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traveling salesman problem
ZIP-Methode
Kombinatorischer Ansatz
einer optimalen Lösung
symmetrischer Rundreiseprobleme
traveling salesman problem
• Ziel:– Vorstellung eines kombinatorischen
Lösungsansatzes des Rundreiseproblems
• Voraussetzungen:– Kenntnisse der vier Grundrechenarten– etwas Geduld mit dem Vortragenden ....
traveling salesman problem
Anlass:Fachschullehrbuch: Mathematik für Wirtschaftswissenschaften Verlag die Wirtschaft, Berlin (DDR), 1983
- darin: Rundreiseproblem S. 418ff.
Agenda
– das Rundreiseproblem– bisherige Lösungen– neue Überlegungen– Beispiel mit 6 Knoten– Beispiel mit 10 Knoten– Beispiel mit 26 Knoten (Ergebnisse)– Schlussfolgerungen und Ausblick
das Rundreiseproblem
– das Rundreiseproblem– bisherige Lösungen– neue Überlegungen– Beispiel mit 6 Knoten– Beispiel mit 10 Knoten– Beispiel mit 26 Knoten (Ergebnisse)– Schlussfolgerungen und Ausblick
das Rundreiseproblem
Formulierung des Rundreiseproblems:
Gesucht wird die kürzeste Entfernung zwischen n verschiedenen Orten.
Dabei soll jeder Ort nur einmal aufgesucht werden und die Rundreise wieder im Ausgangsort enden.
das Rundreiseproblem
• graphentheoretische Beschreibung:
• Graph G– Knoten xi
– Kante u(xi,xj) bzw. u<xi,xj>
– Knotengrad– Komponenten eines Graphs– Teilgraph eines Graphs (Kantenteilgraph)– Graphfamilie und Mächtigkeit
das Rundreiseproblem
• Laufindexe:– i = Laufindex des Anfangsknoten xi
– j = Laufindex des Endknoten xj
– k = Laufindex des Platzes einer Kante innerhalb eines Graphen
• Kurz-Schreibweise einer Kante:– u(ij) i-j (Beispiel: u(2;4) 2-4)
– f(i-j) = Ausprägung der Kante; (z.B.: Länge)
das Rundreiseproblem
• kleinster Graph:Problem ist nicht die Berechnung des einzelnen Graphen, sondern die mit wachsenden n Knoten um je eine Fakultät ansteigenden Zahl der Graphen.
|G| = n ! bei beliebigem Anfangsknoten
|G| = (n-1)! , wenn Anfangsknoten x1 ist.
|G| = (n-1)! /2 bei Symmetrie
bisherige Lösungen
– das Rundreiseproblem– bisherige Lösungen– neue Überlegungen– Beispiel mit 6 Knoten– Beispiel mit 10 Knoten– Beispiel mit 26 Knoten (Ergebnisse)– Schlussfolgerungen und Ausblick
bisherige Lösungen
• bisherige allgemeine optimale Lösungen:
(grundsätzlich: Überprüfung aller Lösungen)
– Voll-Enumeration– begrenzte Enumeration– branch and bound– weitere ....
alle allgemeinen optimalen Lösungen nur für kleine n
bisherige Lösungen
• bisherige suboptimale Lösungen:
– viele ...
– viele gute ...
– viele gute, für die Praxis völlig ausreichend ...
bisherige Lösungen
• Fazit zu den bisherigen Lösungen:
Soweit erkennbar, liegt das wissenschaftliche
Interesse seit langem in der Entwicklung und
Verbesserung von suboptimalen Lösungen,
weil scheinbar optimale Lösungen erschöpfend
erforscht sind.
neue Überlegungen ...
– das Rundreiseproblem– bisherige Lösungen– neue Überlegungen– Beispiel mit 6 Knoten– Beispiel mit 10 Knoten– Beispiel mit 26 Knoten (Ergebnisse)– Schlussfolgerungen und Ausblick
neue Überlegungen ...
• aber zuerst eine
Aufgabe für Sie:
• Bitte schreiben Sie in
beliebiger Reihenfolge
die Zahlen von 1 bis 6
auf.
5
2
1
4
3
6
neue Überlegungen ...
• Verbindet man die Knoten, so entsteht:
• 1-komponentiger G• mit 6 Kanten • mit 6 Knoten • jeder Knoten hat den
Knotengrad 2
55
2
1
4
3
6
neue Überlegungen ...
wir erinnern uns:
bei n = 6
n! = 720
(n-1)! = 120
(n-1)! / 2 = 60
55
2
1
4
3
6
neue Überlegungen ...
wir addieren nun die Werte der Kanten:
dabei tritt jeder Knoten zweimal auf:
55
2
1
4
3
6
– als Anfangsknoten
einer Kante
– und als Endknoten
einer Kante.
Und das ist vom Übel !
1
neue Überlegungen ...
wenn jeder Knoten nur einmal auftritt, so entsteht aus dem ganzen Graphen:
ein Teilgraph mit
allen 6 Knoten, aber nur mit 3 Kanten:
z.B. Kanten: 1-6, 5-3, 2-4
55
2
1
4
3
6
neue Überlegungen ...
... übrig bleibt ein
Komplement-Teilgraph mit
derselben Struktur
wie der Teilgraph !
Kanten: 1-4, 2-3, 5-6
55
2
1
4
3
6
neue Überlegungen ...
• Der Graph setzt sich
also zusammen:
• aus dem Teilgraphen
mit Kanten:1-6,5-3,2-4
• und dem Teilgraphen
mit Kanten:1-4,2-3,5-6
55
2
1
4
3
6
neue Überlegungen ...
Wegen derselben Struktur
der Teilgraphen muss
die Zahl der Knoten
gradzahlig sein.
(ggf. ist ein Pseudo-
Knoten einzufügen.)
55
2
1
4
3
6
neue Überlegungen ...
55
2
1
4
3
6
• Symmetrie-Regel:
• Der Anfangsknoten
einer Kante hat den
kleineren Laufindex als
der Endknoten i < j:
f(1-6) + f(5-3) + f(2-4)
= f(1-6) + f(3-5) + f(2-4)
neue Überlegungen ...
55
2
1
4
3
6
• Sortier-Regel:
• die Kanten werden nach
dem Laufindex ihres
Anfangsknoten sortiert. • 1. Kante 2. Kante 3. Kante
f(1-6) + f(3-5) + f(2-4)
= f(1-6) + f(2-4) + f(3-5)
neue Überlegungen ...
wir erinnern uns:
Bei n = 6 gibt es insgesamt
120 Graphen bzw.
60 symmetrische Graphen
wieviele Teilgraphen
gibt es eigentlich ?
1. Teilgraph 1 - 2 3 - 4 5 - 6
2. Teilgraph 1 - 2 3 - 5 4 - 6
3. Teilgraph 1 - 2 3 - 6 4 - 5 4. Teilgraph 1 - 3 2 - 4 5 - 6
5. Teilgraph 1 - 3 2 - 5 4 - 6
6. Teilgraph 1 - 3 2 - 6 4 - 5
7. Teilgraph 1 - 4 2 - 3 5 - 6
8. Teilgraph 1 - 4 2 - 5 3 - 6
9. Teilgraph 1 - 4 2 - 6 3 - 5
10. Teilgraph 1 - 5 2 - 3 4 - 6
11. Teilgraph 1 - 5 2 - 4 3 - 6
12. Teilgraph 1 - 5 2 - 6 3 - 4
13. Teilgraph 1 - 6 2 - 3 4 - 5
14. Teilgraph 1 - 6 2 - 4 3 - 5
15. Teilgraph 1 - 6 2 - 5 3 - 4
mehr nicht !
neue Überlegungen ...
Bei Anwendung der
Symmetrieregel und der
Sortierregel
läßt sich jeder der
120 Graphen in 2 der
15 Teilgraphen
zerlegen.
1. Teilgraph 1 - 2 3 - 4 5 - 6
2. Teilgraph 1 - 2 3 - 5 4 - 6
3. Teilgraph 1 - 2 3 - 6 4 - 5
4. Teilgraph 1 - 3 2 - 4 5 - 6
5. Teilgraph 1 - 3 2 - 5 4 - 6
6. Teilgraph 1 - 3 2 - 6 4 - 5
7. Teilgraph 1 - 4 2 - 3 5 - 6
8. Teilgraph 1 - 4 2 - 5 3 - 6
9. Teilgraph 1 - 4 2 - 6 3 - 5
10. Teilgraph 1 - 5 2 - 3 4 - 6
11. Teilgraph 1 - 5 2 - 4 3 - 6
12. Teilgraph 1 - 5 2 - 6 3 - 4
13. Teilgraph 1 - 6 2 - 3 4 - 5
14. Teilgraph 1 - 6 2 - 4 3 - 5
15. Teilgraph 1 - 6 2 - 5 3 - 4
Probieren Sie es bitte an Ihrem eigenen Beispiel aus.
neue Überlegungen ...
• Wie viele Teilgraphen „passen“ zu einem Teilgraphen, d.h. bilden zusammen wieder einen Gesamt-Graphen ?
• Beispiel: 1-2, 3-4, 5-6
Nr.5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14insgesamt 8 (= 2 x 4)
1. Teilgraph 1 - 2 3 - 4 5 - 6
2. Teilgraph 1 - 2 3 - 5 4 - 6
3. Teilgraph 1 - 2 3 - 6 4 - 5
4. Teilgraph 1 - 3 2 - 4 5 - 6
5. Teilgraph 1 - 3 2 - 5 4 - 6
6. Teilgraph 1 - 3 2 - 6 4 - 5
7. Teilgraph 1 - 4 2 - 3 5 - 6
8. Teilgraph 1 - 4 2 - 5 3 - 6
9. Teilgraph 1 - 4 2 - 6 3 - 5
10. Teilgraph 1 - 5 2 - 3 4 - 6
11. Teilgraph 1 - 5 2 - 4 3 - 6
12. Teilgraph 1 - 5 2 - 6 3 - 4
13. Teilgraph 1 - 6 2 - 3 4 - 5
14. Teilgraph 1 - 6 2 - 4 3 - 5
15. Teilgraph 1 - 6 2 - 5 3 - 4
neue Überlegungen ...
• Wie erhält man den kleinsten Graphen ?
• 1. Schritt: man ermittelt den kleinsten Teilgraphen
• 2. Schritt: man ermittelt den zugehörigen kleinsten Kompl.-Teilgraphen.
1. Teilgraph 1 - 2 3 - 4 5 - 6
2. Teilgraph 1 - 2 3 - 5 4 - 6
3. Teilgraph 1 - 2 3 - 6 4 - 5
4. Teilgraph 1 - 3 2 - 4 5 - 6
5. Teilgraph 1 - 3 2 - 5 4 - 6
6. Teilgraph 1 - 3 2 - 6 4 - 5
7. Teilgraph 1 - 4 2 - 3 5 - 6
8. Teilgraph 1 - 4 2 - 5 3 - 6
9. Teilgraph 1 - 4 2 - 6 3 - 5
10. Teilgraph 1 - 5 2 - 3 4 - 6
11. Teilgraph 1 - 5 2 - 4 3 - 6
12. Teilgraph 1 - 5 2 - 6 3 - 4
13. Teilgraph 1 - 6 2 - 3 4 - 5
14. Teilgraph 1 - 6 2 - 4 3 - 5
15. Teilgraph 1 - 6 2 - 5 3 - 4
neue Überlegungen ...
Damit ist vielleicht der kleinste Graph gefunden !
aber nur: vielleicht!
neue Überlegungen ...
Weitere Überlegungen:
Der kleinste (Gesamt-)Graph setzt sich zusammen:
entweder: aus den beiden gefundenen Teilgraphen (kleinster Teilgraph mit zugehörigem kleinsten Kompl.-Teilgraph)
oder: aus zwei dazwischen liegenden Teilgraphen.
neue Überlegungen ...
Zahlenbeispiel:• kleinster Teilgraph hat die Kantenlänge: 20• der kleinste zugehörige Kompl.-Teilgraph: 40• ergibt einen Gesamtgraphen: 60
interessant sind damit nur noch die Teilgraphen
mit Kantenlängen zwischen 20 und 40.
neue Überlegungen ...
Zahlenbeispiel:• kleinster Teilgraph hat die Kantenlänge: 20• der kleinste zugehörige Kompl.-Teilgraph: 40• ergibt einen Gesamtgraphen: 60
Außerdem:• ein Gesamtgraph mit einer Kantenlänge < 60
muß mindestens aus einem Teilgraphen mit einer Kantenlänge < 30 zusammengesetzt sein.
neue Überlegungen ...
Zahlenbeispiel:• kleinster Teilgraph hat die Kantenlänge: 20• der kleinste zugehörige Kompl.-Teilgraph: 40• ergibt einen Gesamtgraphen: 60
d.h., • nur Teilgraphen (und zugehörige Kompl.-Teilgraphen)
mit Kantenlängen zwischen 20 und < 30 sind zu prüfen.
neue Überlegungen ...
Zahlenbeispiel:• kleinster Teilgraph hat die Kantenlänge: 20• der kleinste zugehörige Kompl.-Teilgraph: 40• ergibt einen Gesamtgraphen: 60
d.h.,
• (a+b) < c a und/oder b < (c/2)
und a < b oder a = b a < (c/2)
neue Überlegungen ...
Weitere Iterationsschritte:(bis zur halben Kantenlänge des bisher kleinsten gefundenen Gesamt-Graphen)
• ausgehend vom kleinsten Teilgraphen wird jeweils der nächst größere Teilgraph mit seinem Komplement-Teilgraph überprüft, ob daraus ein kleinerer Gesamt-Graph zusammengesetzt werden kann.
• wenn ja, ist der neue Gesamt-Graph Ausgangswert für weitere Iterationsschritte.
• wenn nein, ist der kleinste Graph bereits gefunden.
Beispiel mit 6 Knoten:
– das Rundreiseproblem– bisherige Lösungen– neue Überlegungen– Beispiel mit 6 Knoten– Beispiel mit 10 Knoten– Beispiel mit 26 Knoten (Ergebnisse)– Schlussfolgerungen und Ausblick
Beispiel mit 6 Knoten:
Gegeben seien 6 Knoten mit den zugehörigen Entfernungen:
• nach 1 nach 2 nach 3 nach 4 nach 5 nach 6
von 1 - 12 25 30 28 22
von 2 - 16 20 22 10
von 3 - 23 26 21
von 4 - 31 18
von 5 - 14
von 6 -
Beispiel mit 6 Knoten:
Kleinster Teilgraph: Nr. 1 mit Kantenlänge = 49
Nr. 1.K. 2.K. 3.K. K.-Länge 1. 1 - 2 3 - 4 5 - 6 49 2. 1 - 2 3 - 5 4 - 6 56 3. 1 - 2 3 - 6 4 - 5 64 4. 1 - 3 2 - 4 5 - 6 59 5. 1 - 3 2 - 5 4 - 6 65 6. 1 - 3 2 - 6 4 - 5 66 7. 1 - 4 2 - 3 5 - 6 60 8. 1 - 4 2 - 5 3 - 6 73 9. 1 - 4 2 - 6 3 - 5 6610. 1 - 5 2 - 3 4 - 6 6211. 1 - 5 2 - 4 3 - 6 6912. 1 - 5 2 - 6 3 - 4 6113. 1 - 6 2 - 3 4 - 5 6914. 1 - 6 2 - 4 3 - 5 6815. 1 - 6 2 - 5 3 - 4 67
Komp.-Teilgraphen:Nr. 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13 u.14
davon der kleinste: Nr. 10 mit Kantenlänge = 62
Länge des Graphen: 111
(49 + 62) : 2 = 55,5
kleinster Graph
Beispiel mit 10 Knoten:
– das Rundreiseproblem - Fragestellung– Problem und bisherige Lösungen– neue Überlegungen– Beispiel mit 6 Knoten– Beispiel mit 10 Knoten– Beispiel mit 26 Knoten (Ergebnisse)– Schlussfolgerungen und Ausblick
Beispiel mit 10 Knoten: Entwicklung der ZIP-Formel bei n = 10:
1 · 3 · 5 · 7 · 9 =
9! ————————————— = (1 · 2) · (2 · 2) · (3 · 2) · (4 · 2)
9! ————————————— = ( 1 · 2 · 3 · 4 ) · ( 2 · 2 · 2 · 2 )
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9————————————— = 2 · 4 · 6 · 8
9! ————————————— = 4! · 24
Beispiel mit 10 Knoten:
(n – 1)! —————————
( n/2 – 1 ) ! · 2 n/2 - 1
davon:
{ ( n/2 – 1 ) ! } (Sortierregel)
Teilgraph: — — — — —(Kantenzahl =n/2)
1 x 2 x 2 x 2 x 2 (Symmetrie)
Anfangsknoten = x1
Beispiel mit 10 Knoten:nachvon
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 - 16 44 93 1 30 30 5 78 42
2 - 68 61 42 77 41 79 22 32
3 - 39 48 21 36 28 40 80
4 - 43 8 66 46 30 35
5 - 67 69 11 84 91
6 - 97 43 63 67
7 - 85 89 18
8 - 2 85
9 - 5
lfd.Nr. K.-Länge 1. Kante 2.Kante 3.Kante 4.Kante 5.Kante Bemerk.1 76 1 - 2 3 - 7 4 - 6 5 - 8 9 -102 77 1 - 5 2 - 9 3 - 8 4 - 6 7 -103 79 1 - 5 2 -10 3 - 7 4 - 6 8 - 94 83 1 - 5 2 - 7 3 - 8 4 - 6 9 -105 92 1 - 2 3 - 5 4 - 6 7 -10 8 - 96 93 1 - 2 3 - 9 4 - 6 5 - 8 7 -107 96 1 - 2 3 - 6 4 - 9 5 - 8 7 -108 96 1 - 8 2 - 5 3 - 7 4 - 6 9 -109 97 1 - 5 2 - 3 4 - 6 7 -10 8 - 9
10 100 1 - 2 3 - 6 4 - 5 7 -10 8 - 911 100 1 - 5 2 - 7 3 - 6 4 -10 8 - 9 min.TGkomp
12 101 1 - 8 2 - 9 3 - 5 4 - 6 7 -1013 103 1 - 3 2 - 9 4 - 6 5 - 8 7 -10
....bis 945
min. TG
min. TG + min.Tgkomp = 176; 176 / 2 = 88Sortierung der 945 Teilgraphen nach Kantenlänge
Beispiel mit 10 Knoten:
lfd.Nr. K.-Länge 1. Kante 2.Kante 3.Kante 4.Kante 5.Kante Bemerk.1 76 1 - 2 3 - 7 4 - 6 5 - 8 9 -102 77 1 - 5 2 - 9 3 - 8 4 - 6 7 -103 79 1 - 5 2 -10 3 - 7 4 - 6 8 - 94 83 1 - 5 2 - 7 3 - 8 4 - 6 9 -105 92 1 - 2 3 - 5 4 - 6 7 -10 8 - 96 93 1 - 2 3 - 9 4 - 6 5 - 8 7 -107 96 1 - 2 3 - 6 4 - 9 5 - 8 7 -108 96 1 - 8 2 - 5 3 - 7 4 - 6 9 -109 97 1 - 5 2 - 3 4 - 6 7 -10 8 - 9
10 100 1 - 2 3 - 6 4 - 5 7 -10 8 - 911 100 1 - 5 2 - 7 3 - 6 4 -10 8 - 912 101 1 - 8 2 - 9 3 - 5 4 - 6 7 -1013 103 1 - 3 2 - 9 4 - 6 5 - 8 7 -10
....bis 945
Beispiel mit 10 Knoten:
lfd.Nr. K.-Länge 1. Kante 2.Kante 3.Kante 4.Kante 5.Kante Bemerk.1 76 1 - 2 3 - 7 4 - 6 5 - 8 9 -102 77 1 - 5 2 - 9 3 - 8 4 - 6 7 -103 79 1 - 5 2 -10 3 - 7 4 - 6 8 - 94 83 1 - 5 2 - 7 3 - 8 4 - 6 9 -105 92 1 - 2 3 - 5 4 - 6 7 -10 8 - 96 93 1 - 2 3 - 9 4 - 6 5 - 8 7 -107 96 1 - 2 3 - 6 4 - 9 5 - 8 7 -108 96 1 - 8 2 - 5 3 - 7 4 - 6 9 -109 97 1 - 5 2 - 3 4 - 6 7 -10 8 - 9
10 100 1 - 2 3 - 6 4 - 5 7 -10 8 - 911 100 1 - 5 2 - 7 3 - 6 4 -10 8 - 912 101 1 - 8 2 - 9 3 - 5 4 - 6 7 -1013 103 1 - 3 2 - 9 4 - 6 5 - 8 7 -10
....bis 945
Beispiel mit 10 Knoten:
lfd.Nr. K.-Länge 1. Kante 2.Kante 3.Kante 4.Kante 5.Kante Bemerk.1 76 1 - 2 3 - 7 4 - 6 5 - 8 9 -102 77 1 - 5 2 - 9 3 - 8 4 - 6 7 -103 79 1 - 5 2 -10 3 - 7 4 - 6 8 - 94 83 1 - 5 2 - 7 3 - 8 4 - 6 9 -105 92 1 - 2 3 - 5 4 - 6 7 -10 8 - 96 93 1 - 2 3 - 9 4 - 6 5 - 8 7 -107 96 1 - 2 3 - 6 4 - 9 5 - 8 7 -108 96 1 - 8 2 - 5 3 - 7 4 - 6 9 -109 97 1 - 5 2 - 3 4 - 6 7 -10 8 - 9
10 100 1 - 2 3 - 6 4 - 5 7 -10 8 - 911 100 1 - 5 2 - 7 3 - 6 4 -10 8 - 9
min.TGkomp
12 101 1 - 8 2 - 9 3 - 5 4 - 6 7 -1013 103 1 - 3 2 - 9 4 - 6 5 - 8 7 -10
....bis 945
min. TG
min. TG + min.Tgkomp = 175; 175 / 2 = 87,5
Beispiel mit 10 Knoten:
lfd.Nr. K.-Länge 1. Kante 2.Kante 3.Kante 4.Kante 5.Kante Bemerk.1 76 1 - 2 3 - 7 4 - 6 5 - 8 9 -102 77 1 - 5 2 - 9 3 - 8 4 - 6 7 -103 79 1 - 5 2 -10 3 - 7 4 - 6 8 - 94 83 1 - 5 2 - 7 3 - 8 4 - 6 9 -105 92 1 - 2 3 - 5 4 - 6 7 -10 8 - 96 93 1 - 2 3 - 9 4 - 6 5 - 8 7 -107 96 1 - 2 3 - 6 4 - 9 5 - 8 7 -108 96 1 - 8 2 - 5 3 - 7 4 - 6 9 -109 97 1 - 5 2 - 3 4 - 6 7 -10 8 - 9
10 100 1 - 2 3 - 6 4 - 5 7 -10 8 - 911 100 1 - 5 2 - 7 3 - 6 4 -10 8 - 912 101 1 - 8 2 - 9 3 - 5 4 - 6 7 -1013 103 1 - 3 2 - 9 4 - 6 5 - 8 7 -10
....bis 945
opt. TG
opt.TGkomp
Beispiel mit 10 Knoten:
Beispiel mit 10 Knoten:
0
20
40
60
80
100
120
61-80
101-120
141-160
181-200
221-240
261-280
301-320
341-360
381-400
421-440
Anz
ahl d
er T
eilg
raph
en
Summe der Kantenlängen nach dem 1.Durchlauf: nur noch 11 von 945 Teilgraphen bei insgesamt 181.440 Gesamt-Graphen
Beispiel mit 10 Knoten:
• Von insgesamt 945 Teilgraphen scheiden beim back tracking der begrenzten Enumeration aus:
• Abbruch nach der 5. Kante: 0
• Abbruch nach der 4. Kante: 1
• Abbruch nach der 3. Kante: 3
• Abbruch nach der 2. Kante: 15
• Abbruch nach der 1. Kante: 105
möglichst frühzeitiger Abbruch !!
Beispiel mit 10 Knoten:
Beziehung zwischen Anfangsknoten und Kantenplatz:
1. Kante 2. Kante 3. Kante 4. Kante 5. Kante
1-2...1-10 2-3...2-10 3-4...3-10 4-5...4-10 5-6...5-10oder oder oder oder
3-4...3-10 4-5...4-10 5-6...5-10 6-7...6-10oder oder oder
5-6...5-10 6-7...6-10 7-8...7-10oder oder oder
7-8...7-10 8-9...8-10oder
i = k für k = 1 9-10.
i = k, k + 1 , ... , 2k -1 für k > 1
Beispiel mit 10 Knoten:
Anfangs-Knoten
1.Kante 2.Kante 3.Kante 4.Kante 5.KanteSumme je
KnotenNr.1 945 - - - - 945Nr.2 - 840 - - - 840Nr.3 - 105 630 - - 735Nr.4 - - 270 360 - 630Nr.5 - - 45 360 120 525Nr.6 - - - 180 240 420Nr.7 - - - 45 270 315Nr.8 - - - - 210 210Nr.9 - - - - 105 105
Nr.10 - - - - 0 0Summe
derKanten
945 945 945 945 945
Beispiel mit 10 Knoten:
weitere Überlegungen:• Numerierungsregel
(die größten Abweichungen nach vorn)
• Minimalkantenregel
(Berechnung der noch ausstehenden kleinsten Kante für jeden einzelnen Kantenplatz; nicht mehr für alle)
Beispiel mit 10 Knoten:
40
90
45
50
30
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
1. Kante
2. Kante
3. Kante
4. Kante
5. Kante
Beispiel: Knoten xi mit seinen 5 Kanten
NumerierungsregelMinimalkantenregel
Beispiel mit 26 Knoten:
– das Rundreiseproblem - Fragestellung– Problem und bisherige Lösungen– neue Überlegungen– Beispiel mit 6 Knoten– Beispiel mit 10 Knoten– Beispiel mit 26 Knoten (Ergebnisse)– Schlussfolgerungen und Ausblick
Beispiel mit 26 Knoten:
Weihnachtsrätsel:• Das Institut für Rechnergestützte Wissenverarbeitung
(KBS) der Universität Hannover hat 1996 als „Weihnachtsrätsel“ die Aufgabe gestellt, für 26 europäische Hauptstädte die kürzeste Rundreise zu finden.
• Die Aufgabe mit Lösungen finden Sie leider nicht mehr im Internet
Beispiel mit 26 Knoten:
Zahl aller Graphen (25!): 15.511.210.043.330.985.984.000.000
Zahl der symm. Graphen: 7.755.605.021.665.492.992.000.000
Zahl aller Teilgraphen : 7.905.853.580.625
• Ergebnisse: kl.Teilgraph + kl.Komp.-Teilgraph: 6.845 km + 9.912 km = 16.757 km heuristisch gefundener kl. Graph: 7.331 km + 8.858 km = 16.189 km davon die Hälfte : 16.189 km / 2 = 8.094 km
Beispiel mit 26 Knoten:heuristisch gefundener kl. Graph: 7.331 km + 8.858 km = 16.189 km
davon die Hälfte: (abgerundet:) 8.094 km
kl. Teilgraph + kl. Komp.-Teilgraph: 6.845 km + 9.912 km = 16.757 km
kleinster Teilgraph bei 6.845 km: 1
Zahl der Teilgraphen bis 7.331 km: 40
Zahl der Teilgraphen bis 8.094 km: 2.725
Zahl der Teilgraphen bis 8.858 km: 57.200
Zahl der Teilgraphen bis 9.912 km: 1.568.529
Anzahl aller Teilgraphen: 7.905.853.580.625
Beispiel mit 26 Knoten:
Geographische Darstellung des opimalen Graphen
1. Amsterdam 2. Athen 3. Barcelona 4. Belgrad 5. Berlin 6. Brüssel 7. Bucarest 8. Budapest 9. Frankfurt/M10. Genf11. Helsinki12. Istanbul13. Kopenhagen14. Lissabon15. London16. Madrid17. Mailand18. Oslo19. Paris20. Prag 21. Rom22. Sofia23. Stockholm ...
1. Lissabon 2. Helsinki 3. Madrid 4. Istanbul 5. Athen 6. Bucarest 7. Sofia 8. Stockholm 9. Oslo10. Belgrad11. Budapest12. Kopenhagen13. Rom14. Warschau15. Wien16. Berlin17. Amsterdam18. London19. Brüssel20. Prag 21. Mailand22. Zürich 23. Barcelona ...
Schlussfolgerungen und Ausblick
– das Rundreiseproblem - Fragestellung– Problem und bisherige Lösungen– neue Überlegungen– Beispiel mit 6 Knoten– Beispiel mit 10 Knoten– Beispiel mit 26 Knoten (Ergebnisse)– Schlussfolgerungen und Ausblick
Schlussfolgerungen
– diese algebraische Lösung ist offensichtlich neu– das Weihnachtsrätsel mit 26 Orten ist optimal gelöst– es kann gesagt werden,
ob eine optimale Lösung gefunden wurde.– Symmetrie wird voll ausgenutzt ..... – und ...
Schlussfolgerungen
– bis ca. 10 Knoten (ggf. mehr) lassen sich symmetrische Graphen mit der Voll-Enumeration optimal lösen.
– bis ca. 30 Knoten (ggf. mehr) lassen sich symmetrische Graphen mit der begrenzten Enumeration optimal lösen.
Für alle TSP-Verfahren gilt:
Können bekannte Lösungen nicht nur auf Graphen sondern auch auf Teilgraphen angewandt werden, so bringt die ZIP-Methode den entscheidenden Quantensprung der rechentechnischen Vereinfachung.
Ausblick
– es bleibt zu prüfen, ob der neue Lösungsansatz auch auf andere Optimierungsprobleme angewandt werden kann.
– Alle Aspekte des neuen Lösungsansatzes sind sicherlich noch nicht geklärt und sollten weiter untersucht werden.
traveling salesman problem
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit