TRASPORTO DI MOMENTO DA PARTE DI UN’ONDA E.M.•Quantità di moto di un’onda e.m.;•La pressione di radiazione)•Momento della quantità di moto di un’onda e.m.;

SORGENTI DEL CAMPO E.M.•Le onde e.m. generate da dipoli oscillanti;•Le onde e.m. nella materia (cenni per materiali omogenei ed isotropi)

PROPAGAZIONE ONDOSA• Velocità di fase e velocità di gruppo;

Quantità di moto di un’onda elettromagnetica

Sappiamo che il campo e.m. propagandosi trasporta energia.

Vediamo adesso di mostrare che il campo e.m.è dotato di quantità di moto.

Per fare questo prendiamo un’onda e.m. piana di equazioni:

tkxsinBB

tkxsinEE

0

0

Cioè che si propaga in direzione xcon campo E parallelo a y e campo B a z.

Facciamo incidere l’onda su un piano postoparallelo a yz nell’origine x=0.

Sugli elettroni del materiale che costituisce ilpiano agiscono:una forza elettrica FE=-eE , che mette in motogli elettroni lungo y;un forza magnetica Fx=-ev x B dovuta al moto degli elettroni.

Si può dimostrare (con le leggi della dinamica) che il moto degli elettroni lungo y avviene con una velocità v di direzione parallela al campo E: v=bE (*)da cui la forza magnetica diventa:

BbEeevBFx

(*) infatti, considerando il caso di un metallo,

si è visto nella legge di Ohm che un elettrone sottoposto ad un campo elettrico costante, si muove con velocità costante v. Questo perché all’equilibrio, abbiamo una forza ‘viscosa’ che si oppone alla forza elettrica

eE=cost·v v = (e/cost) ·E

v=bE

mobilità

La forza magnetica è sempre concorde all’asse x e agisce come una pressione sullasuperficie del materiale.

La forza magnetica Fx trasferisce una quantitàdi moto all’elettrone su cui opera, secondo lalegge di Newton

ebEBdt

dpF elx

Contemporaneamente la forza elettrica FE falavoro sull’elettrone e gli trasferisce una energiaper unità di tempo con una legge

bEeEeEvvFdt

dUE

el

Ricordando che E=cB riusciamo a legarela quantità di moto trasferita all’elettrone allaenergia trasferita nello stesso intervallo di tempo

elel

elel

pcUdt

dpcebcEB

dt

dU

Quindi la quantità di moto trasferita in un certointervallo di tempo ad un elettrone in un materiale investito da una onda e.m. è pari alla energia e.m.assorbita dal materiale nello stesso intervallo ditempo diviso la velocità della luce

c

Up elel

Ovviamente l’energia assorbita viene dall’energiadel campo e.m. e anche per la quantità di mototrasferita dall’onda all’elettrone dobbiamoconcludere che era trasportata dal campo e.m.

Se consideriamo tanti elettroni investiti dall’ondae ragioniamo in termini di una superficie unitariae di un volume unitario di campo,otteniamo che le onde e.m. trasportano unaquantità di moto per unità di volume pari alladensità di energia del campo e.m. diviso c

c

wp

La pressione di radiazione

Il fatto che le onde e.m. abbiano quantità di moto può essere verificato sperimentalmentemisurando la forza (o meglio la pressione)su di una superficie investita da una ondaelettromagnetica.

Esperimento di Nichols e Hull (pressione ~10-6N/m2)

Calcolo della pressione di radiazione

Calcoliamo la pressione esercitata da una ondae.m. piana che incide ortogonalmente su unasuperficie piana e viene assorbita completamente.

Da quanto abbiamo visto l’onda trasporta e trasferisce quantità di moto alla superficie quindidalla legge di Newton la superficie subisce una forza.Se prendiamo un’area A di superficie e consideriamola quantità di moto trasferita nel tempo t cheviene dal volume A(ct) del campo e.m.,abbiamo

wA

Fpressione

wAt

tAccw

Ft

P

c

wp

Quantità di moto x unità di volume

Se la superficiefosse riflettentepressione=2w

L’esistenza della pressione di radiazione è stata verificata sperimentalmente, ed è responsabile di diversi fenomeni (ad es. la curvatura della coda di una cometa a causa della pressione di radiazione emessa dal Sole).

Nel caso interazione Sole-Terra, l’energia incidente per unità di tempo e di superficie è dell’ordine di 103 W/m2. Dividendo per c otteniamo la densità di energia per unità di volume w~10-6 J/m3

2610Terra-Sole rad pressione mNwA

F

2510Terra aatmosferic pressione mN

La pressione di radiazione del Sole è così piccola da non influenzare il moto orbitale terrestre!

Sorgenti del campo elettromagnetico

LE EQUAZIONI DI MAXWELL CI PERMETTONO

DI CONCLUDERE CHE

CAMPO

ELETTRICO STATICO

MAGNETICO STATICO

ELETTROMAGNETICO

SORGENTE

CARICHE FISSE

CARICHE INMOTO UNIFORME

CARICHE ACCELERATE

Radiazione da dipoli oscillanti

DIPOLO ELETTRICO

Prendiamo un dipolo elettrico statico p0, creerà un campo elettrico statico intorno a sé, come abbiamo visto.

Se le cariche del dipolo vengono messe in scillazione con una legge p0cost il campo elettrico sarà dipendente dal tempo.

Ricordando che nel caso statico…...

Ez

dedurre che un campo E(t) crea un campo B ortogonale a E e ortogonale alla direzione di propagazione (radiale rispetto al dipolo).

Il flusso di energia dipende dall’angolo

è max per =/2è zero per =0

L’equazione di Ampere-Maxwell ci permette di

DIPOLO MAGNETICO

Una situazione analoga la possiamo trovare conun dipolo magnetico oscillante.

Il dipolo magnetico crea un campo magnetico B(t)il flusso dipende dal tempo e quindi (Legge diFaraday-Henry) crea un campo elettrico Eortogonale a B e ortogonale alla direzione di

propagazione dell’onda (direzione radialerispetto al dipolo).

Il flusso di energia dipende dall’angolo è max per =/2è zero per =0

+

Interazione delle onde e.m. con gli atomi diun materiale:

atomi visti come elettroni legati a un nucleo positivo.

Fenomeno della diffusione delle onde e.m. nella materia.

Quando un’onda e.m. incide sugli atomi di unmateriale, il campo elettrico dell’onda interagiscecon gli elettroni legati ai nuclei del materiale.

Agisce come una forza -eE e quindi fa lavorodissipando energia del campo che viene convertitain energia del moto degli elettroni.

L’energia che viene assorbita dall’onda tende adessere riemessa in tutte le direzioni con unafrequenza che è, generalmente ma non sempre,la stessa dell’onda incidente.

Il processo di interazione del campo E dell’ondacon gli elettroni della materia, e quindi la quantitàdi energia diffusa, dipende dalla frequenza dellaonda e.m. incidente.Ovviamente il fascio primario è impoverito di energia.

Questo è una conseguenza delle frequenze propriedegli elettroni legati negli atomi.

(Vedi un modello di elettroni legati ai nucleicon forza di richiamo elastica e sottoposti al campoE dell’onda e.m.)

Con questo schema è possibile giustificare:• il colore blu del cielo durante il giorno;• il colore rosso dell’alba e del tramonto;• gli effetti di polarizzazione delle onde e.m. diffuse in direzione perpendicolari al fascio primario in soluzioni con particelle sospese.

PROPAGAZIONE DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE NELLA MATERIA

(cenni per materiali omogenei e isotropi)

Quando un’onda e.m. attraversa un materiale ilcampo E dell’onda interagisce in ogni punto conle cariche microscopiche che costituiscono gliatomi o le molecole del materiale.

Abbiamo tre tipi di situazione:

1) atomi neutri privi di momento di dipolo el.;

2) molecole dotate di mom. di dipolo elettrico;

3) catene di atomi leggermente ionici la cui distanza interatomica può variare.

Quando il campo E(t) dell’onda interagisce con il caso (1) si forma un momento di dipolo el.variabile nel tempo; con il caso (2) i dipoli tendonoad oscillare seguendo la tendenza ad allinearsi conE(t) variabile; con il caso (3) i dipoli tendono adeformarsi aumentando o diminuendo la distanzatra le cariche di segno opposto, seguendo E(t).

Cosa succede all’onda elettromagnetica ?

•Tanto per cominciare varia la sua velocità.

Nel vuoto

In un mezzo

00

1)(v

cvuoto

rrrr

cmezzo

00

1)(v

Infatti l’onda incidente con campi Ei e Bi

mette in oscillazione i dipoli microscopici cheiniziano ad irradiare creando un’onda secondariacon campi ES e BS che si sovrappone all’ondaincidente.

L’effetto complessivo è la somma dei vettori E e B, principio di sovrapposizione

onda incidente + onda secondaria

dà origine ad un’onda con velocità

r

r

r

mezzo

cn

con

cmezzo

)(v

1

)(v

Si definisce indice di rifrazione

•La velocità di variazione dei campi dell’ondae.m. dipende dalla frequenza angolare dell’onda

v

22

2 T

dove T è il periodo di oscillazione; =1/T è la frequenza; è la lunghezza d’onda.

I dipoli elettrici microscopici che vengono perturbati dal campo E() non è detto cheriescano a seguire nello stesso modo la variazione di E a tutte le frequenze(per via di interazioni tra gli atomi del materiale).

Il momento di dipolo per unità di volume delmateriale dipende da

EP E

)()( 0

)(1)()(

)(1)()(2

0

0

EnP

EP r

rmezzo

cn

nel vel.

•Cosa succede alle caratteristiche dell’onda e.m.quando passa dal vuoto ad un materiale ?

Un’onda e.m. è caratterizzata dalla sua frequenza =2

e dalla sua lunghezza d’onda

Per l’onda incidente nel vuoto abbiamo:

i i

Per l’onda nel mezzo di costante dielettrica r=n2

abbiamo:m m

Poiché la frequenza dipende solo dalla sorgentei= m

nn

ccν i

mmm

mi

i

v

Ricordando che l’indice di rifrazione dipende da

)(v)(

v

n

c fenomeno delladispersione

Velocità di fase e velocità di gruppodelle onde e.m.

Come conseguenza della dispersione, cioèdella dipendenza della velocità di propagazionedi onde e.m. piane sinusoidale in un mezzo dallafrequenza dell’onda: )(v

)(v

n

c

Possiamo sperimentare il seguente fenomeno:nel vuoto, creato un segnale e.m.di forma f(x) non sinusoidale lungo la direzione x

abbiamo f(x,t)= integrale di Fourier (k,)

dktkxksinkAtxf

])([)(),(

Possiamo introdurre il concetto di velocità di propagazione del segnale non sinusoidale

come velocità di gruppo del segnale vg,cioè la velocità con cui trasla il baricentro delsegnale che si deforma, si può dimostrare che:

dk

dg

v

Mentre la velocità di propagazione del singolosegnale sinusoidale viene detta velocità di fase.

se f(x,t) si propaga, avendo tutte le componenti k, dello sviluppo la stessa velocità la forma del segnale non varia.

In un mezzo tutte le componenti a diverse k, si propagano con velocità diversa. Il segnale cambia forma nel tempo propagandosi.

f(x,t0) f(x,t1) f(x,t2)

x

Velocità di fase e velocità di gruppo

La velocità di propagazione di un’onda armonica, per quanto visto finora risulta v = /k, tale velocità è detta velocità di fase.

Tale velocità non è necessariamente la velocità che osserviamo quando analizziamo un moto ondulatorio ‘non armonico’

XX

Onda armonica continua

(contiene un asola frequenza e lunghezza d’onda)

Impulso o pacchetto d’onda

(contiene diverse frequenze e lunghezze d’onda)

Nel caso in cui la velocità di propagazione sia indipendente dalla frequenza (non c’è dispersione), tutte le componenti dell’impulso viaggiano con la stessa velocità, e la velocità dell’impulso, ossia quello del suo baricentro, è uguale alla velocità di fase dell’onda.

In un mezzo dipersivo, ogni componente dell’impulso ha una propria velocità di propagazione, e la velocità dell’impulso non è uguale alla velocità di fase.

Supponiamo che un moto ondulatorio sia scomponibile in due sole onde armoniche con ampiezze uguali A e frequenze e ’ molto vicine tra loro

f(x,t)= Asin[kx - t] + Asin[k’x - ’t] =

=2Acos [(k’-k)x – (’t] sin [(k’+k)x – (’t]=

= 2Acos [(k’-k)x – (’t] sin (kx – t)2

12

1

2

1

Modulazione di ampiezza

X

L’ampiezza modulata 2Acos [(k’-k)x – (’t] corrisponde ad un moto ondulatorio che si propaga

con una velocità

detta velocità di gruppo

Ogni massimo dell’onda (inviluppo) si propaga con vg , pertanto la velocità di gruppo è la velocità con cui un segnale viene trasmesso (N.B. E’ la velocità con cui si propaga la sua energia)

Essendo la velocità di fase v=/k, segue che

2

1

dk

d

kk

'

'vg

vg

dk

dk

vvvg