Twist-3 distribution amplitudes of the pion and kaon from the QCD sum rules

周明震 zhoumz@mail.ihep.ac.cn

2005 年 11 月 15 日 中国高等科技中心

Contents

1. 引言2. twist-3 分布振幅的矩的求和规则3. twist-3 分布振幅矩的数值计算和结果4. 从两粒子分布振幅到三粒子分布振幅的一些讨论5. 总结

1. 引言 文献 [Z.Phys.C48,39(1990)] 给出了 pion 介子 twist-3 分布振幅的系研。作者基于已有的 QCD 求和规则对三粒子 twist － 3 分布振幅的矩的研究，再加上由运动方程给出的两粒子 twist-3 分布振幅与三粒子 twist-3 分布振幅的约束关系，间接得到了两粒子 twist-3 分布振幅的性质。 但是，由 [Z.Phys.C48,39(1990)] 给出的三粒子 twist － 3 分布振幅的矩的数值来看，其精确度实际上是很低的。因为数值区域很宽，以其中一个矩的数值为例，《 α3 》＝ 0.06~0.22 ，可见其不确定度较大。所以直接用 QCD 求和规则来考察两粒子 twist-3 分布振幅的性质是有必要的。 同时计算出来的矩，也可以通过同样的 twist-3 分布振幅的约束条件，反推三粒子 twist-3 分布振幅的性质，从而比较 QCD 求和规则的可靠性。Kaon 介子类似于 pion 介子，我们也讨论了它的 twist-3 分布振幅的性质。

相关文献：Pion 介子 twist-2 分布振幅的讨论有： [PRD22,2157(1980)],[NPB201,4

92(1982)],[Phys.Rep.112,173(1984

)],[PRD49,1490(1994)] 等。Pion 介子 twist-3 分布振幅的讨论有： [Z.Phys.C48,39(1990)],[NPB529,323(1998)] 等。Kaon 介子 twist-2 分布振幅的一矩的讨论有： [PRD70,094002(2004)] 。

2. twist-3 分布振幅的矩的求和规则Pion 介子的两粒子 twist-3 分布振幅 和 的定义为，

其中 fπ pion 介子衰变常数 , 和

是为了保证矩阵元的规范不变性而插入的 Wilson 线。 是直接 QCD 求和规则计算时引入的归一化常数，其值可以通过零矩的求和规则得到。

相似的，我们可以定义 kaon 介子的两粒子 twist-3 分布振幅 和 如下：

为了很好的抽取 twist-3 分布振幅的信息，我们定义它们的矩为：

这是 pion 介子的；

这是 kaon 介子的。 由于光锥分布振幅满足演化方程，可以用 Gegenbauer 多项式展开，而其展开系数可以通过用 QCD 求和规则计算出上面定义的矩而得到。

对于 pion 介子，我们在 z2=0 附近展开上面定义的强子矩阵元，则有：

通常而言， pion 介子被认为具有 SU(2) 同位旋对称性是恰当的。换句话说，也就是它的分布振幅的奇数矩是必然为零的。所以，我们在这里仅仅需要考虑它们的偶数矩而相应的引入下面 2 个关联函数：

对于 kaon 介子，我们在 z2=0 附近展开上面定义的强子矩阵元，则有：

然而，对于 kaon 介子则不同，其奇数矩并不为零，因为 s 夸克的质量是不等于 u （ d ）夸克的，也就是说它是 SU(3) 味对称性破缺的。所以，相应的我们另外选择了 2 个不同样 pion 介子的关联函数：

下面就是用 QCD 求和规则去计算上面给出的 4 个关联函数。现在我

们以 pion 介子的关联函数计算为例。 首先，在深 Educlidean 区域 (-q2>>0) ，微扰计算到领头阶，凝聚

项计算到 αs 阶，凝聚维数到 6 维，得到 pion 介子 2 个关联函数的 QCD

表示为：

其次，在物理区域， pion 介子的 2 个关联函数也可以写成强子谱的表示：

最后，在两个不同区域的同一个关联函数的表示可以通过 Borel 变换下的

色散关系式：

联系起来，得出 pion 介子 twist-3 分布振幅的矩的求和规则。其中 M 是Borel 参数。将 I QCD 和 Im I had 代入色散关系式中，我们得到矩的求和

规则：

这是 pion 介子 twist-3 分布振幅 的矩的求和规则；

这是 pion 介子 twist-3 分布振幅 的矩的求和规则。其中 和 是需要恰当选取的有效阈值，并且零矩已经被归一 (i.e., ) 。 对于 kaon 介子的计算与 pion 介子的计算相似，我们得到的 kaon

介子的物理区域的强子谱表示为：

应用 Borel 变换后的色散关系式，我们最后得到 kaon 介子 twist-3 分布振幅

的矩的求和规则：

这是 kaon 介子 twist-3 分布振幅 的矩的求和规则；

这是 kaon 介子 twist-3 分布振幅 的矩的求和规则。这里 γE=0.577216是

是 Euler 常数。 和 是需要恰当选取的有效阈值，并且零矩已经被归一(i.e., ) 。

3. twist-3 分布振幅矩的数值计算和结果

我们选取如下的输入参数： fK＝ 0.131GeV, fπ＝ 0.131GeV;

ms=0.130GeV,mu=0.004GeV,md=0.007GeV;

, ,

, .

αs=0.5 ，重整化能标在下面的分析中取 μ=M 。 作为求和规则中的有效阈值 ，虽然，当它们取值越大时，可以有更宽的 Borel 窗口，但是，有效阈值不能超过第一激发态的质量的平

方。为了得到尽可能稳定的求和规则，它们取值为相应道的第一激发态质量的平方，

Pion 介子和 kaon 介子的两粒子 twist-3 分布振幅的前 3 个矩的数值分析结果

被显示在下面的 3 个表格中：

这里需要指出的是如果考虑到文献 [Phys.Rep.127,1(1985)] 给出的 和 的求和规则的微扰部分的 αs修正时，它们的值将增加 15-20% ：

这是 pion 介子 twist-3 分布振幅 ， 的四矩和 kaon 介子 twist-3 分布振幅 ， 的二矩的 Borel 窗口图。其中，实线和虚线分别是连续态的贡献和六维凝聚项的贡献和完全求和规则的比率。

从上面的图和表格，我们可以发现前 3 个矩的求和规则都在 30％不确定度的 twist-3 分布振幅仅仅是 kaon 介子的 ，而分布振幅 和 的前 2个矩能满足 30％的不确定度要求，第 3 个矩则要将不确定度放宽到 35%-40%才能得到。 所以，当分布振幅 Gegenbauer 多项式展开到第 3 项时，用我们的方法能够比较可靠得出的两粒子 twist-3 分布振幅是 kaon 介子的 分布振幅：

上式中，是由表格中心值代入得到的结果，考虑不确定性后，则有 0.30有 0.09 的偏差， 0.73 有 0.30 的偏差。可以看出， kaon 介子是味 SU(3)

对称性破缺的，并且重的 s 夸克携带的径向动量比轻夸克携带的要大，这跟通常的夸克模型的预期是一致的。

4. 从两粒子分布振幅到三粒子分布振幅的一些讨论

对于 pion 介子，这里存在三个 twist-3 分布振幅 。它们其实不是完全独立的。通过 QCD 运动方程，可以得到它们之间的联系：

由 QCD 运动方程可以认为 ，但是我们这里直接用 QCD 求和规则计算两粒子 twist-3 分布振幅，这两个参数是有差异的，

这里将我们计算中比较可靠的 pion 介子的矩 和 代入上面的关系式中得到两个方程：

再将前面表格中的数值代入求解方程得到：

而由 QCD 求和规则直接计算三粒子分布振幅得到的是：

下面讨论 kaon 介子的情形。它的两粒子 twist-3 分布振幅和三粒子分布振

幅的关系式也是和 pion 介子的情形相似。将前面分析的 kaon 介子的两粒

子分布振幅的矩代入关系式，可以得到下面三个方程：

其中， 。第一个等式是对求和规则的一个直接检验，由表格给出的数据，代入发现这个等式的符合还是可以的，因为

而另外两个方程求解，则得到：

5. 总结 对于 pion 介子和 kaon 介子的 twist-3 分布振幅的研究，由于其包含了 3

个不完全独立分布振幅，而不像 twist-2 分布振幅那样仅有 1 个分布振幅需要确定，所以 twist-3 分布振幅的不确定度较大是不可以避免的。我们在这里直接用 QCD 求和规则计算了它们的两粒子 twist-3 分布振幅的矩，并且通过 QCD 运动方程给出的两粒子分布振幅和三粒子分布振幅的关系式，反推出三粒子分布振幅的一些结果，这些结果与直接由 QCD 求和规则计算三粒子分布振幅的得到结果是基本一致的，说明我们在这里用 QCD 求和规则直接计算两粒子分布振幅的矩是可行的。 另外，我们计算中引入的归一化常数

这比来自 QCD 运动方程的值要小，但与 pQCD唯像分析给出的对应值基本相当。

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