7/25/2019 treciB2015 (1)jkiji

1/2

MATEMATIKA ZA EKONOMISTE 1 27.01.2015.

B

treci kolokvij

PREZIME, IME SEMINARSKA GRUPA BODOVI

1. a) Kada su dvije funkcije jednake? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

b) Zadana je funkcijag(x) =log4

x2 4x + 5

1.

i) Odredite domenu funkcijeg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

ii) Odredite nultocke funkcijeg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. a) Napiite definiciju omedenosti funkcije odozgo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

b) Funkcija fzadana je svojim grafom na donjoj slici.

4 3 2 1 1 2 3 4 5 6

1

2

3

0 x

y

i) Je li f omedena funkcija. Obrazloite svoj odgovor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

ii) Napiite neki interval na kojemu funkcija f raste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

iii) Da li funkcija f ima tocke u kojima se postiu lokalni ili globalni ekstremi? Obrazloite svojodgovor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3. Na nekom natjecanju je podijeljeno ukupno 15 nagrada. Uz prvu nagradu dodjeljuje se i novcani

iznos od 5 000 kn, a uz svaku sljedecu novcani iznos za 250 kn manji nego uz prethodnu nagradu.

a) Koliki se novcani iznos dodjeljuje uz petnaestu nagradu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

b) Koliki je ukupni novcani fond za nagrade? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

c) Koliko je ukupno novaca podijeljeno od devete docetrnaeste nagrade? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4. a) Odredite koeficijent smjera tangente na graf funkcijeh(x) = x3 u tocki x0 =1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

b) Odredite derivacije sljedecih funkcija:

i) f(x) =x5 + 3x2 + 1

ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

ii) g(x) =4x3 lnx4 + 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

5. Neka jepcijena jednog proizvoda, a kolicinaq prodanih proizvoda ovisi o cijeni pi dana je funkci-

jomq(p) =12004p.

a) Odredite funkciju prihoda u ovisnosti o cijeni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

b) Odredite za koju cijenu se ostvaruje maksimalni prihod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2c) Koliko iznosi maksimalni prihod i koliko se proizvoda proda u tom slucaju? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

7/25/2019 treciB2015 (1)jkiji

2/2

MATEMATIKA ZA EKONOMISTE 1 27.01.2015.

B

rjeenja treceg kolokvija

1. a) Dvije funkcije su jednake ako imaju iste domene, iste kodomene i jednako pravilo pridruivanja.

b)

5 3 1 1

2

4

6

8

x

y

i) Rjeenje kvadratne nejednadbex2 4x +5 > 0 je interval5, 1. Stoga je Dg =5, 1.

ii) log4

x2 4x + 5

1 =0 log4

x2 4x + 5

=1

x2 4x + 5 =41 x2 4x + 1 =0 x1 =2 +

5, x2 =2

5

2. a) Za funkciju fkaemo da je omedena odozgo ako postoji M Rtakav da je f(x) Mza svakox Df.

b) i) Funkcija fje omedena jer je 1 f(x) 3 za svaki x iz domene funkcije f.

ii) Funkcija fraste na intervalu1,+.iii) Funkcija f u tocki x = 1 postie lokalni minimum koji je u ovom slu caju ujedno i globalni

minimum.

3. Neka jean iznos u kunama koji se dodjeljuje za n-tu nagradu. Tada je (an) aritmeticki niz u kojemu

jea1 =5000 id=

250.

a) a15 =a1 + 14d=5000 + 14(250) =1500. Za petnaestu nagradu dodjeljuje se 1500 kn.b) S15 =

152 a1 + a15

=

152 5000 + 1500 =48750.

Ukupni novcani fond za nagrade iznosi 48750 kn.

c) S14 = 14

2 25000 + 13(250) =47250, S8 = 82

25000 + 7(250) =33000,

S14S8 =14250. Od devete docetrnaeste nagrade podijeljeno je ukupno 14250 kn.

4. a) h(x) =3x2, h(

1) =3. Traeni koeficijent smjera tangente jednak je 3.

b) i) f(x) =x5 + 5x4 + 3x2 + 6x + 1

ex

ii) g(x) =12x2 4x3x4+5

5. a) P(p) = pq(p) =1200p4p2

b) P(p) =12008p, P(p) =8, 12008p =0 p =150, P(150) < 0Maksimalni prihod se postie po cijeni od 150 novcanih jedinica.

c) P(150) =90 000, q(150) =600

Maksimalni prihod iznosi 90 000 novcanih jedinica i pritom se proda ukupno 600 proizvoda.