Trygonometria - Politechnika Gdańska · 2017. 11. 14. · Trygonometria Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta Deﬁnicja Kąt mierzymy

Trygonometria

Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 1 / 38

Trygonometria Miara łukowa kąta

Miara łukowa

DefinitionMiatą łukową kąta, α w kole o promienieniu r nazywamy stosunekdługości łuku s, na którym oparty jest ten kąt, do długości promieniatego koła. Jednostką miary łukowej jest radian. (α = sr ).

1◦ =π

180, 1rad =

180◦

π. (1)



Miara łukowa

jeden pełen obrót (360◦)⇒ α = sr

=

2πr

r= 2π rad

stopnie radiany

90◦ π2

180◦ π

270◦ 3π2

360◦ 2π



Miara łukowa


=2πr

r=

2π rad

stopnie radiany

90◦ π2

180◦ π

270◦ 3π2

360◦ 2π



Miara łukowa


=2πr

r= 2π rad

stopnie radiany

90◦ π2

180◦ π

270◦ 3π2

360◦ 2π



Zamiana radianów i stopni

180◦ = π rad =⇒

1◦ =π

180rad lub 1 rad =

180◦

π




180◦ = π rad =⇒ 1◦ = π180

rad lub

1 rad =180◦

π




180◦ = π rad =⇒ 1◦ = π180

rad lub 1 rad =180◦

π


Trygonometria Funkcje trygonometryczne na trójkącie

α jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym, to sinusem tego kątanazywamy stosunek dlugości przyprostokątnej leżącej naprzeciwkokąta do długościprzeciwprostokątnej,sinα = ac , cosα =

bc , tgα =

ab , ctgα =

ba .


Trygonometria Funkcje trygonometryczne na trójkącie

Trójkąt prostokatny

α π6 = 30◦ π

4 = 45◦ π

3 = 60◦

sinα

cosα

tgα

ctgα


Trygonometria Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

DefinicjaKąt mierzymy od ramienia poczatkowego do końcowego w kierunkuprzeciwnym do ruchy wkazówek zegara. Kąt mierzony w kierunkuzgodnym z ruchem wskazówek zegara przyjmujemy jako posiadającywartość ujemną. Weźmy kąt α w tym układzie i obierzmy dowolnypunkt (x, y) i niech r =

√x2 + y2.

sinα =y

rcosα =

x

rtgα =

y

x(x 6= 0) ctgα = x

y(y 6= 0)


Trygonometria Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Znak funkcji trygonometrycznej

sinα =y

rcosα =

x

rtgα =

y

x, ctgα =

x

y


Trygonometria Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne

sinα =y

rcosα =

x

rtgα =

y

x, ctgα =

x

y

Wzory redukcyjne

sin (−α) = −yr =cos (−α) = xr =tg (−α) = −yx =ctg (−α) = x−y =sinα = sin (α+ 2kπ), k ∈ Zcosα = cos (α+ 2kπ), k ∈ Ztgα = tg (α+ kπ), k ∈ Zctgα = ctg (α+ kπ), k ∈ Z



Wzory redukcyjne

sinα =y

rcosα =

x

rtgα =

y

x, ctgα =

x

y

Wzory redukcyjne

sin (−α) = −yr =

cos (−α) = xr =tg (−α) = −yx =ctg (−α) = x−y =sinα = sin (α+ 2kπ), k ∈ Zcosα = cos (α+ 2kπ), k ∈ Ztgα = tg (α+ kπ), k ∈ Zctgα = ctg (α+ kπ), k ∈ Z



Wzory redukcyjne

sinα =y

rcosα =

x

rtgα =

y

x, ctgα =

x

y

Wzory redukcyjne

sin (−α) = −yr =cos (−α) = xr =

tg (−α) = −yx =ctg (−α) = x−y =sinα = sin (α+ 2kπ), k ∈ Zcosα = cos (α+ 2kπ), k ∈ Ztgα = tg (α+ kπ), k ∈ Zctgα = ctg (α+ kπ), k ∈ Z



Wzory redukcyjne

sinα =y

rcosα =

x

rtgα =

y

x, ctgα =

x

y

Wzory redukcyjne

sin (−α) = −yr =cos (−α) = xr =tg (−α) = −yx =

ctg (−α) = x−y =sinα = sin (α+ 2kπ), k ∈ Zcosα = cos (α+ 2kπ), k ∈ Ztgα = tg (α+ kπ), k ∈ Zctgα = ctg (α+ kπ), k ∈ Z



Wzory redukcyjne

sinα =y

rcosα =

x

rtgα =

y

x, ctgα =

x

y

Wzory redukcyjne

sin (−α) = −yr =cos (−α) = xr =tg (−α) = −yx =ctg (−α) = x−y =

sinα = sin (α+ 2kπ), k ∈ Zcosα = cos (α+ 2kπ), k ∈ Ztgα = tg (α+ kπ), k ∈ Zctgα = ctg (α+ kπ), k ∈ Z



Wzory redukcyjne

sinα =y

rcosα =

x

rtgα =

y

x, ctgα =

x

y

Wzory redukcyjne

sin (−α) = −yr =cos (−α) = xr =tg (−α) = −yx =ctg (−α) = x−y =sinα = sin (α+ 2kπ), k ∈ Zcosα = cos (α+ 2kπ), k ∈ Z

tgα = tg (α+ kπ), k ∈ Zctgα = ctg (α+ kπ), k ∈ Z



Wzory redukcyjne

sinα =y

rcosα =

x

rtgα =

y

x, ctgα =

x

y

Wzory redukcyjne

sin (−α) = −yr =cos (−α) = xr =tg (−α) = −yx =ctg (−α) = x−y =sinα = sin (α+ 2kπ), k ∈ Zcosα = cos (α+ 2kπ), k ∈ Ztgα = tg (α+ kπ), k ∈ Zctgα = ctg (α+ kπ), k ∈ Z



sinα =y

rcosα =

x

rtgα =

y

x, ctgα =

x

y

Wzory redukcyjnesin(π − α) = yr =cos(π − α) = −xr =tg(π − α) = y−x =ctg(π − α) = −xy =

sin(π + α) = −yr =

cos(π + α) = −xr =

tg(π + α) = −y−x =

ctg(π + α) = −x−y =



sinα =y

rcosα =

x

rtgα =

y

x, ctgα =

x

y

Wzory redukcyjnesin (π2 + α) =

cos (π2 + α) =

tg (π2 + α) =

ctg (π2 + α) =

sin (3π2 + α) =

cos (3π2 + α) =

tg (3π2 + α) =

ctg (3π2 + α) =



Wzory redukcyjne

Prosta zasada

f, g : sin, cos, tg, ctg

g(α± x) = ±f(x)

dlaα = π, 2π : f = g , nie ma zmiany w funkcji

α = π2 ,3π2 : sin←→ cos, tg←→ ctg

Znak przed f(x) zależy od kąta α± x

W pierwszej same plusyW drugiej tylko sinus

W trzeciej tangens i cotangensI w czwartej cosinus.


Trygonometria Tożasamości trygonometryczne

Tożasamości trygonometryczne - które musisz pamiętać

tgα =sinα

cosα

ctgα =cosα

sinα

tgα · ctgα = 1

sin2 α+ cos2 α = 1

sin (2α) = 2 sinα cosα

cos (2α) = cos2 α− sin2 α

sin (α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ

cos (α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ



Wzory na sumę i róznicę

Używane w wielu przypadkach

sin (u+ v) = sinu cos v + cosu sin v

cos (u+ v) = cosu cos v − sinu sin v

sin (u− v) = sinu cos v − cosu sin v

cos (u− v) = cosu cos v + sinu sin v



Zamiana iloczynu na sumę

sinu sin v = 12 [cos (u− v)− cos (u+ v)]

cosu cos v = 12 [cos (u− v) + cos (u+ v)]

sinu cos v = 12 [sin (u+ v) + sin (u− v)]

cosu sin v = 12 [sin (u+ v)− sin (u− v)]

sinα+ sinβ = 2 sin(α+β2

)cos(α−β2

)sinα− sinβ = 2 cos

(α+β2

)sin(α−β2

)cosα+ cosβ = 2 cos

(α+β2

)cos(α−β2

)cosα− cosβ = −2 sin

(α+β2

)sin(α−β2

)



Zamiana iloczynu na sumę

sinu sin v = 12 [cos (u− v)− cos (u+ v)]

cosu cos v = 12 [cos (u− v) + cos (u+ v)]

sinu cos v = 12 [sin (u+ v) + sin (u− v)]

cosu sin v = 12 [sin (u+ v)− sin (u− v)]

sinα+ sinβ = 2 sin(α+β2

)cos(α−β2

)sinα− sinβ = 2 cos

(α+β2

)sin(α−β2

)cosα+ cosβ = 2 cos

(α+β2

)cos(α−β2

)cosα− cosβ = −2 sin

(α+β2

)sin(α−β2

)Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 15 / 38

Funkcje trygonometryczne Definicja i wykres

Funkcje trygonometryczne

Definicjaf(x) = sinx, f(x) = cosx. Dziedzina obu funkcji to Df = R, aprzeciwdziedzina Rf = 〈−1, 1〉.



Funkcje trygonometryczne

Definicjaf(x) = tg x i g(x) = ctg x. Dziedziną tangensa jestDf = R− {π2 + kπ}, dziedziną cotangensa jest Dg = R− {kπ}.Przeciwdziedziną obu funkcji jest R.



Okresowość funkcji trygonometrycznych

Wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe

Okres T of sin i cos to 2π

sinx = sin (x+ 2kπ) , cosx = cos (x+ 2kπ)

Dla f(x) = sin (ax), g(x) = cos (ax) okres wynosi T = 2πaOkres T dla tangensa i cotangensa to π

tg x = tg (x+ kπ) , ctg x = ctg (x+ kπ)

Dla f(x) = tg (ax), g(x) = ctg (ax) okres to T = πa







Dla f(x) = sin (ax), g(x) = cos (ax) okres wynosi T = 2πa

Okres T dla tangensa i cotangensa to π









Dla f(x) = sin (ax), g(x) = cos (ax) okres wynosi T = 2πaOkres T dla tangensa i cotangensa to π




Funkcje trygonometryczne Równości

sinα =y

r

PytaniaDla jakiego α i β

sinα = sinβ ?



cosα =x

r

PytanieDla jakiego α i β zachodzi

cosα = cosβ ?



Odpowiedź

sinα = sinβ ⇔ α = β + 2kπ ∨ α = π − β + 2kπ

cosα = cosβ ⇔ α = ±β + 2kπ

tgα = tg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= π2 + kπ

ctgα = ctg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= kπ


Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności

Przykłady

Rozwiąż: sinx = 12

sinx =1

2= sin

π

6


Rozwiązanie

x = π6 + 2kπ ∨ x =5π6 + 2kπ, k ∈ Z



Przykłady


sinx =1

2=

sinπ

6


Rozwiązanie

x = π6 + 2kπ ∨ x =5π6 + 2kπ, k ∈ Z



Przykłady


sinx =1

2= sin

π

6


Rozwiązanie

x = π6 + 2kπ ∨ x =5π6 + 2kπ, k ∈ Z



Rozwiąż równanie

sinx = 12

cosx =√22

sinx = −√32

cos (4x) =√32

tg (2x) = −√

3

cosx = −√32

Użyteczne wzory


cosα = cosβ ⇔ α = ±β + 2kπ

tgα = tg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= π2 + kπ

ctgα = ctg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= kπ



Trochę bardziej skomplikowane równania

ctg x cos2 x = 2 ctg x

ctg x(cos2 x− 2) = 0

ctg x = 0 ∨ cos2 x = 2

ctg x = 0 ∨ cosx = ±√

2




2 sin2 x− sinx− 1 = 0

Niech sinx = t ∈ 〈−1, 1〉

2t2 − t− 1 = 0

∆ = 9, x1,2 =1± 3

4= −1

2, 1

sinx = −12∨ sinx = 1




2 sin2 x− sinx− 1 = 0

Niech sinx = t

∈ 〈−1, 1〉

2t2 − t− 1 = 0

∆ = 9, x1,2 =1± 3

4= −1

2, 1





2 sin2 x− sinx− 1 = 0


2t2 − t− 1 = 0

∆ = 9, x1,2 =1± 3

4= −1

2, 1





2 sin2 x− sinx− 1 = 0


2t2 − t− 1 = 0

∆ = 9, x1,2 =1± 3

4= −1

2, 1

sinx = −12∨

sinx = 1




2 sin2 x− sinx− 1 = 0


2t2 − t− 1 = 0

∆ = 9, x1,2 =1± 3

4= −1

2, 1





2 cosx+ sin (2x) = 0

2 cosx+ 2 sinx cosx = 0

2 cosx (1 + sinx) = 0

cosx = 0 ∨ sinx = −1




sinu+ sin v = 2 sin

(u+ v

2

)cos

(u− v

2

)

sin (5x) + sin (3x) = 0

2 sin (4x) cosx = 0



Nierówności

Przykład

sinx >1

2

x ∈(π

6+ 2kπ ,

5π

6+ 2kπ

)



Nierówności

Rozwiąż

cosx <√32

tg x < 1

ctg (5x) ≥ −1


Funkcje odwrotne

Funkcje odwrotne


Funkcje odwrotne

Funkcja odwrotna

Kiedy istnieje funkcja odwrotna???


Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna

Funkcje cyklometryczne

Funkcje trygonometryczne nie sa różnowartościowe

Musimy ograniczyć dziedzinę

y = sinx, x ∈〈−π

2,π

2

〉y = cosx, x ∈ 〈0, π〉







2,π

2

〉

y = cosx, x ∈ 〈0, π〉







2,π

2

〉y = cosx, x ∈ 〈0, π〉




Definicja

y = arc sinx wtedy i tylko wtedy sin y = x

x ∈ 〈−1, 1〉, y ∈ 〈−π/2, π/2〉.

PrzykładOblicz jeżeli to

arc sin

(−1

2

), arc sin

(√3

2

), arc sin 2




Definicja


x ∈ 〈−1, 1〉, y ∈ 〈−π/2, π/2〉.


arc sin

(−1

2

),

arc sin

(√3

2

), arc sin 2




Definicja


x ∈ 〈−1, 1〉, y ∈ 〈−π/2, π/2〉.


arc sin

(−1

2

), arc sin

(√3

2

),

arc sin 2




Definicja


x ∈ 〈−1, 1〉, y ∈ 〈−π/2, π/2〉.


arc sin

(−1

2

), arc sin

(√3

2

), arc sin 2



Wykres funkcji Arcsin

Wykres f i f−1 jest symetryczny względem y = x.




Definicje

Funkcja Dziedzina Przeciwdziedzinay = arc sinx ⇔ sin y = x 〈−1, 1〉〈−π/2, π/2〉

y = arc cosx ⇔ cos y = x 〈−1, 1〉〈0, π〉y = arc tg x ⇔ tg y = x 〈−∞,∞〉 (−π/2, π/2)y = arc ctg x ⇔ ctg y = x 〈−∞,∞〉 (0, π)




Definicje

Funkcja Dziedzina Przeciwdziedzinay = arc sinx ⇔ sin y = x 〈−1, 1〉〈−π/2, π/2〉y = arc cosx ⇔ cos y = x 〈−1, 1〉〈0, π〉

y = arc tg x ⇔ tg y = x 〈−∞,∞〉 (−π/2, π/2)y = arc ctg x ⇔ ctg y = x 〈−∞,∞〉 (0, π)




Definicje

Funkcja Dziedzina Przeciwdziedzinay = arc sinx ⇔ sin y = x 〈−1, 1〉〈−π/2, π/2〉y = arc cosx ⇔ cos y = x 〈−1, 1〉〈0, π〉y = arc tg x ⇔ tg y = x 〈−∞,∞〉 (−π/2, π/2)

y = arc ctg x ⇔ ctg y = x 〈−∞,∞〉 (0, π)




Definicje

Funkcja Dziedzina Przeciwdziedzinay = arc sinx ⇔ sin y = x 〈−1, 1〉〈−π/2, π/2〉y = arc cosx ⇔ cos y = x 〈−1, 1〉〈0, π〉y = arc tg x ⇔ tg y = x 〈−∞,∞〉 (−π/2, π/2)y = arc ctg x ⇔ ctg y = x 〈−∞,∞〉 (0, π)



Notatka

arc sin (sinx) = x, sin (arc sinx) = x

arc tg (tg x) = x, tg (arc tg x) = x

Znajdź dokładną wartość

arc cos (cos(π6

)) =

arc sin (sin(5π3

)) =

tg (arc cos(23

)) =



Rozwiązanie równości i nierówności

Przed rozwiązaniem równości/nierówności określ dziedzinę.

Jak rozwiązać?Skorzystaj z definicji

arc cos (x+ 2) =π

3⇔ cos

(π3

)= x+ 2

Użyj własności funkcji odwrotnej

arc sin (x− 4) < π6⇔ sin (arc sin (x− 4)) < sin

(π6

)Skorzystaj z monotoniczności funkcji trygonometrycznych(pamiętaj, że cos, arc cos, ctg, i arc ctg są malejące)

arc ctg (x− 4) > arc ctg (x2) ⇔ x− 4 < x2






arc cos (x+ 2) =π

3⇔

cos(π

3

)= x+ 2



(π6








arc cos (x+ 2) =π

3⇔ cos

(π3

)= x+ 2



(π6








arc cos (x+ 2) =π

3⇔ cos

(π3

)= x+ 2


arc sin (x− 4) < π6⇔

sin (arc sin (x− 4)) < sin(π

6








arc cos (x+ 2) =π

3⇔ cos

(π3

)= x+ 2



(π6

)

Skorzystaj z monotoniczności funkcji trygonometrycznych(pamiętaj, że cos, arc cos, ctg, i arc ctg są malejące)







arc cos (x+ 2) =π

3⇔ cos

(π3

)= x+ 2



(π6


arc ctg (x− 4) > arc ctg (x2) ⇔

x− 4 < x2






arc cos (x+ 2) =π

3⇔ cos

(π3

)= x+ 2



(π6




TrygonometriaMiara łukowa kataFunkcje trygonometryczne na trójkacieFunkcje trygonometryczne dowolnego kataWzory redukcyjneTozasamosci trygonometryczne

Funkcje trygonometryczneDefinicja i wykresRównosciRównania i nierównosci

Funkcje odwrotneFunkcja odwrotna

Derivatives and IntegralsBasic Derivatives

Documents

Trygonometria - Politechnika Gdańska · 2017. 11. 14. · Trygonometria Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta Deﬁnicja Kąt mierzymy