Upload
sri-kuswatun
View
193
Download
5
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Kecepatan awalnya v0. Sudut θ0 ditetapkan π/4 rad. Setiap kurva akan berulang kembali dalam selang waktu yang sama dengan periode T. selama waktu itu, sudut ωt bertambah sebesar 2π rad. Ingat, bahwa apabila benda itu berada di salah satu ujung lintasannya, yaitu apabila koordinat x mempunyai harga positif atau negative yang maksimum (±A), kecepatannya nol dan percepatannya mencapai harga negative atau atau positif maksimumnya (〖±a〗_max). Ingat pula, bahwa ketika benda itu melewati posisi kesetimbangannya (x = 0), kecepatannya mempunyai harga positif atau negative maksimumnya (〖±V〗_max) dan percepatannya nol. Persamaan-persamaan gerak akan lebih sederhana bentuknya bila t kita tetapkan dengan 0 ketika benda itu berada di titik pertengahan atau di salah satu ujung lintasannya. Misalnya, kalau
Citation preview
Kecepatan awalnya v0. Sudut θ0 ditetapkan π /4 rad. Setiap kurva akan berulang
kembali dalam selang waktu yang sama dengan periode T. selama waktu itu, sudut ωt
bertambah sebesar 2 π rad. Ingat, bahwa apabila benda itu berada di salah satu ujung
lintasannya, yaitu apabila koordinat x mempunyai harga positif atau negative yang
maksimum (± A ), kecepatannya nol dan percepatannya mencapai harga negative atau
atau positif maksimumnya (± amax). Ingat pula, bahwa ketika benda itu melewati
posisi kesetimbangannya (x = 0), kecepatannya mempunyai harga positif atau
negative maksimumnya (± V max) dan percepatannya nol.
Persamaan-persamaan gerak akan lebih sederhana bentuknya bila t kita
tetapkan dengan 0 ketika benda itu berada di titik pertengahan atau di salah satu
ujung lintasannya. Misalnya, kalau kita buat t = 0 ketika benda itu mencapai
simpangan positif maksimumnya, maka x0 + A, sin θ0 = 1, θ0 =π /2, dan
X = A sin (ωt+ π /2) = A cos ωt ,
V = -ωA sin ωt ,
A =−ω2 A cos ωt . (11-18)
Ini sama artinya dengan memindahkan titik pangkal koordinat dari titik 0 ke
titik 0֨ pada gambar 11-5. Grafik x lawan t akan menjadi kurva cosinus, gravik v
lawan t menjadi kurva sinus negative, dan grafik a menjadi kurva cosinus negative.
Jika kita buat t = 0 ketika benda berada di titik pertengahannya sedang
bergerak menuju kea rah kanan, maka :
x0 = 0, sin θ0 = 0 θ0 = 0
dan
X = A sin ωt ,
V = ωA cosωt ,
A =−ω2 A sin ωt . (11-19)
Ini sama artinya dengan memindahkan titik pangkal dalam gambar 11-5 ke titik 0’’.
Contoh :
Andaikan massa benda pada gambar 11-2 25 g. konstanta gaya k=400 dyn cm -2, dan
gerak di mulai dengan perpindahan benda itu 10 cm ke sebelah menuju ke kanan.
Hitunglah :
(a) periode T (f) sudut (θ0)
(b) frekuensi (f) (g) kecepatan maksimum (Vmax)
(c) frekuensi sudut (ω) (h) percepatan maksimum (amax)
(d) energy total (E) (i) koordinat, kecepatan, dan percepatannya π /8
(e) amplitudo (A) sek setelah gerak di mulai.
Penyelesaian :
a.) T=2 π √ mk
¿2 π √ 25 g400 dyncm−1 ¿
π2
s=1,57 s
b.) f = 1T
= 2π
Hz=0,638 Hz
c.) ω=2 πf =4 rad s−1
d.) E=12
m v02+ 1
2kx0
2=40,000 erg
e.) A=√ 2 Ek
¿10√2cm
f.) sin θ0=x 0A
=1/√2 , θ0=π4
rad
g.) |V m ax|=√2 E /m ¿40 √2cm sek−1=56,6 cm sek−1
Kecepatan maksimum terjadi di titik tengah, dimana x=0. Jadi berdasarkan
persamaan (11-12)
|V max|=ωA ¿40 √2cm s−1
h.) Percepatan maksimum terjadi pada ujung-ujung lintasan dimana gaya adalah
maksimum. Berdasarkan persamaan (11-15)
|amax|=ω2 xmax ¿160√2cm s−2
i.) Persamaan-persamaan gerak adalah :
x=10√2 sin(4 t+ π4 )
x=40√2 cos (4 t+ π4 )
x=−160√2 sin(4 t+ π4 )
Waktu t=π8
sek , sudut fase ialah
(4 t+ π4 )=3 π
4rad ,
x=10√2 sin( 3 π4 )=10 cm
v=40√2 sin( 3 π4 )=−40 cm s−1
a=−160√2sin (3 π4 )=−160 cm s−2
Kurva-kurva pada Gambar 11-5 menyatakan gerak benda di dalam contoh ini,
jika skala-skala x,v,a dan t demikian rupa sehingga
x=10√2 cm, V max=40 √2 cm s−1
amax ¿−160√2 cm s−2, dan T = π2
s
persamaan-persamaan grafik harmoni sederhana dapat dijelaskan dengan
interpretasi geometri sebagai berikut. Andaikan segmen garis OQ pada gambar
11-6 (a), yang panjangnya sama dengan amplitude A, berputar dengan kecepatan
sudut ω terhadap titik O. segmen garis yang berputar itu sering dinamakan vector
yang berputar, padahal bukan merupakan besaran vector. Artinya, dalam diagram
ada arahnya tertentu, tetapi dalam ruang tidak ada arah tertentu. Vector seperti
Gambar, 11-6, Gerak harmonic sederhana memproyeksi ujung rotor OQ pada
sumbu bertikal
Ini lebih baik disebut rotor. (dalam bahasa Jerman “Zeiger”, yaitu, jarum petunjuk
jam atau pepenunjuk ukuran tekanan). Andaikan waktu t = 0, rotor OQ membentuk
sudut dengan sumbu horizontal yang sama besarnya dengan sudut fase awal θ0. Titik
P ialah proyeksi titik O ke atas sumbu vertical, dan jika OQ berputar, maka titik P
berosila sepanjang sumbu ini.
Sekarang akan dibuktikan bahwa persamaan-persamaan gerak P sama seperti
persamaan-persamaan gerak benda yang berosilasi menurut gerak harmonic
sederhana yang amplitudonya A, frekuensi ω, dan sudut fase awalnya θ0.
Umpamakan x menyatakan panjang OP. pada setiap saat t, sudut antara jari-jari OQ
dan sumbu horizontal sama besar dengan sudut fase ωt+θ0 dan
x=A sin (ωt+θ0 )
Kecepatan titik Q (lihat Gambar 11-6b), ialah ωA , dan komponen verticalnya, yang
sama dengan kecepatan P, ialah :
v=ωA cos (ωt+θ0 )
Percepatan Q ialah percepatan radialnya ω2 A (liat Gambar 11-6 c) dan komponen
vertikalnya, sama dengan percepatan P, ialah :
a=−ω2 A sin (ωt+θ0 )
Tanda negative haruslah dimasukkan, sebab percepatan akan negative bila
sinus fase sudutnya positif, dan sebaliknya. Persamaan-persamaan di atas merupakan
persamaan-persamaan gerak umum gerak harmonic. Dalam kejadian khusus yang
sesuai dengan persamaan (11-18), sudut fase awal ialah 90o dan titik patokan Q
berada didalam puncak lingkaran ketika t = 0. Jika titik patokan itu berada di ujung
sebelah kanan diameter horizontal ketika t = 0, maka θ0=0 dan gerak dituliskan
menurut persamaan (11-19).
11-5 Gerak benda yang tergantung pada pegas sulur
Gambar 11-7(a) memperlihatkan sebuah pegas sulur yang konstanta gayanya k dan
panjangnya tanpa beban ℓ. Apabila sebuah benda bermassa m diikatkan pada pegas
Seperti dalam bagian (b), benda itu akan menggantung dalam keadaan setimbang
dengan pegas itu, yang akan bertambah panjang sebesar ∆ℓ demikian rupa sehingga
gaya ke atas P yang dilakukan oleh pegas sama dengan berat benda, mg. karena
P=k ∆ l, maka
k ∆l=mg
Sekarang umpamakan benda berada pada jarak x diatas posisi
kesetimbangannya, seperti pada gambar bagian (c). Maka perpanjangan pegas kini
ialah ∆ l−x , gaya keatas yang dilakukan pegas pada benda itu ialah k ( ∆l−x ) , dan
gaya resultan F pada benda ialah
F=k (∆ l−x )−mg=−kx
Oleh karena itu gaya resultan sebanding dengan perpindahan benda dari posisi
kesetimbangnnya, dan jika terjadi gerak vertical, benda itu akan berosilasi dengna
frekuensi sudut ω √ km
.
Terkecuali dalam keadaan ideal, yaitu jika pegas bermassa nol, bahwasannya
pegas itu juga berasosila harus pula diperhitungkan. Akan tetapi, kita tidak dapat
begitu saja menambahkan massa pegas pada massa benda yang tergantung itu, sebab
tidak seluruh bagian pegas itu berosila dengan amplitude yang sama: amplitude pada
ujug bawah sama dengan amplitude benda yang tergantung itu, sedangkan amplitude
ujung atasnya nol. Angka koreksinya dapat dihitung sebagai berikut.
Andaikan L menyatakan panjang pegas ketika benda berada pada posisi
kesetimbangannya, dan mp massa pegas (spring) itu. Mari kita hitung energy kinetic
pegas pada suuatu saat ketika kecepatan ujung bawahnya v. pandang elemen pegas
yang panjangnya dy, pada jarak y di bawah ujung atas yang tetap. Massa elemen, dm p
ialah
dms=ms
Ldy
Seluruh bagian pegas diumpamakan berosila sama fase dan kecepatan elemen, vp,
proporsional dengan jaraknya dari ujung tetap itu : Vp = (y/L) v.
Energy kinetic total pegas itu ialah :
dEk=¿
12
.dms .v s2=
12
.ms
L s
dy.( yL )
2
¿,
Dan energy kinetic total pegas itu ialah :
E k=12
.ms
L3
.∫0
1
y2 dy=12 ( 1
3ms) v2.
Ini sama dengan energy kinetic sebuah benda yang massanya sepertiga massa pegas
itu, yang bergerak dengan kecepatan yang sama seperti kecepatan benda yang
tergantungkan itu. Dengan lain perkataan, massa ekivalen system yang bergetar, sama
dengan massa benda yang tergantung di tambah sepertiga massa pegas.
Contoh :
Sebuah benda bermassa 1 kg digantungkan pada sebuah pegas sulur yang massanya
0,09 kg dan konstanta gayanya 66 N m-1. Hitunglah frekuensi dan amplitude gerak
yang terjadi jika benda itu turun sejauh 0,03 m di bawah posisi kesetimbangannya
dan memperoleh kecepatan ke baah sebesar 0,4 m s-1. Frekuensi sudutnya ialah :
ω=√ k
m+ms
3
=¿√ 66 N m−1
1,03 kg=¿8,00 radisek−1 ¿¿
Amplitudonya dirumuskan dalam bentuk koordinat dan kecepatan awal dengan
menggunakan persamaan (11-17). Jadi,
A=√x02+¿¿ ¿√¿¿ = 0,0582 m.
11-6 Ayunan matematis
Ayunan matematis (disebut juag ayunan sederhana) didefinisikan sebagai sebuah
partikel yang tergantung pada suatu titik tetap dari seutas tali yang tidak mempunyai
berat dan tidak dapat bertambah panjang. Bila ayunan itu bergerak dari vertical
sehingga membuat sudut θ, seperti pada Gambar 11-8, maka gaya pemuliahnnya
ialah mg sin θ, dan simpangan s dari posisi kesetimbangannya sama dengan Lθ,
dimana L ialah panjang tali dan θ di ukur dalan radian. Karena itu geraknya bukan
harmonic, karena gaya pemulihannya itu proporsional dengan sin θ, sedangkan
Gambar 11-8, Gaya-gaya yang bekerja terhadap bandul ayunan matematis
Simpangannya proporsional dengan θ, dan gaya-gaya akan menjadi
F ≈−mgθ ≈(mgL )s
Karena itu konstanta gaya efektif ialah k = mg/L, dan periodenya :
T ≈ 2 π √m /k ≈ 2 π √L/ g . (11-20)
Dapat dibuktikan bahwa persamaan eksak untuk periode, bila simpangan sudut
maksimum θ, diberikan oleh deret tak terhingga
T ≈ 2 π √ Lg (1+ 12
22 sin2 ∅2
+ 12 .32
22 . 42 sin4 ∅2
+…) (11-21)
Periode dapat dihitung sampai tingkat ketelitian yang diinginkan dengan mengambil
suku secukupnya dalam deret itu. Bila ∅=15o, periode sejati akan berbeda dari
periode berdasarkan persamaan (11-20); bedanya kurang dari 0,5%.
Penetapan ayunan itu untuk pencatat waktu (jam), adalah berdasarkan bahwa
periodenya praktis tidak bergantung pada amplitudonya. Jadi, jika sebuah jam bandul
semakin lambat ayunannya dan jika amplitudonya semakin kecil, jam itu tetap akan
meninjukkan waktu yang sangat hamper tepat.
Ayunan matematis juga merupakan suatu metode yang teliti dan mudah untuk
mengukur percepatan gaya berat,g, tanpa memanfaatkan benda jatuh bebas, karena L
dan T dapat mudah diukur. Ayunan yang dibuat lebih seksama banyak dipakai dalam
bidang geofisika. Endapan bijih besi atau minyak di suatu tempat, jika kerapatannya
berbeda dengan kerapatan bahan-bahan di sekelilingnya, mempengaruhi harga g di
tempat itu, dan hasil pengukuran yang teliti harga g ini diseluruh daerah yang sedang
di selidiki, sering memberikan informasi tentang sifat endapan itu.
Gambar 11-9 merupakan foto multiflash atas satu kali gerak ayunan matematis
Gambar,11-9. Satu kali gerak ayunan matematis
11-7 Gambar Lissajous
Garis-garis lengkung yang dikenal dengan nama gambar Lissajous merupakan
tempuhan sebuah partikel yang berosilasi sekaligus dalam dua arah yang saling tegak
lurus. Pada umumnya, amplitude dan frekuensi getaran dalam tiap arah dapat
berbeda, dan kedua getaran dapat pula mempunyai beda fase awal.
Gambar, 11-10. Ayunan berganda untuk menghasilkan gambar Lissanjous
Bola ayunan dalam gambar 11-10, yang tergantung pada tiga tali yang membentuk
huruf , melukiskan salah satu cara menghasilkan gerak osilasi semacam itu, bila
bergetar dalam arah x, seperti pada (a), frekuensinya sama seperti ferkuensi ayunan
sederhana yang panjangnya L1. Dalam arah y, frekuensinya sama seperti frekuensi
yang ayunan panjangnya L2. Jika serentak disimpangkan kea rah x dank e arah y lalu
dilepaskan, bola itu akan bergetar sekaligus dengan kedua frekuensi.
Bintik pada layar tabung sinar-katode, yang terjadi akibat tumbukan arus electron
yang bergerak cepat, juga akan bergerak membentuk gambar Lissanjous bila pelat
penyimpangan horizontal dan vertical sekaligus diberi tegangan bolak-balik
sinusoidal.
Rumus umu untuk koordinat x dan koordinat y partikel yang bergetar itu ialah :
x=Ax sin ( ωx t+θ1 ) , y=A y sin (ω y t +θ2 ) ,
Dimana Ax dan Ay ialah amplitudonya, ωx dan ω y ialah frekuensi angular yang
sesuai, dan θ1 dan θ2 adalah sudut awalnya. Ini merupakan persamaan lintasan dalam
bentuk parameter.
Gambar,11-11. Gambar Lissajous dijelaskan secara grafik
Persamaan-persamaan diatas dijelaskan secara grafik oleh diagram rotor pada
Gambar 11-11. Koordinat x ujung rotor pada diagram sebelah bawah memberikan
koordinat x partikel yang sedang bergetar, dan koordinat y ujung rotor diagram diatas
memberikan koordinat y nya. Jadi dengan memproyeksi keatas, dan menyilang dari
ujung-ujung rotor ini, maka posisi partikel itu pada setiap saat ditentukan. Diagram
itu memperlihatkan posisi parrtikel pada saat t = 0 pada suatu saat t kemudian.