Tro Choi Toan Hoc

8/6/2019 Tro Choi Toan Hoc

1/39

TON TR CHI: PHN LOI, CNG C V PHNG PHP GII

PGS TS T Duy Phng(Vin Ton hc)

Mu Bi vit ny l mt phin bn mrng bi ni chuyn ca tc gi ti Cu lc bgio vin H Ni, ng Anh, 11-3-2011. Theo gi ca Gio s Nguyn Vn Mu, Hi

trng Hi ton hc H Ni v ngh ca mt s gio vin, chng ti bin tp v b

sung nhiu thi Olympic v ton tr chi vi li gii chi tit. Trong thi gian mt bui

sng, kh c th trnh by ht ni dung ca Ton tr chi. Trong khun kh mt bi vit

cng khng th lit k ht cc dng ton v bi thi Olympic v ton tr chi. Bn c

quan tm c th xem thm cc ti liu khc, th d, [1]-[6].

Bi ni chuyn ti Cu lc b gm hai phn.

Phn 1 gii thiu tr ch

i Thp H N

i: Lch s, li gii, ngha, cc m rng v cibin cng nh mt s vn cha c gii quyt trong Bi ton Thp H Ni. Ngoi ra,

bi ton con m i tun, trong c bi ton con m i tun trn bn cPhong Vn

vung ca on Hu Dng cng c gii thiu.9 10

Di y l Phn 2 (c b sung) ca bi ni chuyn vi tiu

Ton tr chi: Phn loi, cng c v phng php gii

Mt cng c, mt phng php c thsdnggii nhiu bi ton.

Mt bi ton c thc gii bng cc cng c v phng php khc nhau.

Ton tr chi lin quan mt thit vi nhiu dng ton khc (thp, th , t mu,).Nhiu bi ton c thpht biu li di ngn ngtr chi. Mt sbi ton tr chi cng

c thpht biu di dng khc. Ton tr chi m phng tt cc m hnh thc t.

Trong bi vit ny, khi nim Ton tr chi khng c nh ngha, tm hiu tr chi

gm mt tp h p cc trng thi (cu hnh, v tr,) chu tc ng ca mt hay nhiu

ngi chi. Ngi chi vi cc kh nng v hn ch ca mnh phi tm ra cc chin lc,

chin thut(cch i, bc i) tun theo nhng qui tc chi c nh sn a mt

trng thi ban u vtrng thi cui (kt thc tr chi), vi thi gian (s bc i) c li

nht v t tn km nht. Ton tr chi tm hiu l dng ton m ta c th s dng cc

cng c v phng php ton hc phn tch cu trc, trng thi v qui tc ca tr chinhm hoch nh chin lc kt thc tr chi hoc ch ra tr chi c th tip din v tn.

Cc bi ton tr chi rt a dng trong pht biu, trong s dng cng c v phng php

gii. V vy, phn loi cc bi ton tr chi trong bi vit ny ch mang tnh qui c, cn

rt slc v ch c tnh cht tng i. N c a ra vi hy vng phn no trgip

gio vin v hc sinh gii ton tr chi d dng hn.

1


2/39

1 Tr chi mt ngi

Tr chi mt ngi tm coi l tr chi ch cn mt ngi chi (th d, tr chi Thp H

Ni, tr chi Hamilton, bi ton con m i tun, tr chi khi vung rubic, ). Cc tr

chi ny nhiu khi cn c a vo lp cc tr chigii tr ton hc.

1.1 Phng php i lng bt bin hoc n bin

Bt bin

Bt bin l i lng khng i, n bin l tnh khng tng hoc khng gim (n iu)

ca mt i lng. tm li gii ton hc cho mt s tr chi, ta thng phi pht hin

ra tnh bt bin hoc tnh n bin ca mt i lng no .

Gi s tr chi mt trng thi ban u. Do tnh bt bin, nn khng ththay i trng

thi (t chn thnh l, t trng thnh en, t chia ht sang chia c d,) c. T ta

c kt lun vtrng thi cu

icngca tr chi.

Bt bin c s dng gii quyt nhiu dng ton khc nhau (Dbt bin ng vn

bin!). Di y l cc v d minh ha s dng i lng bt bin trong tr chi.

Bi 1 Trn bn c c 32 qun trng v 32 qun en, mi qun chim mt vung.

Ti mi bc i ngi chi thay tt c cc qun trng thnh qun en v tt c cc qun

en thnh qun trng trn mt hng hoc mt ct no . Hi sau hu hn bc, c th

cn li chnh xc mt qun en trn bn ckhng?

8 8

Gii Nu trc khi chuyn c chnh xc qun en trn hng (ct) nh chuyn th s

qun trng trn hng (ct) y l 8

k

k

. Sau khi chuyn, 8 k

qun trng ny tr thnhqun en v qun en li trthnh qun trng. Nh vy, s qun en trn bn

csau khi chuyn s thm vo 8

8 k k k

k v mt i qun, tc l s qun en thay i trnbn c l ( ) . S ny l s chn dng (thm vo) nu v l s

chn m (bt i) khi v khng thay i nu

k

8 8k k k = 2 4k 4k= . V 8 2k l chn v lc u c

32 qun en nnsqun en trn bn clun lun l chn (bt bin!).

Vy khng th cn li mt qun en trn bn c.

Bi 2 (Chn i tuyn Hng Kng tham gia IMO, 2000, vng 1) C 1999 tch ung tr

t trn bn. Lc u tt cu c t nga. Mi mt nc i, ta lm cho ng 100

tch trong s chng lt ngc li. Sau mt s nc i, c th lm cho tt c chng u pxung c khng? Ti sao? Tr li hai cu hi ny trong trng hp ch c 1998 tch.

Gii Nu c 1999 chic tch (s tch l s l), tt cu c t nga (trng thi

nga) th ta khng th quay p xung tt c (trng thi p) c. Tht vy, theo qui tc

chi, ti mi thi im, gi s c tch t nga c lm p xung th 100 tch

ang p c lt nga ln. Khi y s cc tch p tng ln chic v gim i 100

k k

k k ,

2


3/39

vy s tch p b thay i i mt s chn l ( )100 100 2k k k = (nu th s

tch p gim i, nu th s tch p tng ln,

50k>

50k< 50k= th s tch p khng thay

i). Ngha l tnh chn l ca scc tch pkhng thay i (bt bin!). Nhng lc u

s tch p bng 0. V vy khng th lm cho s tch p bng 1999 c.

Nu s tch l 1998 th c th p tt c cc tch. Thut ton nh sau: nh s cc tch

theo th t 1, 2,, 1998. Ln lt p 100 tch u tin, sau 18 ln p c 1800 tch

chuyn trng thi t nga sang p. Tip theo p 100 tch s 1801, 1803, 1804, , 1901

( nguyn tch s 1802 ang nga). Ln th hai, o ngc cc tch 1802, 1803,

1804,,1901 (gi nguyn tch s 1801 ang p). Sau hai ln ny, thc cht ch c tch

s 1 v s 2 b p, cc tch khc khng thay i (vn t nga sau khi lt p ri li lt

nga). Tip tc nh vy, sau 18+198=216 ln, tt c cc tch u b lt p.

Bi 3 Ba ng bi tng ng c 19, 8 v 9 vin. c php chn hai ng bi bt k v

chuyn mt vin bi t mi ng bi chn vo ng th ba. Sau mt s ln lm nh vy,c tht c mi ng bi c 12 vin khng?

Gii Gi s bi ti bc th trong ba ng tng ng l Xt cc s ny theo

. Lc u ,

k , , .k k ka b c

(mod3) ( )0 19 1 mod3a = ( )0 8 2 mod3b = v , tc l s

d theo trong ba ng ln lt l

(0 9 0 mod3c = )

)(mod3 1 1r = , 2 2r = , 3 0r = . Sau ln chuyn u tin,

v v( ) (19 1 0 mod3 ) ( ) ( )19 2 0 mod3+ ; ( ) ( ) (8 1 8 2 1 mod3 + ) v

( ) ( ) ( )9 1 9 2 2 mod 3 + nn s bi trong ba ng s l ( )1 0 mod 3a ,

v , khng ph thuc vo vic thm (hai) hay bt (mt) vin bi vo ng

no. Sau ln chuyn th hai ta li c s d theo

( )1 1 mod 3b

(1 2 mod 3c )

( )mod3 trong ba ng bi l 1 2r = ,, v ( )2 0r = 3 1r = ( ) ( )1 11 2 2 moa a + d3 , ( ) ( ) ( )1 11 2 0 modb b + 3

)3

)

v

. Chng t, trong mi bc s d trong ba ng bi lun

lun ch l ba s 0, 1, 2 (bt bin!). Nu mi ng bi u l 12 vin th ,

v . V l. Vy khng th lm cho mi ng bi c 12 vin.

( ) ( ) (1 11 2 1 modc c +

( )0 mod 3a

( )0 mod 3b (0 mod 3c

Bi 4 (V ch Bungaria, 1999, lp 8) Ba ng si c 51, 49 v 5 vin. Ta thc hin mt

trong hai nc i nh sau. Mt nc i l dn hai ng ty thnh mt ng. Nc i

khc l chn ng c s chn vin si chia thnh hai ng bng nhau. Hi c th thc

hin mt dy cc nc i nh th chia ba ng si thnh 105 ng m mi ng ch cmt vin si hay khng?

Gii Ban u s si trong ba ng l 51, 49 v 5 vin u l s l nn bc i u tin l

phi dn hai ng li.

3


4/39

Trng hp 1 Dn hai ng c 5 v 49 vin, ta c hai ng l 51 v 54 vin, mi

ng u l bi ca 3. Bc th hai ta chia ng c 54 vin thnh 2 ng 27 vin. By

gis si trong c ba ng l 51, 27, 27 cng chia ht cho 3. V c ba ng c s l vin

nn bc th ba ta li phi gp 2 ng cha 27 v 51 hn si thnh ng 78 vin. V hai

s 27 v 51 chia ht cho 3 nn tng (=78) ca chng cng chia ht cho 3. Nh vy, ta lic hai ng 27 v 78 vin si cng chia ht cho 3. Tc l, khi thc hin cc nc i lun

phin, s si trong mi ng lun l bi ca 3 (bt bin!). Tht vy, khi gp hai ng si

cng chia ht cho 3 th c mt ng c s si chia ht cho 3 v nu chia mt ng si

(l gp ca hai ng c s si l cng chia ht cho 3) c s chn vin si chia ht cho 3

thnh hai phn bng nhau th s si trong mi phn vn chia ht cho 3. Do s si trong

mi ng lun chia ht cho 3 v nhiu nht c thc l 35 ng, mi ng 3 vin.

Di y l qui trnh minh ha ( ngn gn, mt s bc chia i c ghp li):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

5,49,51 54,51 27,27,51 27,78 27,39,39

66,39 33,33,39 33,72 33,36,36 33,18,18,18,18

33,9,9,9,9,9,9,9,9 42,9,9,9,9,9,9,9 21,21,9,9,9,9,9,9,9

30,21,9,9,9,9,9,9 15,15,21,9,9,9,9,9,9 15,36,9,9,9,9,9,9

15,1

( ) ( ) (

( ) ( )

( ) (

8,18,9,9,9,9,9,9 15,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9 24,9,9,9,9,9,9,9,9,9

12,12,9,9,9,9,9,9,9,9,9 6,6,6,6,9,9,9,9,9,9,9,9,9

3,3,3,3,3,3,3,3,9,9,9,9,9,9,9,9,9 12,3,3,3,3,3,3,3,9,9,9,9,9,9,9,9

6,6,3,3,3,3,3,3,3,9,9,

( ) (

( ) (( ) (

9,9,9,9,9,9 3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,9,9,9,9,9,9,9,9

12,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,9,9,9,9,9,9,9 6,6,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,9,9,9,9,9,9,93,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,9,9,9,9,9,9,9 ... 3,3,3,3,,...,3,3,3,3 .

)

)

)

))

Trng hp 2 Bc u tin dn hai ng c 5 v 51 vin, ta c hai ng c 49 v 56

vin, c hai su l bi ca 7. Khi thc hin cc nc i lun phin, s si trong mi

ng nhn c lun l bi ca 7. Do sng vi s si nh nht ch c th l 15

ng, mi ng 7 vin. Qui trnh di y minh ha iu trn:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) (

( )

5,49,51 56,49 28,28,49 14,14,14,14,49

7,7,7,7,7,7,7,7,49 56,7,7,7,7,7,7,7

28,28,7,7,7,7,7,7,7 14,14,14,14,7,7,7,7,7,7,7

... 7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7 .

)

Trng hp 3 Bc u tin dn hai ng c 49 v 51 vin, ta c hai ng l 5 v

100 vin, s si trong mi ng u l bi ca 5. Khi thc hin mt trong hai nc i, s

4


5/39

si trong mi ng nhn c lun l bi ca 5. Do sng vi s si nh nht l 21

ng, mi ng 5 vin. Chin lc di y minh ha iu trn:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

5,49,51 5,100 5,50,50 5,25,25,25,25

30,25,25,25 15,15,25,25,25 40,15,25,25

20,20,15,25,25 10,10,10,10,15,25,25

5,5,5,5,5,5,5,5,15,25,25 20,5,5,5,5,5,5,5,25,25

10,10,5,5,5,5,5,5,5,25,25 5,5,5,5,5,5,5,5

( )

( ) (

( ) (

( ) (

,5,5,5,25,25

30,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,25 15,15,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,25

40,15,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 20,20,15,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5

10,10,10,10,15,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 5,...,5,15,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5

20,5,...,5,

( ) ( ) ( )5 10,10,5,...,5,5 5,5,,...,5,5 .

)

)

)

Kt lun: Khng th chia ba ng si thnh 105 ng mi ng mt vin c.

n bin-Phng php tt v hn hoc tng hu hn

Bi 5 (V ch Kiev, 1974) Cc s 1, 2,..., 1974 c vit trn bng. Ngi chi c

php thay hai s bt k bi mt s khc bng tng hoc bng hiu ca cc s. Hy ch

ra rng, sau 1973 ln thc hin php ton , s cn li trn bng khng th bng 0.

Gii Lc u trn bng c tt c 1974 : 2 987= s l. Mi ln thay i, s cc s l hoc

gi nguyn (khi hai sc chn cng chn th tng v hiu ca chng cng l s chn;

khi hai sc chn c mt s chn v mt s l th tng v hiu ca chng l l) hoc

s cc s l gim i 2 (khi chn c hai s cng l th tng hoc hiu ca chng l chn).Do scc sl cn li trn bng sau mi ln thc hin vn lun lun l l (bt bin!).

V mi ln chi ta thay hai s bng mt s nn sau mi ln chislng cc sgim i

mtn v(n bin!). Vy sau 1973 ln thc hin php chi, ta c s cui cng cn

li phi l s l, tc l s khng th bng 0.

Bi 6 (V ch vng Balcan, 2003) C mt bao ng 150 vin bi en v 75 vin bi trng.

Mt ngi bc t bao ra mt cch ngu nhin mi ln 2 vin bi. Nu anh ta bc c mt

vin bi en v mt vin bi trng, anh ta b li vin bi trng vo bao v ct i vin bi en.

Nu anh ta bc c hai vin cng mu, anh ta ct i c hai ri b vo bao mt vin bi

en (gi s anh ta c s bi en ngoi bao lm chuyn nu cn). Qu trnh c

lp li cho n khi cn ng mt vin bi trong bao, l do ti sao? Vin bi mu g?

Gii V mi ln ly ra hai vin nhng b vo mt vin nn s lng vin bi trong bao

gim i mt vin. Vy sau 224 (=150+75-1) ln thc hin, ta cn ng mt vin bi trong

bao.Mi ln thay i, s bi trng trong bao hoc gi nguyn (khi trong hai vin c mt

vin trng hoc c hai vin bi u en) hoc s bi trng trong bao gim i 2 (khi c hai

5


6/39

vin bi u trng). Do lc u c 75 vin bi trng v scc vin bi trng cn li trong

bao sau mi ln thc hin vn lun lun l l(bt bin!) nn vin bi cui cng trong bao

phi l vin bi trng.

Nhn xt Phng php chng minh trong hai bi ton trn c gi lphng php tt

v hn. Phng php ny ch ra rng ta khng th lm gim (tt) mi mt i lng nun ch nhn mt s hu hn gi tr. Phng php tt v hn cng c dng gii quyt

nhiu dng ton khc (th d, trong gii phng trnh nghim nguyn,).

Di y l bi ton s dng khi nim tng hu hn.

Bi 7 (V ch ton lin bang Nga ln th nht, 1961) Cc s thc c vit vo cc trong mt bng ch nht . Mi ln chi ta c thi du tt c cc phn t trong

mt hng hoc mt ct. Hy chng minh rng sau mt s ln nh vy, ta c th lm cho

tng ca cc s trong mi hng v mi ct l khng m.

m n

Gii Gi s l tng ca tt c s trong bng. Nhn xt rng sau mt ln thc hin,mi sc gi nguyn hoc i du. Nh vy c tt c ti a bng v ch c th

nhn hu hn gi tr (thc ra s kh nng c th thc hin i du mt ln tt c cc

s trong mt hng hoc mt ct cn nh hn, s ny ch l

S mn

2mn S

2mn

12m n+ ).

Gi s trong mt bng c mt hng (hoc mt ct) vi tng cc s l m. i du cc s

trong hng (hoc ct) . Khi y tng cc s trong bng tng ln tht s, do mt bngkhng th nhn c hai ln bng cch i du ny. Do ch nhn hu hn gi tr nn

sau mt s hu hn ln thc hin php i du (cho cc hng v cc ct vi tng cc s

hng m), ta c mt bng vi tng ln nht. Bng ny chnh l bng tha mniu kin u bi, tc l bng c tng tt c cc scc hng v cc ct l khng m.

Tht vy, nu tng cc s trong mt hng (mt ct) no ca bng T l m th i du

cc s trong hng (ct) y, ta s nhn c mt bng mi c tng tt c cc s trong bng

ln hn trong bng T. Tri vi cch chn bng Vy chnh l bng cn tm.

S

T S

.T T

C th chng minh c rng, trn thc t ch cn khng qu2

m n+php i du (hng

v ct) c bng c tt c cc hng v cc ct c tng khng m.

1.2 Kthut t mu

T mu c dng ph bin trong l thuyt th. C th dng k thut t mu giiquyt mt s bi ton tr chi.

Bi 8a Mt nh trin lm c phng hnh tam gic u. Hai phng trin lm c gi

l hai phng lng ging nu chng c cnh chung. T mi phng u c ca i sang

phng lng ging ca n. Mt khch du lch mun i xem cng nhiu cng tt s phng

2n

6


7/39

trin lm vi iu kin mi phng chi qua ng mt ln. Hi anh ta c thi ti a bao

nhiu phng.

Hnh 1 Hnh 2

Gii T cc phng trin lm thnh cc hai mu en trng xen k nh Hnh 1. Vi, s phng c mu trng s l2n

( )11 2 3 ...

2

n nn

++ + + + = .

S phng mu en s l

( )( )1

1 2 3 ... 12

n nn

+ + + + = .

Nh vy, s en nh hn s trng l( ) ( )1 1

22 2

n n n nn

+ = .

Trong qu trnh i xem, khch du lch lun phi i t phng trng sang phng en hoc

ngc li. Gi s c thi tham quan tt c cc phng sao cho mi phng i qua ng

mt ln. Khi y s phng en ch t hn s phng trng ng 1 phng. Mu thun vi tnh

ton trn. Nh vy khng thi tham quan tt c cc phng c.Do mi phng chi qua ng mt ln m phi i xen k cc phng en-trng lin tip

nn s phng mu trng i qua ch hn s phng mu en mt phng. Nh vy nu i

qua tt c phng en th ti a tng s phng c th tham quan l

( ) ( ) 21 1 1 12 2

n n n nn n

+ + = + phng.

C th thc hin c iu ny theo ng i nh Hnh 2.

Bi 8b (V ch Lin X ln th t, 1970)

(Lp 8) Mt lu i c dng mt tam gic u vi di cnh l 100 m. N c chia ra

thnh 100 phng nh hnh tam gic. Tt c cc bc tng ca cc phng c di nh

nhau bng 10 mt. Gia cc gian lin k c cc ca thng nhau. Chng minh rng nu

mt ngi mun i xem cc phng ca lu i vi iu kin mi phng chi ng mt

ln th anh ta ch c th xem khng qu 91 phng.

7


8/39

(Lp 10) Mi cnh ca tam gic u c chia thnh k phn bng nhau. Qua cc im

chia k cc ng thng song song vi cc cnh. Kt qu l tam gic c chia thnh

cc tam gic nh. Ta gixch l mt dy cc tam gic, trong khng c tam gic no

xut hin hai ln, v mi tam gic tip theo c cnh chung vi tam gic trc . Hi s

cc tam gic trong xch ti a l bao nhiu?

2k

1.3 Gii thiu hai tr chi ni ting

Tr chi Thp H Ni

Tr chi Thp H Ni do nh ton hc Eduard Lucas sng to ra nm 1883.

Bi ton 1 (Bi ton Thp H Ni vi ba cc v n a) C a kch thc nh dn (t

di ln trn) xp chng ln nhau trn mt cc, a ln di, a nhtrn. Ngoi cc

cha a cn c hai cc trng khc. Hy chuyn a ny sang cc khc vi s ln chuyn

t nht tun theo hai qui tc sau:

n

1) Mi ln chc chuyn mt a t cc ny sang cc khc v c dng cc th balm cc trung gian.

2) Khng c xp a ln ln trn a nh.

Li gii bi ton ny rt n gin. l thut ton qui: Gi s bi ton vi a

c gii, tc l ta chuyn c (tun theo qui tc trn)

1n

1n a t cc 1 sang cc

2. Khi y gii bi ton vi a trc tin ta gii bi ton vin 1n a trn cng t

cc 1 sang cc 2. Sau chuyn a ln nht t cc 1 sang cc

3. Cui cng, li chuyn t cc 2 ln cc 3 (chng ln a

ln nht) v bi ton gii xong.

1n

Ty ta d dng lp trnh v tnh trn my gii bi ton.

Gi s s bc cn chuyn trong bi ton Thp H Ni vi bacc v a (theo qui tc trn) l thn ( )L n (1) 1L = ; (2) 3L =

v . Ty suy ra( ) ( 1) 1 ( 1L n L n L n= + + ) ( ) 2 1nL n = .

Nh vy, bi ton Thp H Ni, mc d c thut gii n gin

v ti u, nhng c phc tp tng cm. Th d, gii bi

ton vi 8 a cn 255 bc chuyn. gii bi ton vi 64

a, mi ln chuyn mt a mt thi gian 1 giy cn642 1 18 446 744 073 703551615 = giy 50 t nm.

Nu s dng my tnh thc hin chng trnh qui vi tc

1 triu php ton/giy th thi gian chy my l:

nm. Nh vy bi ton Thp H

Ni, khng gii c trong thi gian thc.

( )642 1 :1000000 50 000

Hnh v Bi ton Thp H

Ni vi 8 a trong cun

sch sch S hc vui ca

E.Lucas xut bn nm 1895.

8


9/39

Bi ton 2 (Bi ton Thp H Ni vi s cc bt k)C cc v a. Hy chuyn cc a t cc

ngun sang cc ch theo qui tc nh trong bi ton

ba cc. Trong khi chuyn c php s dng tt c

cc cc lm cc trung gian (Hnh bn).

k n

Nhiu vn ton hc v tin hc th v v cha

c gii quyt vi bi ton bn hoc nhiu cc.

Th d, c thut ton Frame-Stewart (1941) gii bi ton bn cc, nhng cha chng

minh c l thut ton ti u. chng minh c phc tp tnh ton trong bi

ton Thp H Ni vi bn hoc nhiu cc l thi gian di m (Stockmeyer, 1994),

Bi ton 3 (Bi ton Thp H Ni ba cc vi cc a hai mu-2 color hanoi tower) Mt

bin th ca tr chi Thp H Ni c ngh ti k thi v ch quc t ln th hai

(Php, 1988) v tr chi ton hc v lgic. Khc vi tr chi thp H Ni cin, trchi thp H Ni vi a mu gm c hai a khc mu cho mi kch thc (to nh) ca

a. Lc u trn hai (trong ba) cc c ba a mu khc nhau (Hnh di). Qui tc ca tr

chi gn nh khng thay i: Cc a c chuyn t cc ny sang cc khc, mi ln ch

di chuyn mt a v khng c t a ln ln trn a nh. Khi di chuyn c th s

dng cc trung gian th ba. c php t hai a c cng kch thc (khc mu) chng

ln nhau. Mc ch ca tr chi l t hai thp vi cc a c mu lin tip trn hai cc

hy xy dng hai thp cng mu (Hnh di). Trong k thi, hc sinh c ngh tm li

gii bi ton gm ba a vi s bc chuyn t nht.

C rt nhiu ci bin mi v th v ca bi ton Thp H Ni. Nhiu vn ton hc v

tin hc bi ton Thp H Ni cn cha c gii quyt. Khong 450 bi bo nghin cu

v bi ton Thp H Ni di gc ton v tin hc c ng trong hn 100 tp chkhoa hc. Bn c quan tm v bi ton Thp H Ni c th xem thm trong [4].

Tr chi vi hp vung c 8 hoc 15 s

Mt hp ch nht (khng c np) c xp y cc hnh vung c ghi cc s t nhin

theo mt th t no (th d, cc s gim dn t tri sang phi), ngoi tr mt trng.

Hy chuyn dch cc (bng cch s dng trng nh mt trung gian, khng nhc cc

9


10/39

s ra khi hp) c mt cu hnh mi sp xp theo trt t no (th d, cc s

tng dn t tri sang phi,...).

Trong tt c cc tr chi loi ny, vic kim tra tnh chn ca s chuyn v cho php

nhanh chng c cu tr li bi ton gii c hay khng, tc l c cch di chuyn cc

vung t mt cu hnh ban u n cu hnh cui hay khng.

C hai tr chi kh ph bin ca loi tr chi ny, l tr chi vi hp vung 3 v

tr chi vi hp vung 4 .

3

4

Tr chi vi hp vung cha cc 8 s

Xt bi ton sau y: Hy chuyn cc vung cha cc s theo th t gim dn t tri

sang phi trong Bng 1 c hp vung cha cc s theo th t tng dn trong Bng 2

bng cch y s lin k sang trng m khng nhc vung ra khi hp.

8 7 6 1 2 3

5 4 3 4 5 6

2 1 7 8

Bng 1 Bng 2

tr li cu hi ny, ta s ln lt chuyn cc t Bng 1 cho n khi c Bng 2.

Trc tin ra s tnh xem cn phi lm bao nhiu php chuyn (c th chuyn dch theo

bt k hng no v trc tin ta cha quan tm n ti thiu s php chuyn). Nu s

ln chuyn dch l chn, th bi ton gii c (nh trong trng hp ny).

Nu s ln chuyn l l th bi ton khng c li gii (ngha l mt khng th chuyn

sang v tr mi, nu khng nhc ra khi hp).

By gi ta quan tm ti vic tm li gii ti u. Hi cn ti thiu bao nhiu bc dch

chuyn, c cu hnh 2 t cu hnh 1?

C th khng nh, s ln chuyn dch cn thit khng t hn 26. Tht vy, chuyn

dch mi c s 1, 2, 7, 8 trong Bng 2 sang v tr mi cn ti thiu l 3 bc chuyn.

Nh vy, chuyn bn ny cn ti thiu 12 bc chuyn. Hai mang s 5 v s 4 c

v tr hon i nhau trong bng u v bng cui nn cn khng t hn 4 ln chuyn

i ch hai ny. Tng t cho mang s 3 v s 6. Nh vy, s ln cn chuyn khg t

hn 12+4+4=20.

Mt khc, phi mt thm hai ln chuyn i ch cc hnh vung vi s 1 hoc s 3

(st cnh trng trong bng u) v thm 2 ln chuyn na chuyn s 8 hoc s 6

(st cnh trng trong bng cui), v trong cc trng hp ny hnh vung phi c t

10


11/39

ln cc nm bn cnh ng i ngn nht ni v tr u v v tr cui. Nh vy, nu xy

dng cy ( th) cho cc bc ban u th s thy cn mt thm hai bc chuyn na

Nh vy, cn ti thiu 26 bc gii c bi ton. Bi v trong bi ton ny, trng

li trv v tr ban u, nn mi li gii phi c s chn ln chuyn.

Mt li gii tt bit cho bi ton ny thuc v nh ton hc Anh Henry E. Dudeney.

N i hi 36 bc. Di y trnh by li gii ca Dudeney.

Trong cc li gii di y, cc ch s t m biu th cc vi cc ch s c

chuyn. Ta ch cn m cc ch s t m bit s ln chuyn trong li gii.

Li gii ca Dudeney (1903) gm 36 bc chuyn:

8 7 6 8 7 6 8 6 8 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 35 4 3 4 3 4 7 1 4 6 2 8 6 3 8 5 6 4 8 5 4 5 62 1 5 2 1 5 3 2 5 7 3 4 5 7 4 7 7 6 7 8

Bc chuyn: 12543 12376 12376 1237548 123657 65847 856

Ngoi li gii ca Dudeney, ta cn c 10 li gii khc gm 30 bc chuyn (xem [4]).

Sophild lp trnh tm tm li gii vi s bc ti thiu cho bi ton vi trng

nm chnh gia trong c hai cu hnh ban u v cu hnh cui. Nhchng trnh ny

Sophild tm thy tt c 10 li gii gm 30 bc, nhng kt qu ny cha loi tr kh

nng tn ti cc li gii ngn hn.

tm li gii ti u trong bi ton vi h p vung 8 s, Uliam F. Dempster chia

chng trnh lm hai giai on. Trong giai on mt Uliam F. Dempster tm tt c cc li

gii gm 30 bc hoc nh hn. Tt c gm 10 li gii v mt 2 pht ba mi giy chy

my. Trong giai on 2, chng trnh tm li gii gm 34 bc hoc t hn. Sau 10 pht

chy my c 112 li gii vi 32 bc v 512 li gii vi 34 bc. Nh vy, c tt c

634 li gii. Cc li gii ny u ngn hn li gii ca Dudeney.

Chng trnh ca Uliam F. Dempster ch ra rng, cc bi ton vi trng trung tm

trong c bng xut pht v bng cui cng c th ch cn 26 bc. V chuyn trng

t gc vo trung tm cn 2 bc nn 30 bc l gii bt k bi ton vi trng nm

cng mt v tr trong c hai bng xut pht v bng cui cng. Nh vy, bi ton ca

Dudeney thuc loi bi ton xu nht trong cc bi ton tr chi vi hp vung gm 8 s, ngha l, li gii ngn nht i hi s bc ti a.

Tr chi vi hp vung cha 15 s

Sam Loid c coi l mt bc k ti trong s cc nh sng to ra cc tr chi ton hc.

Trong vng na th k, bt u t nm 1911, ng ni ting vi cc bi ton vui v cc tr

chi. Hng nghn bi ton do ng nghra c in trn nhiu bo v tp ch, v n vn

11


12/39

mang tnh thi s cho ti ngy nay. Di gc ton hc, sng to ln nht ca Sam

Loid c l l tr chi vi hp vung 15 s. Sam Loid treo gii thng 1000 la cho ai

chuyn c hp vung vi 15 sHnh 1 sang Hnh 2.

Hnh 1 Hnh 2Hng nghn ngi tuyn b gii c bi ton, nhng h khng th ghi li c cch

lm ca mnh. Thc ra khng ai c th lnh gii, bi v bi ton m Sam Loid l khng c

li gii! bi ton gii c, cu hnh ca hai bng u v bng cui phi c cng tnh

chn ca s chuyn v. Trong s tt c hn 20 triu cu hnh c mt na cc cu hnh c

th nhn c t cu hnh ban u (Hnh 1), cc cu hnh cn li, trong c Hnh 2, do

khng cng s chn ca s chuyn v nn khng chuyn c t cu hnh ban u.

Bi tp

Bi 9 (V ch Lin X ln th hai, 1968)(Lp 8) Trong mt bng hnh vung gm 4 4 c t cc du cng (du +)

hoc tr (du ) nh Hnh 1. Cho php ng thi i du tt c cc s

trong cc ca mt hng, mt ct hoc trn ng thng song song vi

mt trong hai ng cho ca hnh vung (c bit, c thi du cc

s trong gc). Chng minh rng theo qui tc ny ta khng bao gi

nhn c bng c tt c cc cha cc du cng.

+ + +

+ + + +

+ + + +

+ + + +

(Lp 10) Trong mt bng hnh vung gm 8 8 c t cc du cng (du +) ngoi

tr mt gc c t du tr (du ). Cho php ng thi i du tt c cc s trongcc ca mt hng, mt ct hoc mt ng cho (ng cho l ng i bt k ca

qun tng). Chng minh rng theo qui tc ny ta khng bao ginhn c bng c tt

c cc cha cc du cng.

Bi 10 (V ch Lin X ln th 18, 1984, lp 10, vng 1) Vit vo mi ca mt bnghnh vung s 1 hoc . Vi mi ta tnh tch ca cc scc ln cn vi 3 3 1

12


13/39

(cc c chung cnh vi cho). Sau ta vit tch nhn c vo cho thay cho

s vit. Vi bng mi ta li lm tng t. Chng minh rng sau mt s php lm nh

vy, ta c bng gm ton nhng s 1.

2 Tr chi hai ngi vi thng tin y

Tr chi vi hai ngi tham gia thng c tnh cht i khng: Mi ngi u c gng

tm chin lc thng (theo tiu chun kt thc tr chi) nhng thng ch c mt ngi

thng, mt ngi thua (cng c th xy ra trng hp ha-khng thua khng thng hoc

tr chi ko di v tn). Chin thut (chin lc) ca mi ngi ti mi bc l y i

th vo trng thi thua. Nu khng thng c th tm chin lc lm cho i phng

thit hi nht (thua sau thi gian lu nht, thua vi tiu tn t nng lng nht,). Do i

trc nn ngi th nht thng c nhiu li th hn, v vy kh nng thng thng l

nhiu hn, nhng khng phi lc no cng nh th.

Ta ch xt loi tr chi vi thng tiny , ngha l: Ti mi bc i, mi ngi ubit trng thi tr chi, tiu chun kt thc tr chi, kh nng v nhng hn ch trong

chn chin lc ca mnh cng nh ca i th.

2.1 Tr chi hai ngi c mt khp ni

Bi 11 (V ch Moscow ln th 32, 1969, lp 7, vng 2) Hai ngi chi tr chi sau

y. Mi ngi chi ty theo cch chn ca mnh ln lt gch 9 s t dy s 1, 2, 3, ,

100, 101. Sau 11 lt (ngi th nht 6 lt, ngi th hai 5 lt), ch cn li 2 s. Sau

ngi th hai phi tr cho ngi th nht sim bng ng hiu gia hai s cn li.

Chng minh rng ngi th nht lun lun nhn c ti thiu 55 im, khng ph thucvo ngi chi th hai.

Gii Bc u tin ngi th nht gch 9 s t 47 n 55. Cc s cn li chia lm hailp: t 1 n 46 v t 56 n 101. Vi mi s b gch bi ngi th hai, ngi thnht chn

k

55 k . Khi y hiu hai s cn li ng bng 55.

Li bnh: V ngi th hai bt buc phi chn ngchn s trong mi bc i, m cc

s ny c gi tr nh nhau trong chn chin lc ca ngi th nht nn ngi th hai

thua sau ng11 bc.

Bi 12 (V ch Moscow ln th 31, 2001, lp 7, vng 2) Trn mt phng cho 1968 iml cc nh ca mt a gic u. Hai ngi chi ln lt ni hai nh ca a gic u bi

cc on thng theo qui tc sau: khng c ni hai im m mt trong cc im y

c ni vi im khc, v khng c ct cc on k. Ngi thua l ngi khng

th lm bc tip theo. Hi lm th no thng? Ai l ngi thng trong tr chi ny?

13


14/39

Gii Ngi i trc kng cho qua tm ca a gic u chia a gic u thnh hai

na, mi na cha1968 2

9832

= im. Do phi k cc on thng khng c ct v

khng chung nh vi cc on k nn ch c th kon thng nm trn trong mt

na a gic u. Sau khi ngi th hai i bc u tin, ngi th nht thc hin chinlc: mi bc i tip theo k cc ng cho i xngvi ng cho m ngi th

hai va k. Do sim trong mi na a gic l 983 (s l) nn sau mi bc iscc

im cn li gim i 2 v vn l sl(bt bin!). Vy sau ti a 983 bc (c th t hn),

ngi th hai cn mt (hoc mt s l) im bn ny v mt (mt s l) im bn kia

ng cho qua tm, do khng th k tip c v thua.

Ngi th hai ch cn vt vt c l ko di ti a tr chi, bng cch ln lt k cc

ng cho, bt u tng cho ngn nht (di nht) v thua sau 983 bc. Thua

nhanh nht nu c mi ln k li b cch mt im (kp gia hai ng k).

Li bnh C hai bi trn, ngi th nht u xy dng chin lc da trn cch chia mt

tp hp thnh hai na i xng ri nhau.

Bi 13 (V ch Lin X ln th 3, 1969, l p 9-10) Trn bng c phng trnh. Hai ngi chi tr chi sau y. u tin ngi th nht thay mt

du * bt k bng mt s nguyn khc 0 (dng hoc m), sau ngi th hai thay mt

s nguyn vo mt trong hai du * cn li. Ngi th nht t nt mt s nguyn vo v

tr t do cui cng. Chng minh rng ngi th nht bao gicng lm cho phng trnh

c ba nghim nguyn, khng ph thuc vo cch chn s ca ngi chi th hai.

3 2* * *x x x+ + + = 0

Gii Ngi chi th nht t 1 vo h s ca . Khi y ta c phng trnh. Sau khi ngi chi th hai t s nguyn vo h s ca3 2* *x x x+ + = 0 a 2x hoc

vo h s t do th ngi th nht t a vo h s cn li. Phng trnh nhn c l

( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 2 21 1 1 1x ax x a x x a x x a x x+ = + = + + = 0lun c ba nghim nguyn 1x a= , 2 1x = v 3 1x = vi mi . Ngi th nht thng.a

Bi 14 (V ch Lin X ln th 11, 1977, lp 10)

Cho a thc 10 9 8 2* * ... * * 1x x x x x+ + + + + + . Hai ngi chi tr chi sau y. Ngi th

nht thay mt du * bt k bng mt s no , sau ngi th hai thay mt s t chn

vo mt du * cn li. C nh vy tip tc (c tt c 9 bc i). Nu a thc khng c

nghim (thc) th ngi th nht thng, cn nu c t nht mt nghim thc th ngi th

hai thng. Hi ngi th hai c th thng vi mi cch i ca ngi th nht khng?

Gii Chin lc sau y m bo cho ngi th hai thng.

14


15/39

V c tt c 9 du *, trong c nm du * l h s thuc ly tha bc l( 3 5 7* ,* ,* ,* ,* 9x x x x x ) nn nu trong ba bc u ngi th hai in s vo ba h s thuc

ly tha bc chn th sau bn bc i ca ngi th nht vn cn t nht mt ly tha bc

l. Gi s sau bc th 7 (ngi th nht i i c bn bc, ngi th hai i

c ba bc, n lt ngi th hai) ta c a thc , trong , l a thc vi cc h s c chn.

2 1

( ) * *m

P x x x+

+ +

l

10( ) ... 1P x x= + +

Chn v sao cho a thc0c > 2 1( ) ( ) mF x P x x x l+= + + tha mn h thc no

m t suy ra phng trnh ( ) 0F x = c nghim, th d, (1) ( 2) 0cF F+ = vi mi .

vi mi[ ] ( ) ( )2 1

(1) ( 2) (1) ( 2) 2 2 0m l

cF F c P P + + = + + + + + =

th

v2 12 lc +=( 2) (1)

( 2)mP cP

c

+=

+ (s c ngha do 2 1m l + nn ( )2 0

mc + ).

Do v nn v0c > (1) ( 2) 0cF F+ = (1)F ( 2)F tri du. Do phng trnh

c nghim trong khong( ) 0F x = [ ]2,1 vi mi .

Ti bc th 8 (bc i th t ca ngi th hai), ngi th hai t gi tr( 2) (1)

( 2)mP cP

c

=

+ vo h s mx ca a thc 2 1( ) * *mP x x x l++ + . Ti bc th 9 ngi

th nht t s thc bt k no th a thc 2 1( ) mP x x x l++ + cng c nghim thc.

Ngi th hai thng.

Bi 15 (V ch Lin X ln th 9, 1975, l p 8, 9) Cho tam gic c din tch bng1. Ngi chi th nht chn im

ABC

X trn cnh ngi chi th hai chn im trn

cnh

,AB Y

.BC Sau ngi chi th nht chn im Z trn cnh Mc ch ca ngi

chi th nht l lm cc i din tch tam gic

.AC

XYZ v mc ch ca ngi chi th hai

l lm cc tiu din tch tam gic .XYZ Hi ngi chi th nht c thm bo cho

mnh din tch ln nht ca tam gic XYZ l bao nhiu?

Gii Trc tin ta c th thy rng, ngi chi th hai c tht c1

4XYZS khng

ph thuc vo v tr ca X m ngi th nht chn. Tht vy, ch cn chn Y sao cho

//XY AC . Khi y2

( )

4XYZ

ABC

S XY H h h H h

S AC H H

1 = = .

Mt khc, ngi chi th nht chn im X v Z l

cc im gia ca vAB .C Khi y,1

4XYZ

ABC

S

S= vi

mi v tr ca im Y trn .BC

15


16/39

Li bnh Bi ny c th pht biu n gin (khng qua ngn ng tr chi): Cho ba im

, ,X Y Z bt k tng ng trn cc cnh ,AB BC v Chng minh rng.AC1

4XYZ

ABC

S

S .

Bi 16 (V ch Lin X ln th 18, 1984, lp 9) C mt hnh lp phng v hai mu:

mu v mu xanh. Hai ngi chi tr chi sau y. Ngi th nht chn ba cnh calp phng v sn chng thnh mu . Ngi th hai chn ba cnh cha sn v sn

chng thnh mu xanh. Sau ngi th nht li chn ba cnh v sn mu . V cui

cng ngi th hai sn nt ba cnh cn li bng mu xanh. Cm sn li mt cnh sn

(bng mu khc cng nh bng mu sn). Ngi no u tin sn c mt mt c

bn cnh cng mu th ngi thng. Hi ngi th nht c lun thng khng?

Gii V mi cnh u tm c hai cnh khc ca lp phng i mt cho nhau nn sau

khi ngi chi th nht sn ba cnh bt k th ngi chi th hai vn tm c ba

cnh i mt vung gc cha sn. Hn na, nu ngi th nht sn hai hoc ba cnh

cng mt mt th ngi th hai sn mt cnh ca mt y (cng vi hai cnh cho vi n).Sau khi sn cc cnh ny bng mu xanh (vi lu trn), th do chng i mt vung

gc nn mi cnh l cnh k ca hai mt v ba cnh l ba cnh k ca tt c su mt khc

nhau. Do ngi chi th nht khng th sn tip c bn cnh ca mt mt cng

mt mu c. V vy ngi th nht khng th thng.

Mt iu th v l, ngi th hai cng khng th thng. Tht vy, ngi th nht t ba

cnh cho nhau. Nh vy, tt c su mt u cha mt cnh mu . Do ngi th hai

khng th t mu xanh tt c bn cnh ca mt mt no c.

Chin lc ha p nht c l l mi ngi ln lt t ba cnh i mt cho nhau. Nhvy sc tt c su mt, mi mt c hai cnh xanh v hai cnh .

Bi 17 (V ch Lin X ln th 16, 1982, lp 8) Mi nh ca mt hnh vung c gn

cho mt s thc khng m, ngoi ra tng ca tm s ny bng 1. Hai ngi chi tr chi

sau y: Ngi th nht chn mt mt bt k, sau ngi th hai chn mt tip theo, v

sau ngi th hai chn mt th ba. Ngoi ra, khng c chn mt song song vi mt

trong cc mt c chn. Chng minh rng ngi th nht c th chn chin lc

chi sao cho s nm trn mt nh chung ca c ba mt c chn khng vt qu1

6.

Gii Gia tm s khng m c tng bng 1 bao gicng chn c ba s khng vt

qu1

6. Tht vy, nu ch c ti a hai s khng vt qu

1

6th c ti thiu su s ln

hn1

6. Khi y tng su s ny ln hn 1. Chng t tng tm s ln hn 1. V l. Vy c

ba s khng vt qu1

6. Hn na, v mi nh ch c duy nht mt nh i din l

16


17/39

khng cng nm trn mt mt nn hai trong ba s ny phi l hai u ca mt ng

cho ca mt mt no . Tht vy, nu ba nh nm trn mt mt no th iu ny

hin nhin. Nu ba nh khng nm trn mt mt th phi c hai nh (th nht v th ba)

i xng qua tm. Nhng nh th ba khi y phi to vi nh th hai mt ng cho

ca mt mt. Ngi th nht chn mt ny. Theo qui tc chi, ngi th hai phi chnmt trong bn mt k (c chung cnh) vi mt chn. Ngi th nht ch cn chn mt

k vi hai mt va chn bi ngi th nht v ngi th hai. Nh vy, nh chung ca ba

mt k nhau chnh l mt trong hai nh ca ng cho chn v tng ng vi s

nh hn1

6.

Bi 18 (V ch Lin X ln th 12, 1978, lp 8) Mt qun cam ng gc bn cgm vung. Hai ngi chi ln lt y qun csang bn cnh (c cnh lin k

vi m qun cang ng). Khng c php tr li m qun c i qua. Ngi

no khng cn nc i th ngi y thua.

n n

1) Chng minh rng nu chn th ngi chi th nht thng, cn nu l th ngi

chi th hai thng.

n n

2) Ai l ngi chin thng, nu lc u qun ckhng v tr gc bn c, m bn

cnh gc bn c?

Gii 1) Nu chn th c bn cc th chia thnh cc qun min (cc hnh ch

nht 1 c t hai mu en trng). Ngi chi th nht chn chin lc sau y (v

thng): Nu qun c ng mt ca qun min no , th ngi chi th nht s

i sang th hai ca qun min y (ng min li). Ngi chi th hai buc phi i

sang ca qun min mi (m min), ngi th nht li ng li v cui cng

ngi th nht thng.

n

2

Nu l th c th chia bn cthnh cc qun min, tr mt tha ra. Ngi th hai

thc hin chin lc tng t nh ngi th nht trong trng h p chn v ginh

chin thng v cui cng cn tha mt v n lt ngi th nht.

n

n

2) Nu qun ckhng v tr gc bn c, m bn cnh gc bn cth ngi th nhtlun lun thng. Tht vy, nu chn th ngi th nht thc hin chin lc nh trong

phn 1) v thng. Nu l th li chia bn cthnh cc qun min, tr qun gc. V

lc u qun c bn cnh gc bn cnn ngi th nht i sang nm trn ngcho. Khi y ngi th hai khng bao gii vo gc c, do ngi th nht s

thng cuc, khi thc hin chin lc ng min nh trn.

n

n

Nhn xt Ngi th nht thng khi qun cam v tr bt k khng phi l gc bn c

(khng nht thit phi cnh gc).

17


18/39

Li bnh Cc Bi 10-Bi 18 cho thy: Tr chi c mt khp noi trong ton (t s hc

n i s, t hnh hc n gii tch, t ton trn bn cn ton t hp).

2.2 Kthut mul

Bi 19 (V ch Moscow ln th 34, 1971, lp 10, vng 1) Mt ng gm 1 t que dim.Hai ngi chi tr chi sau y. Mi bc ngi chi c th ly tng dim np que,

trong p l s nguyn t, (th d, ngi th nht ly 25 que, ngi th hai

ly que, ngi th nht ly 1 que, ngi th hai ly 5 que, ngi th nht ly

que,..). Ngi no ly que dim cui cng th ngi thng. Hi ai l ngi

chin thng?

0,1,2,...n =38 2=

249 7=

Gii V ngi chi th nht c quyn chn s que dim bng mt trong cc s 1, 2, 3,

, 5 v 1 t chia cho 6 d 4 nn bc u tin anh ta ly 4 que dim. S que dimcn li chia ht cho 6. Theo qui tc chi, ngi th hai buc phi ly s dim l

24 2=np que.

S ny khng chia ht cho 6 do p l s nguyn t, tc l s dim cn li cng khngchia ht cho 6. Do ngi th nht li ly s que dim bng s d (theo , mt

trong cc s 1, 2, 3, , 5) v li s dim cho ngi th hai l bi s ca 6, khng ph

thuc vo chin lc ca ngi th hai. Sau mt s bc ngi th nht li cho ngi

th hai ng 6 que dim. Sau khi ngi th hai buc phi li s que dim l mt trong

cc s 1, 2, 3, , 5, ngi th nht i bc cui cng bng cch ly tt c cc que dim

v thng.

mod6

4

4

Nh vy, nu i ng chin lc, th ngi th nht bao gicng thng. Ngi th hai

ch c th vt vt bng cch thua lu nht nu mi bc i anh ta ly ng 1 que, bng

ng lut chi.02 ,

Bi 20 (Annual Maritine Mathematics Competition-Thi ton hng nm min duyn hi

Canada, 2001) A v B tin hnh chi vi 2001 ht u. A i trc, sau n B v lun

phin nhau. Mt nc i l mt ln ly khi ng ht u i 1, 2 hay 3 ht. Ngi no i

nc cui (ly ht u trong ng) th ngi y thng. Vy ngi no c chin thut

lun thng v chin thut ra sao.

Gii A i trc thng. Chin thut ca anh ta nh sau: Nc i u tin anh ta ly 1 htu, cc nc sau anh ta s ly 4 x ht, trong x l s ht u m B va ly (x bng

mt trong cc s 1, 2, 3). Nh vy, sau bc i u tin, s ht u cn li l 2000 ht.Tip theo, c mi ln B i xong anh ta li ly 4 x nn kt qu bao gicng c mt

s l bi ca 4. V s ht u gim dn nn cui cng ch cn bn ht. n lt B phi

ly 1, 2 hoc 3 ht. A ly nt v anh ta thng.

Li bnh: V chin lc ca ngi th nht khng ph thuc vo cch i ca ngi th

hai (ly 1, 2 hoc 3 ht) nn ngi th nht thng sau ng501 bc i.

18


19/39

Bi 21 Hai a tr chi tr chi sau y vi hai ng ko. ng th nht c 12 chic v

ng th hai c 13 chic. Mi a tr ly ra hoc hai vin ko t mt ng (n) hoc

chuyn mt vin tng th nht sang ng th hai. a tr no khng chuyn c na

th s thua. Hy ch ra rng a tr th hai khng th thua. Hi cu ta c thng khng?

Gii Gi l hiu s ko ca ng th hai tr i ng th nht. Lc u. Sau mi ln chuyn, hiu s gim i 2 (khi ly ra 2 vin ko ng

th hai) hoc tng ln 2 (ly ra hai vin ko tng th nht hoc chuyn mt vin kotng th nht b sang ng th hai). Nh vy theo mo slun l 1, 3, 1, 3,..(btbin!). V lc u nn mi ln sau khi a tr th nht ly ko, s theo

lun l 3.

S

0 13 12 1S = = S

S d 4

(0 1 mod 4S ) S

mod4

V nhng bc i u a tr th hai lun c th ly ra hai chic ko ng th nht

nn a tr th hai c th lm gim s ko ng th nht xung cn 0 hoc 1 chic.

Nu cn mt chic th bc tip theo (nu a tr th nht n hai chic ko ng th

hai) a tr th hai chuyn nt chic ko ng th nht sang ng th hai. Vy cui

cng a tr th hai c th lm cho s ko ng th nht bng 0. Khi y ch cn c thly s ko ng th hai v do ( )3 mod 4S khi n lt a tr th hai nn cui cng

ch cn ba chic ko ng th hai, cu ta ly 2 chic v tr chi phi kt thc v cu b

th nht khng n (phi n 2) cng khng chuyn c na v cu b th hai thng.

Bi 22 (Tr chi Bachet-Bachets games) u tin, c qun c am trn bn c

( ). Ti mi bc i, ngi chi ly ra ti thiu mt qun v ti a qun ct bn

c (1 cho trc cnh). Ngi chi no n lt c th ly mi qun cs l

ngi chin thng. Hi phi bng bao nhiu ngi chi th nht c th dnh chinthng? Tng t, phi bng bao nhiu ngi chi th hai c th thng?

n

0n > k

k n< convert(1010011011,decimal,binary);

667 Vy s ban u bn chn l 667.

Kim tra li: 667=3332+1=(1662+1) 2+1=((832) 2+1) 2+1

=(((412+1)2) 2+1) 2+1=((((202+1)2+1)2) 2+1) 2+1

=(((((102)2+1)2+1)2) 2+1) 2+1=(((((52)2+1)2+1)2) 2+1) 2+1

=((((((22+1)2)2+1)2+1)2) 2+1) 2+1

=(((((((12)2+1)2)2+1)2+1)2) 2+1) 2+1

=29+27+24+23+2+1=(1010011010)2.

Bi 36 (Tr chi Nim)Ngi Trung Quc thi xa c tr chi gi l tr chi Nim. Ni

dung ca tr chi ny nh sau: C ba ng si, hai ngi chi ln lt ly mt s si bt

k (ti thiu mt vin cho n cng si) t mt trong ba ng (v mi ln chi ch

ly si t mt ng). Ai l ngi nht vin si cui cng th ngi thng. C hay

khng mt chin lc chi thng?

Gii Ngy nay cc vin si thng c thay th bi cc vt khc, th d, cc que

dim, v vy ngi ta cng gi tr chi ny l tr chi n dim.

gii bi ton ny ta s s dng hm cs 2. Gi s trong mi ng c , v c vin si, ta gi ba ng si l cc ng th nht, th hai v th ba. Trong hm cs

2, cc s ny c biu din di dng

a b

( )11 1 0 1 2.2 .2 ... .2 ...n n

n n n na a a a a a a a a

= + + + + = 1 0 ;

( )11 1 0 1 2.2 .2 ... .2 ...n n

n n n nb b b b b b b b b

= + + + + = 1 0 ;

( )11 1 0 1 2.2 .2 ... .2 ...n n

n n n nc c c c c c c c c

= + + + + = 1 0 .

28


29/39

Cc h s , , , c gi tr 0 hoc 1. y, tin trnh by, ta vit biu

din ca cng c bc cao nht l . iu ny d dng lm c v nu cn ta c

th thm cc h s bng 0, tc l ta khng i hi tt c cc h s , , phi khc 0,

nhng v l bc cao nht nn t nht mt trong cc h s phi khc 0.

ia ib ic 0,...,i = n

n

n

,a ,b c 2n

na nb nc

n

Ngi chi u tin s ly mt s si t mt trong ba ng, th d, tng th nht. Khiy cc h s , s b thay i. Tng t, nu ly si tng th hai (hoc t

ng th ba), th cc h s ,ia 0,...,i =

ib 0,...,i = (hoc ) s thay i.ic

Xt cc tng

n n na b c+ 1 1 1n n na b c , + ,, 1 1 1a b c+ + , 0 0 0a b c+ + .+ +

V cc h s , , , ch nhn gi tr 0 hoc 1 nn mi tng ny ch nhn

mt trong bn gi tr 0, .ia ib ic 0,...,i = n

a b c

1, 2, 3

Nu mt trong cc tng trn l l (tc l nhn gi tr 1 hoc 3) th ngi chi th nht c

th thng nhchin lc sau: Ti mi bc i, ngi th nht s ly i mt s si t mtng c tt c cc tng i i i+ 0,...,i n,+ = l chn. Thc hin c chin lc

ny nhcch i nh sau.

Gi s l tng u tin (tnh t tri sang phi) l l, tc l c t nht mt trong

ba s bng 1. Gi s, th d,k ka b c+ + k, ,k k ka b c 1ka = . Khi y ngi chi th nht ly mt lng

si d tng th nht sao cho tt c cc tng i i ia b c+ 0,...,n, i+ = l chn. lm vic

ny ch cn ly vin si sao cho s si cn li t ng th nht s l, trong

d

1 1 1 1... 0 ...n n k k 0a a a a a + ia a= ia a = nu i ia b ci+ + , 0,..., 1i k= l chn v

nu l l. Do cc h s1i ia = a ii ia b c+ + 1 1, ,...,n n ka a a + ca v bng nhau, cn

h s ca bng 1, m h s ca

a a

ka a ka a bng 0 nn a a> v , tc l

ngi chi th nht c th chn c mt chin lc theo qui tc nu trn.

0d a a= >

Nh vy, sau khi ngi th nht i bc i u tin, tt c cc tng ,

l chn.

i i ia b c+ + 0,...,i n=

By gigi s ngi chi th hai ly mt s si bt k, th d, d vin t mt ng no. V khc 0 nn bt buc t nht mt trong cc tngd i ia b ci+ + phi thay i t chn

sang l. Tip tc cch lm trn, sau mt s hu hn bc, tt c cc tng ,

, phi bng 0 (v tng s si gim thc s sau mi bc), tc l khng cn vin

si no sau bc i th ca ngi th nht, v anh ta thng.

q i ia b c+ + in

a b c

0,...,i =

q

Nu ban u tt c cc tng i i i+ 0,...,i n,+ = l chn, th sau ln i u tin ca

ngi th nht, cho d anh ta ly i bao nhiu si t mt ng bt k no , th c t nhtmt tng bt buc phi l, v vy, n lt ngi chi th hai, anh ta s s

dng chin lc nh ngi chi th nht thc hin khi s si ban u l l (nh chin

lc trnh by trn) v anh ta s thng.

i ia b c+ + i

29


30/39

Ty theo s si c th trong tng ng, mi ngi chi c th chn s lng si trong

mi bc i m bo thng nhanh nht hoc lu thua nht.

Th d Gi s ngi chi th nht bit chin lc thng. Hy thc hin chin lctrong tr chi Nim vi ,13a = 20b = , 23c = .

Gii Ta c

( )3 2 2 2 4 3 2 1 213 2 2 1 1101 01101a a= = + + = = = 0a a a a ;

( )4 2 2 4 3 2 1 0 220 2 2 10100b b= = + = = b b b b ;

( ) ( )4 2 4 3 2 1 02 223 2 2 2 1 10111c c= = + + + = = c c c c .

Tng cc h s:

4 4 4 2a b c+ + = ; ;3 3 3 1a b c+ + = 2 2 2 3a b c+ + = ; 1 1 1 1a b c+ + = ; .0 0 0 2a b c+ + =

Ln 1: Ta c 3 3 3 1a b c+ + = , 2 2 2 3a b c+ + = , 1 1 1 1a b c+ + = l cc s l, trong

l s l u tin. V3 3 3 1a b c+ + = 3 1a = , 3 3 0b c= = v 201101a = v cc tng

c tnh chn l nh trn nn ngi chi th nht s ly vin si tng thnht sao cho s si cn li l

i ia b c+ + i d

200011 3a = = (tc l

), l cch duy nht (trong th d c th ny)

m bo cho ngi chi th nht i n thng li. S si cn li cc ng l:

1 2 201101 00011 01010 10d a a= = = =2

( )213 10 3 00011a = = = , 220 10100b = = ; ( )223 10111c = = .

By gi ta c ;4 4 4 2a b c+ + = 3 3 3 0a b c+ + = ; 2 2 2 2a b c+ + = ; ;

.1 1 1 2a b c+ + =

0 0 0 2a b c+ + =

Ngi chi th hai, d bit hay khng bit chin lc, cng phi chn mt s si t mt

ng no , th d tng th hai. Khi y s si cn li ba ng

l: ;

(1 212 01100 = =d )

( )23 2 1 00011a = = + = ( )28 01000b = = , .( )4 2

223 2 2 2 1 10111c = = + + + =

Tng cc h s sau khi ngi chi th hai i l:


Ln 2: Do , ,4 4 4 1a b c+ + = 4 4 0a b= = 4 1c = , ( )210111c = v tng cc h s nh trn

nn ngi th nht ly tng th ba vin si sao cho s si cn li ng th ba l2d

( )201011 11c = = , tc l chn ( ) ( )2 22 210111 01011 01100 12d c c= = = = vin.

S si cn li cc ng l:( )23 00011a = = , ( )28 01000b = = , 223 12 11 01011c = = = .

By gita li c

4 4 4 0a b c+ + = ; ;3 3 3 2a b c+ + = 2 2 2 0a b c+ + = ; 1 1 1 2a b c+ + = ; 0 0 0 2a b c+ + = .

Ngi chi th hai ly ra s si bt k, th d, 10 vin tng th ba, s si cn li bang l: ;( )23 2 1 00011a = = + = ( )28 01000b = = , ( )21 00001c = = .

30


31/39

Tng cc h s sau khi ngi chi th hai i l:


Ln 3: V , ,3 3 3 1a b c+ + = 3 1b = ( )28 01000b = = v tng cc h s c tnh chn l nh

trn nn ngi chi th nht ly ra tng th hai mt s si sao cho s vin si cnli l , tc l ly ra3d

( )200010 2b = = ( ) ( )3 22 201000 00010 00110 6d b b= = = =

)

vin

si t ng th hai. S si cn li cc ng by gi l: ,

, . By gita li c

( )23 00011a = =

( )22 00010b = = ( 21 00001c = =


Ngi th hai chn s si bt k, th d, 1 vin tng th hai, s si cn ba ng l:

( )23 00011a = = ; ( )21 00001b = = , ( )21 00001c = = .

Tng cc h s:


Ln 4: Do v1 1 1 1a b c+ + = 1 1a = , ( )23 00011a = = nn ngi chi th nht chn

sao cho s si cn li ng th nht l

4d

( )20 00000a = = , tc l . S

si cn li cc ng l:

4 200001 3d = =

( )20 00000a = = , ( )21 00001b = = , ( )21 00001c = = .

By gita li c


Ngi chi th hai ch c th chn mt vin tng th hai hoc ng th ba, th d, tng th ba, s si cn li ba ng l: 0a = , 1b = , 0c = .

Ngi chi th nht ch cn ly nt vin si cui cng ng th hai v anh ta thng.

Li bnh Ngi chi th hai c th chn nhiu cch i. Tuy nhin, nu lc u c t nhtmt tng l l th vi mi cch i ca ngi th hai, ngi chi th nht bao

gi cng chn c t nht mt cch i tng ng sau khi i th tt c cc tng, l chn, v cui cng anh ta s thng. Tng t, nu tt c cc tng

, l chn th ngi th hai s thng.

k ka b c+ + k

a b c+ + 0,...,i n=

a b c+ + 0,...,i n=

a b c

i i i

i i i

Ngi th hai ch thng khi tt c cc tng i i i+ 0,...,i n,+ = l chn. Kh nng

thng ca ngi chi th hai t hn nhiu so vi ngi chi th nht. Th d, vi 10 vinsi chia lm ba ng th c tt c 8 kh nng vit s 10=(1010)10a b c+ + = 2 di dng

tng ca ba s dng khc 0:

1) 10=1+1+8=(0001)2+(0001)2+(1000)2; 2) 10=1+2+7=(0001)2+(0010)2+(0111)2;

3) 10=1+3+6=(0001)2+(0011)2+(0110)2; 4) 10=1+4+5=(0001)2+(0100)2+(0101)2;

5) 10=2+2+6=(0010)2+(0010)2+(0110)2; 6) 10=2+3+5=(0010)2+(0011)2+(0101)2;

7) 10=2+4+4=(0010)2+(0100)2+(0100)2; 8) 10=3+3+4=(0011)2+(0011)2+(0100)2.

31


32/39

Trong 8 cch ny, ch c duy nht mt cch trong tt c cc tng ,

l chn: 10=1+4+5=(0001)i ia b c+ + i

i

0,2,3,4i = 2+(0100)2+(0101)2.

Tr chi ch th v khi t nht mt trong hai ngi chi khng bit ton (khng bit suy

lun nh trn), ni cch khc, bit ton s bo m bit chc thng hay chc thua. Nu c

hai ngi chi u bit thut ton nh trn th tr chi mt hng th, v ch cn tnhcc tng l bit ai s thng.i ia b c+ +

Bi tp Hy chn chin lc tt nht (thng nhanh nht hc thua lu nht) trong cc trchi n dim vi s dim , , trong cc ng dim nh sau:a b c

1) , , ; 2) ,15a = 12b = 10c = 11a = 13b = , 17c = .

Bi 37 ( d tuyn V ch Quc t, 1999)

Mt nh sinh vt hc quan st mt con thch sng ang bt rui v n ngh ngi sau mi

ln bt c mt con rui. Nh sinh vt hc ny nhn thy rng:

(i) Con rui u tin b bt sau thi gian ngh mt pht;(ii) Thi gian ngh trc khi bt con rui th bng thi gian ngh trc khi bt con

rui th m v km mt pht so vi thi gian ngh trc khi bt con rui th ;

2m

2 1m +

(iii) Khi thch sng ht ngh, n bt rui ngay lp tc.

Hi:

a) C bao nhiu con rui b bt trc thi gian ngh ln u tin l 9 pht?

b) Sau bao nhiu pht th thch sng bt c con rui th 98?

c) C bao nhiu con rui b thch sng bt sau 1999 pht tri qua?

Bi 38 (K thi ma ng Bungaria, 2001) Ivan v Peter thay nhau vit cc ch s 0 hoc

1 (mi ln mt ch s) cho n khi mi ngi vit c 2001 ch s. Nh vy, ta snhn c mt dy gm 4002 ch s 0 hoc 1. Coi y l biu din nh phn ca mt s.

Peter l ngi thng cuc nu s nhn c khng vit c di dng tng ca hai s

chnh phng. Chng minh rng Peter (i sau) c chin lc m bo anh ta thng cuc.

3 Tr chi m t bi hng lc

Tr chi m t bi hng lc m phng kh tt thc t. Trong tr chi ny hai ngi

(hoc nhiu ngi) tham gia thng chuyn ngvi vn tc khc nhau. Mt lp tr chi

m t bi hng lc l tr chi ui bt, gm mt (nhiu) ngi ui v mt (nhiu)

ngi chy. Tiu chun kt thc tr chi l ngi ui btc (khng bt c) ngichy sau thi gian hu hn. Trong tr chi hai ngi, ngi ui thng phi c li th

hn ngi chy (th d, tc ) th mi kt thc tr chi c. Trong tr chi nhiu

ngi ui mt ngi, mi ngi ui c th km hn (th d, v tc ), nhng nhc

s hp tc, nn c th kt thc tr chi.

32


33/39

Trong thc t, hng lc thng c m t bi h phng trnh vi phn. Tuy nhin,

y chng ta ch xt cc chuyn ng lin tc n gin hoc cc hng lc ri rc.

Bi 39 (V ch Moscow ln th 33, 1970, lp 7, vng 2)

Trong mt cng vin c su ng i cng di men

theo hng cy h p. Bn ng i theo bn cnh, haing cn li dc theo hai ng trung bnh ca hnh

vung. Cu b Klia chy khi b m theo cc con ng

. Hi b v m c th bt c Klia khng nu cu ta

chy nhanh gp ba ln b m (trong sut cuc chi c ba

ngi u nhn thy nhau).

Gii bt c Klia, trc tin ng b phi v tr A

D

C

A I B

E F

v b m phi v tr B.

Nu Kolia trong on AB th hin nhin b bt. By ging b phi kim sot ngAB sao cho Klia khng th vt qua ng t A v ng ba B (Hnh trn). B mui theo

Klia v bt c cu ta khi dn cu ta n ch b kp gia ng b v b m. Ta s

lm r iu ny hn nh sau.

ng b (lc u v tr bt k trong cng vin) phi chuyn v v tr A, cn b m chuyn

v v tr B. Khng hn ch tng qut, c th coi Klia pha trn on DB.

B m bt u ui t v tr B. ng bng yn v quan st.

R rng Klia khng th chy vo on CA hoc DA, bi v ng b n ng ti im

A. Khi Kolia chy n im E v tip tc chy theo hng EF th ng b bt u chysong song cng chiu vi Klia trn on AB. Nu Klia quay li th ng b cng quay

li. Do vn tc ca Klia gp ba ln vn tc ca ng b nn khi Klia quay li n im

E th ng b cng quay li n im A v li ng ch. V vy Klia khng th

quay li on ED v i vo on DA c. Cu ta ch c th chy n F ri hoc i vo

on FA hoc i n B. Nu Klia chy t F n A (khi y ng bang v tr I) th ng

b quay li theo hng IA. Do vn tc ca Klia gp ba ln vn tc ca ng b nn Klia

va n im A th ng b cng quay li n im A v Klia b bt. Cng v vn tc ca

Klia gp ba ln vn tc ca ng b nn khi Klia chy t F n B th ng b chy t I

n B v Klia b bt ti B. Klia khng th quay li mi v b m dn ui saulng. Kt lun l Klia b bt trong mi trng hp. Cch tt nht ca cu ta l i chm

(bng vn tc ca b m), khi y cu ta lu b bt nht.

Bi 40 (V ch Moscow ln th 33, 1970, lp 8, vng 2) Mt con kh trong vn bch

th nh b sng chung v hai ngi bo vui bt n. C ngi bo v v con khu

cng chy theo cc con ng nh. C tt c 6 con ng thng: 3 ng di to thnh

33


34/39

ba cnh ca tam gic u, ba cnh ngn ni cc im gia cc cnh. Ti mi thi im

ngi v khu nhn thy nhau. Hi hai ngi bo v c bt c con kh khng? Bit

rng kh chy nhanh gp ba ln nhng ngi bo v (u tin nhng ngi bo vng

nh tam gic, cn khng mt nh khc)?

Gii bt c kh, nhng ngi bo v phi tun theochin lc sau y. u tin h phi chim im A v

im B . Nu con kh nm pha trn on th b bt

ngay. V vy c th coi con kh nm pha di on

AB

B .

By gimt ngi i dc theo cnh , cn ngi th

hai kim sot on cho con kh khng th vt qua

AC

AB

A hoc B c. Tip theo d dng bt li c con kh.

Bi 41a (V ch Moscow ln th 33, 1970, lp 9, vng 2) Ba con nhn v mt con rui

b theo cc cnh ca mt lp phng trong sut. Vn tc ln nht ca con rui ln hn

vn tc ln nht ca nhn gp ba ln. u tin cc con nhn nm trn mt inh ca lp

phng, cn con rui nm nh i din. Hi cc con nhn c th c bt c rui

khng (nhn v rui lun lun nhn thy nhau)?

Gii Mt con nhn phi kim sot cnh B , conkhc kim sot cnh sao cho con ruikhng th vt qua cc nh

CC

, , ,A B C C . Trn

hnh lp phng khng cn ng i ng no,

do rui khng th thot khi con nhn th ba.

Bi 41b (V ch Moscow ln th 33, 1970, lp 10, vng 2) Xt bi ton trn vi hai con

nhn, nhng vn tc ti a ca rui v nhn l nh nhau.

Tr li: Nhn c th bt c rui.

Bi 42 (V ch Lin X ln th 8, 1974, lp 8) Hai ngi chi tr mo ui chuttrn mt bn c . Ngi th nht (ng vai chut) c mt qun cam mu en

(mt con chut), ngi th hai (ng vai mo) c vi qun am trng (vi con mo). Tt

c cc qun chuyn ng nh nhau: mi ln i mt sang tri, sang phi, ln trn, xung

di. Nu chut chy ra n mp bn c, th n bc sau n nhy ra khi bn c. Nu

mt con mo nhy c vo chut ang ng, th mo n tht chut.

8 8

Chut i bc u tin. Mc ch ca chut l nhy ra khi bn c. Bc tip theo l

bc i ca mo: tt c cc con mo u chuyn ng, c th theo cc hng khc nhau).

Mc ch ca mo l bt c chut.

34


35/39

1) Gi s c hai con mo. Chut ng mt no bn trong bn c (khng

ngoi bin). Hi c tht hai con mo ti v tr no trn bin bn c, chng c th

bt c chut khng?

2) Gi s c ba con mo, nhng mi bc chut c th nhy hai lin. Hy chng minh

rng chut c th chy thot t mi v tr ban u.Gii 1) C th. Cn t hai con mo vo v tr sao cho chut nm trn ng thng ni

hai con mo song song vi mt ng cho ca bn c. Bc tip theo, d chut i th

no, th hai con mo cng ci sao cho chut vn nm gia chng trn ng thng song

song vi ng cho.

2) K qua chut ang ng hai ng thng song song vi cc ng cho v loi b

cc m cc ng thng ny i qua. V ch c ba con mo nn mt trong bn min ca

bn ckhng c mo. V chut phi i trong min hng ra ngoi bin. R rng mo

khng th bt c chut, v sau mi bc i ca mo vn cn cch chut mt trng

trong min t do ca chut.

Bi 43 (V ch Lin X ln th 3, 1969, lp 8) Gia cnh ng hnh vung c mt ch

co, cn bn ch ch sn th ng bn gc hnh vung. Co c th chy trn ton b

cnh ng, cn ch ch c th chy theo cc cnh ca hnh vung. Bit rng, co c th

cn cht mt con ch, nhng hai con ch c th cn cht co. Tc ti a ca mi con

ch nhanh gp 1,5 ln tc ti a ca co. Chng minh rng cc con ch c th gi

khng cho con co ra khi hnh vung.

Bi 44 (Tr chi cnh st bt cp, [1]) Gi sng ph ca mt th c dng bn

cv tn. Mt xe cnh st tc trc ti mt giao l (ng ba, ng t,...). C mt xe ca kcp ti mt v tr khc trong thnh ph. Xe cnh st c tc gp i xe ca k cp,

nhng phi tun th cc qui tc giao thng: khng c php ngot tri hoc quay ngc

(khng c thc hin cc php quay hnh ch U). V vy, ti mi giao l, xe cnh st

ch c th ngot phi hoc i thng. Ngc li, xe k cp c th ngot theo mi hng

i ti mi giao l.

Xe cnh st thc hin bc u tin. Cc bc chuyn ng ging nh ca con xe

trong c tng: c th tin thng, ngot phi, nhng khng c php i theo ng

cho. Mi bc xe cnh st i c hai (bn c), cn xe k cp i c mt . Nu

sau mt s bc, xe cnh st vo trung tm, cn xe k cp vo mt trong tm ln cn, th k cp b bt v tr chi kt thc.

Qui tc chi c m t hnh nh trn Hnh 1.

Xe cnh st c nh du trn gch cho vi mi tn, xe k cp khng c mi tn.

Bc i th nht xe cnh st c th chuyn n v tr A hoc B. Bc th hai c th

chuyn t A sang v tr C hoc D, t B c th chuyn sang E hoc F.

35


36/39

Bc i th nht ca xe k cp (sau bc th nht ca xe cnh st) c th l chuyn

sang mt trong cc v tr X, Y, Z, W.

Nu cnh st v tr F, cn k cp mt trong 8 lin k vi F, th tr chi kt thc.

Hnh 1 Hnh 2

Bi ton t ra l: Phi t cc xe cnh st v tr no (to mt mng li kim sot ti

u), c th kim sot c thnh ph (khng cho xe k cp trn thot?

Nh ton hc Isac (chuyn gia v tr chi vi phn) ch ra rng, c th tnh c min

khng i xng, gm 69 quanh v tr ca xe cnh st, m xe k cp trong bt k 69

u s b bt (Hnh 2). iu ngc li cng ng, ngha l, nu xe k cp ngoi

min gm 69 y, th k cp c th chy thot (vi iu kin bn cl v hn).

gii quyt bi ton ny, trc tin ta c th lm thc nghim: v mt bn ckch

thc vi xe cnh st gia. C th chn mt s v tr ca xe k cp v bt ucuc chi. Qua mt s thc nghim ny, ta c th tm ra cc v tr t xe k cp, t

c th chy c ra bin ca bn c.

50 50

Sau khi chi nhiu s vn, ta c th vc min bo m bt c xe k cp. Tuy

nhin, cng c th xy dng mt phng php n gin hn, cho php khng ch vc

min kim sot, m cn ch ra c, sau bao nhiu bc cnh st bt c k cp.

Di y ta xt bi ton n gin hn. Gi s xe cnh st c v tr ban u nh trong

Hnh 1, cn xe k cp mt trong cc v tr c nh du . K cp c th thot

him t tt c cc v tr, tr mt v tr (xem Hnh 2). V tr ny ny nm ngay st nch vtr xe cnh st: hai xe cch nhau ch mt bc nhy ca con nga! Tuy nhin, cng

phi cn 9 bc xe cnh st mi bt c xe k cp ( c nh du chm).

Trn Hnh 2 ch ra s bc cn thit tng ng vi v tr ca xe k cp xe cnh st cth bt c xe k cp. Cc v tr , tr mt v tr ( c nh du chm) nm ngoi

khu vc ny, v vy k cp c th chy thot.

36


37/39

5 Mt s bi ton khc

Bi 45 (V ch Moscow ln th 33, 1970, lp 7, vng b sung) Trong tr chi min

thng thng, cc qun min c t sao cho hiu gia cc s trn cc qun cnh

nhau bng 0. Hi c tht tt c 28 qun min vo mt vng khp kn cho tt c

cc hiu bng ?1

Gii c tht c cc qun min theo yu cu ca u bi, cn phi lun lun

t mt s chn cnh hai s l, Nhng trn qun min c 32 s chn v v ch c 24 s

l. V vy bi ton khng gii c.

Bi 46 (V ch Moscow ln th 34, 1971, lp 10, vng 2)K ton v ngi chi chitr chi sau y.K ton gi mt s c 1000 ch s . Bit s, ngi chi gi mt

s1A

1B no . Sau k ton xem xt v quyt nh tr s ln cho s nh hoc cng

chng. c s v bo cho ngi chi.Ngi chi li bo cho kton s2A 2B no .

Tr chi tip tc cho ti khi nu kton nhn c mt trong cc s 1, 10, 100, 1000,Chng minh rng ngi chi lun c th kt thc tr chi sau khi thng bo cho kton

khng qu 20 s.

Bi 47 (Winconsin Mathematics Science and Engineering Talent Search- Thi chn ti

nng ca i hc Winconsin, 2000-2001) Mt chic my k diu lm vic nh sau: nu

anh b vo my 1 ng xu (penny), n cho nhy ra mt ng ho (dime); nu bn b vo

1 ng ho, s nhy ra mt ng xu v 1 ng 25 xu (a quater), cn nu bn b vo 1

ng 25 xu, n s nhy ra 2 ng ho.

Bt u bng mt ng ho, ti chi vi my mt lc. Khi m tin, ti thy mnh cng 100 ng xu cng vi mt sng tin khc. Hi s tin b nht m ti c th c

vo lc ny l bao nhiu? (1 dollar = 10 dime = 100 penny).

Gii Gi s trong sut thi gian chi, ti b vo my tt c p ng xu (penny),

ng ho (dime), ng 25 xu (quater). Sau khi chi, ti c ng xu,

d

q P D ng ho v

ng 25 xu. Theo bi, .Q 100P=

Mi ln b vo my 1 ng ho, sng xu ca ti tng thm 1, v mi ln b vo my 1

ng xu, sng xu ca ti gim bt 1. Theo u bi, khi b vo my 1 ng 25 xu

(quater), sng xu (penny) ca ti khng thm khng bt. Tng t, khi b vo my 1

ng xu (penny), sng 25 xu (quater) khng thm khng bt.V ban u ti khng c ng xu no (ch c 1 ng ho) nn P d p= (1).

C mi ln b vo my mt ng ho, th s ng 25 xu (quater) tng thm 1 nn(2).Q d q=

rng, c mi ln b vo my mt ng xu, th sng ho tng thm 1; c mi ln

b vo my mt ng ho, th sng ho gim bt 1 v c mi ln b vo my mt

37


38/39

ng 25 xu, th sng ho tng thm 2. Ti khi u bng ng 1 ho, vy sngho ti c sau khi chi l (3).1 2D p d = + + q

T cc phng trnh (1), (2), (3) ta c:2 1 1 1D Q d p d p+ = + + + = +P.

Gi l tng s tin (tnh ra xu) ti c sau khi chi. Khi y10 25 10( 2 ) 10( 1) 11 10 1110M P D Q P D Q P P P = + + + + + + = + = .

Ni cch khc, ti phi c t nht 1110 xu

Ta c th thy kh nng ny l c th xy ra theo cch chi sau y (gch di biu th ta

t ng xu vo my ra s tin mi).1 ng ho 1 ng xu+1 ng 25 xu (tng cng 26 xu) 1 ng 1 ho+ 1 ng 1 ho

(tng cng 21 xu) 1 ng xu+ 1 ng 25 xu (tng cng 37 xu) 1 ng 1 ho+ 1 ng

1 ho (tng cng 32 xu)...

Nh vy, c tip tc b vo 1 ng ho (c 1 ng xu v 1 ng 25 xu, tc l li 16

xu) ri li bng 25 xu (c 2 ng 1 ho, tc l l 5 xu). Tng hai ln nh vy, s

li 11 xu. Do c b 100 ln ng 1 ho v 100 ln ng 25 xu, ta sc 1110 xu, tr

i ng ho (lm vn), cn li li rng l 1100 xu=11 dollar.

Cu hi: Gi s mi ln chi mt 1 pht. Vi 200 ln chi (bng s thi gian trn), hy

tm chin lc c li ln nht.

Bi 48 (V ch Quc gia Belorus, 2000, vng 4) C( 1)

2

n n +ng tin c t kht

bn nhau trong mt tam gic u. Mi cnh c ng ng tin. Lc u tt cu

c t nga, tr mt ng. Mi mt bc chuyn l mt ln chn hai ng tin knhau c tm A v B, ri lt ngc tt c cc ng tin nm trn ng thng AB. Hy

xc nh tt c cc trng thi ban u, sao cho t trng thi ban u , ta c th thc

hin mt s hu hn bc chuyn nhm lm cho tt c mi ng tin u lt p xung.

n

Bi 49 Bn ch X v nm ch c vit trn mt vng trn theo th t bt k. Nu

hai ch lin tip l nh nhau th ta t mt ch

O

X vo gia chng. Nu hai k hiu lintip l khc nhau th ta t mt ch vo gia chng. Bi cc ch vO O X c. Lin

tc lm nh vy, hi sau mt s bc c th c c 9 ch khng?O

Bi 50 (V ch Lin X ln th 18, 1984, lp 8, vng 2) Thy gio vit ln bng mt athc bc hai . Sau ln lt mi hc sinh tng hoc gim mt n v hoc

l h s ca

2 10 20x x+ +

x , hoc l h s t do. Cui cng ta c tam thc bc hai .

Hi c thi im no m trn bng xut hin mt tam thc bc hai vi cc nghim

nguyn khng?

2 20 10x x+ +

38


39/39

Ti liu sdng

[1] Martin Gadner, New Mathematical Diversions from Scientific American, Nh xut

bn Mir, Moscow, 1971 (bn ting Nga).

[2] Vnh Ha, Mt s kin thc c s v graph hu hn, Nh xut bn Gio dc,

2006.[3] Kin Y. Li, Mathematical Games I, II,Mathematical Excalibur, Vol 7, 2002, No 2 & 5.

[4] T Duy Phng, on Hu Dng, Gii thiu mt s tr chi ton hc (bn tho,

2011, 126 trang).

[5] ng Huy Run, Tr chi v th, Nh xut bn Khoa hc kthut H Ni, 2005.

[6] ng Huy Run, Tr chi chn nh th v ng dng, K yu Hi tho Cc

chuyn chuyn ton bi dng hc sinh gii Trung hc ph thng (Nguyn Vn Mu

ch bin), Nam nh, 26-28 thng 11, 2010.

[7] Cc tp ch Kvant, Mathematical Excalibur, Krux; cc sch thi Olympic Ton.

Documents

Tro Choi Toan Hoc