Formulaire de Mathmatiques

l'usage de l'tudiant en PCSI

Universit Claude Bernard Lyon 1

Fontions trigonomtriques

Dnitions Proprits immdiates

1-1

1

-1

cos

sin

tan =sin

coscotan =

cos

sin

1 6 sin 6 1 sin(+ 2n) = sin1 6 cos 6 1 cos(+ 2n) = cossin2 + cos2 = 1 tan(+ n) = tan

(n Z )

Symtrie, parit

sin () = sin sin(2

)= cos

cos () = cos cos(2

)= sin

tan () = tan tan(2

)= cotan

cotan () = cotan cotan(2

)= tan

sin ( ) = sin cos ( ) = costan ( ) = tan cotan ( ) = cotan

Formules d'addition ( , R, n Z )cos(+ ) = cos cos sin sin , cos( ) = cos cos + sin sinsin(+ ) = sin cos + cos sin , sin( ) = sin cos + cos sin

tan(+ ) =tan+ tan

1 tan tan (, et + 6=

2+ n)

tan( ) = tan tan1 + tan tan

(, et 6= 2+ n)

Dalage

sin(+

2

)= cos , sin (+ ) = sin

cos(+

2

)= sin , cos (+ ) = cos

tan(+

2

)= cotan , tan (+ ) = tancotan

(+

2

)= tan

cotan (+ ) = cotan

Fatorisation et dveloppement ( p, q R, n Z )

cos p+ cos q = 2 cosp+ q

2cos

p q2

, cos p cos q = 2 sin p+ q2

sinp q2

sin p+ sin q = 2 sinp+ q

2cos

p q2

, sin p sin q = 2 sin p q2

cosp q2

Si p et q 6= 2+ n :

tan p+ tan q =sin(p+ q)

cos p cos q, tan p tan q = sin(p q)

cos p cos q

cos p cos q =cos(p+ q) + cos(p q)

2, sin p sin q =

cos(p q) cos(p+ q)2

sin p cos q =sin(p+ q) + sin(p q)

2

Dupliation, linarisation

( R, n Z )sin 2 = 2 sin cos

cos 2 = cos2 sin2 = 2 cos2 1 = 1 2 sin2

tan 2 =2 tan

1 tan2 , et 2 6=

2+ n

cos2 =1 + cos 2

2, sin2 =

1 cos 22

Valeurs partiulires

[rad [ cos sin tan0 0 1 0 0

/6 30

32

12

13

/4 45

22

2

2 1

/3 60 12

3

2

3

/2 90 0 1 +

pi/6

pi/4

pi/3

pi/2

0

Limites

lim0

sin

= 1 , lim

01 cos

2=

1

2, lim

0tan

= 1

Trigonomtrie

sin =Op.

Hyp., cos =

Adj.

Hyp., tan =

Op.

Adj.

sin

a=

sin

b=

sin

c

Adj.

Op.

H

y

p

.

a

b

Exponentielle omplexe ( R, n Z )ei = cos + i sin

Formule de Moivre : ein = (cos + i sin )n

= cosn + i sinn

cos =ei + ei

2, sin =

ei ei2i

tan = iei eiei + ei

, 6= 2+ n

Fontions hyperboliques

Dnitions Proprits immdiates

chx =ex + ex

2, shx =

ex ex2

, thx =shx

chx=

ex exex + ex

ch2 x sh2 x = 1 , chx > 1 , 1 < thx < 1

Formules d'addition

ch(a+ b) = cha ch b+ sha sh b , sh(a+ b) = sh a ch b+ cha sh b , th(a+ b) =th a+ th b

1 + th a th b

ch(a b) = cha ch b sha sh b , sh(a b) = sh a ch b cha sh b , th(a b) = th a th b1 th a th b

Fatorisation

ch p+ ch q = 2 chp+ q

2ch

p q2

, sh p+ sh q = 2 shp+ q

2ch

p q2

, th p+ th q =sh(p+ q)

ch p ch q

ch p ch q = 2 sh p+ q2

shp q2

, sh p sh q = 2 sh p q2

chp+ q

2, th p th q = sh(p q)

ch p ch q

Dveloppement

cha ch b =ch(a+ b) + ch(a b)

2, sha sh b =

ch(a+ b) ch(a b)2

, sh a ch b =sh(a+ b) + sh(a b)

2

Dupliation, linarisation

ch 2a = ch2 a+ sh2 a = 2 ch2 a 1 = 2 sh2 a+ 1sh2a = 2 sha cha

ch2 a =ch2a+ 1

2, sh2 a =

ch 2a 12

Relations utiles

n Z : (cha+ sh a)n = chna+ shna(cha sha)n = chna shna

ch 2a =1 + th2 a

1 th2 a , sh 2a =2 th a

1 th2 ath 2a =

2 th a

1 + th2 a, exp 2a =

1 + th a

1 th a

Fontions hyperboliques riproques

Argchx = ln(x+

x2 1

), Argshx = ln

(x+

x2 + 1

), Argthx =

1

2ln

1 + x

1 x(pour x > 1) (pour x ] 1, 1[ )

Drives usuelles

Fontions Drives Intervalles

xn , n Z nxn1 R

xa , a R a xa1 R+ux , u R+ ux lnu R

ln |x| 1x

R

loga |x| , a R+ {1}1

x ln aR

cosx sinx Rsinx cosx R

tanx1

cos2 x= 1 + tan2 x R

{2+ Z

}chx shx R

shx chx R

thx1

ch2 x= 1 th2 x R

arccosx 11 x2 ] 1, 1[

arcsinx1

1 x2 ] 1, 1[

arctanx1

1 + x2R

argchx1

x2 1 ]1, +[

argshx1

1 + x2R

argthx1

1 x2 ] 1, 1[

[a f(x) + b g(x)]= a f (x) + b g(x) , a, b R

f(ax) = af (ax) , a R[f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g(x)[

1

f(x)

]= f

(x)f2(x)[

f(x)

g(x)

]=

f (x)g(x) f(x)g(x)g2(x)

(g f) (x) = f (x) (g f) (x)(f1

)(x) =

1

f f1(x)

Primitives usuelles

Fontions Primitives Intervalles

(x a) , a R , R {1} (x a)+1

+ 1]a, +[

1

x a , a R ln |x a| R {a}lnx x (lnx 1) R+eax , a R e

ax

aR

cosx sinx R

sinx cosx Rtanx ln |cosx| R

{2+ Z

}1

cos2 xtanx R

{2+ Z

}1

sin2 x 1tanx

R Z1

cosxlntan(x

2+

4

) R {2+ Z

}1

sinxlntan x

2

R Zchx shx R

shx chx R

th x ln (chx) R

1

ch2 xthx R

1

sh2 x 1thx

R

1

chx

{2 arctan (ex)

2 arctan(th

x

2

)= arctan(shx)

R

1

shxlnth x

2

R1

1 + x2arctanx R

1

a2 + x2, a R+

1

aarctan

x

aR

1

1 x2

argthx

1

2ln

1 + x1 x

] 1, 1[R {1, 1}

1

a2 x2 , a R+

1

2aln

a+ xa x R {a, a}

11 x2 arcsinx =

2 arccosx ] 1, 1[

1a2 x2 , a R

+ arcsin

x

a] a, a[

11 + x2

argshx = ln(x+

x2 + 1

)R

1a2 + x2

, a R+ ln(x+

x2 + a2

)R

1x2 1

argchx

argch(x)lnx+x2 1

]1, +[], 1]R [1, 1]

1x2 a2 a R

+ ln

x+x2 a2 R [a, a]Formule d'intgration par parties :

ba

f (x)g(x) dx =[f(x)g(x)

]ba ba

f(x)g(x) dx .

Dveloppements limits usuels (au voisinage de 0)

Fontions Dveloppements

f(x) f(0) + f (0)x+f (0)2!

x2 + ...+f (n)(x)

n!xn + o (xn)

ex 1 +x

1!+x2

2!+ ...+

xn

n!+ o (xn)

chx 1 +x2

2!+x4

4!+ ...+

x2n

(2n)!+ o

(x2n

)shx x+

x3

3!+x5

5!+ ...+

x2n+1

(2n+ 1)!+ o

(x2n+1

)th x x x

3

3+

2x5

15+ o

(x6)

cosx 1 x2

2!+x4

4!+ ...+ (1)n x

2n

(2n)!+ o

(x2n

)sinx x x

3

3!+x5

5!+ ...+ (1)n x

2n+1

(2n+ 1)!+ o (xn)

tanx x+x3

3+

2x5

15+ o

(x6)

(1 + x), R 1 +

1!x+

( 1)2!

x2 + ...+( 1)...( n+ 1)

n!xn + o (xn)

1

1 + x1 x+ x2 + ...+ (1)nxn + o (xn)

1

1 x 1 + x+ x2 + ...+ xn + o (xn)

ln(1 + x) x x2

2+x3

3+ ...+ (1)n1x

n

n+ o (xn)

1 + x 1 +

x

2 x

2

8+ ...+ (1)n1 (2n 2)!

22n1(n 1)!n!xn + o (xn)

11 + x

1 x2+

3

8x2 + ...+ (1)n (2n)!

22n(n!)2xn + o (xn)

Arg thx x+x3

3!+x5

5!+ ...+

x2n+1

(2n+ 1)!+ o

(x2n+1

)arctanx x x

3

3!+x5

5!+ ...+ (1)n x

2n+1

(2n+ 1)!+ o

(x2n+1

)Argshx x 1

2

x3

3+

4!

24(2!)2x5

5+ ...+ (1)n (2n)!

22n(n!)2x2n+1

2n+ 1+ o

(x2n+1

)arcsinx x+

1

2

x3

3+

4!

24(2!)2x5

5+ ...+

(2n)!

22n(n!)2x2n+1

2n+ 1+ o

(x2n+1

)

ave o(xn) une fontion vriant limx0

o (xn)

xn= 0 .

Veteurs

On note les veteurs de R3: ~u =

uxuyuz

.

Produit salaire :~u ~v = uxvx + uyvy + uzvz .

Norme :||~u|| =

~u ~u = uxux + uyuy + uzuz .

Angle entre deux veteurs =( ~u,~v) ave ~u 6= ~0 et ~v 6= ~0 :

cos =~u ~v

||~u|| ||~v|| .

Produit vetoriel :~w = ~u ~v ave ~w =

uyvz uzvyuzvx uxvzuxvy uyvx

.On a ~w ~u et ~w ~v ainsi que ||~w|| = ||~u|| ||~v|| | sin | ave =

( ~u,~v). Double produit vetoriel :

~u (~v ~w) = (~u ~w)~v (~u ~v) ~w ,(~u ~v) ~w = (~u ~w)~v (~v ~w) ~u .

Produit mixte : on note (~u,~v, ~w ) = (~u ~v ) ~w, on a(~u,~v, ~w ) = (~w, ~u,~v ) = (~v, ~w, ~u )

= (uxvywz + uzvxwy + uyvzwx) (uxvzwy + uyvxwz + uzvywx) .La valeur absolue du produit mixte est gale au volume du paralllpipde engendr par les veteurs

~u, ~v et ~w.

Relations utiles :~u (~v ~w ) + ~v (~w ~u ) + ~w (~u ~v ) = ~0 ,(~a~b ) (~c ~d ) = (~a ~c )(~b ~d ) (~a ~d )(~b ~c ) ,

(~a~b ) (~c ~d ) = [(~a~b ) ~d ]~c [(~a~b ) ~c ] ~d

=[(~c ~d ) ~a ]~b [(~c ~d ) ~b ]~a .

Oprateurs direntiels de l'analyse vetorielle

On onsidre p un hamp salaire , 'est dire une appliation de R3 dans R et ~A un hampvetoriel , 'est dire une appliation de R

3dans R

3:

p : R3 R ,(x, y, z) 7 p(x, y, z)

~A : R3 R3(x, y, z) 7 ~A(x, y, z)

o les omposantes de

~A, notes Ax, Ay et Az, sont des fontions de (x, y, z).

Oprateur (vetoriel) gradientgradp =

p

x~ux +

p

y~uy +

p

z~uz .

Oprateur (vetoriel) rotationnelrot ~A =

(Azy

Ayz

)~ux +

(Axz

Azx

)~uy +

(Ayx

Axy

)~uz .

Oprateur (salaire) divergene

div ~A =Axx

+Ayy

+Azz

.

Laplaien salairep = div

(gradp

)=

2p

x2+

2p

y2+2p

z2.

Laplaien vetoriel ~A = Ax ~ux +Ay ~uy +Az ~uz .

Propritsrot

(gradp

)= ~0 , div

(rot ~A

)= 0 , ~A =

grad

(div ~A

)rot

(rot ~A

),

(fg) = gf + 2gradf grad g + fg .

Thorme d'Ostogradsky (ux-divergene )S tant une surfae ferme limitant le volume V :

S

~A ~n dS =

V

div ~AdV .

Thorme de Stokes (irulation-rotationnel )C tant une ourbe ferme limitant la surfae S :

C~A d~ =

S

rot ~A ~n dS .

Pseudo-veteur nabla

=

0BBBBBBB@

x

y

z

1CCCCCCCA

8>>>>>>>:

grad

div

rot

grad p =

p , rot ~A = ~A , div ~A = ~A .

Systmes de oordonnes

Cartsiennes Cylindriques Sphriques

(x, y, z) (, , z) (r, , )

O

M

x

y

z

x

y

z

O

M

x

y

z

z

O

M

x

y

z

r

Base loale

O

x

y

z

~ex

~ey

~ez

O

x

y

z

~e

~e~ez

O

x

y

z

~er

~e~er

Veteur position

~r =OM = x~ex + y ~ey + z ~ez ~r =

OM = ~e + z ~ez ~r =

OM = r ~er

x = cosy = sinz

x = r sin cosy = r sin sinz = r cos

Volume lmentaire

dV = dxdy dz dV = d ddz dV = r2 sin dr d d

Oprateur gradient

gradf =

f

x~ex +

f

y~ey +

f

z~ez

grad f =

f

~e +

1

f

~e +

f

z~ez

grad f =

f

r~er +

1

r

f

~e +

1

r sin

f

~e

Oprateur divergene

div ~A =Ax

x+Ayy

+Azz

div ~A =1

(A)

+

1

A

+Azz

div ~A =1

r2(r2Ar)

r+

1

r sin

(sin A)

+1

r sin

A

Oprateur rotationnel

rot ~A =

(Azy

Ayz

)~ex

rot ~A =

(1

Az

Az

)~e

rot ~A =

1

r sin

((sin A)

A

)~er

+

(Axz

Azx

)~ey +

(Az

Az

)~e +

(1

r sin

Ar

1r

(rA)

r

)~e

+

(Ayx

Axy

)~ez +

1

((A)

A

)~ez +

1

r

((rA)

r Ar

)~e

Oprateur laplaien salaire

f =2f

x2+2f

y2+2f

z2f =

1

(f

)+

1

22f

2+2f

z2f =

1

r2

r

(r2f

r

)+

1

r2 sin

(sin

f

)+

1

r2 sin 22f

2

Constantes physiques dans le systme SI

Cf. http://physis.nist.gov/uu/Constants/

Clrit de la lumire dans le vide c = 299 792 458 m s1

Vitesse du son dans l'air dans les CNTP 331 m s1

(onditions normales de temprature et de pression)

Pression atmosphrique 101325 Pa

Constante de gravitation universelle G = 6, 674 28 1011 m3 kg1 s2

A

lration normale de la pesanteur la surfae

de la Terre 9, 806 65 m s2

Permitivit letrique du vide 0 = 8, 854 187 817 1012 Fm1

1

40 9 109 F1 m

Permabilit magntique du vide (00c2 = 1) 0 = 12, 566 370 614 10

7 NA2

= 4 107 NA2

Masse volumique de l'air dans les CNTP 1, 293 kgm3

Point de fusion de la glae 0 C = 273, 15 K

Unit de masse atomique 1 u = 1, 660 538 782 1027 kg

Volume molaire du gaz parfait normal (0 C, 1 atm) V 0m = 22, 413 996 103 m3 mol1

Nombre d'Avogadro N = 6, 022 141 79 1023 mol1

Constante des gaz parfaits R = 8, 314 472 Jmol1 K1

Constante de Boltzmann (kN = R) k = 1, 380 6504 1023 JK1Charge lmentaire (harge letrique du proton) e = 1, 602 176 487 1019 C

Constante de Faraday (F = N e) F = 96 485, 3399 Cmol1

Constante de Plank h = 6, 626 068 96 1034 J s

Quantum de moment intique (~ = h2pi ) ~ = 1, 054 571 628 1034 J s

Masse de l'letron au repos me = 9, 109 382 15 1031 kg

Masse du proton au repos (mp 1836me) mp = 1, 672 621 637 1027 kgMasse du neutron au repos mn = 1, 674 927 211 10

27 kg

Rayon lassique de l'letron (r0 =1

4pi0e2

mec2) r0 = 2, 817 940 2894 10

15 m

Rayon de Bohr de l'atome d'hydrogne dans son

tat fondamental (a0 =0h

2

2mec2) a0 = 0, 529 177 208 59 10

10 m

Magnton de Bohr (B =eh

4pime) B = 927, 400 915 10

26 J T1

Constante de Rydberg limite (R = mee4

830h3c

) R = 1, 097 373 156 8527 107 m1

101325 Pa = 1 atm = 1 bar = 760 mmHg , 1 = 1010 m .

Prxes

dea 101 symbole da dei 101 symbole dheto 102 h enti 102 kilo 103 k milli 103 mmega 106 M miro 106 giga 109 G nano 109 ntera 1012 T pio 1012 ppeta 1015 P femto 1015 fexa 1018 E atto 1018 a

Units du systme international et units drives

Units de base du systme international

Les units de base sont au nombre de sept :

Le mtre (m), unit de longueur Le kilogramme (kg), unit de masse La seonde (s), unit de dure L'ampre (A), unit d'intensit de ourant letrique Le kelvin (K), unit de temprature La mole (mol), unit de quantit de matire Le andela (d), unit d'intensit lumineuse

Units drives

Grandeur Nom Symbole Expression l'aide Expression l'aide

d'autres units des units de base

Frquene hertz Hz s

1

Fore newton N kg m s

2

Pression pasal Pa N m

2kg m

1s

2

nergie joule J N m kg m

2s

2

Puissane watt W J s

1kg m

2s

3

Charge letrique oulomb C s A

Tension letrique volt V J C

1kg m

2s

3A

1

Rsistane letrique ohm V A1 kg m2 s3 A2

Condutane letrique siemens S A V

1kg

1m

2s

3A

2

Capait letrique farad F C V

1kg

1m

2s

4A

2

Indution magntique tesla T V s m

2kg s

2A

1

Flux d'indution magntique weber Wb V s kg m

2s

2A

1

Indutane letrique henry H V s A

1kg m

2s

2A

2

Temprature degr Celsius

C K

Angle plan radian rad sans dimension

Angle solide stradian sr sans dimension

Flux lumineux lumen lm d sr d

lairement lumineux lux lx d sr m

2

d m

2

Ativit (radioative) bequerel Bq s

1

Ativit atalytique katal kat mol s

1

Autres units ourantes

Nom Symbole Valeur

angstrm 1010 manne lumire al 9, 46 1015 mparse p 3, 09 1016 mdegr

0,017 453 radkilowattheure kWh 3, 6 106 Jletronvolt eV 1, 6 1019 Jkiloalorie kal 1,185 5 Jatmosphre atm 101325 Pa

millimre de merure mmHg 133,322 Pa