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libro de matematicas 1 de telesecundaria
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MATEMTICAS I
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1er Grado Volumen I
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matemticas I1er Grado Volumen I
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Matemticas I. Volumen I. Telesecundaria. Primer grado fue elaborado en la Coordinacin de Informtica Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboracin entre la Subsecretara de Educacin Bsica y el ILCE.
AutoresMartha Gabriela Araujo Pardo, Silvia Garca Pea,Jos Cruz Garca Zagal, Olga Leticia Lpez Escudero,Vernica Rosainz Bonilla
Asesora acadmicaMara Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005) Apoyo tcnico y pedaggicoMara Padilla Longoria
ColaboracinErnesto Manuel Espinosa Asuar
Coordinacin editorialSandra Hussein Domnguez
Primera edicin, 2006Primera edicin revisada y corregida, 2007Octava reimpresin, 2015 (ciclo escolar 2015-2016)
D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2006 Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F.
ISBN: 978-968-01-1191-6 (obra completa)ISBN: 978-968-01-1192-3 (volumen I)
Impreso en MxicoDistribucin gratuita-ProhibiDa su venta
Servicios editorialesDireccin de arteRoco Mireles Gavito
DiseoZona grfica
DiagramacinBruno Contreras
IconografaCynthia Valdespino
IlustracinGustavo Cdernas, Curro Gmez, Carlos Lara,Gabriela Podest, Cecilia Varela
FotografaAriel Carlomagno, Pablo Gonzlez de Alba
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Mapa-ndice
Clave de logos
Vamos a conocernos
BLOqUE 1
secuencia 1 Sistemas de numeracin
secuencia 2 Fracciones y decimales en la recta numrica
secuencia 3 Sucesiones de nmeros y figuras
secuencia 4 Geometra y expresiones algebraicas
secuencia 5 Simetra
secuencia 6 Proporcionalidad
secuencia 7 Reparto proporcional
secuencia 8 Problemas de conteo
BLOqUE 2
secuencia 9 Problemas aditivos de nmeros fraccionarios y decimales
secuencia 10 Multiplicacin y divisin de fracciones
secuencia 11 Multiplicacin de nmeros decimales
secuencia 12 Mediatriz y bisectriz
secuencia 13 Polgonos regulares
secuencia 14 Frmulas para calcular el rea de polgonos
secuencia 15 La constante de proporcionalidad
secuencia 16 Aplicacin sucesiva de constantes de proporcionalidad
Bibliografa
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SECUENCIA SESIN RECURSOS TECNOLGICOS
Videos InteractivosAula de medios
Hojas de trabajo Archivo
1. Sistemas de numeracin. (14 - 27) Identificarlaspropiedadesdelsistema
denumeracindecimalycontrastarlasconlasdeotrossistemasnumricosposicionalesynoposicionales.
1.1 Acertijosarqueolgi-cos
1.2 Otrosistemadenumeracin
Losnmerosmayas
Sistema de numeracin maya
1.3 Elsistemadecimal
2. Fraccionesydecimalesenlarectanumrica. (28 - 39) Representarnmerosfraccionariosy
decimalesenlarectanumricaapartirdedistintasinformaciones,analizandolasconvencionesdeestarepresenta-cin.
2.1 Elsaltodealtura Elsaltodealtura
2.2 Densidadyfracciones Larectanumrica:Fracciones
2.3 Elsaltodelongitudylosnmerosdecimales
Larectanumrica:Fraccionesdecimales
3. Sucesionesdenmerosyfiguras. (40 - 51) Construirsucesionesdenmerosa
partirdeunaregladada. Determinarexpresionesgeneralesque
definenlasreglasdesucesionesnumricasyfigurativas.
3.1 Figurasquecrecen Figurasquecrecen
Patronesysecuencias1
3.2 Nmerosquecrecen Sucesiones 3.2Nmerosquecrecen (Hojadeclculo)
Sucesin
3.3 Reglasdesucesiones Patronesysecuencias1
Patronesysecuencias2
4. Geometrayexpresionesalgebrai-cas. (52 - 59) Explicarenlenguajenaturalel
significadodealgunasfrmulasgeomtricas,interpretandolasliteralescomonmerosgeneralesconlosqueesposibleoperar.
4.1 Frmulasypermetros Frmulasypermetros
Cuadrado
Hexgono
4.2 Frmulasyreas Rectngulo 4.2Frmulasyreas (Hojadeclculo)
Cuadrado1
Cuadrado
5. Simetra. (60 - 73) Construirfigurassimtricasrespectoa
uneje,analizarlasyexplicitarlaspropiedadesqueseconservanenfigurastalescomo:tringulosisscelesyequilteros,rombos,cuadradosyrectngulos.
5.1 Comosifueraunespejo
Simetradepuntos
5.2 Papelpicado Simetradepolgonos 5.2.Papelpicado (Geometradinmica)
Papel
Simtrico
5.3 Losvitrales Vitrales
5.4 Algomssobresimetra
5.4Algomssobresimetra (Geometradinmica)
Aprendido
6. Proporcionalidad. (74 - 83) Identificaryresolversituacionesde
proporcionalidaddirectadeltipovalorfaltante,utilizandodemaneraflexiblediversosprocedimientos.
6.1 Las cantidades directamente proporcionales
6.2 Elvalorunitario Escalasymaquetasenarquitectura
6.2Valorunitario (Hojadeclculo)
Escalas
6.3 Laproporcionalidadenotroscontextos
Variacinproporcional1
7. Repartoproporcional. (84 - 89) Elaboraryutilizarprocedimientospara
resolverproblemasderepartoproporcional.
7.1 Lakerms Repartoproporcional
Variacinproporcional2
7.2 Mssobrerepartoproporcional
8. Problemasdeconteo. (90 - 103) Resolverproblemasdeconteoutilizando
diversosrecursosyestrategias,comotablas,diagramasderbolyotrosprocedimientosdeenumeracin.
8.1 Cuntoscaminoshay?
Mapadecalles
8.2 Decuntasformas? Diagramaderbol
8.3 Cuntosviajeshay? Sabencuntoshay?
Diagramaderbol
8.4 Otroscontextos Diagramaderbol
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Bloque 1
4
Bloque 2
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9. Problemasaditivosconnmerosfraccionariosydecimales. (106 - 117) Resolverproblemasaditivoscon
nmeros fraccionariosydecimalesendistintoscontextos.
9.1 Elfestivaldefindecursos Dndeseutilizanfracciones?
Nmerosfraccionarios 9.1 Elfestivaldefindecursos(Hojadeclculo)
Fracciones
9.2 Marcasatlticas
9.3 Lospreciosdelacafetera
10. Multiplicacinydivisindefracciones. (118 - 137) Resolverproblemasqueimpliquen
lamultiplicacinydivisinconnmerosfraccionariosendistintoscontextos.
10.1 Decomprasenelmercado
10.2 Superficiesyfracciones Multiplicacindefracciones1
10.3 Cmoseranlasmarcasatlticasenelespacio?
Elsistemasolar ylafuerzadegravedad
Multiplicacindefracciones1
Multiplicacindefracciones2
10.4 Hayteladedondecortar
10.5 Cuntasbotellasdejugosenecesitan?
11. Multiplicacindenmerosdecimales. (138 - 147) Resolverproblemasqueimpliquen
la multiplicacindenmerosdecimalesen distintoscontextos.
11.1 Tresvecesymedia Msdetres,pero menosdecuatro
Multiplicacindenmerosdecimales
Escalasynmerosdecimales
11.2 Elpuntoeselasunto reasynmerosdecimales
11.3 Endndeseusalamultiplicacindedecimales?
12. Mediatrizybisectriz. (148 - 159) Utilizarlaspropiedadesdela
mediatrizdeunsegmentoylabisectrizdeunngulopara resolverdiversosproblemasgeomtricos.
12.1 Alamismadistancia Mediatriz 12.1 Alamismadistancia (Geometradinmica)
Segmento
Mediatrices Mediatrices
12.2 Unproblemageomtrico Mitadesdengulos Bisectriz 12.2 Unproblemageomtrico (Geometradinmica)
Figura1
ngulo1
Bisectrices Bisectrices
12.3 Apliquemosnuestrosconocimientosdemediatricesybisectrices
12.3 Apliquemosnuestroconocimientodemediatricesybisectrices(Geometradinmica)
Eje
13. Polgonosregulares. (160 - 169) Construirpolgonosregulares
apartirdedistintasinformaciones.
13.1 Tarjetasdefelicitacin Felicidades Polgonosregularesngulocentral
13.1 Tarjetasdefelicitacin (Geometradinmica)
Centros
ngulo2
Medida
13.2 Mosaicos Polgonosregularesngulointerior
13.2 Mosaicos(Geometradinmica)
ngulo3
13.3 Mssobrepolgonosregulares 13.3 Mssobrepolgonosregulares (Geometradinmica)
Polgono
Central
14. Frmulasparacalcularelreade polgonos. (170 - 183) Justificarlasfrmulasparacalcular
el permetroyelreadetringulos,cuadrilterosypolgonosregulares.
14.1 Rompecabezas1
14.2 Rompecabezas2
14.3 Descomposicindefiguras 14.3 Descomposicindefiguras(Geometradinmica)
Hexgono
Apotema
14.4 Otrasformasdejustificarlasfrmulas
Justificacin Frmulasgeomtricas 14.4 Otrasformasdejustificar(Geometradinmica)
Frmulas
15. Laconstantedeproporcionalidad.(184 - 195) Identificarsituacionesde
proporcionalidaddirectaendiversoscontextos,yresolverlasmedianteprocedimientosmseficientes.
15.1 Lacanchadebsquetbol Variacinproporcional3
15.1 Lacanchadebsquetbol(Hojadeclculo)
Cancha
15.2 Mapasyescalas CentroHistrico delaCiudadde
Mxico
15.3 Rutasytransporte
16. Aplicacinsucesivadeconstantesdeproporcionalidad. (196 - 207) Interpretarelefectodela
aplicacinsucesivadefactoresconstantesdeproporcionalidadendiversoscontextos.
16.1 Microscopioscompuestos Microscopioscompuestos
Variacinproporcional4
16.1 Microscopioscompuestos(Hojadeclculo)
Microscopios
16.2 Escalasyreducciones Variacinproporcional5
16.3 Consomranchero
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5
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17. Divisindenmerosdecimales. Resolverproblemasque
impliquenladivisindenmerosdecimalesendistintoscontextos.
17.1 Elmetrobs Elmetrobs Divisindenmerosdecimales
17.2 Cambiodedinero
17.3 Nmerosdecimalesenlaciencia
18. Ecuacionesdeprimergrado. Resolverproblemasque
impliquenelplanteamientoylaresolucindeecuacionesdeprimergradodelasformasx+a=b;ax=b;ax+b=c,utilizandolaspropiedadesdelaigualdad,cuandoa,bycsonnmerosnaturalesydecimales.
18.1 Arepartirnaranjas Ecuaciones1 18.1 Arepartirnaranjas(Hojadeclculo)
Ecuacin
18.2 Elpaseoescolar Elterrenoyelro Ecuaciones2
18.3 Resolucindeecuacionesmixtas
Ecuacionesdeprimergrado
19. Existenciayunicidad. Construirtringulosy
cuadrilteros. Analizarlascondicionesde
existenciayunicidad.
19.1 Existeonoexiste? Desigualdadtriangular
19.2 Esunoosonmuchos? Esunoosonmuchos? 19.2 Esunoosonmuchos?(Geometradinmica)
Rombos
Construcciones
20. reasypermetros. Resolverproblemasque
impliquencalcularelpermetroyelreadetringulos,romboidesytrapecios,yestablecerrelacionesentreloselementosqueseutilizanparacalcularelreadecadaunadeestasfiguras.
Realizarconversionesdemedidasdesuperficie.
20.1 Problemasdeaplicacin
20.2 Relacionesimportantes
20.3 Medidasdesuperficie Medidasdesuperficie
21. Porcentajes. Resolverproblemasque
impliquenelclculodeporcentajesutilizandodemaneraadecuadalasexpresionesfraccionariasodecimales.
21.1 MxicoenelINEGI Porcentajes1
21.2 ElIVA 21.2 ElIVA(Hojadeclculo)
IVA
21.3 Miscelneadeporcentajes
Losmigrantes Porcentajes2
22. Tablasdefrecuencia. Interpretarycomunicar
informacinmediantelalectura,descripcinyconstruccindetablasdefrecuenciaabsolutayrelativa.
22.1 Quinllegprimero? Unrecorridoporelorigen delaestadstica
22.1 Quinllegprimero?(Hojadeclculo)
Atletismo
Edades
22.2 Tabladefrecuenciarelativa
22.2 Tabladefrecuenciarelativa(Hojadeclculo)
Frecuencias
22.3 Latablarepresenta 22.3 Latablarepresenta(Hojadeclculo)
Matrculas
23. Grficasdebarrasycirculares. Interpretarinformacin
representadaengrficasdebarrasycircularesdefrecuenciaabsolutayrelativa,provenientedediariosorevistasydeotrasfuentes.
Comunicarinformacinprovenientedeestudiossencillos,eligiendolaformaderepresentacinmsadecuada.
23.1 Qudicenlasgrficas
23.2 Grficasdebarras
23.3 Grficacircular Elratingenlatelevisin
24. Nocionesdeprobabilidad. Enumerarlosposiblesresultados
deunaexperienciaaleatoria.Utilizarlaescaladeprobabilidadentre0y1yvinculardiferentesformasdeexpresarla.
Establecerculdedosomseventosenunaexperienciaaleatoriatienemayorprobabilidaddeocurrir;justificarlarespuesta.
24.1 Probabilidadfrecuencial Lanzamonedas 24.1 Probabilidadfrecuencial(Hojadeclculo)Laruleta
24.2 Probabilidadclsica Bolsaconcanicas
24.3 ComparacindeprobabilidadesI
Quesmsprobable?
24.4 ComparacindeprobabilidadesII
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Bloque 3
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25. Nmerosconsigno. Plantearyresolverproblemasque
impliquenlautilizacin denmerosconsigno.
25.1 Niveldelmar
25.2 Distanciayorden Temperaturasambientales
Temperaturas
25.3 Valorabsolutoysimtricos
26. Razcuadradaypotencias. Resolverproblemasqueimpliquen
elclculodela razcuadradaylapotenciadeexponentenatural, ambasdenmerosnaturalesydecimales.
26.1 Cuadrosymscuadros 26.1 Cuadrosymscuadros(Hojadeclculo)
Cuadrado2
26.2 Clculoderacescuadradas Losbabiloniosylarazcuadrada
Mtodobabilnico
26.3 Cuntostatarabuelos? Diagramaderbol
27. Relacinfuncional. Analizarensituaciones
problemticaslapresenciade cantidadesrelacionadasyrepresentarestarelacin medianteunatablayunaexpresinalgebraica.
27.1 Laexpansindeluniverso Laexpansindeluniverso
27.2 Loshusoshorarios
27.3 Cocinanavidea 27.3.Cocinanavidea (Hojadeclculo)
Pavo
27.4 Elrecibodetelfono
28. Construccindecrculosycircunferencias. Construircrculosquecumplan
condicionesdadasa partirdediferentesdatos.
28.1 Lascircunferenciasquepasanpordospuntos
Lascircunferenciasquepasan
pordospuntos
28.2 Cuerdasycircunferencias Construccindecircunferencias
28.3 Trespuntosyunacircunferencia
Construccindecircunferenciasconla
mediatriz
28.3 Trespuntosyunacircunferencia(Geometradinmica)
Comunidades
Comunidad
Aplicacin
29. ElnmeroPi. Determinarelnmero comola
raznentrela longituddelacircunferenciayeldimetro.
Justificaryusarlafrmulaparaelclculodela longituddelacircunferencia.
29.1 Larelacinentrecircunferenciaydimetro
Relacinentrecircunferencia ydimetro
DedndesaliPi? 29.1 Relacinentrecircunferenciaydimetro(Geometradinmica)
ElnmeroPi
29.2 Permetrodelcrculo
30. Elreadeloscrculos. Resolverproblemasqueimpliquen
calcularel reayelpermetrodeuncrculo.
30.1 readelcrculo readelcrculo Clculodelreadelcrculo
deArqumedes
30.1 readelcrculo(Geometradinmica)
Crculos
Polgonosreadelcrculo
30.2 reasypermetros
31. Relacionesdeproporcionalidad. Formularlaexpresinalgebraica
quecorrespondaa larelacinentredoscantidadesquesondirectamenteproporcionales.
Asociarlossignificadosdelasvariablesenlaexpresiny=kxconlascantidadesqueintervienenendicharelacin.
31.1 Cambiodemoneda Historiadelamoneda Variacinproporcional6
31.2 Expresionesalgebraicasyrelacionesde proporcionalidadendistintoscontextos
32. Grficasasociadasasituacionesdeproporcionalidad. Explicarlascaractersticasdeuna
grficaquerepresente unarelacindeproporcionalidadenelplanocartesiano.
32.1 Grficasysuscaractersticas Grficas
32.2 Comparacindegrficas Variacinproporcionalygrficas
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Bloque 4
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33. Cuentasdenmerosconsigno. Utilizarprocedimientosinformalesy
algortmicosdeadicinysustraccindenmerosconsignoendiversassituaciones.
33.1Lostomos Lostomos Lostomos1
33.2Sumasdenmerosconsigno
Lostomos2
33.3Restasdenmerosconsigno
Lostomos3
33.4Detodounpoco
34. reasdefigurasplanas. Resolverproblemasqueimpliquenel
clculodereasdediversasfigurasplanas.
34.1reasdefigurasformadas porrectas
Geometraandaluza
34.1reasdefigurasformadasporrectas(Geometradinmica)
Figura2
Figuras
34.2reasdefigurasformadas porcrculos
34.2.reasdefigurasformadasporcrculos(Geometradinmica)
Regin
35. Juegosequitativos. Reconocerlascondicionesnecesarias
paraqueunjuegodeazarseajusto,conbaseenlanocinderesultadosequiprobablesynoequiprobables.
35.1Culeslamejoropcin?
35.2Ruletas Laruleta
35.3Juegoscondados
35.4Quinielas Pronsticosnacionales
Lanzamonedas
36. Grficas,tablasyexpresionesalgebraicas. Calcularvaloresfaltantesapartirde
variasrepresentacionesrelacionandolasquecorrespondenalamismasituacin,eidentificarlasquesondeproporcionalidaddirecta.
36.1Grficas,tablasyexpresiones algebraicasasociadasaproblemas deproporcionalidaddirecta
Elementosdela proporcionali-
dad directa
36.1Grficas,tablasyexpresionesalgebraicasasociadasaproblemasdeproporcionalidaddirecta(Hojadeclculo)
Aos
36.2Delagrficaalproblema
37. Proporcionalidadinversa. Identificaryresolversituacionesde
proporcionalidadinversamediantediversosprocedimientos.
37.1Elagua
37.2Lavelocidad Lavelocidadconstante
Variacinproporcionalinversaygrficas1
37.3Lahiprbola Variacinproporcionalinversaygrficas2
37.3Lahiprbola (Hojadeclculo)
Rectngulos
Pintores
38.Medidasdetendenciacentral. Compararelcomportamientodedoso
msconjuntosdedatosreferidosaunamismasituacinofenmenoapartirdesusmedidasdetendenciacentral.
38.1Promedios Promedios
38.2Quprefierencomer?
E V A L U A C I N
Bloque 5
E J E 1 : Sentidonumricoypensamientoalgebraico
E J E 2 : Forma,espacioymedida
E J E 3 : Manejodelainformacin
Clave de logos
Trabajo individual
En parEjas
En Equipos
Todo El grupo
ConExin Con oTras asignaTuras
glosario
ConsulTa oTros maTErialEs
Cd dE rECursos
siTios dE inTErnET
biblioTECas EsColarEs y dE aula
vidEo
programa inTEgrador EdusaT
inTEraCTivo
audioTExTo
aula dE mEdios
oTros TExTos
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10
Has estudiado matemticas durante toda la primaria.Ahoraqueiniciaslasecundaria,unodelospropsitosdelplandeestudiosesqueusesloqueyasabesparaaprenderlosnuevosconocimientosquetesernpresentados.Tuprofesor,conelapoyodeestelibroyelusodealgunosrecursostecnolgicos,teayudaraquelologres.
Tulibroesnuevoymuyatractivo.Teprovocacuriosidad?Elprimerretoserconocerloyfamiliarizarteconloselementosqueloforman.
Estelibrosecomponededostomosquecontienenvariassecuenciasdeaprendizaje.Encadasecuenciaaprendersuntemadelprogramadematemticasestudindoloatravsdevariassesiones.Unasesinestpensadaparaquelatrabajesenunaclase,aunqueenocasionessernecesarioqueledediquesunpocomsdetiempo.
Encadasesinpodrsencontrarlosapartadossiguientes:
Para empezarEsunaintroduccinaltemadelasesin.Serelacionaelnuevoconocimientoqueaprendersconalgoqueyahayasestudiado.
Consideremos lo siguienteAquseproponeunproblemaparaqueloresuelvasutilizandoloqueyasabes.
Manos a la obraSonlasactividadesespecficasdelasesin.Porlogeneralseincluyenmuchaspreguntasqueteayudarnarecordarloqueyasabes,aanalizarloqueestsaprendiendoyadeducirnuevasestrategiasdesolucin.
Avecestrabajarsindividualmenteyotrasenequipoocontodoelgrupo.
A lo que llegamosDespusderealizar lasactividadesdeManosa laobra, sepresentan lasconclusionessobrelosconceptosrevisados.
Lo que aprendimosEsunacoleccindeejerciciosqueteservirnparaaplicaryentendermejorloaprendido.
Para saber msSonsugerenciasparaquerevisesotrosmaterialesconlosquepuedesampliartuconocimientodeltema.Seincluyenreferenciasalibrosysitiosdeinternet.
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11
Los recursos tecnolgicos que apoyan a tu libro
Videos
Seindicanconlafiguradeunacmaradevideo.Teservirnparaintroduciroampliarinformacinacercadeltemadelasecuenciay,enocasiones,parapresentarejemplosenlosquesepuedaaplicarelconocimientoquevasaaprender.
Interactivos
Se indicancon lafiguradeunmouseoratn.Sonactividadesquevasarealizarenlacomputadoradelsalndeclase.Supropsitoesquedesarrollestusideassobreeltemaqueestsestudiando,queejerciteslastcnicasquesetepresentan,verifiquestusrespuestasyconfirmesorechacestusconjeturas.
Trabajo con hojas de clculo y
geometra dinmica
EstosrecursosestndiseadosparaemplearseenelAuladeMedios.Losusarsparaanalizardatosyresolverproblemassobreeltemaqueestsestudiandoentulibro.
Adicionalmente, tu libroutiliza los iconos siguientespara sugerirdistintas formasdeorganizacinenlaelaboracindelasactividadesindicadas.
Iconos de organizacin
2personas 3personas 4personas
Individual En equipos Todo el grupo
Esperamos que estos materiales te permitan disfrutar, en este ao escolar, tu aprendizaje de las matemticas.
MATEMTICAS I
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12
I II III IV V VI VII VIII IX X
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13
I II III IV V VI VII VIII IX X
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1
secuencia 1
es la introduccin al tema de la sesin.
En esta secuencia identificars las propiedades del sistema de nume-racin decimal y las contrastars con las de otros sistemas numricos posicionales y no posicionales.
Acertijos ArqueolgicosPara empezarLanecesidaddecontaryderegistrarcantidadeshaestadopresenteenmuchascivilizaciones;sinembargo,notodaslohanhechodelamismamanera.Enquintogradodeprimariarealizaste lacomparacindelsistemadenumeracindecimalconel sistemaegipcioyconelsistemaromano.Enestasesinsevaaretomarelsistemaegipcio.Sabasquesecomenzautilizaraproximadamenteenelao3000antesdenuestraera?
Consideremos lo siguienteFjensecmoescribanlosantiguosegipciosalgunosnmerosycompletenlatabla.
sesin 1
secuencia 1
3 7 8 14
76 225 599
2 130
3 062
215 460
1 200 108
4 000 000
aqu se propone un problema.
Van a trabajar en parejas.
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1
MATEMTICAS I
Todo el grupo.
Escribanensuscuadernoselsucesordeestenmero,segnelsistemaegipcio.
Comparensusrespuestasyexpliquencmolasencontraron.
Manos a la obrai. Completenlasiguientetabla,escribanlossmbolosegipciosyelvalordealgunosde
ellos,segncorresponda.
ii.Completenlatablaconnmerosdelsistemaegipcio.
Comparensustablasycomentencuntossmbolossenecesitanparaescribirelantecesorde ,segnelsistemaegipcio.
Recuerden que:
Para encontrar el
sucesor de un nmero
entero debe sumrsele
uno; para encontrar el
antecesor debe restr-
sele uno. Por ejemplo,
el sucesor de 7 es 8
y su antecesor es 6.
Smbolo egipcio
Valor del smbolo
100 10 000 100 000
son las actividades de la sesin que te ayudarn a recordar lo que ya sabes, a analizar lo que ests aprendiendo y a deducir nuevas estrategias de solucin.
Antecesor Nmero en el sistema egipcio Sucesor
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secuencia 1
1
ejercicios para aplicar y entender mejor lo que acabas de aprender.
aqu se presentan las conclusiones sobre los conceptos revisados.
iii.Enocasioneslosegipciosescribanlosnmerosensentidoopuesto.As,podanescri
bir otambin yelvalordelnmeroeselmismo.
a) Culeselvalordelnmeroanterior?
b) Usandoelsistemaegipcio,escribanensuscuadernoselnmero100436,enambossentidos.
A lo que llegamos
+ +
+ +
El sistema de numeracin egipcio es un sistema aditivo no posicional. Es aditivo por-que para encontrar el valor de un nmero se debe sumar el valor de cada uno de los smbolos que aparecen en el nmero; y es no posicional porque puede escribirse un n-mero poniendo los smbolos en sentido opuesto sin que cambie el valor del nmero.
Cada smbolo se puede repetir hasta nueve veces. Cuando se llega a 10 smbolos igua-les se sustituyen por otro que representa el valor de esos 10 smbolos.
Con los siete smbolos que tenan los egipcios slo podan representar nmeros meno-res que 10 000 000; para ellos esto no era problema porque no se les presentaban situaciones en las que tuvieran que utilizar nmeros ms grandes.
Se piensa que el jeroglfico que representa 1 000 000 ( ) es la figura de un sacerdo-te o de un astrnomo que est viendo hacia el cielo, tratando de contar la gran canti-dad de estrellas que hay.
Una desventaja del sistema egipcio es que para escribir ciertos nmeros se necesitan muchos smbolos.
Lo que aprendimosLosantiguosegipciosrealizabansumascomolassiguientes.Expresa losresultadosdecadaunadeellasutilizandolosnmerosdelsistemaegipcio.
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1
MATEMTICAS Isesin 2otro sistemA de numerAcin
Para empezarLos nmeros mayas
LacivilizacinmayafueunadelasculturasmsimportantesdelapocaprehispnicadeAmricaCentral.Losmayasfuerongrandesastrnomos,muchomsexactosquesuscontemporneoseuropeos.
ElperiodoClsicodelacivilizacinmayasedesarrollentreelao300yelao1000denuestraera.
Enestasesinestudiarslascaractersticasdelsistemadenumeracindelosmayas.
Consideremos lo siguienteFjensecmoescribanlosmayasalgunosnmerosycompletenlatabla.
2 4 5 6 7
8 11 12 15
20 21 23 25
29 30 31 36 38
Escribanensuscuadernoslosnmerosdel1al20enelsistemadenumeracinmaya.
Cuntovaleelsmbolo ?
Cuntovaleelsmbolo ?
Comparensusrespuestasyexpliquencmolasencontraron.Comentencmoescribieronel20enelsistemamayayculeselsmboloquecorrespondealcero.
Vean el video sobre el sistema de numeracin maya.
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secuencia 1
1
Manos a la obrai. Losnmeros6y25escritosensistemamayaseparecenmucho:
6 25
Paradistinguirlos,enelcasodel25,losmayasdejabanunespacioentreelpuntoylaraya.Elespacioindicaquesetienendosniveles:enelprimernivel,deabajohaciaarriba,vanlasunidades;enelsegundovanlosgruposde20.
Enelsegundonivelestepuntovale20 1 20
Enelprimernivelhay5unidades 5 1
25 25 = 20 + 5
Escribanensuscuadernosel11,el16,el30yel35enmaya.
Comparensusescriturasdelosnmerosycomentencmolosdistinguen.
ii. Fjensecmoescribanlosmayasel40:
Enelsegundonivelcadapuntovale20: yatenemoslos40Enelprimernivelhay0unidades
Paraindicarquenohayqueagregarnadams,losmayasutilizabanunsmboloespecialparaelcero: ,indicandoqueunnivelestvaco.Estesmbolorepresentaunaconchaouncaracol.
2de20 2 20
0unidades 0 1
40 40 = 40 + 0
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19
MATEMTICAS IObservencmoescribanlosmayasalgunosnmerosycompletenlatabla.
41 42 60 61 70
77 78 81 100 120
Comparensustablasycomentencmoescribieronlosnmeros.
iii.Losmayasescribanel400delasiguientemanera:
Eneltercernivelestepuntovale400 1 400
Enelsegundonivelponan0de20 0 20
Enelprimernivelponan0unidades 0 1
400 400 = 400 + 0 + 0
Escribanelnmero401enelsistemamayaycompletenlatabla.
Eneltercernivel1de400 1 400
Enelsegundonivel de20 20
Enelprimernivel unidades 1
401 401= + +
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secuencia 1
20
Tambin van a realizar las actividades del interactivo.
1Eneltercernivelsetenanlosgruposde360, ynode400.Sepiensaqueestoeraasdebidoaquelosmayasmanejabanuncalendariode360das.Apartirdeaqu,elvalordecadanivelseobtienemultiplicandopor20elvalordelnivelanterior.As,enelcuartonivel,setienenlosgruposde7 200 (360 20),ynode8 000;enelquintonivelsetienenlosgruposde144 000 (7 200 20),ynode160 000,etctera.
iV.Enelantiguosistemadenumeracinmayaseagrupabade20en20.Porestaraznencadanivelpuedeponersecualquiernmerodel1al19yluego,alllegaral20,hayqueponerunpuntoenelsiguientenivel.As,enelprimerniveldeabajohaciaarribaseescriben lasunidades,enel segundosetienen losgruposde20,en eltercerosetienenlosgruposde20 20 = 400,enelcuartosetienenlosgruposde20 20 20 = 8 000,etctera.Porejemplo,elnmero2077seescribaenmayadelasiguientemanera:
5de400 5 400
3de20 3 20
17unidades 17 1
2 077 2 077 = 2 000 + 60 + 17
Completenlasiguientetabla.Escribanlasoperacionesqueserequierenencadacaso.
8 400 + 3 20 + 5 1= 3 200 + 60 + 5
= 3 265 = 4 077
Comparenlosnmerosycomentencmolosencontraron.1
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21
MATEMTICAS I El sistema de numeracin maya es un sistema posicional porque el valor de cada
nmero depende de la posicin (o nivel) en la que se encuentre. El valor de cada nivel se obtiene multiplicando por 20 el valor del nivel anterior.
En el sistema maya existen tres smbolos: , y . Con estos smbolos los mayas podan escribir cualquier nmero. Utilizaban el smbolo para indicar que una posicin est vaca.
Los mayas llegaron a utilizar nmeros muy grandes: existen calendarios en los que se menciona un periodo de tiempo de 300 millones de aos.
A lo que llegamos
Enqutefijasteparaordenarlosnmeros?
Lo que aprendimos Enlacolumnadeladerechaordenalossiguientesnmerosdelmenoralmayor.
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secuencia 1
22
el sistemA decimAlPara empezarElsistemadenumeracindecimaltienesusorgenesenlosnmeroshindesyfuerondadosaconocerenEuropaporlosrabes,porloqueselesconocecomonmerosindoarbigos.
Consideremos lo siguienteEn esta actividaddebes hacer una sumapaso a paso para que vayas obteniendo losnmerosqueestnenlacolumnadelaizquierda.Porejemplo:parapasardel0al900,sesuma900,yparapasardel900al902,sesuma2.Debesponer,adems,cmoseleecadanmero.
RESULTADO OPERACIN REALIZADA EL RESULTADO SE LEE
0 ** Cero
900 Sesuma900
902 Sesuma2 Novecientosdos
400 902
410 902
410 972 Cuatrocientosdiezmilnovecientossetentaydos
50 410 972
58 410 972 Sesuma8 000 000 Cincuentayochomillonescuatrocientosdiezmilnovecientossetentaydos
58 416 972
858 416 972
sesin 3
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23
MATEMTICAS Ia) Completa la siguiente suma con los nmeros que obtuviste en la columna de
operacinrealizada:
b) Culeselresultadodehacerestasuma?
c) En el sistema de numeracin decimal hay 10 smbolos o cifras. Cules son?
Comparensusrespuestasyexpliquencmolasobtuvieron.
Manos a la obrai. Observalasiguientetabla:
Millones Millares Unidades
D.demilln
U.demilln
C.demillar
D.demillar
U.demillar
Centenas(C)
Decenas(D)
Unidades(U)
5 8 4 1 0 9 7 2
Elnmero58410972seleecincuentayochomillonescuatrocientosdiezmilnovecientossetentaydos.
Fjateenlatablayresponde.
Millones Millares Unidades
C.demilln
D.demilln
U.demilln
C.demillar
D.demillar
U.demillar
Centenas(C)
Decenas(D)
Unidades(U)
8 5 8 4 1 6 9 7 2
Cmoseleeelnmero858 416 972?
Comentenycomparensusrespuestas.
Cuandoseleenlosnmerosseagrupancadatrescifras.Lastresprimeras,dederechaaizquierda,sonlasunidades;lastressiguientessonlosmiles;lastressiguientessonlosmillones;luegovienenlosmilesdemillonesydespuslosbillones.
900 + 2 + + + + + 8 000 000 + +
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secuencia 1
2
ii. Enelnmero858 416 972,elvalorposicionaldel5es50 000 000 unidades;elvalorposicionaldel6es6 000 unidades.Completalatablaconelvalorposicionaldecadacifra.
a) Completalasumadetodoslosnmerosdeltercerrengln,ledosdederechaaizquierda:
2 + 70 + + 6 000 + + 400 000 + + 50 000 000 +
b) Culeselresultadodeestasuma?
c) Estosnmerostambinseexpresanutilizandomultiplicaciones: lasunidadessemultiplicanpor1ylosdemsnmerossemultiplicanpor10,100,1000.Completalatablaparaexpresarascadaunadelascantidades.
d) Completalasumadetodoslosnmerosdelltimorengln:
Comparensustablasycomenten:
a) Enelnmero858 416 972,culeselvalorposicionaldelprimer8,deizquierdaaderecha?
b) Culeselvalorposicionaldelsiguiente8?
Millones Millares Unidades
C. de milln
D. de milln
U. de milln
C. de millar
D. de millar
U. de millar
Centenas (C)
Decenas (D)
Unidades (U)
8 5 8 400 000 1 6 9 7 2
50 000 000 400 000 6 000 70 2
8 5 8 4 1 6 9 7 2
50 000 000 400 000 6 000 70 2
8 1 000 000 6 1 000 9 100 7 10 2 1
ElvalorposicionalesElvalorposicionales
2 1 + 7 10 + + 6 1 000 + +
+ 8 1 000 000 + 5 10 000 000 +
Elvalorposicionales
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2
MATEMTICAS Iiii.Completalatablaconelvalorposicionaldecadacifraenelnmero50410972.
a) Culeselvalorposicionaldelprimer0,deizquierdaaderecha?
b) Culeselvalorposicionaldelsiguiente0?
c) Expresaentucuadernoelnmero50 410 972,utilizandolosmltiplosde10.
Comparensusrespuestas.
Enelsistemadenumeracindecimalseagrupade10en10: 10unidadesformanunadecena,10decenasformanunacentena,10centenasformanunaunidaddemillar,etctera. En cada posicin puede ponerse una cifra del0 al9; al llegar al10 hayqueagregarunaunidaden la siguienteposicin.As,dederechaa izquierda,en laprimeraposicinvanlasunidades,en lasegundaposicinvanlosgruposde10,enlaterceraposicinvanlosgruposde10 10 = 100,enlaterceraposicinsetienenlosgruposde10 10 10 = 1 000,etctera.
iV. Elsiguienteesunjuegoporequipos.Cadaintegrantedelequipodebehacercincotarjetascomolasquesemuestranyrecortarlas.
Encuentrentodoslosnmerosquepuedenobtenerseusandolascincotarjetas.Antenlosensuscuadernosenordendemenoramayor,conletrayconnmero.
a) Cuntosnmerosdiferentesencontraron?
b) Culeselmayor?Escrbanloconnmeros
c) Culeselmenor?Escrbanloconnmeros
Comparensusrespuestasyexpliquencmolasobtuvieron.
Millones Mil Seis Tres Ocho
Millones Millares Unidades
5 0 4 1 0 9 7 2
50 000 000 400 000
Elvalorposicionales
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secuencia 1
2
Lo que aprendimos1. DeacuerdoconlosdatosdelltimoCenso General de
Poblacin y Vivienda, en el ao 2000Mxico tena97 483 412habitantes.ElestadomspobladoeraelEstadodeMxicocon13 083 359,elmenospobladoera Baja California Sur con 423 516. El DF tena8 591 309,Jalisco6 321 278yVeracruz6 901 111.
Conestosdatoshazunatablaenlaqueindiques:
Elnombredecadaestado.
Supoblacin,escritaconnmeroyconletra.
Ordenalosdatosdemenoramayorpoblacin.
2. Relacionalascolumnas:
A.Sistemadenumeracindecimal.
B.Sistemadenumeracinmaya.
C.Sistemadenumeracinegipcio.
( )Puedeescribirseunnmeroponiendolossmbolosensentidoopuestosinquecambieelvalordelnmero.
( )Elvalordecadaposicinseobtienemultiplicandopor10elvalordelaposicinanterior.
( )Tienetressmbolos.
( ) El valor de cadanivel seobtienemultiplicandopor20 elvalordelnivelanterior.
( )Paraescribirciertosnmerossenecesitanmuchossmbolos.
( )Seusandiezsmbolosocifras
( )Notienecero.
A lo que llegamos En el sistema de numeracin decimal, que es el de uso oficial en nuestro pas y en casi
todo el mundo, se usan diez smbolos o cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 llamados dgitos. Es un sistema posicional porque el valor de cada dgito depende de la posicin en la
que se encuentre. Al escribir nmeros enteros, el valor del dgito que est en la segunda posicin, de derecha a izquierda, se multiplica por 10; el que est en la tercera se multi-plica por 100; el que est en la cuarta se multiplica por 1 000, y as sucesivamente.
Uno de los dgitos, el 0, sirve para indicar que una determinada posicin est vaca.
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2
MATEMTICAS I3. AgregaalastarjetasdelaactividadIV,unatarjetaconelnombreciento(s).Estatar
jetapuedeutilizarsecomoelsingularcientooelpluralcientos.Encuentralamayorcantidadposibledenmerosquepuedenobtenerseusandolasseistarjetas.Escrbelosen tucuadernocon letray connmero. Indicaelnmeromayoryelnmeromenor.
4. Tienenentucomunidadunsistemadenumeracindistintodeldecimal?,cuntossmbolos tiene?,esaditivo?,esposicional?, hayalgnsmboloque indiquequeunaposicinestvaca?
Para saber ms
Sobre los sistemas de numeracin consulta en el libro de texto de Matemticas quin-to grado, SEP, la portada del Bloque 1 (pp. 8 y 9).
Sobre los sistemas de numeracin maya consulta:http://interactiva.matem.unam.mx/matechavos/sabias/html/mayas/html/mayas.html [Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007].Proyecto Universitario de Enseanza de las Matemticas Asistida por Computadora, UNAM.
sugerencias para que revises otros materiales con los que puedes ampliar tu conocimiento del tema.
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secuencia 2
28
En esta secuencia trabajars en la representacin de nmeros fraccionarios y decimales en la recta numrica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representacin.
El salto dE alturaPara empezar
sEsin 1
El salto de altura
El salto de altura es una de las competencias atlticas ms atractivas. Se trata de saltar sobre una barra horizontal que est colocada a varios metros sobre el nivel del piso. Los mejores atletas saltan ms de 2 metros de altura! Para decidir cundo un competidor gana o pierde una competencia es muy importante medir de modo muy preciso la altura de sus saltos. Las mediciones de los saltos se pueden realizar usando fracciones y nmeros decimales.
La tabla muestra tres marcas conseguidas en el salto de altura por distintos atletas.
Ao Competencia Atleta Longitud aproximada del salto (metros)
1993 Campeonato Mundial de Atletismo
Javier Sotomayor2 wQ
1996 Juegos Olmpicos de Estados Unidos
Charles Austin2 tW
2004 Juegos Olmpicos de Atenas
Stefen Hlm2 eQ
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MATEMTICAS IConsideremos lo siguiente
En la siguiente recta se ha representado el salto de Sotomayor. Anota en el lugar correspondiente la representacin de la distancia que saltaron Austin y Hlm.
a) Quin hizo el salto de mayor altura?
b) Quin hizo el salto de menor altura?
Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.
Manos a la obra i. Ubica en la siguiente recta los nmeros 1, wQ y 1 wQ .
a) En la misma recta ubica el 3.
b) Cmo supiste dnde va el 3?
c) Con tu regla mide la distancia del 0 al 1. Cunto es? Y la distancia de 1 a 2? , y la de 2 a 3? Verifica que estas tres distancias sean iguales, si no es as revisa en dnde est el error.
ii. Considera ahora slo la distancia de 2 a 3.
a) Ubica el punto 2 Qe (altura que salt Hlm).
b) Qu hiciste para localizar el punto 2 Qe ?
Recuerda que:
Un nmero mixto se
puede expresar
como una fraccin
impropia. Por ejemplo,
2 Qw = 2 + Qw = wT .
0 2 2 wQ Sotomayor
0 2 2 wQ
0 2 3
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secuencia 2
30
c) Hay muchas maneras de dividir un segmento en tres partes iguales; a continua-cin se presenta una.
d) Utiliza el procedimiento anterior para dividir segmentos en tres partes iguales y ubica en la recta Qe , We , Ee , 1 Qe , 1 We , 2 Qe .
e) Verifica que el segmento que va de 0 a 1 haya quedado dividido en tres partes iguales. Puedes usar tu regla para medir la longitud de las partes.
1. Necesitas una hoja rayada. 2. Tomas la hoja de papel y colocas una de las rayas al inicio del segmento que quieres dividir.
3. Giras la hoja hasta que tres renglones corten al seg-mento que quieres dividir.
4. Pones una marca en cada corte y listo! el segmento queda dividido en tres partes.
0 1 2 3
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31
MATEMTICAS IEl nmero de renglones que debes considerar es igual al nmero de partes en que quieres dividir el segmento; por ejemplo, si quieres dividirlo en cinco partes, giras la hoja hasta que cinco renglones corten al segmento.
iii. Considera la recta y ubica los puntos que corresponden a Qt , Wt , Et , It , 1 Et , 1 Rt , 2 Wt .
Utiliza tu regla para verificar que el segmento que va de 1 a 2 haya quedado dividido en cinco partes iguales.
Regresen al problema inicial y verifiquen, apoyndose en el procedimiento de la hoja rayada, si localizaron bien los saltos de Austin y Hlm.
A lo que llegamos
En la recta numrica pueden ubicarse fracciones.
Si se desea ubicar novenos en la recta, la unidad en la que se va a ubicar debe quedar dividida en nueve partes iguales.
Para ubicar nmeros en la recta numrica es importante que consideres que a diferencias iguales entre nmeros deben corresponder distancias iguales.
0 1 2 3
0 1 1oT 2 3
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secuencia 2
32
iV. Cada uno de los miembros de la pareja localice la fraccin Te en la siguiente recta numrica considerando los puntos dados. Hganlo por separado.
Por ejemplo,
a) la distancia de 3 a 4 debe ser la misma que la de 4 a 5.b) la distancia de Qw a 1 debe ser la misma que la de 3 a 3 Qw .
Recta A
0
0 1 2 3
Longitudes iguales
0 wT
Recta B
a) En cuntas partes dividieron el segmento que va de 0 a Tw ? b) Localicen otra vez la fraccin Te , pero ahora hganlo en la recta B. c) Llegaron los dos al mismo resultado? Comenten cmo lo obtuvieron.
Comparen sus respuestas y comenten:
a) Cuntas maneras distintas encontraron para localizar Te en la recta a?b) Cuntas maneras distintas hay para localizar Te en la recta B?
Comparen sus respuestas. Con su regla midan la distancia de 0 a Te . Es la misma o es distinta? Porqu creen que sea as?
iV. En la recta B localicen 1 y 2. Hganlo por separado y no se olviden de considerar los puntos dados.
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MATEMTICAS IA lo que llegamosEn una recta numrica que slo tiene localizado un nmero, hay muchas maneras correctas de localizar otro. Por ejemplo, en la recta A de la actividad anterior hay muchas maneras distintas de localizar Te . Si en la recta numrica estn ya localizados dos puntos, entonces hay una sola manera de localizar cualquier otro. Por ejemplo, en la recta B de la actividad anterior hay una sola manera de localizar Te .
Lo que aprendimos1. Usa una hoja rayada para dividir segmentos en el nmero de partes que se requiere y
ubica las fracciones que se indican.
2. Anota el nmero que corresponde a cada punto.
b) 1 Wt0 1 2
c) Eu 1 2
d) qQ pQ 1 2
0 1 2 3
0 1 2a) Wt
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secuencia 2
34
Comenten sus respuestas con otros compaeros. Mencionen la manera en que hallaron los nmeros de la actividad 2. Con respecto a la actividad 3, comenten acerca de cules incisos tenan varias respuestas y cules slo una y justifiquen por qu tenan una o varias respuestas.
dEnsidad y fraccionEsPara empezarEntre dos fracciones siempre hay otra fraccin. A esta propiedad se le conoce como densidad de las fracciones. En esta sesin estudiarn esta propiedad.
Consideremos lo siguienteEncuentren un nmero que est entre Qe y We . Localcenlo en la siguiente recta numrica:
Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.
sEsin 2
3. Ubica en la recta numrica los nmeros indicados.
3a) Qw
20b) Er
c) 1 Qw
d) 2 We0 wT
eWeQ
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MATEMTICAS IManos a la obrai. Los alumnos de otra telesecundaria dijeron que no hay ningn nmero entre Qe y We ,
porque entre 1 y 2 no hay ningn nmero.Comenten: Estn de acuerdo con ellos?, por qu?
ii. En la recta numrica localicen los nmeros 0 y 1. El segmento que va de 0 a 1 queda dividido en tercios. Verifquenlo.a) Dividan los tercios en sextos, en cuntas partes tienen que dividir cada tercio?
b) Entre Wy y Ry hay otra fraccin con denominador 6, cul es? Localcenla en la recta.
c) Dividan en novenos el segmento de 0 a 1, en cuntas partes tienen que dividir cada tercio?
d) Encuentren y localicen en la recta tres nmeros que estn entre Qe y We . Cules son?
Comparen sus respuestas.
A lo que llegamos
Entre cualquier par de nmeros fraccionarios siempre hay otros nmeros fraccionarios. sta es una propiedad que se conoce como propiedad de densidad de las fracciones.
iii. En las rondas eliminatorias para el Campeonato Mundial de 2005, un competidor tuvo mejores marcas que Hlm, pero no super la marca de Austin. En la recta num-rica estn representadas las alturas que saltaron Hlm y Austin.
2 eQHlm
2 tWAustin
Contesten:
Cunto pudo haber saltado el nuevo competidor?
Representen esta altura en la recta numrica.
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secuencia 2
36
iV. Los alumnos de otra telesecundaria dijeron que no se puede resolver el problema anterior. Convirtieron los resultados de Austin y de Hlm a quinceavos:
Charles Austin: 2 Wt m = 2q t m.
Stefen Hlm: 2 Qe m = 2 q t m.
Y dijeron que entre 2 q t y 2q t no hay ningn nmero.
Estn de acuerdo con lo que dicen en esa escuela? Por qu?
V. En la recta numrica localicen 2 q t y 2q t . Dividan en treintavos y encuentren:
2q t = 2e p
2 q t = 2 e p
a) En cuntas partes hay que dividir cada quinceavo para obtener treintavos?
b) Exactamente a la mitad entre 2 q t y 2q t hay otro nmero, cul es?
c) Sin dividir en la recta, encuentren las siguientes equivalencias:
2q t = 2 r t
2 q t = 2 r t
d) Entre 2 Wt y 2 Qe hay dos fracciones con denominador 45, cules son?
Encuentren tres posibles saltos ms altos que 2 Qe m (Stefen Hlm), pero ms bajos que 2 Wt m (Charles Austin):
Recuerda que:
Cuando en una fraccin se
multiplica por el mismo nmero
al numerador
y al denominador, se obtiene
una fraccin equivalente.
Por ejemplo:
Entonces Wt y q t son equivalentes.
Numerador
Denominador Wt q t .
3
3
MAT1B1S02.indd36 6/2/076:49:13PM
37
MATEMTICAS ILo que aprendimos1. En la siguiente recta numrica ubica el nmero wQ :
Encuentra tres nmeros que estn entre Wt y Et . Localzalos en la recta.
2. Encuentra tres nmeros que estn entre 1 Eu y 1 Tu . Localzalos en la siguiente recta numrica:
El salto dE longitud y los nmEros dEcimalEsPara empezarOtra de las pruebas atlticas ms emocionantes es la del salto de longitud. Como vern, al igual que las fracciones, los decimales juegan un papel sumamente importante en las decisiones que los jueces toman para saber quin es el ganador de una prueba.
Consideremos lo siguienteLa siguiente tabla muestra las mejores marcas de la prueba de salto de longitud en la categora varonil.
MEJOR MARCA MUNDIAL
DE ATLETISMO
MEJOR MARCA
EN JUEGOS OLMPICOS
MEJOR MARCA EN LOS JUEGOS
OLMPICOS DE ATENAS (2004)
Mike Powell (EEUU) 8.95 m
Bob Beamon (EEUU) 8.9 m
Dwight Phillips (EEUU) 8.59 m
Localicen en la siguiente recta cada una de estas marcas.
a) Super Dwight Phillips la marca de Bob Beamon?
b) Super Dwight Phillips la marca de Mike Powell?
sEsin 3
tEtW
8.5 9
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secuencia 2
38
Comparen sus procedimientos con los de sus compaeros y comenten: En una escuela dicen que 8.59 es ms grande que 8.9, porque 59 es mayor que 9. Ustedes qu opinan, cul ser ms grande? Por qu?
Manos a la obrai. Realicen las siguientes actividades:
a) Localicen en la recta los nmeros 8aGp , 8aHp , 8aJp , 8q p y 8aLp .
Recuerda que:
Los nmeros fraccionarios
decimales se pueden escribir
como fraccin con denomi-
nador 10, 100, 1000, etc.,
dependiendo de si el nmero
decimal tiene dcimos,
centsimos, milsimos,
etctera.
Por ejemplo, 8.5=8 q p
b) Escriban las marcas de Powell, Beamon y Phillips en forma de nmero fraccionario mixto:
8.90 8.95
8.5 9
Powell: 8.95=8a p p
Beamon: 8.9=8a p
Phillips: 8.59=8a p p
c) A cuntos centsimos equivalen 9 dcimos?
d) Qu nmero es mayor 8aOp Pp o 8aTp Op ?
e) En la recta anterior localicen los nmeros: 8aOp Tp , 8aOp Pp y 8aTp Op .
Comenten:
En qu se equivocaron en la respuesta de la otra escuela?
ii. En las rondas eliminatorias para el Campeonato Mundial de 2005 hubo cinco com-petidores con mejores marcas que Beamon, pero no igualaron la marca de Powell. Todos estos competidores tuvieron marcas distintas.
a) Cunto pudieron haber saltado estos competidores?
b) Ubiquen sus saltos en la siguiente recta:
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39
MATEMTICAS I
Lo que aprendimos 1. En la siguiente recta numrica localiza los nmeros 0.5 y Ur . Despus encuentra dos
nmeros que estn entre ellos.
2. En la siguiente recta numrica localiza los nmeros Wt , qHp , 0.4, 0, Et :
a) Cul es el mayor de los nmeros que localizaste?
b) Y, cul es el menor?
c) Encuentra y localiza dos nmeros que estn entre Wt y Et .
Comparen sus respuestas con las de sus compaeros y comenten:
a) Encontraron las mismas distancias para los saltos?
b) Si se divide a la mitad el segmento que va de 8.90 a 8.91, se encuentra el nme-ro 8.905. Qu nmero se encuentra si se divide a la mitad el segmento que va de 8.91 a 8.92?
0
tQ 1
Para saber msSobre las distintas maneras de representar nmeros enteros consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Marvan, Luz Mara. Escritura decimal infinita y Otros smbolos para nmeros no ente-ros en Representacin numrica. Mxico: SEP/Santillana Libros del Rincn, 2003.Sobre las distintas maneras de interpretar los nmeros escritos en forma de fraccin consulta:Marvan, Luz Mara. Andrea y las fracciones. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.Sobre la distribucin de la poblacin en el pas consulta:http://www.inegi.gob.mx/inegi/default.asp [Fecha de consulta: 23 mayo 2006].Ruta: entrar al acceso directo II Conteo de Poblacin y Vivienda 2005.Instituto Nacional de Estadstica Geografa e Informtica.
A lo que llegamosEntre cualquier par de nmeros decimales siempre hay otros nmeros decimales. sta es una propiedad que se conoce como propiedad de densidad de los nmeros decimales.
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secuencia 3
40
En esta secuencia construirs sucesiones a partir de una regla dada y determinars expresiones generales para definir las reglas de suce-siones numricas y figurativas.
Figuras que crecenPara empezarFiguras que crecen
Una sucesin de figuras es un conjunto de figuras con la propiedad de que hay un patrn de crecimiento que permite obtener todas las figuras del conjunto, empezando por la que ocupa el primer lugar de la sucesin, luego la que ocupa el segundo, luego la que ocupa el tercero y as sucesivamente. Se llama figura 1 a la que ocupa el primer lugar en la sucesin, figura 2 a la que ocupa el segundo, figura 3 a la que ocupa el tercero y as sucesivamente.
Consideremos lo siguientea) Completen la siguiente sucesin de figuras.
sesin 1
Figura 1 Figura 2 Figura 4 Figura 5
Figura 6 Figura 7 Figura 8 Figura 9
Figura 3
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41
MATEMTICAS I
Comparen sus tablas y comenten:
a) Cmo calcularon el nmero de puntos de la figura 14?b) Cmo calcularan el nmero de puntos de cualquiera de las figuras?
Manos a la obrai. Cules de los siguientes procedimientos sirven para encontrar el nmero total de
puntos de cualquiera de las figuras de la sucesin? Subryenlos.
Multiplicar por 4 el nmero de puntos que tiene la figura en cada lado. Se le suman 4 puntos al nmero de puntos de la figura anterior. Son los mltiplos de 4. Es el nmero de la figura multiplicado por 4.
Comparen sus respuestas. Usen los procedimientos que escogieron para contestar:
a) Cuntos puntos tendr la figura 15?
b) Cuntos puntos tendr la figura 20?
ii. Contesten:
a) Escriban el nmero que corresponde a cada una de las figuras de la derecha.
b) Qu figura tendra 56 puntos?
c) Qu figura tendra 72 puntos?
Comenten:
Por qu no hay figuras con un nmero impar de puntos: 1, 3, 5, 7, 9, ?
Recuerden que:
Los mltiplos de 4 son
los nmeros que se
obtienen al multiplicar
el nmero 4 por algn otro nmero.
Por ejemplo, 12 es mltiplo de 4 porque: 4 3 = 12.
b) Completen la tabla para encontrar cuntos puntos tienen algunas de las figuras de la sucesin. Si es necesario dibujen las figuras en sus cuadernos.
Nmero de la figura
Nmero de puntos de la figura
Nmero de la figura
Nmero de puntos de la figura
1 4 82 93 104 115 126 137 14
Figura Figura
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secuencia 3
42
Figura 7 Figura 9
A lo que llegamos
A los procedimientos que dicen cmo obtener el nmero de puntos de cada figura en una sucesin se les llama reglas. Por ejemplo, en la anterior sucesin de figuras, el procedimiento son los mltiplos de 4 es una regla que permite encontrar el n-mero de puntos que tiene cada figura.
Cuando hay varias reglas para obtener el nmero de puntos de cada figura en una sucesin se dice que son reglas equivalentes. En el ejemplo, las siguientes reglas son equivalentes:
Se le suman 4 puntos al nmero de puntos de la figura anterior. Son los mltiplos de 4. Es el nmero de la figura multiplicado por 4.
Lo que aprendimos1. Completen la siguiente sucesin de figuras:
a) Cules de las siguientes reglas sirven para encontrar el nmero de puntos de cualquiera de las figuras de la sucesin? Subryenlas.
El nmero de puntos de la figura anterior ms 2 puntos. Los nmeros impares.
Multiplicar por 2 el nmero de la figura y sumar 1.
Figura 8Figura 6
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5
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43
MATEMTICAS Ib) Usando la regla que escogieron, completen la siguiente tabla para calcular el
nmero de puntos de algunas de las figuras de la sucesin.
Nmero de la figura Nmero de puntos
1
2
3
4
5
8
10
15
20
25
30
Comparen sus tablas y las reglas que escogieron. Encuentren las reglas que son equivalentes.
2. Contesten las siguientes preguntas:
a) Qu figura tiene 51 puntos?
b) Qu figura tiene 61 puntos?
c) Habr alguna figura con 62 puntos?
Expliquen en sus cuadernos por qu.
Comenten:
a) Por qu la siguiente figura no aparece en la sucesin?
b) Por qu en la sucesin no hay figuras que tengan un nmero par de puntos: 2, 4, 6, 8, ?
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secuencia 3
44
nmeros que crecenPara empezarEn una sucesin de nmeros, como: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Se llama primer trmino al nmero que ocupa el primer lugar en la sucesin, en el ejem-plo el primer trmino es 2.Se llama segundo trmino al nmero que est en el segundo lugar en la sucesin, en el ejemplo el segundo trmino es 4.Se llama tercer trmino al nmero que est en el tercer lugar, en el ejemplo el tercer trmino es 6, etctera.
Consideremos lo siguientea) Completen la siguiente sucesin de nmeros:
b) Escriban en sus cuadernos una regla para obtener cualquiera de los trminos de la sucesin.
Comparen sus respuestas y las reglas que escribieron.
Manos a la obrai. Usando la regla que escribieron completen la siguiente tabla (observen que la tabla
inicia con el trmino que ocupa el lugar 21):
Lugar del trmino Trmino de la sucesin
212223242530
9340
123126
50180
sesin 2
3, , 9, 12, , 18, , , 27, ,33, , , 42, , 48, , 54, , 60, ,
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45
MATEMTICAS Ia) Cul es el trmino de la sucesin que est en el lugar 40?
b) Cul es el trmino de la sucesin que est en el lugar 24?
c) En qu lugar est el trmino 30?
d) En qu lugar est el trmino 123?
ii. De las siguientes reglas, cules son equivalentes a la que ustedes encontraron para obtener los trminos de la sucesin? Subryenlas.
Sumar 3 al lugar del trmino. Sumar 3 al trmino anterior. Los mltiplos de 3. Multiplicar por 3 el lugar del trmino.
Comparen sus tablas y sus respuestas.
A lo que llegamosLas reglas que sirven para obtener los trminos de una sucesin se pueden dar a partir del lugar del trmino, por ejemplo multiplicar por 3 el lugar del trmino.
iii. En la columna izquierda se presentan los primeros trminos de algunas sucesiones y en la columna derecha, algunas reglas que permiten encontrar estas sucesiones. Relacionen ambas columnas.
Cuidado: algunas de las sucesiones se pueden obtener usando dos reglas!
Trminos de la sucesin Reglas
( ) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, (A) Sumar cuatro al trmino anterior.
( ) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, (B) Los nmeros pares.
( ) 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, (C) Multiplicar el lugar del trmino por 4.
( ) 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, (D) Multiplicar el lugar del trmino por 5.
( ) 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 45, (E) Multiplicar el lugar del trmino por 5 y sumar 4.
(F) Multiplicar el lugar del trmino por 2.
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secuencia 3
46
Comparen sus respuestas y comenten:
Cules de las reglas anteriores son equivalentes?
Lo que aprendimosUn juego en parejas:
El primer jugador inventa una regla y la escribe en su cuaderno (sin que la vea su compaero). Luego, usando la regla, escribe los primeros ocho trminos de la sucesin y se los ensea a su compaero.
El segundo jugador escribe una regla para obtener la sucesin.
Los dos jugadores verifican si con la regla del segundo se obtienen los trminos de la sucesin planteada por el primero (es decir, si el segundo jugador escribi la regla correcta). De ser as, el segundo jugador gana un punto.
Se empieza nuevamente el juego intercambiando los papeles de los jugadores.
regla de sucesionesPara empezarEn las sesiones anteriores aprendieron a escribir reglas que describen las sucesiones de nmeros y figuras usando palabras. En esta sesin aprendern otra forma de escribir estas mismas reglas utilizando el lugar que ocupa el trmino en la sucesin.
Consideremos lo siguienteCompleten la siguiente sucesin de nmeros y contesten las preguntas.
7, 14, 21, , 35, , , 56, 63, ,77, , , 98, , 112, ,
a) Qu multiplicacin hicieron para encontrar el trmino del lugar 4?
b) Qu multiplicacin hicieron para encontrar el trmino del lugar 10?
c) Qu multiplicacin hicieron para encontrar el trmino del lugar 20?
d) Usen la letra n para representar el nmero del lugar y escriban una regla para encon-
trar el trmino del lugar n.
Comparen sus respuestas y comenten cmo las encontraron.
Recuerden que:Dos reglas son equivalentes si con las dos se obtienen los trminos de la misma sucesin.
sesin 3
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MATEMTICAS IManos a la obrai. Completen la siguiente tabla para calcular algunos de los trminos de la sucesin y
respondan las preguntas. Usen las reglas que encontraron.
Lugar del trmino
Trmino de la sucesin
1 7
2 14
3 21
4
5 35
6
7
8 56
63
10
15
140
25
210
40
a) Entre qu nmero dividen el 63 para encontrar el lugar que ocupa en la sucesin?
b) Entre qu nmero dividen el 210 para encontrar el lugar que ocupa en la sucesin?
c) Qu multiplicacin hicieron para encontrar el trmino que est en el lugar 30?
d) Qu multiplicacin hicieron para encontrar el trmino que est en el lugar 40?
e) Qu multiplicacin hicieron para encontrar el trmino que est en el lugar n?
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secuencia 3
48
Figura 4
ii. En una telesecundaria escribieron las siguientes reglas para encontrar el trmino que est en el lugar n, con cules de estas reglas estn ustedes de acuerdo? Subryenlas.
Sumar n ms 7.
Multiplicar por 7.
Sumar 7 al trmino anterior.
Multiplicar n por 7.
Comparen sus respuestas y encuentren las reglas que son equivalentes.
iii. Usando las reglas que encontraron contesten las siguientes preguntas:
a) Cul es el trmino que est en el lugar 100?
b) Cul es el trmino que est en el lugar 150?
c) Cul es el trmino que est en el lugar 300?
d) En qu lugar est el trmino 777?
iV. Completen la siguiente sucesin de figuras y contesten las preguntas.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 5 Figura 6 Figura 7
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MATEMTICAS Ia) Cuntos puntos tendr la figura 4?
b) Cuntos puntos tiene la figura 7?
c) Cuntos puntos tendr la figura 9?
d) Cuntos puntos tendr la figura 10?
e) Cules de las siguientes reglas permiten encontrar el nmero de puntos de la fi-gura que est en el lugar n? Subryenlas.
Sumar 5 al trmino anterior.
5n + 2.
Multiplicar n por 5 y sumar 2.
f) Usando la regla que eligieron completen la siguiente tabla para obtener el nme-ro de puntos de algunas de las figuras de la sucesin.
Lugar de la figura
Nmero de puntos de la figura
1 7
2 12
3 17
4
5 27
6
7 37
8
9
10
20
25
30
100
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secuencia 3
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Lo que aprendimosCompleta la siguiente sucesin de figuras y contesta las preguntas.
A lo que llegamos
Las reglas que sirven para obtener los trminos de una sucesin se pueden dar a partir del lugar del trmino de la sucesin.
Por ejemplo, la regla multiplicar el lugar del trmino por 7 se puede escribir usan-do la letra n como: multiplicar 7 por n. 7 por n.Por convencin, 7n se puede escribir como: 7n.Entonces:
El trmino que est en el primer lugar es igual a 71=7. El trmino que est en el segundo lugar es igual a 72=14. El trmino que est en el tercer lugar es igual a 73=21. El trmino que est en el lugar n es igual a 7n.
Figura 9Figura 8Figura 7
Figura 6Figura 5Figura 4Figura 3Figura 2Figura 1
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51
MATEMTICAS Ia) Qu figura tendr 25 puntos ?
b) Cuntos puntos tendr la figura 8?
c) Qu figura tendr 100 puntos?
d) Cuntos puntos tendr la figura 20?
e) Escribe una regla para calcular el nmero de puntos de la figura del lugar n:
Para saber msSobre las sucesiones de nmeros y patrones consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Ruiz, Concepcin y Sergio De Rgules. Aventuras Fractales en El Piropo matemtico. De los nmeros a las estrellas. Mxico: SEP/Editorial Lectorum, Libros del Rincn, 2003.
Sobre patrones que aparecen en la naturaleza como la razn urea y los fractales consulta: http://www.interactiva.matem.unam.mx[Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007]. Ruta para la razn urea: SECUNDARIA RAZN UREA (dar clic en el dibujo de Nautilus).Ruta para fractales: BACHILLERATO Y LICENCIATURA FRACTALES (dar clic en el dibujo de la Curva de Koch).Proyecto Universitario de Enseanza de las Matemticas Asistida por Computadora, UNAM.
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secuencia 4
En esta secuencia explicars en lenguaje natural el significado de algunas frmulas geomtricas, interpretando las literales como nme-ros generales con los que es posible operar.
frmulas y permetrosPara empezarFrmulas y permetros
Recuerda que el permetro de una figura geomtrica es la medida de su contorno. A continuacin se calcula el permetro de un rectngulo, de un pentgono regular (de la-dos y ngulos iguales) y el de un polgono irregular; observa que el contorno est resal-tado con una lnea roja.
sesin 1
2 cm
4 cmPermetro = 4 cm + 2 cm + 4 cm + 2 cm = 12 cm
Permetro = 6 cm + 5 cm + 2 cm + 3 cm + 3 cm = 19 cm
6 cm
3 cm
5 cm
2 cm
Permetro = 5 3 cm = 15 cm
3 cm
3 cm
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MATEMTICAS IConsideremos lo siguienteCompleten la siguiente tabla para calcular el permetro de algunos cuadrados de distin-tos tamaos:
Medida del lado (cm) Permetro (cm)
456789
102025
Tabla 1
a) Cmo se obtiene el permetro de un cuadrado?
b) Cul es el permetro de un cuadrado cuyo lado mide x cm?
Comparen sus tablas y comenten sus respuestas.
Manos a la obrai. Calculen el permetro de los siguientes cuadrados:
3 cm
3 cm
3 cm 3 cm
4 cm
4 cm
4 cm 4 cm
5 cm
5 cm
5 cm 5 cm
Permetro: Permetro: Permetro:
Cmo se calcula el permetro de cualquier cuadrado?
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secuencia 4ii. En una escuela escribieron las siguientes expresiones para calcular el permetro de un
cuadrado cuyo lado mide x cm. Subrayen las correctas.
x + 4; x 4; x + x + x + x; x por 4; 4 por x.
Comenten en grupo las expresiones que creen que son correctas y contesten:
a) Cmo usaran las expresiones para calcular el permetro de un cuadrado de lado 30 cm?
b) Cules de las expresiones les dan los mismos resultados?
A lo que llegamosDos expresiones para calcular el permetro son equivalentes si siempre dan los mismos resultados. Por ejemplo, las expresiones x + x + x + x y 4 por x son equivalentes.
iii. La siguiente figura es un hexgono regular.
a) Encuentren y subrayen las expresiones correctas para calcular el permetro del hexgono:
6 a 6a3a + 3a 6 + a
6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 a + a + a + a + a + aa 6 a + 6
Tabla 2
a
a
a
a
a
a
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55
MATEMTICAS I
Lo que aprendimos1. Relaciona las columnas escribiendo en el parntesis la letra que corresponda.
(A) ( ) 3 x
(B) ( ) x + x + x + x + x + x + x
(C) ( ) 8 + x
( ) 8 x( ) x + 6
b) Usando las expresiones que escogieron llenen la siguiente tabla para calcular el permetro de algunos hexgonos.
Anoten en el primer rengln las expresiones que encontraron.
Lado (cm)
2 4 10.5
Tabla 3
A lo que llegamosLas expresiones como las de la tabla 2 se llaman expresiones algebraicas.
Las expresiones algebraicas a + a + a + a + a + a, 3a + 3a, a 6, 6 a y 6a son equivalentes y sirven para calcular el permetro de un hexgono con medida de lado igual que a.Por convencin, 6 a tambin se escribe 6a.
x
x
x
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secuencia 42. Escriban las expresiones algebraicas que sirven para calcular los permetros de las si-
guientes figuras geomtricas:
Expresin:
p q
b
a
s
frmulas y reasPara empezar El rea de una figura es la cantidad de unidades de superficie que caben en su interior.
Un ejemplo de unidad de superficie es un centmetro cuadrado, que es de este tamao y se abrevia cm2.
Por ejemplo, el rea de un rectngulo se obtiene multiplicando el largo por el ancho; en el caso del cuadrado, ambas medidas son iguales, por lo que se multiplica lado por lado.
Expresin:
Expresin: Expresin:
sesin 2
2 cm
2 cm
rea = 4 cm2 rea = 8 cm2
2 cm
4 cm
t
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MATEMTICAS IConsideremos lo siguienteObserven los siguientes rectngulos
a) Cunto mide el rea del rectngulo azul?
b) Cunto mide el rea del rectngulo rojo?
c) Cunto mide el rea del rectngulo morado?
Comparen sus respuestas y expliquen cmo las encontraron.
Manos a la obrai. Completen la siguiente tabla:
Largo (cm)
Ancho (cm)
rea (cm2)
2 14 35 26 26 57 48 38 69 7
10 210 3
Comparen sus tablas y comenten cmo las completaron.
6 cm4 cm
1 cm
s cm
t cm
3 cm
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secuencia 4ii. Cules de las siguientes expresiones algebraicas sirven para calcular el rea del rec-
tngulo que mide de largo s y de ancho t? Subryenlas.
s + t + s + t.
s + t.
st.
s t.
s s t t.
t s.Comparen sus respuestas y usen las expresiones que escogieron para calcular:
a) El rea de un rectngulo que mide de largo 15 cm y de ancho 8 cm. b) El rea de un rectngulo que mide de largo 3 m y de ancho 2 m.
A lo que llegamos
Las expresiones s t y st son expresiones algebraicas para calcular el rea de un rectngulo de largo s y ancho t. Por convencin, s t se escribe st.
iii. La siguiente figura es un cuadrado cuyo lado mide b:
a) Subrayen las expresiones correctas para calcular el rea del cuadrado anterior:
4 b 4bb + b 4 + b
b + b + b + b bbb b
b) Usando las expresiones que escogieron, llenen la siguiente tabla para calcular el rea de algunos cuadrados.
b
b
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MATEMTICAS IAnoten en el primer rengln las expresiones que encontraron.
Lado
3 cm 2.5 cm 2 m
Comparen sus expresiones.
Lo que aprendimos1. a) Escribe una expresin algebraica que permita
calcular el rea del siguiente tringulo: Recuerda que:
El rea de un tringulo se c
alcula
multiplicando la medida de
la base por
la medida de la altura y div
idiendo el
resultado entre dos.
b) Usa la expresin que escribiste para calcular el rea de los tringulos con las siguientes medidas:
c) Compara la expresin algebraica que escribiste y tu tabla con uno de tus compaeros. Comenten si las expresiones que encontraron son equivalentes.
Para saber ms Sobre el clculo de reas y permetros de distintas figuras geomtricas consulta: http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Los_cuadrilateros/Cuadrilateros2.htm[Fecha de consulta: 16 de junio 2006]. Proyecto Descartes, Ministerio de Educacin y Ciencia. Espaa.
a
Base (cm)
Altura (cm)
rea (cm2)
2 14 32 56 2
Expresin:
b
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60
secuencia 5
En esta secuencia tendrs la oportunidad de construir figuras simtri-cas respecto a un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en figuras tales como: tringulos issceles y equilteros, rombos, cuadrados y rectngulos.
Como si fuera un espejoPara empezar
sesin 1
El Taj Mahal se encuentra en la India y por su diseo y belleza es considerado una maravilla de la arquitectura. Ya observaste cmo se refleja en el agua?
Cuando el agua est tranquila refleja las imgenes de los objetos y seres como si fuera un espejo.
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61
MATEMTICAS I
C
Consideremos lo siguienteDe qu manera podra trazarse el simtrico del barco con respecto a la lnea roja? Planeen y lleven a cabo una manera para hacer el trazo con sus instrumentos geomtricos.
Comenten con otros equipos el procedimiento que emplearon para trazar el simtrico.
Manos a la obra i. En los siguientes dibujos el simtrico no est bien trazado. Corrgelos.
En la figura de la derecha el reflejo es simtrico al rbol con respecto a la lnea roja.
Esa lnea roja recibe el nombre de eje de simetra.
Eje de simetra
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secuencia 5ii. En el siguiente dibujo se ha trazado correctamente el simtrico del barco.
Encuentra el punto que es el simtrico de A, nmbralo A (se lee A prima)
Usa tu regla para unir A con A, al hacerlo obtienes el segmento aa.
a) Cunto mide la distancia del punto a
al eje de simetra?
b) Cunto mide la distancia del punto a
al eje de simetra?
c) Cunto mide el ngulo que forman el
eje de simetra y el segmento aa?
Recuerda que:
Las perpendiculares
forman ngulos de 90.
La distancia de un punto
a una recta se mide por
la perpendicular que va
del punto a la recta.
Se dice que A es el simtrico
de A, o bien, que A es el
correspondiente simtrico de
A'.
Eje de simetra
A
A
La distancia del punto A y de A al eje de simetra es la misma, es decir, el punto A y A equidistan del eje.
El eje de simetra y el segmento AA son perpendiculares.
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MATEMTICAS Iiii. Verifica que para los puntos B y C y sus simtricos se cumplen tambin las dos con
diciones enunciadas en el recuadro anterior.
Anota en la figura las distancias de B, B, C, C al eje y la medida de los ngulos que forman el segmento BB y CC con el eje.
Elige otros dos puntos y sus simtricos y verifica que tambin se cumplen las condiciones mencionadas.
Esto que exploraste con algunas parejas de puntos simtricos pasa con cualquier pareja de puntos simtricos.
iV. Verifica en el problema inicial que los puntos rojos y sus simtricos tambin cumplen esas dos condiciones.
A lo que llegamos
C
B
B,
C,
A
A,
B,
B
Un punto es simtrico a otro con respecto a una recta si y slo si se cumple que ambos puntos equidistan de la recta y el segmento que los une es perpendicular a la recta.
90
P
1 cm
1 cm
Eje de simetraP
El simtrico de un segmento con res-pecto a una recta es otro segmento.
Todos y cada uno de los puntos del segmento AB tienen su correspondiente simtrico en el segmento AB.
El segmento AB es el correspondiente simtrico del segmento AB
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64
secuencia 5
papel piCadoPara empezarTe has fijado en las figuras que se forman cuando se hace papel picado?
Muchos de los diseos de papel picado son composiciones de figuras simtricas con respecto a un eje.
Consideremos lo siguientePlaneen y lleven a cabo una estrategia para terminar el siguiente papel picado de tal manera que sea una composicin simtrica respecto a la lnea roja.
sesin 2
Comenten en grupo el procedimiento que siguieron para terminar el diseo del papel picado. En particular digan cmo le hicieron para que un punto y su simtrico queden a la misma distancia del eje.
Recuerden que:
Los puntos simtricos
equidistan del eje, y que el
segmento que los une debe
ser perpendicular al eje.
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65
MATEMTICAS IManos a la obrai. Se quiere trazar el simtrico de este tringulo con respecto al eje
a) Ser necesario trazar el simtrico de todos y cada uno de los puntos del trin
gulo?
b) Cules puntos hay que localizar para trazar el tringulo simtrico?
ii. El siguiente es un procedimiento que puede emplearse para trazar figuras simtricas con respecto a un eje.
a) Se traza una perpendicular por cada vrtice al eje de simetra. Para ello, primero se colocan las escuadras de manera similar al dibujo de la pgina 62, para trazar un segemento perpendicular el eje; despus se prolonga este segmento hasta el otro lado del eje. Esto se hace en cada vrtice.
A
B
C
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66
secuencia 5b) Con el comps se toma la medida de la distancia
de un punto al eje (puede hacerse con la regla, pero con el comps es ms preciso). Observa cmo.
c) Con esa misma abertura se localiza el simtrico de ese punto.
d) Se repite lo indicado en b) y c) en cada vrtice de la figura.
e) Se unen los vrtices para obtener la figura buscada.
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67
MATEMTICAS Iiii. Utiliza el procedimiento descrito para completar el dibujo del siguiente papel picado,
de tal manera que sea simtrico con respecto a la lnea azul.
iV. En tu cuaderno traza un tringulo equiltero y una recta exterior al tringulo, despus traza su simtrico con respecto a la recta. Haz lo mismo con un rombo.
A lo que llegamosPara construir un polgono simtrico a otro con respecto a una recta:
1. Se traza una perpendicular a la recta por cada vrtice de la figura.
2. Sobre la perpendicular que se traz se toma la distancia de cada vrtice a la recta y se traslada esa misma distancia del otro lado de la recta. Se puede utilizar la regla o el comps.
3. Se unen los vrtices encontrados para formar el polgono.
En pocas palabras: se traza el simtrico de cada vrtice con respecto a la recta y se unen.
los vitralesPara empezarConoces los vitrales? Son composiciones de vidrios de colores, su magia est en la luz que a lo largo del da dejan pasar. La simetra tambin est presente en algunos vitrales.
sesin 3
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68
secuencia 5
Consideremos lo siguienteDeterminen y coloreen el rombo que ha sido bien trazado para que el vitral sea simtrico con respecto a la lnea vertical.
En qu se fijaron para elegir las figuras?
Comenten sus respuestas con sus compaeros del grupo, no olviden mencionar en qu se fijaron para elegir las figuras.
1 2
3 4
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69
MATEMTICAS IManos a la obrai. Anota si ests o no de acuerdo con las siguientes afirmaciones; en cada caso explica
por qu.
Afirmacin De acuerdo? Por qu?
El vitral simtrico es el 3 porque los ngulos del rombo de la derecha son iguales a sus ngulos correspondientes del rombo azul.
El vitral simtrico es el 4 porque los lados de la figura de la derecha miden lo mismo que sus correspondien-tes del rombo de la izquierda.
El vitral simtrico es el 1 porque los dos rombos tienen sus lados y ngulos correspondientes iguales.
ii. El siguiente vitral es simtrico con respecto al eje rojo.
Nombra A al simtrico de A, B al simtrico de B y as sucesivamente. Mide lo que se requiere y completa las tablas.
Medida del segmento(cm)
Medida de su simtrico(cm)
AB AB
BC BC
CD CD
DA DA
PQ PQ
QR QR
RP RP
Medida del ngulo (grados)
Medida del ngulo (grados)
A A
B B
C C
D D
P P
Q Q
R R
B
A D
P
C
Q R
a) Cmo son entre s la medida de un segmento y su simtrico?
b) Cmo son entre s la medida de un ngulo y su correspondiente?
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70
secuencia 5iii. Las siguientes son figuras simtricas con respecto al eje; sin medir, anota los datos
que se piden. No olvides colocar las unidades de medida (cm y grados).
a) Lado AD =
b) Lado NP =
c) Lado PQ =
d) ngulo M =
e) ngulo B =
A lo que llegamos
Una figura simtrica a otra con respecto a un eje conserva la medida de los lados y de los ngulos de la figura original.
A
BC C
B
A
A
B
C D90
45
2 cm
2 cm
m
n P
135
90
4 cm
2.8 cm
Q
iV. Observa en el vitral de la actividad II que:
aD es paralelo a Bc, esto se simboliza aD l l Bc.
PR es perpendicular a QR, esto se simboliza PR ^ QR.
a) Qu segmentos son paralelos en la figura del lado izquierdo?
b) Sus simtricos tambin son paralelos?
c) Qu segmentos son perpendiculares en la figura del lado izquierdo?
d) Sus simtricos tambin son perpendiculares?
Recuerda que:
Las rectas paralelas
son las que conservan
siempre la misma
distancia entre s.
AB = ABBC = BCAC = AC
A = A B = B C = C
A se lee ngulo A
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MATEMTICAS IV. Considera las figuras de la actividad III. Anota el smbolo de paralelas ( l l ) o el de
perpendiculares ( ^ ).Si AD CD entonces MN NP.
Si AD BC entonces MN QP.
A lo que llegamosComo en una simetra se conservan las medidas de los segmentos y de los ngulos, entonces, si hay lados paralelos o perpendiculares en la figura original sus simtricos tambin son paralelos o perpendiculares.
Los vitrales
Como te has dado cuenta, la simetra permite dar belleza y armona a diversas composiciones, como es el caso de los vitrales. Para construir un vitral simtrico es importante identificar las propiedades que se conservan en la simetra con respecto a un eje.
algo ms sobre simetraLo que aprendimos
m
n
P
Q
m
Q
n
P
3.6 cm
3 cm
2 cm
33.6
56.4
90
1. Estos dos tringulos son simtricos respecto al eje rojo; sin medir, escribe la medida de cada lado y de cada ngulo de la figura simtrica.
2. Completa la figura para que sea simtrica con respecto a la lnea azul.
Si MN PQ entonces MN