BAB I PENDAHULUAN A.LATAR BELAKANG
Seringkalimodelmatematikatersebutmunculdalambentukyangtidakidealalias
rumit.Modelmatematikayangrumitiniadakalanyatidakdapatdiselesaikandengan
metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejatinya
(exact solution).
Yangdimaksuddenganmetodeanalitikadalahmetodepenyelesaianmodelmatematika
dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim).
Metodenumerikmerupakanalatbantupemecahanmasalahmatematikayangsangat
ampuh.Metodenumerikmampumenanganisistempersamaanbesar,kenirlanjaran,dan
geometriyangrumityangdalampraktekrekayasaseringkalitidakmungkindipecahkan
secaraanalitik.Metodenumerikmenyediakansaranauntukmemperkuatkembali
pemahamanmatematika.Karena,metodenumerikditemukandenganmenyederhanakan
matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang
mendasar. Pada laporan ini, kita akan melihat bagaimana
penyelesaian soal secara numeric untuk
mencariakarpersamaan,menghitungluasdaerahbidangdatar,danmencarisolusi
persamaan differensial.Selain itu, kita akan melihat implementasi
program dari metode-metode numeric yang digunakan dalam MATLAB.
B.RUMUSAN MASALAH
a.Bagaimanamenghitungakarpersamaandenganmetodebisection?Bagaimana
implementasinya dalam MATLAB?
b.Bagaimanamencariluasdaerahbidangdatarmenggunakanpersamaannumeric?
BagaimanapenulisanprogramMencariluasdaerahbidangdatarsecaranumerik
dalam MATLAB? c.Seperti apa bentuk persamaan diferensial? Bagaimana
program persamaan diferensial dalam MATLAB? d.Apa perbedaan
persamaan analitik dan numeric dalam ketiga materi yang dibahas?
C.TUJUAN a.Untuk memenuhi tugas Metode Komputasi Numerik.
b.Mendeskripsikantentangmetodebisection,caramencariakarpersamaandengan
menggunakan metode tersebut dan implementasinya dalam MATLAB.
c.Mencariluasdaerahbidangdatarmenggunakanpersamaannumericsertapenulisan
programnya di MATLAB.
d.Mendeskripsikanmengenaipersamaandiferensialsertaprogrampersamaan
diferensial dalam MATLAB.
e.Menunjukkanperbedaanpersamaananalitikdannumericdalamketigamateriyang
dibahas. D.BATASAN MASALAH
Hal-halyangakandibahasdalamlaporaniniadalahberupamaterimengenai
pencarianakarpersamaanmenggunakanmetodebisection(metodebagidua),metode
trapeziumdanmetode4-persegipanjanguntukmencariluasdaerahbidangdatar,serta
persamaandiferensial.Programyangdigunakanuntukmengimplementasikanketiga
materi tersebut adalah MATLAB. BAB II LANDASAN TEORI A. MENCARI
AKAR PERSAMAAN 1.Penyelesaian Analitik Rumus ABC F(X) =
X 1,2=
Contoh soal: Carilah nilai x yang memenuhi persamaan berikut
ini: f(x) = x2 x 6 = 0 Tahap penyelesaian: Uraikan faktor-faktor di
atas: f(x) = ax2 + bx + c = 0 x2 + (b/a) x + (c/a) = 0 (x x1)(x x2)
= 0 (x 3)(x + 2) = 0 Jawaban : x1 = + 3dan x2 = 2 2.Penyelesaian
Numerik
MetodeBisectionadalahsalahsatukelasmetodePengelompokan,karenaprosedur
untukmendapatkannilaixuntukf(x)=0dilakukanmelaluipendekatankelompok
akar. Metode ini tidak sepenuhnya memanfaatkan data f(x) bagi
penentuan nilai x. Langkah langkah dalam menyelesaikanMetode Bagi
Dua : Langkah1:Pilihasebagaibatasbawahdanb
sebagaibatasatasuntuktaksiranakarsehingga
terjadiperubahantandafungsidalamselang interval. Atau periksa
apakah benar bahwaf(a) . f(b) < 0 Taksiran nilai akar baru, c
diperoleh dari : Langkah 2 : 2b ac+=Menentukan daerah yang berisi
akar fungsi: Langkah 3 : Jika z merupakan akar fungsi, maka f(x
< z) dan f(x > z) saling berbeda tanda. -f(a)*f(c) negatif,
berarti di antara a & c ada akar fungsi.
-f(b)*f(c)positif,berartidiantarab&ctidakadaakar
fungsiMenentukan kapan proses pencarian akar fungsi berhenti:
Langkah4:Prosespencarianakarfungsidihentikansetelahkeakuratanyang
diinginkan dicapai, yang dapat diketahui dari kesalahan relatif
semu. Algoritma Metode Bisection
Asumsiawalyangharusdiambiladalah:menebakintervalawal[a,b]dimanaf(x)
adalah kontinu padanya, demikian pula harus terletak mengapit
(secara intuitif) nilai akar o, sedemikian rupa, sehingga: f (a) f
(b) s 0 B.MENCARI LUAS DAERAH BIDANG DATAR 1.Menggunakan Persamaan
Analitik Metode yang digunakan adalah perhitungan secara integral.
Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik y = f(x), x = a, x =
bdany=0,luasnyaA(R)ditentukanoleh:A(R)=dx x fba}) ( Jika gambar
terletak dibawah sumbuXmaka integral diatas bernilai negatif,
karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai
integral tersebut dimutlakkan. Perhatikan pula gambar daerah rata
berikut ini : Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik x = f(y), y = c,
y = d dan x = 0, luasnya A(R) ditentukan oleh :A(R)=dy y fdc}) (
Jika gambar terletak disebelah kiri sumbuYmaka integral
diatasbernilainegatif,karenaluasdaerahtidakmungkin bilangan negatif
maka nilai integral tersebut dimutlakkan. 2.Menggunakan Persamaan
Numerik a.Metode 4-Persegi Panjang Metode4-PersegiPanjang
ataudisebutjugaMetode Integral Reimann: a.Luasanyangdibatasiy= f(x)
dan sumbu x b.LuasandibagimenjadiN bagianpadarangex= [a,b]
c.Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana
Li=f(xi). Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :
DimanaDidapat b.Metode Trapesium
Metodetrapesiummerupakanmetodependekatanintegralnumerikdengan
persamaanpolinomialordersatu.Dalammetodeinikurvelengkungdarifungsif
(x)digantikanolehgarislurus.Menurutrumusgeometri,luastrapesiumadalah
lebar kali tinggi rerata, yang berbentuk: 2) ( ) () (b f a fa b I+
~(7.2)
PadaGambar7.3,penggunaangarislurusuntukmendekatigarislengkung
menyebabkanterjadinyakesalahansebesarluasanyangtidakdiarsir.Besarnya
kesalahan yang terjadi dapat diperkirakan dari persamaan berikut: )
)( ( ' '121a b f E = (7.3)dengan adalah titik yang terletak di
dalam interval a dan b. ix A( ) ( ) ( ) ( )( )iniinnx x fx x f x x
f x x f x x fL L L L LA =A + + A + A + A =+ + + + ==03 2 2 1 1 0 02
1 0.....h x x x xn = A = = A = A = A ...2 1 0( ) ( )}==niibax f h
dx x f00.20.250.30.350.40.450.50 0.5 1 1.5 2 2.5
3x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35Persamaan(7.3)menunjukkanbahwaapabilafungsiyangdiintegralkanadalah
linier, maka metode trapesium akan memberikan nilai eksak karena
turunan kedua
darifungsilinieradalahnol.Sebaliknyauntukfungsidenganderajatduaatau
lebih, penggunaan metode trapesium akan memberikan kesalahan.
Gambar 7.3. Metode trapesium Untuk mengurangi kesalahanyang terjadi
maka kurve lengkung didekati oleh
sejumlahgarislurus,sehinggaterbentukbanyakpias.Luasbidangadalahjumlah
dariluasbeberapapiastersebut.Semakinkecilpiasyangdigunakan,hasilyang
didapat menjadi semakin teliti. Gambar 7.4. Metode trapesium dengan
banyak pias Dalam Gambar 7.4, panjang tiap pias adalah sama yaitu
Ax. Apabila terdapat n pias, berarti panjang masing-masing pias
adalah: na bx= ABatas-batas pias diberi notasi: xo = a, x1, x2, ,
xn = b Integral total dapat ditulis dalam bentuk: }+ +}+}=n1
n2110xxxxxx) ( ) ( ) ( dx x f dx x f dx x f I (7.4) Substitusi
persamaan (7.2) ke dalam persamaan (7.4) akan didapat: ((
+ + ==) ( ) ( 2 ) (2n1 n1 ii 0x f x f x fxI (7.5) Besarnya
kesalahan yang terjadi pada penggunaan banyak pias adalah: ) ( ' '
) (12i2tx f a bx = c (7.7)
yangmerupakankesalahanorderdua.Apabilakesalahantersebutdiperhitungkan
dalam hitungan integral, maka akan didapat hasil yang lebih teliti.
Bentuk persamaan trapesium dengan memperhitungkan koreksi adalah: )
( ) ( ' ' ) (12) ( 2 ) ( ) (2421 n1 iix O f a bxx f b f a fxI
((
+ + == (7.8) Untuk kebanyakan fungsi, bentuk f ''( ) dapat
didekati oleh: a ba f b ff=) ( ' ) ( ') ( ' ' (7.9) | | ) ( ' ) (
'12) ( 2 ) ( ) (221 n1 iia f b fxx f b f a fxI ((
+ + ==(7.10) Bentuk persamaan (7.10) disebut dengan persamaan
trapesium dengan koreksi ujung, karena memperhitungkan koreksi pada
ujung interval a dan b. Contoh soal:
GunakanmetodetrapesiumempatpiasdenganlebarpiasadalahAx=1untuk
menghitung:dx e I}=40x Penyelesaian: Metode trapesium dengan 4
pias, sehingga panjang pias adalah: . 140 4 ===na bxLuas bidang
dihitung dengan persamaan (7.6): ((
+ + ==11) x ( f 2 ) b ( f ) a ( f2xInii| | . 991950 , 57 ) (
2213 2 1 4 0= + + + + = e e e e eKesalahan relatif terhadap nilai
eksak: %. 2 , 8 % 100598150 , 53991950 , 57 598150 , 53t = =
cApabila digunakan metode trapesium dengan koreksi ujung, maka
integral dihitung
denganpersamaan(7.10).Dalampersamaantersebutkoreksiujungmengandung
turunan pertama dari fungsi. Apabila f (x) = ex, turunan pertamanya
adalah f ' = ex; sehingga:| | ) ( ' ) ( '12) ( 2 ) ( ) (221 n1 iia
f b fxx f b f a fxI ((
+ + == | | ) (121) ( 2210 4 3 2 1 4 0e e e e e e e + + + + =.
525437 , 53 466513 , 4 991950 , 57 = =Kesalahan relatif terhadap
nilai eksak: %. 14 , 0 % 100598150 , 53525437 , 53 598150 , 53t= =
c C. MENCARI SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENISIAL 1.Penyelesain Analitik
Persamaandiferensialbiasaadalahpersamaandiferensialdimanafungsiyangtidak
diketahui(variabelterikat)adalahfungsidarivariabelbebastunggal.Dalambentuk
palingsederhanafungsiyangtidakdiketahuiiniadalahfungsiriilataufungsi
kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun
matriks.
Persamaandiferensialbiasadibedakandenganpersamaandiferensialparsial,yang
melibatkanturunanparsialdaribeberapavariable.PersamaanDiferensialBiasa
(PDB) adalah persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan
fungsi satu peubah.
SolusidariPDBadalahfungsitertentuyangmemenuhipersamaantersebut.Berikut
beberapa contoh PDB :
dengancadalahsembarangkonstantayangtidakdiketahui.SehinggasolusiPDBdi
atasdisebutjugasolusiumum.Solusikhususbisadiperolehbilaadalagisebuah
persamaan yang merupakan syarat batasnya. Secara umum, dapat
ditulis: sehingga diperoleh : 2.Penyelesaian Numerik DeretEULER
Metode ini pada dasarnya adalah merepresentasikan solusinya dengan
beberapa suku
deretTaylor.Misalkansolusidaripersamaandiferensialtersebutdapatditulisdalam
bentuk deret Taylor: Bila hanya sampai suku pada Deret
Taylor,makadinamakan metode Deret Taylor orde-n. Metode Deret
Taylor orde-1 disebut metode Euler. Untuk mencari solusi numerik
dari PDB: sepanjang selang [a, b], dua suku pertama pada deret
Taylor yaitu: Sehingga dapat ditulis
yangdapatdigunakanmulait=asampaiket=bdengann-langkahyangpanjang
langkahnya h = (b a) /n. Contoh: Tentukan x(2) dengan menggunakan
Metode Euler (n = 4) untuk persamaan diferensial x = 1 + x2 + t3
bila diketahui syarat awal x(1) = 4 Penyelesaian:
Untukmemperolehhampiranyanglebihakurat,dapatdigunakanMetodeDeret
Taylor orde yang lebih tinggi. Perhatikan persamaan diferensial
berikut ini: Bila PD tersebut diturunkan beberapa kali terhadap t,
diperoleh: sehingga dapat diperoleh: BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN
A.Metode Bisection Tugas 1 : Program bisection.m fungsi_2011.m :
Output: Masukkan iterasi maksimum N=10 N = 10 Masukkan toleransi
tol=0 tol = 0 Masukkan sembarang a=3 a = 3 Masukkan sembarang b=-2
b = -2 ans = salah satu akar adalah: x = -2 Tugas 2 Hasil nya:
Masukkan iterasi maksimum N=20 N = 20 Masukkan toleransi tol=0 tol
= 0 Masukkan sembarang a=-5 a = -5 Masukkan sembarang b=6 b = 6
Grafik: Output: Masukkan iterasi maksimum N=20 N = 20 Masukkan
toleransi tol=0 tol = 0 Masukkan sembarang a=-2 a = -2 Masukkan
sembarang b=3 b = 3 Grafik: Tugas 3: Tanggal : 15-01-1991 (A=1,
B=5, C=1, D=9, E=1) Output: Masukkan toleransi tol=0 tol = 0
Masukkan sembarang a=-3 a = -3 Masukkan sembarang b=5 b = 5 Grafik:
B.Metode 4-Persegi Panjang dan Metode Trapesium Tugas 1: a = 3, b =
-2 Tugas 2: Output: Masukkan iterasi maksimum N=100 N = 100
Masukkan toleransi tol=10^-6 tol = 1.0000e-006 Masukkan sembarang
a=3 a = 3 Masukkan sembarang b=-2 b = -2 ans = Toleransi Tercapai
Grafik: BAB IV PENUTUP A.KESIMPULAN Ciri-ciri penyelesaian
analitik: -Masalah harus memenuhi format tertentu.
-Menggunakanrumusmatematiktertentuatauprosedurbakuyangberlakuumum
dan bersifat tetap.-Jawaban yang diperoleh adalah jawaban exact
-Memerlukan kecerdasan atau pengetahuan khusus DAFTAR PUSTAKA
