Turning-Torso Peter Wulff Harslund Rasmus Nøddegaard Hansen

2015

DTU

Peter Wulff Harslund

s133620 og Rasmus

Nøddegaard Hansen

s133604

[”BYGNINGER MED RETLINJET FLADER”]

Peter Wulff Harslund s133620 Eksamensprojekt om retlinjet flader 20/05-2015 Rasmus Nøddegaard Hansen s133604 Differentialgeometri

Side 1 af 21

Indhold

Indledning med tilhørende problemstilling ................................................................................................... 2

Turning Torso og Cayan Tower som retlinjede overflader ........................................................................... 3

Parametrisering .............................................................................................................................................. 4

Turning Torso as a ruled surface ................................................................................................................... 6

Lysindfald .................................................................................................................................................... 12

Fluxen beregnes matematisk set som et ortogonalt fladeintegral. ........................................................... 12

Beregning af energioptag......................................................................................................................... 12

Skyggebidrag. .............................................................................................................................................. 17

Konklusion .................................................................................................................................................. 20

Litteraturliste ............................................................................................................................................... 21


Side 2 af 21

Indledning med tilhørende problemstilling

Det er i den seneste tid blevet meget moderne for arkitekter at designe komplekse facader, når de

skal tegne nye bygninger. Verden rundt bliver der skabt nye unikke bygningsfacader hver dag af

arkitekter. Det er nødvendigt for ingeniører at kunne studere denne slags facader teoretisk for at

kunne fastslå om det er muligt at realisere arkitektens drøm i praksis. Der skal både tages højde for

konstruktionsdelen, men også mange andre ting. En del af de bygningsfacader som bliver

konstrueret kan betegnes som retlinjet flader. En retlinjet flade er en speciel type flade, som kan

beskrives matematisk, og nærmere betegnet den gren af matematikken som beskæftiger sig med

differentialgeometri. Ved anvendelse af differentialgeometri kan en sådan retlinjet flade undersøges

nærmere.

Som følge af arbejdet med bl.a. retlinjet flader i kurset ”Differentialgeometri med anvendelser”

beskæftiger denne opgave sig med at undersøge komplekse bygningskontraktioner. Med

udgangspunkt i den specielle bygning ”Turning Torso” beliggende i Malmö og ”Cayan Tower”

billigende i Dubai.

Turning Torso og Cayan Tower er begyndt at vinde frem i det moderne bybillede. Derfor

undersøges deres geometrier ud fra en tilnærmelsesvis parametrisering af dem som en retlinjet

flade, hvor det er essentielt at parametriseringen er regulær, og desuden foretages en analyse af

hvorledes geometrien har indblik på det samlede solindfald på bygningerne.

Førstefundamentalform og anden fundamentalform for parametriseringen vil blive bestemt, så

middel-, Gauss- og hovedkrumninger kan blive beregnet herudfra. Her gælder det særlige for

retlinjet flader at Gauss-krumningen er lig med eller mindre end nul1.

Solinfaldet på facaderne bliver undersøgt nærmere, for at se hvordan energioptaget ville være, hvis

hele facaden var dækket med solceller.

1 Elementary Differential Geometry, side 182


Side 3 af 21

Turning Torso og Cayan Tower som retlinjede overflader

Et eksempel på en retlinjet flade I byggebranchen er den svenske bygning “Turning Torso”, som er

den højeste skyskraber som hidtil er lavet I Sverige. Tårnet er tegnet af en spansk arkitekt ved navn

Santiago Calatrava, som formåede at designe det 190 meter høje tårn. Tårnet er drejet 90 grader fra

bund til top. Tårnet er bygget i denne rette specielle stil, og der findes ikke mange tilsvarende

bygninger i stil med denne. Der findes dog også ”Cayan Tower”, som ligger i Dubai.

Konstruktionsprincippet for Turning Torso set ovenfra kan ses herunder.

Figur 1 viser konstruktionsprincippet af the Turning Torso, og hvorledes en etage drejes med 90 grader fra bund til top

Disse komplekse bygningsfacader bliver skabt grundet et ønske fra arkitekternes side om at

differentiere facader og gøre dem interessante og indbydende. Tårnet blev bygget som et nyt

vartegn for Malmös skyline, hvilket igen understreger at bygninger i dag skal give noget til ydre

omgivelser og ikke blot de indre.

Cayan Tower er ligeledes drejet 90 grader og det højeste tårn, som er drejet 90 grader. Dette tårn

skaber ligesom Turning Torso en væsentlig markering i Dubais skyline om end der er nogle flere

høje og anderledes bygninger i Dubai kontra Malmö. Udformningen gør dog også at vindlaster

bliver reduceret i forhold til traditionelle firkantede bygninger af samme højde. Desuden bliver

solvarme også reduceret pga. formen, hvilket i Dubai har en væsentlig indflydelse. Det er derfor

både højden men også den konkrete udformning af disse to bygninger som har indflydelse på

solindfaldet, eftersom bygningens facader fra tid til anden selv kaster skygge på bygningen.


Side 4 af 21

Begge bygningers geometri er forholdsvis kompleks og en parametrisering, som er en komplet

beskrivelse af bygninger vil imidlertid kræve en større opgave. Der arbejdes derfor nu med en

geometri, som tilnærmelsesvis beskriver de to bygninger. En redegørelse og opstilling af denne

parametrisering foretages i næste afsnit.

Parametrisering

“Turning Torso” er ret kompleks i sin geometri, mens ”Cayan Tower” er lidt mere lige til. Der skal

derfor opstilles en parametrisering, hvor etagerne drejes 90 grader med uret. Det antages at

bygningen er 20 meter bred, og der indføres derfor parameteren u, som er defineret for 𝑢 ∈ [0,20]

og ligeledes antages det at bygningen er 180 meter høj, og der indføres derfor parameteren v, som

er defineret ved 𝑣 ∈ [0,180]. Bygningerne “Turning Torso” og ”Cayan Tower”, har ikke glatte

overflader, men derimod nogle skarpe kanter. Der kan derfor ikke udelukkende opstilles en

parametriseringen for bygningen, og der skal derfor opstilles hele 4.

Parametriseringen skal opstilles i 3D, dvs. der skal opstilles nogle funktioner 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣) og

𝑧(𝑢, 𝑣), som beskriver bygningens form. Der ønskes at bygningens bund har centrum i punktet

(0,0,0). Når bygningen er ved sin bund skal den kun udtrække sig i to dimensioner nemlig x og z.

Tilsvarende i toppen skal den udtrække sig i to dimensioner nemlig y og z. Gøres dette korrekt fås

følgende 4 parametriseringer for væggene:


Side 5 af 21

Der kan hurtigt laves en parametrisering af top og bund ved:

Ved at plotte samtlige parameterfremstillinger i samme vindue fås nu plottet som ses herunder:

Figur 2 viser den parametriserede bygning

Det bemærkes at bygningen drejer mod uret og ikke med uret. Der nu blevet opstillet en

parametrisering som med god tilnærmelse beskriver udformningen af “Turning Torso” og ”Cayan

Tower”. Der vil i det efterfølgende afsnit blive foretaget en nærmere analyse af parametriseringens

differentielle geometri.


Side 6 af 21

Turning Torso as a ruled surface

Efter parametriseringen af geometrien, er den ene facadeside, som er parametriseret ved σ1, udvalgt

til at blive analyseret nærmere. Her nøjes med én facadeside, da alle facadesider er ens i deres

udformning. Inden analysen begynder, vil de afledede af σ1 blive beregnet, da de skal bruges til

analyserne.

Herefter undersøges parametriseringen for regularitet. Parametriseringen er regulær, når

.

Ved at undersøge længden af enhedsnormalvektoren oven for, kan det bestemmes om

virkelig gælder.

Længden af enhedsnormalvektoren er lig med en, og dermed er parametriseringen σ1 regulær.

Herefter skal første og anden fundamentalform bestemmes, så Gauss- og middelkrumningen kan

bestemmes. Først bestemmes første fundamentalformfunktionerne.


Side 7 af 21

Matricen for første fundamentalform er følgende,

Herefter skal anden fundamentalformfunktionerne bestemmes.

Herefter er matricen for anden fundamentalform,

De ovenstående fundamentalformfunktioner skal nu bruges til beregne Gauss- og

middelkrumningen, som henholdsvis er K(u,v) og H(u,v). Gauss-krumningen er en måde at måle

krumningen af en flade på i et givent punkt. Gauss-krumningen er en iboende krumning, dvs. den

afhænger kun af afstande mellem punkter inde i fladen, ikke hvordan fladen befinder sig i det

tredimensionelle rum2.

Da parametriseringen σ1er regulær kan Gauss-krumningen bestemmes ud fra

fundamentalformerne3,

Grafen for Gauss-krumningen ser ud som følger,

2 Elementary Differential Geometry, side 175-176



Side 8 af 21

Figur 3 viser Gauss-krumningen K(u,v)

Her ses, at K(u,v) < 0 når u ∈ [0,20] og v ∈ [0,180]. K(u,v) ≤ 0 er gælder altid for retlinjet flader4

og dermed er parametriseringen af facaden en retlinjet flade.

Middelkrumningen er ligeledes bestemt ved fundamentalformerne5,

Grafen for middelkrumningen ser ud som følger,




Side 9 af 21

Figur 4 viser middelkrumningen H(u,v)

Her ses, at H(u,v) > 0 når u ∈ [0,20] og v ∈ [0,180]. Dette viser at der ingen middelkrumning er i

facadetoppen og facadebunden. Ligeledes er krumningen størst omkring midten af facaden og

dermed midten af tårnet.

Når nu første og anden fundamentalform er beregnet kan hovedkrumningerne κ1 og κ2 bestemmes

ud fra Weingarten-matricen. Weingarten-matricen er som følger6,

Hovedkrumningerne er egenværdierne i Weingarten-matricen 7. De er bestemt til at

være,




Side 10 af 21

Udtrykket for hovedkrumningerne er ens bare med modsat fortegn. Hovedkrumningerne viser

maksimum- og minimumbøjningen af en regulær overflade. Da de har modsat fortegn, men ellers er

ens, betyder det at normalkrumningen har lige store minimum og maksimum i ethvert givet punkt.

Middelkrumningen er også hovedkrumningernes middelværdi i et givet punkt, da

middelkrumningen desuden kan beregnes ved,

Det er muligt desuden at beskrive en kurve som følger fladen af facaden, σ1, fra bund til top,

Her u=10 og v=t.

De afledede af γ bestemmes.

Normalvektoren for γ er næsten magen til normalvektoren for γ blot u og v defineret som herover.

Normalkrumningen kan nu bestemmes.


Side 11 af 21

Den geodætiske krumning kan ligeledes bestemmes.

At den geodætiske krumning er nul betyder at kurven γ er en ret linje. Det ses tydeligt på de to

næste plots, at kurven γ er en ret linje, der følger fladen σ1.

Figur 5 viser kurven på den parametriserede flade

Figur 6 viser at γ tydeligt er en ret linje

Efter at have foretaget en analyse af den opstillede geometri vil der nu blive arbejdet videre med,

hvorledes geometrien har indflydelse på solindfaldet på bygninger med komplekse facader såsom

“Turning Torso” og ”Cayan Tower”.


Side 12 af 21

Lysindfald

Der stilles store krav til nutidens bygninger omkring energiforbrug og bæredygtighed. Igennem de

sidste 10 år er der blevet forsket meget i solenergi og hvorledes vi mennesker bedst kan udnytte

den. Deriblandt er der blevet opfundet solceller, som nu også sættes på huse og bygninger. Dette har

indflydelse på bygningens energiforbrug, da den selv sørger for den energi den bruger i form af

vedvarende energi. Plane solceller sættes normalt op på simple bygninger og facader, men hvordan

virker lysindfaldet på komplekse facader som “Turning Torso” og ”Cayan Tower”. For at kunne

besvare dette tages der nu udgangspunkt i, at parametriseringerne fra tidligere beskriver en sådan

kompleks bygning, som er totalt beklædt med solceller.

For at gøre arbejdet med dette projekt lidt simplere foretages der nu nogle antagelser, og der

arbejdes derfor med denne følgende simple model. Bygningen beklædt med solceller antages

placeret på ækvator en jævndøgnsdag og at solen står op kl.6:00 og står lodret over bygningen

kl.12:00 og går ned kl.18:00. Solens gang over himlen placeres i samme (𝑥, 𝑦, 𝑧) koordinatsystem,

som parametriseringen, således at bygningen placeres på (𝑥, 𝑦)-planen. Solstrålingen kan ses

repræsenteret som et vektorfelt bestående af parallelle enhedsvektorer, som er rettet mod

solfangeren fra solen. Himlen antages desuden at være skyfri og der ses bort fra bøjning af solens

stråler når de passerer gennem atmosfæren.

Det antages at energioptaget 𝐸(𝑡) er proportionalt med den indadgående flux, som er beskrevet ved

𝐵+(𝑡). Fluxen til tiden t, er den del af solfangeren hvor vinklen mellem solvektorfeltet og fladens

indadgående normalvektor er mindre en 90°. Der gælder derfor at 𝐸(𝑡) = 𝐵+(𝑡) såfremt

proportionalitetsfaktoren sættes lig 1.

Solvektorfeltet kan beskrives som 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (

0−cos (𝑡)−sin (𝑡)

) ud fra de givende antagelser. Dette kan

betragtes ved, at sollyset om morgenen ved 𝑡 = 0 er parallel med ækvator og går fra øst mod vest,

hvor 𝑦 > 0 er øst og 𝑦 < 0 er vest.

Fluxen beregnes matematisk set som et ortogonalt fladeintegral8.

Beregning af energioptag

I første omgang beregnes solbidraget til den flade top. Parametriseringen er givet ved:

8 http://01005.mat.dtu.dk/materialer/enoter/afsnit/NUID42-tn26/


Side 13 af 21

Toppen af bygningen vil som den eneste del optage sol i løbet af hele dagen, eftersom prikproduktet

aldrig giver nul.

Figur 7 viser en illustration af bygningen med solens bane over himlen

Den indadgående normalvektor for fladen beregnes til:

Fluxen findes ved 𝐵+ = 𝐹𝑙𝑢𝑥(𝑉, 𝐹) = ∫ 𝑉 ∙ 𝑁 𝑑𝑢 𝑑𝑣

𝐹. Integranden 𝑉 ∙ 𝑁 findes til at være:

Fluxen beregnes nu til at være:

Energioptaget for en hel dag kan beregnes som ∫ 𝐵+(𝑡) 𝑑𝑡 𝑡

0, hvor 𝑡 ∈ [0, 𝜋]:


Side 14 af 21

Dermed er energioptaget for topfladen nu blevet beregnet. Der anvendes samme metode til

beregning af energioptaget for de resterene 4 flader. Beregningen er dog ikke lige så let som for

topfladen, eftersom der for hver af fladerne opstår tidspunkter på dagen, hvor noget af bygningens

side vil ligge i skygge. To af siderne vil derfor give et bidrag fra 𝑡 ∈ [0,𝜋

2] og to af siderne vil give

et bidrag fra 𝑡 ∈ [𝜋

2, 𝜋]. Derudover sker der også det at fladerne på forskellige tidspunkter skygger

for hinanden, dette skal der også tages højde for. Forsimplet ses der i første omgang bort fra at

tårnets top vil skygge. De to sider som vil give et bidrag først på dagen er.

Situationen betragtes herunder.

Figur 8 viser solens udsyn først på dagen


Side 15 af 21

I det betragtede tidsrum vil der optræde tider hvor fladerne skygger for hinanden, således at der ikke

forekommer solindfald. Der vælges derfor forsimplet i denne opgave at beregne som om at der ikke

skygges i første omgang. Det vigtigste er at vinklen mellem solvektorfeltet og den indadrettede

normalvektor aldrig står vinkelret på hinanden.





Det ses at fluxen er identisk for de to flader. Energioptaget for en hel dag kan beregnes som

∫ 𝐵+(𝑡) 𝑑𝑡 𝑡

0, hvor 𝑡 ∈ [0,

𝜋

2]:

Tilsvarende fra den sidste del af dagen fås:


Side 16 af 21

Situationen er stort set identisk med figur 4, på nær at eftermiddagen nu betragtes.






Side 17 af 21

Det ses at fluxen er identisk for de to flader. Energioptaget for en hel dag kan beregnes som

∫ 𝐵+(𝑡) 𝑑𝑡 𝑡

0, hvor 𝑡 ∈ [

𝜋

2, 𝜋]:

Som forventet er energioptaget for den første den af dagen lig energioptaget for den anden del af

dagen eftersom bygningen er symmetrisk i den udformning, og at bygningens grundplan er

orienteret præcis mod, nord, syd, øst og vest.

Det totale energioptag bliver derfor summen af de 3 bidrag:

Dermed er energioptaget nu blevet beregnet for bygningen. Dette energioptag er ikke helt korrekt,

eftersom der er blevet gjort en del antagelser.

Skyggebidrag.

For at præcisere det en smule tages der nu fat om problemet om at bygningen skygger for sig selv.

Figur 9 viser solens udsyn først på dagen

Det ses på figur 9, at frem til dette tidspunkt på dagen, vil siderne allerede skygge for hinanden, og

på dette bestemte tidspunkt, vil også toppen af bygningen begynde at skygge for siderne.

Parametriseringen for flade to er:


Side 18 af 21

Og denne flade ligger ikke i skygge af den anden flade som kan ses på figur 9 på noget tidspunkt.

Dog vil toppen begynde at skygge som det ses på den pågældende situation på figur 9. Dette

tidspunkt kan findes som det tidspunkt, hvor solvektorfeltet har samme retning som den kurve der

ligger på fladens rand.

Figur 10 viser den parametriserede rand

For flade 2, sættes 𝑢 = 0, og 𝑣 = 𝑡, hvormed parameterfremstillingen for randen bliver:

Den indadgående retningsafledte bliver:


Side 19 af 21

Ved at se på hvornår andenkoordinaten af solvektorfeltet og hastighedsvektoren for randen er

identiske løses ligningen − cos(𝑡) = −1

9, som har løsningen 𝑡 = arccos (

1

9) = 1,459455312.

Energioptaget for denne del af dagen kan derfor beregnes som:

Det ses altså at dette bidrag er næsten lig det integral hvor der ikke blev taget højde for at toppen

skygger. Dette skyldes at bygningen er så forholdsvis høj. Når toppen begynder at skygge ændres

grænserne for u. Det antages forsimplet at grænsen varierer lineært som funktion af tiden t:

Det ses altså at summen af de to bidrag giver næsten det helt samme som situationen, hvor der ikke

er regnet med skygge. Årsagen er, at når solvektorfeltet er parallelt med den indadrettede

normalvektor, så forekommer der det væsentligste solenergibidrag.

For en bygning af denne størrelse har det derfor ikke den store betydning om der regnes med

skygge eller ej. Det samme resultat vil også være gældende for flade 4, men her vil der være en

smule mere variation i resultatet, eftersom fladen selv fra starten af dagen vil skygge lidt for sig

selv, og senere vil toppen skygge ligesom for flade 2.

I det store og hele er der nu blevet opstillet nogle beregningsmetoder til beregning af solinfaldet på

den opstillede parametrisering af den komplekse geometri. Denne opgave har dog til opgave kun at

belyse problem stillingen relativ simpel på grund af den begrænsede tid, men der er mulighed for

videre arbejde, eftersom beregningsmetoden som er blevet benyttet i denne opgave kun kan

beskrive det tilnærmelsesvise solenergibidrag.

Det skal dog vise sig at for lukkede konvekse solfangere gælder der også, at solenergi bidraget kan

beregnes som arealet af den skygge som geometrien kaster. Dette kan i nogle tilfælde være en

nemmere måde at regne det totale solenergibidrag, men eftersom den behandlede geometri i denne

opgave består af flere geometrier er der fordele i at benytte metoden som er benyttet i denne

opgave.9

9 Energioptag i buede solfangere s.13


Side 20 af 21

Konklusion

Foreliggende opgave har beskæftiget sig med drejede tårne som Turning Torso i Malmö og Cayan

Tower i Dubai. Det er tårne som er med til sætte en markering hos de respektive skylines, og deres

alternative facader er noget som vinder mere og mere frem efterhånden som bygninger skal give

noget tilbage til dets omgivelser og ikke kun brugerne inde i bygningen. Tårnene er herefter blevet

parametriseret for hver af de fire facadesider som retlinjet flader, som er 20 m bred og 180 m høj,

samt en parametrisering for henholdsvis top og bund. Parametriseringen ligner kun med god

tilnærmelse, da de to tårne ikke er helt ens i udformning, hvor Cayan Tower har en mere simpel

geometri end Turning Torso.

Ud fra parametriseringen er facaden parametriseret ved σ1 undersøgt nærmere matematisk. Første

fundamentalform og anden fundamentalform er de første beregnede udtryk, da de er grundlag for

videre beregninger af forskellige krumninger. Gauss-krumningen blev bestemt herudfra og ved det

tilhørende plot ses at den er mindre end nul. Her gælder det særlige at Gauss-krumningen altid er

mindre end eller lig med nul for retlinjet flader. Middelkrumningen blev også bestemt, hvor det ud

fra det tilhørende plot kan ses, at den er nul i toppen og bunden af facaden og størst på midten af

facaden. Det betyder størst krumning på midten af facaden og ingen krumning i top og bund.

Hovedkrumningerne blev fundet ved egenværdierne i Weingarten-matricen. De er ens med modsat

fortegn, hvilket betyder at minimum- og maksimum bøjningen af facaden i et givet punkt er lige

store. En kurve γ, der følger facadeparametriseringen, er ligeledes blevet parametriseret, hvorudfra

normalkrumning og geodætisk krumning er bestemt. De er begge nul, hvilket for den geodætiske

krumning betyder at γ er en ret linje. Det viser desuden de tilhørende plots.

Ud fra parametriseringen er der blevet foretaget en undersøgelse af lysindfaldet på den opstillede

parametrisering ud fra nogle simple antagelser. Ved anvendelse af teorien omkring ”Flux” fra Mat

1 er den totale solenergi for en hel dag, blevet beregnet ud fra antagelsen om at bygningen ikke

skygger for sig selv. Denne beregning er naturligvis ikke helt korrekt eftersom bygningen jo

skygger for sig selv afhængig af tidspunktet på dagen. Der blev derfor foretaget endnu en analyse af

den ene parametriserede side, for at undersøge skyggens indvirkning på den totale solenergi. Her

blev det klart at grundet bygningens højde havde det ikke den store betydning. Den totale solenergi

er derfor i denne opgave blevet beregnet ud fra en metode, som tilnærmelsesvis beskriver den

korrekte totale solenergi, som kan samles op på en dag.


Side 21 af 21

Litteraturliste

Bøger:

Pressley, A.: Elementary Differential Geometry, Springer, 2012.

Internetsider:

01005 Matematik besøgt d. 15.5.2015

http://01005.mat.dtu.dk/materialer/enoter/afsnit/NUID42-tn26/

Energioptag i buede solfangere besøgt d. 16.5.2015

http://www.dtu.dk/~/media/DTUdk/Samarbejde/Gymnasier%20og%20skoler/Billeder%20til%20we

b/L%C3%A6rerkurser/Tidligere%20kurser/LMFK%20%C3%A5rskursus%202012/LMFK%20wor

kshops%20-

%20pr%C3%A6sentationer%20med%20mere/Energioptag%20i%20buede%20solfangere%20-

%20undervisningsmateriale.ashx?la=da

Documents

Turning-Torso Peter Wulff Harslund Rasmus Nøddegaard Hansen