trdnost1

Trdnost

M ARJAN S TANEK IN G ORAN T URK

L JUBLJANA , 29.

AVGUST

2002

T O JE ( S E VEDNO ) DELOVNA RAZLI CICA SKRIPTA . V SEM , KI ME BODO OPOZORILI NA TIPKARSKE , RA CUNSKE IN DRUGE NAPAKE , SE LEPO ZAHVA H VALE Z EN BOM TUDI VSEM ,KI MI BODO POSLALI PRIPOMBE IN KOMENTARJE .

LJUJEM .

S VOJE KOMENTARJE , MNENJA , GTURK @ FGG . UNI - LJ . SI L EP POZDRAV, G ORAN T URK

POPRAVKE ... LAHKO PO S JETE TUDI NA :

Vsebina

Vsebina 1 Upogib z osno silo 1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Pomiki in vzdol na normalna napetost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z 1.2.1 Opis oznak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Zveza med napetostmi in notranjimi silami . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Ravnote ne ena be za nosilec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z c 1.2.4 Kinemati ne ena be . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c c 1.2.5 Vzdol na normalna napetost in ena be za ra un pomikov . . . . . . . . . z c c 1.2.6 Robni pogoji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Geometrijske karakteristike pre nega prereza . . . . . . . . . . . . . . . c 1.2.8 Ra unanje pomikov in zasukov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 1.2.9 Ra unanje vzdol ne normalne napetosti in dolo anje jedra prereza . . . . c z c 1.3 Stri ni in pre ni normalni napetosti v nosilcu s konstantnim pre nim prerezom . . z c c 1.3.1 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Glavne normalne napetosti v nosilcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Stri ni in pre ni normalni napetosti v nosilcu s spremenljivim pre nim prerezom z c c 1.5.1 Krivo rtne koordinate ploskve ter diferencial plocine ploskve . . . . . . c s 1.5.2 Ravnote ne ena be za nosilec s spremenljivim pre nim prerezom . . . . z c c 1.5.3 Stri ni in pre ni normalni napetosti v nosilcu s spremenljivim prerezom . z c 1.6 Pomiki linijskega nosilca z upotevanjem stri nih deformacij . . . . . . . . . . . s z 1.7 Nosilec z ukrivljeno osjo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Tenzor deformacij glede na ukrivljene koordinate . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Pomiki ter vzdol na normalna napetost . . . . . . . . . . . . . . . . . . z 1.7.3 Stri na in pre na normalna napetost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z c 1.8 Ena be gibanja nosilca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c

ii 1 1 2 2 3 4 11 15 20 22 40 82 118 124 142 149 149 151 154 161 174 175 176 181 188

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vsebina 2 Enakomerna torzija 2.1 Ena be enakomerne torzije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 2.2 Reevanje ena b enakomerne torzije po metodi pomikov . . . . s c 2.3 Reevanje ena b enakomerne torzije po metodi napetosti . . . . s c 2.3.1 Analiti na reitev za elipti no obliko pre nega prereza . c s c c 2.3.2 Analiti na reitev za pravokotno obliko pre nega prereza c s c 2.3.3 Membranska analogija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Zveza med izbo itveno in napetostno funkcijo . . . . . . c 2.4 Enakomerna torzija nosilcev s tankostenskim prerezom . . . . . 2.4.1 Nosilci z odprtim tankostenskim pre nim prerezom . . . c 2.4.2 Nosilci z zaprtim tankostenskim pre nim prerezom . . . c 2.5 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Stri no in torzijsko sredice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z s 2.6.1 Stri no sredice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z s 2.6.2 Torzijsko sredice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s

iii 192 192 199 203 211 218 222 224 228 229 236 246 267 267 272 276 276 276 280 282 282 283 288 313 313 313 315 324 328 334 336 354 354 359 363 364 377 382

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

3

Metoda pomikov 3.1 Ravninsko pali je . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 3.1.1 Kinemati na ena ba in Hookov zakon . . . . . . . . . . . . . c c 3.1.2 Ravnote na pogoja za vozlice pali ja . . . . . . . . . . . . . z s c 3.1.3 Ravnote ni pogoji za vsa vozlica . . . . . . . . . . . . . . . z s 3.1.4 Sestavljanje togostne matrike konstrukcije . . . . . . . . . . . 3.1.5 Robni pogoji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 Ra unski primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 3.2 Ravninski okvir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Osnovne predpostavke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Opis oznak in koordinatnih sistemov . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Togostna matrika elementa v lokalnem koordinatnem sistemu 3.2.4 Togostna matrika elementa v globalnem koordinatnem sistemu 3.2.5 Ravnote ni pogoji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z 3.2.6 Sestavljanje togostne matrike konstrukcije . . . . . . . . . . . 3.2.7 Ra unski primer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Virtualni pomiki in virtualne sile 4.1 Izrek o virtualnih pomikih . . . . . . . . . . 4.1.1 Betti-Rayleighjev in Maxwellov izrek 4.1.2 Podajnostna in togostna matrika . . . 4.1.3 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Izrek o virtualnih silah . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

4

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

iv 5 Uporaba izreka o virtualnih silah 5.1 Pomiki in zasuki posameznih to k stati no dolo enih linijskih konstrukcij . . . . c c c 5.1.1 Delo virtualnih napetosti za upogib z osno silo in temperaturno obte bo . z 5.1.2 Delo virtualnih napetosti zaradi stri nih sil . . . . . . . . . . . . . . . . z 5.1.3 Delo virtualnih napetosti zaradi torzijskega momenta . . . . . . . . . . . 5.1.4 Delo virtualnih napetosti v linijskem elementu . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Dolo itev pomika in zasuka v to ki na osi ravnega linijskega nosilca . . . c c 5.1.6 Delo virtualnih napetosti v linearno elasti nih vzmeteh . . . . . . . . . . c 5.1.7 Vpliv stri nih napetosti zaradi pre nih sil na pomike linijskega nosilca . . z c 5.1.8 Ra un pomikov stati no dolo enih linijskih konstrukcij z ukrivljeno osjo c c c 5.2 Notranje sile in pomiki stati no nedolo enih linijskih konstrukcij z metodo sil . . c c 5.2.1 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vsebina 387 387 387 389 391 393 394 436 445 452 458 468

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

6

Geometrijska nelinearnost nosilcev 576 6.1 Geometrijska nelinearnost ravnega nosilca v ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 6.1.1 Teorija drugega reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 6.1.2 Togostna matrika linijskega elementa z ravno osjo po teoriji II. reda . . . . . . . 596 Ravnote je konzervativnega sistema z 604 7.1 Prvi zakon termodinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 Stabilnost konzervativnih sistemov 610 8.1 Stabilno in nestabilno ravnote no stanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610 z 8.2 Nekateri pojmi analize stabilnosti konstrukcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 624

7

8

Stvarno kazalo

1 Upogib z osno silo1.1 UvodOsnovne ena be teorije elasti nosti (kinemati ne ena be, ravnote ne ena be in Hookov zakon) uporac c c c z c bimo pri ra unskem obravnavanju deformiranja poljubnega trdnega telesa. Obravnavamo linijski nosilec c z ravno osjo. Geometrija nosilca je podana z dol ino in lego osi nosilca in obliko ter dimenzijami pre nih z c prerezov pravokotnih na os. Lo eno obravnavamo dve vrsti obte be: upogib z osno silo in enakomerno c z torzijo. Pri upogibu z osno silo je nosilec obte en tako, da sta zasuk x okrog vzdol ne osi nosilca ter z z enaka ni . Enakomerno torzijo, pri kateri je = 0, obravtorzijski moment MxS na stri no sredice z s c x navamo v poglavju 2. Upogib z osno silo razdelimo na ve razdelkov. V razdelku 1.2 izpeljemo ena be za ra un pomikov c c c ux , uy in uz ter vzdol ne normalne napetosti xx zaradi osne sile Nx in upogibnih momentov My in z Mz . Pri tem vpliv pre nih sil Ny in Nz na pomike in vzdol no normalno napetost zanemarimo. Pri c z izpeljavi uporabimo kinemati ne ena be in Hookov zakon. V razdelku 1.3 izpeljemo ena bi za ra un c c c c stri nih napetosti xy in xz v pre nem prerezu Ax ter ena bi za ra un pre nih normalnih napetosti v z c c c c nosilcu s konstantnim pre nim prerezom. Pri izpeljavi uporabimo ravnote ne ena be za del nosilca. V c z c razdelku 1.4 ra unamo glavne normalne napetosti v nosilcu s konstantnim pre nim prerezom. Stri ni c c z in pre ni normalni napetosti v nosilcu s spremenljivim pre nim prerezom obravnavamo v razdelku 1.5. c c V razdelku 1.6 ra unamo pomike nosilca tako, da upotevamo tudi vpliv stri nih napetosti. Nosilec z c s z ukrivljeno osjo obravnavamo v razdelku 1.7, ena be za ra un pomikov nosilca pri obte bi, ki se s casom c c z spreminja zapiemo v razdelku 1.8. s Ker so dimenzije pre nega prereza bistveno manje od dol ine nosilca, je velikost pre nih normalnih c s z c napetosti yy , zz in stri ne napetosti yz zanemarljiva v primerjavi z vzdol no normalno napetostjo z z xx in s stri nima napetostima xy in xz . Na sliki 1.1 prikazujemo napetosti, ki jih v nosilcu obi ajno z c upotevamo. s

Glej tudi razdelek 2.6.1.

2

1 Upogib z osno silo

S LIKA 1.1: V nosilcu obi ajno upotevamo le vzdol no normalno napetost xx in stri ni napetosti c s z zxy in xz v ravnini pre nega prereza c

1.2 Pomiki in vzdol na normalna napetost zV tem razdelku izrazimo notranjo silo N in notranji moment M v pre nem prerezu Ax z vektorjem c napetosti x in ponovno izpeljemo ravnote ni ena bi za nosilec, ki povezujeta zunanji obte bi P, M z c z ter notranjo silo N in notranji moment M . V nadaljevanju izrazimo pomike ux , uy , uz in zasuka y , z poljubnega delca (to ke kontinuuma) s pomiki u, v in w osi nosilca, izpeljemo diferencialne ena be za c c ra un pomikov u, v in w ter zapiemo normalno napetost xx z notranjimi silami Nx , My in Mz . c s

1.2.1

Opis oznak

Za nosilec je zna ilno, da je njegova dol ina L bistveno ve ja od dimenzij pre nega prereza Ax (slika c z c c 1.2) L max | x |. (1.1)

S LIKA 1.2: Ravni nosilec dolo ajo pre ni prerezi Ax z mejno crto Cx in os linijskega nosilca z c c dol ino L z

1.2 Pomiki in vzdolna normalna napetost z

3

Krajevni vektor x poljubne to ke pre nega prereza Ax glede na te ice Tp zapiemo s komponentami c c z s s takole: x = y ey + z ez . (1.2) Koordinatni sistem postavimo tako, da poteka os x skozi te ica Tp pre nih prerezov Ax . Pre ni prerez z s c c dolo a ravnina, pravokotna na vzdol no os x. Mejno crto pre nega prereza Ax dolo a sklenjena krivulja c z c c Cx . Z Ax ozna imo plo cino pre nega prereza Ax , s Cx pa dol ino mejne crte Cx . Ker so dimenzije c s c z pre nega prereza bistveno manje od dol ine nosilca, ga obravnavamo z enodimenzionalnim ra unskim c s z c modelom, ki ga dolo a os nosilca. Os nosilca je obi ajno krivulja, ki povezuje te ica Tp vseh pre nih c c z s c prerezov Ax . V tem razdelku obravnavamo linijske nosilce z ravno osjo in s spremenljivim pre nim c prerezom. Pri tem os nosilca sovpada z osjo x.

1.2.2

Zveza med napetostmi in notranjimi silami

Rezultanta napetosti N v prerezu AN je notranja sila NN , rezultirajo i moment glede na izbrano to ko c c ON v prerezu AN pa notranji moment MN NN =AN

N dAN

(1.3)

MN =AN

N N dAN

(1.4)

Enota za notranjo silo je N (Newton), za notranji moment pa Nm (Newtonmeter). Za pre ni prerez Ax z c normalo ex ozna imo notranjo silo z Nx , notranji moment pa z Mx . Oznako normale prereza obi ajno c c izpustimo Nx N =Ax

x dAx ,

(1.5)

Mx M =Ax

x x dAx .

(1.6)

Notranjo silo N razstavimo na osno silo Nx in pre ni sili Ny in Nz c N = Nx ex + Ny ey + Nz ez , notranji moment M pa na torzijski moment Mx in upogibna momenta My in Mz M = Mx ex + My ey + Mz ez .

(1.7)

(1.8)

M. Stanek, G. Turk, Osnove mehanike trdnih teles, Univerza v Ljubljani, FGG, Ljubljana, 1998.

4


Ce ena bi (1.5) in (1.6) zapiemo v skalarni obliki, dobimo notranje sile in notranje momente izra ene z c s z napetostmi (slika 1.3) (upotevamo ena bi (1.7) in (1.8) ter s c x x = (y xz z xy ) ex + z xx ey y xx ez ) Nx =Ax

xx dAx ,

Ny =Ax

xy dAx ,

Nz =Ax

xz dAx ,

(1.9)

Mx =Ax

(y xz z xy ) dAx ,

My =Ax

z xx dAx ,

Mz = Ax

y xx dAx .

(1.10)

S LIKA 1.3: a) Notranja sila dN pripada ploskvi dAx

b) Notranja sila N in notranji moment M v te icu prereza Ax z s

1.2.3

Ravnote ne ena be za nosilec z c

Obravnavamo del nosilca dol ine x, ki zavzema obmo je V1 , dolo eno s ploskvami Ax0 , Ax in S1 . z c c Odstranjeni desni del nosilca nadomestimo z notranjo silo N in z notranjim momentom M (slika 1.4).

S LIKA 1.4: Na nosilec delujejo zunanja obte ba pS in v ter notranja sila N in notranji moment M z

1.2 Pomiki in vzdolna normalna napetost z Krajevni vektor r0 to ke na osi nosilca, v kateri nosilec prere emo, ima smer koordinatne osi x c z r0 = x ex . Ravnote na pogoja za obravnavani del nosilca z R = 0,O MR = 0

5

(1.11)

(1.12)

izrazimo z zunanjo povrinsko obte bo pS , s prostorninsko obte bo v, z notranjo silo N in z notranjim s z z momentom M . Prvi ravnote ni pogoj je (z N (0) ozna imo integral Ax0 pS dAx ) z cx

pS (, y, z) dCx + x Ax

x v(, y, z) dAx d + N = 0. x (1.13)

N (0) +S1

pS dS +V1x 0

v dV + N = N (0) +0

Cx

Izraz v integralu

v ena bi (1.13) ozna imo s P(x) in ga imenujemo linijska obte ba c c zP(x) = Cx

pS dCx +Ax

v dAx .

(1.14)

Tako jex

N (0) +0

P() d + N = 0. x x

(1.15)

Z odvajanjem ena be (1.15) po zgornji meji x dobimo prvo izmed ravnote nih ena b ravnega linijskega c z c nosilca, ki smo jo izpeljali ze pri Statiki (ravnote na ena ba za pre ni prerez) z c c dN + P(x) = 0. dx (1.16)

Tudi momentni ravnote ni pogoj izrazimo z zunanjima obte bama pS in v ter z notranjo silo N in notraz z njim momentom M (z M (0) ozna imo integral Ax0 x pS dAx ) c M (0) +S1x

r pS dS + V1

r v dV + r0 N + M (1.17) r v(, y, z) dAx d + r0 N + M = 0, x x Ax

= M (0) +0

r pS (, y, z) dCx + x Cx

M. Stanek, G. Turk, Statika I, Univerza v Ljubljani, FGG, Ljubljana, 1996.

6 kjer krajevni vektor r opisuje to ke v integracijskem obmo ju Ax : c c r = r 0 + x . Upotevamo ena bi (1.2) in (1.18) s cx x


(1.18)

M (0)+0 Cx

r0 pS dCx + Ax

r0 v dAx d+ x0 Cx

x pS dCx + Ax

x v dAx d+r0 N +M = 0. x (1.19)

Vektor r0 je neodvisen od y in z, zato ga lahko izpostavimo iz integralov po Cx in Ax x x

M (0)+0

r0 Cx

pS dCx + Ax

v dAx d+ x0 Cx

x pS dCx + Ax

x v dAx d+r0 N +M = 0. x

(1.20) Izraz v prvem oklepaju smo ozna ili s P(x), izraz v drugem oklepaju ozna imo z M(x) in imenujemo c c linijska momentna obte ba zM(x) = Cx

x pS dCx +Ax

x v dAx .

(1.21)

Iz (1.20) dobimox x

M (0) +0

r0 P() d + x x0

M() d + r0 N + M = 0. x x

(1.22)

Ena bo (1.22) odvajamo po zgornji meji x c r0 (x) P(x) + M(x) + Ker je (glej ena bo (1.11)) c dr0 = ex , dx dobimo r0 P(x) + dN dx + M(x) + ex N + dM = 0. dx (1.24) dr0 dN dM N + r0 + = 0. dx dx dx (1.23)

Upotevamo prvo ravnote no ena bo (1.16) in dobimo drugo ravnote no ena bo za nosilec, ki jo ze s z c z c poznamo dM + ex N + M(x) = 0. dx

(1.25)



7

Linijska obte ba P(x) predstavlja nadomestno obte bo ra unskega modela nosilca z enoto N/m. Linijz z c ska momentna obte ba M(x) pa predstavlja nadomestno momentno obte bo z enoto Nm/m. Povrinsko z z s in prostorninsko obte bo pS (x, y, z) in v(x, y, z), ki sta funkciji treh spremenljivk, integriramo po z pre nem prerezu Ax oziroma vzdol njegove meje Cx in tako dobimo funkciji ene spremenljivke. V c z primeru ravnega nosilca je to x. Ena bi (1.14) in (1.21) zapiimo v komponentni obliki c sP(x) = Px ex + Py ey + Pz ez , M(x) = Mx ex + My ey + Mz ez .

(1.26) (1.27)

Ce zapiemo v komponentni obliki tudi zunanji obte bi pS in v s z pS (x, y, z) = pSx ex + pSy ey + pSz ez , v(x, y, z) = vx ex + vy ey + vz ez

in upotevamo ena be (1.14), (1.21) in (1.2), lahko izrazimo komponente linijske in linijske momentne s c obte be takole: zPx (x) = Cx Py (x) = Cx Pz (x) = Cx Mx (x) = Cx My (x) = Cx Mz (x) = Cx

pSx dCx +Ax

vx dAx ,

pSy dCx +Ax

vy dAx ,

(1.28)

pSz dCx +Ax

vz dAx ,

(y pSz z pSy ) dCx +Ax

(y vz z vy ) dAx ,

z pSx dCx +Ax

z vx dAx ,

(1.29)

y pSx dCx Ax

y vx dAx .

c V ena bah (1.16) in (1.25) so vse koli ine odvisne le od spremenljivke x. To pomeni, da smo problem c prevedli na os nosilca. Ra unski model obravnavane konstrukcije je torej enodimenzionalno telo. c Zapisali smo ravnote ne ena be za linijski nosilec. z c Ce upotevamo zvezo s ex N = ex ey ez 1 0 0 Nx Ny Nz = Nz ey + Ny ez ,

8 lahko zapiimo ravnote ne ena be (1.16) in (1.25) v skalarni obliki s z c dNx + Px = 0, dx dMx + Mx = 0, dx dNy + Py = 0, dx dMy Nz + My = 0, dx dNz + Pz = 0 dx


(1.30) (1.31)

dMz + Ny + Mz = 0. dx

Ena be (1.30) in (1.31) izra ajo ravnote je v poljubnem pre nem prerezu nosilca in povezujejo notranje c z z c sile Nx , Ny , Nz in notranje momente Mx , My , Mz z zunanjo obte bo Px , Py , Pz , Mx , My in Mz . Te z ena be smo izpeljali ze pri Statiki. To so navadne diferencialne ena be prvega reda, ki jih reimo tako, c c s da jih integriramo. Iz ena b (1.30) najprej izra unamo notranje sile Nx , Ny , Nz . Z znano reitvijo za Nx , c c s Ny in Nz iz ena b (1.31) dolo imo se notranje momente Mx , My in Mz . Pri reevanju diferencialnih c c s ena b moramo upotevati robne pogoje. Pri reevanju diferencialne ena be prvega reda potrebujemo en c s s c robni pogoj, pri reevanju diferencialne ena be drugega reda potrebujemo dva robna pogoja. Ce zadnji s c dve izmed ena b (1.31) odvajamo po x in uporabimo zadnji izmed ena b (1.30), dobimo c c d 2 My d My + Pz + = 0, 2 dx dx d 2 Mz d Mz Py + = 0. 2 dx dx (1.32)

Ena bi (1.32) sta ravnote ni ena bi, iz katerih lahko z integriranjem izra unamo notranji moment My c z c c oziroma Mz neposredno iz linijske obte be in linijske momentne obte be. z z Primer 1.1 Vodna zapornica, sestavljena iz navpi nih jeklenih nosilcev oblike C in vodoravnih hrastovih c plohov, se naslanja na vrsto navpi nih jeklenih stebrov oblike I. Dolo imo zunanjo linijsko obtebo na c c z jekleni steber oblike I v trenutku, ko za nemo zapornico dvigovati (slika 1.5)! Viina zapornice je H = c s 2 m, dimenzije stebra oblike I so b = 10 cm, h = 20 cm, t = 1 cm, razdalja a = 1 m med stebri je veliko manja od sirine zapornice L (L s a). Plocina Ax pre nega prereza Ax stebra oblike I je s c Ax = 2 b t + (h 2 t) t = 38 cm2 = 0.0038 m2 .

Obte ba teko ine pravokotno na plohe naraca linearno z globino vode (slika 1.5) z c s pSz (x) = v (H x), kjer je speci na te a vode v = 9.8 kN/m3 . S px ozna ujemo obte bo, s katero zapornica oziroma c z c z nosilec oblike C ob dvigovanju zapornice zaradi trenja delujejo na navpi ne stebre. Ta obte ba je zato c z pSx (x) = pSz (x) kt , (1.33)

kjer je pz normalna obte ba, s katero zapornica pritiska na stebre, kt = 0.12 pa je koecient trenja med z jeklenima povrinama (med nosilcem oblike C in stebrom oblike I). s


9

S LIKA 1.5: Voda preko hrastovih plohov obte uje navpi ne stebre oblike I z c Prostorninska te a stebrov je z v = j ex , kjer je j = na sliki 1.6a! 76.5 kN/m3 . Na dol ino pregrade a, ki pripada enemu stebru, deluje obte ba kot je prikazano z z

Ce obte bo teko ine pz (x), ki deluje na sirini a, nadomestimo z obte bo pz (x) na sirino b stebra oblike z c z I in pri tem upotevamo, da se porazdeli enakomerno, je steber oblike I obte en z (slika 1.6b) s z pSz (x) = a a p (x) = v (H x). b Sz b (1.34)

S LIKA 1.6: a) Na steber deluje obte ba pSz na sirini a z b) Obte bo pSz nadomestimo z obte bo na sirini b z z

Linijsko obte bo, ki deluje v te icu stebra oblike I izra unamo po ena bah (1.28) in (1.29) z z s c c

10Px (x) = Cx Py (x) = Cx Pz (x) = Cx Mx (x) = Cx My (x) = Cx Mz (x) = Cx

1 Upogib z osno silo pSx dCx +Ax

vx dAx ,

pSy dCx +Ax

vy dAx ,

(1.35)

pSz dCx +Ax

vz dAx ,

(y pSz z pSy ) dCx +Ax

(y vz z vy ) dAx ,

z pSx dCx +Ax

z vx dAx ,

(1.36)

y pSx dCx Ax

y vx dAx .

Povrinska obte ba pS na steber oblike I (glej ena bi (1.33) in (1.34)) je: s z c rob z = h a : pSx = pSz kt = v (H x) kt , 2 b pSy = 0, a pSz = v (H x) b drugi robovi: pSx = pSy = pSz = 0

(1.37)

Prostorninska obte ba v na steber oblike I je: z vx = j , vy = vz = 0. (1.38)

V ena bah (1.35) in (1.36) upotevamo ena be (1.37) in (1.38) ter dolo imo linijske obte be na steber c s c c z oblike I:b/2

Px (x) =b/2

v (H x)

a kt dy + b

j dAx =

a = v (H x) kt b j Ax = 9.8 (2 x) 1 0.12 76.5 0.0038 = 2.061 1.176 x, b Py (x) = 0,b/2

Ax

Pz (x) =b/2

v (H x)

a dy = v (H x) a = 9.8 (2 x) 1 = 19.6 9.8 x, b

1.2 Pomiki in vzdolna normalna napetost zb/2

11

Mx (x) =b/2

y v (H x)b/2

a dy = 0, b

My (x) = b/2

a h v (H x) kt dy + 2 b

z (j ) dAx =

Ax

h = v (H x) a kt = 0.10 9.8 (2 x) 1 0.12 = 0.235 + 0.118 x, 2b/2

Mz (x) =b/2

y v (H x)

a kt dy b

y (j ) dAx = 0.

Ax

Linijska obte ba je torej zP(x) = (2.061 1.176 x) ex + (19.6 9.8 x) ez ,

linijska momentna obte ba pa je zM(x) = (0.235 + 0.118 x) ey .

1.2.4

Kinemati ne ena be c c

Deformiranje razli no obte enih nosilcev lahko analiziramo na osnovi eksperimentalnih rezultatov. Na c z sliki 1.7 prikazujemo eksperiment, ki ga je opravil Galileo leta 1638

S LIKA 1.7: Galileov eksperiment na nosilcu

J. F. Bell, The Experimental Foundations of Solid Mechanics, (Mechanics of Solids, ed. C. Truesdell,Volume I, Springer Verlag, 1984). Galileo Galilei, italijanski astronom in zik, 1564-1642.

12


Ce je ravni nosilec tako obte en, da je torzijski zasuk x okrog vzdol ne osi nosilca enak ni z z c x yz = 0. (1.39) lahko ugotovimo, katere deformacije so prevladujo e in katere zanemarljive. Ce na linijski nosilec c nariemo pravokotno mre o in ga obte imo tako, da se ne pojavijo zasuki x okrog vzdol ne osi, ugos z z z tovimo, da pride do opaznih sprememb dol in vzdol nih vlaken, spremembe pre nih dimenzij nosilca in z z c spremembe pravih kotov pa so zanemarljivo majhne (slika 1.8). Na osnovi rezultatov eksperimentalnih preiskav ugotovimo, da je razli na od ni le speci na sprememba c c c xx v vzdol ni smeri, preostale deformacije pa so zanemarljive z xx = xx (x, y, z), yy zz xy yz zx 0. (1.40)

S LIKA 1.8: a) Pravokotna mre a na nosilcu pred deformiranjem zb) Mre a po deformiranju nosilca z

Ena be (1.40) vstavimo v kinemati ne ena be c c c u = x + ex = xx ex + xy ey + xz ez + xy ey + xz ez , x u = y + ey = yx ex + yy ey + yz ez + yx ex + yz ez , y u = z + ez = zx ex + zy ey + zz ez + zx ex + zy ey z in zapiemo v skalarni obliki s ux = xx , x ux = yx + yx = z , y

(1.41)

(1.42) (1.43)

M. Stanek, G. Turk, Osnove mehanike trdnih teles, Univerza v Ljubljani, FGG, 1998.

1.2 Pomiki in vzdolna normalna napetost z ux z uy x uy y uy z uz x = zx + zx = y , = xy + xy = z , = yy = 0, = zy + zy = x = 0, = xz + xz = y ,

13 (1.44) (1.45) (1.46) (1.47) (1.48)

uz = yz + yz = x = 0, y uz = zz = 0. z

(1.49) (1.50)

Iz ena b (1.46) in (1.47) sledi, da je pomik uy le funkcija x, saj sta odvoda uy /y in uy /z enaka c ni . Iz ena b (1.49) in (1.50) ugotovimo isto za pomik uz c c uy uy = = 0 uy = uy (x), y z uz uz = = 0 uz = uz (x). y z (1.51)

To pomeni, da lahko pre na pomika uy in uz poljubne to ke pre nega prereza nosilca opiemo kar s c c c s pomiki vzdol ne te icne osi (pomiki uy in uz vseh to k pre nega prereza so enaki). Ce v ena bah z z s c c c (1.45) in (1.48) upotevamo ena bi (1.51), dobimo s c y = y (x), z = z (x). (1.52)

Iz ena b yy = zz = yz = 0 sledi, da pre ni prerez Ax ohrani obliko in velikost, iz ena b (1.52) (ozic c c roma zaradi xy = xz = 0) pa sledi, da ostane raven. Pre ni prerez Ax se zasu e okrog osi y in z kot c c togo telo. Ravninski pre ni prerezi ostanejo ravninski in pravokotni na vzdol no os tudi po deformiranju c z nosilca. To lastnost imenujemo Navierova hipoteza. Za dolo itev vzdol nega pomika ux poljubne to ke Q(x, y, z) glede na izbrano to ko T0 (x0 , 0, 0) moc z c c ramo integrirati popolni diferencial pomika ux od izbrane to ke T0 (x0 , 0, 0) na vzdol ni te icni osi do c z z s poljubne to ke Q(x, y, z) cQ Q

dux =T0

ux ux ux dx + dy + dz . x y zT0

(1.53)

Claude Louis Marie Henri Navier, francoski in enir, 17851836. z M. Stanek, G. Turk, Osnove mehanike trdnih teles, Univerza v Ljubljani, FGG, 1998.

14 Zaradi ena b (1.42) do (1.44) sledi cQ


ux (x, y, z) = ux (x0 , 0, 0) +T0

(xx dx z dy + y dz).

(1.54)

Integracijsko pot od T0 do Q lahko pri integriranju totalnega diferenciala poljubno izberemo. Najla je z integriramo, ce celotno pot razdelimo na odseke, vzporedne koordinatnim osem (slika 1.9).

S LIKA 1.9: Integriramo po odsekih T0 T , T Q in Q Q Vzdol odseka T0 T je dy = dz = 0 in y = z = 0, vzdol odseka T Q je dx = dz = 0 in z = 0, z z vzdol odseka Q Q pa dx = dy = 0. To upotevamo v ena bi (1.54) in dobimo z s cx y z

ux (x, y, z) = ux (x0 , 0, 0) +x0

xx (, 0, 0) d x x0

z (x, y , 0) d + y0

y (x, y, z ) d. z

(1.55)

Ce vpeljemo oznako za vzdol ni pomik v osi ux (x, 0, 0) = u(x) zx

u(x) = ux (x0 , 0, 0) +x0

xx (, 0, 0) d x x

(1.56)

in upotevamo, da sta zasuka y in z le funkcija od x (ena ba (1.52)), dobimo s cy z

ux (x, y, z) = u(x) 0

z (x) d + y0

y (x) d = u(x) z (x) y + y (x) z. z

(1.57)

Ker se pomika uy in uz po pre nem prerezu ne spreminjata (ena ba (1.51)), zanju vpeljemo novi oznaki c c uy (x) v(x), uz (x) w(x). (1.58)


15

Ko oznaki (1.58) upotevamo v ena bah (1.45) in (1.48), izrazimo zasuka y in z s pomikoma v in w s c osi nosilca dw(x) dv(x) y = , z = . (1.59) dx dx Pomik ux poljubnega delca linijskega nosilca izrazimo s pomiki osi nosilca, ce (1.59) upotevamo v s (1.56) dv(x) dw(x) ux (x, y, z) = u(x) y z. (1.60) dx dx Deformacijo xx izrazimo s pomiki delca na osi nosilca, ce ena bo (1.60) vstavimo v (1.42) c xx = du(x) d2 v(x) d2 w(x) y z. dx dx2 dx2 (1.61)

Clena d2 v/dx2 in d2 w/dx2 dolo ata linearni del ukrivljenosti deformirane osi nosilca. Ena ba (1.61) c c predstavlja zvezo med vzdol no deformacijo xx vlakna v okolici obravnavanega delca ter med pomiki z delca na osi nosilca. Iz ena b (1.60) in (1.61) sledi, da se pomik ux in deformacije xx po pre nem c c prerezau spreminjata linearno (slika 1.10).

S LIKA 1.10: Pomik ux in deformacija xx sta linearni funkciji koordinat y in z

1.2.5

Vzdol na normalna napetost in ena be za ra un pomikov z c c

Pri izpeljavi ena b (1.59), (1.60) in (1.61) predpostavimo enoosno deformacijsko stanje, kjer je le deforc macija xx razli na od ni . Ceprav iz posploenega Hookovega zakona za enoosno deformacijsko stanje c c s sledi, da so vse tri normalne napetosti razli ne od ni c c xx = 2 xx + xx T T K K , yy = zz = xx T T K K , (1.62)

pri izpeljavi ena b za pomike u, v in w osi nosilca ter ena be za vzdol no normalno napetost xx predc c z postavimo enoosno napetostno stanje xx = 0, yy zz xy yz zx 0. (1.63) (1.64)

16


Predpostavke (1.63) in (1.64) privzamemo zato, ker pripeljejo do ena b, ki so dovolj preproste za c reevanje in dajejo dovolj dobre rezultate za in enirsko uporabo. Izraza za stri ni napetosti xy in xz , s z z katerih pri linijskem nosilcu ne smemo zanemariti, izpeljemo iz ravnote nih ena b za delec (glej razdez c lek 1.3). Teh ena b se namre nismo upotevali. c c s Vzdol no normalno napetost xx za upogib z osno silo izpeljemo, ce v posploenem Hookovem zakonu z s za deformacijo xx xx = upotevamo (1.64) s xx = 1 xx + T T + K . E (1.65) 1+ xx (xx + yy + zz ) + T T + K E E

Vzdol no normalno napetost xx izrazimo iz (1.65) in dobimo z xx = E (xx T T K ). (1.66)

Zaradi spremembe temperature okolice nosilca, se spremeni tudi temperatura nosilca. Ker so pre ne c dimenzije nosilca majhne v primerjavi z dol ino nosilca, obi ajno predpostavimo, da se temperatura z c nosilca po pre nem prerezu Ax spreminja linearno c T (x, y, z) = Tx (x) + Ty (x) y + Tz (x) z. (1.67)

Z T je ozna ena sprememba temperature poljubnega delca v nosilcu. Koecienti Tx , Ty in Tz c se lahko vzdol osi nosilca spreminjajo. Ce je sprememba temperature enaka za vse pre ne prereze z c nosilca, so Tx , Ty in Tz konstante, katerih vrednosti dolo imo, ce poznamo velikost spremembe c temperature treh delcev v pre nem prerezu Ax . Delci ne smejo le ati na isti premici. Enota Tx je C c z ali K, enota za Ty in Tz pa je C/m ali K/m. V nadaljevanju predpostavimo, da se deformacija K zaradi kr enja ali nabrekanja materiala spreminja c le v odvisnosti od koordinate x: K = K (x). (1.68) Pri nosilcu iz betona obi ajno vzamemo, da je deformacija K odvisna le od casa t: K = K (t). Ena be c c (1.61), (1.67) in (1.68) vstavimo v (1.66) in dobimo: xx =E =E

du d2 v d2 w 2y z T (Tx + Ty y + Tz z) K = dx dx dx2 d2 v d2 w du T Tx K + T Ty y + T Tz z . dx dx2 dx2

(1.69)

M. Stanek, G. Turk, Osnove mehanike trdnih teles, Univerza v Ljubljani, FGG, 1998.


17

Osno silo Nx in upogibna momenta My in Mz izrazimo s pomiki osi nosilca, ce (1.69) vstavimo v (1.9) in (1.10) du T Tx K Ax dx du My = E T Tx K Sy + dx du T Tx K Sz + Mz = E dx Nx = E d2 v + T Ty Sz dx2 d2 v + T Ty Iyz dx2 d2 v + T Ty Iz dx2 d2 w + T Tz Sy , (1.70) dx2 d2 w + T Tz Iy , (1.71) dx2 d2 w + T Tz Iyz . (1.72) dx2

V ena bah (1.70) (1.72) smo uporabili oznake za geometrijske karakteristike pre nega prereza Ax c c nosilca Ax =Ax

dAx ,

Sy =Ax

z dAx , z 2 dAx ,

Sz =Ax

y dAx , y 2 dAx ,Ax

(1.73) Iyz = Ax

Iy =Ax

Iz =

y z dAx .

Pri tem Ax ozna uje plocino pre nega prereza, Sy stati ni moment pre nega prereza glede na os y, Sz c s c c c stati ni moment pre nega prereza glede na os z, Iy vztrajnostni moment pre nega prereza glede na os y, c c c Iz vztrajnostni moment pre nega prereza glede na os z in Iyz deviacijski vztrajnostni moment pre nega c c 2 , stati na momenta v m3 , vztrajnostna in deviacijski prereza glede na osi y in z. Plocino merimo v m s c moment pa v m4 . Ra unanje geometrijskih karakteristik opiemo v razdelku 1.2.6. c s Ce sta osi y in z te icni, sta stati na momenta Sy in Sz enaka ni , ena be (1.70)(1.72) se poenostavijo z s c c c du T Tx K , dx d2 w d2 v + T Ty Iyz + T Tz Iy , 2 dx dx2 d2 w d2 v + T Ty Iz + T Tz Iyz . dx2 dx2

Nx = E Ax My = E Mz = E

(1.74) (1.75) (1.76)


18 Iz ena b (1.74) do (1.76) izra unamo odvode pomikov c c du Nx = + T Tx + K , dx E Ax d2 v 1 Mz Iy My Iyz = T Ty , 2 dx2 E Iy Iz Iyz d2 w 1 My Iz Mz Iyz = T Tz . 2 dx2 E Iy Iz Iyz


(1.77)

(1.78)

Ena be (1.77) in (1.78) dolo ajo zveze med pomiki u, v, w, notranjimi silami Nx , My , Mz , spremembo c c temperature T ter K deformacijo kr enja ali nabrekanja. Te ena be dolo ajo BernoulliEulerjevo c c c teorijo upogiba. To so navadne diferencialne ena be. Ena ba (1.77) je prvega reda, ena bi (1.78) sta c c c drugega reda. Navadno izberemo koordinatne osi x, y, z tako, da se te icni osi y in z ujemata z glavnima vztrajnoz s stnima osema yg , zg pre nega prereza. Takrat je deviacijski vztrajnostni moment Iyz pre nega prereza c c Ax enak ni (glej razdelek 1.2.6): c y yg , Ena be (1.77) in (1.78) so takrat: c du Nx = + T Tx + K , dx E Ax d2 v Mz = T Ty , 2 dx E Iz My d2 w = T Tz . 2 dx E Iy (1.80) z zg Iyz = 0. (1.79)

Ena be (1.80) dolo ajo zveze med pomiki u, v, w, notranjimi silami Nx , My , Mz , spremembo temperac c ture ter deformacije zaradi kr enja za primer, ko sta y in z glavni vztrajnostni osi pre nega prereza Ax , ki c c se lahko vzdol osi x spreminja. Navadna diferencialna ena ba za pomik u (prva izmed (1.80)) je prvega z c reda, ena bi za pomika v in w (druga in tretja izmed (1.80)) sta drugega reda. Ena be so linearne in nec c povezane (nesimultane). V prvi nastopa u, v drugi v in v tretji w. Ena be povezujejo pomike delcev na c te icni osi nosilca in notranje sile. Pri reevanju (integriranju) diferencialnih ena b moramo upotevati z s s c s robne pogoje za iskane funkcije u, v in w. Robni pogoji so odvisni od vrste podpor. Ena ba za pomik u c je prvega reda (v ena bi nastopa prvi odvod), zato za dolo itev funkcije u potrebujemo en robni pogoj. c c Preostali ena bi sta drugega reda, zato sta za ra un pomikov v in w potrebna po dva robna pogoja. c c Ce sta osi y in z te icni in glavni vztrajnostni osi, zapiemo upogibna momenta My in Mz s pomikoma z s s v in w takole (glej ena bi (1.71) in (1.72)): c My = E Iy d2 w E Iy T Tz , dx2 d2 v Mz = E Iz 2 + E Iz T Ty . dx

(1.81)

Jacob (Jacques) Bernoulli, svicarski matematik in astronom, 16541705, Leonhard Euler, svicarski matematik in zik, 17071783.

1.2 Pomiki in vzdolna normalna napetost z Pre ni sili Ny in Nz zapiemo s pomikoma v in w, ce v ena bah (1.31) upotevamo (1.81) c s c s Ny = dMz d d2 v Mz = E Iz 2 + E Iz T Ty Mz , dx dx dx 2w dMy d d Nz = + My = E Iy + E Iy T Tz + My . dx dx dx2

19

(1.82)

Ce se pre ni prerez Ax vzdol osi x ne spreminja, zapiemo (1.82) takole: c z s Ny = E Iz d(Ty ) d3 v E Iz T Mz , 3 dx dx d(Tz ) d3 w E Iy T + My . Nz = E Iy 3 dx dx

(1.83)

Ena bi (1.83) veljata za glavni vztrajnostni osi v te icu konstantnega pre nega prereza Ax . c z s c V nadaljevanju izpeljimo alternativno obliko ena b (1.80) za ra un pomikov u, v in w (ena be (1.80) c c c veljajo za glavni vztrajnostni osi v te icu pre nega prereza). V ta namen jih zapiimo v obliki z s c s du = Nx + E Ax (T Tx + K ), dx d2 v E Iz 2 = Mz E Iz T Ty , dx d2 w E Iy = My E Iy T Tz dx2 E Ax

(1.84)

ter prvo izmed ena b (1.84) enkrat odvajamo po x, drugo in tretjo ena bo pa dvakrat. Pri tem upotevamo c c s ena be (1.30) in (1.31), ki povezujejo notranje sile in zunanjo obte bo v pre nem prerezu ravnega nosilca c z c dNx = Px , dx d 2 Mz d Mz = Py , 2 dx dx d 2 My d My = Pz , 2 dx dx (1.85)

in dobimo diferencialno ena bo drugega reda za pomik u in diferencialni ena bi cetrtega reda za pomika c c u in w: d du d E Ax = Px + ( E Ax (T Tx + K ) ), dx dx dx d2 d2 v d Mz d2 E Iz 2 = Py 2 (E Iz T Ty ), dx2 dx dx dx 2 2w d My d d2 d E Iy = Pz + 2 (E Iy T Tz ). dx2 dx2 dx dx

(1.86)

20


Ena be (1.86) veljajo tudi, ce se prerez Ax vzdol osi nosilca spreminja. Osi y in z sta glavni vztrajnostni c z je pre ni prerez konstanten, dobimo osi v te icu pre nega prereza. Ce z s c c d2 u Px d (Tx ) dK = + T + , dx2 E Ax dx dx d2 (Ty ) d4 v 1 d Mz = Py T , dx4 E Iz dx dx2 d My 1 d2 (Tz ) d4 w = Pz + T . dx4 E Iy dx dx2

(1.87)

Ena be (1.87) veljajo, ce sta y in z glavni vztrajnostni osi v te icu konstantnega pre nega prereza. c z s c Pri integriranju prve izmed ena b (1.87) potrebujemo dva robna pogoja, pri integriranju druge in tretje c ena be pa po stiri robne pogoje. c Pomike u, v, w lahko ra unamo po ena bah (1.80) ali po ena bah (1.87). Ce uporabimo ena be (1.80), c c c c je konstrukcija stati no nedolo ena, jo moramo pri uporabi moramo poznati potek notranjih sil. Ce c c ena b (1.80) spremeniti v stati no dolo eno in upotevati se dodatne robne pogoje (glej primera 1.7 in c c c s 1.9). Ra unanje pomikov po ena bah (1.86) predstavlja metodo pomikov, ker ravnote ne ena be (1.85) c c z c izrazimo s pomiki. Vzdol no normalno napetost xx (1.69) izrazimo z notranjimi silami, ce upotevamo ena be (1.77) in z s c (1.78) My Iz Mz Iyz Nx Mz Iy My Iyz xx = y+ z. (1.88) 2 2 Ax Iy Iz Iyz Iy Iz Iyz Ce sta osi y in z glavni vztrajnostni osi, se (1.88) poenostavi xx = My N x Mz y+ z. Ax Iz Iy (1.89)

Ker so notranje sile neodvisne od y in z, je potek normalne napetosti xx po pre nem prerezu Ax linearen. c

1.2.6

Robni pogoji

Robne pogoje delimo na kinemati ne in stati ne. Kinemati ni robni pogoji predpiejo vrednosti za c c c s pomike in zasuke, stati ni pa za sile in momente. c Oglejmo si primer prostole e ega nosilca in konzole (slika 1.11). Vzemimo, da sta osi y in z glavni z c vztrajnostni osi ter, da so My , T in K enaki ni ! c

S LIKA 1.11: a) Prostole e i nosilec z c

b) Previsni nosilec

1.2 Pomiki in vzdolna normalna napetost z Prostole e i nosilec z c Kinemati ni robni pogoji: c x=0: x=L: Stati ni robni pogoji: c x=0: x=L: My (+0) = 0, Nx (L 0) = 0, My (L 0) = 0. u(0) = 0 w(L) = 0. in w(0) = 0,

21

(1.90)

Stati ne robne pogoje izrazimo s pomiki, ce upotevamo (1.80) c s Nx = E Ax Ce (1.91) vstavimo v (1.90), sledi: x=0: x=L: Previsni nosilec (konzola) Kinemati ni robni pogoji: c x=0: Stati ni robni pogoji: c x=L: Nx (L 0) = 0, My (L 0) = 0, Nz (L 0) = 0. (1.92) u(0) = 0, w(0) = 0, y (0) = dw dx = 0.(0)

du , dx

My = E Iy

d2 w . dx2

(1.91)

d2 w dx2 du dx

= 0,(+0)

= 0,(L0)

d2 w dx2

= 0.(L0)

Stati ne robne pogoje izrazimo s pomiki, ce v (1.92) upotevamo (1.80) in (1.83) c s Nx = E Ax du , dx My = E Iy d2 w , dx2 Nz = E Iy d3 w . dx3 (1.93)

Ce (1.93) vstavimo v (1.92), dobimo: du dx = 0,(L0)

d2 w dx2

= 0,(L0)

d3 w dx3

= 0.(L0)

22


Pri reevanju nalog iz mehanike trdnih teles velikokrat ni enostavno natan no upotevati robne pogoje. s c s Nalogo pogosto poenostavimo tako, da robne pogoje le pribli no izpolnimo in icemo reitev poenostaz s s vljene naloge. Pri tem upotevamo Saint-Venantov princip, ki pravi: Ce obtebo, ki deluje na delu s z mejne ploskve telesa zamenjamo z drugo stati no enakovredno obtebo, ki deluje na isti del mejne ploc z skve telesa, imata obe obtebi enak mehanski u inek na dele telesa, ki so dovolj oddaljeni od obteenega z c z dela mejne ploskve. c c Ena be (1.80) in (1.86) uporabimo tudi pri ra unanju pomikov u, v in w nosilca s spremenljivim pre nim c prerezom Ax . V tem primeru so Ax , Iy in Iz odvisni od x. Na sliki 1.12 prikazujemo tri primere nosilcev s spremenljivo viino. V vseh treh primerih os nosilca ni ravna. s

S LIKA 1.12: Oblike nosilcev s spremenljivim pre nim prerezom c Vzdol no normalno napetost xx takih nosilcev ra unamo z ena bo (1.88). Pri tem upotevamo, da so z c c s Ax , Iy , Iz in Iyz odvisni od x.

1.2.7

Geometrijske karakteristike pre nega prereza c

Pri obravnavanju ravnega grednega nosilca konstantnega pre nega prereza Ax deniramo izraze, ki so c odvisni le od oblike in velikosti pre nega prereza nosilca: c Ax =Ax

dAx ,

Sy =Ax

z dAx , z 2 dAx ,

Sz =Ax

y dAx , y 2 dAx ,Ax

(1.94) Iyz = Ax

Iy =Ax

Iz =

yz dAx ,

Ax ozna uje plocino pre nega prereza, Sy stati ni moment pre nega prereza glede na os y, Sz stati ni c s c c c c moment pre nega prereza glede na os z, Iy vztrajnostni moment pre nega prereza glede na os y, Iz c c vztrajnostni moment pre nega prereza glede na os z in Iyz deviacijski vztrajnostni moment pre nega c c prereza glede na osi y in z. Plocino merimo v m2 , stati na momenta v m3 , vztrajnostna in deviacijski s c moment pa v m4 . V literaturi je deviacijski vztrajnostni moment v asih deniran z izrazom Iyz = c c Ax yz dAx . Zato moramo pri uporabi vrednosti za deviacijski vztrajnostni moment iz razli nih tabel najprej ugotoviti, kako je Iyz deniran. Tu smo Iyz denirali z negativnim predznakom zato, ker se v tem primeru vztrajnostni momenti Iy , Iz in Iyz transformirajo pri zasuku koordinatnega sistema po pravilih

I.S. Sokolnikoff, Mathematical Theory of Elasticity, McGraw-Hill, New York, 1956, Adh mar Jean Claude Barr de Saint-Venant, francoski gradbeni in enir (17971886). e e z


23

tenzorskega ra una. Prikazane izraze najve krat vrednotimo za primere, ko je koordinatno izhodice v c c s te icu Tp pre nega prereza Ax (slika 1.13). Koordinati te ica izra unamo po ena bah z s c z s c c yTp = Sz /Ax , zTp = Sy /Ax . (1.95)

S LIKA 1.13: Koordinatno izhodice je v te icu Tp pre nega prereza s z s c Geometrijska karakteristika, ki je denirana z izrazom Ip =Ax

(y 2 + z 2 ) dAx =Ax

r2 dAx = Iz + Iy ,

je polarni vztrajnostni moment pre nega prereza. Razen navedenih geometrijskih karakteristik pre nega c c prereza uporabljamo se vztrajnostna polmera (merimo ju v m), ki sta denirana z izrazoma iy = Iy , Ax iz = Iz . Ax

Vzporedna premaknitev koordinatnega sistema Oglejmo si pre ni prerez Ax in izberimo na njem dve poljubni to ki O in O. Skozi to ko O potekata osi c c c pa osi y in z . Os y je vzporedna z osjo y , os z je vzporedna z osjo z (slika 1.14). y in z, skozi to ko O c T je poljubna to ka pre nega prereza Ax . Koordinati y, z to ke T sta c c c y = y + yO , z = z + zO .

Osna vztrajnostna momenta glede na os y in z lahko izrazimo takole: Iy =Ax

z 2 dAx =Ax

z 2 dAx + 2 zO Ax

2 z dAx + zO

dAx ,

Ax2 y dAx + yO

Iz =Ax

y 2 dAx =Ax

y 2 dAx + 2 yO Ax

dAx

Ax


24


S LIKA 1.14: Koordinatna os y je vzporedna osi y , koordinatna os z pa osi z oziroma2 Iy = Iy + 2 zO Sy + zO Ax , 2 Iz = Iz + 2 yO Sz + yO Ax .

(1.96)

Za deviacijski vztrajnostni moment glede na osi y in z dobimo Iyz = Ax

y z dAx = Ax

( z + yO z + zO y + yO zO ) dAx y

oziroma Iyz = Iyz yO Sy zO Sz yO zO Ax . Uporabili smo oznake Iy = Ax

(1.97)

z 2 dAx ,

Iz = Ax

y 2 dAx ,

Iy z = Ax

y z dAx ,

Sy = Ax

z dAx ,

Sz = Ax

y dAx .

c Ena be (1.96) in (1.97) predstavljajo Steinerjevo pravilo za dolo anje vztrajnostnih momentov pri vzpoc redni premaknitvi koordinatnega sistema. Ce je izhodice O koordinatnega sistema y , z v te icu Tp pre nega prereza, potem oznaki y , z zames z s c njamo z yT in zT , oznaki yO in zO pa z yT p in zT p (slika 1.15). Ker sta stati na momenta pre nega prereza na te icni osi enaka ni , zapiemo vztrajnostna momenta Iy c c z s c s in Iz ter deviacijski vztrajnostni moment Iyz glede na osi y in z takole:T 2 Iy = Iy + zTp Ax , T 2 Iz = Iz + yTp Ax , T Iyz = Iyz yTp zTp Ax .

(1.98)

Pri pisanju ena b (1.98) smo z oznako T pri vztrejnostnih in deviacijskem momentu povdarili, da c T T T koli ine Iy , Iz in Iyz ra unamo glede na te icni osi yT , zT pre nega prereza Ax . Iz ena b (1.98) sledi, c c z s c c T in I T manj a od vztrajnostnih momentov I in I glede na poljubni da sta vztrajnostna momenta Iy s y z z vzporedno premaknjeni osi y, z.

Jacob Steiner, svicarski matematik, profesor opisne geometrije, 17961863. Zanimivost: pisati se je nau il pri 14 letih, c solo je za el obiskovati, ko mu je bilo 18 let. c


25

S LIKA 1.15: Koordinatni osi yT in zT potekata skozi te ice Tp pre nega prereza z s c Zasuk koordinatnega sistema Sedaj si oglejmo vztrajnostne momente glede na dva med seboj zavrtena koordinatna sistema y, z in , , ki imata skupno koordinatno izhodice v poljubni to ki O. Kot med osjo y in osjo ozna imo z (slika s c c 1.16). Zvezo med koordinatami poljubne to ke T v obeh koordinatnih sistemih podajata ena bi (slika c c 1.16) = y cos + z sin , = y sin + z cos .

S LIKA 1.16: Koordinatna os je glede na os y zasukana za kot Osna vztrajnostna momenta in deviacijski vztrajnostni moment glede na osi in izra unamo z ena bami: c c I =Ax

2 dAx = Iz sin2 + 2Iyz sin cos + Iy cos2 , 2 dAx = Iz cos2 2Iyz sin cos + Iy sin2 ,Ax

I =

Documents

trdnost1