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TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍA
(Primera parte)(Primera parte)
Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés
2
INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
3
• NOCIONES PREVIAS
• SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.
• RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO
AGUDO.
• R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º.
• RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA
• R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
• CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.
NOCIONES PREVIAS
1.1. a.a. Proporcionalidad de segmentos y Proporcionalidad de segmentos y
semejanzasemejanza
b.b.TEOREMA DE TALESTEOREMA DE TALES
2.2. TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA DE PITÁGORAS
5
1.a. Proporcionalidad de 1.a. Proporcionalidad de segmentos y semejanzasegmentos y semejanza
Sombra del árbol grande (S)
S. árbol pequeño (s)
H
h
Las sombras de los dos árboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OA’
A
B’
B
)alidadproporcionderazón(k'AA
'BB
'OA
'OB
H
h
S
s
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
6
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten
Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten
TEOREMA DE TALES:
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales.
TEOREMA DE TALES:
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales.
O
A’A
B’
B
'OB
'B'A
OB
ABtambieno
'OB
'OA
OB
OA
1.b. TEOREMA DE TALES1.b. TEOREMA DE TALES
O
A’
A
B’
B
C’
D’E’
EDC
B’’
C’’
D’’
E’’
r
r’
7
Medida de ángulosMedida de ángulos
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:
Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)
Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)
Radianes (En la calculadora MODE RAD)
Ángulo completo
Ángulo llano
Ángulo recto
Un grado
Un minuto
SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60”
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2 /2
8
Expresa los siguientes ángulos en los tres sistemas de medida
S.sexagesimal 60 º 210º
S. centesimal 50g 60g 100g
Radianes 2π/3 5π/6
S.sexagesimal 140º 240º
S. centesimal 350g 90g 25g
Radianes 7π/8 3
9
Ángulos en los tres sistemas de medida
S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º
S. centesimal 66g 66m
66s 50g 133g 33m
33s 60g 233g 33m
33s 100g 166g 66m
66s
Radianes
S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’ 171º 53’14”
S. centesimal 155g 55m
55s 350g 175g 90g 266g 66m
66s 25g 190g 98m
59s
Radianes 3
3
4
10
36
7
2
3
26
5
8
718
144
720
93
48
10
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
CsenC"B
"B"A
C'B
'B'A
BC
AB
Cgcot"B"A
C"A
'B'A
C'A
AB
AC
Ceccos"B"A
C"B
'B'A
C'B
AB
BC
CcosC"B
C"A
C'B
C'A
BC
AC
CtgC"A
"B"A
C'A
'B'A
AC
AB
CsecC"A
C"B
C'A
C'B
AC
BC
Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son
CA”
B”
A
B
A`
B` semejantes
porque tienen los ángulos iguales.
En consecuencia los lados son proporcionales :
11
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO
a
c
hipotenusa
opuestocatetoCsen
a
b
hipotenusa
adyacentecatetoCcos
c
a
opuestocateto
hipotenusaCeccos
b
a
adyacentecateto
hipotenusaCsec
b
c
adyacentecateto
opuestocatetoCtg
c
b
opuestocateto
adyacentecatetoCgcot
Ccos
1Csec
Csen
1Ceccos
Ctg
1Cgcot
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
Se definen seis razones trigonométricas
CA
B
a
b
c
Cateto adyacente o contiguo a C
Ca
teto
op
ue
sto
de
C
12
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
a
cCsen
a
bCcos
Csen
1
acaa
c
aCeccos
Ccos
1
abaa
b
aCsec
Ccos
Csen
abac
b
cCtg
Csen
Ccos
acab
c
bCgcot
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
CA
B
a
b
c
Cateto adyacente o contiguo a C
Ca
teto
op
ue
sto
de
C
Ccos
1Csec
Csen
1Ceccos
Ctg
1Cgcot
Ccos
CsenCtg
Csen
CcosCgcot
13
VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO
B
CA
a
b
C
1a
cCsen0
1a
bCcos0 1
c
aCeccos
1b
aCsec
b
cCtg0
c
bCgcot0
En todo triángulo rectángulo los catetos son menores que la hipotenusa.
Es decir: 0 < c < a 0 < b < a
En consecuencia:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º,
45º y 60º
1.1. R.T. DE 30º y 60ºR.T. DE 30º y 60º
2.2. R.T. DE 45ºR.T. DE 45º
15
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1)
A B
CSea ABC un triángulo equilátero
H
ll
l
l/2
x
B
C
H
l
60º
30º
Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide
En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide
Trazamos una altura CH
60º
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
22
2 l2
lx
Tª de Pitágoras
4
llx
222
4
ll4x
222
4
l3x
22
4
l3x
2
2
3lx
60º y el ángulo C mide 30º El lado BH mide l/2
16
B
C
H
l
l/2
2
3l
60º
30º
2
3
l2
3l
l23l
º60sen
2º60cos
1º60sec
3
2
º60sen
1º60eccos
3
3
3
1
º60tg
1º60gcot
2
1
l2
l
l2l
º60cos
32
32
2123
º60cos
º60senº60tg
2
1
l2
l
l2l
º30sen
2
3
l2
3l
l23l
º30cos
3
3
3
1
32
2
23
21
º30tg
2º30sen
1º30eccos
3
2
º30cos
1º30sec
33
33
3
3
º30tg
1º30gcot
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2)
Observa que:
sen 60º = cos 30º
cos 60º = sen 30º
tg 60º = cotg 30º
cotg60º = tg 30º
sec 60º =cosec30º
Cosec 60º =sec30º
17
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1)
Sea ABCD un cuadrado
l
l
x45º
Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide
En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide
Trazamos la diagonal AC
90º
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
222 llx
Tª de Pitágoras
22 l2x
2l2x
2lx
45º y el ángulo C mide 45º
A B
CD
lA B
C
l
45º
18
2
2
2
1
2l
lº45sen
22
22
2
2
º45cos
1º45sec
11
1
º45tg
1º45gcot
1l
lº45tg
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2)
45º
lA B
C
l
45º
2l2
2
2
1
2l
lº45cos
22
2
º45sen
1º45eccos
Observa que:
sen 45º = cos 45º
tg 45º = cotg 45º
sec 45º =cosec45º
19
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
α
Si el ángulo B mide α grados,
el ángulo C mide º90
º90y
º90
AB
C
ba
c
cosa
c)º90(sen
sena
bº90cos
gcotb
cº90tg
eccossen
1
º90cos
1º90sec
seccos
1
º90sen
1º90eccos
tggcot
1
º90tg
1º90gcot
20
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
Si el ángulo B mide α radianes,
el ángulo C mide
2
y
2
α
AB
C
ba
c
2
cosa
c)
2(sen
sen
a
b
2cos
gcot
b
c
2tg
eccos
sen
1
2cos
1
2sec
sec
cos
1
2sen
1
2eccos
tg
gcot
1
2tg
1
2gcot
21
RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA
α
AB
C
ba
c
222 acb
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:
Si dividimos la expresión anterior por a2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
c
a
b
Expresándolo de otra forma:
1a
c
a
b22
1cossen 22 O lo que es lo mismo:
1cossen 22
1cossen 22
Que normalmente expresaremos de la forma:
22
Si dividimos la expresión anterior por b2 o por c2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
c
b
b
Expresándolo de otra forma:
22 eccosgcot1
22 sectg1
α
AB
C
ba
c
222 acb
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:
2
2
2
2
2
2
c
a
c
c
c
b
22 sectg1
22 eccosgcot1
OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES
23
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
sen
cos
sen
sen
sen
sen
1
Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto
sen 90º = 1A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0
cos 90º = 0
Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir,
sen 0º = 0
cos 0º = 1radio=1
1
P(x,y)
O X
Y
Circunferencia goniométrica
1.1. R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERAR.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA
2.2. VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN
ÁNGULOÁNGULO
3.3. VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA
COTANGENTECOTANGENTE
4.4. R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOSR.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
5.5. R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
6.6. R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360ºR.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
7.7. R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOSR.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS
25
CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA
Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un sistema de coordenadas
X
Y
O
a
Uno de los lados del ángulo deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice en el origen de coordenadas y el otro lado donde corresponda
A esta circunferencia donde situaremos los ángulos la llamaremos circunferencia goniométrica.
1
26
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
y1
y
r
'y
radio
ordenadasen
x1
x
r
'x
radio
abscisacos
x
y
'x
'y
abscisa
ordenadatg
X
Y
Oa
1
P(x,y)Q(x’,y’)
r
A partir de ahora trabajaremos con la circunferencia de radio 1 (Circunferencia goniométrica)
27
SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
X
Y
O 1a
A
sen
cos
sen
cos
sen
cos
sen
cos
b
B
g
C
d
D
-1 0 1
El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1
1sen1
1cos1 -1
-1
1
++_ _
SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO
__ +
+
28
TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
X
Y
O 1
A
a tg
cotg
tg
cotg
tg
cotg
tg
cotg
g
C
d
D
B
b
La tangente y la cotangente de un ángulo puede tomar cualquier valor .
tg
gcot
+_
+ _
TANGENTE Y COTANGENTE
29
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º
A
60º
120º
-1
-1
1
X
Y
O 1
En la circunferencia goniométrica dibujamos 120º (quitamos 60º a 180º)
A’
60º
x
y
-x
y yº120sen º60sen
xº120cos º60cos
x
yº120tg
x
y º60tg
2
3
2
1
3
2º120sec 3
32º120eccos
3
3º120gcot
Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
30
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 135º
A
45º
135º
-1
-1
1
X
Y
O 1
En la circunferencia goniométrica dibujamos 135º (quitamos 45º a 180º)
A’
45º
x
y
-x
y yº135sen º45sen
xº135cos º45cos
x
yº135tg
x
y º45tg
2
2
2
2
1
2º135sec 2º135eccos 1º135gcot
Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
31
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 150º
150º
-1
-1
1
X
Y
O 1
En la circunferencia goniométrica dibujamos 150º (quitamos 30º a 180º)
A
30ºx
y
A’
30º-x
y yº150sen º30sen
xº150cos º30cos
x
yº150tg
x
y º30tg
2
1
2
3
3
3
3
32º150sec 2º150eccos 3º150gcot
Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
32
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
a
A
180º-a
-1
-1
1
X
Y
O 1
a y 180º- a
a y p-a
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º- a
A’
ax
y
-x
y
yº180sen sen
xº180cos cos
x
yº180tg
x
y tg
sensen coscos tgº180tg
33
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 210º
-1
-1
1
X
Y
O 1
210º
30º
A
x
y
A’
30º-x-y
yº210sen º30sen
xº210cos º30cos
x
yº210tg
x
y º30tg
En la circunferencia goniométrica dibujamos 210º (añadimos 30º a 180º).
Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
2
1
2
3
3
3
3
32º210sec 2º210eccos 3º210gcot
34
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 225º
-1
-1
1
X
Y
O 1
225º
45º
45º-x
-y
En la circunferencia goniométrica dibujamos 225º (añadimos 45º a 180º).
Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
yº225sen º45sen
xº225cos º45cos
x
yº225tg
x
yº45tg
2
2
2
2
1
2º225sec 2º225eccos 1º225gcot
35
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 240º
-1
-1
1
X
Y
O 1
240º
En la circunferencia goniométrica dibujamos 240º (añadimos 60º a 180º).
Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
º240sen º60sen
º240cos º60cos
º240tg º60tg
2
3
2
1
3
2º240sec 3
32º240eccos
3
3º240gcot
36
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
a y 180º+ a
a y p+a
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º+a
A’
180º+a
a x
y
-x-y
yº180sen sen
xº180cos cos
x
yº180tg
x
y tg
sensen coscos tgtg
37
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 300º
-1
-1
1
X
Y
O 1
300º
En la circunferencia goniométrica dibujamos 300º (quitamos 60º a 360º).
º300sen º60sen2
3
º300cos º60cos2
1
º300tg º60tg 3
2º300sec 3
32º300eccos
3
3º300gcot
38
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315º
-1
-1
1
X
Y
O 1
315º
En la circunferencia goniométrica dibujamos 315º (quitamos 45º a 360º).
º315tg 1º45tg
º315sen º45sen2
2
º315cos º45cos2
2
2º315sec 2º315eccos 1º315gcot
39
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 330º (las mismas que las de –30º)
-1
-1
1
X
Y
O 1
En la circunferencia goniométrica dibujamos 330º (quitamos 30º a 360º).
º330cos º30cos
º330sen º30sen2
1
2
3
º330tg º30tg3
3
3
32º330sec 2º330eccos 3º330gcot
40
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
a y 360º-a
a y 2 p-a
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 360º- a
A’
360º-a
a x
y
-y
yº360sen sen
xº360cos cos
x
yº360tg
x
y tg
sen2sen cos2cos tg2tg
41
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
OPUESTOS
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
a y - a
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y - a
A’
-a x
y
-y
ysen sen
xcos cos
x
ytg
x
y tg
sensen coscos tgtg
42
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO MAYOR DE
UNA CIRCUNFERENCIA
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
Las razones trigonométricas de un ángulo mayor que una circunferencia ( a+360ºk, donde k es un número entero) son las mismas que las del ángulo a
x
y
2sen sen
2cos cos
2tg tg
senº360sen cosº360cos tgº360tg
k,k2
k,kº360
2p+
43
-1
-1
1
X
Y
O 1
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 270º
a
A
a y 270º+a
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 270º+ a
A’
270º+a
a
x
y
xº270sen cos
yº270cos sen
y
xº270tg
y
x gcot
2
3y
y
-x
cos
2
3sen
sen
2
3cos
gcot
2
3tg
44
-1
-1
1
X
Y
O 1
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
a
A
a y 90º - a
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 90º- a
A’
90º-a
a
x
y
xº90sen cos
yº90cos sen
y
xº90tg gcot
2
y
y
x
cos
2sen
sen
2cos
gcot
2tg
45
SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno va creciendo, de 0 a 1.
sen 0º = 0 sen 90º = 1
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno va decreciendo, de 1 a 0.
sen 180º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno va decreciendo, de 0 a -1.
sen 270º = -1
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0.
sen 360º = 0
46
COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el coseno va decreciendo, de 1 a 0.
cosen 0º = 1 cosen 90º = 0
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el coseno va decreciendo, de 0 a -1.
cosen 180º = -1
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el coseno va creciendo, de -1 a 0.
cosen 270º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1.
cosen 360º = 1
47
TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la tangente va decreciendo, de 0 a + ∞.
tg 0º = 0 tg 90º + ∞.
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la tangente va creciendo, de - ∞. a 0.
tg 90º - ∞ tg 180º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el tangente va creciendo, de 0 a +∞. .
tg 270º + ∞.
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de - ∞ a 0.
tg 270º - ∞ tg 360º = 0
48
COTANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0
cotg 0º + ∞ cotg 90º =0
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la cotangente va creciendo, de 0 a - ∞
cotg 180º - ∞
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0
cotg 180º + ∞ cotg 270º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º la cotangente va decreciendo, de
0 a - ∞ cotg 360º - ∞
49
VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO
1sen1
1cos1 1sec
tg gcot
1sec
1eccos 1eccos
++_ _
SIGNO DEL SENO Y DE LA COSECANTE
SIGNO DEL COSENO Y DE LA SECANTE
__ +
++_
+ _
SIGNO DE LA TANGENTE Y COTANGENTE
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1.1. FUNCIÓN SENOFUNCIÓN SENO
2.2. FUNCIÓN COSENOFUNCIÓN COSENO
3.3. FUNCIÓN TANGENTE FUNCIÓN TANGENTE
4.4. FUNCIÓN COTANGENTEFUNCIÓN COTANGENTE
5.5. FUNCIÓN SECANTEFUNCIÓN SECANTE
6.6. FUNCIÓN COSECANTEFUNCIÓN COSECANTE
51
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x
6
3
2
3
26
5 6
73
42
33
53
11 24
4
34
54
7
2
1
2
1
2
3
2
3
1
1
2
2
2
2
0
a
sen a2
2
2
2
2
2
2
22
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
2
3
2
30 1 0 01
6
4
3
2
3
26
5 6
73
4
2
33
53
11 24
34
54
70
52
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x
53
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x
2
3
4
6
23
114
73
53
24
36
5 6
74
53
4
2
1
2
1
2
3
2
3
1
1
2
2
2
2
02
3
a
COS a2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
12
3
2
3
2
3
2
3 01 0 11
6
4
3
2
3
26
5 6
73
4
2
33
53
11 24
34
54
70
54
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x
55
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x
3
3
1
1
6
3
2
3
26
5 6
73
42
33
53
11 24
4
34
54
70
3
3
3
3
56
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x
57
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE f(x)=cotg x
3
3
1
1
6
3
2
3
26
5 6
73
42
33
53
11 24
4
34
54
70
3
3
3
3
58
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE f(x)=cotg x
59
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x
1
1
6
3
2
3
26
5 6
73
42
33
53
11 24
4
34
54
70
60
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x
61
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x
1
1
6
3
2
3
26
5 6
73
42
33
53
11 24
4
34
54
70
62
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x
TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍA
(Segunda parte)(Segunda parte)
Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés
64
INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
1.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA
Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOSY DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS
2.2. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.
3.3. R.T. DEL ÁNGULO MITADR.T. DEL ÁNGULO MITAD
4.4. TEOREMA DEL SENOTEOREMA DEL SENO
5.5. TEOREMA DEL COSENOTEOREMA DEL COSENO
6.6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE
HERONHERON
66
SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
A
O X
Y
N
M
P
B
Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.
OB
BPsen
OB
sencosOBcossenOB
OB
senOAcosAB
sencoscossensen
Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el triángulo rectángulo OAB.
OB
ANAM
67
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
A
O X
Y
N
M
P
B
Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el triángulo rectángulo OAB.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.
OB
BMON
OB
NPON
OB
OPcos
OB
sensenOBcoscosOB
OB
senABcosOA
sensencoscoscos
68
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS(otra forma de deducir la fórmula)
cos
sensencoscos
2
sen
2
sen
2
sen
sen
2coscos
2sen
sensencoscos
sensencoscoscos
69
TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
tg
sensencoscos
sencoscossen
coscossensen
coscoscoscos
coscossencos
coscoscossen
tgtg1
tgtg
sencoscossensen
sensencoscoscos
tgtg1
tgtgtg
Si dividimos numerador y denominador por cosa.cosb
Simplifi-cando
cos
sen
70
R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
sen sen sencoscossen
1
sencoscossen
sencoscossen
cos cos sensencoscos
sensencoscos
sensencoscos
tg
tgtg1
tgtg
tgtg1
tgtg tg
tgtg1
tgtg
71
R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
sen
cos
tg
sen sencoscossen
cos sensencoscos
tg
tgtg1
tgtg
sencoscossen
sensencoscos
tgtg1
tgtg
72
R.T. DEL ÁNGULO DOBLE (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
sen
cos
tg
2sen sencoscossen
sensencoscos
tgtg1
tgtg
cossen2
2cos 22 sencos
2tg
2tg1
tg2
2sen cossen2
2cos 22 sencos
2tg
2tg1
tg2
73
R.T. DEL ÁNGULO MITAD (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble)
2cos 22 sencos
tg
22 sensen1 2sen21
2sen2 2cos1
2sen2
2cos1 2
2cos1 sen
2cos 22 sencos 22 cos1cos 1cos2 2
2cos2 2cos1
2cos2
2cos1 2
2cos1 cos
2cos1
2cos12
cos1
2sen
2
cos1
2cos
cos1
cos1
2tg
1.1. Teorema del senoTeorema del seno
2.2. Teorema del cosenoTeorema del coseno
75
TEOREMA DEL SENO
Los lados de un triángulo son proporcionales a
los senos de los
ángulos opuestos. Csen
c
Bsen
b
Asen
a
El Teorema del seno sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos.
Consideremos un triángulo ABC.
BsenahAsenbh
C
C BsenaAsenb
Bsen
b
Asen
a
Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A:
BsenchCsenbh
A
A BsencCsenb Csen
c
Bsen
b
hC
hA
C
BA
ab
c H
Trazamos la altura correspondiente al vértice C.
Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces:
76
Medida de los ángulos en una circunferencia
Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente
A
B
C
180º-
180º-
360º-(180º-180º-360º - 360º +
77
Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales
Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales
180º
90º
Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.
Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.
Medida de los ángulos en una circunferencia
78
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
R2Csen
c
Bsen
b
Asen
a
Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
Asen
a
Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales). Luego:
A
a
C
B
A’
R21
R2
º90sen
R2
'Asen
a
Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo ángulo que abarca un diámetro es recto).
R2'Asen
a
79
Consecuencia del TEOREMA DEL SENOÁrea de un triángulo
hC
C
BA
ab
c H
La superficie del triángulo ABC es:chc
2
1S
En el triángulo AHC :
b
hAsen C AsenbhC
Sustituyendo en la primera expresión:
Asenbc2
1S Asenbc
2
1S
80
Consecuencia del TEOREMA DEL SENOÁrea de un triángulo
Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R.
La superficie del triángulo ABC es:
Por el Teorema del seno :
Sustituyendo en la primera expresión:
Asenbc2
1S
C
BA
ab
c
R
R2Asen
aR2
aAsen
R2
abc
2
1S
R4
cbaS
R4
cbaS
81
TEOREMA DEL COSENO
h
C
BA
ab
c Hm c-m
222 mcha
Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:
222 mcm2ch
2222 mcm2cmb
(en AHC)
2222 mcm2cmb
cm2cb 22
(Como en AHC m = b . cos A) Acoscb2cba 222
Bcosca2cab 222
Ccosba2bac 222
Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos:
El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente
82
A
C
cB
ba
C
B A
ba
c
222 cba 222 cba
222 cba 222 cba
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOClasificación de triángulos
En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que: Acoscb2cba 222
Si A < 90º cos A >0
222 cba 222 cba Si A = 90º cos A = 0
Si A > 90º cos A < 0
ab
c BA
C
( Teorema de Pitágoras )
83
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOÁrea de un triángulo. Fórmula de Herón
Por el Tª del coseno
La superficie del triángulo ABC es: Asenbc2
1S
AsenbcS2
AsenbcS4 2222 Acos1bc 222
Acosbcbc 22222
cb2
acbAcos
222
22
22222222
cb4
acbbcbc
4
acbbc4222222
4
acbbc2acbbc2 222222
4
cbaacb 2222
hC
C
BA
ab
c H
84
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOÁrea de un triángulo. Fórmula de Herón
Si a+b+c=2p
La superficie del triángulo ABC es: Asenbc2
1S
AsenbcS2 AsenbcS4 2222
4
cbacbaacbacb
...
b+c-a=2p-2a=2(p-a) ....
4
bp2cp2ap2p2
bpcpapp4
2S bpcpapp cpbpappS cpbpappS
(p será el semiperímetro)
FÓRMULA FÓRMULA DE HERÓNDE HERÓNFÓRMULA FÓRMULA DE HERÓNDE HERÓN
hC
C
BA
ab
c H
4
cbaacb 2222
85
Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente.
Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,...
La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.
La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.
Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente.
Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,...
La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.
La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.
86
PÁGINAS WEB
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htmhttp://www.eneayudas.cl/trigentrada.htm#ejyejhttp://www.sectormatematica.cl/proyectos/como_aprender.htmhttp://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_04/APPUNTI.HTMhttp://www.dm.unibo.it/matematica/Trigonometria/trigono.htmhttp://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/metodo.htmhttp://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.htmlhttp://descartes.cnice.mecd.es/
http://astro.if.ufrgs.br/trigesf/trigesf.htm
http://www.nauticoartiglio.lu.it/trigsfer/trigsferica.htm