Upload
fakhri-hakim
View
19
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
TUGAS BESAR
METODA NUMERIK
OLEH :
KELOMPOK 5
1. DIVA SEPTIAN JONES (1110952049)
2. RAMA DANIL FITRA (1110952017)
3. WAHYU PRABOWO JM (1110951009)
DOSEN :
HERU DIBYO LAKSONO,ST, MT
JURUSAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS ANDALAS
PADANG
2013
1 . AKAR-AKAR PERSAMAAN
A. Metode Tertutup
1 . Metode grafik
Metode yang sederhana untuk memperoleh taksiran atas akar persamaan f
(x) = 0 adalah membuat gambar grafik fungsi dan mengamati di mana ia
memotong sumbu x. Titik ini, yang mewakili nilai x untuk mana f (x) = 0,
memberikan aproksimasi (hampiran) kasar dari akar.
Nilai praktis dari teknik-teknik grafis sangat terbatas karena kurang tepat.
Namun, metode grafis dapat dimanfaakan untuk memperoleh taksiran kasar
dari akar.Taksiran-taksiran ini dapat diterapkan sebagai terkaan
awal untuk metode numerik yang di bahas di sini dan bab berikutnya.
Misalnya perangkat lunak komputer TOOLKIT Elektronik yang menyertai
naskah ini memperbolehkan anda untuk menggambarkan fungsi pada suatu
rentang tertentu. Gambaran ini dapat digunakan untuk memilih terkaan yang
mengurung akar sebelum mengimplementasikan metode numerik. Pilihan
penggambaran akan sangat meningkatkan kegunaan perangkat lunak
tersebut. Selain menyediakan terkaan kasar untuk akar, taksiran grafis
merupakan sarana yang penting untuk memahami sifat-sifat fungsi dan
mengantisipasi kesukarankesukaran yang tersembunyi dari metodemetode
numerik
SOAL
- Tentukan akar-akar nyata dari :
Dengan batas atas = 2, batas bawah = -1, selang 0,25
Penyelesaian : (oleh Wahyu Prabowo)
x = -1
x = -0,75
x = -0,5
x = -0,25
x = 0
x = 0,25
x = 0,5
x = 0,75
x = 1
x = 1,25
x = 1,5
x = 1,75
x = 2
X f(x)
-1
-0,75
-0,5
-0,25
0 4
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
Dengan menggunakan metode grafik, nilai akar-akar yang diperoleh adalah xr = -
0,5 dengan f(x) = 3,0948
- Diketahuisebuahpersamaan dengannilaibatasbawah =
-1 danbatasatas = 1, selang = 0.3
Penyelesaian : (oleh Wahyu Prabowo)
Untuk x = -1
Untuk x= -0.7
Dari nilaidiatasditemukannilaisalahsatuakarakarpersamaan
yaitu,
X = -0.7
2. Metode Bagi Dua
Diketahui f(x) = 0 dan f(x) fungsi kontinu pada interval [a,b]. Anggap
terdapat dua angka x1 dan x2 dimana a<=x1<x2<=b sedemikian hingga f(x1)
dan f(x2) mempunyai tanda yang berbeda. Kondisi ini minimal akan
memberikan satu solusi untuk f(x)=0 pada interval [x1,x2] (Churchhouse,
1981). Jika x1 dan x2 merupakan aproksimasi maka untuk menentukan x3
metode Bisection menggunakan :
x3 = ½(x1 + x2)
Aproksimasi dianggap cukup jika
|f(x3)| <
Jika tidak untuk menentukan aproksimasi berikutnya menggunakan aturan
sebagai berikut:
x4 = ½(x1 + x3) , jika f(x3) f(x1) <0
x4 = ½(x2 + x3) , jika f(x3) f(x2) <0
SOAL
SUMBER: http://teoriMENUM/Metode%20BagiDua%20(Bisection
%20Method)%20_%20Math%20IS%20Beautiful.htm
- Tentukan akar-akar nyata dari :
menggunakan metode bagi dua untuk mendapatkan akar terendah, lakukan
tebakan awal dengan dengan nilai adalah 6%.
Penyelesaian : (oleh Diva Septian Jones)
Iterasi 1.
f(xi) x f(xr)< 0, xr = xu baru maka xr = xu baru
iterasi 2.
f(xi) x f(xr)> 0, xr = xi baru maka xr = xi baru
iterasi 3.
Karena harga εttelah kecil maka dapat dihentikan iterasi dengan mengambil
akarnya:
xr = 0.475
- Diketahui suatu persamaan : (oleh Diva Septian Jones)
Xu = 4
Xi = 3,5
Penyelesaian :
Iterasi 1
Xu = 4
Xi = 3,5
Iterasi 2
f(Xi) = 19(3,5)4 + 26(3,5)3+5(3,5)2+ 21(3,5) + 52 = 4152,68
f(Xr) = 19(3,75)4 + 26(3,75)3+ 5(3,75)2 + 21(3,75) + 52 = 5329,48
f(Xi) .f(Xr) 0
Xi = Xr = 3,75
Xu = Xu = 4
Iterasi 3
f(Xi) = 19(3,75)4 + 26(3,75)3+ 5(3,75)2 + 21(3,75) + 52 = 5329,48
f(Xr) = 19(3,875)4 + 26(3,875)3+ 5(3,875)2 + 21(3,875) + 52 = 6005,18
f(Xi) .f(Xr) 0
Xi = Xr = 3,875
Xu = Xu = 4
Iterasi 4
f(Xi) = 19(3,875)4 + 26(3,875)3+ 5(3,875)2 + 21(3,875) + 52 = 6005,18
f(Xr) = 19(3,9375)4 + 26(3,9375)3+ 5(3,9375)2 + 21(3,9375) + 52 = 6366,47
f(Xi) .f(Xr) 0
Xi = Xr = 3,9375
Xu = Xu = 4
Iterasi 5
f(Xi) = 19(3,9375)4 + 26(3,9375)3+ 5(3,9375)2 + 21(3,9375) + 52 = 6366,47
f(Xr) = 19(3,96875)4 + 26(3,96875)3+ 5(3,96875)2 + 21(3,968375) + 52 =
6553,17
f(Xi) .f(Xr) 0
Xi = Xr = 3,96875
Xu = Xu = 4
Iterasi 6
f(Xi) = 19(3,96875)4 + 26(3,96875)3+ 5(3,96875)2 + 21(3,968375) + 52 =
6553,17
f(Xr) = 19( )4 + 26( )3+ 5( )2 + 21( ) + 52 =
6647,61
f(Xi) .f(Xr) 0
Xi = Xr =
Xu = Xu = 4
Iterasi 7
f(Xi) = 19( )4 + 26( )3+ 5( )2 + 21( ) + 52 =
6647,61
f(Xr) = 19( )4 + 26( )3+ 5( )2 + 21( ) + 52 = 6694,75
f(Xi) .f(Xr) 0
Xi = Xr = 3,992
Xu = Xu = 4
Akar dari persamaan tersebut adalah : Xr = 3,996
3.Metode Posisi Palsu
Pada metode Bisection konvergensi akan dicapai dengan jumlah iterasi
yang besar. Untuk itu metode False Pisition memberikan metode untuk
mencari aproksimasi berikutnya dari dua nilai awal yang diketahui yakni:
x3=x1 f ( x2 )−x2 f ( x1)
f ( x2 )−f ( x1)
Sedangkan untuk menentukan x4 digunakan menggunakan rumusan yang
sama namun x1 dan x2 diganti dengan :
x3 dan x1 jika f(x3) f(x1) <0
x3 dan x2 jika f(x3) f(x2) <0
SOAL
- Tentukan akar – akar nyata dari dengan menggunakan
metode posisi palsu dengan
Penyelesaian : (oleh Rama Danil Fitra)
Iterasi 1
maka
Iterasi 2
maka
Sehingga akar f(x) adalah 0.3885.
- Diketahui persamaan :
Xi = 1
Xu = 2,5
ε = 0.5 %
Penyelesaian : (oleh Rama Danil Fitra)
Iterasi 1
Xi = 1
Xu = 2,5
Iterasi 2
f(Xi) .f(Xr) 0
Xi = Xr = 1,74
Xu = Xu = 2,5
Iterasi 3
f(Xi) .f(Xr) 0
Xi = Xr = 1,766
Xu = Xu = 2,5
Iterasi 4
f(Xi) .f(Xr) < 0
Xi = Xi = 1,766
Xu = Xr = 1,777
Iterasi 5
f(Xi) .f(Xr) < 0
Xi = Xi = 1,766
Xu = Xr = 1,7675
-
B. Metode Terbuka
1. Metode Satu Titik Sederhana
Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan
sebagian x yang lain sehingga diperoleh : x = g(x).dikenal juga sebagai
metode x = g(x)Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan
dalam bentuk x(n+1)=g(xn) Dimana n=0,1,2,3,....
SOAL
- Diketahui fungsi yaitu . Tentukanlah akar
riil dari persamaan tersebut dengan metode iterasi satu titik sederhana,
dimana nilai minimum adalah 5%
Penyelesaian: (oleh Wahyu Prabowo)
Iterasi pertama
Iterasi Kedua
Iterasi Ketiga
Iterasi Keempat
- Tentukan akar-akar persamaan dari dengan
menggunakan metode iterasi satu titik sederhana. Dimana diketahui x0
= 0 dan ε = 0,5 %
Penyelesaian : (oleh Wahyu Prabowo)
Iterasi 1 : x = 0
Iterasi 2 : x= 0,333
Iterasi 3 : x= 0,1711
Iterasi ke 4 : x = 0,236
Iterasi ke 5 : x = 0,2076
Iterai ke 6 : x = 0,22
Iterasi ke 7 : x = 2146
Iterasi ke 8 : x = 0,217
2. Newton Raphson
X* X2 X1 X0
f
f’(x0)
f’ (x1)
Pandang f(x) = 0 sebagai persamaan non linear, diberikan titik (x0,y0) =
(x0 , f(x0)), sehingga didapat :
x1 x0 - ( 1
slope) y0 = x0 -
f ( x0 )f '( x0)
Gambar 2.1
Ilustrasi proses iterasi pada Metode Newton
Pada setiap level iterasi m dilakukan apoksimasi grafik f di dekat xm
dengan garis lurus yang melalui titik (xm , f(xm)) dan mempunyai slope
f’(xm). Sedangkan xm+1 := xm -
f ( xm)f ' ( xm) dari aproksimasi fungsi tersebut
menjadi nilai untuk iterasi berikutnya.
SOAL
-Tentukan akar-akar dari dengan menggunakan
metode newton raphson dimana, tebakan awal dan
Penyelesaian : (oleh Diva Septian Jones)
dan
Iterasi 1
Iterasi 2
Iterasi 3
Iterasi 4
Iterasi Xi
0 3.6 -
1 3.227 0.115
2 3.05 0.058
3 2.995 0.0185
4 3 0.00167
Dari table dapat dilihat bahwa nilai kesalahan ( ) telah kecil dari yang
ditentukan, maka didapat akar dari persamaan adalah 3
-
Karena harga kesalahan (ε) nya telah kecil dari yang ditentukan maka proses
iterasi berhenti, dan didapatkan akarnya:
xr+1 = 2.8601
3.MetodeSecant
Hambatan utama dari pemakaian metode Newton adalah diperlukannya
turunan pertama (differensial) dari f(x) dalam perhitungan. Kadang-kadang
sulit untuk mendeferensialkan persamaan yang diselesaikan. Untuk itu maka
bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial
beda hingga.
Dalam pembahasan berikut kita dapat menggunakan metode Secant ,
diperbandingkan Gambar.3.3 dengan Gambar.3.2 , akan terlihat bahwa
tangen di P dalam Gambar.3.2 ditempatkan lagi dalam Gambar.3.3 dengan
menghubungkan dua titik P dan Q. Jika P dan Q semakin dekat keduanya,
maka garis akan berbeda sedikit dari tangennya. Sebenarnya, P dan Q
adalah titik-titik dengan koordinat (xr , f(xr)) dan (xr-1 , f(xr-1)). Garis yang
menghubungkan P dan Q memotong sumbu x di titik T, memberikan
pendekatan berikutnya xr+1 dengan segitiga yang sama ;
Dengan demikian :
xr+1 = xr -TM = xr - { } f (xr) (3.4)
Ini merupakan rumusan dasar untuk metoda Secant. Disini membutuhkan
dua nilai awal x0 , x1 untuk memulai prosesnya.
SOAL
- Diketahui Persamaan , tentukanlah akar
persamaan tersebut dengan metodesecant dimana nilai minimal adalah 5%.
Nilai tebakn awal adalah .
Penyelesaian : (oleh Rama Danil Fitra)
Dari persamaan dapat ditentukan:
Iterasi Pertama
Iterasi kedua
Karena nilai telah lebih kkecil dari 5%, maka, akar riil adri persamaan adalah
2.622
- Tentukan akar-akar dari dengan menggunakan
metode secant dimana, tebakan awal , , dan
Penyelesaian : (oleh Rama Danil Fitra)
dan
Iterasi 1
Iterasi 2
Iterasi 3
iterasi
1 2.9 3.1 3.04 0.06
2 3.1 3.04 3.049 0.009027
3 3.04 3.049 3.049094 0.0000941
Dari table dapat dilihat bahwa nilai kesalahan ( ) telah kecil dari yang
ditentukan, maka didapat akar dari persamaan adalah 3.049049
SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINEAR
A. Metode Eliminasi Gauss
Hambatan utama dari pemakaian metode Newton adalah diperlukannya
turunan pertama (differensial) dari f(x) dalam perhitungan. Kadang-kadang
sulit untuk mendeferensialkan persamaan yang diselesaikan. Untuk itu maka
bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial
beda hingga.
Dalam pembahasan berikut kita dapat menggunakan metode Secant ,
diperbandingkan Gambar.3.3 dengan Gambar.3.2 , akan terlihat bahwa
tangen di P dalam Gambar.3.2 ditempatkan lagi dalam Gambar.3.3 dengan
menghubungkan dua titik P dan Q. Jika P dan Q semakin dekat keduanya,
maka garis akan berbeda sedikit dari tangennya. Sebenarnya, P dan Q
adalah titik-titik dengan koordinat (xr , f(xr)) dan (xr-1 , f(xr-1)). Garis yang
menghubungkan P dan Q memotong sumbu x di titik T, memberikan
pendekatan berikutnya xr+1 dengan segitiga yang sama ;
Dengan demikian :
xr+1 = xr -TM = xr - { } f (xr) (3.4)
Ini merupakan rumusan dasar untuk metoda Secant. Disini membutuhkan
dua nilai awal x0 , x1 untuk memulai prosesnya.
SOAL
- Tentukanlah nilai dari persamaan berikut ini dengan
menggunakan metode gauss
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 20 2010 22 5 602 20 15 100
x x xx x x
x x x
Penyelesaian : (oleh Wahyu Prabowo)
untuk membuat 10 menjadi 0 maka dibuat
pengali =5
menjadikan 2 pada sudut kiri bawah, maka
dibuat pengali =-1
jadikan kolom 2 baris ke 3 =0
Maka didapatkan nilai :
Jadi , didapatkan hasil yaitu :
- Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut.
2x + 4y - 2z = 12
x + 5y + 3z = 8
-3x + y + 3z = -4
Penyelesaian : (oleh Wahyu Prabowo)
matriks augmentasi :
[ 2 41 5
−3 1
−2 123 83 −4 ]
Kalikan baris pertama dengan 0.5
a11'=a11 x 0,5
= 2 x 0,5 = 1
a12'=a12 x0,5
= 4 x 0,5 = 2
a13'=a13 x 0,5
= -2 x 0,5 = -1
b1'=b1 x 0,5
= 12 x 0,5 = 6
[ 1 21 5
−3 1
−1 63 83 −4 ]
Tambahkan baris kedua dengan (-1) kali baris pertama
a21'=a21+(−1 )a11
= 1 + (-1)1 = 0
a22'=a22+(−1 )a12
= 5 + (-1)2 = 3
a23'=a23+ (−1 ) a13
= 3 + (-1)(-1) = 4
b2'=b2+ (−1 ) b1
= 8 + (-1)6 = 2
[ 1 20 3
−3 1
−1 64 23 −4 ]
Tambahkan baris ketiga dengan 3 kali baris pertama
a31'=a31+3. a11
= -3 + 3.1 = 0
a32'=a32+3. a12
= 1 + 3.2 = 7
a33'=a33+3. a13
= 3 + 3.(-1) = 0
b3'=b3+3. b1
= -4 + 3.6 = 14
[1 20 30 7
−1 64 20 14]
Kalikan baris kedua dengan 1/3
a21'=1
3a21
¿ 13
.0=0
a22'=1
3a22
¿ 13
.3=1
a23'=1
3a23
¿ 13
.4=1.33
b2'=1
3b2
¿ 13
.2=0.67
[1 20 10 7
−1 61.33 0.67
0 14 ] Tambahkan baris pertama dengan (-2) kali baris kedua
a11'=a11+(−2) . a21
= 1 + (-2).0 = 1
a12'=a12+(−2). a22
= 2 + (-2).1 = 0
a13'=a13+(−2). a2
= -1 + (-2).1.33 = -3.67
b1'=b1+(−2) .b2
= 6 + (-2).0.67 = 4.67
[1 00 10 7
−3.67 4.671.33 0.67
0 14 ] Tambahkan baris ketiga dengan (-7) kali baris kedua
a31'=a31+(−7) . a21
= 0 + (-7).0 = 0
a32'=a32+(−7) . a22
= 7 + (-7).1 = 0
a33'=a33+(−7) . a23
= 0 + (-7).1,33 = -9,33
b3'=b3+(−7). b2
= 14 + (-7).0,67 = 9,33
[1 00 10 0
−0.36 4.671.33 0.67
−9.33 9.33] Kalikan baris ketiga dengan -1/9.33
a31'= −1
9,33a31
¿− 19.333
.0=0
a32'= −1
9,33a32
¿− 19.333
.0=0
a33'= −1
9,33a33
¿− 19.333
.−9,33=1
b3'= −1
9,33b3
¿− 19.333
.9,33=−1
[1 00 10 0
− .367 4.671.33 0.67
1 −1 ]Dari matrix diatas, didapat persamaan sebagai berikut :
x−3,67 z=4,67
y+1,33 z=0,67
z=−1
x=4,67+3,67 (−1 )
x=1
y=0,67−1,33 (−1 )=2
Jadi, nilai x = 1, y = 2 dan z = -1
clcclear allclose all%disp('Matrik A')A = [2 4 -2;1 5 3;-3 1 3]%disp('Matrik b')b = [12 ; 8 ; -4]%n = size(A,1);A = [A,b];%for i = 1:n-1p = i;for j = i+1:nif abs(A(j,i)) > abs(A(i,i))U = A(i,:);A(i,:) = A(j,:);A(j,:) = U;endendwhile A(p,i) == 0 & p <= np = p+1;endif p == n+1disp('Tidak Ada Solusi Unik');break elseif p ~= iT = A(i,:);A(i,:) = A(p,:);A(p,:) = T;endendfor j = i+1:nm = A(j,i)/A(i,i);
for k = i+1:n+1A(j,k) = A(j,k) -m*A(i,k);endendend%if A(n,n) == 0disp('Tiddak Ada Solusi Unik');returnend%x(n) = A(n,n+1)/A(n,n);for i = n - 1:-1:1sumax = 0;for j = i +1:nsumax = sumax + A(i,j)*x(j);endx(i) = (A(i,n+1) - sumax)/A(i,i);enddisp('Nilai x:')X1 = x'
Matrik A
A =
2 4 -2
1 5 3
-3 1 3
Matrik b
b =
12
8
-4
Nilai x:
X1 =
1.0000
2.0000
-1.0000
B. Gauss Jordan
Metode lain untuk menyelesaikan sistim persamaan linier adalah dengan
metode Gauss-Jordan, metode ini merupakan variasi dari metode eliminasi
Gauss, tetapi dalam metode Gauss Jordan ini menghasilkan matrix kesatuan
sehingga tidak perlu penerapan back subtitusion untuk menyelesaikannya.
Prinsip eliminasi Gauss-Jordan :
sehingga : x1 = b’1
x2 = b’2
x3 = b’3
Didalam metode ini dipilih secara berurutan setiap baris sebagai baris pivot,
dengan pivotnya adalah elemen pertama yang tidak nol dari baris tersebut.
Contoh :
3 x1 - 0,1 x2 - 0,2 x3 = 7,85
0,1 x1 + 7 x2 - 0,3 x3 = -19,3 (4.18)
0,3 x1 - 0,2 x2 + 10 x3 = 71,4
dalam bentuk matrix :
Tahap 1. Baris pertama dibagi dengan elemen pivot a11 yaitu 3 .
Tahap 2. Suku x1 pada baris kedua dan ketiga dieliminasi menjadi nol
Tahap 3. Baris kedua dibagi dengan elemen pivot a22 yaitu 7,0333.
Tahap 4. Mereduksi suku-suku x2 dari baris kesatu dan ketiga.
Tahap 5. Baris ketiga dinormalkan dengan cara membagi dengan elemen
pivot a33 yaitu 10,0120
Tahap 6. mereduksi suku-suku x3 dari baris pertama dan kedua
Maka hasilnya :
x1 = 3
x2 = -2,5
x3 = 7
SOAL
SUMBER: http://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/sistem-persamaan-
aljabar-linear-metode-gauss-jordan.pdf
- Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Gauss-Jordan:
3x + y – z = 54 x + 7y – 3z = 20 2x – 2y + 5z = 10
Penyelesaian: (oleh Diva Septian Jones)
Sistem persamaan diatas ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:
Baris pertama dari persamaan (c2) dibagi dengan elemen pertama dari
persamaan (c1.a) yaitu 3, sehingga persamaan menjadi:
Pertama membuat nilai dari kolom dan baris satu bernilai 1. Sehingga,
Lalu, kedua dari kolom kedua bernilai 0 menjadi,
Lalu baris ke tiga kolom pertama dijadikan 0,
Lalu baris kedua dan pertama kolom ke dua. Sehingga,
Selanjudnya menjadikan baris ketiga kolom ketiga bernilai 1,
Dan yang terakhir untuk kolom tiga baris satu dan dua,
Dari sistem persamaan diatas, didapat nilai x, y dan z berikut ini:
x = 1,5061; y = 3,1324 dan z = 2,6505
Hasil simulasi MATLAB
clcclear allclose all%disp('Matrik A')A = [3 1 -1;1 7 -3;2 -2 5]%disp('Matrik b')b = [54 ; 20 ; 10]%disp('Matrik Diperluas')C = [A b]%disp('Nilai x')x = rref(C)
Matrik A
A =
3 1 -1
4 7 -3
2 -2 5
Matrik b
b =
5
20
10
Matrik Diperluas
C =
3 1 -1 5
4 7 -3 20
2 -2 5 10
Nilai x
x =
1.0000 0 0 1.5060
0 1.0000 0 3.1325
0 0 1.0000 2.6506
SUMBER: http://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/sistem-persamaan-
aljabar-linear-metode-gauss-jordan.pdf
- Selesaikan persamaan berikut dengan metode Eleminasi Gauss-Jordan!
Penyelesaian : (oleh Diva Septian Jones)
Matrik dari persamaan diatas :
Maka :
clcclear all
close all%disp('Matrik A')A = [-2 1 7;10 2 0.8;-3 4 -1]%disp('Matrik b')b = [0.5 ; 3 ; 6]%disp('Matrik Diperluas')C = [A b]%disp('Nilai x')x = rref(C)
Matrik A
A =
-2.0000 1.0000 7.0000
10.0000 2.0000 0.8000
-3.5000 4.0000 -1.0000
Matrik b
b =
0.5000
3.0000
6.0000
Matrik Diperluas
C =
-2.0000 1.0000 7.0000 0.5000
10.0000 2.0000 0.8000 3.0000
-3.5000 4.0000 -1.0000 6.0000
Nilai x
x =
1.0000 0 0 0.0150
0 1.0000 0 1.4792
0 0 1.0000 -0.1356
C. Gauss Seidel
Suatu sistem persamaan linier terdiri atas sejumlah berhingga persamaan
linear dalam sejumlah berhingga variabel. Menyelesaikan suatu sistem
persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel yang belum diketahui
yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan.
Rumus iterasi untuk hampiran ke-k pada metode iterasi Gauss-Seidel
adalah sebagai berikut. Untuk i = 1, 2, …, n dan k = 1, 2, 3, …,
SOAL
SUMBER: http://syaifulhamzah.files.wordpress.com/2012/12/soal-latihan-
persiapan-uas-metode-numerik.pdf
Selesaikanlah persamaan berikut dengan menggunaan metode gauss
seidel, dimana nilai adalah 2%
Penyelesaian : (oleh Rama Danil Fitra)
Bentuk matrik :
Asumsikan :
Iterasi 1
Iterasi 2
Persentasi errornya :
Blum berada di bawah 2 %.
Iterasi 3
Persentasi errornya :
Belum berada di bawah 2 %.
Iterasi 4
Persentasi errornya :
Belum berada di bawah 2 %.
Iterasi 5
Persentasi errornya :
Belum berada di bawah 2%.
Iterasi 6
Persentasi errornya :
Karena harga telah telah berada di bawah 2 % maka,
Matrik A
A =
12 3 -5
1 5 3
3 7 13
Matrik b
C =
1
28
76
Proses Iterasi
K =
1.0000 0.0833 5.5833 2.8205
2.0000 -0.1373 3.9351 3.7589
3.0000 0.6658 3.2115 3.9632
4.0000 0.9318 3.0357 3.9965
5.0000 0.9896 3.0042 4.0002
6.0000 0.9990 3.0001 4.0002
7.0000 1.0000 2.9999 4.0000
8.0000 1.0000 3.0000 4.0000
Jumlah Iterasi : 8
Tingkat Presisi :
Error_eval =
1.0e-004 *
0.0368
0.7135
0.3927
Nilai X
X =
1.0000
3.0000
4.0000
>>
SUMBER: http://syaifulhamzah.files.wordpress.com/2012/12/soal-latihan-
persiapan-uas-metode-numerik.pdf
- selesaikan Sistem Persamaan Linear berikut dengan metoda gauss
seidel :
Penyelesaian : (oleh Rama Danil Fitra)
Sistem Persamaan Linear diatas dapat ditulis ulang dlm bentuk:
4x1 – x2 + x4 = 100 (a)
-x1 + 4x2 – x3 + x5 = 100 (b)
-x2 + 4x3 - x4 = 100 (c)
x1 – x3 + 4x4 - x5 = 100 (d)
x2 - x4 + 4x5 =100 (e)
[ 4 −1 0 1 0−1 4 −1 0 10 −1 4 −1 01 0 −1 4 −10 1 0 −1 4
][x1
x2
x3
x4
x5]=[100
100100100100
]
Sehingga dapat ditulis untuk menyelesaikan masing-masing variabel x:
Misalnya diambil tebakan awal x(0)T = (0 0 0 0 0)
Tingkat ketelitian yang diinginkan sampai 0,000001 (toleransi konvergensi)
Iterasi I
Masukkan nilai tebakan awal ini ke pers (f):
Iterasi 2
Masukkan hasil iterasi 1 ke pers (f), Hasil utk iterasi 2 dst seperti tabel berikut :
Iterasi (k) x1 x2 x3 x4 x5
2 26,074219 33,740234 40,173340 34,506226 25,191498
3 24,808502 34,947586 42,363453 35,686612 25,184757
: : : : : :
424
15
53141
4
4241
3
53141
2
4241
1
100100100100100
xxxxxxx
xxxxxxx
xxx
x1=14
(100+0−0 )=25
x2=14 (100+25+0−0 )=31 ,25
x3=14 (100+31,25+0 )=32 , 8125
x4=14
(100−25+32 ,8125+0 )=26 , 953125
x5=14 (100−31 ,25+26 , 953125 )=23 , 925781
14 25,000001 35,714286 42,857143 35,714285 25,000000
15 25,000000 35,714286 42,857143 35,714285 25,000000
Perhitungan konvergen sampai iterasi ke 15, karena beda nilai xi masing-
masingnya ≤ 0,000001
C.Metoda Inversi
Jika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A =
I maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A-1 (B sama
dengan Ivers dari A)Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat
dituliskan A = B-1 jika tidak ditemukan matriks B maka A dikatakan matriks
tunggal (singular) jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C
Δx1=|x1(15 )−x1
(14 )|=25 ,000000−25 ,000001=0 ,000001Δx 2=|x2
(15 )−x2(14 )|=35 ,714286−35 ,714286=0
Δx 3=|x3(15)−x3
(14 )|=0
Δx 4=|x4(15 )−x 4
(14)|=0 ,000001Δx5=|x5
(15)−x5(14 )|=0
Apabila A dan B matriks seordo dan memiliki balikan maka AB
dapat diinver dan (AB)-1 = B-1 A-1
SOAL
SUMBER: http://syaifulhamzah.files.wordpress.com/2012/12/soal-latihan-
persiapan-uas-metode-numerik.pdf
Penyelesaian : (oleh Wahyu Prabowo)
x =
x1=-0,356(23,4) + 0,34(37,8) + 0,208(61,7) = 17,35
x2 = 0,17(23,4) + 0,079(37,8) + 0,018(61,7) = 8,0748
x3 = -0,468(23,4) - 0,44(37,8) - 0,79(61,7) = -76,3262
- Tentukanlah x1,x2,x3 dari persamaan di bawah ini dengan
menggunakan metode inverse.
Penyelesaian : (oleh Wahyu Prabowo)
Dibagi 2 baris pertama
Dikali 1
Dikali -3
Dibagi baris ke-2
Dikali
Dibagi -4 baris ke-3
Dikali 2/11
Dikali -4
Dikali
Sehingga untuk mencari nilai x maka digunakan rumus :
Jadi diperolehlah nilai dari akar- akar x ;
D.Dekomposisi LU
1. Metode crout
Crout mentransformasikan koefisien matriks A, menjadi hasil dari
dua matriks, L dan U, di mana U memiliki satu pada diagonal
utamanya. Teknik ini berbeda dari metode bagian sebelumnya di
mana L memiliki satu pada diagonalnya. Sebelumnya kami telah
melihat bahwa sebuah matriks yang telah mengalami
triangularisasi dan dikombinasikan dengan matriks segitita bawah
membentuk sebuah pasangan LU. Tetapi pasangan LU mengambil
banyak bentuk lain.Pada kenyataannya, matriks tertentu yang
memiliki semua elemen diagonal nonzero bisa ditulis sebagai
sebuah hasil dari matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas
dengan cara tak terhingga.
Dari keseluruhan susunan LU yang hasilnya sama dengan matriks
A, pada metode Crout dipilih pasangan di mana U hanya memiliki
satu pada diagonalnya, seperti pada pasangan pertama di
atas.Didapatkan aturan untuk dekomposisi LU semacam itu dari
hubungan tertentu sehingga LU = A. Pada kasus matriks 4 x 4:
Dengan mengalikan baris L pada kolom pertama U, kita dapatkan
SOAL
-Tentukan nilai masing-masing komponen berikut dengan metode Dekomposisi
LU Crout.
Penyelesaian : (oleh Diva Septian Jones)
Dapat ditentukan matrik yaitu
Sifat dari dekomposisi LU adalah :
Sehingga dapat ditentukan:
Sehingga Matrik dekomposisi LU adalah
Sifat untuk matrik L adalah :
Untuk menentukan nilai komponen matrik x maka digunakan sifat:
Jadi, nilai masing- masing komponen x dari persaman diatas adalah
Clcclear allclose all%disp('Matrik A')A = [2 -5 1;-1 3 -1;3 -4 2]%disp('Vektor B')B = [12 ; -8 ; 16]%%%%%%%% Inputs %%%%%%%%% A : state matrix% B : input vector%%%%%%%% Outputs %%%%%%%%% x_soln : solution vector to U*x_soln=xstar_soln% xstar_soln: solution vector to L*xstar_soln=b% L : Lower triangular matrix% U : Upper triangular matrix%n=rank (A);% Initialize L and U matrixL=zeros (n);U=eye (n);for s=1:nj=s;for i=j:nL(i,j)=A(i,j)-L(i,1:(j-1))*U(1:(j-1),j);endi=s;U(i,i)=1;for j=i+1:nU(i,j)=(A(i,j)-L(i,1:(i-1))*U(1:(i-1),j))/(L(i,i));endend%disp(' ')disp('Periksa Matrik A')check=int8 (L*U)if check==Adisp(sprintf ('Matrik L*U=A Benar'))else
disp(sprintf ('Ada Kesalahan'))end%xstar_soln(n)=0;xstar_soln=xstar_soln';xstar_soln(1)=B(1)/L(1,1);for i=2:nxstar_soln(i)=(B(i,1)-L(i,1:i-1)*xstar_soln(1:i-1))/L(i,i);end%x_soln(n)=0;x_soln=x_soln';x_soln(n)=xstar_soln(n);i=n-1;%while i>0x_soln(i)=xstar_soln(i)-U(i,i+1:n)*x_soln(i+1:n);i=i-1;enddisp(' ')disp('Matrik Segitiga Bawah')Ldisp('Matrik Segitiga Atas')Udisp('Nilai x')x=x_soln
Matrik A
A =
2 -5 1
-1 3 -1
3 -4 2
Vektor B
B =
12
-8
16
Periksa Matrik A
check =
2 -5 1
-1 3 -1
3 -4 2
Matrik L*U=A Benar
Matrik Segitiga Bawah
L =
2.0000 0 0
-1.0000 0.5000 0
3.0000 3.5000 4.0000
Matrik Segitiga Atas
U =
1.0000 -2.5000 0.5000
0 1.0000 -1.0000
0 0 1.0000
Nilai x
x =
2
-1
3
- Tentukan x1,x2,x3 dengan menggunakan metode dekomposisi LU
dengan metode Crout dari persamaan berikut ini;
Penyelesaian : (oleh Wahyu Prabowo)
L. U = A
Sehingga didapat nilai matrik L dan matrik U adalah sebagai berikut.
Untuk menentukan nilai y ,
Sedangkan untuk menentukan nilai akar – akar nya (x) ;
Sehingga diperoleh nilai akar akarnya ,
clcclear allclose all%disp('Matrik A')A = [2 -5 4;1 7 5;3 2 -1]%disp('Vektor B')B = [20 ; 15 ; 30]%%%%%%%% Inputs %%%%%%%%% A : state matrix% B : input vector%%%%%%%% Outputs %%%%%%%%% x_soln : solution vector to U*x_soln=xstar_soln% xstar_soln: solution vector to L*xstar_soln=b% L : Lower triangular matrix% U : Upper triangular matrix%n=rank (A);% Initialize L and U matrixL=zeros (n);U=eye (n);for s=1:nj=s;for i=j:nL(i,j)=A(i,j)-L(i,1:(j-1))*U(1:(j-1),j);endi=s;U(i,i)=1;for j=i+1:nU(i,j)=(A(i,j)-L(i,1:(i-1))*U(1:(i-1),j))/(L(i,i));endend%disp(' ')disp('Periksa Matrik A')check=int8 (L*U)if check==Adisp(sprintf ('Matrik L*U=A Benar'))elsedisp(sprintf ('Ada Kesalahan'))end%xstar_soln(n)=0;xstar_soln=xstar_soln';xstar_soln(1)=B(1)/L(1,1);for i=2:nxstar_soln(i)=(B(i,1)-L(i,1:i-1)*xstar_soln(1:i-1))/L(i,i);end%x_soln(n)=0;x_soln=x_soln';
x_soln(n)=xstar_soln(n);i=n-1;%while i>0x_soln(i)=xstar_soln(i)-U(i,i+1:n)*x_soln(i+1:n);i=i-1;enddisp(' ')disp('Matrik Segitiga Bawah')Ldisp('Matrik Segitiga Atas')Udisp('Nilai x')x=x_soln
Matrik A
A =
2 -5 4
1 7 5
3 2 -1
Vektor B
B =
20
15
30
Periksa Matrik A
check =
2 -5 4
1 7 5
3 2 -1
Matrik L*U=A Benar
Matrik Segitiga Bawah
L =
2.0000 0 0
1.0000 9.5000 0
3.0000 9.5000 -10.0000
Matrik Segitiga Atas
U =
1.0000 -2.5000 2.0000
0 1.0000 0.3158
0 0 1.0000
Nilai x
x =
12.71
0.684
-0.5
>>
2. Metode Doo-little
Algoritma Doolittle adalah sebagai berikut:
0. Langkah awal: k : = 1,
untuk j = 1, 2, ..., n, kerjakan
u1j : = a1j
j1 : = aj1/u11
1. Untuk langkah k = 2, 3, ... (n-1), kerjakan :
Untuk j = k, k+1, k+2, ... , n, kerjakan:
ukj : = akj-
jk : = (ajk - ) /ukk
Langkah terakhir, k = n, kerjakan:
unn: = ann -
Untuk mendemonstrasikan kebenaran algoritma ini, tinjaulah relasi A = LU.
Kalikan vektor baris dengan ruas kiri dan kanan tanda =, lalu hasilnya
kalikan dengan vektor kolomej.
Ruas kiri tanda = adalah akj, sedang ruas kanan adalah
Sesudah digabungkan kembali dan ditata letaknya, karena kk = 1,
diperoleh
yang merupakan rumus untuk menghitung elemen-elemen baris k dari U.
Rumus untuk menghitung elemen-elemen kolom k dari matrix L dapat
dijabarkan pula. Untuk sembarang elemen pada baris I,
SOAL
Diketahui persamaan berikut:
Tentukanlah nilai-nilai dari dengan metode dekomposisi LU
Doolittle
Penyelesaian : (oleh Rama Danil Fitra)
Dari persamaan dapat ditentukan :
Sehingga didapatkan matrik LU:
%clcclearclc%A=[7 2 -5;1 5 -3;2 -1 -9]%[m,n]=size(A);if m~=ndisp('Matrix Harus Bujursangkar')beepbreak
endU=zeros(m);L=zeros(m);for j=1:mL(j,j)=1;endfor j=1:mU(1,j)=A(1,j);endfor i=2:mfor j=1:mfor k=1:i-1s1=0;if k==1s1=0;elsefor p=1:k-1s1=s1+L(i,p)*U(p,k);endendL(i,k)=(A(i,k)-s1)/U(k,k);endfor k=i:ms2=0for p=1:i-1s2=s2+L(i,p)*U(p,k);endU(i,k)=A(i,k)-s2;endendenddisp('Matrik Dekomposisi')Adisp('Matrik Segitiga Bawah')Ldisp('Matrik Segitiga Atas')U
A =
7 2 -5
1 5 -3
2 -1 -9
s2 =
0
s2 =
0
s2 =
0
s2 =
0
s2 =
0
s2 =
0
s2 =
0
s2 =
0
s2 =
0
Matrik Dekomposisi
A =
7 2 -5
1 5 -3
2 -1 -9
Matrik Segitiga Bawah
L =
1.0000 0 0
0.1429 1.0000 0
0.2857 -0.3333 1.0000
Matrik Segitiga Atas
U =
7.0000 2.0000 -5.0000
0 4.7143 -2.2857
0 0 -8.3333
>>
Dimana diketahui persamaan bahwa :
Untuk menentukan nilai dari komponen x adalah :
Jadi nilai masing-masing komponen x dari persamaan diatas adalah
- Tentukan nilai x1,x2,x3 dengan metoda dekomposisi L.U doolite
Penyelesaian : (oleh Rama Danil Fitra)
Untuk menentuka nilai x nya maka :
Sehingga diperoleh lah :
Sedangkan untuk mencari nilai dari akar – akar x :
Sehingga diperolehlah nilai akar-akar x sebagai berikut :
3.Metode Cholensky
Pada aljabar linear segitiga cholensky diubah dari hermitian ,matrik
pembagi yan positif ke suatu hasil berupa matrik segitiga dan memiliki hubungan
trnasponse,hal ini ditemukan oleh Andre Louis Choleky untuk matrik yang
real,Ketika digunakan metoda cholensky 2 kali lebih efisien dari pada metode LU
untuk menyelesaikan system persamaan aljabar linier.
SOAL
- Tentukan Nilai Matrik A dengan dekomposisi cholensky
Penyelesaian : (oleh Wahyu Prabowo)
l jj=√a jj−∑k=1
j−1
l jk2
lij=aij−∑
k=1
j−1
l ik l jk
l jj; untuk i> j
- Tentukanlan nilai dari persamaan dibawah ini dengan
menggunakan metode chollensky.
Penyelesaian: (oleh Wahyu Prabowo)
Jadi, nilai yaitu :
PENCOCOKAN KURVA
A.Regresi Kuadrat Terkecil
1. Regresi Linier
- Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOIL
perusahaan Minyak Goreng
Tahun x
Biaya
Promosi
(Juta
Rupiah)
y
Volume
Penjualan
(Ratusan Juta
Liter)
xy x² y²
1992 2 5 10 4 25
1993 4 6 24 16 36
1994 5 8 40 25 64
1995 7 10 70 49 100
1996 8 11 88 64 121
Σ Σx = 26 Σy = 40 Σxy = 232 Σx² =158 Σy² = 346
Penyelesaian : (oleh Diva Septian Jones)
bentuk umum persaman regresi linier sederhana : Y = a + b X, n = 5
Y = a + b x → Y = 2.5244 + 1.053 x
- Diketahui data penjualan iklan adalah sebagai berikut :
Biaya periklanan (x) Tingkat penjualan (y)
50 40
51 46
52 44
53 55
54 49
Tentukan persamaan regresinya !
Penyelesaian : (oleh Diva Septian Jones)
Persamaaan Regresi :
Dimana
Maka dari persamaan didapatkan persamaan regresi yaitu:
No X Y x.y
1 50 40 2000 2500 1600
2 51 46 2346 2601 2116
3 52 44 2288 2704 1936
4 53 55 2915 2809 3025
5 54 49 2646 2916 2401
260 234 12195 13530 11078
2. Regresi Polinomial
- Berikut adalah data Volume Penjualan (juta unit) Mobil dihubungkan
dengan variabel biaya promosi (X1 dalam juta rupiah/tahun) dan
variabel biaya penambahan asesoris (X2 dalam ratusan ribu
rupiah/unit).
x1 x2 y x1 x2 x1y x2y x1² x2² y²
2 3 4 6 8 12 4 9 16
3 4 5 12 15 20 9 16 25
5 6 8 30 40 48 25 36 64
6 8 10 48 60 80 36 64 100
7 9 11 63 77 99 49 81 121
8 10 12 80 96 120 64 100 144
x
Σ1
=3
1
xΣ2
=
40
yΣ
=50
xxΣ12
=239
xyΣ1
=
296
xyΣ2
=
379
xΣ12
=
187
xΣ22
=
306
yΣ2
=
470
Penyelesaian : (oleh Rama Danil Fitra)
Tetapkan Persamaan Regresi Linier Berganda = a + b1 X1 + b2 X2 , n = 6
Masukkan notasi-notasi ini dalam ketiga persamaan normal,
Sehingga didapatkan tiga persamaan berikut:
(i) 6a + 31 b1 + 40 b2 = 50
(ii) 31 a + 187 b1 + 239 b2 = 296
(iii) 40 a + 239 b1 + 306 b2 = 379
Lakukan Eliminasi, untuk menghilangkan (a)
Lalu:
Selanjutnya, eliminasi (b1) dan dapatkan nilai (b2)
Dapatkan Nilai (b1) dan nilai (a) dengan melakukan substitusi, sehingga:
(v) 194 b1 + 236 b2 = 274
Perhatikan b2 = 0.75
(i) 6a + 31 b1 + 40 b2 = 50
Perhatikan b1 = 0.50 dan b2 = 0.75
Sehingga Persamaan Regresi Berganda:
a + b1 X1 + b2 X2 dapat ditulis sebagai 0.75 + 0.50 X1 + 0.75X2
- Seorang manajer pemasaran diberikan data promosi dan harga
berpengaruh terhadap keputusan konsumen membeli
produknya.Datanya sebagai berikut
No
Promosi
(X1)
Harga(X2
)
Keputusan Konsumen
(Y)
1 10 7 23
2 2 3 7
3 4 2 15
4 6 4 17
5 8 6 23
6 7 5 22
7 4 3 10
8 6 3 14
9 7 4 20
10 6 3 19
Jumlah 60 40 170
Tentukan persamaan regresi linear ganda dari data diatas.
Penyelesaian : (oleh Rama Danil Fitra)
Tabel pembantu
No X1 X2 Y X1Y X2Y X1X2
1 10 7 23 230 161 70 100 49
2 2 3 7 14 21 6 4 9
3 4 2 15 60 30 8 16 4
4 6 4 17 102 68 24 36 16
5 8 6 23 184 138 48 64 36
6 7 5 22 154 110 35 49 25
7 4 3 10 40 30 12 16 9
8 6 3 14 84 42 18 36 9
9 7 4 20 140 80 28 49 16
10 6 3 19 114 57 18 36 9
60 40 170 1122 737 267 406 182
Persamaan regresi linear ganda :
Dimana
Masukkan parameter yang diketahui ke dalam persamaan
Persamaan (1) dikalikan 6, persamaan (2) dikalikan 1:
Persamaan (1) dikalikan 4, persamaan (3) dikalikan 1:
Persamaan (4) dikalikan 27, persamaan (5) dikalikan 46:
Harga b2 dimasukkan ke dalam salah satu persamaan (4) atau (5):
Harga b1 dan b2 dimasukkan ke dalam persamaaan :
Jadi
Persamaan Regresi Linear Ganda :
-
B.Interpolasi
1. Interpolasi Linier
Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis
lurus. Misalkan dua buah titik, ( , ) 0 0 x y dan ( , ) 1 1 x y . Polinom yang
menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus.
SOAL
SUMBER: http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum4-
Pencocokan-Kurva-Interpolasi.pdf
Dari data ln(7.8)=2.0541, ln (8.6)=2.1517, tentukan ln(8.0) dengan interpolasi
linear.
Penyelesaian: (oleh Wahyu Prabowo)
Jadi, nilai dari ln(8.0) adalah 2.0785
- Diketahui kecepatam suatu kelereng terhadap waktu sebagai berikut ;
Tentukan interpolasi linier dari persamaan di atas ketika x bernilai 75
Penyelesaian : (oleh Wahyu Prabowo)
Jadi interpolasi linier pada saat x = 75 adalah 0
.Interpolasi Kuadratik
Misalkan diberikan tiga buah titik data ( , ) 0 0 x y , ( , ) 1 1 x y dan ( , ) 2 2 x
y .Polinom yang menginterpolasi ketiga buah titik berupa polinom kuadratik
yang persamaannya adalah:
p (x) = a + a x + a x ……...
SOAL
SUMBER: http://syaifulhamzah.files.wordpress.com/2012/12/soal-latihan-
persiapan-uas-metode-numerik.pdf
- Diketahui tiga buah titik sebagai berikut ;
Tentukan interpolasi yang terjadi jika diketahui nilai x = 8
Penyelesaian : (oleh Diva Septian Jones)
Eliminasi pers (1) dan Pers (2)
Eliminasi pers (1) dan Pers (3)
Eliminasi pers (4) dan Pers (5)
Subtitusi ke pers (4)
Subtitusi dan ke pers (2)
Maka untuk interpolasi yang terjadi jika nilai x =8
Jadi interpolasi yangterjadi pada saat x = 8 adalah
-Dari data ln(5.7)=1.7404, ln(6.7)=1.9021, dan ln(7.7)=2.0412. Tentukan nilai
ln(8.7) dengan menggunakan metode interpolasi kuadratik.
Penyelesaian: (oleh Diva Septian Jones)
Selesaikan persamaan diatas dengan metode Eliminasi gauss;
3.Interpolasi Polinom
Diberikan (n+1) buah titik yang berbeda, yaitu ( , ) 0 0 x y , ( , ) 1 1 x y …
( , ) n n x y .Akan ditentukan polinom p (x) n yang menginterpolasi
(melewati) semua titik-titik tersebut sedemikian rupa sehingga, ( ) i n i y = p
x , untuk i = 0,1,2,3...,n Nilai i y dapat berasal dari fungsi matematika f (x) ,
misalkan f (x) = ln x , f (x) = Sin x , fungsi Bessel dan sebagainya yang
menyebabkan ( ) i i y = f x atau i y diperoleh secara empirik (hasil dari
pengamatan eksperimen di laboratorium).
SOAL
SUMBER: http://syaifulhamzah.files.wordpress.com/2012/12/soal-latihan-
persiapan-uas-metode-numerik.pdf
- Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi polinomial berdasar data ln
1 = 0 dan ln 6 = 1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln
1 dan ln 4 = 1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh,
dihitung besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln 2 =
0,69314718).
Penyelesaian :(oleh Rama Danil Fitra)
Dengan menggunakan persamaan (1.2), dihitung dengan interpolasi linier nilai
ln pada x = 2 berdasar nilai ln di x0 = 1 dan x1 = 6.
f1(2) = 0 + (2 1) = 0,3583519.
Besar kesalahan adalah: Et = 100 % = 48,3
%.
Apabila digunakan interval yang lebih kecil, yaitu nilai x0 = 1 dan x1 = 4,
maka:
f1(2) = 0 + (2 1) = 0,46209813.
Besar kesalahan adalah: 100 % = 33,3 %.
- Diberikan empat buah titik data yaitu ln(1.5)= 0.4054, ln(2)= 0.6931,
ln(4)= 1.3862, ln(5)= 1.6094. Tentukan nilai ln(5.5) menggunakan
metode interpolasi kubik.
Penyelesaian: (oleh Rama Danil Fitra)
Selesaikan persamaan diatas dengan metode Eliminasi gauss;
Didapat nilai a0 = -0.9052, a1= 1.1407, a2 = -0.1996, a3 = 0.0144 Polinom kubiknya
adalah
INTEGRASI NUMERIK
A.Formulasi Integrasi Newton Cotes
1. Aturan Trapesium
Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 1 yang melalui kedua buah titik itu
adalah
Integrasikan p1(x) di dalam selang [0,1]:
Jadi, kaidah trapesium adalah
Kaidah trapesium untuk integrasi dalam selang [0, h] kita perluas untuk
menghitung
SOAL
- Diketahui f(x) = x+1. Carilah integrasinya dengan batas bawah = 0, batas atas
= 5 serta 5 sub-interval, menggunakan metode trapesium. Tentukan error dengan
membandingkan secara analitik .
Penyelesaian : (oleh Diva Septian Jones)
h = (5-0)/5=1
(x+1) dx = 1[f(0) + 2f(0+1) + 2f(0+2) +2f(0+3) + 2f(0+4)+ f(5)]/2
= [1+2(2)+2(3)+2(4)+2(5)+6]/2=35/2=17,5
secara analitik:
(x+1) dx = ((1/2) x^2) + x = (1/2 (5)^2) + 5 = 17,5
Error = metode numerik - analitik=17,5-17,5=0
- Sebuah benda putar, diperlihatkan pada gambar 4.3, dibentuk dengan
memutar kurvay=1+(x/2)2, 0<=x<= 2, disekitar sumbu x. Hitunglah
volume menggunakanperluasan aturan trapesium dengan
N=2,4,8,16,32,64 dan 128. Nilai benar adalahI=11,7286. Evaluasi
kesalahan pada setiap N.
Penyelesaian : (oleh Wahyu Prabowo)
Volume diberikan oleh persamaan:
Dimana :
Kalkulasi untuk N=2 dan 4 ditunjukkan sebagai berikut:
Integrasi dengan N yang lain memberikan hasil sebagai berikut:
2. Aturan Simpson
Hampiran nilai integras yang lebih baik dapat ditingkatkan dengan mengunakan
polinom interpolasi berderajat yang lebih tinggi.
Misalkan fungsi f(x) dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2 yang
grafiknya berbentuk parabola. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai
integrasi adalah daerah di bawah parabola. Untuk itu, dibutuhkan 3 buah titik
data, misalkan (0, f(0)), (h, f(h)), dan (2h, f(2h)).
Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga buah titik
tersebut adalah
Integrasikan p2(x) di dalam selang [0, 2h]:
Mengingat
Dan
maka, selanjutnya
Kidah Simpson 1/3 gabungan:
Penggunaan kaidah 1/3 Simpson mensyaratkan jumlah upaselang (n) harus genap.
Ini berbeda dengan kaidah trapesium yang tidak mempunyaipersyaratan mengenai
jumlah selang.
Galat Kaidah Simpson 1/3
Galat kaidah Simpson 1/3 untuk dua pasang upaselang adalah
Uraikan f(x), f1, dan f2 masing-masing ke dalam deret Taylor di sekitar x0 = 0:
Sulihkan persamaan (P.6.30), (P.6.31), (P.6.32) ke dalam persamaan
(P.6.29):
Jadi, kaidah Simpson 1/3 untuk sepasang upaselang ditambah dengan galatnya
dapat dinyatakan sebagai
Galat untuk n/2 pasang upaselang adalah
Jadi, kaidah Simpson 1/3 gabungan ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan
sebagai,
dengan kata lain, kaidah Simpson 1/3 gabungan berorde 4
Dibandingkan dengan kaidah trapesium gabungan, hasil integrasi
Dengan kaidah Simpson gabungan jauh lebih baik, karena orde galatnya lebih
tinggi.
Tapi ada kelemahannya, yaitu kaidah Simpson 1/3 tidak dapat
diterapkan bila jumlah upaselang (n) ganjil
-
SOAL
- Hitunglah volume sebuah benda putar, pada contoh 4.3 menggunakan
perluasanaturan Simpson 1/3 dengan N=2,4,8,16,32,64. Nilai benar
adalah I=11,7286.
-
Penyelesaian : (oleh Diva Septian Jones)
Kalkulasi untuk N=2 dan 4 ditunjukkan sebagai berikut:
Integrasi dengan N yang lain memberikan hasil sebagai berikut:
- Tentukan ,gunakan aturan simpson n=4.
Penyelesaian : (oleh Diva Septian Jones)
Jadi,
B.Integrasi Romberg dan Kuadratur Gauss
1.Integrasi Romberg
Metode ini digunakan untuk memperbaiki hasil pendekatan integrasi
metode trapesium, karena kesalahan metode trapesium “cukup” besar
untuk polinom pangkat tinggi dan fungsi transeden. Caranya, hitung
integral tertentu dengan metode trapesium untuk sejumlah nilai h yang
berbeda. Misalkan hasilnya I(h), I(½h), I(¼h), dan I(⅛h); cantumkan
pada kolom pertama tabel.Untuk kolom kedua, hitunglah I(h, ½h),
I(½h, ¼h), I( ¼h, ⅛h) dengan formula :
I(9h, ½h)= ⅓.[4.I(½h)-I(h)],
I(½h, ¼h)= ⅓.[4.I( ¼h)-I(½h)],
I( ¼h, ⅛h)= ⅓.[4.I( ⅛h)-I( ¼h)],
Lanjutkan pola serupa untuk kolom ketiga dan seterusnya.
SOAL
- Hitunglah dengan metode Romberg bentuk :
Penyelesaian: (oleh Rama Danil Fitra)
Untuk n=2, diperoleh h=2, dan dengan metode trapesium diperoleh hasil = 320
Untuk n=4, diperoleh h=1, dan dengan metode trapesium diperoleh hasil = 272
Untuk n=8, diperoleh h=0,5, dan dengan metode trapesium diperoleh hasil = 260.
kolom kedua :
kolom ketiga :
Hasil terakhir adalah 256.
3.Kuadratur Gauss
Dengan metode ini bentuk
diubah menjadi
melalui transformasi :
Kuadratur Gauss 2 titik :
Kuadratur Gauss 3 titik :
Metode ini mempunyai kesalahan pemotongan :
-Kuadratur Gauss 2 titik :
-Kuadratur Gauss 3 titik :
Metode in tepat untuk polinom ordo 3.
SOAL
- Diketahui Carilah integrasinya dengan batas bawah = 0, batas atas
=1½, menggunakan metode :
a. Kuadrat Gauss 2 titik
b. Kuadrat Gauss 3 titik
Penyelesaian : (oleh Wahyu Prabowo)
ditransformasikan dengan
Menjadi :
Sehingga
Jadi,
-Kuadratur Gauss 2 titik menghasilkan nilai 0,8907.
-Kuadratur Gauss 3 titik menghasilkan nilai 0,8906
SUMBER TEORI DAN SOAL
http://lecturer.eepis-its.edu.
http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum4-Pencocokan-Kurva-
Interpolasi.pdf
http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum4-Pencocokan-Kurva-
Regresi.pdf
http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum5-Integral-Numerik.pdf
http://marzukisilalahi.blog.esaunggul.ac.id/files/2012/04/Pertemuan-
11_Integrasi-Numerik.pdf
http://ivanky.files.wordpress.com/2013/02/scientific_software_modul5.pdf
http://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/sistem-persamaan-aljabar-linear-
metode-gauss-jordan.pdf
http://syaifulhamzah.files.wordpress.com/2012/12/soal-latihan-persiapan-
uas-metode-numerik.pdf
http://teoriMENUM/Saifoe%20%20Manajemen%20Konstruksi
%20»%20Metode%20Numerik.htm
http://teoriMENUM/Metode%20BagiDua%20(Bisection%20Method)%20_
%20Math%20IS%20Beautiful.htm