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CEPRE (Quieres más material educativo >> CLIC AQUÍ <<) Pág. - 20 -
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS.
Razones Trigonométricas de la Suma de dos ángulos.- Sean α y β dos ángulos en posición normal, luego: • sen( ) sen .cos cos .senα + β = α β + α β
• cos( ) cos .cos sen .senα + β = α β − α β
• tan tantan( )1 tan tan
α + βα + β =
− α β
Razones Trigonométricas de la Diferencia de dos ángulos.- Sean α y β dos ángulos en posición normal, luego: • sen( ) sen .cos cos .senα − β = α β − α β
• cos( ) cos .cos sen .senα − β = α β + α β
• tan tantan( )1 tan tan
α − βα − β =
+ α β
Identidades Auxiliares • 2 2sen( ).sen( ) sen senα + β α − β = α − β
• 2 2cos( ).cos( ) cos senα + β α − β = α − β
• sen( )tan tancos .cos
α + βα + β =
α β
• sen( )tan tancos .cos
α − βα − β =
α β
Identidades condicionales que relacionan a tres arcos • ( ) ( )tan tan tan tan .tan .tanα + β = α + β + α β α + β
• ( ) ( )tan tan tan tan .tan .tanα − β = α − β − α β α − β
Si n , nα + β + θ = π ∈ • tan tan tan tan .tan .tanα + β + θ = α β θ . • cot .cot cot .cot cot .cot 1α β + θ β + β α = .
Si ( )2n 1 , n2π
α + β + θ = + ∈
• cot cot cot cot .cot .cotα + β + θ = α β θ . • tan . tan tan .tan tan .tan 1α β + θ β + β α = .
Observación: Recordar los siguientes triángulos:
16°
74°
7k
24k
25k
8°
82°
7k
k5 2k
15°
75°4
6 - 2
6 + 2
R.T.
15º
12π
<> 575º12π
<>
sen y cos 6 24 6 2
4±
tan y cot 2 3 2 3±
sec y csc 6 2 6 2±
TRIGONOMETRÍA
10 CIENCIAS
Trigonometría Ejercicios – Semana 04
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EJERCICIOS DE CLASE 1. Calcule el valor aproximado que toma:
25sen16 5 2sen82° + ° A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
2. Si ( ) 4tan 8 ,5
° + α = calcular el valor de
tan(53 ) 1.° + α −
A) 8 B) 89
C) 18
D) 4 E) 9
3. Calcule el valor de la expresión ° + °
= − °° + °
cos5 3sen5 2W cot13 15 'cos8,5 2sen8,5 5
.
A) 54
B) 45
− C)
52
−
D) 4 E) 45
4. Si ( )csc 7α + β = , csc 5α = con α agudo. Halle
7cos 14senβ + β . A) 5 B) 5 C)
7 5
D) 5 2 E) 2 5
5. Sea x, y ángulos agudos tal que: ( )3sen 2sen x cosα = α + − α ,
( )cos 2cos y 3senα = α + + α . Calcular ( )cos x y− .
A) 12
− B) 34
− C) 12
D) 22
E) 32
6. Si ABCD es rectángulo, 3AB = 4BC y F es punto
medio de BC. Hallar tanα.
A) 913
B) 719
C) 3623
D) 2318
E) 723
7. De la figura mostrada, halle sec .cscθ θ .
A) 32
B) 52
C) 103
D) 53
E) 73
8. En el grafico mostrado, MD = 3; AM = 2; MB = 68
y 16tan x13
= . Calcule DE.
A
D C
B
M
E
x
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
9. Sea + αα =
+ α3 5 tancot
5 tan , ( )α ≠ −tan 5 . Calcule el
valor de αcot 4 .
A) 54
B) 2 55
− C)
52
−
D) 54
E) 45
10. Si 1cot ,2
α = 1cot4
β = y 1cot ,3
θ = calcule la
expresión ( )( )
seccsc
α − β + θα + β + θ
.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 53
E) – 1
11. Si 2sen2 cos 47 cos° + ° = α y 02π
< α < , calcule el
valor de ( ) ( )2sec 2 tan 10α + ° − α + ° .
A) 34
B) 43
C)
23
D) 32
E) 16
D
F
C
BA
A
E
B
D
3
2
1C
θ
θ
Trigonometría Ejercicios – Semana 04
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12. Si una persona se inclina hacia adelante manteniendo la cintura fija en un ángulo de θ grados con la horizontal, entonces la fuerza F que ejercen los músculos de la espalda se modela en
( )0.6W 2 sen(45 ) cos(45 )F
sen15° + θ + ° + θ
=°
Donde W es el peso de la persona. ¿Para qué valor de θ es F máxima?
A) 4π B) 0 C)
4π
−
D) 2π E)
6π
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Simplifique:
( )2 2W 2 3 cos 1840 cos 2540 csc 20= ° − ° ° . A) – 3 B) – 2 C) – 1 D) 1 E) 0
2. Si x y z+ + = π , simplifique:
2 2 cotyP 2 cot x.cot y
tan x.tanz tanzπ π
= π + + .
A) 1 B) 0 C) 2π D) 22π E) 4π
3. Calcular:
tan tan8 8M
1 tan tan8 8
π π + α + − α =
π π + + α − α
.
A) tan8π B) cot
8π C) 2 sec 2
2α
D) – 1 E) tan2α
4. Calcule el valor de la expresión:
P sec10 3 sec10= ° − ° A) 4 B) 2 C) 6 D) 8 E) 3
5. Calcule: 3sen50 sen40Hsen25 sen65
° − °=
° − °
A) 2 B) 2− C) 0 D) 1 E) 2 2−
6. Calcule:
2csc10 2sen70 .sec 80N
sec 80+
=
.
A) 1 B) – 1 C) 0,5 D) 0,5− E) 2
7. En la figura mostrada, calcule tanα
A) 12
B) 14
C) 18
D) 35
E) 45
8. Si 1tan
14 2π − α =
, calcule 5cot
28π + α
.
A) 13
B) 12
C) 2
D) 1 E) 3
9. Si tanα y tanβ son las raíces de la ecuación 2x 5x 4 0− − = . Halle el valor de α + β .
A) 18π B)
10π C)
4π
D) 5π E)
6π
10. En la figura adjunta, determine la longitud de AB. A) 2 3
B) 3 3
C) 6 3
D) 4 3
E) 5 3
Trigonometría Ejercicios – Semana 04
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11. Si x y 60 ,− = ° simplifique:
( ) ( )( )3
sen x 2y csc y sec y cos x 2y1
sen x y secy.csc y− + −
−−
.
A) 0,4 B) 0,3 C) 0,5 D) 1,5 E) 0,6−
12. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado, 2.BE EF= , BF FC= y m EAF = ϕ
. Halle sec θ .
A) 18513
B) 15012
C) 17013
D) 1402
E) 18113
13. Si ( )sen a.cos 0α + β − θ = y ( )cos b.sen 0,α + β − θ = halle ( )sen α + β + θ en términos de a y b.
A) a ba b−+
B) 1 ab1 ab+−
C) a ba b+−
D) 1 aba b++
E) 2
2 21 ab a−−
14. Si ( ) ( )sen sen mα + β α −β = , ( ) ( )cos cos nα + β α −β = y 2sen sen pα β = . Encuentre la relación entre m, n y p. A) ( )2 2 2m 1 n p− + = B) ( )2 2 2m 1 n p− − =
C) ( )2 2 2n 1 m p− + = D) ( )2 2 2n 1 m p− − =
E) 2 2 2n m p+ =
