TSTC Tema 4 Dpt. Teoría de la Señal, Telemática y Comunicaciones PLANIFICACIÓN DE TRAYECTORIAS

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Tema 4Dpt. Teoría de la Señal, Telemática y Comunicaciones

PLANIFICACIÓN DE TRAYECTORIAS

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Secciones

1. Introducción.2. Trayectorias Interpoladas.

1. Trayectorias Interpoladas con Funciones polinómicas.

2. Trayectoria 4-3-4.

3. Trayectorias Interpoladas con Funciones Lineales

3. Trayectorias Cartesianas.

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1. Introducción.

• La realización de cualquier movimiento implica dos tareas: Planificación de la Trayectoria. Control del Movimiento.

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1. Introducción.

• ¿En que consiste? Obtención de las funciones temporales 0TN(t) que nos

llevan desde una localización inicial (Tini) hasta otra final (Tfin).

O, alternativamente: q(t)=(q1(t), q2(t), …, qN(t)).

• Tipos de trayectorias: Trayectorias punto a punto: Evolución independiente de

cada articulación. Sólo útiles en tareas a manipulador parado.

Trayectorias continuas: 0TN(t) es conocida. Trayectorias suaves. Útiles en tareas con el brazo en movimiento.

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1. Introducción.

• Tipos de Trayectorias Continuas:

Trayectorias interpoladas Trayectorias Cartesianas

•Algoritmos más sencillos.

•Fácil control.

•Riesgo de choques con obstáculos.

•Control directo del movimiento en el espacio cartesiano.

•Ortogonalidad (separación rotación/translación)

•Mayor dificultad de implementación y control.

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2. Trayectorias Interpoladas.

• Trayectorias interpoladas con funciones polinómicas. Trayectoria polinómica desde una posición inicial a otra final.

Condiciones para trayectoriasuave:

• Continuidad en la velocidad.

• Grado del polinomio (t) menor posible.

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2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas.

Condiciones a satisfacer: 4 ! polinomio de grado 3.

Aplicando las (4) condiciones de contorno:

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Ejemplo: 0 = 15º, f = 75º, tf = 3 seg.

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Es conveniente dar puntos intermedios (¿Por qué?).

Podemos emplear un polinómio cúbico para cada segmento y replicar el método.

Discusión del caso anterior: 0 = 15º, 1 = 75º, f = 135º, t01 = 3 seg, t1f = 3 seg.


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Trayectorias con varios segmentos: • Recorrido por secuencia varias posiciones intermedias.• Cada segmento emplea un polinómio cúbico.• Se garantiza continuidad en la posición y velocidad.

Ventajas e inconvenientes.

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Inconvenientes:• No se asegura la continuidad en la aceleración.• Problema mayor: fijar las velocidades intermedias.

Solución: intercambio de las restricciones anteriores.

• No se indica velocidad en los puntos intermedios.• A cambio se asegura la continuidad en la

aceleración.

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Caso sencillo con dos segmentos [0, v, g]:

Nótese los intervalos de tiempo.

Condiciones impuestas:1. Recorrer los puntos inicial, final e intermedio:

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2. Velocidades (nulas en este caso) en los extremos:

3. Continuidad en la posición, velocidad y aceleración en el punto intermedio:

Nótese que no exigimos un valor concreto en la velocidad, pero sí continuidad en la aceleración.

!?!?

Segmento 1 Segmento 2

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Solución (tf1 = tf2 = tf):

Avances:• Ajuste de tiempo favorable para resolver ecuaciones.• Introducir continuidad en aceleración para no definir

velocidades intermedias.

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• Trayectoria 4-3-4 Operación frecuente: Traslado de objetos desde una superficie a otra. Solución sencilla: una trayectoria con cuatro puntos como la de la

figura.

Objetivo: evitar colisiones (¿por qué?). Cómo: introducción de dos puntos intermedios.

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2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria 4-3-4.

Se escogen puntos intermedios en unas posiciones de despegue y asentamiento normales a las superficies de origen y destino, respectivamente.

Relación tiempos ! velocidad.

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Condiciones de contorno para un movimiento suave:1. Inicio: posición, velocidad (nula) y aceleración (nula) determinadas.

2. Fin: posición, velocidad (nula) y aceleración (nula) determinadas.

3. Intermedios: paso por posiciones de despegue y asentamiento con continuidad en posición, velocidad y aceleración.

¿Grado del polinomio?

8 condiciones ) 8 parámetros ) orden 7:

¿Bondad del polinómio?

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Es preferible dividir el movimiento en 3 segmentos con polinomios de grado inferior. Soluciones: trayectorias 4-3-4 y trayectorias 3-5-3.

Variables:• : tiempo real en segundos.

• i: tiempo real al final de la trayectoria i-ésima.

• ti =(i-i-1): tiempo real requerido para el segmento i-ésimo.

• t: tiempo normalizado en el intervalo [0,1]:

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Polinomios empleados:

Ventajas/Inconvenientes del tiempo normalizado:

4

3

4

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Condiciones de contorno:• Punto inicial:

• Punto despegue:

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• Punto asentamiento:

• Punto final:

14 ligaduras (ecuaciones) para 14 parámetros

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Primer segmento de la trayectoria:

1. = 0, t = 0 (inicio primer segmento).

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2. =1, t =1 (final primer segmento).

Ahora no ofrecen soluciones, más adelante recurriremos a ellas.

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Segundo segmento de la trayectoria:

1. = 1, t = 0 (inicio segundo segmento).

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Condiciones de continuidad con el tramo anterior:

2. =2, t =1 (final segundo segmento).

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Tercer (último) segmento de la trayectoria:1. Nuevo cambio de variable para facilitar la resolución.

• Las derivadas no quedan afectadas (suma de constante).

• Nótese que el polinomio esta basado en la nueva variable y no en t (aunque podemos obtener fácilmente el correspondiente en t).

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2. =f, t =1, (final tercer segmento).

3. =2, t =0, (inicio tercer segmento).

0t

1t

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Condiciones de continuidad con el tramo anterior:

Gracias a los cambios de variable hemos obtenido de forma directa 7 de los 14 parámetros. Para el resto …

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Se calculan los cambios de las variables de articulación entre segmentos contiguos:

Las condiciones (1) a (7) se pueden expresar en forma matricial:

y C x= .

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Solución:

x = C-1y

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Los coeficientes (a10,a11,a12,a20,an0,an1,an2) se obtienen de forma directa.

Importante: recordar el último cambio de variable.• Si utilizamos:

Deberemos recorrer el tiempo de -1 a 0.

• Si queremos homogeneizar el tiempo (siempre de 0 a 1) hay que deshacer el cambio de variable:

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• Trayectorias interpoladas con funciones lineales. Opción alternativa al uso de polinomios. Fundamento sencillo:

conectar los puntos mediante rectas y solucionar los problemas derivados.

• Problema: discontinuidad en los extremos.

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2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales.

Solución: suavizado parabólico con una determinada aceleración.

Secuencia de movimientos:• Uniforme acelerado.• Uniforme.• Uniforme decelerado.

¿Durante cuanto tiempoaceleramos/deceleramos?

tb

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Suponemos una cierta aceleración (Ã ventajas prácticas).

Implicaciones del discriminante positivo.

&&

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Generalización a varios segmentos:• Definición de secuencia de puntos (1, 2, …, f).

• Definición de los instantes de tiempo (t1, t2, …, tf).

• En los puntos intermedios se realiza una aceleración de suavizado .


i&&

• i: ángulo punto i-ésimo.

• ti: tiempo punto i-ésimo.

• tsi: duración del suavizado.

• tli-1,i: duración zona lineal.

• tdi-1,i: duración segmento.

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Parámetros que definen el movimiento (Ã síntesis posterior):

• Segmentos intermedios:


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• Segmento inicial:


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• Segmento final:


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• Descripción de las posiciones del manipulador.

T

G

C(t)

P

Z

M

W(t)

0TN ! T: Trans. Hom. brazo robot.

NGherr ! G: coordenadas herramienta (desde el EF).

absZbase ! Z: coordenadas base del robot (desde el SdR global).

absW(t)obj ! W(t) : coordenadas del objeto (desde el SdR global). Caso General: Consideramos que puede estar en movimiento (depende de t).

objPherr ! P: coordenadas de la herramienta (desde el SdR del objeto).

Para simplificar el cálculo posterior:

C(t)=Z-1W(t)

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T1

G1

C1(t)

P1

La posición del manipulador se puede expresar como:

TG=C(t)P

Aplicando PCI podremos resolver:

T=C(t)PG-1

Para realizar una tarea habrá que desplazar la herramienta entre varios puntos consecutivos (1,2,3,…,f):

T1G1=C1(t)P1

T2G2=C2(t)P2

…

TfGf=Cf(t)Pf

T2

G2

P2

C2(t)

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• Entre dos puntos consecutivos cualquiera:

• Entonces podríamos obtener:

• Vamos a suponer un par de transformaciones, Pi,i y Pi,i+1, tal que fuera posible:

• Es decir, el movimiento entre los dos puntos (i,i+1) consistiría simplemente en la transformación de Pi,i+1 en Pi+1,i+1.

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G1

C1(t)

P1

Obviamente Pi,i=Pi, pero ¿Pi,i+1?

Despejamos Pi,i+1 de la segunda ecuación:

Despejando T de la primera ecuación y sustituyendo en la anterior:

Así, Pi,i+1 puede ser precalculado.

T2

G2

P2

T1

C2(t)

G2

P1,2

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• Podemos definir una transformación D(t) (transformación de impulsión) que convierte la matriz Pi,i+1 en la matriz Pi+1,i+1 conforme avanza el tiempo. Se realiza en tiempo normalizado t (0 · t · 1).

Verifica las siguientes condiciones de contorno:

De donde podemos despejar D(1):

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• La transformación D(t) consiste en un movimiento translacional (para alcanzar la posición final) y dos rotacionales (orientación).

La translación lleva el vector pi hasta pi+1.

La primera rotación lleva ai hasta ai+1 (!).

La segunda rotación (sobre a) lleva oi hasta oi+1 (y por tanto ni a ni+1).

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