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Trigonométrie
I. Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu
Définition
Dans un triangle rectangle :
Le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport
Le sinus d’un angle aigu est égal au rapport
La tangente d’un angle aigu est égal au rapport
Le cosinus d’un angle aigu se note , de même le sinus de et la tangente de se notent
respectivement et .
Dans le triangle ABC rectangle en A :
;
;
Remarques :
Un cosinus, un sinus et une tangente n’ont pas d’unité.
, et sont des nombres strictement positifs.
II. Deux formules de trigonométries
Quel que soit le triangle ABC rectangle en A :
(1) cos² +sin² (2) tan =
Remarque :
La formule (1) permet de calculer le cosinus de l’angle lorsqu’on connaît le sinus et vice versa.
La formule (2) permet de calculer le cosinus, le sinus ou la tangente de l’angle lorsqu’on connaît deux de ces
nombres.
III. Exercices de référence.
Savoir calculer l’hypoténuse connaissant un angle et un côté
Enoncé
ABC est un triangle rectangle en B tel que : et .
Calculer BC puis donner son arrondi au mm.
Solution
On connaît la longueur BC, le côté opposé à l’angle et on cherche la longueur AC de l’hypoténuse. D’où
l’idée d’utiliser la formule du sinus.
Dans le triangle ABC rectangle en B :
c'est-à-dire
Avec la calculatrice on trouve
Savoir calculer un côté connaissant un angle et l’hypoténuse
Enoncé
EFG est un triangle rectangle en E tel que : et .
Calculer la longueur FE en cm, puis donner son arrondi au mm.
Solution
Dans le triangle EFG rectangle en E :
ce qui donne
Ainsi
Avec la calculatrice on trouve
Savoir calculer un côté connaissant un angle et un coté de l’angle droit
Enoncé
KLM est un triangle rectangle en M tel que : KM=5,4m et .
Calculer la longueur ML en m, puis donner son arrondi au cm.
Solution
Dans le triangle KLM rectangle en M :
.
C’est à dire
.
Ainsi .
Avec la calculatrice on trouve : .
Savoir calculer les mesures des angles connaissant deux côtés
Enoncé
RST est un triangle rectangle en R tel que : et .
Calculer les arrondis au degré des angles et
Solution
Dans le triangle RST rectangle en R :
.
C'est-à-dire
Avec la calculatrice on trouve :
Les angles aigus du triangle RST rectangle en R sont complémentaires
d’où