TRIGONOMETRIJSKEFUNKCIJE

Ivana Grgić, Ljerka Košak, Sanja Miler, Sonja Karlovčec, Tanja Liber

Sličnost trokuta

Za likove koji imaju isti oblik ali se razlikuju po veličini, kaže se da su slični.

Nacrtajmo dva trokuta različitih veličina koji imaju unutarnje kutove jednake 30°, 60° i 90°.

A1

B1 C1

A2

B2C2

Sličnost trokuta

Unutrašnji kutovi trokuta A2B2C2 sukladni su unutrašnjim kutovima trokuta A1B1C1

Usporedimo li duljine onih dviju stranica nacrtanih trokuta koje su nasuprot sukladnim kutovima, dobivamo:

2

2

2

1

2

1

2

1

2

ccbbaa

Sličnost trokuta

12 2 aa

12 2 bb

12 2 cc

Omjeri duljina stranica koje su nasuprot sukladnim kutovima nacrtanih trokuta isti su i jednaki 2. Tada možemo pisati ovako:

Sličnost trokuta

1

2

1

2

b

b

a

a

1

2

1

2

c

c

a

a

1

2

1

2

c

c

b

b, ,

1

2

1

2

1

2

c

c

b

b

a

a

Trokuti na slici očito su slični (istog oblika) pa ćemo na isti način i općenito odrediti slične trokute.

Sličnost trokuta

Dva su trokuta slična ako su kutovi jednog trokuta sukladni s kutovima drugog trokuta i ako su im omjeri odgovarajućih stranica trokuta jednaki.

Da su trokuti slični kraće pišemo A2B2C2 ~ A1B1C1

Mjera kuta pVq je neki broj iz skupa {θ + k 360°, k Є Z}

Kutevi

Kut je uređen par (p,q) dviju zraka kojeimaju isti početak V.

p

qV

Radijani

O r

r s = r

1 radian

s

rO

r

Radijanska mjera kuta određuje se kaoomjer duljine luka prema polumjeru luka.

Pretvaranje radijana u stupnjeve:

180

θ rad =

θ rad =r

s

Brojevna kružnica

Svakom broju t brojevnog pravca pridružena je točka T na brojevnoj kružnici.

E(t) = T

To pridruživanje nazivamo eksponencijalno preslikavanje!

TRIGONOMETRIJA PRAVOKUTNOG TROKUTA

Grčki trigonon = trokut

metrein = mjera

ab

a'b'

ac

a'c'

bc

b'c'

ba

b'a'

ca

c'a'

cb

c'b'

Trigonometrijske funkcije šiljastog trokuta

β

α

β

aa’ c

c’

b’

b

Prema položaju stranica a i b u odnosu na kut α, stranicu a nazivamo NASUPROTNA KATETA, a stranicu b PRILEŽEĆA KATETA.

Pravokutni trokut

α A

B

C

Omjeri kateta i hipotenuze u pravokutnom trokutu

sinus c

a

hipotenuza

katetaprotnanasu

_sin

kosinusc

b

hipotenuza

katetapriležeca

_cos

tangensb

a

katetapriležeca

katetauprotnanastg

_

_

kotangensa

b

katetaprotnanasu

katetapriležecactg

_

_

Za svaki šiljasti kut α uvijek vrijedi:

0 < sin α < 1 0 < cos α < 1

jer su u pravokutnom trokutu katete manje od hipotenuze.

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Vrijednosti funkcija tg α i ctg α mogu biti po volji odabrani pozitivni brojevi, jer takvi mogu biti omjeri kateta.

A1

B1 C1

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Sinus i kosinus

x

y

Sinus i kosinus po volji odabranog kuta

Neka je t po volji odabran realni broj, T = E(t) njemu odgovarajuća točka na brojevnoj kružnici. Tada je

T = (cos t, sin t)

Vrijednost funkcije kosinus (cos t) je apscisa, a vrijednost funkcije sinus (sin t) je ordinata točke T = E(t).

Temeljni identitet

Za svaki realni broj t vrijedi

cos2t sin2t 1

Tangens

Vrijednost funkcije tangens (tg t) je ordinata točke u kojoj pravac OP siječe tangentu p.

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

tO

P

p

Kotangens

Vrijednost funkcije kotangens (ctg t) je apscisa točke u kojoj pravac OP siječe tangentu q.

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1q

O

P

Predznaci trigonometrijskih funkcija

Koordinate točaka na brojevnoj kružnici mijenjaju predznak pri prijelazu u novi kvadrant.

Sinus i kosinus će mijenjati svoj predznak kad točka T obiđe brojevnu kružnicu.

cos x

sin x

(1,0)(-1,0)

(0,-1)

T

tg x

ctg x

(0,1)

Predznaci trigonometrijskihfunkcija

KVADRANT KVADRANT KVADRANT KVADRANTI II III IV

+ + – –

+ – – +

+ – + –

sin x

cosx

tg x

ctg x

cos

sintg

to će tg i ctg biti pozitivni tamo gdje su sinus i kosinus istog predznaka: u I i III kvadrantu.

sin

cosctgKako vrijedi:

Parnost i neparnost

Funkcija f je parna ako za svaki t iz njene domene vrijedi f (-t)= f (t).

Jesu li trigonometrijske funkcije parne ili neparne funkcije?

Ona je neparna ako za svaki t iz njene domene

vrijedi f (-t)= -f (t).

Točke E(t) i E(-t) simetrične su s obzirom na os Ox. Zato se njihove apscise podudaraju, a ordinate razlikuju u predznaku:

Parnost i neparnost

sinus je neparna, a kosinus parna funkcija.

tangens i kotangens su neparne funkcije

cos (-t) = cos (t) , sin (-t) = -sin (t) tЄR

tg (-t) = -tg (t) , ctg (-t) = -ctg (t) tЄR ,

kt

2kt

Za funkciju f kažemo da je periodična ako postoji pozitivan realni broj P takav da za svaki t iz domene funkcije f vrijedi

Periodične funkcije

Broj P zove se period funkcije f. Najmanji

takav pozitivni broj (ako postoji) zove se

temeljni period funkcije f.

f (t) = f (t + P)

Periodičnost funkcija sinus i kosinus

Brojevima t i t + 2π odgovara ista točka T na brojevnoj kružnici. Zato vrijedi za svaki realni broj t

sin (t+2π) = sin t , cos (t+2π) = cos t

Ovo se svojstvo naziva periodičnost funkcije sinus, odnosno kosinus.

sin (t+2kπ) = sin t , cos (t+2kπ) = cos t

Sinus i kosinus su periodičke funkcije s periodom 2π.

Periodičnost funkcija sinus i kosinus

Da bismo odredili vrijednosti trigonometrijskih funkcija sinus i kosinus, dovoljno je poznavati njihove vrijednosti unutar intervala [0,2π].

Periodičnost funkcija tangens i kotangens

tg (t+π) = tg t , ctg (t+π) = ctg t

tg (t+kπ) = tg t , ctg (t+kπ) = ctg t .

Tangens i kotangens superiodičke funkcije s periodom π.

GRAFOVI TRIGONOMETRIJSKIH

FUNKCIJA

Graf funkcije sinus

x

y

1

-1

0

2

3

4

–

–2

Graf funkcije sinus

Ponašanje funkcije sinus

Funkcija f(x)= sin(x) ima sljedeća svojstva:

xsin (x)

00

π/21

π0

3π/2-1

2π0

1. Nultočke funkcije su brojevi kπ, kЄZ.2. Maksimum funkcije je 1, a poprima se za x=π/2 +2kπ, kЄZ.3. Minimum funkcije je -1, a poprima se za x=3π/2 +2kπ, kЄZ.4. Na intervalu [0,2π] tijek funkcije je:

5. Funkcija je periodična s periodom 2π.

Graf funkcije kosinus

x

y

1

-1

0 2 3 4 – –2

Graf funkcije kosinus

Ponašanje funkcije kosinus

5. Funkcija je periodična s periodom 2π

Funkcija f(x)= cos (x) ima sljedeća svojstva:

1. Nultočke funkcije su brojevi π/2+kπ, kЄZ.2. Maksimum funkcije je 1, a poprima se za x=2kπ, kЄZ.3. Minimum funkcije je -1, a poprima se za x=(2k+1)π, kЄZ.4. Na intervalu [0,2π] tijek funkcije je:

xcos (x)

01

π/20

π

-13π/2

02π1

Graf funkcije sinus i kosinus

Graf funkcije tangens

y

2 –2 – 0

1

–1

5 2

3 2

2

–5 2

–3 2

–2

x

Graf funkcije tangens

Ponašanje funkcije tangens

4. Funkcija je periodična s periodom π.

x 0 Pi/2 Pi sin (x)

0 §§§ 0

x

tg (x)

0 π/2

0

π

0

Funkcija f(x)= tg (x) ima sljedeća svojstva:

1. Nultočke funkcije su kπ, kЄZ.2 Vertikalne asimptote funkcije su pravci x = π/2 + kπ, kЄZ.3. Na intervalu [0,π] tijek funkcije je:

Graf funkcije kotangens

2 –2 – 0

–2

x

y

1

–1

3 2

2

–3 2

Graf funkcije kotangens

Ponašanje funkcije kotangens

4. Funkcija je periodična s periodom π.

Funkcija f(x)= ctg (x) ima sljedeća svojstva:

1. Nultočke funkcije su π/2 + kπ, kЄZ.2 Vertikalne asimptote funkcije su pravci x = kπ, kЄZ.3. Na intervalu [0,π] tijek funkcije je:

xctg (x)

0 π/20

π