TT2_-_Lab_1a_postavka

8/19/2019 TT2_-_Lab_1a_postavka

1/8

Univerzitet u SarajevuElektrotehnički fakultetOdsjek za telekomunikacije Telekomunikacijske tehnike 2

TELEKOMUNIKACIJSKE TEHNIKE 2

Laboratorijska vježba br. 1a

Informacijska ograničenja digitalnog telekomunikacionog sistema

Student : _______________

Broj indeksa : _______________

Odsjek : Telekomunikacije

Sarajevo, _______________


2/8


LABORATORIJSKA VJEŽBA BR. 1a

Informacijska ograničenja digitalnog telekomunikacionog sistema

Zadatak

Cilj laboratorijske vježbe je posmatranje informacijskih ograničenja digitalnogtelekomunikacionog sistema, odnosno kapaciteta kanala, diskretnog i kontinualnog, kao i odnosavjerovatnoće greške po simbolu i bitu.

Teoretski uvod

„Rate-Distortion“ teorema (Teorema o izobličenju informacije):

Minimalan broj bita na izlazu izvora (pri transmisiji, slanju, po simbolu) potreban da se reproduciraizvor bez memorije sa izobličenjem manjim ili jednakim D , se zove „Rate-Distortion“ funkcija,

označava se sa R D i važi

ˆ ˆ: ,

ˆmin ,

p X X E d X X D

R D I X X

(1.1)

gdje je izobličenje izvora D definisano kao ˆ, D E d X X (srednja vrijednost slučajne

varijable), a I transinformacija slučajnih varijabli ˆ, X X .

Izobličenje d se može definisati na više načina i to :

Za diskretan kanal, najčešće se koristi Hammingovo izobličenje definisano kao

ˆ1,

ˆ,0,

H

x xd x x

ostalo

Za kontinualan kanal, najčešće se koristi srednje kvadratno izobličenje definisano kao

2

ˆ ˆ,d x x x x

Lako je dokazati sada da za Hammingovo izobličenje d , D predstavlja vjerovatnoću greške p .

„Rate distortion“ funkcija za diskretan binarni izvor sa vjerovatnoćom bita

1 1 0i i p X p X p i Hammingovim izobličenjem d , je data sa :

, 0 min ,10,

b b H p H D D p p R D

ostalo

, (1.2).

gdje je 1 1b H p p ld p p ld p , binarna entropijska funkcija.

„Rate distortion“ funkcija za Gausov izvor srednje vrijednosti 0, varijanse2

i srednje kvadratno

izobličenje d , je data sa :

221

, 02

0,

ld D R D D

ostalo

, (1.3)


3/8


Primijetimo da jednačine (1.2) i (1.3) daju broj bita po emitovanom simbolu, pa ako želimo imati „Rate

Distortion“ funkciju u bit/s moramo pomnožiti (1.2) i (1.3) sa brojem simbola u s, te za ograničenikanal u osnovnom opsegu širine W imamo „Rate distortion“ funkcije za diskretan izvor i Gausov izvorrespektivno :

, 0 min ,1

20,

b b H p H D D p p R D W

ostalo

(1.2.1)

22

, 0

0,

W ld D R D D

ostalo

(1.3.1)

„Distortion-Rate“ funkcija D R je inverzna funkcija funkcije R D .

Brzina prenosa informacija kroz diskretni kanal je 1

;s

R I X Y T

, (bit/s) gdje je1

s

vT

(simbola/s) brzina električnih signala u kanalu (tehnička brzina , brzina tastovanja ili brzinamodulacije). Ekvivalentna jedinica je Bd (Baud). Bitno je naglasiti da je brzina modulacije različita odbrzine prenosa informacije.

Teorema o kapacitetu diskretnog kanala :

Kapacitet diskretnog kanala bez memorije je :

1

max ;i p xs

C I X Y T (1.4)

Ako je brzina prenosa informacija R C , tada za svako 0 p postoji blok kod konačne dužine n

tako da je vjerovatnoća greške pri prenosi manja od p . U suprotnom za R C , vjerovatnoćagreške bilo kojeg koda ne može biti učinjena po volji malom za proizvoljno veliku kompleksnost koda.

Kapacitet binarnog simetričnog kanala je :

1 bC H e (bit/simbolu) (1.5)

odnosno 1 b

s

H eC

T

(bit/s) (1.5.1) gdje

je sa e definisana vjerovatnoća pogrešnog prelaza.

Kapacitet kanala sa aditivnim bijelim Gausovim šumom spektralne gustine snage 0

2

N , širine kanala

W i snagom signala S je

0

11

2

S C ld

N W

(bit/simbolu) (1.5)

odnosno

0

1 S

C W ld N W

(bit/s) (1.5.1)


4/8


Nakon prethodnog izlaganja možemo zaljučiti da su fundamentalne granice pri prenosu informacija

određene sa : H U C (1.6)

ako želimo prenijeti izvor U kroz kanal kapaciteta C te

R D C (1.7)

ako želimo prenijeti informaciju sa izobličenjem D kroz kanal kapaciteta C .

Razmotrimo sada ponašanje kapaciteta Gausovog kanala kada širina kanala W . PrimjenomL’Hospitalovog pravila dobijemo da je kapacitet kanala sa beskonačnim propusnim opsegom

0 0 0

lim 1 1,44ln 2W

S S S C W ld

N W N N

(1.8)

Iz (1.8) zaključujemo da kapacitet kanala ne možemo beskonačno povećati povećavanjempropusnog opsega.

Za brzinu prenosa informacija važi R C . Uvrštavanjem spektralne bitske brzine R

r W

u (1.5.1) i

matematičkim manipulacijama dobijemo

0

1 b E

r ld r N

i

0

2 1r

b E

N r

.

Minimalan odnos energije po bitu i spektralne gustine snage šuma za pouzdan prenos informacija

kroz kanal sa Gausovim šumom dobijemo limitiranjem prethodnog izraza za 0 R

r W

pa je :

0 min

ln 2 0,693b E

N

(1.9)

odnosno

0 min

1,592b

dB

E dB

N

(1.10)

Za 1r imamo kanal širokog propusnog opsega gdje je najveća briga snaga, pa govorimo oslučaju ograničene snage („power limited case“), gdje koristimo signalizacijske šeme visoke

dimenzionalnosti kao što su ortogonalni, biortogonalni, simpleks signali. Za 1r imamo kanaluskog propusnog opsega, odnosno („bandwidth limited case“), gdje koristimo signalizacijske šemeniske dimenzionalnosti ali sa gustim rasporedom u konstelaciji.

Mjerilo kvaliteta određenog sistema za prenos digitalnog signala je vjerovatnoć a greške, pri čemurazlikujemo vjerovatnoću greške simbola i vjerovatnoću greške bita. Između vjerovatnoće greškesimbola i vjerovatnoće greške bita ne postoji opšta jednoznačna veza, ali postoje pojedinačne vezeza partikularne izbore signala kao npr, ortogonalne, biortogonalne, binarne, PSK etc.Pojednostavljenje veze između simbolske i bitske greške se izvodi pomoću Gray-ovog koda,odnosno da se susjedni simboli kodiraju tako da se razlikuju u samo jednom bitu. Tada važi

M M

b

P PP

ld M k (1.11)

gdje jeb

P bitska greška, M

P simbolna greška, M broj simbola, k broj bita po simbolu.


5/8


MATLAB programi:

Zadatak 1:

Napisati m-file za crtanje grafika Rate-Distortion funkcije Gausovog izvora sa srednjim kvadratnim

izobličenjem u funkciji normalizovanog odnosa izobličenje/srednja kvadratna greška2

D

. Obje ose

grafika imaju linearnu skalu.

Uputa: Koristiti funkciju plot iz MATLAB-a.

Zadatak 2:

Napisati m-file za crtanje grafika kapaciteta binarnog simetričnog kanala u funkciji vjerovatnoćepogrešnog prelaza (greške) p. Obje ose grafika imaju linearnu skalu. Prokomentarisati grafik.

Uputa: Koristiti funkciju plot iz MATLAB-a.

Zadatak 3:

Napisati m-fileove koji rade sljedeće:a) crtanje grafika kapaciteta C, AWGN kanala u funkciji odnosa snage signala i SGS šuma S/N0

(u dB) pri konstantnoj širini kanala čija je vrijednost jednaka širini telefonskog kanala(upstream ADSL kanala, downstream ADSL kanala). Obje ose grafika imaju linearnu skalu.

b) crtanje grafika kapaciteta C, AWGN kanala u funkciji odnosa snage signala i SGS šuma S/N(u dB) pri konstantnoj širini kanala čija je vrijednost jednaka širini telefonskog kanala

(upstream ADSL kanala, downstream ADSL kanala). Obje ose grafika imaju linearnu skalu.c) crtanje grafika kapaciteta C, AWGN kanala u funkciji širine kanala W pri konstantnom odnosu

S/N0 (u dB). X-osa grafika ima logaritamsku, a Y-osa linearnu skalu.d) crtanje grafika kapaciteta C, AWGN kanala u funkciji širine kanala W pri konstantnom odnosu

S/N (u dB). X-osa grafika ima logaritamsku, a Y-osa linearnu skalu.Prokomentarisati graničnu vrijednost kapaciteta kanala.

Uputa: Koristiti funkcije plot i semilogx iz MATLAB-a.

Zadatak 4:

Napisati m-file za crtanje grafika spektralne efikasnosti r=R/W u funkciji odnosa energije po bitu iSGS šuma - Eb/N0. Prokomentarisati Shanon-ovu granicu. X-osa ima linearnu, a Y-osa logaritamsku

skalu.

Uputa: Koristiti funkciju semilogy iz MATLAB-a.

Zadatak 5:

Napisati program za crtanje kapaciteta C, AWGN kanala u 3D kao funkcija odnosa snage signala iSGS šuma S/N0 (u dB) i širine kanala W.

Uputa: Koristiti funkciju surfl iz MATLAB-a. Širinu kanala W zadati kao vektor prikazan nižeW=[1:5:20,20:20:100,100:50:300,400:100:1000,1250:250:5000,5500:500:10000]. Odnos S/N0 uzeti u granicama -20 do 25 dB sa korakom 1 dB.


6/8


Rezultati:

Zadatak 1

Zadatak 2


7/8


Zadatak 3


8/8


Zadatak 4

Zadatak 5

Documents

TT2_-_Lab_1a_postavka