Turbulencia Reynols

8/20/2019 Turbulencia Reynols

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Caṕıtulo 6

Turbulencia

Una de las complicaciones mas importantes en el estudio de ujo de u-idos surge del hecho de que a partir de cierto n´ umero de Reynolds criticola estructura del ujo deja de ser laminar. En otras palabras, un ujo no

puede ser laminar para altos n´umeros de Reynolds. El n úmero de Reynoldsrepresenta una medida de la magnitud relativa de los esfuerzos inerciales conrespecto a los efectos viscosos.

Podemos decir, entonces, que si en ujo los esfuerzos inerciales dominanentonces el ujo no puede ser laminar. La perdida de laminaridad la llamamossimplemente turbulencia . La turbulencia aparece porque los ujos son, engeneral, inestables bajo perturbaciones peque˜ nas si los esfuerzos viscosos sonmas pequeños que los inerciales.

La gran mayoŕıa de los ujos en ingenierı́a son turbulentos.En este caṕıtulo daremos una descripci´ on f́ısica de la turbulencia desar-

rollada. También se discutir´ a la transici ón de ujo laminar a turbulento.MMFM:Bondary layers:instability, transition and turbulence

6.1. Introducci´ on

Se llama turbulencia al estado de un ujo que se caracteriza por su natu-raleza uctuante y aparentemente aleatoria. Es el resultado de la perdida deestabilidad de un ujo laminar.

Los ujos laminares est án caracterizados por el hecho de que las part́ıculasde uido se mueven en capas o láminas. Las part́ıculas que est´ an en cierta

lámina, permanecen en ella. No pueden cambiar de capa.

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146 CAP ÍTULO 6. TURBULENCIA

Flujo laminar

Re < 4000

Flujo turbulento

Re > 4000

Para el caso de un ujo con n úmero de Reynolds mas alto que un ciertonúmero de Reynolds cŕıtico, el movimiento de las part́ıculas se vuelve mastridimensional y agitado. Las capas de uido se intersectan y se mezclan;además, cambian como funci ón del tiempo de forma aparentemente aleatoria.Es dif́ıcil, por esto, describir matem´ aticamente a un ujo turbulento.

6.2. Experimento de Reynolds

Una de las primeras personas en identicar la transici´ on de un ujo lam-inar a un ujo turbulento fue Oswald Reynolds en (1883). Su experimento,ilustrado en la gura, consisti´o en inyectar tinta en un ujo de un liquidoen una tubeŕıa. De esta manera fue capaz de observar que a medida que lavelocidad del ujo aumentaba, el movimiento del uido en el seno del lı́quidose volv́ıa cada vez mas agitado e irregular. Reynolds observ´ o que cuando larelación adimensional UDρ/µ del ujo permanećıa por debajo de 2000, elujo era laminar. Esta relaci´on adimensional es lo que ahora se conoce comonúmero de Reynolds

Consideramos, por ejemplo, la medici ón de la velocidad en un punto joen medio de canal. Para un ujo laminar uno esperaŕıa medir una velocidadconstante en dicho punto (ver gura).

Para un ujo con un n úmero de Reynolds mucho mayor a 2000, la medi-ción de la velocidad en el mismo punto cambia considerablemente. Puedeobservarse que la magnitud del vector velocidad uct´ ua alrededor de un val-or medio.

Para ujos con n úmeros de Reynolds ligeramente superiores a 2000, lamedición se caracteriza por peŕıodos breves de ujo laminar alternados con

peŕıodos turbulentos. Esto indica que la transici´ on de un ujo laminar a un


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u

R

Medición de v

1000 < Ru

Reu


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ujo turbulento no es abrupta; la transici´ on es progresiva. A este régimenintermedio se le denomina como de transición.

6.3. Descripci´ on f́ısica de la turbulencia

La turbulencia desarrollada puede describirse f́ısicamente por las sigu-ientes caracterı́sticas.

Naturaleza uctuante. Tanto la presi´ on como la velocidad uct úanalrededor de un valor medio. Las uctuaciones son además de natu-raleza tridimensional.

Aparici ón de remolinos. Las capas de uido est án acomodadas en es-tructuras coherentes llamadas remolinos o v´ ortices. Los vórtices tienenuna amplia distribución de tama ños, que van desde la dimensi ón del

ujo (tama ño del contenedor) hasta el tama˜ no en el cual se disipa elmovimiento bajo la acci ón de la viscosidad (escala de Kolmogorov).

Fluctuaciones pseudo-aleatorias. Aunque a simple vista, la naturalezade las uctuaciones de velocidad y presi ón parezcan aleatorias, en re-alidad estas se distribuyen de una forma caracteŕıstica no enteramenteal azar.


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6.4. ESTABILIDAD Y ORIGEN DE LA TURBULENCIA 149

Mantenimiento aut´ onomo. Un ujo turbulento puede mantenerse tur-bulento a si mismo. Los remolinos grandes generan remolinos peque ños.

Disipación. Puesto que el ujo es aut ónomo, la ruptura sucesiva devórtices a escalas más pequeñas, llevar á eventualmente a la generaciónde vórtices del tama ño de la escala de Kolmogorov. Una vez alcanzadoeste tama ño, el movimiento se disipa por el efecto de la viscosidad. Enotras, palabras un ujo turbulento decaer´ a progresivamente a menosque exista un mecanismo de entrada de enerǵıa.

Mezclado. El hecho de que el ujo turbulento sea uctuante hace quela difusión de calor, masa y momentum sean mucho mas efectivos quela difusión molecular.

6.4. Estabilidad y origen de la turbulencia

Los ujos laminares, en un punto cŕıtico en el tiempo y el espacio, sevuelven inestables bajo perturbaciones peque˜ nas.

Estable Inestable Neutro

Se dice que un sistema es inestable cuando al someterlo a una pequeña,

ésta se amplica. Estas perturbaciones, o imperfecciones, surgen de la rugosi-dad, el ruido ac ústico, las vibraciones, etc.

6.4.1. Teoŕıa de la estabilidad

Este an álisis, llamado de perturbación, consiste en añadir matemática-mente una peque ña perturbación a las variables de ujo (velocidad y presi ón).Las variables perturbadas se sustituyen en las ecuaciones de conservaci ón, lascuales se resuelven. El objetivo es averiguar si las soluciones que se encuen-tran son estables, es decir, si crecen o no como funci ón del tiempo. Este tipode análisis se puede emplear para analizar la estabilidad de cualquier sistema,

no solo de mecánica de uidos.


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Consideremos las ecuaciones de conservaci ón para un ujo newtoniano,incompresible:

∂u∂x

+ ∂v∂y

= 0

ρDvDt

= ρ f − ∇ P + µ∇ 2 v

Supongamos que tenemos un ujo unidireccional, v = ( u, 0, bidimensionaly que la presión es P = P o. Supongamos también que las soluciones para lavelocidad y presíon tienen las siguientes relaciones funcionales:

u = U (y, t )P = P o(y, t )

Procedamos a a ñadir una peque ña perturbaci´on a las tres componentesde velocidad y presi ón:

u = U + ûv = v̂P = P o + ̂p

Podemos sustituir estas expresiones de nuevo en la ecuaciones de Navier-Stokes.

Por ejemplo en la direcci ón x, tenemos:

∂u∂t

+ u∂u∂x

+ v∂u∂y

= −1ρ

∂P ∂x

+ ν ∂ 2 u∂x 2

+ ∂ 2 u∂y 2

entonces

∂U ∂t

+ ∂ ̂u∂t

+ ( U + û)∂ (U + û)

∂x + ( v̂)

∂ (U + û)∂y

=

− 1

ρ∂ (P o + ̂p)

∂x + ν

∂ 2 (U + û)∂x 2

+ ∂ 2 (U + û)

∂y 2

A la ecuación anterior se le puede restar la ecuaci´on de conservación demomentum para las variables no perturbadas. Aśı, encontramos que

∂ ̂u∂t + U

∂ ̂u∂x + û

∂U ∂x + v̂

∂U ∂y + v̂

∂ ̂u∂y = −

1ρ

∂ ̂ p∂x + ν ∇

2

û


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6.4. ESTABILIDAD Y ORIGEN DE LA TURBULENCIA 151

Si suponemos que û U y que v̂ U , entonces podemos tambiéndespreciar los productos û y v̂.

Más aun podemos suponer que las perturbaciones (ˆu, v̂, ˆ p) tienen soluci ónde la forma

(û, v̂, ˆ p) = [ f (y), g(y), h(y)] exp[iα (kx − ct)]

Sustituyendo en la ecuaci´on de conservación, tenemos:

iαcf + Uiαkf = ν ((iαk )2 f + f )

entoncesf − (αk )2 f − iα

c + kν

f = 0

Esta es la ecuaci ón de Orr-Sommerfeld, en su versíon simplicada. Estaecuación diferencial ordinaria se puede resolver suponiendo algunas condi-ciones de frontera y valores de los par ámetros k,c,α, ν . La solución ecuación

predice que la solución laminar estacionaria se vuelve inestable para ciertovalor del número de Reynolds del ujo.

ReRe crit

Regióninestable

Regiónestable

6.4.2. Desarrollo de la turbulencia

La turbulencia no aparece de manera s´ ubita en un ujo. Para que éstase manieste en su forma completamente desarrollada deben pasar variasetapas.

Consideremos la capa ĺımite sobre una placa plana. Ver gura.


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Conforme se avanza en la direcci ón longitudinal de la placa, va creciendoel valor de Rex , por lo que podemos ver como se desarrolla la turbulenciadesde el ujo laminar.

1. Cerca del punto donde el ujo encuentra a la placa se desarrolla unacapa ĺımite laminar ordinaria, puesto que el este primer tramo el Rexno es muy grande.

2. Cuando el valor de Rex alcanza un cierto valor cŕıtico, los primerosindicios de la pérdida de estabilidad se maniestan: aparecen las on-das T-S (Tollminen-Schlichting), que son perturbaciones en la direcci´ on

perpendicular al ujo. Estas son ondas, pero aun son laminares.


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6.5. TURBULENCIA DESARROLLADA 153

3. Un poco mas adelante, aumentando un poco el Rex , estas ondas transver-sales comienzan a perder estabilidad y pierden su forma transversal. Enesta etapa comienza a aparecer un componente de la vorticidad en ladirección del ujo.

4. Aumentando un poco m ás el Rex , el siguiente fenómeno que se observaes la desaparici ón de la estructura unidireccional del ujo. Se dice quetanto la velocidad y la vorticidad son tridimensionales.

5. Aguas abajo sobre la placa comienza a aparecer paquetes de turbulen-cia completamente desarrollada. Éstos paquetes, o manchas, crecen entama ño y frecuencia de aparici ón.

6. Finalmente, los paquetes se unen y se crea la zona de turbulencia com-pletamente desarrollada.

6.5. Turbulencia desarrolladaPuesto que el ujo turbulento es muy complejo, resulta difı́cil describirlo

con el tipo de funciones matem áticas utilizadas en el ujo laminar (ujotridimensional y no estacionario).

Por esto para el estudio y descripci´on de la turbulencia se utilizan her-ramientas estad́ısticas para describirlo. En particular, se usa el concepto depromedio temporal. Cualquier variable, uctuante o no, puede describirse através de su promedio en el tiempo.

6.5.1. Descomposici´ on de ReynoldsLa descomposicíon de Reynolds consiste en separar a cualquier variable

en dos componentes, una estacionaria y otra uctuante. Por ejemplo si con-sideramos la medici ón de la velocidad en el centro de un canal cuyo ujo esturbulento, podemos esperar encontrar una medici´ on como la mostrada enla gura.

La velocidad instant´anea de la velocidad en este punto se puede describircomo

u(t) = u + u (t)

donde u es el promedio temporal y u es la componente uctuante de la

velocidad.


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u

t

u

Promedio temporal

Si consideramos una variable cualquiera f , su promedio temporal estadenido como:

F = 1T

to + T

tof (t)dt

Entonces, podemos escribir que

f = f + f

Podemos adem ás demostrar que

f = 0

y quef = f

Estas son algunas reglas de la operaci ón promedio temporal:1. f g = 0

2. f ± g = f ± g

3. f · g = f · g + f g

4. f · g = f · g

5. ∂f ∂s = ∂f ∂s

6. fds = fds


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6.6. ECUACIONES DE CONSERVACI ÓN 155

6.6. Ecuaciones de conservaci´ on para un ujoturbulento

6.6.1. Conservací on de masa

Consideremos, primero, la ecuación de conservación de masa para un ujoincompresible, para el caso bidimensional en coordenadas rectangulares:

∇ v = ∂u∂x

+ ∂v∂y

= 0

Consideremos ahora que las variables de ujo son turbulentas y quepueden descomponerse como:

u = u + uv = v + v

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación de conservación de masa,tenemos,

∂ (u + u )∂x

+ ∂ (v + v )

∂y = 0

Aplicando la operacíon promedio temporal a toda la ecuación tenemos:

∂u∂x

+ ∂u∂x

+ ∂v∂y

+ ∂v∂y

= 0

Aplicando las reglas de la operaci ón promedio temporal sabemos que

∂u∂x

= 0

y que∂v∂y

= 0

Por lo tanto∂u∂x

+ ∂v∂y

= 0

por lo que podemos decir que aún el ujo turbulento, la ecuación de conser-

vación de masa se satisface en promedio.


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Además, si a la expresión anterior le restamos la ecuación de conservación,antes de promediar en el tiempo, podemos deducir que

∂u∂x

+ ∂v∂y

= 0

entonces, podemos también decir que de forma instant´ anea, las uctuacionesde velocidad también satisfacen la ecuaci´ on de conservación.

6.6.2. Conservaci´ on de momentum

De la misma manera que para la ecuación de conservación de masa, pode-mos sustituir la presión y las velocidades, descompuestas en parte media yuctuante, en las ecuaciones de Navier Stokes. Consideremos, por simplici-dad, únicamente la componente x de las ecuaciones incompresibles bidimen-sionales. Tenemos entonces,

∂ (u + u )∂t

+ ( u + u ) ∂ (u + u )∂x

+ ( v + v ) ∂ (u + u )∂y

=

− 1

ρ∂ (P + P )

∂x + ν

∂ 2 (u + u )∂x 2

+ ∂ 2 (u + u )

∂y2

Desarrollando todos los productos, y aplicando la operaci´ on promediotemporal a toda la ecuación, tenemos:

∂u∂t

+ u∂u∂x

+ u∂u∂x

+ v∂u∂y

+ v∂u∂x

= −1ρ

∂P ∂x

+ ν ∂ 2 u∂x 2

+ ∂ 2 u∂y2

Los términos u ∂u∂x y v ∂u∂x pueden reescribirse de la siguiente manera

u∂u∂x

= ∂ (u )2

∂x − u

∂u∂x

v∂u∂x

= ∂ (u v )

∂x − u

∂v∂x

entonces, simplicando las operaciones promedio temporal, la ecuaci´ on deconservaci ón de momentum puede escribirse como:

∂u

∂t + u

∂u

∂x + v

∂u

∂y +

∂ (u )2

∂x − u

∂u

∂x +

∂v

∂x +

∂ (u v )

∂x = −1

ρ

∂P

∂x + ν

∂ 2 u

∂x 2 +

∂ 2 u

∂y 2


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Utilizando la ecuaci ón de conservación de masa, podemos demostrar queel quinto término del lado izquierdo es igual a cero. Entonces, podemos es-cribir

ρDuDt

= −∇ P + µ∇ 2 u − ρ ∂ ∂x

(u 2 ) + ∂ ∂y

(u v )

La ecuación anterior es muy similar a la ecuaci ón de Navier Stokes convariables promediadas en el tiempo, excepto por la inclusi´ on de dos términosextra en el lado derecho de la ecuaci ón: ρ ∂ ∂x (u

2 ) y ρ ∂ ∂y (u v ). Estos compo-nentes adicionales son los esfuerzos turbulentos .

Si, de forma análoga, hacemos la deducci ón de la conservación de mo-mentum en la direcci ón y, encontraremos:

ρDvDt

= −∇ P + µ∇ 2 v − ρ ∂ ∂x

(u v ) + ∂ ∂y

(v 2 )

Podemos entonces hablar de un tensor de esfuerzos turbulentos:

Σ t = − ρ∇ uiu j = ρu u u v u wv u v v v ww u w v w w

Estos esfuerzos extra tienen implicaciones f́ısicas importantes:

Los movimientos no estacionarios u , v , w provocan un ujo adicionalde momentum.

Se pueden interpretar como esfuerzos. A diferencia de los esfuerzosviscosos, los esfuerzos turbulentos dependen de la naturaleza del ujoy no de la naturaleza del uido.

En mucho ujos turbulentos, el tama˜ no de los esfuerzos turbulentospuede ser mas grande que los esfuerzos viscosos.

Al aparecer nuevas inc ógnitas en las ecuaciones de conservaci ón, nece-sitamos mas ecuaciones para cerrar el sistema. Necesitamos un relaci ónconstitutiva turbulenta.


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(a) Estela turbulenta detras de un proyectil.Técnica de shadowgrafı́a

(b) Desarrollo de turbulencia. Flujo sobre unaplaca. Visualizaci´on de ĺıneas materiales pormedio de generación de burbujas de hidr´ ogeno.

(c) Capa ĺımite turbulenta. Visualizaci´ on porhumo.


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Figura 6.1: Chorro turbulento. Visualizaci´ on por tinta ourescente.


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6.6.3. Modelos emṕıricos para turbulencia

Es claro que la aparici ón de nuevos términos en las ecuaciones de con-servación implica que debemos tener mas ecuaciones. Necesitamos, de hecho,una ecuaci´ on constitutiva para relacionar los esfuerzos turbulentos con otrasvariables del ujo.

La teoŕıa de ujos turbulentos esta a´ un en desarrollo. Aún no existenmodelos anaĺıticos precisos que estén ampliamente aceptados. Por esto, elmodelado de los esfuerzos turbulentos se hace de forma emṕırica.

Aqúı se presentan algunos de los modelos m´as comúnmente usados:

1. Viscosidad Eddy o de remolino Este modelo considera reemplazar losesfuerzos turbulentos por un esfuerzo tipo viscoso, utilizando una vis-cosidad turbulenta :

− ρu v = ε∂u∂y

donde ε es la viscosidad de remolino.

2. Distancia de mezcla de PrandtlSupongamos que la distancia t́ıpica de mezcla (o cutuaci´ on turbu-lenta) es L. Ésta distancia se extiende desde la pared hasta donde elgradiente de velocidades es grande. Ası́ podemos decir que,

u = L∂u∂y

v = L∂u∂y

Entonces− ρu v = ρL2

∂u∂y

2

pero sabemos que en y = 0, la distancia de mezcla es cero L = 0,entonces podŕıamos decir que

L = Ky

Por lo tanto

− ρu v = ρK 2 y2∂u∂y

2

donde K es una constante universal (K = 0,4).


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6.7. CAPA LIMITE TURBULENTA 161

3. Hipótesis de similitud de Von Karman Esta hip´ otesis propone (a travésde argumentos mas complicados) que:

− ρu v = ρK 2∂u∂y

4

∂ 2 u∂y 2

2

6.7. Capa limite turbulenta

Consideremos, una vez mas el ujo sobre una placa. De la misma maneracomo se hizo el desarrollo de capa ĺımite laminar, debemos hacer ciertassuposiciones para lograr simplicar las ecuaciones de ujo turbulento.

Consideremos las siguientes suposiciones:

δ (x) x

v u∂ ∂x

∂

∂yw = 0∂ ∂z

= 0

w 2 = 0 pero ∂w 2

∂x = 0

Ası́, la ecuaci ón de conservación de masa es

∂u∂x + ∂v∂y = 0

Considerando un ujo estacionario en promedio, la ecuaci´ on de momen-tum en x se reduce a

u∂u∂x

+ v∂u∂y

= U o∂U o∂x

+ 1ρ

∂τ ∂y

donde U o(x) es la corriente por fuera de la capa ĺımite y τ es el esfuerzo totaldado por

τ = µ∂u∂y − ρu v


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La ecuación de momentum en y es

0 = −∂P ∂y

− ρ∂v 2

∂y

Por lo tanto, para el caso de un capa ĺımite turbulenta, no podemos decirque la presión dentro y fuera de la capa ĺımite es la misma. Podemos decirque

P = P o(x) − ρv 2

Sin embargo, esta correcci ón es pequeña.De igual manera que para el caso de capa ĺımite laminar, debemos con-

siderar las siguientes condiciones de frontera:

u(x, 0) = v(x, 0) = 0

u(x, δ ) = U o(x)

6.7.1. Estructura de un ujo turbulento

En general, para una capa lı́mite turbulenta podemos analizar su estruc-tura en diferentes regiones, dependiendo de la cercańıa con la pared.

Podemos diferenciar el comportamiento de la capa ĺımite turbulenta entres regiones distintas:

Capa interna.Es la capa que esta en contacto con la pared. Es ésta, los esfuerzosviscosos dominan.

Sabemos que en la pared u, v = 0, y también podemos argumentar quemuy cerca de la pared u = v ≈ 0, pues no hay espacio para que eluido se mueva en forma uctuante. Por lo tanto, cerca de la paredρu v = 0, no hay esfuerzos turbulentos.

Entonces, existe un ujo laminar en la vecindad de la pared:

u int = f (τ w ,ρ ,µ,y)

Capa externa.A cierta distancia de la pared, los esfuerzos turbulentos dominan. Pero,

puesto que el efecto de la pared es reducir la velocidad de U o a u(y),


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entonces la estructura de ésta capa debe de ser funci´ on de δ, τ w , ∂P o/∂x ,pero independiente de µ:

U o − uext = f (τ w ,ρ,y,δ,∂P o/∂x )

Capa intermedia.

En esta regi ón ambos efectos tienen importancia. Las regiones externae interna deben empatarse en esta regi´ on:

u int = uext

6.7.2. Flujo de Couette turbulento

Consideremos un ujo de corte simple, para el caso en que el n úmero deReynolds es mayor que el cŕıtico. Es decir, que el ujo sea completamenteturbulento.

y

x

H

UPared movil

Pared fija

Perfil turbulentou(y)=f(y)

Perfil laminar

Una de las ventajas del an´alisis de este ujo simple es que el esfuerzocortante es constante a través de y.

τ xy = τ v + τ t

donde τ v = µ∂u∂y y τ t = ρu v .Las ecuación de conservación para este ujo son entonces,

∂u∂x

+ ∂v∂y

= 0

ρ u∂u∂x

+ v∂u∂y

= ∂ ∂y

(τ v + τ t )

Consideremos el uso de variables adimensionales:


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y: distancia a la pared, [ L].

ρ: densidad, [ML − 1 T − 2 ]

u(y): velocidad media, [LT − 1 ]

τ w: esfuerzo en la pared, [ML− 1

T − 2

]ν : viscosidad cinemática, L2 T − 1

Para lograr uniformidad dimensional, las variables ρ yτ w deben de estaren em mismo (ambas tienen M).

Podemos formar un grupo con unidades de velocidad, y aśı usarlo comovelocidad de referencia:

uτ =τ wρ

1 / 2

entonces podemos denir una velocidad adimensional como

u∗ = uuτ

Se puede agrupar otro conjunto de variables con unidades de distancia:

Lτ = ν ρτ wentonces podemos denir

y∗ = y1ν τ wρ

Capa interna

Sabemos que

τ w = µ∂u∂y

Dividiendo entre ρ y suponiendo que ∂u/∂y ≈ u/y , tenemos

τ wρ

= µρ

uy

entonces

u2

τ = ν uy


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Re-arreglando términos podemos escribir:

u∗ = uuτ

= uτ y

ν =

τ wρ

1 / 2 yν

Por lo tantou∗ = y∗

De forma experimental se ha comprobado que la capa interna se extiendedesde la pared hasta y∗ ≈ 5. Entonces podemos calcular el espesor de la capainterna, δ CI ,

uτ δ CI ν

= 5

entoncesδ CI = 5 ν ρτ w

Esto representa aproximadamente 0.002 δ , espesor de la capa ĺımite.

Capa externa

Sabemos que el esfuerzo turbulento domina sobre el esfuerzo viscoso. En-tonces

τ = − ρu v

Debemos considerar una de los modelos de turbulencia. Por ejemplo pode-mos usar el modelo de distancia de mezcla de Prandtl:

τ ρ = − u v = K

2

y2 ∂u

∂y

2

Sabemos adem ás que en un ujo de Couette, el esfuerzo cortante es con-stante en todo el ujo: τ = τ w , para cualquier y. Entonces

τ ρ

= τ w

ρ = u2τ = K

2 y2∂u∂y

2

Simplicando tenemos

uτ = Ky

∂u

∂y


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Esta ecuaci ón se puede integrar, dando como resultado

u = uτ K

ln y + C 1

Escribiendo en términos de variables adimensionales tenemos:

u∗ 1K 1

ln y∗ + C 2

De forma emṕırica, se ha encontrado que K 1 = 0,4 Y C 2 =5.0. Esta expresi´onse conoce como ley de la pared .

Capa intermedia

En esta regi ón se deben considerar tanto los esfuerzos viscosos como losturbulentos, por lo tanto en esta regi´ on no se observa un comportamiento nilineal ni logaŕıtmico. Se puede demostrar que

y∗ = u∗ + exp( − KB ) exp(Ku ∗ ) − 1 − Ku ∗ − 12

(Ku ∗ )2 − 16

(Ku ∗ )3


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6.8. CAPA LIMITE, FORMA INTEGRAL 167

6.8. Forma integral de las ecuaciones de capaĺımite para ujos turbulentos

Recordemos la ecuaci ón integral de capa ĺımite (para una placa plana):

τ w(x) = ρU 2o ∂θ∂xdonde θ es el espesor de momentum denido como:

θ = δ

0

uU o

1 − uU o

dy

Si despreciamos la capa interna (muy peque˜ na), podemos utilizar la leyde la pared como perl de velocidad:

u = uτ 1

K ln

yuτ

ν + B

donde B = 5,0 y K = 0 ,41.Entonces, en el borde superior de la capa ĺımite tenemos

U ouτ

= 1K

lnδuτ ν

+ B

El coeciente de fricción es

C f = 2τ wρU 2o

pero τ w /ρ = uτ entonces

C f = 2uτ U o

2

oU ouτ

= 2C f

1 / 2

Además, despejando uτ tenemos

uτ = U oC f 2

1 / 2


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6.8. CAPA LIMITE, FORMA INTEGRAL 169

Ahora, de la denici ón de coeciente de fricción sabemos

τ w = C f 12

ρU 2o

por lo que

τ w = (0 ,02(Reδ)− 1 / 6 ) 12ρU 2o

También sabemos que

τ w = ρU 2o∂θ∂x

Igualando las dos expresiones anteriores tenemos

ρU 2o∂θ∂x

= (0 ,02(Reδ)− 1 / 6 )

12

ρU 2o

Simplicando tenemos

9,72∂δ ∂x = ( Reδ)

− 1 / 6

pero Reδ = δU o/ν , entonces

9,72∂δ ∂x

= (δU oν

)− 1 / 6

por lo que

9,72δ 1 / 6 ∂δ =U oν

− 1 / 6

∂x

Integrando tenemos

67

9,72δ 7 / 6 =U oν

− 1 / 6

x + C

pero C = 0 porque δ = 0 en x = 0.Entonces podemos decir que

Reδ = 0,16Re 6 / 7x

y haciendo rearreglando términos tenemos

δ x =

0,16(Rex )1 / 7


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Es interesante comparar este resultado con el resultado que obtuvimospara capa ĺımite laminar

δ x laminar

∼ 1

(Rex )1 / 2

Podemos entonces re-calcular C f y ponerlo en función de x, en lugar deen función de δ .

C f = 0,0027(Rex )1 / 7

También podŕıamos obtener expresiones para C D y para δ ∗ .

6.9. Flujo turbulento en tubeŕıas

El ujo en tubeŕıas tiene gran importancia pr´ actica. Es posible compararcon la solución exacta para ujo laminar:

ulaminar = (− ∂P/∂z )

4µ (R2 − r 2 )

Si calculamos el coeciente de fricción, C f para el caso laminar tenemos

C f = 2τ wρU

2

C f

ReD

16/Re D

flujo laminar2000 4000

flujo turbulento

experimentos

"teoría"turbulenta

transición

teoríaviscosa


27/28

6.9. FLUJO TURBULENTO EN TUBER ÍAS 171

El ujo laminar se vuelve inestable alrededor de Re = 2000. Entre 2000y 4000 se observa una etapa de transici´on. Para Re > 4000 el ujo es com-pletamente turbulento.

Para un ujo completamente turbulento, la f´ ormula emṕırica de Blasiusnos da

C f = 0,0791Re 1 / 4

que es válida para 4000 < Re D < 105 .Si embargo podemos utilizar en an´alisis sobre capa ĺımite turbulenta visto

en la sección anterior. Podemos decir, en términos generales que el ujodentro de una tubeŕıa es para el caso de un gradiente de presi´ on favorable.

Si el radio de la tuberı́a es a, podemos hacer un cambio de variables paraconsiderar un eje coordenado sobre la pared:

y = a − r

por lo que dy = − dr

Puesto que se desconoce el perl de velocidades podemos calcular, enlugar, una velocidad promedio empleando el ujo volumétrico:

U prom = QA

= 1πa 2

a

0u2πrdr

por lo tanto

U prom = 2a2

0

au(a − y)dy

Si utilizamos la ley de la pared

u∗ 1K 1

ln y∗ + C 2 = 1K 1

ln yuτ

ν + C 2

entonces

U prom = 2a2

0

auτ

1K 1

ln yuτ

ν + C 2 (a − y)dy

Aśı

U prom =

2

a2 K 1 0

a

a

K 1 ln

yuτ ν + C 2 a −

y

K 1 ln

yuτ ν − C 2 y dy


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resolviendo tenemos

U prom = uτ 1K 1

ln au τ

ν + C 2 −

32K 1

Podemos escribir la denici ón de C f como

C f = 2u2τ U 2 prom

por lo tantoC f =

2 1K 1 ln

au τ ν + C 2 −

32 K 1

2

Si denimosReD =

2aU promν

entonces también podemos escribir

C f = 2u2τ ν 2 a Red

2

después de un poco de algebra

au τ ν

= 12 C f 2 ReD

que podemos sustituir en la ecuaci´on para C f :

C f = 2

1K 1 ln

C f 8 ReD + C 2 −

32 K 1

2

la cual es una ecuaci ón impĺıcita que relaciona a C f con ReD . Esta ecuaci ónconcuerda muy bien con la expresi ón emṕırica.

Podemos escribir una expresi´on para el esfuerzo en la pared para un ujoturbulento tal que

τ w ∼ ρ3 / 4 U 7 / 4 prom µ1 / 4 D − 1 / 4

Ésta puede ser comparada com una expresi´ on para ujo laminar

τ w ∼ ρ0 U prom µD− 1

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