Trang 1/14

Trường THPT Phan Châu Trinh NỘI DUNG ÔN TẬP TUẦN 20,21 – NĂM HỌC 2019-2020

Tổ Toán MÔN: TOÁN LỚP 11

PHẦN ĐẠI SỐ

Tiết 48, 49. CẤP SỐ NHÂN-LUYỆN TẬP

(un) là cấp số nhân n, un+1 = un.q (q là hằng số cho trước và được gọi là công bội).

* Định lý về ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân: 2

k k 1 k-1u u .u (k 2)

* Số hạng tổng quát của cấp số nhân: un = u1.q n–1

* Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

Với 1q : n

n 1

1 - qS u . .

1 - q Với 1q :

n 1S n.u

C.Ý: CSN (un) là dsố tăng nếu q > 1; là dsố giảm nếu 0 < q < 1

BÀI TẬP

1) Viết 6 số xen giữa hai số –2 và 256 để được một CSN có 8 SH. Tính tổng tất cả các số hạng của cấp

số nhân này.

2) Một CSC và một CSN đều là các DS tăng. Các SH thứ nhất đều bằng 3, các SH thứ hai đều bằng

nhau. Tỉ số giữa SH thứ ba của cấp số nhân và cấp số cộng bằng 9/5. Tìm hai cấp số đó.

3) Ba số khác nhau có tổng bằng 114 có thể xem là 3 SH liên tiếp của một CSN hoặc là SH thứ nhất,

SH thứ tư và thứ 25 của một CSC. Hãy tìm các số đó.

4) Bốn số lập thành một CSC, lần lượt trừ mỗi số cho 2, 6, 7, 2 ta được một CSN. Tìm các số đó.

5) Tìm SH đầu và công bội của CSN nu , biết:

4 2 5 3 1 3 5 1 7

3 5 2 6 1 2 3 1 2 3

/ 72 ; 144 / 65; 325

/ 90; 240 / 14; . . 64

a u u u u b u u u u u

c u u u u d u u u u u u

6) Tìm SH đầu của một CSN biết công bội là 3, tổng các SH là 728 và SH cuối là 486.

7) Tìm công bội của một CSN biết SH đầu là 7, SH cuối là 448 và tổng là 889.

8) CMR: nếu ba số 2 1 2

; ;y x y y z

lập thành một CSC thì ba số x, y, z lập thành một CSN.

Tiết 50. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ- Mục I,II,II

1) Dãy số có giới hạn 0

ĐN: Dãy số nu có giới hạn 0 khi n dần ra vô cực nếu nu có thể nhỏ hơn một số dƣơng bất kỳ, kể từ

một SH nào đó trở đi

Ký hiệu: lim 0 lim 0 0n n nu hay u hay u

Nhận xét:

+ 0 0n nu u + ,

lim 0lim 0

n n

n

n

u v nu

v

Một vài giới hạn đặc biệt:

3

1 1 1 11)lim 0 2)lim 0 3)lim 0 4)lim 0 * 5)lim 0 | | 1n

kk N q q

n nn n

1/ CMR : CÁC DÃY SỐ SAU CÓ GIỚI HẠN 0:

Trang 2/14

2 sin1 sin 1 os 5/ / /5 2 4 1,001

11 1/ / /

2 !3 1

n

n n n n

n

n n nn

nn c n

a u b u c un n

d u e u f un n n

2/ CMR : 2

2

2

sin 1 os2/ lim 1 0 / lim 0

2 1

nn c n

a n n bn

3/ Cho DS nu có SHTQ 3

n n

nu

a) CMR: 1 2, 1

3

n

n

un

u

b. Dùng PPQN , hãy CM 2

0 , 13

n

nu

b) CMR: lim 0nu

Tiết 51 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Mục IV

ĐN: Dãy số có giới hạn là một số thực được gọi là DS có giới hạn hữu hạn

Tính chất:

1) Giả sử lim nu L , khi đó:

+ 33lim ;limn nu L u L

+ Nếu 0nu n thì L ≥ 0 và lim nu L

2) lim nu L , lim nv M và c là hằng số, khi đó:

lim lim

lim . . lim

lim( . ) .

n n n n

nn n

n

n

u v L M u v L M

u Lu v L M

v M

c u c M

3) Cấp số nhân 2

1 1 1 1; ; ;.....; ....nu u q u q u q có công bội q với |q| <1 đgl CSN lùi vô hạn. Tổng tất cả các SH

của CSN đó là : 2 11 1 1 1..... ....

1

n uS u u q u q u q

q

4) Ứng dụng: Số thập phân vô hạn tuần hoàn được biểu diễn dưới dạng phân số như sau:

2 3

7

7 7 7 7 16101,7777.... 1 .... 1 1110 9 910 10

110

BÀI TẬP 1) Tính các giới hạn:

2 2 3

2 4 2

22

1

1 2 4 2 4 11/ / lim / lim 2 / lim

2 3 2 1 2 1 3 4 32

2 3 1 3/ lim / lim 4 3 2

2 3 3 4

n n

n n

n n n n na b c

n n n nn n

d e n n n

2) Cho hai số dương a và b và dãy số (un) với n n

n n n

a bu

a b. Tìm lim un trong các trường hợp:

a) a = b b) a < b c) a > b.

Trang 3/14

3) Cho DS (un) xác định bởi 1 1

14; 2, 1

5n nu u u n

a) CMR: DS (vn) xác định bởi 5

2n nv u là một CSN

b) Tìm lim un

c) Tính tổng tất cả các SH của DS (vn).

ĐS: a) 1

1

5n nv v

b)

15 3 1 5

2 2 5 2

n

n nu v

5

2nlim u

c) 15

8ns

4) Người ta xếp các HV kề nhau như HV. Hình vuông đầu tiên có cạnh là 10 cm, HV kế tiếp có cạnh

bằng một nửa độ dài cạnh của HV trước nó. Hỏi trên tia Ax cần có một đoạn thẳng dài BN centimet

để xếp được tất cả các HV như thế?

A x

Tiết 52. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ-LUYỆN TẬP

( Dãy số có giới hạn vô cực)

ĐN: Dãy số có giới hạn vô cực chia thành hai khả năng:

+ lim nu (hay nu ) nếu với mỗi số dương tùy ý, mọi SH của DS đó đều lớn hơn số dương đó,

kể từ một SH nào đó trở đi

+ lim nu (hay nu ) nếu với mỗi số âm tùy ý, mọi SH của DS đó đều nhỏ hơn số âm đó, kể từ

một SH nào đó trở đi

Nhận xét: 1

lim lim 0n

n

uu

MỘT VÀI QUI TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC

QUY TẮC 1

lim nu lim nv lim .n nu v

+∞ +∞ +∞

+∞ –∞ –∞

–∞ +∞ +∞

–∞ –∞ –∞

QUY TẮC 2: lim ;lim 0n nu v L

lim nu Dấu của L lim .n nu v

+∞ + +∞

+∞ – –∞

–∞ + +∞

–∞ – –∞

Trang 4/14

QUY TẮC 3: lim 0;lim 0n nu L v và 0 0n nv hayv

Dấu của L Dấu của nv lim n

n

u

v

+ + +∞

+ – –∞

– + +∞

– – –∞

TÍNH CÁC GIỚI HẠN SAU:

4 21/ / lim 50 100 / lim 9 2a n n b n n

3 2 3/ lim 7c n n

4 2

3 23

2 1 2 32 72 / / lim / lim

3 9 7 5

n nn na b

n n n

2 2 1/ lim 2 3 1 / lim

1c n n d

n n

1 3 113 / / lim 3.2 5 10 / lim

1 7.2

nn n

na b

Bài tập luyện tập

A/ TÍNH CÁC GIỚI HẠN: 2 4

3 2 2 4 2

4 5 3 2 2 3 2 31) / lim 0 / lim / lim 2 1 0

3 7 2 3 2 2

n n n n na b c n

n n n n n n

2

2 1 2 1 12) / lim 8 / lim

2 3 2 3

n na n n n b

n

3 233 2 1 1/ lim

3 2 3

n n nc

n

10 1

2 3 2 3. 11 3 23) / lim / lim 0 / lim

3 1 6.5 2 12 3

n nn n n n

n n nna b c

B/ TÍNH CÁC GIỚI HẠN:

1 1 11 ...

1 2 4 8 ... 22 4 21/ lim 2 / lim 0

2 5 21 1 11 ...

4 16 4

n

n

n n n

2

1 1 3 5 ... 2 3 13 / lim

3 2 4 3

n

n n

C/ Tổng của một CSN lùi vô hạn bằng 6, tổng hai SH đầu tiên là 9/2. Tìm SH đầu và công bội?

ĐS: 3; 1/2 và 9; -1/2

Tiết 53. GIỚI HẠN DÃY SỐ-LUYỆN TẬP

VẮN TĂC LÍ THUYẾT

Định nghĩa: 1: giới hạn 0..

Viết :

lim 0nnu hay 0

nu khi n

Trang 5/14

Định nghĩa: 2: giới hạn a..

Viết :

limnnu a hay

nu a khi n

1. Một số giới hạn đặc biệt

1

lim 0n

; 1

lim 0kn với *k

Nếu 1q thì lim 0n

nq

Nếu nu c (với c là hằng số) thì lim lim

nn nu c c

Chú ý: Ta viết limnu a thay cho cách viết lim

nnu a

.

2. Một số định lí về giới hạn

+ Nếu dãy số (un) thỏa n nu v kể từ số hạng nào đó trở đi và lim 0

nv thì lim 0

nu .

+ Cho lim , limn nu a v b . Ta có:

lim( )n nu v a b lim( )

n nu v a b

lim( . ) .n nu v a b lim ( 0)n

n

u ab

v b

Nếu 0 nu n thì lim

nu a

Ví dụ 1: tìm

2

( 2)(2 1)im

( 2)

n nl

n

Bài giải : chia tử và mẫu cho n2

Ta có

2

2 1(1 )(2 )

( 2)(2 1)lim lim 2

2( 2)(1 )

n n n nn

n

Ví dụ 2: tìm

2

1lim

1

n

n n n

Ta có :

2

2

11

1 1lim lim

21 111 1

n n

n n n

n n

3. Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN ( )nu có công bội q thỏa 1q . Khi đó tổng

1 2... ....

nS u u u gọi là tổng vô hạn của CSN và

1 1(1 )

lim lim1 1

n

n

u q uS S

q q

.

Ví dụ : dãy 1 1 1 1

, , ,..., ...2 4 8 2n

với 1

2q là cấp số nhân lùi vô hạn

Khi đó

11 1 1 1 2... ... 1

12 4 8 21

2

n

Ví dụ: biễu diễn 1,32323232…..(32) dạng phân số

Trang 6/14

Bài giải : 1,32323232…..(32) =

2 4

3232 32 32 1311001 0.32 0.0032 ... 1 ... .. 1 1

1 99 9910 101

100

Tự luyện (bài 3, 5 trang 121-122 sgk)

4. Luyện tập

Bài1: Tìm

2

2

2 3 1lim

3 2

n n

n n

Bài 2: Tìm

2

2

2lim

3 1

n n

n n :

Bài 3: Tìm

4 92

17

2 1 2lim

1

n n

n

Bài 4: Tìm

1 1

3.2 3lim

2 3

n n

n n

Bài 5: Tìm: 2lim 6n n n

Bài 6: Tìm:

2

1 3 5 ... (2 1)lim

2 1

n n

n

Bài 7: Cho các số thực a,b thỏa 1; 1a b . Tìm giới hạn2

2

1 ...lim

1 ...

n

n

a a aI

b b b

.

PHẦN HÌNH HỌC

Tiết 25 : PHÉP CHIẾU SONG SONG

HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN

A.LÝ THUYẾT:

1/Phép chiếu song song:

Trong không gian, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d cắt (P). Với mỗi điểm M trong không

gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với d sẽ cắt (P) tại điểm M’. Phép đặt tương ứng mỗi

điểm M trong không gian với điểm M’ của mặt phẳng (P) như trên gọi là phép chiếu song song lên mặt

phẳng (P) theo phương d.

+ Mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng chiếu, đường thẳng d gọi là phương chiếu, điểm M’ gọi là

hình chiếu song song (hoặc ảnh) của điểm M’ qua phép chiếu song song.

+ Cho hình (H). Tập hợp (H’) gồm hình chiếu song song của tất cả các điểm thuộc (H) gọi là hình

chiếu song song (hoặc ảnh) của hình (H) qua phép chiếu nói trên.

2/Tính chất:

Chú ý: Trong các tính chất dưới đây của phép chiếu song song theo phuơng d, ta chỉ xét hình

chiếu song song của các đoạn thẳng hoặc đường thẳng không song song và không trùng với d.

a. Phép chiếu song song biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi

thứ tự 3 điểm đó.

b. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng

thành đoạn thẳng.

c. Phép chiếu song song biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳng song song hoặc trùng

nhau.

d. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của 2 đoạn thẳng nằm trên 2 đường thẳng

song song hoặc cùng nằm trên 1 đường thẳng.

3/Hình biểu diễn của 1 hình không gian:

Trang 7/14

a. Định nghĩa: Hình biểu diến của 1 hình (H) trong không gian là hình chiếu song song của hình (H)

trên 1 mặt phẳng hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

b. Qui tắc vẽ hình biểu diễn: Nếu trên hình (H) có 2 đoạn thẳng nằm trên 2 đường thẳng song song

(hoặc trùng nhau) thì chúng chẳng những được biểu diễn bởi 2 đoạn thẳng nằm trên 2 đường

thẳng song song (hoặc trùng nhau) mà tỉ số của 2 đoạn thẳng này còn phải bằng tỉ số của 2 đoạn

thẳng tương ứng trên hình (H).

c. Hình biểu diễn của 1 số hình không gian:

* Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của 1 tam giác tuỳ ý cho trước ( có thể là

tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông…)

* Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của 1 hình bình hành tuỳ ý cho

trước( có thể là hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông…)

* Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của 1 hình thang tuỳ ý cho trước, miễn

là tỉ số độ dài 2 đáy của hình biểu diễn bằng tỉ số độ dài 2 đáy của hình đã cho.

* Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn hình tròn.

B. BÀI TẬP:

I.TỰ LUẬN :

Bài 1: Hãy chọn phép chiếu song song của 2 đường thẳng chéo nhau là 2 đường thẳng song song ?

HD:

+ Vì a, b chéo nhau nên có

duy nhất 1 cặp mặt phẳng (P),

(Q) sao cho a (P), b (Q),

(P) //(Q).

+ Gọi (R)là mặt phẳng cắt (P),

(Q) theo 2 giao tuyến là a’ và b’.

Vì (P) //(Q) nên a’ // b’.

+ Gọi d là 1 đường thẳng nằm

trong (P) nhưng không song song

với a, b và cắt (R).

Khi đó qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (R) theo phương d, hai đường thẳng chéo nhau a và b có

hình chiếu là a’ và b’ song song với nhau.

Bài 2: Hãy chọn phép chiếu song song với phương chiếu và mặt phẳng chiếu thích hợp để hình chiếu

song song của 1 tứ diện cho trước là:

a. một hình bình hành

b. Một tam giác

HD:

a. + Giả sử A’B’C’D’ là hình

chiếu song song của 1 tứ diện

ABCD. Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của AB và CD.

+ Muốn cho A’B’C’D’ là

hình bình hành ta chỉ cần

chọn phương chiếu sao cho

hình chiếu của M, N

trùng nhau. Như vậy nếu

chọn phương chiếu d là

phương của đường thẳng MN và mặt phẳng chiếu (P) cắt d thì hình chiếu song song của tứ diện

ABCD là hình bình hành A’B’C’D’.

Tóm lại ta có thể chọn :

- Phương chiếu d là phương của 1 trong 3 đường thẳng đi qua trung điểm 2 cạnh đối diện của hình

tứ diện.

- Mặt phẳng chiếu (P) là mặt phẳng tuỳ ý cắt đường thẳng d.

b. Muốn có hình chiếu song song của 1 tứ diện là 1 tam giác ta chỉ cần chọn:

b d

b’

Q P

a

a’

R

A M

B

D

C N’

D’ B’

O A’

C’

Trang 8/14

- Phương chiếu d trùng với phương của cạnh tứ diện. Như vậy có 6 cách lựa chọn phương chiếu

khác nhau và khi đó ta sẽ có 2 đỉnh của tứ diện có chung 1 hình chiếu.

- Mặt phẳng chiếu (P) là mặt phẳng tuỳ ý cắt đường thẳng d.

Bài 3: Hãy vẽ các dạng hình biểu diễn có thể có đối với 1 hình tứ diện ABCD.

HD:

Giả sử A’B’C’D’ là hình biểu diễn của hình tứ diện ABCD, ta có các hình biểu diễn sau:

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

Có thể giải thích như sau:

+ Hình (1): ta nhìn thấy 2 mặt của tứ diện (ABC) và (ACD), mặt còn lại bị che khuất nên cạnh B’D’ vẽ

nét đứt.

+ Hình (2) : ta nhìn thấy 3 mặt của tứ diện là (ABC), (ACD), (ABD).

+ Hình (3): ta chỉ nhìn thấy 1 mặt (BCD), 3 mặt còn lại bị (BCD) che khuất .

+ Hình (4): là 1 tam giác khi phương chiếu trùng với phương của cạnh AB.

+ Hình (5): ta nhìn thấy 1 mặt (BCD) và phương chiếu song song với mặt phẳng (ABC)

+ Hình (6): ta nhìn thấy 2 mặt phẳng (ACD) và (ABD), phương chiếu song song với mặt phẳng (ABC).

Bài 4: Vẽ hình biểu diễn của 1 lục giác đều.

HD:

+ Xét hình lục giác đều ABCDEF

tâm O ta có:

. Tứ giác OABC là hình thoi

. Các điểm D, E, F lần lượt đối

xứng với A, B, C qua O.

+ Cách vẽ hình biểu diễn:

. Vẽ hình bình hành O’A’B’C’ biểu diễn hình thoi OABC.

. Lấy các điểm D’, E’, F’ lần lượt đối xứng với A’, B’, C’ qua O’

Ta được hình biểu diễn của hình lục giác đều ABCDEF là A’B’C’D’E’F’.

Bài 5: Cho 2 hình bình hành ABCD và BCEF nằm trong 2 mặt phẳng phân biệt.

a. Tìm điểm M trên đoạn DF và điểm N trên đoạn AC sao cho MN // BE.

b. Tính tỉ số MF

MD

HD:

a. Phân tích:

+ Giả sử đã tìm được

M DF, N AC: MN // BE.

A’

D’ C’

B’

D’

A’

B’

A’

D’ C’

B’

C’

A’=B’ B

’

C’ D’

B’

A’

C’ D’

A’

C’ D’

F

E

C

D

O

B A

E’ D’

C’

A’ B’

F’ O’

F

Trang 9/14

+ Xét phép chiếu song song

theo phương chiếu BE lên

mặt phẳng (ABCD). Khi đó

qua phép chiếu này, hình

chiếu của các điểm D, M, F

lần lượt là D, N, K. Vì D, M, F

thẳng hàng nên D, N, K cũng

thẳng hàng. Do đó: N = DK AC. Từ đó ta có cách dựng sau:

Cách dựng:

+ Dựng K là hình chiếu của F qua phép chiếu theo phương BE lên mặt phẳng (ABCD) suy ra BEFK là

hình bình hành.

+ Dựng N = DK AC

+ Trong mặt phẳng (DFK) kẻ MN // KF cắt DF tại M. Vậy M, N là các điểm cần tìm.

b.

+ Xét tam giác DFK có MN // FKNK

ND

MF

MD (1)

+ Ta có NAD 2

1

CK

AD

NK

NDNCK (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra 2

1

MF

MD

II.TRẮC NGHIỆM:

Bài 1: Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng chéo nhau a và b có hình chiếu là 2

đường thẳng a’ và b’. Mệnh đề nào sau đây đúng:

(A). a’ và b’ luôn cắt nhau (B). a’ và b’ có thể trùng nhau

(C). a’ và b’ không thể song song (D). a’ và b’ có thể cắt nhau hoặc song song với nhau.

Bài 2: Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D có hình chiếu song song lên mặt phẳng (P) lần lượt là 4

điểm A’, B’, C’, D’.Những khẳng định nào sau đây không xảy ra:

(A). A’, B’, C’, D’ là 4 đỉnh của 1 hình bình hành (B). D’ là trọng tâm của tam giác A’B’C’.

(C). D’ là trung điểm cạnh A’B’. (D). Hai điểm B’, C’ nằm giữa 2 điểm A’ và D’.

Bài 3: Mệnh đề nào sau đây đúng:

(A). Hình chiếu song song của 2 đường thẳng cắt nhau là 2 đường thẳng song song.

(B). Hình chiếu song song của 1 hình bình hành là 1 hình bình hành.

(C). Phép chiếu song song biến 1 tam giác thành 1 tam giác nếu mặt phẳng chứa tam giác không cùng

phương với phương chiếu.

(D). Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của 2 đoạn thẳng.

Đáp án (C)

HD: Dùng cách loại trừ 3 mệnh đề (A), (B), (D)

. (A) sai vì nếu a’, b’ là hình chiếu song song của a, b cắt nhau tại M thì điểm M’ là hình chiếu của M qua

phép chiếu song song phải thuộc a’ và b’ suy ra a’, b’ cắt nhau hoặc trùng nhau.

. (B) sai vì nếu phương chiếu song song với mặt phẳng chứa hình bình hành

. (D) sai vì nếu 2 đọan thẳng đó không nằm trên 1 đường thẳng hoặc 2 đường thẳng song song.

Vậy chỉ có (C) đúng.

Bài 4: Hình vẽ nào sau đây không phải hình biểu diễn của hình tứ diện ABCD

(A) (B) (C) (D)

M

E

B C K

A D

N

A

D

A

B C

D

A A

B C

D

B C D B

C

Trang 10/14

Bài 5: Hình vẽ nào sau đây không phải là hình biểu diễn của hình hộp?

(A). (B).

(C). (D).

Bài 6: Xét phép chiếu theo phương d lên mặt phẳng (P).AB // CF và AB = DF

Gọi A’, B’, C’, D’, E’, F’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D, E, F qua phép chiếu nói trên. Mệnh đề

nào sau đây đúng?

(A). 1''

''

BA

FD

AB

DF

B). CE

CD

EC

DC

''

''

(C).D’F’=A’B’

(D). Tất cả (A), (B), (C) đều đúng

Tiết 26 : ÔN TẬP CHƢƠNG II

A.LÝ THUYẾT:

I - ĐẠI CƢƠNG VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1. Điều kiện xác định mặt phẳng

Có bốn cách xác định trong một mặt phẳng:

Cách 1: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm , ,A B C không thẳng hàng của mặt

phẳng, kí hiệu .ABC

Cách 2: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng d và một điểm A không

thuộc ,d kí hiệu , .A d

Cách 3: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng ,a b cắt nhau, kí hiệu , .a b

Cách 4: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng ,a b song song, kí hiệu , .a b

2. Hình chóp và tứ diện

Định nghĩa: Cho đa giác 1 2... nA A A và cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các

đỉnh 1 2, , ..., nA A A ta được n miền đa giác 1 2 2 3 1, , ..., .n nSA A SA A SA A

Hình gồm n tam giác đó và đa giác 1 2 3... nA A A A được gọi là hình chóp 1 2 3. ... .nS A A A A

Trong đó:

B

A’ D’ B’ C’

C B D A

A’ D’

C’

B C

A D

D’

C’

C

A

B’

A’ D’ C’

B

C D

A

A’ B’

F

A

E’

C’ B

P

D E

C

d B

D’ F’

A’

Trang 11/14

Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp.

Đa giác 1 2... nA A A gọi là mặt đáy của hình chóp.

Các đoạn thẳng 1 2 2 3 1, , ..., n nA A A A A A gọi là các cạnh đáy

của hình chóp.

Các đoạn thẳng 1 2, , ..., nSA SA SA gọi là các cạnh bên của

hình chóp.

Các miền tam giác 1 2 2 3 1, , ..., n nSA A SA A SA A gọi là các

mặt bên của hình chóp.

Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là hình

chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…

Chú ý

a. Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện.

b. Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi là hình

tứ diện đều.

II - ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI ĐƢỜNG THẲNG

1. Định nghĩa

Trong phần vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian, ta biết rằng hai đường thẳng phân biệt

bất kì hoặc chéo nhau hoặc song song hoặc cắt nhau. Nếu hai đường thẳng phân biệt đồng phẳng và

không cắt nhau thì ta nói hai đường thẳng đó song song với nhau.

Định nghĩa:

Hai đường thẳng phân biệt ,a b trong không gian được gọi là song song với nhau, kí hiệu / /a b nếu

chúng đồng phẳng và không cắt nhau.

Định lí 2 ( Về giao tuyến của ba mặt phẳng):

Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng

quy hoặc đôi một song song với nhau.

Hệ quả:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng ( nếu có) cũng

song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Đến đây ta có thể bổ sung một phƣơng pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

Bước 1: Chỉ ra hai mặt phẳng , lần lượt chứa hai đường thẳng song song ,a b .

Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng

Bước 3: Khi đó / / / /Mx a b

III – ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

1. Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và mặt phẳng

.a P a P

a P A a cắt .P

, .a P A B a P

2. Điều kiện để một đƣờng thẳng song song với một mặt phẳng

(P)

A5

A6

A4A3

A2

A1

S

b

c

a

γ

β

α

b

c

a

γ

β

α

A

a

(P)

A

a

(P)

BA

(P)

a

Trang 12/14

Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng

P và song song với một đường thẳng nào đó trong P thì

a song song với .P

Tức là, a P thì nếu:

.a d P a P

3. Tính chất

Định lí 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng P

thì mọi mặt phẳng Q chứa a mà cắt P thì sẽ cắt theo một

giao tuyến song song với .a

Tức là, nếu

.

a Pa d

a Q Q P d

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào

đó trong mặt phẳng.

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một

đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với

đường thẳng đó.

Tức là:

.

P Q d

P a d a

Q a

Hệ quả 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng song song

với .b

IV - HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1. Vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng phân biệt

.P Q P Q

P Q a P cắt .Q

, .P Q a b P Q

2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Định lí 1: Nếu mặt phẳng P chứa hai đường thẳng ,a b cắt nhau và cùng song song với

mặt phẳng Q thì P song song .Q

Tức là:

,

.

,

a b P

a b I P Q

a P b Q

3. Tính chất

Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt

phẳng đó.

a

d

(P)

d

a(Q)

(P)

(Q)

(P)

d

a

(P)

(Q)

a

(Q)

(P)

(Q)

(P)

(P)

ba

(Q)

Trang 13/14

Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng Q thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng

P song song với .Q

Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một

mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng P và Q song song thì mặt

phẳng R đã cắt P thì phải cắt Q và các giao tuyến của

chúng song song.

Tức là:

.

P Q

a P R a b

b Q R

Định lí Ta – lét trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song

song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỷ

lệ.

Tức là:

1 1 1

2 2 2

; ;

; ;

P Q R

a P A a Q B a R C

b P A b Q B b P C

1 1 2 2

1 1 2 2

.A B A B

B C B C

4. Hình lăng trụ và hình hộp

Định nghĩa hình lăng trụ: Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song

song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai cạnh đáy đều song song với nhau.

Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.

a. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.

b. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.

Chú ý: Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

5. Hình chóp cụt

Định nghĩa: Cho hình chóp 1 2. ... .nS A A A Một mặt phẳng P

song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt các cạnh

1 2, , ..., nSA SA SA theo thứ tự tại 1 2, , ..., .nA A A Hình tạo bởi thiết

diện 1 2... nA A A và đáy 1 2... nA A A của hình chóp cùng với các mặt

bên 1 2 2 1 2 3 3 2 1 1, , ..., n nA A A A A A A A A A A A gọi là một hình chóp cụt.

Trong đó:

Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt,

còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.

B.BÀI TẬP :

I.TỰ LUẬN :

Bài 1: Cho tứ diện ABCD . Gọi , , ,I J K H lần lượt là trung điểm của các cạnh , ,C , .BA AC B AD Gọi

,E F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và tam giác ACD . Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng

( )DIJ và ( )DBC . Chứng minh : ( )d AEF

Bài 2 : Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành tâm .O Gọi ,M ,N P là ba

điểm trên các cạnh ,AD ,CD .SO Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNP .

Bài 3 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a. Gọi I, M lần lượt là trung điểm của BC, Mặt

b

a

(R)

(P)

(Q)

C2C1

B2B1

A2A1

ba

(R)

(P)

(Q)

A'5 A'4

A'3A'2

A'1

A5

A4

A3A2

A1

(P)

S

.BD

Trang 14/14

phẳng qua M và song song với mp(AID) . Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi và tính diện

tích thiết diện đó.

Bài 4: Cho hình chóp .S ABCD , M là một điểm trên cạnh AB , N là điểm trên cạnh CD . Mặt phẳng

chứa MN và song song với SA . Tìm :

a. Thiết diện của hình chóp cắt bởi ?

b. Điều kiện để thiết diện là hình thang .

2.TRẮC NGHIỆM :

Câu 1: Cho mặt phẳng và đường thẳng d . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu / /d thì trong tồn tại đường thẳng a sao cho / /a d .

B. Nếu / /d và đường thẳng b thì / /b d .

C. Nếu / / d c thì / /d .

D. Nếu d A và đường thẳng d thì d và d hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Câu 2: Cho hai đường thẳng a và b cùng song song với mp P . Khẳng định nào sau đây không sai?

A. / /a b .

B. a và b cắt nhau.

C. a và b chéo nhau.

D. Chưa đủ điều kiện để kết luận vị trí tương đối của a và b .

Câu 3: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đường thẳng a mp P và / /mp P đường thẳng / / .a

B. / / mp P Tồn tại đường thẳng ' : '/ / . mp P

C. Nếu đường thẳng song song với mp P và P cắt đường thẳng a thì cắt đường thẳng .a

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì 2 đường thẳng đó song song

nhau.

Câu 4: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song.

B. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

C. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.

D. Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau.

Câu 5 : Khẳng định nào sau đây Sai ?

A. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mặt

phẳng kia.

B. Nếu mặt phẳng P chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng Q thì P và Q

song song với nhau.

C. Nếu hai mặt phẳng P và (Q) song song nhau thì mặt phẳng R đã cắt P đều phải cắt Q và

các giao tuyến của chúng song song nhau.

D. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại.