Trigonometría: Ley de los Senos y Ley de los Cosenosprecalculo.carimobits.com/PrecalcII/Material del Curso... · Contenido Trigonometr a: Ley de los Senos y Ley de los Cosenos Carlos

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Trigonometrıa: Ley de los Senos y Ley delos Cosenos

Carlos A. Rivera-Morales

Precalculo 2

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Leyes de los Senos, Cosenos

Contenido

ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulosFormula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice

Tabla de Contenido

ObjetivosResolucion de Triangulos oblicuangulos

Ley de los Senos; Ley de los Cosenos

Formula Trigonometrica para AreaFormula de HeronAplicacionesApendice


Contenido


Objetivos:

Discutiremos:

Resolucion de Triangulos Oblicuangulos

Ley de los SenosLey de los Cosenos

Formula Trigonometrica para Calcular el Area de unTriangulo

Formula de Heron para Calcular el Area de un Triangulo

Aplicaciones


Contenido


Objetivos:

Discutiremos:


Ley de los Senos

Ley de los Cosenos



Aplicaciones


Contenido


Objetivos:

Discutiremos:





Aplicaciones


Contenido


Objetivos:

Discutiremos:





Aplicaciones


Contenido


Objetivos:

Discutiremos:





Aplicaciones


Contenido


Objetivos:

Discutiremos:





Aplicaciones


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Anteriormente resolvimos triangulos rectangulos haciendo usode razones trigonometricas. Ahora resolveremos triangulosablicuangulos; esto es, triangulos que no tienen angulo rectoalguno. Como herramientas, utilizaremos dos leyes: la Ley delos Senos y Ley de los Cosenos. Para resolver un triangulo,necesitamos algunos datos para comenzar ese proceso. Untriangulo esta determinado por tres de sus seis partes, siempreque, al menos, una de ellas sea un lado. Por lo tanto, se tienencinco posibilidades.


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Casos Posibles

Caso 1: AAA. En este caso se dan los tres angulos deltriangulo. Hay infinitas soluciones; todos los triangulos sonsemejantes entre sı.

Caso 2: AAL o ALA. Se dan dos angulos y un lado deltriangulo. Este caso determina un triangulo unico.

Caso 3: LLA. Se dan dos lados del triangulo y un anguloopuesto a uno de esos lados. Este caso da lugar a tresposibilidades: no hay solucion alguna, hay una solucion unica ohay dos posibles soluciones. A este caso se le conoce como elcaso ambiguo.


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Casos Posibles





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Casos Posibles





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Casos Posibles

Caso 4: LAL. Se dan dos lados del triangulo y el angulocomprendido entre ellos. Este caso determina un triangulounico.

Caso 5: LLL. Se dan los tres lados del triangulo. Este casodetermina un triangulo unico.

Dependiendo de la informacion que se tenga a mano secomenzara la resolucion del triangulo con la ley de los senos o laley de los cosenos.


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Casos Posibles





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Casos Posibles





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Ley de los Senossen(A)

a = sen(B)b = sen(C)

c o asen(A) = b

sen(B) = csen(C)

Ley de los Cosenosa2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)c2 = a2 + b2 − 2ac cos(C)


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c

o asen(A) = b

sen(B) = csen(C)



Contenido





c o asen(A) = b

sen(B) = csen(C)



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c o asen(A) = b

sen(B) = csen(C)

Ley de los Cosenosa2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)

b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)c2 = a2 + b2 − 2ac cos(C)


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c o asen(A) = b

sen(B) = csen(C)

Ley de los Cosenosa2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)

c2 = a2 + b2 − 2ac cos(C)


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c o asen(A) = b

sen(B) = csen(C)



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Ejercicio: Resuelva el siguiente triangulo.


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Ejercicio: Resuelva el siguiente triangulo: ∠A = 26◦,a = 1.0m, b = 1.8m

Si tratamos de dibujar el triangulo, encontramos dos posiblestriangulo: el I y el II.


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Ejercicio: Resuelva el siguiente triangulo: ∠A = 26◦,a = 1.0m, b = 1.8m

Si tratamos de dibujar el triangulo, encontramos dos posiblestriangulo: el I y el II.


Contenido



Ejercicio: Resuelva el siguiente triangulo:


Contenido



Ejercicio: Resuelva el siguiente triangulo:


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Formula Trigonometrica para Calcular el Areade un Triangulo

Formula trigonometrica para calcular el area de un triangulo

Para cualquier triangulo ABC, el area del triangulo esta dadapor cualquiera de las siguientes formulas:

Area = 12bc sen(A); Area = 1

2ac sen(B); Area = 12ab sen(C)


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Formula de Heron

El matematico griego Heron de Alejandrıa desarrollo la siguienteformula para calcular el area de un triangulo siempre que seconozcan las longitudes de los tres lados a, b y c del trıangulo.

Formula de Heron para calcular el area de un triangulo

Area =√

s(s− a)(s− b)(s− c)s= a+b+c

2 (semiperımetro del triangulo)


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Formula de Heron

El matematico griego Heron de Alejandrıa desarrollo la siguienteformula para calcular el area de un triangulo siempre que seconozcan las longitudes de los tres lados a, b y c del trıangulo.

Formula de Heron para calcular el area de un triangulo

Area =√

s(s− a)(s− b)(s− c)s= a+b+c

2 (semiperımetro del triangulo)


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Ejercicio: Calcule el area del triangulo ABC si ∠A = 24◦40′,b = 23.7cm y ∠C = 52◦40′. Haga uso de la formula:

1 trigonometrica de area.

2 de Heron.


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Ejercicio: Distancia a traves de un rıo Para calcular ladistancia AB a traves de un rıo, se mide una distanciaBC = 354m en un lado del rıo. Se determino que el∠B = 112◦10′ y el ∠C = 15◦20′. Determine la distanciaAB.(Vea la figura.)


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Ejercicio: Longitud de un tunel Para medir la distancia atraves de una montana para la construccion de un tunel, seescogio un punto C que se puede alcanzar desde ambosextremos del tunel. (Vea la figura.) Si la distancia AC = 3800m,BC = 2900m y el ∠C = 110◦, determine la longitud del tunel.


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Apendice


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Ley de los Senos; Caso Ambiguo

Si el angulo A es agudo, entonces hay cuatro posibles resultados.

Triangulos Posibles Dibujo Condiciones Necesarias

0 sen(B) > 1;a < h < b

1 sen(B) = 1;a = h < b

1 0 < sen(B) < 1;a ≥ b

2 0 < sen(B2) < 1;a < h < b


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Ley de los Senos; Caso Ambiguo

Si el angulo A es obtuso, entonces hay 2 posibles resultados.

Triangulos Posibles Dibujo Condiciones Necesarias

0 sen(B) ≥ 1;a ≤ b

1 0 < sen(B) < 1;a > b


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