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Mikrookonomische Theorie:
Kostenminimierung
Dr. Jan HeuferTU Dortmund
28. Juni 2011
EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Ubersicht
Einfuhrung
Kostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
MotivationZum Begriff “Kosten”
Wirtschaftskreislauf
Konsumguter
Produktionsfaktoren
Nachfrage Angebot
Angebot Nachfrage
KonsumentenHaushalte
ProduzentenFirmen
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
MotivationZum Begriff “Kosten”
I Bisher: Theoretische Beschreibung derProduktionsmoglichkeiten eines Unternehmens
I Offene Frage: Wie begrundet sich—okonomisch—dieAuswahl bestimmter Produktionsprozesse?
I Die Kosten eines Unternehmens sind nicht einfachvorgegeben, sondern ergeben sich aus Optimierung
I Daher wenden wir uns hier den Kosten bzw. dersogenannten Kostenfunktion zu
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
MotivationZum Begriff “Kosten”
I Ziel: Beschreibung des Verhaltens einesgewinnmaximierenden Unternehmens
I Vorgehen:I Beschreibung des Prinzips der Kostenminimierung.
Dies ist notwendiger Bestandteil der Gewinnmaximierungals Hypothese. Dabei wir fur jeden moglichen Output,den ein Unternehmen wahlen kann, diekostenminimierende Produktionsweise bestimmt.
I Danach wird der Output gewahlt, der den hochstenGewinn erbringt.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
MotivationZum Begriff “Kosten”
Quelle: Butzer et al. (2010): “Measures of Fixed Capital in Agriculture”, World Bank
Policy Research Working Paper 54725 / 58
EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
MotivationZum Begriff “Kosten”
I Betrachtet werden hier Faktorkosten.
I Unternehmen uberlegen sich—ex ante—mit welchenInputmengen ein Output x produziert werden kann.
I Es gibt regelmaßig viele verschiedene Kombinationen vonInput, mit denen ein Output produziert werden kann.
I Welche Kosten werden—bei gegebenenFaktorpreisen—fur diese Moglichkeiten anfallen?
I Nicht nur explizite (“tatsachliche”) Ausgaben zahlendabei, sondern auch implizite Ausgaben.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
MotivationZum Begriff “Kosten”
Implizite Kosten: Beispiel
I Zwei ansonsten identische Unternehmen erweitern ihreProduktionsstatten durch Ausgaben von 100,000 Euro.
I Unternehmen A nimmt dafur einen Kredit in dieser Hoheauf.
I Unternehmen B setzt eigene Mittel ein.
I Unternehmen A hat dann explizite Kosten in Hohe derZinslast.
I Unternehmen B hat keine expliziten Kosten.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
MotivationZum Begriff “Kosten”
Implizite Kosten: Beispiel
I Hat Unternehmen B nun gar keine Kosten?
I Doch: Unternehmen B hat implizite Kosten, die A nichthat.
I Diese Kosten ergeben sich aus dem Ertrag deralternativen Verwendungsform der 100,000 Euro.
I B hatte das Geld—zum Beispiel—fur einen Zinssatz von5% verleihen konnen.
I B verzichtet durch den Einsatz des Geldes im Betrieb aufZinsen in Hohe von 5,000 Euro.
I Dies sind sogenannte Opportunitatskosten.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
MotivationZum Begriff “Kosten”
Opportunitatskosten
I Buchhalterische Kosten erfassen nur wenige dieserOpportunitatskosten, die nur implizit anfallen.
Opportunitatskostenprinzip
Nach dem Opportunitatskostenprinzip entsprechen die Kosteneiner Handlung dem Wert der attraktivsten alternativenMoglichkeit, auf die zugunsten der gewahlten Handlungverzichtet wird.
I Was kostet demnach ein Studium?
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
I Zunachst ein einfaches Beispiel:
Beispiel
I Produktionsziel (angestrebter Output): x = 10 Einheiten.
I Produktionsmoglichkeiten: 4 Aktivitaten A1, A2, A3, A4.
I Dabei gilt:
I A1 = (1, 6)I A2 = (2, 4)I A3 = (3, 3)I A4 = (5, 2)
wobei die erste Zahl den Faktoreinsatz Arbeit (`) und diezweite Zahl den Faktoreinsatz Kapitel (k) angibt.
I Faktorpreise w = 10 fur Arbeit, r = 15 fur Kapital
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Diese vier Produktionsmoglichkeiten A1 bis A4 und dieFaktorpreise bestimmen die Kostenstruktur des Unternehmens:
Akt. Lohnkosten w · ` Kapitalkosten r · k KostenA1 10 90 100A2 20 60 80A3 30 45 75A4 50 30 80
Ergebnis: x = 10 sollte durch Wahl der Aktivitat A3 produziertwerden.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Definition
I K (x ;w , r) = K (10; 10, 15) = 75 heißen (Produktions-)Kosten der Ausbringungsmenge x = 10.
I Produktionskosten werden im folgenden immer alsMinimalkosten interpretiert.
I Im Beispiel werden die Produktionskosten von 75 durchdie Faktorkombination
(¯, k) = (3, 3)
realisiert; sie heißt kostenminimale Faktorkombination.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Allgemeine Charakterisierung kostenminimaler Faktorkombinationen
I Problem:
min(`,k)
w ` + r k unter der Nebenbedingung F (`, k) = x
I Im Beispiel mit vier Aktivitaten definieren A1, . . . ,A4 eineIsoquante, da sie alle x = 10 produzieren.
I Diese fasst die technologischen Beschrankungenzusammen.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Diagramm: Isoquante
A1
A2
A3
A4
Iq(10)
`
k
0 2 4 6 8 100
2
4
6
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
I Dieses Diagramm fasst also die technologischenBeschrankungen zusammen.
I In dasselbe Diagramm sollen nun dieKostenbeschrankungen eingetragen werden.
I Dazu betrachten wir nun die Faktorkombinationen, diealle zu denselben Kosten fuhren.
I Diese Kombinationen werden als Isokostengeradenbezeichnet.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Isokostengeraden
I Die Isokostengeraden sind durch
{(`, k) : w ` + r k = c}
gegeben.I Im Beispiel ist w = 10 und r = 15. Das heißt
10 ` + 15 k = c
bzw.
k = −2
3` +
c
15.
I Wie sieht die Isokostengerade fur c = 75 aus?
k = −2
3` + 5
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Diagramm: Isokostengeraden
steigende Kosten
Steigung: −23
= −wr
`
k
0 2 4 6 8 100
2
4
6
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Isokostengeraden
I Die Isokostengeraden sind durch
{(`, k) : w ` + r k = c}
gegeben.
I Im Beispiel ist w = 10 und r = 15. Das heißt
10 ` + 15 k = c
bzw.
k = −2
3` +
c
15.
I Wie sieht die Isokostengerade fur c = 75 aus?
k = −2
3` + 5
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Diagramm: Isokostengeraden
Iq(10)
`
k
0 2 4 6 8 100
2
4
6
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Isokostengeraden
I Die Isokostengerade k = −(2/3) ` + 5 beruhrt dieIsoquante Iq(10) im Produktionspunkt (3, 3), der derAktivitat A3 entsprecht.
I Die Isokostengerade, die gerade noch einen Punkt mit derIsoquante gemeinsam hat, entspricht dem niedrigstenKostenniveau.
I Alle anderen Punkte der Isoquante liegen aufIsokostengeraden mit hoherem Kostenniveau.
I Also: (3, 3) ist die kostenminimale Faktorkombination beiPreisen (w , r) = (10, 15) zur Produktion von x = 10.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Isokostengeraden
I Allgemein gilt:
k = −w
r` +
c
r.
I Wenn sich die relativen Faktorpreise andern, andert sichdie Steigung der Isokostengerade unddaher—moglicherweise—auch der Bruhrungspunkt mitder Isoquante.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Allgemeine Kostenminimierung
I Sei F (`, k) eine (neoklassische) Produktionsfunktion.I min(`,k) w ` + r k u.d.Nb. F (`, k) = x
Isokostengerade
Ix
`
k
k∗
`∗
In (`∗, k∗) gilt:
Isokostengerade = Tangente an Isoquante
Steigung Isokostengerade =
Steigung Ix in (`∗, k∗)
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Allgemeine Kostenminimierung
I Also: −wr
= −F`(`∗,k∗)Fk (`∗,k∗)
.
I Wir haben also: Faktorpreisverhaltnis = Verhaltnis derGrenzproduktivitaten der Faktoren.
I Letzeres entspricht der technischen Grenzrate derSubstitution
Ergebnis
w
r=
F`(`∗, k∗)
Fk(`∗, k∗)
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Allgemeine Kostenminimierung: Lagrange
I min(`,k) w ` + r k + λ[F (`, k)− x ].
I Ableitung nach `: (1) w + λ ∂F (`,k)∂`
= 0.
I Ableitung nach k : (2) r + λ ∂F (`,k)∂k
= 0.
I Aus (1) und (2): wr
= −λ ∂F/∂`−λ ∂F/∂k = F`(`,k)
Fk (`,k).
I Ableitung nach λ: F (`, k)− x = 0⇔ F (`, k) = x .
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Allgemeine Kostenminimierung: Lagrange
I Parameter des Problems: Outputziel x und Faktorpreisew und r
I Die Losung (`∗, k∗) wird von diesen Parameternabhangen:
I `∗ = `∗(x ;w , r)
I k∗ = k∗(x ;w , r)
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Allgemeine Kostenminimierung
Definition
Sei also (`∗(x ;w , r), k∗(x ;w , r)) die Losung desKostenminimierungsproblems (also die kostenmininaleFaktorkombination) in Abhangigkeit von Outputziel undFaktorpreisen. Dann heißt
C (x ,w , r) = w `∗(x ;w , r) + r k∗(x ;w , r)
Kostenfunktion (zur Produktionsfunktion F ).
I Kurz: C (x) bei gegebenen Preisen (w , r) ist gleichw `∗(x) + r k∗(x).
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Allgemeine Kostenminimierung: Bemerkungen
I ` ∗ (x ;w , r) und k∗(x ;w , r) heißen auch abgeleitete oderbedingte Faktornachfragefunktionen.
I Kostenminimierung fuhrt also zur Faktornachfrage
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Die Langfristige Kostenfunktion LK (x)
Definition
Sei C (x) die Kostenfunktion wie eben. Dann heißt dieFunktion
LK (x) = C (x) = w `∗(x) + r k∗(x)
= C (`∗(x), k∗(x))
die langfristige Kostenfunktion (zur Produktionsfunktion F beiPreisen (w , r)).
I LK (x) ist homogen vom Grad 1 in (w , r).I Die langfristige Kostenfunktion entspringt also wie jede
Kostenfunktion einer technologischen Beschrankung undeiner Preisbeschrankung in Form der gegebenenFaktorpreise.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Die Langfristige Kostenfunktion LK (x)
I Warum langfristig?
I Wir haben bisher unterstellt, dass alle Faktoren fur dieUnternehmen frei variabel sind.
I Insbesondere ist damit die Moglichkeit totalerFaktorvariation gegeben – wie sie beim Konzept derSkalenertrage zugrunde gelegt werden.
I Naheliegende Frage: Wie sieht die langfristigeKostenfunktion zu Produktionsfunktionen vomHomogenitatsgrad r aus?
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Homogenitatsgrad der Produktionsfunktion
I Wie sieht die langfristige Kostenfunktion zuProduktionsfunktionen vom Homogenitatsgrad r aus?
Satz
Sei F (`, k) homogen vom Grad r , d.h.F (λ `, λ k) = λr F (`, k).Dann gilt, dass
LK (x) = a x1/r mit a = konstant.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Homogenitatsgrad der Produktionsfunktion
Beweis fur r = 1 (konstante Skalenertrage):
I Damit reduziert sich die Behauptung zuLK (x) = a x1/r = a x .
I Sei (`∗, k∗) die kostenminimale Faktorkombination fur x∗,d.h. F (`∗, k∗) = x∗ und LK (x∗) = w `∗ + r k∗.
I Behauptung: (λ `∗, λ k∗) ist die kostenminimaleFaktorkombination fur λ x∗, d.h.
LK (λ x∗) = λ LK (x∗).
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Homogenitatsgrad der Produktionsfunktion
I Behauptung: LK (λ x∗) = λ LK (x∗).
I Es gilt:
λ x∗ = λF (`∗, k∗) = F (λ `∗, λ k∗),
d.h. λ x∗ kann mit (λ `∗, λ k∗) produziert werden.
I Noch zu zeigen: λ x∗ kann nicht billiger als mit(λ `∗, λ k∗) produziert werden.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Homogenitatsgrad der Produktionsfunktion
I λ x∗ kann nicht billiger als mit (λ `∗, λ k∗) produziertwerden.
I Angenommen, (λ `∗, λ k∗) ist nicht kostenminimal, d.h.(¯, k) mit F (¯, k) = λ x∗ undw ¯+ r k < w (λ `∗) + r (λ k∗) = λ (w `∗ + r k∗).
I Dann gilt:
1
λ(w ¯+ r k) < w `∗ + r k∗
⇔ w
( ¯
λ
)+ r
(k
λ
)< w `∗ + r k∗.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Homogenitatsgrad der Produktionsfunktion
I w(
¯
λ
)+ r
(kλ
)< w `∗ + r k∗.
I Mit Faktoreinsatz(
¯
λ, kλ
)kann aber
F
( ¯
λ,k
λ
)=
1
λF (¯, k)
=1
λ(λ x∗)
= x∗
produziert werden.
I Dies widerspricht der Annahme, dass (`∗, k∗) diekostenminimale Faktorkombination fur x∗ ist.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Homogenitatsgrad der Produktionsfunktion
I Daraus folgt, dass LK (λ x) = λ LK (x), d.h. LK (x) istlinear.
I Genauer gesagt:
LK (x) = LK (1 · x) = x LK (1)
= a x
mit a = LK (1).
I Ubung: Beweis fur r 6= 1.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Langfristige Durchschnittskosten und Grenzkosten
I Zur Erinnerung: Fur beliebige r gilt LK (x) = a x1/r
I Folgerung:
LDK (x) =LK (x)
x= a x1/r−1
LGK (x) =∂LK (x)
∂x=
1
ra x1/r−1
I Fur r = 1: LDK (x) = LGK (x) = a
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Langfristige Durchschnittskosten und Grenzkosten
r < 1
r > 1
r < 1
r > 1
x
LDKLGK
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Langfristige Durchschnittskosten und Grenzkosten
Beispiel (Cobb-Douglas Produktionsfunktion
I Sei F (`, k) = `1/2 k1/2. Welche Kostenfunktion gehort zuF?
I Kostenminimierung fuhrt zu wr
= F`
Fk= (1/2)`−1/2 k1/2
(1/2)`1/2 k−1/2 = k`.
I Umgestellt: k = wr`.
I Da F (`, k) = x folgt F(`, w
r`)
= `1/2(wr`)1/2
= x .
I Also: `∗ =(
rw
)1/2x (abgeleitete Arbeitsnachfrage
`∗(x ;w , r))
I Und: k∗ =(wr
)1/2x (abgeleitete Kapitalnachfrage
k∗(x ;w , r))
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Langfristige Durchschnittskosten und Grenzkosten
Beispiel (fortgefuhrt)
I `∗ =(
rw
)1/2x und k∗ =
(wr
)1/2x
I Dann folgt:
LK (x) = w `∗ + r k∗ = w( r
w
)1/2
x + r(wr
)1/2
x
= 2 (w r)1/2 x = a x
wobei a = 2 (w r)1/2.
I Beachte, dass LK (x) linear ist; zum Beispiel ist a = 40fur w = 16 und r = 25.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Kurzfristige Kostenfunktionen
I Fur LK (x) haben wir unterstellt, dass alle Faktorenvariabel sind.
I Kurzfristig ist dies nicht immer der Fall. DerKapitaleinsatz ist kurzfristig oft fix.
I Arbeitseinsatz kann unter Umstanden auch kurzfristig fixsein (Arbeitsrechtliche Bestimmungen; aber sieheKurzarbeit).
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Kostenminimierung bei fixem Kapitaleinsatz
I Sei also k = k1 als unveranderbar gegeben:
min(`,k)
w ` + r k u.d.NB. F (`, k) = x
k = k1
bzw.
min`
w ` + r k1 u.d.NB. F (`, k1) = x
I Eine Restriktion mehr als vorher: nur ` ist variabel.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Kostenminimierung bei fixem Kapitaleinsatz
Definition
Sei `∗(x) die kostenminimale Arbeitsmenge. Dann heißt
KK (x) = KK (x ; k1) = w `∗(x) + r k1
die kurzfristige Kostenfunktion.
I Ist die zusatzliche Restriktion wirksam bindend, so erhohtdies die Kosten im Vergleich zu LK .
I Ist die zusatzliche Restriktion nicht bindend, so sind dieKosten gerade LK (x), d.h.
KK (x) ≥ LK (x) fur alle x .
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Kostenminimierung bei fixem Kapitaleinsatz
Fortsetzung des Beispiels (Cobb-Douglas)
I F (`, k) = `1/2 k1/2
I LK (x) = 2 x (w r)1/2
I Sei nun k = k1 fix.
I Da x = `1/2 k1/21 , folgt `∗ = x2
k1.
I Und somit:
KK (x) = w `∗ + r k1
= wx2
k1+ r k1 = KK (x ; k1)
=w
k1x2 + r k1
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Zusammenhang zwischen LK (x) und KK (x ; k1)
LK (x)
Steigung: a = 2 (w r)1/2
KK (x ; k1)
Fixkosten
r k1
x x
LKKK
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Zusammenhang zwischen LK (x) und KK (x ; k1)
LK (x)
KK (x ; k1)KK (x ; k2)
r k1
r k2
x
x
LKKK
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Zusammenhang zwischen LK (x) und KK (x ; k1)
I LK (x) ergibt sich als “Einhullende” der KK (x ; ki).
I Es ist kein Zufall, dass KK (x , ki) konvexe Funktionensind:
Satz
Ist F (`, k) eine Produktionsfunktion mit konstanten bzw.abnehmenden Skalenertragen, so ist KK (x ; ki) konvex (furbeliebige ki).
I Intuition: Bei konstanten bzw. abnehmendenSkalenertragen gilt das “Gesetz des abnehmendenGrenzertrages” bei partieller Faktorvariation (d.h. F (`, ki)ist konkav).
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Effizienter Arbeitseinsatz bei fixem Kapitalstock
I Den effizienten Arbeitseinsatz erhalt man, indem manF (`, k1) = x nach ` auflost.
F (`, k1)
`(x)
`,x
x ,`
I (`(x), k1) ist die kurzfristig kostenminimaleFaktorkombination zur Produktion von x
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Effizienter Arbeitseinsatz bei fixen Kapitalkosten
I Es gilt KK (x , k1) = w `(x) + r k1:
KK (x , k1)
w `(x)
r k1
x
Kosten
I KK (x , k1) ist konvex.
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Konvexitat von KK
I KK (x , k1) ist konvex ⇒I KGK (x) = ∂KK(x ,k1)
∂x > 0
I∂KGK(x ,k1)
∂x ≥ 0
Beispiel
I KK (x , k1) = wk1x2 + r k1
I KGK (x , k1) = 2wk1
x > 0 fur alle x > 0
I∂KGK(x ,k1)
∂ x = 2wk1
> 0
I Das heißt: Grenzkosten steigen mit der Ausbringungsmenge x
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Was gilt allgemein fur kurzfristige Grenzkosten?
I Im Beispiel gilt KGK (x , k1) = 2wk1x = w
k12 x
I Aber auch:
k1
2 x=
k1
2 `1/2 k1/21
=1
2
k1/21
`1/2= F`(`, k1)
= Grenzproduktivitat des Faktors Arbeit
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Was gilt allgemein fur kurzfristige Grenzkosten?
Satz
Es gilt KGK (x , k1) = wF`(`,k1)
.
Beweisskizze:
I min` w ` + r k1 + λ[x − F (`, k1)]
I Bedingung erster Ordnung: w − λF`(`, k1) = 0
I Daraus folgt: λ = w/F` (= “Schattenpreis” derRestriktion)
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Grenzkostenpreise
I Es gilt:
LGK =w
F`=
w
F`(`∗, k∗)=
w
F`(`∗(x), k∗(x))
KGK =w
F`=
w
F`(`∗, k1)=
w
F`(`∗(x), k1)
Grenzkostenpreise
Das Grenzkostenkonzept ist wichtig fur die Beschreibung desVerhaltens eines gewinnmaximierenden Unternehmens. Es wirdseine Produktion gerade soweit ausdehnen, bis die Grenzkostender letzten produzierten Einheit gerade dem Marktpreis furihren Output entsprechen. Aufgrund dieser Eigenschaftgewinnmaximierender Produktion spricht man auch vonGrenzkostenpreisen (“marginal cost pricing”).
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Kurzfristige Durchschnittskosten
KK(x)
α
xxxx
KK(x)
LDK
x
KDK(x)
x
KDKLDK
tanα = GegenkatheteAnkathete
= KK(x)x
= KDK (x).
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
I “Kurzfristig” bedeutet hier immer “fixer Kapitalstock”.Es gibt also—je nach Hohe des fixen Kapitals—vielekurzfristige Kosten- bzw. Durchschnittskostenfunktionen.
I Auch fur KDK (x) gilt, dass LDK (x) die “Einhullende”der kurzfristigen Kostenfunktion KDK (x , k1) ist:
KDK(x , k1)
KDK(x , k2)
KDK(x , k3)
LDK(x)
x
KDKLDK
x
k1 < k2 < k3
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
KDK(x , k1)
KDK(x , k2)
KDK(x , k3)
LDK(x)
x
KDKLDK
x
k1 < k2 < k3
I Fur die Produktion von x : k1 ist zu gering, k3 ist zu hoch,k2 ist kostenminimaler Kapitalstock.
I Daher KDK (x , k2) = LDK (x).I Allgemein gilt: k∗ = k∗(x) heißt optimale
Kapitalausstattung zur Produktion von x , falls
KDK (x , k∗) = LDK (x)
bzw. KK (x , k∗) = mink1
KK (x , k1) = LK (x).
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
I Die Charakterisierung der optimalen Kapitalausstattungkann auch mit Hilfe der kurz- und langfristigenGrenzkostenkurven erfolgen.
I Zusammenhang zwischen KDK (x) und KGK (x)?
I Bei “Ertragsgesetzen”: Die Grenzertragskurve schneidetdie Durchschnittsertragskurve in deren Minimum.
I Hier nun: KGK (x , k1) schneidet die Kurve KDK (x , k1) inderen Minimum
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Langfristige KostenfunktionKurzfristige Kostenfunktion
Zusammenhang zwischen KDK (x , k1) und KGK (x)
I Hier nun: KGK (x , k1) schneidet die Kurve KDK (x , k1) inderen Minimum:
KDK(x , k1)
KGK(x , k1)
xx
KDKKGK
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I Hier nun: KGK (x , k1) schneidet die Kurve KDK (x , k1) inderen Minimum
I Das Minimum einer kurzfristigenDurchschnittskostenkurve ist aber gerade auchBeruhrungspunkt mit LDK .
I Fur konstante Skalenertrage gilt LGK = LDK .
Satz
k∗ ist genau dann optimale Kapitalausstattung zur Produktionvon x , falls
KGK (x , k∗) = LGK (x)
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KGK(x , k1)KGK(x , k2)
KGK(x , k3)
KDK(x , k1)
KDK(x , k2)
KDK(x , k3)
LDK(x)
x
KDKLDKKGK
x
k1 < k2 < k3
k2 ist die optimale Kapitalausstattung zur Produktion von x .
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I Es gilt zum Beispiel KGK (x , k3) < KGK (x , k2), aber k3
ist nicht optimal.
I Ware k frei variabel (und nicht auf k3 fixiert, so wurdeeine Kapitalaustattung gewahlt mit GrenzkostenLGK (x) > KGK (x , k3) (hier namlich genau k2).
I Das heißt aber: “Grenzkosten so gering wie moglich” istkein Optimalitatskriterium.
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Kurze Zusammenfassung
I Ziel ist es, das Verhalten eines gewinnmaximierendenUnternehmens zu beschreiben.
I Erster Schritt fur Gewinnmaximierung:Kostenminimierende Produktion fur jedeAusbringungsmenge.
I Dabei werden dann die Kostenfunktion und dieFaktornachfrage hergeleitet.
I Nachster Schritt: Wahl der gewinnmaximierendenAusbringungsmenge ⇒ Angebotsentscheidung
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