TSMD2

Diapozitivul 1

Specializarea: Reabilitarea i creterea siguranei construciilorTitlul absolventului: master n Inginerie civilTEORIA STRUCTURILOR REZEMATE PE MEDII DEFORMABILE

Universitatea Tehnic Gheorghe Asachi din Iai

Facultatea de Construcii i InstalaiiTSMD2Modele reologice:1.2. Modelul corpului perfect elastic1.3. Modelul corpului vscos1.4. Modele corpurilor vsco-elastice1.5. Modele corpurilor neelastice

2. Modele utilizate la pmnturi:2.1. Modelul Winkler 2.2. Modelul Winkler cu doi coeficieni de pat 2.3. Modelul Wieghardt2.4. Modelul Filonenko-Borodici2.5. Modelul Boussinesq

Modelare a terenului de fundareReologia este tiina ce studiaz interdependena ntre aciunile mecanice, rspunsul corpurilor i proprietile acestora.

Aceast tiin stabilete modelele matematice care descriu comportamentul corpurilor supuse la solicitri.

Acest comportament este determinat de dependena dintre intrri (fore - aciuni) i rspuns (deformaii, deplasri).

Modele reologice. Consideraii

Modele reologice. ConsideraiiComportarea corpurilor deformabile sub aciunea forelor, evideniaz raporturi cauzale dintre fore i deformaii. n multe situaii, Aceste raporturi au un caracter foarte complex.

Pentru un acelai corp, mrimea i dezvoltarea deformaiilor, produse de un sistem de aciuni, depind de identitatea i variaia aciunilor, de forma probei i de timp.Complexitatea fenomenelor poate fi simplificat prin cteva scheme simple de comportare, uor explicabile n limbaj matematic.

Se ajunge, astfel, la introducerea modelelor mecanice (matematice) ale unor copuri ideale.

n continuare , se vor prezenta modele matematice pentru unele corpurilor cu comportare perfect elastice, vscoase i plastice.

Aceste modele vor constitui elementele de baz pentru analiza celor mai complexe raporturi cauzale.

Modele reologice. ConsideraiiModelul corpului perfect elasticPrin definiie, corpul perfect elastic, independent de intensitatea sau de natura aciunii, revine la forma iniial, odat cu ndeprtarea acesteia.

ntre mrimea deformaiei, definit ntr-un mod oarecare, i intensitatea aciunii exist o relaie liniar.

Acest corp, la care elasticitatea este considerat liniar, este ntlnit cel mai frecvent n practic i este denumit corpul Hooke.Prin anagrama ut tensio sic vis, publicat n R. Hooke n 1678, apare primul model de solid deformabil, modelul hookean.

Legea lui Hooke: , ,unde: este tensiunea normal; - deformaia specific liniar; E - modulul lui Young, de elasticitate longitudinal.

Modelul corpului perfect elastic

Modelul corpului perfect elasticModelul mecanic al corpului perfect elastic este resortul elicoidal, numit simbolic modelul Hooke, fig.

Modelul este complet lipsit de memorie.

n orice moment, starea modelului este complet independent de ceea ce s-a petrecut anterior att la ncrcare, ct i la descrcare.

Fig. Modelul corpului perfect elasticPrin definiie, corpul perfect vscos se deformeaz continuu sub aciunea forelor aplicate.

Deformaia care ia natere se pstreaz integral i dup ndeprtarea cauzei care a produs-o.

Modelul corpului perfect vscos

Modelul corpului vscosModelul mecanic al acestui corpului vscos,la care deformaiile sunt proporionale cu aciunile, este alctuit dintr-un amortizor, fig.(un corp de pomp cu un lichid vscos n intermediul cruia poate glisa un piston perforat).

Fig. Modelul Newton

Modelul descris anterior este numit modelul Newton (relaia ntre tensiune i viteza de deformaie este considerat liniar).Legea acestui model este:

unde este un coeficient de vscozitate.

n aceast categorie sunt cuprinselichidele cu frecare interndenumite lichide newtoniene.

Modelul corpului vscos

Modelul corpului vsco-elastice este definite la nivel macroscopic.

n interiorului acestui corp se dezvolt att deformaii elastice ct i deformaii vscoase.

Modele corpurilor vsco-elastice

Modele corpurilor vsco-elastice Modelul este numit modelul Kelvins au Kelvin _Voigt) si este alctuit prin legarea n paralel a unui model Hooke cu un model Newton, fig.

Obs. La nivel microscopic ,adunarea algebric a deformaiilor elastice cu cele vscoasenu are sens .

Fig. Modelul Kelvin-Voigt

Legea constitutiv a modelului corpului vsco elastic este urmtoarea:

unde parametrul t* reprezint timpul de fluaj sau timpul de ntrziere i se calculeaz cu relaia:


n analog, prin legarea n serie a unui model Hooke cu un model Newton se obine un model Maxweel, fig., cruia i corespunde legea: Aici t* se numete timpul de relaxare.

Fig. Modelul Maxwell


Un model calitativ superior este modelul Kelvin generalizat, obinut prin gruparea n serie a n modele Kelvin simple, fig., cu timpi de ntrziere: .. ,

Fig. Modelul Kelvin generalizat


Deformaia specific total este dat de expresia: ,

n timp ce n fiecare element avem aceiai tensiune normal: .. .

Modele corpurilor vsco-elastice Prin combinarea, n paralel, a n modele Maxweel simple se obine modelul Maxweel generalizat, fig.

Fig. Modelul Maxweel generalizat

Modele corpurilor vsco-elastice Tensiunea total va fi dat de relaia: , cu timpii de relaxare: , fiecare element are aceiai deformaie specific: , .

Modele corpurilor vsco-elastice Se pot constitui i modele cu trei parametri. Un astfel de model se obinute prin legea n serie a unui model Hooke cu un model Kelvin, fig.

Fig. Modelul combinat Hooke-Kelvin


Legea constitutiv a modelului cu trei parametri este :

unde .


Un alt model se obine prin legarea n paralel a unui model Hooke cu un model Maxweel. Acest nou model, fig. 8, se numete model Zener.

Fig. Modelul Zener Legea constitutiv a modeluli are forma:


Prin gruparea n serie a unui model Newton cu un model Kelvin, fig., se obine un model a crui lege constitutiv are forma:

Fig. Modelul combinat Newton-Kelvin


Legea constitutiv a modelului obinut prin gruparea, n paralel, a unui model Newton cu un model Maxweel, fig, este de forma:

Fig. Modelul combinat Newton-Maxweel


Un model, des folosit n mecanica corpurilor deformabile este modelul Burgers , fig. Se obine prin legarea n serie a unui model Maxweel cu un model Kelvin.

Fig. Model BurgersLegea constitutiv a acestui model este urmtoarea:


Modele corpurilor neelasticeModelul corpului perfect plastic (plastic rigid), fig. Un astfel de material prezint drept curb caracteristic o dreapt paralel cu axa deformaiilor specifice. Modelul mecanic este reprezentat printr-un rigid care alunec cu frecare pe un plan orizontal de sprijin. Cnd fora P atinge valoarea maxim a frecrii de lunecare, corpul se pune n micare, lund natere o deplasare , ceea ce corespunde limitei de elasticitate . Acest model, astfel definit, se numete modelul Sant-Venant.

Fig. Modelul Saint-Venant (perfect plastic) Legea constitutiv a modelului are forma: ,

Prin legarea n serie a unui model Hooke cu un model Saint-Venant, se obine modelul corpului plastic rigid/liniar ecruisabil, fig.

Fig.13. Modelul corpului plastic rigid/liniar ecruisabilModulul de ecruisare este chiar modelul de elasticitate E1, al resortului modelul Hooke.Legea constitutiv a modelului are forma:

Modele corpurilor neelastice

Tot din categoria modelelor neelastice face parte i modelul corpului elasto - perfect plastic, fig. 14.Acest model se obine prin legarea n serie a unui model Hooke cu un model perfect plastic.

Fig.14. Modelul corpului elasto - perfect plastic Legea constitutiv a modelului are forma: (19)

Modele corpurilor neelastice

Modelul corpului elasto - perfect/liniar ecruisabil, fig. Acest model se obine prin legea n paralel a modelului Hooke cu modelul elasto - plastic. Legea constitutiv a modelului este:

Fig. Modelul corpului elasto - perfect plastic / liniar ecruisabil

Modele corpurilor neelasticen prezent, pe baza cunotinelor din literatur de specialitate, modele pentru terenul de fundare se clasifica n dou categorii:

- modele care iau n considerare proprietatea de distribuie a deformaiilor pmntului (de exemplu: semispaiul liniar-deformabil);

- modele care nu iau n considerare proprietile de repartizare a deformaiilor (de exemplu: modelul Winkler).

Modele utilizate la pmnturi. Consideraii generaleModelul Winkler Modelul Winkler (numit i Fuss-Winkler)Din punct de vedere istoric este primul model utilizat n calculul terenului de fundare.

Pmntul este considerat alctuit dintr-un ansamblu de resorturi nelegate ntre ele.

Comprimarea resorturilor crete proporional cu mrimea intensitii sarcinilor aplicate.

Resorturile se introduc numai n dreptul sarcinii aplicate, pmntul din vecintatea zonei ncrcate nu ia parte la fenomenul de deformabilitate.

Rezult o distribuie plan a presiunilor reactive.

Ipoteza este mai apropiat de realitate numai n cazul fundaiilor rigide.

Modelul Winkler Fig. 1. Modelul Winkler

Obs. n cazul n care fundaia nu este rigid, atunci deformaia proprie nu poate fi neglijat n comparaie cu deformaia terenului de fundare.

Fig. 2. Cazul fundaiilor elastice aezate pe un mediu WinklerModelul Winkler

Ipoteza proporionalitii dintre reaciune i tasare au fost fcut de ctre N. Fuss n 1798. Modelul obinut, pe baza acestei ipoteze, a fost utilizat pentru prima dat de ctre Winkler n 1867 la calculul infrastructurii drumurilor.Modelul asimileaz terenul de fundare cu un mediu continuu, elastic i omogen, iar reaciunea n orice punct al terenului, n zona ncrcat, este proporional cu tasarea.Dac se noteaz cu reaciunea ce apare n teren i cu tasarea terenului de fundare, atunci ecuaia fundamental a modului Winkler este urmtoarea: (1) unde: k - reprezint o constant de proporionalitate dintre reaciune i tasare, numit i coeficientul de pat.

Modelul Winkler

Modelul Winkler Coeficientul de pat se definete ca fora care acionnd pe o suprafa egal cu unitatea, produce o tasare egal cu unitatea: Un teren de fundare considerat infinit rigid are un coeficient de pat:Un teren de fundare fr rigiditate are un coeficient de pat:Ecuaia diferenial a grinzii rezemate pe un astfel de model are urmtoarea form:

Modelul Winkler Deficienele modelului:- coeficientul de pat ( k) nu are un sens fizic. - pentru pmnturi nu se poate stabili o valoare constant a coeficientului.

Coeficienul de pat este influenat de: - proprietile fizice ale pmntului; - forma i mrimea suprafeei de rezemarea a plcii de ncrcare; - mrimea ncrcrii.

Modelul Winkler Deficienele modelului (continuare):

- modelul nu posed proprieti de distribuie a sarcinilor aplicate pe teren. Observaiile fcute pe construcii reale, in situ, i experimentrile de laborator au artat c tasarea terenului depinde i de sarcinile aplicate n punctele vecine. Terenul sufer tasri nu numai n punctele n ncrcate, conform ipotezei fcute, ci i n zonele nvecinate.

Concluzie: modelul nu poate lua n considerare influena suprancrcrilor laterale asupra distribuiei reaciunilor sub talpa fundaiei.

Deficienele modelului (continuare):

- n cazul fundailor continue, ncrcate uniform distribuit, rezult reaciunile egale cu ncrcrile, ceea ce conduce la confuzia conform creia construcia nu este solicitat la ncovoiere. Experienele au dovedit contrariul.

Modelul Winkler Avantajele modelului Winkler

Modelul este destul de corect, n cazul terenurilor nisipoase; nisipul are o capacitate mic de repartiie;

Simplitatea i claritatea modelului;

Rezultatele obinut sunt relativ puin alterate, n comparaie cu alte modele

Modelul Winkler Cile de mbuntire a modelului

Determinarea ct mai corect a coeficientului de pat, fie prin experimentri n amplasamentul viitoarei construcii, fie prin utilizarea modelului semispaiului elastic, omogen i izotrop;

Adugarea la model, a unei capaciti de repartiie, prin introducerea unor elemente de interaciune ntre resorturile modelului.

Modelul Winkler Modelul Winkler cu doi coeficieni de pat

Acest model permite luarea n considerare a neomogenitii verticale i orizontale a terenului de fundare i a proprietilor de repartiie ale acestuia prin intermediul a doi coeficieni de rigiditate: C(x) i h.

Primul coeficient de rigiditate, C(x), caracterizeaz compresibilitatea terenului i este variabil n lungul elementului de construcie (grinda rezemat, de exemplu). Pentru acest coeficient s-a adoptat legea lui Fritz:

Unde: C reprezint valoarea medie a coeficientului de pat pentru terenul considerat; coeficientul de variaie a rigiditii terenului de fundare; L semi-lungimea grinzii.

Modelul Winkler cu doi coeficieni de pat

Cel de al doilea coeficient de rigiditate, h, caracterizeaz proprietile de repartiie ale terenului i se consider constant n lungul grinzii.

Ecuaia fibrei medii deformate a grinzii utiliznd acest model este:

Modelul Winkler cu doi coeficieni de pat Obs. Acest model s-a dovedit mulumitor n aprecierea comportrii terenurilor coezive, dar neaplicabil la terenurile nisipoase.

Modelul este compus dintr-un numr de resorturi legate la partea superioar de un fir. Modelul Wieghardt Fig. 3. Modelul Wieghardt

Pentru tasarea terenului se utilizeaz relaia:

Ecuaia diferenial a grinzii rezemate pe teren, n acest caz are urmtoarea form:

n care: Modelul Wieghardt

C i sunt constante depinznd de k i Hk - coeficientul de rigiditate al resortului - constant, H efortul de ntindere din fir

Model este alctuit din resorturi unite la partea superioar prin intermediul unei membrane, fig. 4.

Fig. 4. Modelul Filonenko Borodici

Ecuaia diferenial a modelului este:

Modelul Filonenko - Borodici

Tasarea terenului se determin cu relaia: , n care: - T reprezint intensitatea cmpului de tensiune din membran; - este funcia modificat a lui Bessel de spea a doua i de ordinul zero.

Modelul Filonenko - BorodiciModelul semispaiului liniar - deformabil (modelul Boussinesq)Caracteristici

Dimensiunile modelului semispaiului liniar - deformabil sunt infinite.

Modelul este limitat la partea superioar cu un plan i se extinde n jos i n lateral pn la infinit.

Materialul din semispaiu este considerat elastic, omogen, izotrop i continuu.

Modelul astfel constituit este denumit, n literatura de specialitate, semispaiul liniar - deformabil.

Proprietile elastice ale modelului sunt reprezentate prin doi parametrii:

1. Modulul de deformaie, E;

2. Coeficientul lui Poisson: sau .

Modelul semispaiului liniar - deformabil (modelul Boussinesq)Considerat un mediu continuu, sub sarcini, n interiorul modelului, iau natere tensiuni i deformaii, care se gsesc ntr-o dependen liniar.

Modelul semispaiului liniar-deformabil consider valabile metodele Teoriei elasticitii.

Abaterile proprietilor pmnturilor fa de cele ale corpului ideal-elastic sunt estompate printr-o determinare adecvat, prin msurtori experimentale in situ, a modulului de deformaie E.

Modelul semispaiului liniar-deformabil (modelul Boussinesq) Aplicarea Teoriei Elasticitii, pentru modelul semispaiului liniar-deformabil, permite efectuarea calculului construciilor rezemat pe teren, lund n considerare toi factorii principali care definesc comportarea sa, i anume:

variaia modulului de deformaie cu adncimea;

influena construciilor noi din vecintate;

influena adncimii de fundare;

influena rocii de baz pe care reazem straturile superioare compresibile.Modelul semispaiului liniar-deformabil (modelul Boussinesq)Folosirea acestui model de calcul, pentru terenul de fundare, a putut explica degradarea multor construcii calculate pe baza ipotezei coeficientului de pat.

Acurateea tiinific a acestui model mai sus, a permis analiza grinzilor, plcilor i a structurilor rezemate pe mediu deformabil, cu toate c din punct de vedere matematic apar multe complicaii. Modelul semispaiului liniar-deformabil (modelul Boussinesq)Deficienele modelului

Idealizeaz comportarea terenului de fundare, care nu este nici elastic i nici izotrop;

Neglijeaz caracterul neliniar al deformaiilor terenului;

Nu ine cont de faptul c amortizarea deformaiilor este mai mare, pe msura ndeprtrii de punctul de aplicare al sarcinii, dect rezult din aplicarea metodelor Teoriei elasticitii.

Modelul semispaiului liniar-deformabil (modelul Boussinesq)Deficiente menionate anterior au condus la apariia, n rndul specialitilor a dou curente tiinifice distincte:

O prim categorie de specialiti sunt adepii mbuntirii modelului semispaiului liniar-deformabil, prin luarea n consideraie a factorilor negativi expui anterior;

Adoua categorie de specialiti, plecnd de la faptul c modelul Winkler posed o mare simplitate i elasticitate matematic, propune determinarea coeficientului de pat prin metodele Teoriei elasticitii sau prin considerarea coeficientului de pat variabil sub talpa fundaiei.

Modelul semispaiului liniar-deformabil (modelul Boussinesq)p(x,y)

p(x,y)

Documents

TSMD2