Tujuan kehidupan adalah hidup selaras dengan alam(The goal of life is living in agreement with nature.)ZenoMatematikawan bengal pencipta banyak paradoksZeno(490 435 SM)RiwayatZeno dikenal banyak orang karena namanya tercantum pada halaman pertama buku Parmenides karangan Plato. Diperkirakan bahwa saat itu Zeno berumur 40 tahun, sedang Socrates masih remaja, kisaran usia 20 tahun. Dengan mengetahui bahwa Socrates lahir pada 469 SM, maka diperkirakan Zeno lahir pada tahun 490 SM. Disinyalir bahwa Zeno mempunyai hubungan khusus dengan Parmenides. Catatan Plato menyebutkan adanya gosip bahwa mereka saling jatuh cinta saat Zeno masih muda, dan tulisan Zeno tentang paradoks digunakan untuk melindungi filsafat Parmenides dari para pengkritiknya. Semua catatan itu tidak pernah ada dan cerita itu dituturkan oleh tangan kedua. Tulisan Aristoteles yang terdapat pada Simplicius - terbit ribuan tahun setelah Zeno - digunakan sebagai acuan.Zeno dari Elea, lahir pada awal mulainya perang Persia konflik antara Timur dan Barat. Yunani dapat menaklukkan Persia, tapi semua filsuf Yunani tidak pernah berhasil menaklukkan Zeno. Zeno mengemukakan 6 paradoks, teka-teki yang tidak dapat dipecahkan oleh logika filsuf terkemuka Yunani saat itu. Paradoks yang dilontarkan Zeno membingungkan semua filsuf Yunani, namun tidak seorang pun dapat menemukan kesalahan pada logika Zeno. Paradoks ini menjadi sangat termasyur karena terus mengganggu pemikiran para matematikawan; dan baru dapat dipecahkan hampir 2000 tahun kemudian. Dari enam paradoksnya, yang paling terkenal, adalah paradoks lomba lari Achilles dan kura-kura.Latar belakangParmenides menolak faham pluralisme dan realitas dalam berbagai macam perubahan: baginya segala sesuatu tidak dapat dibagi, realitas tidak berubah, dan hal-hal yang tampak dan berbeda hanyalah ilusi belaka, sehingga dapat dibantah dengan argumen/alasan. Tidak perlu disangsikan lagi, faham ini mendapat banyak kritikan tajam.Tanggapan terhadap kritik Zeno memicu sesuatu yang lebih nyata, namun mampu memberi dampak mendalam bagi filsafat Yunani bahkan sampai saat ini. Zeno berusaha menunjukkan bahwa suatu kemustahilan diikuti oleh logika dari pandangan Parmenides. Segala sesuatu dapat menjadi sangat kecil atau menjadi sangat besar. Paradoks ini sebagai bukti kontradiksi atau kemustahilan akibat asumsi-asumsi yang (tampak) masuk akal. Apabila dilihat lebih dalam maka paradoks mengarah kepada target spesifik yaitu menyangkut lebih atau kurang: pandangan orang atau aliran pemikiran tertentu. Zeno lewat paradoks - berusaha menyatakan bahwa alam semesta ini tidak berubah dan tidak bergerak.Mencoba menyingkap siapa yang menjadi target serangan Zeno relatif lebih mudah daripada mencoba memecahkan paradoksnya. Tahun kelahiran Zeno, menunjuk bahwa dunia remajanya dipenuhi dengan pandangan Pythagoras (580 475 SM) dan para pengikutnya (pythagorean). Tampaknya doktrin Pythagorean mau diserang Zeno, meskipun dugaan ini masih terlampau dini untuk disebut karena topik ini masih menjadi ajang perdebatan sampai sekarang.Paradoks Zeno mengungkapkan problem-problem yang tidak dapat diselesaikan oleh semua teknik matematika yang tersedia pada saat itu. Penyelesaian paradoks Zeno baru dimulai pada abad 18 (atau lebih awal dari itu). Paradoks itu mampu merangsang otak-otak kreatif matematikawan dan memberi warna pada sejarah perkembangan matematika.Matematikawan hitamZeno (490 435 SM) dari Alea dan Eudoxus (408 355 SM) dari Cnidus menghadirkan pertentangan dua kubu pemikiran matematika: penghancuran kritikal dan pengembangan kritikal. Pertentangan kedua pemikiran ini layak disebut dengan ajang pertempuran logika antara matematikawan hitam dan matematikawan putih.Duel aliran tidak hanya terjadi pada jaman kuno, matematikawan modern juga mengekor atau menjadi pengikut salah satu idola mereka.Penghancuran kritikal seperti pemikiran Zeno diteruskan oleh Kronecker (1823 1891) dan Brouwer (1881 - 1966), sedangkan pemikiran Eudoxus diteruskan oleh Weierstrass (1815 1897), Dedekind (1831 1916) dan Cantor (1845 1918).Paradoks ZenoAda 4 paradoks Zeno yang terkenal, meskipun yang paling terkenal adalah paradoks kedua, perlombaan lari Archilles dan kura-kura.1. DikhotomiParadoks ini dikenal sebagai dikhotomi karena selalu terjadi pengulangan pembagian menjadi dua. Gerak adalah tidak dimungkinkan, sebab apapun yang terjadi gerak harus mencapai (titik) tengah terlebih dahulu sebelum mencapai (titik) akhir; tapi sebelum mencapai titik tengah terlebih dahulu mencapai seperempat dan seterusnya, suatu ketakterhinggaan. Jadi, gerak tidak akan pernah ada bahkan pada saat untuk memulainya.2. Perlombaan lari Achilles dan kura-kuraAchilles - kesatria pada perang Troya, mitologi Yunani, berlomba lari dengan kura-kura, tetapi Achilles tidak dapat mengalahkan kura-kura yang berjalan lebih dahulu. Untuk memudahkan penjelasan, maka diberikan ilustrasi dengan menggunakan angka pada paradoks ini.Bayangkan: Achilles berlari dengan kecepatan 1 meter per detik, sedangkan kura-kura selalu berjalan dengan kecepatan setengahnya, meter per detik, namun kura-kura mengawali perlombaan dari jarak yang akan ditempuh (misal: jarak tempuh perlombaan 2 km, maka titik awal/start kura-kura berada pada posisi 1 km, sedang Archilles pada titik 0 km). Kura-kura berjalan begitu Achilles mencapai tempatnya. Begitu Achilles mencapai posisi 1 km, kura-kura berada pada posisi 1,5 km; Achilles mencapai posisi 1,5 km, kura-kura mencapai posisi 1,75; Achilles mencapai posisi 1,75 km, kura-kura mencapai posisi 1,875 km. Pertanyaannya adalah kapan Achilles dapat menyusul kura-kura?.3. Anak panahAnak panah bergerak (karena dilepaskan dari busur) pada waktu tertentu, diam maupun tidak diam. Apabila waktu tidak dapat dibagi, panah tidak akan bergerak. Apabila waktu kemudian dibagi. Tetapi waktu juga tersusun dari setiap (satuan) saat. Jadi panah tidak dapat bergerak pada suatu saat tertentu, tidak dapat bergerak pula pada waktu. Oleh karena itu anak panah selalu diam.4. StadionParadoks tentang gerakan urutan orang duduk di dalam stadion. Urutan [AAAA] yang diam diperbandingkan dengan urutan bergerak pada tempat duduk stadion dari dua arah yang berlawanan, [BBBB]: urutan orang yang bergerak ke kiri dan [CCCC]: urutan orang duduk yang bergerak ke kanan.Paradoks tentang stadion ini dapat digambarkan sbb.:AAAA: urutan berhentiBBBB: urutan bergerak ke kiriCCCC: urutan bergerak ke kananSemuanya bergerak dengan kecepatan tetap/sama.

Posisi I Posisi IIA A A A A A A AB B B B B B B BC C C C C C C CPosisi I:Urutan duduk AAAA, BBBB dan CCC terletak rapi, baris dan kolom sama. Gerakan dimulai, dengan kecepatan sama, urutan BBBB dan urutan CCCC bergerak. Urutan B paling kiri melewati 2 orang: C paling kiri dan A paling kiri. Jarak B paling kiri dengan C paling kiri adalah 2 kali jarak B paling kiri dengan A paling kiri, dengan waktu yang sama.Zeno mempertanyakan mengapa dengan waktu yang sama dan kecepatan sama ada perbedaan jarak yang ditempuh?

Pemecahan modernSemua orang tahu bahwa dalam dunia nyata, Achilles pasti dapat menyusul kura-kura, namun dari argumen Zeno, Achilles tidak akan pernah dapat menyusul kura-kura. Para filsuf jaman itu pun tidak mampu membuktikan paradoks tersebut, walaupun mereka tahu bahwa kesimpulan akhirnya adalah salah. Senjata filsuf hanya logika, dan deduksi tidaklah berguna dalam kasus ini. Semua langkah tampaknya masuk akal, dan jika semua prosedur sudah dijalani, bagaimana kesimpulan yang didapat ternyata salah?Mereka terperangah dengan problem tersebut, tetapi tidak memahami akar permasalahan: ketakterhingga (infinite). Hal ini sama dapat terjadi apabila anda membagi sebuah mata uang menjadi 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 dan seterusnya sampai tidak terhingga tetapi hasilnya akhirnya jelas, yaitu: tetap 1 mata uang. Matematikawan modern menyebut fenomena ini dengan istilah limit; angka 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128 dan seterusnya mendekati angka 0 sebagai titik akhir (limit).Angka berurutan dengan pola tertentu sampai tidak mempunyai batas akhir; mereka makin kecil dan bertambah kecil sampai tidak dapat dibedakan lagi. Orang Yunani tidak mampu menangani ketakterhinggaan. Mereka berpikir keras tentang konsep kosong (void) tetapi menolak (angka) 0 sebagai angka. Hal ini pula yang membuat mereka pernah dapat menemukan kalkulus.Dua paradoks tambahanTidak puas dengan empat paradoks yang dilontarkan. Zeno menambahkan dua paradoks lain yang tidak kalah rumitnya.5. Paradoks tentang tempatParadoks ini cukup singkat, sehingga Zeno sulit menjelaskannya. Secara garis besar dapat disederhanakan sbb.: keberadaan segala sesuatu benda (misal: batu) adalah suatu tempat tertentu (misal: meja), sedangkan tempat tertentu itupun (meja) memerlukan suatu tempat (misal: rumah) dan seterusnya sampai ketakterhinggaan.6. Paradoks tentang bulir gandumApabila anda menjatuhkan sebuah karung berisi gandum yang belum dikupas kulitnya akan terdengar suara keras; tetapi suara itu adalah akibat gesekan bulir-bulir gandum dalam karung; akibatnya setiap bagian dari bulir-bulir gandum menimbulkan suara saat jatuh ke tanah. Kemudian pertimbangkanlah menjatuhkan setiap bagian dari bulir gandum itu; kita semua tahu bahwa tidak ada suara yang terdengar.

Zeno boleh mati, tetapi paradok tetap hidupKarena kecerdikan sendiri, Zeno akhirnya menghadapi problem serius. Sekitar tahun 435 SM, dia bersekongkol untuk mengulingkan tirani Elea saat itu, Nearhus. Zeno membantu menyelundupkan senjata dan mendukung pemberontakan. Sialnya, Nearchus mengetahui skenario itu, dan Zeno akhirnya ditangkap. Berharap dapat mengungkap konspirasi itu, Zeno disiksa. Tidak tahan oleh siksaan, Zeno menyuruh para penyiksanya untuk menghentikan siksaan dan dia berjanji akan menyebutkan nama rekan-rekannya.Ketika Nearchus mendekat, Zeno meminta agar tiran itu lebih mendekat lagi karena dia akan menyebutkan nama-nama komplotan rahasia itu langsung di telinga Nearchus. Setelah telinga ada dalam jangkauan, tiba-tiba Zeno menggigit telinga Nearchus. Nearchus menjerit-jerit kesakitan, namun Zeno menolak untuk melepaskan gigitannya. Para penyiksanya hanya dapat melepaskan gigitan Zeno dengan jalan menusuk mati Zeno. Ini adalah akhir hayat, pencipta paradoks atau guru ketakterhinggaan.

SumbangsihJasa Zeno paling besar adalah pengaruhnya bagi filsafat. Sasaran tembak Zeno adalah pluraliti dan gerak sesuatu ditanamkan pada opini-opini geometrikal yang lazim dikenal selain akal sehat, menyerang doktrin-doktrin Pythagorean, ternyata mampu memberi inspirasi para teori relativitas (paradoks keempat) dan fisika quantum. Kenyataannya ruang dan waktu bukanlah struktur matematika utuh (continuum). Alasan bahwa ada cara untuk melestarikan realitas gerak mengingkari bahwa ruang dan waktu terbentuk dari titik-titik dan saat-saat.Paradoks ini sangat terkenal, terutama paradoks Archilles dan kura-kura, kelak dipecahkan oleh Cantor. Hampir seluruh buku matematika mencantumkan nama Zeno pada indeksnya. Paradoks tidak hanya merupakan pertanyaan terhadap matematika abstrak tetapi juga pada realitas fisik. Memperkecil skala seperti halnya paradoks bulir gandum, sampai tidak dapat dibagi memicu orang membedah suatu benda sampai tingkat atom.http://www.mate-mati-kaku.com/matematikawan/zeno.html

Empat Paradoks Zeno7 KomentarPosted bysora9npadaJanuari 28, 2011Di dunia filsafat Yunani Kuno, terdapat satu set teka-teki yang disebutParadoks Zeno. Paradoks ini pertama kali dilontarkan oleh filsufZeno dari Elea, kira-kira pada abad kelima SM.

Zeno dari Elea (490-430 SM)(image credit:Internet Encyclopedia of Philosophy)Sebelum bicara tentang idenya, tentu ada baiknya berkenalan dengan filsufnya dulu. Oleh karena itu kita akan sempatkan membahas tentang Bapak Zeno di atas.* * *Zeno dari Elea adalah seorang filsuf darimazhab pemikiran Eleatik. Ia mengikuti jejak gurunya yang bernamaParmenides, meyakini bahwa semua gerak dan perubahan di dunia bersifat semu. Baik Zeno maupun Parmenides berpendapat bahwa alam semesta aslinya tunggal, diam, dan seragam. Hanyatampak luarnya sajayang mengesankan perbedaan atau perubahan.Meskipun begitu, di masa kini hampir tidak ada karya asli Zeno dan Parmenides yang bertahan. Hanya satu-dua kutipan dari filsuf sepantaran mereka yang memberi petunjuk. Mengenai Zeno sendiri kisahnya agak menyedihkan: dia disebut pernah punya buku berisi 40 buah paradoks, akan tetapi buku itu hilang dicuri orang.Oleh karena itu data mengenai pemikiran Zeno teramat langka. Meskipun demikian kita beruntung: beberapa filsuf, termasukAristoteles, sempat mencatat ide-idenya. Lewat catatan itulah orang dapat membaca berbagai pemikiran Zeno.Nah, termasuk di dalam salinan Aristoteles adalahEmpat Paradoks Zeno.[1]Seperti apa ceritanya, akan segera kita lihat.Inti Pemikiran: Paradoks ZenoDi bagian ini kita akan menampilkan dahulu esensi paradoks Zeno baru di bagian selanjutnya kita analisis.Dalam catatan Aristoteles sebenarnya terdapat enam buah paradoks, akan tetapi kita di sini hanya akan membahas empat.[2]Empat paradoks itu adalah:1. Paradoks DikotomiSebuah benda yang bergerak tidak akan pernah mencapai tujuan.Pertama-tama benda harus menempuh segmen setengah perjalanan. Lalu sesudah itu dia masih harus melewati banyak segmen: seperempat, seperdelapan, seperenambelas, sepertigapuluhdua . . . Sedemikian hingga jumlah perjalanannya menjadi tak-hingga.

Karenamustahil melakukan perjalanan sebanyak tak-hingga, maka benda takkan pernah sampai tujuan.2. Paradoks Achilles dan Kura-kuraAchilles dan Kura-kura melakukan lomba lari, meskipun begitu, kura-kura diizinkan start lebih awal.Agar dapat menyamai kura-kura, Achilles menetapkan sasaran ke tempat kura-kurasaat ini berdiri.Akan tetapi, tiap kali Achilles bergerak maju, kura-kura juga bergerak maju. Ketika Achilles sampai di tempat kura-kura, kura-kura sudah berjalan sedikit ke depan.Lalu Achilles mengejar posisi kura-kurayang sekarang. Akan tetapi setibanya di sana, kura-kura juga sudah maju sedikit lagi.Lalu Achilles mengejar posisi kura-kurayang sekarang. Akan tetapi setibanya di sana, kura-kura juga sudah maju sedikit lagi. Demikian seterusnyaad infinitum.Jadi kesimpulannya: mustahil bagi Achilles untuk bisa menyamai kura-kura dalam balapan.3. Paradoks Anak PanahMisalnya kita membagi waktu sebagai deretan masa-kini. Kemudian kita lepaskan anak panah. Di setiap masa-kini anak panah menduduki posisi tertentu di udara.Oleh karena itu anak panah dapat dikatakan diam sepanjang waktu.4. Paradoks StadionTerdapat tiga buah barisan benda A, B, dan C di lapangan tengah stadion.Barisan A terletak diam di tengah lapangan. Sementara B dan C masing-masing terletak di ujung kiri dan kanan A.Kemudian B dan C bergerak saling mendekati dengan kecepatan yang sama (hendak bersejajar dengan barisan A).

Antara Sebelum dan Sesudah, titik C paling kiri melewati dua buah B, tetapi cuma satu buah A.Berarti waktu C untuk melewati B = setengah waktu untuk melewati A. Padahal A dan B adalah unit yang identik!Mungkinkah setengah waktu = satu waktu?Analisis: Tentang Gerak dan KetakhinggaanSecara umum, ada dua tema yang dominan dalam Paradoks Zeno, yaitugerak dan ketakhinggaan. Sebagaimana sudah disinggung di awal, Zeno menganggap bahwa perubahan di dunia bersifat semu. Pendapat itu kemudian tercermin lewat empat buah paradoks di atas.Dalam paradoks pertama (dikotomi), Zeno menyampaikan bahwa gerak benda antara dua titik bersifat mustahil atau minimal, mengandung aspek filsafat yang misterius. Ada baiknya kalau kita simak lagi paradoksnya di bawah ini.

Setengah, seperempat, seperdelapan, seperenambelasDalam grafik di atas terlihat segmen-segmen perjalanan antara dua titik (A dan B). Yang mengganggu Zeno di sini bukan geraknya, melainkan bagaimanaketakhinggaan bisa begitu merepotkan. Dalam paradoks dikotomi Zeno menyebut: karena segmen yang harus ditempuh berjumlah tak-hingga, maka mustahil dilintasi oleh benda.Ibaratnya begini. Apabila orang hendak berjalan menuju garis finis, maka lintasan jalannya dapat dibagi jadi bagian kecil-kecil. Kemudian supaya bisa lewat, maka bagian kecil-kecil itu harus dijalani satu per satu. Sedemikian hingga pada akhirnya orang sampai garis finis.Akan tetapi problemnya adalah bahwa yang kecil-kecil itu jumlahnyaamat banyak. Malah menurut Zeno: jumlahnya mencapai tak-hingga.Jadi sekarang sudut pandangnya berubah. Kita tahu orang bisa menempuh jarak kecil-kecil, tetapi, bisakah orang menempuh jarak kecil-kecil itutak berhingga kali?:-?Di sinilah akal mengatakan bahwa itu mustahil. Oleh karenanya disebut sebagai paradoks.Zeno sendiri akhirnya menilai bahwa gerak antara dua titik itusemu. Betul bahwa di dunia nyata orang dapat melakukan dengan mudah, akan tetapi bukan tak mungkin itu sebenarnya ilusi.* * *Sekarang kita masuk ke paradoks dua, Achilles dan Kura-kura. Lewat paradoks ini Zeno menyatakan mustahil orang yang telat balapan dapat menyamai lawannya.Ini karena menurut Zeno terdapat sejumlah kemajuan kecil-kecil yang tak mungkin dikejar. Setiap Achilles sampai di tempat kura-kura, kura-kura sudah melajusedikit lagidi depan. Lalu Achilles menyusul lagi, dan sesampainya di situ kura-kura sudah melajusedikit lagi. Pada akhirnya Achilles takkan mampu melewati kura-kura.

Keterangan:t0 melambangkan situasi pada saat pertama;t1 melambangkan situasi pada saat kedua;dan seterusnyaMasalahnya hal itu tidak berlaku di dunia nyata, makanya disebut paradoks. Siapapun yang pernah nonton balap tahu faktanya. Pembalap yangstartbelakangan selalu bisa menyalip lawan di depannya. Memang kadang agak sulit melakukannya, tetapi bukan tidak mungkin.Sebagaimana halnya dengan paradoks pertama, Zeno berusaha menyampaikan kesemuan konsep gerak. Pergerakan yang wajar jadi kacau jika dianalisis secara tak-hingga.* * *Sekarang kita masuk paradoks ketiga, Paradoks Anak Panah. Yang satu ini bahasannya agak berbeda.Dalam paradoks ketiga ini Zeno membicarakan tentang waktu. Zeno berpendapat bahwa situasi gerak dan diam itu sebenarnyamirip dan berhubungan.

Keterangan:t0 melambangkan situasi pada saat pertama;t1 melambangkan situasi pada saat kedua;dan seterusnyaZeno melihat waktu sebagai rangkaian masa-kini yang berkesinambungan. Oleh karena itu sebuah anak panah yang meluncur memiliki berbagai versi masa-kini di perjalanannya. Ada masa-kini sesaat sesudah lepas dari busur; masa-kini setelah beberapa detik di angkasa, dan seterusnya.Problemnya adalah bahwa di tiap masa-kini itu anak panah mendiami tempat yang tetap. Persis seperti kalau direkam kamera video. Di setiapframetampak berbagai kondisi anak panah. Semua tampak diam. Akan tetapi kalau videonya diputar, barulahterkesanbahwa anak panah itu sebenarnya bergerak.Jadi di sini ada problem: bahwa anak panah itu diam sekaligus bergerak.:oPertanyaannya sekarang adalah, apakah gerak itu?Singkat cerita, Zeno menilai bahwa paradoks anak panah menunjukkan kebenaran filsafatnya. Bahwa gerak itu aslinya semu suatu bendaterkesanbergerak cuma oleh persepsi manusia saja.* * *Paradoks terakhir (Paradoks Stadion) adalah yang paling sederhanadan kurang bermutudibandingkan dengan yang lain. Meskipun begitu tetap ada baiknya jika dianalisis barang sedikit.So here goes.Dalam Paradoks Stadion, Zeno mengetengahkan bahwa dua benda yang saling mendekati butuh waktu lebih singkat untuk bisa bersejajar.

Ilustrasi Paradoks StadionSebenarnya ini adalah penerapan darirelativitas Galileoyang diajarkan di bangku SMA kita dulu. Ada yang masih ingat ceritanya? Kalau dua benda bergerak, yang satu bisa dianggap diam, sementara yang satu lagi kecepatannya dijumlahkan.:DNah demikian juga dengan kasus Paradoks Stadion di atas. Ketika B dan C sama-sama bergerak, maka jumlah waktu sebelum mereka saling bertemu juga akan mengecil, sebab kecepatannya saling menjumlahkan. Sementara A (yang tidak bergerak) tidak mendapat keuntungan tersebut. Alhasil terlihat seolah yang satu lebih cepat dari yang lain, padahal sebenarnya tidak.Penutup:Infinity in finitySebagaimana sudah disebut beberapa kali di atas, Zeno adalah filsuf yang tidak percaya pada gerak dan perubahan. Lewat empat paradoks di atas ia ingin memastikan hakikat kenyataan. Sebagai seorang Eleatik Zeno berpendapat bahwa semua gerak benda itu semu. Untuk membuktikan keyakinannya dia lalu merancang serangkaian paradoks.Tentunya kemudian timbul pertanyaan, apakah pendapat Zeno itu benar atau salah? Meskipun begitu soal itu tak akan kita bahas di sini. Biarlah diserahkan pada ahli filsafat sahaja.:mrgreen:Saya pribadi amat tertarik dengan ide Zeno yang menghubungkan kesemuan gerak dengan konsep tak-hingga. Ketika berbicara keseharian yang terbatas, dia menganalisisnya lewat serangkaian kecil-kecil yang berjumlah tak-hingga. Pada akhirnya cara berpikir itu menghasilkan ide baru yang segar kalau tidak boleh dibilang absurd.Jika ada di antara pembaca yang akrab dengan matematika, kemungkinan akanngehbahwa ide-ide Zeno punya bidang pembahasan tersendiri. Keanehan Paradoks #1 dan #2, misalnya, dapat dijelaskan lewatderet konvergen. Dengan menggunakan kalkulus ahli matematika dapat menjumlahkan irisan-irisan kecil yang mendekati tak-hingga. Menariknya: biarpun irisannya tak-hingga, kalau diintegralkan, ternyata jumlahnyafinite. Pendekatan macam ini membantu menjelaskan paradoks buatan Zeno.Bagaimana perkara keseharian yang terbatas(finite)dapat dianalisis menggunakan metode tak-hingga(infinite), nah di situ menariknya.:DSeiring dengan kemajuan ilmu matematika, konsep ketakhinggaan dalam berhingga (infinity in finity) jadi mudah dicerna. Akan tetapi bukan berarti semua masalah Zeno sudah selesai. Masih ada pertanyaan-pertanyaan filosofis yang perlu dijawab.[3][4]Masalahnya sendiri bukan bagaimana matematika menyelesaikan paradoks Zeno, melainkan, bagaimana memahamifilosofidi balik jalan pikiran Zeno. Apa itu gerak? Apa sebenarnya hakikat perubahan? Seperti apakah realitas? Pertanyaan-pertanyaan di atas adalahconcernfilsafat yang di luar jangkauan matematik.Sebagaimana filsuf terkenalBertrand Russellberkomentar secara khusus tentang Zeno,Zenos arguments, in some form, have afforded grounds for almost all theories of space and time and infinity which have been constructed from his time to our own.[5]