Embed Size (px)
DESCRIPTION
Shell and Plate
Citation preview
7.PHẦN TỬ BA CHIỀU
7.PHẦN TỬ 3 CHIỀU
7.1. PHẦN TỬ TỨ DiỆN
7.1.PHẦN TỬ TỨ DiỆN
7.1. PHẦN TỬ TỨ DiỆN
7.1. PHẦN TỬ TỨ DIỆN
7.1.PHẦN TỬ TỨ DIỆN
7.1.PHẦN TỬ TỨ DIỆN
7.1.PHẦN TỬ TỨ DIỆN
7.2.PHẦN TỬ LỤC DIỆN
• Xét phần tử khối lục diện, 8 nút (mỗi nút có 3 bậc tự do là chuyển vị theo cácphương x, y, z của hệ trục tọa độ tổng thể).
• Để thuận tiện và đơn giản, xem nó như 1 phần đẳng tham số: tức là cả dạng hình họcCả chuyển vị được xem là các tổ hợp tuyến tính của cùng 8 hàm dạng sau:
1 (1 )(1 )(1 ) 1,2,3,...88i i i iN rr ss tt voi i= + + + =
7.2.PHẦN TỬ LỤC DIỆN• Hình dạng hình học của phần tử được xác định bởi:
8 8 8
1 1 1( , , ) , ( , , ) , ( , , )i i i i i i
i i ix N r s t x y N r s t y z N r s t z
= = =
= = =∑ ∑ ∑hay ở dạng ma trận:
[ ]{ }1 1 1 2 8.... Txy N x y z x zz
⎧ ⎫⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
Với : [ ]1 2 3
1 2
(3 24)1 2 8
0 0 0 0 ... 00 0 0 0 0 ... 00 0 0 0 0 ...
N N NN N
N N NN×
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Và
, ,i i ix y z
, ,i i ix y z Là các tọa độ của nút i trong hệ tọa độ vuông góc tổng thể
• Các chuyển vị thành phần cũng được biểu diễn bởi các hàm dạng trên:8 8 8
1 1 1( , , ) , ( , , ) , ( , , )i i i i i i
i i iu N r s t u v N r s t v w N r s t w
= = =
= = =∑ ∑ ∑
7.2.PHẦN TỬ LỤC DIỆN
hay trong dạng ma trận: { } [ ]{ }e e
e
uu v N q
w
⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
• Ma trận tính biến dạng: [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 3 8
(6 24) (6 3) (3 24)
...B B B BB N× × ×
⎡ ⎤= = ⎣ ⎦∂
Với : [ ] [ ][ ] , :i iB IN I= ∂ Là ma trận đơn vị cấp 3
7.2.PHẦN TỬ LỤC DIỆN• Vì các hàm N=N(r,s,t) nên để tìm đạo hàm của N theo các tọa độ vuông góc x, y, zcần sử dụng ma trận Jacobi [J] của phép biến đổi tọa độ. Cụ thể,
1 1 1(1 )(1 ), (1 )(1 ), (1 )(1 ), 1,2,...88 8 8
i i ii i i i i i i i i
N N Nr ss tt s rr tt t rr ss ir s t
∂ ∂ ∂= + + = + + = + + =
∂ ∂ ∂
trong đó: , ,
, ,i i i
i i i
x y z
r s tlà tọa độ của nút i trong hệ tọa độ vuông góc tổng thểlà tọa độ của nút i trong hệ tọa độ phần tử r, s, t.
7.2.PHẦN TỬ LỤC DIỆN• Vậy các đạo hàm các hàm iN theo các tọa độ vuông góc x, y, z như sau:
hay :
Vậy ma trận [ ]B tìm được
7.2.PHẦN TỬ LỤC DIỆN• Ma trận độ cứng phần tử:
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ][ ]
[ ]
[ ] [ ][ ] [ ] ]
1
21 2 8
(24 6) (6 6) (6 24)(24 24)
8
...:
e e
T
TT
ex x xx V V
T
B
BK B D B dV D B B B dV
B
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡= = ⎢ ⎥ ⎣⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
[ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
11 12 18
21 22 28
81 82 88
....
....: : : :
....
e
K K KK K K
K
K K K
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] [ ](3 6) (6 6)(3 3) (6 3)
, 1,2,...8e
T
ij i jx xx xV
K B D B dV voi i j⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫trong đó:
dV J dr ds dt=
7.2.PHẦN TỬ LỤC DIỆN
Vì các ma trận [ ]iB biểu diễn theo các tọa độ tự nhiên, nên tích phân trên cần
thực hiện dV J dr ds dt=theo các tọa độ tự nhiên với chú ý:
Và:
Sử dụng phép cầu phương Gauss với 2 điểm tính Gauss:
Với sơ đồ 2 điểm Gauss: 1 , , 1;2i j kW W W voi i j k= = = =Vậy:
0,57735..., 0,57735..., ,057735...i j kr s t= ± = ± = ±Các điểm Gauss:
7.2.PHẦN TỬ LỤC DIỆN: Vectơ tải phần tử• Do biến thiên nhiệt độ T:
{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ] { }0 1 1 1 0 0 0e e
T T T
eV V
P B D dV B D T dVε α= =∫ ∫
[ ] { } { } { } { }{ }1 2 81 1 1 0 0 0 ...1 2
e
TT T
V
E T B dV P P Pαν
= =− ∫
Trong đó: { } [ ] { }1 1 1 0 0 01 2
e
T Ti i
V
E TP B dVαν
=− ∫
{ }
1 1 1
1 1 1
1 2
1 2
e
T
i i ii
V
T
i i i
N N NE TP dVx y z
N N NE T J drdsdtx y z
αν
αν − − −
⎧ ⎫∂ ∂ ∂= ⎨ ⎬− ∂ ∂ ∂⎩ ⎭
⎧ ⎫∂ ∂ ∂= ⎨ ⎬− ∂ ∂ ∂⎩ ⎭
∫
∫ ∫ ∫
Cụ thể:
hay:
7.2.PHẦN TỬ LỤC DIỆN
Hay : { } [ ]1 1 1
1
1 1 11 2
Ti i i
iN N NE TP J J drdsdtr s t
αν
−
− − −
∂ ∂ ∂⎧ ⎫= ⎨ ⎬− ∂ ∂ ∂⎩ ⎭∫ ∫ ∫
Tích phân được tính theo phép cầu phương Gauss với 2 điểm tính:
{ } [ ]2 2 2
1
1 1 1 ( , , )1 2
i j k
Ti i i
ii j k r s t
N N NE TP Jr s t
αν
−
= = =
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎧ ⎫= ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟− ∂ ∂ ∂⎩ ⎭⎝ ⎠∑∑∑
• Do lực khối { } { }T
x y zg g g g=
( với i =1,2,3,…8)
{ } [ ] { } { } { } { }{ }1 2 8...e
T T
eV
P N g dV P P P= =∫Với vectơ lực khối tại nút i là :
{ } [ ] { } ( 1,2,...8)e
Ti i
V
P N g dV voi i= =∫
7.2.PHẦN TỬ LỤC DIỆNtrong đó:
[ ]0 0
0 00 0
i
i i i
i
NN IN N
N
⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
I là ma trận đơn vị
Vậy:
{ }1 1 1
1 1 1e
i x i x
i i y i yV
i z i z
N g N gP N g dV N g J drdsdt
N g N g− − −
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭∫ ∫ ∫ ∫
Với sơ đồ 2 điểm tính của phép cầu phương Gau ss, lực nút tại nút i là:
{ }2 2 2
1 1 1
( , , )i j k
i x
i i yi j k
i z r s t
N gP N g J
N g= = =
⎛ ⎞⎧ ⎫⎜ ⎟⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎩ ⎭⎝ ⎠
∑∑∑
8.Tấm chịu uốn- 8.1.Mở đầu
• Tấm là cấu kiện thông dụng trong kỹ thuật.• Tấm được tính theo hai lý thuyết, lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff-Love
và lý thuyết tấm của Mindlin có xét tới biến dạng trượt (tấm có độ dày trungbình).
• Sự khác biệt của hai lý thuyết này ở ngay giả thuyết đầu tiên:-Với lý thuyết Kirchhoff: xem “các đoạn thẳng vuông góc với mặt trungbình của tấm vẫn còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi chịu uốn
và độ dài của chúng là không đổi” .-Nhưng ở lý thuyết Mindlin: thì “các đoạn thẳng vuông góc này tuy vẫnthẳng nhưng không nhất thiết là vuông góc với mặt trung bình khi biếndạng”.
• Chính vì vậy, trong lý thuyết tấm Kirchhoff trạng thái biến dạng của tấmhoàn toàn được biểu diễn bởi một đại lượng duy nhất là thành phần chuyểnvị ngang w của mặt trung bình hay thường gọi là độ võng của tấm.
• Các điểm trên cùng đoạn thẳng vuông góc là có cùng độ võng, hay w=w(x,y)
• Phương trình vi phân cơ bản của tấm mỏng chịu uốn (là phương trình cânbằng được biểu diễn qua chuyển vị) có dạng:
Với q(x,y) là tải trọng ngang; : độ cứng trụ của tấm
4 4 42 2
4 2 2 4
( , ) ( , )2w w w q x y q x yhay wx x y y D D
∂ ∂ ∂+ + = ∇ ∇ =
∂ ∂ ∂ ∂
3
212(1 )EtDν
=−
•Theo FEM: Phần tử tương thích (compatible hay comformal) đòi hỏi sựliên tục về giá trị của hàm độ võng w và cả các đạo hàm của w (các gócxoay và độ cong) giữa các phần tử. => việc chọn đa thức xấp xỉ phức tạp vàma trận độ cứng rất phức tạp, cồng kềnh.
Để đơn giản, thường chỉ sử dụng phần tử tấm không tương thích (non-compatible hay non-comformal) chỉ đòi hỏi sự liên tục của chuyển vị và gócxoay tại các nút góc phần tử. Khi đó, các bậc tự do của mỗi nút sẽ là
•Thực tế cho thấy phần tử không tương thích này cho kết quả tốt với bàitoán tấm chịu uốn.•Chương này xét phần tử tấm không tương thích dạng chữ nhật, cụ thể vềcác bước phân tích, xây dựng các ma trận và vectơ cơ bản, cần thiết theocả hai lý thuyết tấm Kirchhoff-Love và Mindlin.
( , , )w wwx y
∂ ∂∂ ∂
8.2. Phần tử tấm chữ nhật theo lý thuyết Kirchhoff-Love•Phần tử tấm chữ nhật 12 bậc tự do (Melosh) :xưa nhất, thông dụng nhất .•CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN: Khi tấm chịu uốn mặt trung bình (z=0) bịuốn cong đi, các thành phần biến dạng là:
• Trong đó, là vectơ độ cong của mặt trung gian bị biến dạng;.•Các thành phần ứng suất:
{ } { }
2
2
2
2
2
2
x
y
xy
wxwz k z
yw
x y
εε ε
γ
⎧ ⎫∂−⎪ ⎪∂⎪ ⎪⎧ ⎫
⎪ ⎪∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪∂
−⎪ ⎪∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭
{ }k
{ }
2
2
2
2 2 2
2
1 0 1 01 0 1 0
1 11 10 0 0 0
2 2 2
x x
y ye
xy xy
wx
E Ez wy
wx y
σ ν ε νσ σ ν ε ν
ν ντ ν γ ν
⎧ ⎫∂⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪
∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭
•Các thành phần nội lực mômen uốn và xoắn:/2 /2 /2
/2 /2 /2
, ,t t t
x x y y xy xyt t t
M zdz M zdz M zdzσ σ τ− − −
= = =∫ ∫ ∫
{ } [ ]{ }x
y
xy
MM M D k
M
⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
[ ]3
2
1 01 0
12(1 )10 0
2
EtDν
νν
ν
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥− ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
=>
•Với tấm trực hướng có các phương chính trùng với các trục x và y :
[ ]1
1
00 ,
0 0
x
y
xy
D DD D D
D
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
, trong đó:33 '' 3 3
1, , ,12 12 12 12
yxx y xy
E tE t E t GtD D D D= = = =
Với hệ số Poisson theo các phương x, y. Và '' ,x x y yE E Eν ν= =,x yν ν
•Với tấm đẳng hướng:
•Xét phần tử chữ nhật 4 nút i, j, k, l với 12 bậc tự do. Bậc tự do của mỗi nút làđộ võng và goc xoay quanh các trục x và y: ( , , )x yw θ θ•Vectơ chuyển vị nút phần tử và vectơ tải phần tử có dạng:
{ }
{ }{ }{ }{ }
{ }
{ }{ }{ }{ }
, ,
i i
j je e
k k
l l
q P
q Pq P
q Pq P
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
trong đó { } { },
ii i
i xi i xii
yi yi
i
ww W
wq P Mx
Mwy
θθ
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛ ⎞= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎛ ⎞∂⎪ ⎪−⎜ ⎟∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ (i,j,k,l)HÀM CHUYỂN VỊ- CÁC HÀM DẠNG
•Do phần tử có 12 bậc tự do, nên hàm độ võng được xấp xỉ bởi đa thức chứa12 tham số độc lập và có dạng sau:
2 2 3 2 2 3 3 31 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12w a a x a y a x a xy a y a x a x y a xy a y a x y a xy= + + + + + + + + + + +
hay ở dạng ma trận:
[ ]{ } { }2 2 3 2 2 3 3 3( , ) 1w P x y a x y x xy y x x y xy y x y xy a⎡ ⎤= = ⎣ ⎦
•Dễ chứng minh được rằng, với đa thức xấp xỉ này, hàm độ võng đảm bảo tính liên tục của độ võng và độ dốc (hoặc ) theo phương vuông góc các cạnh biên song song trục y (hoặc trục x). Nhưng không đảm bảo với độ dốc theo phương dọc các biên đó, cụ thể là không đảm bảo sự liên tục của
(hoặc ) dọc biên song song trục y (hoặc trục x).•Thực hiện đồng nhất 12 bậc tự do của với các giá trị của hàm độ võng và đạo hàm của nó tại 4 nút của phần tử, như sau:
w /w x∂ ∂ /w y∂ ∂
{ }eq
2 2 3 2 2 3 3 31 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12i i i i i i i i i i i i i i i i iw a a x a y a x a x y a y a x a x y a x y a y a x y a x y= + + + + + + + + + + +
2 2 3 23 5 6 8 9 10 11 122 2 3 3xi i i i i i i i i i
i
w a a x a y a x a x y a y a x a x yy
θ⎛ ⎞∂
= = + + + + + + +⎜ ⎟∂⎝ ⎠2 2 2 3
2 4 5 7 8 9 11 122 3 2 3yi i i i i i i i i ii
w a a x a y a x a x y a y a x y a yx
θ ∂⎛ ⎞= − = − − − − − − − −⎜ ⎟∂⎝ ⎠
2 2 3 2 3 3 3
2 2 3 2
2 2 2 3
2 2 3 2 3 3 3
10 0 1 0 2 0 2 3 30 1 0 2 0 2 03 31
.... ... ... ... ... ..
i i i i ii i i i i i i i i ii
i i i ii i i i ixi
i i i ii i i i iyi
j j j j jj j j j j j j j j jj
yl
x y x y yx y x x y y x y x ywx y x yx y x x y
x y x yx y x y yx y x y yx y x x y y x y x yw
θθ
θ
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪
− − − −⎪ ⎪ − − − −⎪ ⎪=⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
{ }
2 2 2 3
. ... ... ... ... ... ... ...0 1 0 2 0 2 03 3l l l ll l l l l
a
x y x yx y x y y
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −− − − −⎣ ⎦
(….tương tự với i,,j,k)
=>
/w x∂ ∂ /w y∂ ∂
Hay ở dạng ma trận: { } [ ]{ }eq A a=
3 b.t.d tại nút i
• Từ đó: { } [ ] { }1
ea A q−=
=> [ ][ ] { } [ ]{ }1( , )e e
w P x y A q N q−= =trong đó [ ]N : ma trận các hàm dạng
[ ] [ ][ ] 1
(1 12)
( , ) ...x
i xi yi j ylP x y A N N N N NN − ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦
[ ]
[ ]
[ ]
1 11 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 12 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 22 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2
1 21 2 2 1 1 2 1 2
2 2 2 216
2 2 2 216
2 2 2 216
2 2 216
i xi yi
j xj yj
k xk yk
l xl yl
X YN N N X Y X Y X Y YY bYY aX X
X YN N N X Y X Y X X YY bYY aX X
X YN N N X Y X Y X X YY bYY aX X
X YN N N X Y X Y X X YY
⎡ ⎤ = − + + −⎣ ⎦
⎡ ⎤ = − + +⎣ ⎦
⎡ ⎤ = − + + −⎣ ⎦
⎡ ⎤ = − + + −⎣ ⎦ [ ]1 2 1 22bYY aX X−
với:
trong đó: 1 2 1 21 , 1 , 1 , 1x x y yX X Y Ya a b b
= − = + = − = +
BIẾN DẠNG VÀ NỘI LỰC: Trạng thái biến dạng của phần tử:
{ } [ ]{ }
2
2
4 7 8 112
6 9 10 1222 2
5 8 9 11 122
2 6 2 62 2 6 6 ''
2 4 4 6 62
e
wx a a x a y a xywz z a a x a y a xy z P a
ya a x a y a x a y
wx y
ε
⎧ ⎫∂−⎪ ⎪∂⎪ ⎪ + + +⎧ ⎫
⎪ ⎪∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − = − + + + = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + + +⎩ ⎭⎪ ⎪∂−⎪ ⎪
∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭''
2 2
0 0 0 2 0 0 6 2 0 0 6 00 0 0 0 0 2 0 0 2 6 0 60 0 0 0 2 0 0 4 4 0 6 6
x y xyP x y xy
x y x y
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
với:
Biểu diễn vectơ biến dạng qua vectơ chuyển vị nút phần tử :
{ } { } [ ] { } [ ]{ }1'' ''e e e
z P a z P A q B qε −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦trong đó: [ ] [ ] 1''B z P A −⎡ ⎤= − ⎣ ⎦
•Ma trận độ cứng phần tử: [ ] [ ] [ ][ ]e
T
eV
K B D B dV= ∫{ } [ ]{ } [ ] [ ] 1''
x
y
xy
MM M D k D P A
M
−
⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎡ ⎤= = =⎨ ⎬ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
•Các mômen nội lực:
• Ma trận độ cứng của phần tử tấm chữ nhật cạnh 2a, 2b có bề dầy t, vật liệu đẳng hướng (Theo « Phương pháp PTHH »-Nguyễn Xuân Lưu)
trong đó: Nếu đặt
thì
• VECTƠ TẢI PHẦN TỬ:
•Trường hợp P tập trung, điểm đặt (x,y) trong phần tử:
{ }(12 1)
T
i xi yi j xj yj k xk yk l xl yl
x
P P P P P P P P P P P PeP ⎡ ⎤= ⎣ ⎦
{ } [ ]TeP N P=
Nếu lực tập trung đặt tại tâm phần tử (x=0 , y=0), thì :
{ }4 8 8 4 8 8 4 8 8 4 8 8
T
e
P Pb Pa P Pb Pa P Pb Pa P Pb PaP ⎡ ⎤= − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
•Trường hợp tải trọng phân bố q(x, y) trên bề mặt phần tử:
{ } [ ] ( , )e
T
eS
P N q x y dxdy= ∫∫Nếu tải trọng phân bố đều thì:
{ } [ ] 1 1 1 144 12 12 4 12 12 4 12 12 4 12 12
Ta bT
ea b
b a b a b a b aP q N dxdy qab− −
⎡ ⎤= = − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
6.3. TẤM CHỮ NHẬT VỚI 16 BẬC TỰ DO• Mô hình phần tử tấm chữ nhật với 16 b.t.d với trường chuyển vị được giả
thiết như sau (Bogner, Fox và Schmit):2 2 3 2 2 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 3 2 2 3 2 2 3 3 311 12 13 14 15 16
( , )w x y a a x a y a x a xy a y a x a x y a xy a y
a x y a xy a x y a x y a x y a x y
= + + + + + + + + +
+ + + + + +
• Đâylà một đa thức tạo bởi tích 2 3 2 3(1 )(1 )x x x y y y+ + + + + +
• Hàm chuyển vị này sẽ cho chuyển vị và cả các đạo hàm của nó là bậc badọc theo theo các cạnh biên phần tử.
• Có thể CM rằng, độ dốc theo phương pháp tuyến dọc theo các cạnh biên làhoàn toàn xác định vì việc chọn là một trong các b.t.d của mỗi nút .( / )w x∂ ∂
• Do vậy đây là một phần tử tương thích hoàn toàn.• Các bậc tự do của mỗi nút là :
{ }2
Ti i
i i i
w w wq wx y x y
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
• Ma trận độ cứng khá phức tạp.
8.3. Phần tử tấm chữ nhật theo lý thuyết MindlinTheo Mindlin các đoạn thẳng pháptuyến không còn vuông góc vớimặt trung gian nữa và các gócvuông thay đổi một lượng bằngbiến dạng trượt trung bình do lực
cắt gây ra => Góc xoay gồm 2 phần:độ võng và biến dạng trượt gây ra.
,y x x yw wx y
θ γ θ γ∂ ∂= − + − = − +
∂ ∂
VVậy ,x y y x
w wx y
γ θ γ θ∂ ∂= + = − +
∂ ∂• Với vliệu đẳng hướng, quan hệ giữa biến dạng trượt và us tiếp (hay lực cắt):
=>56
α =
• Các độ cong, độ xoắn theo góc xoay:
(với chú ý:Bdạng trượt được xem làkhông đổi suốt bề dày tấm)
: hệ số điều chỉnh, kể đến sựphân bố bậc 2 theo bề dày
• Vậy nội lực tính theo biến dạng: (với vật liệu đẳng hướng)
viết gọn hơn:
• Trong tấm, quan hệ ưs-bd được xem như quan hệ nội lực- độ cong, bdg trượt
trong đó:
{ } [ ] { }t ttDσ ε=
Biến dạng tính theo góc xoay:
• Thế năng biến dạng bdiễn theo nội lực và độ cong:
Hay, cụ thể:
• Xem phần tử tấm đẳng tham số,dạng tứ giác, mỗi nút có 3 b.t.dlà chvị và góc xoayđược xét độc lập.
• Khi đó: Dạng hình học của phần tử
• Độ võng và các góc xoay của phần tử:4 4 4
1 1 1, ,i i x i xi y i yi
i i iw N w N Nθ θ θ θ
= = =
= = =∑ ∑ ∑
4 4
1 1,i i i i
i ix N x y N y
= =
= =∑ ∑
với 1 (1 )(1 )4i i iN rr ss= + +( , )i ix y là…, , ,i xi yiw θ θ là…, và các hàm dạng
• Ma trận Jacobi của phép đổi biến:
vậy
• Các thành phần biến dạng:4 4
1 1
4 4
1 1
4 4
1 14 4
1 1
,y i x ix yi y xi
i i
y x i ixy yi xi
i i
ix y i yi i
i i
iy x i xi i
i i
N Nk kx x y y
N Nky y y x
Nw N wx x
Nw N wx y
θ θθ θ
θ θ θ θ
γ θ θ
γ θ θ
= =
= =
= =
= =
∂ ∂ ∂ ∂= = = − = −
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
= − = −∂ ∂ ∂ ∂
∂∂= + = +
∂ ∂∂∂
= − + = − +∂ ∂
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
=> ở dạng ma trận:
với
và
• Thế năng toàn phần của phần tử:
[ ](12 12)
ek×
[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ][ ] [ ]
11 12 13 14
21
31
41 44
... ... ...
... ...
... ...ij
k k k kk
k k
k k
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Xét biểu thức tích phân
[ ] [ ](3 5) (5 5)(3 3) (5 3)
Tij i j ij ijt u c
k B D B k k× ×× ×
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Với các ma trận con:
1 2 33
1 2 4 52(3 3) (3 3)
3 4 6 5
0 0 00 ; 0
12(1 ) 2(1 )0 0
ij iju c
c c cEt Etk u u k c c
u u c c
αν ν× ×
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 2
3 4
;
;
j j j ji i i i
j j j ji i i i
N N N NN N N Nu uy y x x y x x y
N N N NN N N Nu ux y x x x x y y
λ ν λ
ν λ λ
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= + = − −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= − − = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Với :
(với i, j =1,2,3,4)
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]e e
T
e t eA A
K B D B dA k dA= =∫ ∫
1 2 3
4 5 6
; ;
; ;
j ji i i ij j
j ji i j i
N NN N N Nc c N c Nx x y y y x
N Nc N c N N c N
y x
∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= + = − =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
= − = =∂ ∂
Và :
Nhận xét, dễ thấy rằng:T
ij jik k⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 1
(12 12) 1 1 1 1
rds rdse
e e u cA
K k dA k J d k J d× − − − −
= = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫Thực hiện tích phân để tìm ma trận độ cứng phần tử:
Sử dụng phép cầu phương Gauss với sơ đồ 4 điểm Gauss cho tích phân thứ nhất, và sơ đồ 1 điểm Gauss cho tích phânthứ hai (hình vẽ).
Sơ đồ 4 điểm
Sơ đồ 1 điểm{ } [ ] de
T
eA
P N p A= ∫•Vectơ tải phần tử:
{ } [ ] [ ]1 1
1 11 1
rdsn n
T Ti je
i j
P p N J d p w w J N= =− −
= = ∑∑∫ ∫Trường hợp tải phân bố đều, cường độ p:
Và sử dụng sơ đồ 4 điểm Gauss để tính.
