ¬��+���%��������¡D¢+�_°D��� ® �)��ù��t±��_�O����¡D¢+���)�����P��� °�_�+�n�+���!¨#�%¢Û�% _��� �%�J��+�D��)�¨w�g³6¶M�D�<�r±�� ® ¡���� ® �������#�+�D����°J�)��¢+�_���+���_�û�+�J���^�3� ® �'�D ��X��¢+�������3�^�)���J�O�'�+�'���N�3��g�� _¢������%�+�'��� ��� ® ��¢3�m¡�¢+��±����3�O�_¢����%¢3�!�����g���ú�'�ú�3�D��)�¨w�g³V´.�ú�3�D���O�t���g¡J��¢3� ® ���g�Û��+�D�B)�¨w�û�O���%�A���+�u°�|�1¢+� ® 4½�ê �+� ¹ Eê �ü���)�+��¢��+�J��� �+���l¨#��¢��� ����o³Z´:�R�+������¢3��+�D�£� ® �%¢3 ��'�ú�£�P���g¡J��±��+���û�+�û°J�!�<��¢+ ���¢��h°�¦D���+�D�u��¦D�+�D�_¢|�O¦J�)¡J��±������+���%� ® � ® ��¢+��D����¢��%¢Û±­���|��¤6��±���� ® �>��°J�\�g���+��¢+���_¢����+���� ��+�D��¡J��¢O�1�_¢ ® ���J±������#�3�D�¢)�¨w�g³×h�� _¦D¢+� ¹�� §W�'���1�| �¢���¡D��¬|���'��¦J�)�+¢Û�%�+�>�p�3�D�û¢+���£�%�3�������'� �)�+¢+�_�D n� ® ¡���±������P�3�D�Ø�f)�& )¡D¢+�>±����J�����+�'���D��¢j�_�!�+�D���)� ® ¦D�<���+�'���G³d×D�_¢X� ® ���g��¢��%�3�^¡�¢+��°���� ® �O�'ù����F&ñ��(^ª*)��X�'�+��f)F-Z� ® °t¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D�'�D �����¯����j������¢ ¹ ��+� ® ��� ® ��¢3�^�'���D����¢M�'�+��¢Û�%�+�'���J�M�3�J�%�!�X�'�+��f)F&0)n¡D¢3��±��_�J�g���3���_�D���D �³M¶M���û�g�@¤���¢+���J±��µ°J���)�������n�+�D�<�f)F-Z� ® ° �%�J�y�d)F&0)n¡D¢+��²±������g���3���������D l�£�^���>�+��¡D¢+� ® �������g�X�'�û�+��¢ ® �X�%�A±�� ® ¡D¦��+��¢A�+� ® �|§W¢+�' ����� �¢Û�%¡D�6¬�³d¶M�D����'�D��±���¢+¢3��±��3�����|���t�+�D�0�d)F-Z� ® °|¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢�±��_�g�3¢+�'°D¦D�+�>�j�+��¢+����¦J±����� P�+����±����)��1��¢r�O�_�������D ��3�D��¡D¢+���3�O¦D¢3���O���O�+� ® �O�'�J±������%�X�+���N°J�� _���D�����D |�%�V�+�D�£�X�O� ® ¦D�£�%�3�����o�E�3�D�±��%¡������£�%¢3�m¡D¢3���+�)¦D¢+�� �¢Û���g�'���g�Û�^��¢+���D�' ��G³J¶M�D�£� ® ���+�D���l�k���X�D���A�����+¢3���g¦J±����l�'�µ�3�D��f)F&0) ��� �_¢��g��¢��3�û¡D¢+�>�O��¢3���l�+�D�t�D�� _�D���O��¡J�e�+�O�'°D���!¢3��°D¦J�)�+�D�>�+��³Z©A���O¡D�'�+�l�3�D�<�P�3�D��^���X�3�������f)F&0) �O�_������¢��)�+�'���#�_¦D�+¡J��¢)�1��¢ ® �ø°��R�%� ® ���)���µ�+��¢+����²<�1���£�ý�3�D�|�+� ® ���D e�^�%��+�D���'�D������±��k�^���X�+�_�����d)F-Z� ® °u�O�_������¢�³

¶M�D��¡D¢+���g�'��¦J���%�J�������O�<�j�1�_¢A�p¡��%¢+�3�<±�¦��<�%¢��+� ® ���)�+��¡!����¡D�£�%�����M±��'���%¢3�����+���P�3���g�'�D ��%�&ñ��(^ª*)R���3��¢����+���_�J�ø�1�_¢�� ® ������¢����+���'�û������ R�O� ® ¦D�£�%�+�'���G³ã×h�� _¦D¢+� ¹ : §W�'���1�� �¢���¡D��¬

�½�

Page 35: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

HOKN/2SGS

Newton/2SGS

Newton/2SComb

0 50 100 150

10−4

10−3

10−2

10−1

100

GMRES iter.

RN

RN

HOKN/2SGS

Newton/2SGS

Newton/2SComb

0 100 200 300 400 500 600 700

10−4

10−3

10−2

10−1

100

CPU time (s)

RN

RN

7$@4�S�Á�Ä�SD]Z*�C�ag �7A/�;V2�(�(+*�C�*�='2�,) �" vkxlyZz#{N$@,) �732�,.$@/�8�&M?�&�SD7) +='2�,:$9?% r8�/%8�=F$@8� �2�7^7) �&W$'"�*�2�=8�/�7OC�&2�ü½zg7GTS�d2�8�"p~VÇgÜú,.$@C� X?�&�S%7) +='2�,.$@?� M8�/�8�=I$98� �2>7�7) �&ü$f"�*�2�=�8�/%7)C�&2�.y#¹)vZ¥�TS�G*�&W$@8�4,)L� �F�{�vA{�2>8�"äF�{�~d/%CraP5�7) �(+/�8�"%$@,.$@/�8� �7+&M/�8uÁDFø8�/e"� �&j/�;G,)L� X¹ü}#x {_ÇuF^;£/%7�2�5�7)/�a�=@ �C&W$@[� ^/�;UÁ�¤QÔmÂ_Æ"Ô|Â_ÆN2�,#,)L� X,)L�$@73"�,:$9CN r&.,) �5JS

Newton/2SComb

HOKN/2SGS

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

Simulation in days

N. o

f acc

umul

ated

GM

RE

S it

erat

ions

Newton/2SComb

HOKN/2SGS

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Simulation in days

CP

U ti

me

(hrs

)

7$@4�SJÁ­Â�S�Ç� �7.;</�7)C�2>8�(+ M$98l2�(�(+*�C�*�='2�,) �"lvXxlyZz#{N$9,O �732�,.$@/�8�&��ü½Jzu7GTS�d2�8�"|2�(�(+*�C�*�='2�,) �"~VÇuÜn,:$9CN 5�üy#¹Ov�¥MTS�d/�;d]j �-Z,)/�8ïeFe{�vA{�2�8�"m]Z �-Z,O/�8ïeF�{�~d/%Cra�&./�=@?� �7+&Z2�;<,) �7AÁ�À�À^,.$@C� &.,O �5�&M/�;U&W$@C�*�='2�,.$@/�8º-#$@,)Lqß�ÓZàðÎ À�ÅN/�;Z2lÁD¤5ÔlÂ_ÆXÔlÂ_ÆP5�7)/�a�=@ �C &W$@[� �/�8RÁD¤N¹ü}#x {_ÇuF8�/�"� �&�S�O�D���A���+�J���N�3�D�|�D��� �A���X�+�_�����d)F&0)R�O¡J���J���P�!±������O�<����¢���°D��� � ® ��������¢�� ® ��¦D�����%�&ñ��(^ª*)|���3��¢����+���_�J�X±�� ® ¡J�%¢3�����+�|�+�D���A���X�+�_�����d)F-Z� ® °u�O���'����¢�³6���M°J���1�_¢+���J�)���J±�����D�B&ñ��(^ª*)!�'�+��¢Û�%�+�'���û�£� ® ��¢+������¡���J�O�'���P�X���3�û�+�D���d)F&0)û¡D¢3��±������g���3��������¢^�3�J�%��X���3�µ�3�D�2�f)F-Z� ® °!¡D¢3��±��_�J�g���3���_�D��¢M�3�D�2×h�� _¦D¢+� ¹ :º§1¢+�� _�g�X _¢���¡D��¬k�O�D���A�X�+�J�����)� ® ²¦D�<���+�'���!�+� ® ���M��¢+��¢+�>�g¦J±����|°g� ® ��¢+�r�+�J���û���+�D¢3����²<�1���<�|�X���+�u�+�D���D��� �)��������¢�³

° È��J�d�dKW�1C��1��1C ú�!�J�����u�g���3±�¢+�'°J���n� �ü� ® ���'�û�%���)�M�_².�)���� ��û¡D¢3��±������g���3��������¢��N�1�_¢����������%¢|�)�D�)�+� ® ��%¢3�<�O�'�D P�'�l±���¦D¡D�'���l�)�D�)�+� ® �d�%�d�D�_�D���'�D���%¢�¡J�%¢3�+�£�%�G���f¤6��¢+���g�3�<�%����¥E¦��%�+�'���J� ® ���g���'���D ® ¦����+�'²W¡��J���)��MJ����³Î®A¦D¢����J�%�'�D�)�<�N�����P�)�D���X� �+���%���!�)� ® ¡D�'�|�g��±��_¦D¡D�'���D u�O�3¢����+�� _�±�� ® °D�'�D��� �X�'�+�Y�'�D������±��!�)���'¦D�+�'��� �%���3�D� ® �%�'� °D�'��±­¯��l �������¢+�����D  �3�D�R¡D�g���O�£±��%�¡D¢+��±����+��¡D¢3�%���<�������¸¡J���M��¢O�1¦D�Z�����g�£±��P�3�u�O¡J�����g¦�¡ �+�D�|±���������¢+ _���J±����%�Ó#�¢3�g�'�%�u���3²��¢����+�'��� ® ���+�D�����^�)¦J±­� ��� &ñ��(Aª*)u�%�J��+M�æ-/& )E¶9�'+�³�®A¦D¢A¢+�>�O¦D�'���^�_¦D�+¡J��¢)�1��¢ ® ��1���Y�+¢Û���g�'�+�'���J���d�%¡D¡D¢3���_±­�D�>�M¡D¢+�_¡�e�O���!���l�3�D���'���+��¢��%�3¦D¢+�A�%�V¢+�>�O��¢3������¢Z���� ���������¢+�'�D F�

� :

Page 36: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

´ è �P§b�¬��g°�����±�¯�8���±��_°D���_¢X°J�%�J�����m¡D¢3��±������g���3��������¢�§<�1��¢M¡�¢+��±��_�J�g�'�+���_�D���� P�%�d�3�D������²�+�'¢+�|�O���O�3� ® ¬Û�J�%�J�R�%�R���D�=�D�_±�������¢Û�O���_�û�%�k�+�D�|±�� ® °����J���+�����ø�%¡D¡D¢3���_±­�Y§1��¢3�� ��'�J�%�'����g�������'��¡J���p�1�_¢�±���¦D¡D�'���l���'�D���%¢k�O���O�3� ® �­¬Û³

¶M�D���)�^�)�M�_².�)���� ��A¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢Û�h�J�����X°J�����t�g�������'��¡J���P¦D���g��¢Z���O� ® ¡D�����%���p _���D²��¢����M°J�_�O�£���h�3�D��� �%¢3�µ�>���O�R�+�û� ® ¡D�'� ® �������%�J�n±����n�>¤6�_¢�� �3�D�l¦J�)�l�%�ø�O������¢����j���1²�6±��'���g�r���+��¢��%�3���_�J�^�+�u�)�������|�+����¢+���)¦D���3���D !�����D��¢��'���D����¢��O���O�3� ® ��³; R�m°J���'���������3�J�%��+�D�£���O� ® ¡D���£±��@�)�û�%���  _���D��¢Û�%�'���)�û¡D¢+�����<�g�>���û�+�%�3�<�.�ü��±��3��¢+� �����D�<±������+�û�=�g�3���J�ú�'�+��¢3²�%�3�����P�'���D�>�%¢��)��������¢^�3�D����¢3�R�%�'¢+���_�g�û�g���������_¡�>�¸�1��¢��'�J�g�����<��¦J�%�V¨Z©�ªX«I���+�!±���¦D¡D�'����O���O�3� ® �#�%�V¨Z©�ªX«I��³J�^���3�D��¦� ��l�3�D���<�������Z¡D¢+���)�����+�����D��¢3��±���¦��<�m°J�3�J�3�+���|�����+���)����²��¢����#�3±����J��¢+�'�����J�)¡J��±��<���#±����J�)�<�g��¢Û�%�3�������w�_�û�+�D��¡D�g���O�£±��M°J���D�'�J�µ�3�D�P¡D¢3��°D�'� ® ® ��������_�µ�3�p�1¦D¢3�+�D��¢^�����J�%�J±�� ® ���������%�J�º�'�g�3��¢+¡D¢3�������+�'���J��³J´:�u��¦D¢r¡J�%¢3�+�<±�¦D�<��¢A±����)����3�D�±������O�<����¢����+���_�û�%�Z�1¦D�'�#�g�>±���¦D¡������� l�+¢Û�%�J�)�<�%�3���º��� �l�X���!�+�!±��_�J±������+¢Û�%�3�P¡J��¢��%°J�_���<±±���������±��3���_�D².���f¤6¦J�O�'�������g�1�_¢ ® ���+���_�P�'���+�D� ® �%�'���g�£�% ��_�J�%�J°D�'��±­¯��G¡D¢+���g¦�±����D ��3�D�A�%�'² ���°�¢��%�£±j¡D¢3��¡J��¢3�+���>�q�3�J�%� ® �%¯��#�3�D� ® � ® ���J�%°D�'�Z�+����÷¸±��'���g�6���D����¢G���3��¢����+�������)��������¢���³�^�<�)�^�'�J±��'¦J�g�����<�d�^¡J��¢������������ ® ¡D�'� ® ���g�Û�%�3�����A�%�6�3�D�M°J���)�#�)�M��²ü�O�Û�% _�X¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢¡D¢+�_¡J���O�>� �'�ú�3�D�<������¢+¯û�3�º����¡J���)�m�'�����D�� _�ú¡J��¢)�1��¢ ® �%�J±��l±���¡J�%°������'�+�'����³!â^���M������¢���+�D�u¡J���+�)��°D�'���'�+���>�p�D��¢+�û��¢+�û������¢ ® ��¦J�|�O�'�J±��û�R�D�� _�D��¢!�g�� �¢+���º�%�\�3±��%�£�%°D�'�����)�n±��%�°J����±��D�'�������m°��l�1��±�¦J�O�'�D |���º�������G¯��D���X�º¡��%¢������'���d�O�3¢��%�3�� ��'���M�1��¢A¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D�'�D �O�'�D ��'�^¡D�����O�A¡D¢3��°D�'� ® �M§1��³ÿ �³���������¢3�<�%¡�¡D���D ø�%�J�m�����D²1������¢+�£�%¡D¡D�'�D ¢)�±��g�k�%¢+ùr�g� ® �%�'��g��±�� ® ¡J���)���+�'��� ® ���+�D������� ® ¦D���3�� �¢3�<���_��������².±���¢+¢3��±��3�����6¬�³×D¦D���J¦D�J����¢��)���%���g���D \�%�J�t±����J±���¡D�+�'���l���d��÷¸±��������d¡D¢+��±����J�g�'�+�'���D��¢Û�h�1��¢X±���¦D¡D�'����������²���%¢r�O���O�3� ® �M�£�^�l���f÷¸±�¦D���X�Û���)¯�³"®A�D���!���1��� ����¡J��¢+�'���J±����Z�J�����P°J�����u¢+��¡J�_¢+�+�>�µ����+�D�!�3��¡D�£±¸������� �+����¦D _� ±���¦D¡������n�O���O�3� ® ���%�r��¥E¦��%�+�'���J�|�%¢3�<�)�µ�'� ® �%��� ��¡D¡D�'�<±���²�+�'���n��¢+���_��³w×D¦D¢+�3�D��¢��+������¢3���+�£±��%�Z���������)�+�� e�%�3����� �%��� ±�� ® ¡D¦����%�3���_�J�%�����g¡J��¢3� ® ���g�Û�¢+� ® �%��� �+�R°�u�g�_�D�º�X�'�+� ® �_¢+�u¨Z©�ªX«I��±�� ® ���D û�'�g�3�û¡D�<�����V�O¦J±�� ���m�'�n�+�D�u±��_�O��%�\±�� ® ¡J���O�'�+�'���J�����%�J�Y�+����¢ ® ���X¢+���)��¢+���_��¢t�O� ® ¦D�£�%�3�����o³� ú�R±���¢+�������D�'� ���J±���¦D¢Û�% ��¢+���)���%¢Û±­�!�'�µ�3�D�<�X����¢+�>±��+�'���G³

ä ���G�h�E��KæAg�1åJAZLsA���¶M�D����¦D�+����¢��A�X�<�O�û�3�m�3�J�%��¯��^¢3 ������D�������+�'���J��� è ��°�_¢����+��¢3�����^�1�_¢��+�D��¦J�)���%�Z�3�D�´l+/� )�¨ ¹ ³ñ AdElAg��A��h�dA6Cò ÁBóÝGES xºSI~�S��X2�73"� �8�2�8�"�s�S zjS_sX2�7.='&)&:/�8JSGÇG7) �(+/�8�"%$@,.$@/�8� �"�(+4%0<,üB�5� MC� �,)L�/�"�&�;</�7#&./�=@?�$@8�4(+/%*�5�=9 �" &.B�&.,) �C /�;A;<*�8�"�2�C� �8�,32�=r&. �Cø$f(+/%8�"�*�(+,)/�7| �K%*�2�,.$@/�8�&­Ssô# �ü6¼2F�ÃEÛ ÃEÁD¤�õeÃ�ÄÝ´_¼Á�Ã�Æ�Ã�S

� 4

Page 37: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

ò Fjó�¿ASE�Zi� +='&)&./�8JSj !ã�ß%â~á�ã�êë÷%ß^�=æ�ì�é�ã�êëæ�åjïðß%ãëñ�æ|ípó�S#~V2�C�a�7.$'"�4� QÜj8�$@?� �73&W$@,.B|ÇG7) �&O&�¼JÁ�Ã�Ã>Â�Sò Äjóes�S#�M[+$@[u2�8�" ��SM{� �,)L�2�7:$ S÷ö�ß%ã�â~æ�ì�ß|é�ä õ;ß4ó4ß%âw÷%æ�êëâ��=êRä�éIì�á�ã�êRæ�ågS �M5�5�=I$@ �"Y{_(O$@ �8�(+ Çq*�a�=I$f&:L� �7�¼GÁ�Ã�Æ�ÄESò Â�óeywS zZSD}#2�8�c�¼DTXS�7#S�~dL�2�8J¼g� SÿxuS�~d/�*�4�L�732>8J¼�2�8�"|s�S�{�Cø$9,OLJS�T#L� �2�=@,) �7)8�2>,) åõ_a�=@/e(Oc¹õ;12�(+,)/%7.$@[�2�,.$@/�8 5�7O/e(+ �"�*�7) ý;£/%7 &.B�&.,) �CP&l/�;�5�2�7),.$'2�=\"%$IHJ �7) �8�,.$'2�=� �K�*�2�,:$9/%8�&�S ô# �ü6¼F%ÃEÛ Ã�Ä�ÆeõeÃ�Å�Â�¼�Á�Ã�Æ�Ã�Sò ÅjóeywS }#2�7O7) �,),�¼ºxuSº}h �7)7)B�¼ûTXSû~hL�2�8J¼�G�SfµM �C�CN += ¼fG�SfµM*�8�2�,O/�¼�G�SfµM/�8�4�2�7)732�¼¾�SAzo$9c�c�L�/�*�,�¼AyXS^Ç�/�[�/�¼�~�SXy#/%C�$@8� �¼r2�8�"�¥^SX?�2�8 "� �7!¾G/%73&.,�S ü`ß%ä�à8ì�á�ã�ßþó ç4æ�âãëñIßÃó4æ�ì�é�ã�êëæ�åPæ ç�ì�êëå`ßwá�âjó4ù|óøã�ß|ä1ó�øZùþé�êëì�í�êRå�úçù4ì�æ|òBA%ó1çøæ�âÒêëã�ß%â~á�ã�êë÷%ß ä"ß|ãëñ�æ%í óÛS {�¹1�Xxº¼ÇqL�$I=f2%"� +=95�L�$<2�¼GÁ�Ã�Ã�ÂgSò ¤jó�v�S»��SA}h �L�$9 2�8�" Ç�S»��SQ7E/�73&.B�,)LJS ¹18�(+/�CN5�=9 �,O R;12�(+,)/%7.$@[�2�,.$@/�8YC� �,)L�/�"�&¸;£/�7m;<*�=I=9B$@C�5�=I$'(O$@,|&W$@C�*�=f2>,.$@/�8û/�;� �8�L�2�8�(+ �"ý/�$I=Z7) �(+/�?� �7)B�Sµ�� yî>ïüûEU�8ò|ê£V�8ã�á�ã�ê óøã1>è/æ�ä�à8éIã1f¼Å�Û Å�Â_Ä�õ�Å�¤�Á�¼�Á�Ã%Æ�Â�Sò ´Dó�v�S»��So}h �L�$@ t2>8�"RÇ�S s�S»�YSJ¾j$@8�&./�C� �Sú}G=@/�()cº$@,) �7+2�,.$@?� �C� �,)L�/�"�&^;</�7^;£*�=I=@Bº$@C�5�=I$'(O$9,7O �&. �7)?�/�$@7�&ü$9C�*�='2�,.$@/�8JSj�8æ|ò� æ~çZö;ß%ã1þý;å8ú_þû�f¼_5�2>4� �&¦¤�Å�Æeõݤ�¤�Æ�¼E¿�(+,�SJÁ�Ã%Æ�F�Sò ÆjóeywS�}hL�/�4� �&:-U2>732Z2�8�""G�S�zZS�sj$I=I=9/%*�4�LJSgµM/�C�2�$98�"� �(+/�C�5g/_&W$@,.$@/�8�2�8�"XC�*�=@,.$@4�7.$'"�&./�=@?� �7+&;</�7hQ�/�-n&W$@Cr*�='2�,:$9/%8P$98m5�/�7O/�*�&hC� �"%$'2�/�8|"%$'&.,)7.$@a�*�,) �"pC� �C�/�7OBr5�2>732�=I=@ +=65�7)/�(+ �&)&./�73&­Sû[æ�éIâ!åá�ì æ~çX�8ò|êRß|å`ã�ê ÿ�ò2è�æ�ä�à8é�ã�êëå8ú%¼�´8Û@ÁDF�´�õ�ÁD¤�F�¼gÁ�Ã�Ã�FESò ÃjóeÇ�S zjSR}����>73&.,32�"D¼º�YS xºSû~h/�*�4�L�732�8 G>7�S@¼R2�8�" zjS v�7O/_&)&. �S ÇG2�732�=I=@ += "�/�C�2�$98"� �(+/%C�5�/_&ü$9,:$9/%8ø2>5�5�=F$@ �"^,)/�(+/%*�5�=9 �"^,)7+2�8�&.5�/%7),J �K%*�2�,.$@/�8�&�S¹18{µ�SÿzZS�sM �B� �&�2�8�"ZG�S��M*J¼ �"%$@,)/%73&�¼��8ß|÷%ß|å`ãëñ| wå`ã�ß%âwå`á�ã�êRæ�åá�ì�è/æ�å4ç4ß%â~ß|å`òwß"æ�åXÞûæ�ä�á�êëå Þûßwò!æ�ä�à[æpó4êRã�êëæ�å ïÒß%ãëñIæ%ípóç4æ�âw�8ò%êëß%åã�ê ÿ;ò�è/æ�ä�à8éIã�êRå�ú�¼D~h/�C�/�¼�¹1,+2�=@B�¼6Á�Ã%Ã�Ä�S��MC� �7.$'(�2�8lxl2�,)L� �C�2�,:$f(�2�=o{�/�(O$@ �,.B�Sò Á�ÀjóeÇ�S ]^Sd}h7)/�-Z8 2�8�"���S#{_2�2�"DSb¥jB�a�7.$'" sM7OB�=@/�?ûC� �,)L�/�"�&^;</�7�8�/%8�=F$@8� �2�7|&:Be&.,O �C�&�/�; �K%*�2�,.$@/�8�&­S#�� yî>ï û��8ò|ê£�=ã�á�ã�ê óøã1�è/æ�ä�à=é�ã1f¼JÁ�Á�Û Â_Å�À�õ_Â�Æ�Á�¼�Á�Ã�Ã%À�Sò Á%ÁBóeywS�}d7O*J¼A¾�Srxp$@4_2�=I=@/�8J¼5G�S�Ç� �8�2%"� �&�¼r2>8�"dµ�Sÿ}�SN{�[�B%=f"DS ÇG2�732�=I=@ +=1¼�&.B_8�(OL�7)/�8�/%*�&2>8�" 2�&:B_8�(OL�7)/�8�/�*�& ,.-V/%01&.,32�4� C�*�=@,.$'&.5�=I$@,),.$@8�4 CN �,)L�/e"�&­S ý1ü��î�ô ý�ì�ß!ò|ã�â~æ�å`êëòü`â~á�å óøá�ò%ã�êëæ�å[óeæ�å��éIä"ß|â!êëòwá�ì`î�åá�ì�ù%ó4ê óÛ¼�ÄEÛ�F�Âjõ�Ä�Æ�¼�Á�Ã�Ã�Å�Sò Á�Fjó�~MS�µX2�-�&./�8J¼E¥^S xºS�sj=��$9 �¼�~MSD{_2�8!{�/%*�(O$9 �¼D2�8�"mxuS�7#S_� L� � +=@ �7�S#�Y5�2�7+2�=I=9 +=1¼g$@C�5�=I$'(O$@,�¼(+ +=I=@01(+ �8�,) �7) �"lC� �,OL�/e"N;</�7Z,.-#/�0<5�L�2�&. jQ�/�-AS�¹18m5�7) �5�2�732�,:$9/%8J¼JÁ�Ã�Ã�¤ESò Á�ÄjóeywSI{�S8µM �C�a�/g¼�{�SI~�S�zo$'&. �8�&.,32�,�¼_2�8�"�TwS�{�,) +$@L�2�*�4�Sq¹18� +i�2�(+,V]j �-Z,)/�8NC� �,)L�/�"�&�Sh�� yî>ïû����é�ä�ß%â��î>å`á�ì@f¼�Á�ÃEÛ»Â_À�Àeõ_Â_À�Æ�¼�Á�Ã�Æ�F�Sò Á­Â�óÝGES�zZS5µM �8�8�$'&R2�8�" yXS�}MSP{_()L�8�2�ag +=1S �ûéIä�ß%âwêRòwá�ì�ä"ß|ãëñ�æ%í óÒç4æ�âNé�åò!æ�å óøã�â~á�êëå`ßwíæøà8ã�êRä�ê� øá�ã�êRæ�å�á�åíÅå`æ�åì�êRåß!á�â ß��|é�á�ã�êëæ�å óÛSRÇq7) �8�,.$'(+ åõÝ¥�2�=F=1¼#zG8�4�=@ �-#/�/e" ~G=I$FH6&�¼#]j �-G> �73&. �BD¼JÁ�Ã�Æ�ÄESò Á�Åjó�{�S9~�SVzo$'&. �8�&.,32�,|2>8�" ¥^S�7#Sh�u2�=@c� �7�S ~dL�/_/�&W$@8�4û,)L� m;£/�7+(O$98�4û,O �7)C�&N$@8n2�8ú$98� +i�2�(+,]j �-Z,)/%8nC� �,)L�/�"DS T �()L�8�$'(�2�=�y# �5g/�7),!TZyZÃ�¸õÝF�Å�¼¦µM �5�,�Sj/�;�~d/�C�5�*�,+2�,.$@/�8�2�=�2�8�"�M5�5�=I$@ �"!xl2�,)L� �C�2�,:$f(�&­¼eyV$f(+ 5Üj8�$@?� �73&W$@,.B�¼JÁ�Ã�Ã>Â�Sò Á�¤jó�{�S9~�S_zo$f&: �8�&.,32�,#2�8�"5¥^S�7#S��u2�=@c� �7�Shvj=9/%a�2�=I=9BP(+/�8_?% �7)4� �8�,G$@8� +iE2%(+,V]j �-Z,)/�8�CN �,)L�/e"�&­S�g yî>ï û��� à8ã�êRä�ê� øá�ã�êRæ�åg¼�Â�Û Ä%Ã�Ä�õ_Â8F¹F�¼�Á�Ã�Ã�ÂgS

� >

Page 38: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

ò Á¸´DóÝ¥^SI~�SJzo=@C�2�8u2�8�"µv�Sl¥AS�vM/�=@*�aJS�¹18� +i�2�(+,r2�8�"¸5�7) �(+/�8�"%$@,.$@/�8� �"'ÜZ[�2�-Z2�2�=@4�/�7.$@,)L�CP&;</�7�&O2�"�"%=@ A5�/>$98�,M5�7)/�a�=@ �C�&�S#�g yî>ï û���ûéIä�ß%â��î�åá�ì@@¼�Ä�Á�Û@ÁD¤>Â_Å�õ�ÁD¤¹¤�Á�¼�Á�Ã�Ã>Â�Sò Á�Æjóe½qSezo='&.8� �7�2�8�"N¾rS�xm �L�7)C�2�8�8JS#~h/�8_?% �7)4� �8�(+ Z/�;�a�=9/�(Oc�$@,) �732�,.$@?� MC� �,)L�/�"�&q;£/%7d=I$@8� �2�7&:Be&.,O �C�&�2�7.$'&W$@8�4m$98û,OL� �8�*�C� �7.$'(�2�=�&./�=@*�,.$@/�8û/>;jzq*�=@ �7� �K�*�2>,.$@/�8�&�S��ûéIä�ß%â�;ïðá�ãëñef¼Å%ÃEÛ Å�Â�ÁéõeÅ�Å�Ã�¼�Á�Ã�Ã�Á�Sò Á�Ãjó��ASj7�2>8J¼�Ç�S»�rS�7�/�73&:B_,)LJ¼�G�S yXS�7#S�xt(�xl2�(Oc� �8J¼�2>8�"X�YS Ç�S�T�2�8�4�S6Ç� �7:;£/�7OC�2�8�(+ �$'&)&.*� �&�;£/%7$@,) �7+2�,.$@?� �&./>=9?% �73&j$@8u"� �?�$'(+ �&ü$9C�*�='2�,.$@/�8JSP�g yî>ï ûEo�8ò|ê£q�8ã�á�ã�ê�ó4ã1�è/æ�ä�à8éIã1@¼GÁj´�Û@Á�À�À�õÁ%Áj´_¼DÁ�Ã�Ã�¤ESò F%Àjó�v�S^v�/�=@*�a 2�8�" xºS ½GS^¿Z?� �7),)/%8JS T#L� R(+/�8�?� �7)4� �8�(+ û/�;N$98� +i�2�(+,û~hL� �a_B�&.L� �?Y2�8�"yV$f(OL�2�73"�&:/�8^$9,O �732�,.$@?� #C� �,)L�/�"�&�;£/�7G&./�=@?%$@8�4M=F$@8� �2�7d&:Be&.,O �C�&�S���éIä"ß|âÛ ïðá�ãëñef¼�Å�Ä�Û Å�´_ÁåõÅ%Ã�Ä�¼DÁ�Ã�Æ�ÆESò FEÁBó_¾�S2¥�2�7O/�*�,)*�8�$'2�8J¼#xuS9{�SdzG8�4� +=@C�2>8J¼V2�8�"ý¹3Sg¥M2�&.a�2>8�$ S {� �4�7) �4_2>,) �"µ`�8�$@,) l +=9 �CN �8_,2�=94%/�7.$@,)L�C�& ;£/�7 ,)L� 8�*�C� �7.$'(�2�= &./�=@*�,.$@/�8 /�; ='2�7)4� åõ�&)(�2�=@ $@8�(+/�CN5�7) �&)&W$@a�=@ Q�/�-5�7O/�a�=@ �C�&�Sj Ûû��ç4æ�â���é�ä�ß|âÛ ïÒß%ãëñ� êRå��/ì�é�êëípó�@¼DÁj´�Û Ä�F�Ä�õ�Ä�Â_Æ�¼�Á�Ã%Ã�Ä�Sò F¹FjóÝGES zZSDsj$I=F=@/�*�4%Lu2�8�"|xºS�7#S�� L� � +=@ �7�S�ÇG2>732�=I=@ +=6$@,) �732>,.$@?� ^=F$@8� �2�7X �K%*�2�,.$@/�8l&./�=@?� �73&�Û��M8$@8�?� �&.,.$@4_2>,.$@/�8�/�;�"�/�CP2�$@8ø"� �(+/%C�5�/_&ü$9,:$9/%8�&./�=@?� �73&;</�7�7) �&. �7)?%/�$@7d&W$@Cr*�='2�,:$9/%8JSG¹18���êRåãëñ��ögý �8ùpä�à æ óøêëé�ä¼æ�å õ�ß4ó4ß%âw÷%æ�êRâM�=êRä�éIì�á�ã�êRæ�ågSD{_Çdzý5�2�5� �7M8�/�SDÁD¤�À¹F�Á�¼g{_2�8��M8_,)/%8�$9/g¼T +i�2�&�¼JÁ�Ã%Æ�´_Sò F%ÄjóÝ¥^S xºS#sj=F$@ �S��­âwùpì�æ�÷BC{óøßwò!á�å`ã­ä�ß|ãëñ�æ%ípó1çøæ�âjó4æ�ì�÷%êëå8úXì�á�âOú�ßBC{óøòwá�ì�ß óøù|ó4ã�ß%ä1ó æ~çðò!æ�éþà8ì�ßwíåæ�å`ì�êëå`ßwá�â=à[á�â~á8ù�æ�ì�êRò�ß��|é�á�ã�êRæ�å óÛS�ÇGL�µú,)L� �&W$'&�¼�µM �5�,�S�/�;�~d/�C�5�*�,+2�,.$@/�8�2�=e2>8�"���5�5�=I$@ �"xl2�,OL� �C�2�,.$'(�&�¼�yV$f(+ �ÜZ8�$@?� �7+&W$@,üB�¼¥j/�*�&.,)/�8J¼�T���¼D{� �5�,�SÁ�Ã�Ã�¤�Sò F>Â�óÝ¥^S xºS�sj=��$@ �¼�½GS�ÇG2�?�2�7.$@8�/�¼�xºS�yZ2�C � �¼�~�S�{_2>8�{�/�*�(O$@ �¼�~�SDµX2�-�&:/�8J¼�2�8�"^xuS�7#S3� L� � +=@ �7�SÇq7) �(+/�8�"%$@,.$@/�8� �73&;</�76]j �-Z,)/%8�01sM7)B�=@/�?XC� �,)L�/�"�&�;£/�7Cr*�=@,.$@5�L�2�&: dQ�/�-�&­SJ¹18N�8éEùwó4é�â ç4á�ò!ßïðæ%í�ß|ì�êRå�ú���â~æ�éþà! !å`í�é�ó4ã�â!êëá�ì`î! �ì�êRá�ã�ßþó�ïÒßwß%ã�êëå8ú%¼��M*�4�*�&.,AÁ�Ã%Ã�Â�Sò F%ÅjóÝ¥^S xºS!sj=��$@ �¼ xºSºyZ2�C � �¼t2�8�" xºS�7#Sm� L� � +=@ �7�S sM7)B%=@/�?�õe&: �(�2�8_,YCN �,)L�/e"�& ;£/%7&:/�=@?�$@8�4u&.B�&.,) �CP&X/�;�8�/%8�=F$@8� �2�7N �K�*�2�,:$9/%8�&�StT �(OL�8�$f(�2�=ky# �5�/%7),�TZyZÃ�Å�õEF�´_¼$µM �5�,�SJ/�;~h/�C�5�*�,32�,:$9/%8�2�=62�8�"��M5�5�=I$9 �"lxl2�,)L� �CP2�,.$'(�&�¼�yh$'(+ 5ÜZ8�$@?� �73&ü$9,.B�¼�Á�Ã�Ã�ÅESò F¹¤jóe]^S s�SJ]U$'()L�/�='&�SP¿Z8l,)L� P(+/�8_?% �7)4� �8�(+ �/�;V,.-#/jõe&:,32�4� M$@,) �732>,.$@?� �5�7)/e(+ �&O&. �&j;£/%7A&./�=@?�$@8�4=I$@8� �2�7X �K%*�2�,.$@/�8�&�SU�� yî>ï û���ûéIä�ß%â�=î�å`á�ì9f¼DÁ�ÀEÛ»Â�¤�À�õ_Â8¤%Ã�¼�Á�Ã�´�ÄESò FÝ´Dó"��SG{_2%2�"DS�� Q� +i�$9a�=@ P$@8�8� �7/õ_/%*�,) �7�5�7) �(+/�8�"%$@,.$@/�8� �"úvkxlyZzU{|2�=@4�/�7.$@,)L�C|Sm�g yî�ï ûE�=ò%ê<�è/æ�ä�à8éIã1@¼Á�Â�Û»Â8¤EÁåõ_Â8¤�ÃE¼�Á�Ã�Ã�Ä�Sò F%Æjó�{�S�TJ*�7O �c�S#¿Z8�"%$'&)(+7) �,) M5�7)/#�ü �(+,.$@/�8PC� �,)L�/�"�&�;</�7h,)L� Z$@8�(+/�CN5�7) �&)&W$@a�=@ A]�2�?%$@ �7/õ�{�,)/�c% �& �K%*�2�,.$@/�8�&­SG¹18m5�7) �5�2�732�,:$9/%8J¼JÁ�Ã�Ã�ÂgSò F%ÃjóÝ¥^S»��S#?�2�8n"� �7�¾G/�7+&.,|2�8�" ~�S#¾G*�$@c�S vkxlyZzU{_yZÛ#� 7g2�C�$I=@B /�;ø]j �&.,) �" vkxlyZzU{xm �,)L�/�"�&�SdT �(OL�8�$f(�2�=qy# �5g/�7),�TjyZÃ�ÁåõeÆ%À�¼�TJ �(OL�8�/�=@/�4�$'(�2�=gÜZ8�$@?� �7+&W$@,üB�/>;4µM +=I;<,�¼DÁ�Ã�Ã�Á�Sò Ä%ÀjóÝGES yXSº�u2�=I=I$'&�S ¹W8�(+/�C�5�=@ �,) 4_2>*�&)&W$'2�8 +=F$@C�$@8�2�,:$9/%8 2�& 2 5�7O �(+/�8�"%$@,.$@/�8�$@8�4 ;£/%74% �8� �732�=I$@[� �"n(+/�8$�.*�4_2�,) m4�732�"%$@ �8�,\2�(�(+ +=@ �732>,.$@/�8JSn¹W8 �=ß%÷|ß%å`ãëñµ��ögý �=ùÿä�à[æpóøêëéIä æ�å��éIä"ß|â!êëòwá�ì õ�ßþóøß|â!÷|æ�êRâø�8êëä"éIì�á�ã�êëæ�å�S{_Çdz 5�2�5� �7^8�/�SGÁDF�F¹¤�Å�¼{_2�8�7�7+2�8�(O$'&)(+/�¼JT +iE2�&­¼Á�Ã�Æ�Ä�S

�d�

Page 39: Two-stage Preconditions for Inexact Aewton Methods in M - Softlib

ò ÄEÁBóÝGES yXS��u2�=F=I$'&�SZT#-#/�01&:,) �5�5�7O �(+/�8�"%$@,.$@/�8�$@8�4�SZÇG7.$@?�2�,) �~h/�C�C�*�8�$'(�2�,.$@/�8J¼JÁ�Ã%Ã�Ä�Sò ĹFjó_��S��! +$'&. �7Y2�8�" xuS�7#S�� L� � +=@ �7�S ¿Z8 (+/�8_?% �7)4� �8�(+ Y/�;ûa�=@/e(Oc�õ�(+ �8_,) �7O �" `�8�$@,) "%$IHJ �7) �8�(+ �&j;</�7# +=I=F$@5�,.$'(�5�7O/�a�=@ �C�&�Sj�� yî>ïsûE���éIä"ß|âÛ�î�å`á�ì9f¼EF�ÅEÛ Ä%Å�ÁåõeÄ�´�Å�¼�Á�Ã�Æ�ÆESò Ä%ÄjóÝGES»�rSw� L� � +=@ �7û2�8�"YyXS»��S^{�C�$@,)LJS y# �&. �7)?%/�$@7 &W$@C�*�='2�,.$@/�8 /�8 2 L_B�5� �73(+*�ag �S ¹18%'& ãëñ î�å`åé�á�ì�ü`ßwò4ñ�åêRòwá�ìhè/æ�å4ç4ß%â~ß%åò!ß�á�åí ý/ý|ñ�êOù4êëã�êRæ�åXæ~ç ãëñIß��=æ%ò%êëß%ã�ùjæ ç{ö;ß%ã�â~æ�ì�ß%éIäý;å8ú�êRåß!ß|â�ó�S�{_Çhzû5�2�5g �7�8�/�SÁ�Ã�Æ�À�Âg¼�{_2�8��M8_,O/�8�$@/�¼�T +iE2�&­¼JÁ�Ã�Æ�ÃES

� Æ