Câu 1. L n I rút 2 lá bài trong b bài 52 lá đ trên bàn. L n II rút thêm 2 lá n aầ ộ ể ầ ữ

đ ể

trên bàn. Sau đó khoanh NN 2 lá. X là s lá c có trong 2 lá khoanh sauố ơ

cùng.

a/ Tìm phân ph i XS c a Xố ủ

b/ Tính XS trong 2 lá đó ch có 1 con c .ỉ ơ

Gi iả

Th c ch t rút 2 l n (2 lá, 2 lá) thì t ng đ ng v i rút 1 l n 4 lá.ự ấ ầ ươ ươ ớ ầ

G i Aọ j là bi n c trong 4 lá có j lá c . Aế ố ơ j = 0,1,2,3,4 j=0,1,2,3,4, h Aệ j là 1 h đ y đệ ầ ủ

ngoài.Tính P(Aj)

( )20825

6327

270725

82251452

439

013

0 ===C

CCAP , ( )

20825

9139

270725

118807452

339

113

1 ===C

CCAP ,

( )20825

4446

270725

57798452

239

213

2 ===C

CCAP , ( )

20825

858

270725

11154452

139

313

3 ===C

CCAP ,

( )20825

55

270725

715452

039

413

4 ===C

CCAP , ( )0AP + ( )1AP + ( )2AP + ( )3AP + ( )4AP =1

a/ Tìm phân ph i XS c a X= 0, 1, 2. Bây gi có 4 lá bài trên bàn, rút 2 trong 4 lá.ố ủ ờ

V i X= k= 0,ớ

( ) ( )

===

00

00 AXPAPXP + ( )

=

11

0A

XPAP + ( )

=

22

0A

XPAP + ( )

=

33

0A

XPAP +

( )

=

44

0A

XPAP

1024

24

0==

=

C

CA

XP , 2

1

6

3024

13

1===

=

C

CA

XP ,

6

1024

22

2==

=

C

CA

XP , 003

=

=

AXP , 00

4=

=

AXP

P(X = 0) = 0.3038 + 0.2194 + 0.0356 + 0 = 0.5588

V i X = k t ng quát,ớ ổ

Do ta xét trong 2 lá rút l n II có k lá c .ầ ơ

Ai (4 lá) = (4- i, i lá c ) ơ 44

24

C

CCAkXP

ki

ki

i

−−=

=

Suy ra

P(X=1) = 0 + 0.2194 + 0.1423 + 0.0206 + 0 = 0.3824

P(X=2) = 0 + 0.0356 + 0.0206 + 0.0206 + 0.0026 = 0.0588

P(X=3) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0= 0.0

P(X=4) = 0 + 0 + 0 +0 + 0 + 0= 0.0

Nh n xét: P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4)ậ

= 0.5588 + 0.3824 + 0.0588 + 0 + 0= 1

b/ Tính XS trong 2 lá đó ch có 1 lá c = P(X=1) = 0.3824.ỉ ơ

BÀI 3

G i Aọ i là bi n c l n I có i lá c , i = 0, 1 ,2 ế ố ầ ơ

P(A0)= 252

239

013

C

CC=

1326

741 P(A1)= 2

52

139

113

C

CC=

1326

507

P(A2)= 252

039

213

C

CC=

1326

78

G i B là bi n c l n II rút đ c lá c khi l n I rút 2 lá cọ ế ố ầ ượ ơ ầ ơ

P(2A

A)= 1

50

111

C

C=

50

11

G i A là bi n c rút 3 lá c ọ ế ố ơ

P(A) = P( 2A )P(2A

A) =

50

11

1326

78 • = 850

11

b/ B là bi n c rút l n II có 1 lá c v i không gian đ y đ Aế ố ầ ơ ớ ầ ủ i,i=0,1,2

P(B) = P( 0A )P(0A

B) + P( 1A )P(

1A

B) + P( 2A )P(

2A

B)

Trong đó P(0A

B) = 1

50

113

C

C =

50

13 P(

1A

B) = 1

50

112

C

C =

50

12

P(2A

B) = 1

50

111

C

C =

50

11

P(B)=50

13

1326

741 × + 50

12

1326

507 × + 50

11

1326

78 × = 4

1 = 0.25

c/ Ta tính XS đ y đ trongầ ủ

P(B

A0 ) = )(

)()(0

0

BP

A

BPAP

= 25.0

50

13

1326

741 × = 581.0

)( 1

B

AP =

25.050

12

1326

507 × = 0.367 052.0

25.050

11

1326

78

)( 2 =×

=B

AP

Kì v ng Mọ x = 413.0052.05367.02581.0)1( =×+×+×−

V y trong trò ch i tôi có l i.ậ ơ ợ

Bài 4: M t h p đ ng 5 chai thu c trong đó có 1 chai gi . ng i ta l n l t ki mộ ộ ự ố ả ườ ầ ượ ể

tra t ng chai cho t i khi phát hi n đ c chai thu c gi thì thôi( gi thi t cácừ ớ ệ ượ ố ả ả ế

chai ph i qua ki m tra m i xác đ nh đ c là thu c gi hay th t). L p lu t phânả ể ớ ị ượ ố ả ậ ậ ậ

ph i xác su t c a s chai đ c ki m tra.ố ấ ủ ố ượ ể

Bài gi i:ả

X 1 2 3 4 5PX 0.2 0.16 0.128 0.1024 0.4096

P[X=1] = 2,05

1 =

P[X=2] = P[ 21.AA ] = 0,8.0,2 = 0,16

P[X=3] = P[ 321 .. AAA ] =0,8.0,8.0,2 = 0,128

P[X=4] = P[ 4321 ... AAAA ] = 0,8.0,8.0,8.0,2 = 0,1024

P[X=5] = P[ 54321 .... AAAAA ] =0,8.0,8.0,8.0,8.0,2 = 0,4096

Câu 5: Ba ng i cùng làm bài thi. Xác su t làm đ c bài c a sinh viên A là 0,8;ườ ấ ượ ủ

c a sinh viên B là 0,7; c a sinh viên C là 0,6. Xác su t đ có 2 sinh viên làm đ củ ủ ấ ể ượ

bài.

Bài làm:

G i A, B, C l n l t là xác su t làm đ c bài c a 3 sinh viên A, B, C.ọ ầ ượ ấ ượ ủ

D là xác su t có 2 sinh viên làm đ c bài.ấ ượ

A=0,8; B=0,7; C=0,6.

Ta có:

)CB(AC)B(AC)BA(D ∩∩∪∩∩∪∩∩=

)(P)(P)(P)(PCBACBACBAD ∩∩∩∩∩∩

++=

Vì A, B, C đ c l p nên:ộ ậ

)(.P

)(.P

)(P

)(.P

)(.P

)(P

)(.P

)(.P

)(P

)(P

CBACBACBAD++=

= 0,2.0,7.0,6 + 0,8.0,3.0,6 + 0,8.0,7.0,4

= 0,451.

V y xác su t đ có 2 sinh viên làm đ c bài là : 0,451.ậ ấ ể ượ

Câu 6.

Chia ng u nhiên 9 h p s a (trong đó có 3 h p kém ph m ch t) thành 3 ph nẫ ộ ữ ộ ẩ ấ ầ

b ng nhau. Xác su t đ trong m i ph n đ u có 1 h p s a kém ch t l ng.ằ ấ ể ỗ ầ ề ộ ữ ấ ượ

Bài Gi iả

G i Aọ i là h p th i có đúng m t s n ph m x u:ộ ứ ộ ả ẩ ấ

C = A1∩A2∩A3 (v i i = 3)ớ

V y xác su t đ trong m i ph n đ u có m t s n ph m kém ch t l ng là:ậ ấ ể ỗ ầ ề ộ ả ẩ ấ ượ

P(C) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1∩A2) 2 1 2 16 3 4 2

3 39 6

. .1C C C C

C C= = 15.3.6.2 9

84.20 28= .

Bài 7:

M t trò ch i có xác su t th ng m i ván là 1/50. N u m tng i ch i 50 ván thìộ ơ ấ ắ ỗ ế ộ ườ ơ

xác su t đ ng i này tháng ít nh t m t ván. ấ ể ườ ấ ộ

Bài gi iả

Xác su t th ng m i ván: p ấ ắ ỗ 02.0501 ==

Ta có xác su t đ ng i y ch i 50 ván mà không th ng ván nào:ấ ể ườ ấ ơ ắ

Goi X là s l n thành công trong dãy phép th Becnuli: ố ầ ử )02.0,50(~ BX

364.098.002.0)0( 500050 ===⇒ CXP

⇒ Xác su t đ ng i ch i 50 ván thì th ng ít nh t m t ván là:ấ ể ườ ơ ắ ấ ộ

P = 1 – 0.364 = 0.6358

Câu 8. M t phân x ng có 40 n công nhân và 20 nam công nhân. T l t tộ ưở ữ ỷ ệ ố

nghi p ph thông đ i v i n là 15%, v i nam là 20%. Ch n ng u nhiên 1 côngệ ổ ố ớ ữ ớ ọ ẫ

nhân c a phân x ng. Xác su t đ ch n đ c công nhân t t nghi o ph thôngủ ưở ấ ể ọ ượ ố ệ ổ

trung h cọ

Gi i:ả

S công nhân c a phân x ng t t nghi p trung h c ph thông là:ố ủ ưở ố ệ ọ ổ

Đ i v i n : ố ớ ữ 40x15% = 6 ng iườ

Đ i v i nam:ố ớ 20x20% = 4 ng iườ

T ng s công nhân t t nghi p ph thông trung h c c a phân x ng là:ổ ố ố ệ ổ ọ ủ ưở

6 + 4 = 10 ng iườ

Xác su t đ ch n đ c công nhân t t nghi p trung h c ph thông là:ấ ể ọ ượ ố ệ ọ ổ

6

1

60

10160

110 ==C

C

Bài 9

Trong h p I có 4 bi tr ng và 2 bi đen ,h p II có 3 bi tr ng và 3 bi đen .Các bi cóộ ắ ộ ắ

kích c nh nhau chuy n 1 bi t h p II sang h p I ,sau đó l y ng u nhiên 1 bi tỡ ư ể ừ ộ ộ ấ ẫ ừ

h p I .Xác su t đ l y ra bi tr ngộ ấ ể ấ ắ .

Gi i ả

G iọ

A1: là bi tr ng l y t h p II sang h p Iắ ấ ừ ộ ộ

A2 : là bi đen l y t h p II sang h p Iấ ừ ộ ộ

C : l y viên bi cu i cùng là bi xanhấ ố

Áp d ng cong th c xác su t đ y đ ụ ứ ấ ầ ủ

P(C)= P(A1).P( C/A1)+P(A2).P(C/A2)

P(A1)= 2

1

P(A2) = 2

1

P(C/A1)= 7

3

P(C/A2)= 7

5

P(C)=7

4

14

8

7

5.

2

1

7

3.

2

1 ==+

BÀI 10

G i Aọ i la ph n i có 1 bi đ . A là bc m i ph n có 1 bi đ ầ ỏ ỗ ầ ỏ

A=A1A2A3==> P(A1A2A3) = P(A1)P(1

2

A

A)P(

21

3

AA

A)= 14

8

36

12

412

39

13 ••

C

CC

C

CC=0.2857

Bài 11: M t lô hàng do 3 nhà máy I, II, III s n xu t. t l s n ph m do 3 nhàộ ả ấ ỷ ệ ả ẩ

máy s n xu t l n l t là 30%, 20%, 50% và t l ph ph m t ng ng là 1%,ả ấ ầ ượ ỉ ệ ế ẩ ươ ứ

2%, 3%. ch n ng u nhiên s n ph m t lô hàng. Xác su t đ s n ph m này làọ ẫ ả ẩ ừ ấ ể ả ẩ

ph ph m?ế ẩ

Bài gi i:ả

G i:ọ A là bi n c s n ph m đ c ch n là ph ph m.ế ố ả ẩ ượ ọ ế ẩ

Bi s n ph m đ c ch n do nhà máy th i s n xu t ( i = 1, 2, 3)ả ẩ ượ ọ ứ ả ấ

Vì ch l y ng u nhiên 1 s n ph m nên có Bỉ ấ ẫ ả ẩ 1, B2, B3 là m t h đ y đ . Theo g iộ ệ ầ ủ ả

thi t ta có: ế P(B1) = 10

3

P(B2) = 10

2

P(B3) = 10

5

Áp d ng công th c xác su t toàn ph n ta đ c:ụ ứ ấ ầ ượ

P(A) = )/().(3

1∑

=iii BAPBP =

10

3.0,01 +

10

2.0,02 +

10

5.0,03 = 0,022

Câu 12: Có 3 h p thu c, h p I có 5 ng t t và 2 ng x u, h p II có 4 ng t t vàộ ố ộ ố ố ố ấ ộ ố ố

1 ng x u, h p III có 3 ng t t và 2 ng x u. L y ng u nhiên 1 h p và t đó rútố ấ ộ ố ố ố ấ ấ ẫ ộ ừ

ra 1 ng thu c thì đ c ng t t. Xác su t đ ng này thuôc h p II.ố ố ượ ố ố ấ ể ố ộ

Bài làm:

G i Aọ i là bi n c ch n h p th i ế ố ọ ộ ứ )1,3(i = .

B là bi n c ch n 1 ng t t.ế ố ọ ố ố

V y xác su t đ B thu c h p II là:ậ ấ ể ộ ộ

)(P

)(P

)(P

B

BA

BA

2

2

∩=

Trong đó:

+ )(.P)(P)(P2

22 ABABA

=∩ =

4

3.

2

1 = 15

4 .

+ Ta có: A1, A2, A3 đ c l pộ ậ

A1 ∩ A2 ∩ A3 = Ω , 321 A,A,A là h đ y đ .ệ ầ ủ

Áp d ng công th c xác su t đ y đ ta có:ụ ứ ấ ầ ủ

)(.P)(P)(.P)(P)(.P)(P(P3

32

21

1 ABAA

BAABAB)

++=

=

++

5

3

5

4

7

5

3

1 =

105

74.

)(P

)(P

)(P

B

BA

BA

2

2

∩= =

10574

154

= ⋅37

14

V y xác su t đ ng thu c đ c l y ra thu c h p II là: ậ ấ ể ố ố ượ ấ ộ ộ ⋅37

14

Câu 13.

Trong m t lô hàng có 800 s n ph m lo i 1 và 200 s n ph m lo i 2. L y ng uộ ả ẩ ạ ả ẩ ạ ấ ẫ

nhiên ra 5 s n ph m có hoàn l i. G i X là s s n ph m lo i 1 l y đ c.ả ẩ ạ ọ ố ả ẩ ạ ấ ượ

a) X tuân theo quy lu t nào? Vi t bi u th c xác su t t ng quát c a quy lu t.ậ ế ể ứ ấ ổ ủ ậ

b) Tính kỳ v ng và ph ng sai cua X.ọ ươ

c) Tìm s s n ph m trung bình đ c l y ra và tính kh năng đ x y ra đi uố ả ẩ ượ ấ ả ể ả ề

đó.

Bài Gi iả

a) X tuân theo lu t phân ph i nh th c.ậ ố ị ứ

Bi u th c t ng quát ể ứ ổ

X đ c g i là có phân ph i nh th c ký hi u là Xượ ọ ố ị ứ ệ β(: n,p)

Có hàm xác su t: ấ

( ) . .k k n knP X k C p q −= = ( 1q p= − )

V i ớ 0,1,2,..., , (0;1)k n p= ∈

b) Kỳ v ng và ph ng sai c a Xọ ươ ủ

Kỳ v ng:ọ

X 1 2 3 4 5XP 0,0062

7

0,0508

8

0,2050

6

0,4106

3

0,32686

E(X)= 1.0,00627+2.0,05088+3.0,20506+4.0,41063+5.0,32686

=4,00003

Ph ng sai:ươ2X 1 4 9 16 25

2XP 0,0062

7

0,0508

8

0,2050

6

0,4106

3

0,32686

2E(X )= 1.0,00627+4.0,05088+9.0,20506+16.0,41063+25.0,32686

=16,79691

2 2 2( ) ( ) ( ( )) 16,79691 (4,00003) 0,79667D X E X E X= − = − =

Bài 14: Ba công nhân cùng làm ra m t lo i s n ph m, xác su t đ ng i th 1, 2, 3ộ ạ ả ẩ ấ ề ườ ứ

làm ra chính ph m t ng ng là 0.9, 0.9, 0.8. Có m t ng i trong đó làm ra 8 s n ph mẩ ư ứ ộ ườ ả ẩ

th y có 2 ph ph m. Tìm XS đ trong 8 s n ph m ti p theo cũng do ng i đó làm raấ ế ẩ ể ả ẩ ế ườ

s có 6 chính ph m.ẽ ẩ

Bài gi iả

G i Aọ i là các s n ph m do công nhân th i s n xu t, i = 1, 2, 3ả ẩ ứ ả ấ

P(A)= P(A1)P

1A

A + P(A2)P

2A

A + P(A3)P

3A

A

= 3

1 2668 )1.0()9.0(C +

3

1 2668 )1.0()9.0(C +

3

1 2668 )2.0()8.0(C = 0.2 (*)

Sau khi A x y ra, xác su t c a nhóm đ y đ đã phân b l i nh sau, bi u th c (*) choả ấ ủ ầ ủ ố ạ ư ể ứ

ta P

1A

A = 0.248 ≈ 0.25, t ng t Pươ ự

2A

A = 0.248 ≈ 0.25,

t ng t Pươ ự

3A

A = 0.501 ≈ 0.5

G i B là bi n c 8 s n ph m ti p theo cũng do công nhân đó s n xu t và có 2 phọ ế ố ả ẩ ế ả ấ ế

ph m.ẩ

P(B) =

11 AABPA

AP +

22 AABPA

AP +

33 AABPA

AP

= ( ) ( ) 2668 1.09.025.0 C× + ( ) ( ) 266

8 1.09.025.0 C× + ( ) ( ) 2668 2.08.025.0 C× = 0.23

Câu 15 : Lu t phân ph i c a bi n (X, Y) cho b i b ng:ậ ố ủ ế ở ả

Y

X

20 40 60

10 λ λ 0

20 2λ λ λ

30 3λ λ λ

Xác đ nh λ và các phân ph i X, Y?ị ố

Gi iả :

Các phân ph i X, Y:ố

Y 20 40 60PY 6 λ 3 λ 2

λ

Xác đ nh λ:ị

11 λ = 1 ⇒ λ = 1/11

Câu 16. (X,Y) là c p BNN có hàm m t đ đ ng th i:ặ ậ ộ ồ ờ

( )

<<<<−−

0

42,20,8

6,

yxyx

yxf

Tính P(1<Y<3/X=2)

X 10 20 30PX 2 λ 4 λ 5 λ

Gi i:ả

Hàm m t đ phân ph i l c a Xậ ộ ố ề ủ

( ) ( )

−=

−−=−−==

<<

∫ ∫=

=

=

=

4

2

4

2

42

2

4

3

26

8

1

8

6,

20y

y

y

y

X

xyxyydy

yxdyyxfxf

x

Hàm m t đ phân ph i l c a Yậ ộ ố ề ủ

( ) ( )

−=

−−=−−==

<<

∫ ∫=

=

=

=

2

0

2

0

20

2

4

5

26

8

1

8

6,

42x

x

x

x

Y

yxy

xxdx

yxdxyxfyf

y

Ta có

( ) ( ) ( )yxfyfxf YX ,≠

Hàm m t đ có đi u ki n c a Y v i đi u ki n X=xậ ộ ề ệ ủ ớ ề ệ

( )( )

( )( ) 42,20,32

6

4

38

6, <<<<

−−−=−

−−

==

yxx

yxx

yx

xf

yxfxyf

XY

Thay s vào ta đ cố ượ

( ) ( ) ( )

( )( )

( )4

3

24

2

1

2

4

32

6

2/2/322/31

32

23

2

2

3

2

3

2

=

−=−=

−−−=

====<<==<<

∫∫

∫=

==

=

=

=

=

yy

ydy

x

yx

dyxyfXYPXYP

y

y

x

y

y

y

y

Y

BÀI 18

a/ Tìm P(X+Y<9.5)

M(X+Y)=M(X)+M(Y)=12

D(X+Y)=D(X)+D(Y)= 222 5.125.29.02.1 ==+

0485.04515.05.05.0)667.1(5.1

12

5.1

125.9]5.9[ =−=+−=

−∞−−

−=<+<−∞ ϕϕϕYXP

b/ Tìm [ ]YXP <

M(X-Y)=M(X)-M(Y)= 2

D(X-Y)=D(X)+D(Y)= 2.25= 25.1

0918.04082.05.05.0)333.1(5.1

2

5.1

20)0()( =−=+−=

−∞−−

−=<−<−∞=< ϕϕϕYXPYXP

c/ tìm P(X>2Y)

M(X-2Y)=M(X)-2M(Y)=-3

D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)=4.68= 2163.2

4165.05.0)386.1(5.0163.2

30

163.2

3)20()2( −=−=

+−

+∞=∞<−<=> ϕϕϕYXPYXP

d/ Tìm [ ]2832 <+ YXP

M(2X+3Y)=2M(X)+3M(Y)=29

D(2X+3Y)=4D(X)+9D(Y)=13.032= 261.3

394.0106.05.061.3

28

61.3

2928)2832( =−=

−∞−−

−=<+<−∞ ϕϕYXP

Bài 19: gi s cho 2 bi n ng u nhiên đ c l p có cùng phân ph i chu n ả ử ế ẫ ộ ậ ố ẩ ∈ N(0,12).

Tính các xác xu t sau:ấ

a/ P(X<Y)

b/ P( |X| < Y)

c/ P( X < 1∩ Y < 1)

Bài gi i:ả

a/ exx

x

2

2

2

1 −∫

∞=

−∞= πdx

−∞=

=∫ dye

yy

xy

2

2

2

1

π

= 2

1

22

1

2

1

2

1 2

2

=

−

−∞=

−∞=∫ dx

xerfe

xx

x π

b/Hình a

2

1

4

1.2

22

12

2

1

2

12

2

22

2

22

==

=

∫

∫∫∞=

−∞=

−

=

−∞=

−∞=

−∞=

−

dxx

erfe

dyedxe

x

x

x

xy

y

yx

x

x

π

ππ

c/

707,08314,02

1

2

1

2

1

2

21

2

1

2

1

2

2

22

==

=

∫

∫∫=

−∞=

−

=

−∞=

−=

−∞=

−

y

y

y

y

y

yx

x

x

dye

dyedxe

π

ππ

Hình c

Câu 20: Gi s trái cây c a nông tr ng dã đ c đóng thành s t, m i s t 10ả ử ủ ườ ượ ọ ỗ ọ

trái. Ki m tra 50 s t đ c k t qu nh sau:ể ọ ượ ế ả ư

S tráiố

h ngỏ

trong s t:ọ

k

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

S s t coố ọ

k trái

h ng.ỏ

0 2 3 72

06 4 7 0 0 1

a) Tìm c l ng cho t l trái cây h ng trong nông tr ng.ướ ượ ỉ ệ ỏ ườ

b) Tìm c l ng cho t l trái cây h ng trung bình m i s t.ướ ượ ỉ ệ ỏ ở ỗ ọ

Hình b

c) Tìm c l ng không ch ch cho đ bi n đ ng t l trái cây h ng m iướ ượ ệ ộ ế ộ ỉ ệ ỏ ở ỗ

s t.ọ

Bài làm:

a) c l ng cho t l trái cây h ng trong nông tr ng chính là c l ngƯớ ượ ỉ ệ ỏ ườ ướ ượ

đi m cho t l đám đông.ể ỉ ệ

T ng s trái cây đi u tra là:ổ ố ề

n = 10.50 = 500.

S tái cây h ng phát hi n đ c:ố ỏ ệ ượ

M = 0.0+1.2+2.3+3.7+4.20+5.6+6.4+7.7+8.0+9.0+10.1 = 222.

T l h ng trong m u là: f = ỉ ệ ỏ ẫ500

222 = 0,444.

Vây c l ng t l trái cây h ng trong nông tr ng là vào kho ng : 44,4%ướ ượ ỉ ệ ỏ ườ ả

b) G i xọ i là t l ph n trăm trái cây h ng m i s t. ng v i s trái h ng trongỉ ệ ầ ỏ ở ỗ ọ Ứ ớ ố ỏ

s t ta có các giá tr c a xọ ị ủ i (%) là: 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.

L y xấ 0 = 40, h = 10, xi’ = h

xx oi −

.

Ta có b ng sau:ả

xi (%) ni xi’ xi’ni2i'x ni

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0

2

3

7

20

6

4

7

0

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0

-6

-6

-7

0

6

8

21

0

0

18

12

7

0

6

16

63

0

90

100

0

1

5

6

0

6

0

36

n=50 22.nx' ii =∑ 158.nx' i2

i =∑

⋅=== ∑ 0,4450

22

n

nx''x in

(%).4,444010.44,0.'xx 0nn =+=+= xh

V y c l ng cho t l trái cây h ng trung bình m i s t vào kho ng 44,4%. ậ ướ ượ ỉ ệ ỏ ở ỗ ọ ả

Ta th y k t qu này t ng t k t qu câu (a).ấ ế ả ươ ự ế ả ở

c) Tìm c l ng không ch ch cho đ bi n đ ng t l trái cây h ng m i s t:ướ ượ ệ ộ ế ộ ỉ ệ ỏ ở ỗ ọ

Ta có:

3,16.50

158x'

2==

2,9664.0,443,16)'x(-x's 22n

22x' =−==

296,64.2,9664.10.hss 222x'

2 ===

s2 = 303.150

296,64.50

1n

.ns 2

≈−

=−

V y ta d đoán đ bi n đ ng c a t l h ng gi a các s t là vào kho ng 303.ậ ự ộ ế ộ ủ ỉ ệ ỏ ữ ọ ả

Câu 21.

Tr ng l ng trung bình c a m t lo i s n ph m là 6kg. Qua th c t s n xu t, ng iọ ượ ủ ộ ạ ả ẩ ự ế ả ấ ườ

ta ti n hành m t s ki m tra và đ c k t qu cho trong b ng sau (tính b ng kg).ế ộ ố ể ượ ế ả ả ằ

4 1 7 5 6 7 3 6 7 3 85 8 6 4 6 5 7 5 1

0

9 2

6 4 7 7 6 6 4 9 3 7 72 5 7 7 1 6 6 5 1

0

2 11

6 4 8 6 4 8 1 1 3 7 8

02 7 7 6 1

0

4 5 2 1

1

7 4

7 4 6 5 4 6 5 4 9 5 46 5 8 6 6 9 5 6 8 6 88 5 3 4 8 5 1 8 5 6 54 9 6 6 8 4 6 3 5 3 41

0

1

0

9 2 1

1

9 4 9 1

0

9 10

a) Hãy k t lu n v tình hình xác su t v i m c αế ộ ề ấ ớ ứ 5%=

b) Hãy tìm m t c l ng cho giá tr trung bình th c t s n xu t v i đ tin c yộ ướ ượ ị ự ế ả ấ ớ ộ ậ

99%.

Bài Gi iả

T b ng s li u trên ta đ a v b ngừ ả ố ệ ư ề ả

ix in i ix n 2i ix n

1 4 4 42 6 12 243 7 21 634 17 68 2725 17 85 4256 23 138 8287 15 105 7358 12 96 7689 9 81 7291

0

8 80 800

1

1

3 33 363

121n = 723i ix n =∑ 2 5011i ix n =∑

Câu 22: C p [X(cm), Y(kg)] cho m t v t li u (có 33 c p) trong b ng sau:ặ ộ ậ ệ ặ ả

a/ Tìm ph ng trình h i quy tuy n tình theo Y và X.ươ ồ ế

b/ Tính h s t ng quan ệ ố ươ r XY .

Gi iả

a/

x i y i x i2

2

−

−xxi

2

−

−xxi

(x i - −x )

(× y i - −y )

3 5 9 927.479339 844.5188 885.02757 11 49 699.842975 531.7916 610.057911 21 121 504.206612 170.5794 293.2715 16 225 340.570248 26.1853 333.300318 16 324 238.842975 326.1855 279.118527 28 729 41.661157 36.73095 39.1184629 27 841 19.8429752 49.85216 31.4517930 25 900 11.9338843 82.09458 31.30028

x y 30 35 x y 42 40

3 5 31 30 36 34 42 44

7 11 31 40 37 36 43 37

11 21 32 32 38 38 44 44

15 16 33 34 39 37 45 46

18 16 33 32 39 36 46 46

27 28 34 34 39 45 47 49

29 27 36 37 40 39 50 51

30 25 36 38 41 41

30 35 900 11.9338843 0.882461 -3.2451831 30 961 6.02479339 16.48852 9.96694231 40 961 6.02479339 35.2764 -14.578532 32 1024 2.11570248 4.246097 2.99724533 34 1089 0.20661157 0.003673 0.02754833 32 1089 0.20661157 4.246097 0.93663934 34 1156 0.29752066 0.003673 -0.0330636 37 1296 6.47933884 8.64037 7.48209436 38 1296 6.47933884 15.51882 10.275536 34 1296 6.4793384 0.003673 -0.1542737 36 1369 12.5702479 3.761249 6.78603338 38 1444 20.661157 15.51882 17.9063439 37 1521 30.7520661 8.640037 16.3002839 36 1521 30.7520661 3.761249 10.7548239 45 1521 30.7520661 119.6703 60.6639140 39 1600 42.8429752 24.39761 32.3305841 41 1681 56.9338843 48.15519 52.3608842 40 1764 73.0247934 35.2764 507548242 44 1764 73.0247934 98.79155 84.9366443 37 1849 91.1157025 8.640037 28.0578544 44 1936 111.206612 98.79155 104.815445 46 2025 133.297521 142.5491 137.845746 46 2116 157.38843 142.5491 149.785147 49 2209 183.479339 223.1855 202.360950 51 2500 273.752066 286.9431 280.27

n = 33 Σ 41086 4152.18182 3713.879 3752.091n/Σ 125.823691 112.5418 113.6997

b/ 4545.33=−x 0606.34=

−y

095547954.11282.125

699.11322

=×

=

−

−

−

−

=

∑ ∑

∑−−

−−

yyxx

yyxxr

ii

ii

XY

Ph ng trình h i quy y theo xươ ồ : 829.39036.0 +=+=−

xbaxy

Câu 23:

a/ Ta l p b ng tính m t s đăc tr ng s c n:ậ ả ộ ố ư ẽ ầ

X0 = 1.75 h = 0.5

S l ngố ượ

(kg )

Đi m gi aể ữ

ix

n ,ix ,

ix .n 2,ix .n

0.5 – 1 0.75 40 -2 -80 1601 – 1.5 1.25 70 -1 -70 701.5 – 2 1.75 110 0 0 02 – 2.5 2.25 90 1 90 902.5 – 3 2.75 60 2 120 2403 - 4 3.5 30 3.5 105 367.5

∑n = 400 165 927.5

Ta có:

−−,nx =

400

165 = 0.4125

−−

nx = 0.4125 x 0.5 + 1.75 = 1.95625

∧2,nx =

400

5.927 = 2.31875

∧2

,xs = 2.31875 - 24125.0 = 2.1486 ⇒ ∧ 2s = 2.1486 x 400 = 859.44 2s

= 399

44.859400x= 861.594 ⇒ s = 29.353

Bài ra:

1 - α = 95% ⇒ αt = 1.96

1µ = 1.95625 – 1.96 x 20

353.29 = 1.725656

2µ = 1.95625 + 1.96 x 20

353.29 = 2.186844

Thành ph có 600000 h nên kho ng c l ng t ng s l ng s n ph m công ty tiêuố ộ ả ướ ượ ổ ố ượ ả ẩ

th là:ụ

1µ = 1.725656 x 600000 = 1,035,396 (kg)

2µ = 2.186844 x 600000 = 1,312,106 (kg)

CÂU 24

X(Kg)là ch tiêu c a m t lo i s n ph m. Di u tra m t s s n ph m ta có k tỉ ủ ộ ạ ả ẩ ề ộ ố ả ẩ ế

quả

x 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80nt 5 10 25 30 18 12

a. c l ng trung bình ch tiêu v i đ tin c y 98%ướ ượ ỉ ớ ộ ậ

b. có tài li u nói r ng trung bình X là 70% cho nh n xét v i m c ý nghĩa 5%ệ ằ ậ ớ ứ

c. c l ng trung bình ch tiêu X c a các s n ph m có ch tiêu X không qáuướ ượ ỉ ủ ả ẩ ỉ

60kg v i d tin c y 99%. G a thi t ch tiêu này có phân ph i chu nớ ộ ậ ỉ ế ỉ ố ẩ

gi iả

ta có b ng đ c tr ng m u xả ặ ư ẫ 0=67,5 h=5

xi ni xi nixi nixi2

52,5 5 -3 -15 4557,5 10 -2 -20 4062,5 25 -1 -25 2567,5 30 0 0 072,5 18 1 18 1877,5 12 2 24 48

n=100 'nx =∑ -18 '2 176x =∑

18'100

xn−= = -0,18 nx = -0,18.5+67,5= 66,6

2 176'100

xn = = 1,76 2 2' 1,76 ( 0,18)xs = − − = 1,7276

2s =$ 1,7276×100=172.76

s2=µ 2

100(172,76) 174,5

1 99

n s

n

× = =−

s⇒ = 13,2

Đây là bài ti\oán c l ng trung bình cho đám đôngướ ượ

+ n=100>30 , 2σ ch a bi t.Ta áp d ng công th c ư ế ụ ứ 1,2s

x tnn

µ α= ±

98%=1-α =2 ( )tαϕ ( ) 0, 49 2,33t tα αϕ⇒ = ⇒ =

⇒ 1s

x tnn

µ α= − = 63,52 2

sx tn

nµ α= + =69,68

V y trung bình ch tiêu ki m tra là 63,52 đ n 69.68 kgậ ỉ ể ế

b)ta có b ng phân ph i ả ố

x 52,5 57,5 62,5 67,5ni 5 10 25 30

60'70

xn−= = -0,0,857 nx = -0,857+67,5= 68,357

2 110'70

xn = = 1,57 2 2' 1,57 ( 0,857)xs = − − = 0,836

2s =$ 0,836×70=58,59

s2=µ 2

70(58,59) 59,43

1 69

n s

n

× = =−

s⇒ = 7,7

0 70µ µ= = 5% 0,05α = = n = 70 > 30

T b ng phân ph i student vói n - 1 = 69 b c t do ta có ừ ả ố ậ ự

Ta tính ki m đ nh ể ị0 68,357 70

7,7

70

nxt

s

n

µ− −= = = 1,785

,1.785 2,33t t tα α≤ < = v y có th ch p nh n đ cậ ể ấ ậ ượ

Tài li u đúng .Nghĩa là Hệ 0 là đúng

c) ta có phân ph i chu n ố ẩ

x 52,5 57,5ni 5 10

1

15n i ix n x= =∑ 837,555,8

15= s2=5,96 =>s = 2,44 n=15<30

Khi đó nxs

n

µ− có phân ph i student (n-1) b c t do ố ậ ự

Bi t 1-ế α => 1C ntαα −→ => 99% =>1- 99% 0,01α α= => = => 14 2,976tα =

Sao cho 11 1n

np T tα α−− ≤ = −

Suy ra

1

1n s

x tnn

αµ −= − =55,8 - 2,9762,44

15= 53,9

12

n sx tn

nαµ −= + = 55,8 + 2,976

2,4457,7

15=

V y kho ng tin c y (53,9; 57,7)ậ ả ậ