UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA DEPARTAMENTO DE F
ISICA
EDINELSON PEREIRA DOS SANTOS
TRANSPORTE PARALELO DE VETORES NO UNIVERSO DE
FRIEDMANN-ROBERTSON-WALKER
Feira de Santana 2009
EDINELSON PEREIRA DOS SANTOS
TRANSPORTE PARALELO DE VETORES NO UNIVERSO DE
FRIEDMANN-ROBERTSON-WALKER
Monograa apresentada ao Curso de F sica da Universidade Estadual
de Feira de Santana, como requisito parcial para a obteno do grau
de LICENca CIADO em F sica. Orientador Prof. Dr. Alexandre Manoel
de Morais Carvalho.
Feira de Santana 2009
EDINELSON PEREIRA DOS SANTOS
TRANSPORTE PARALELO DE VETORES NO UNIVERSO DE
FRIEDMANN-ROBERTSON-WALKER
Monograa apresentada ao Curso de F sica da Universidade Estadual
de Feira de Santana, como requisito parcial para a obteno do grau
de LICENca CIADO em F sica. Orientador Prof. Dr. Alexandre Manoel
de Morais Carvalho.
Aprovada em 05 de maio de 2009.
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Alexandre Manoel de Morais Carvalho Departamento de F
sica - UEFS
Prof. Dr. Carlos Alberto de Lima Ribeiro Departamento de F sica
- UEFS
Prof. Dr. Josevi de Souza Carvalho Departamento de F sica -
UEFS
Dedico este trabalho a meu pai Luiz, minha me Edinalva e aos
meus irmos, Val, a a Luciano, Ney, Iana e Patr e minha cia esposa
Lane, que sempre apoiaram todas as decises, confortaram-me nos
momentos o dif ceis e proporcionaram momentos de muita alegria e
aprendizado ao vosso lado.
AgradecimentosAgradeo a Deus por atender minhas oraoes. c c Ao
meu professor e orientador Alexandre Carvalho pelos ensinamentos,
pacincia e e exemplo prossional o qual pretendo seguir. Aos amigos
Murilo Sodr, Murilo Silva, Gess, Fabr e e cio, Jones, Tony e
Erveton, os quais conheo desde o in da graduaao, por todas
discusses e aconselhamentos. c cio c o A UEFS por tudo que me foi
necessrio para a concluso da minha graduao. a a ca A Residncia
Universitria, a qual foi minha casa durante todo esse per e a odo.
Aos colegas da Resi pelos momentos de descontraao. c Ao apoio
nanceiro da PROBIC durante a minha iniciao cient ca ca. Muito
obrigado!
Eu posso aprender todas as coisas atravs de e Jeov Deus. a
ResumoEm geral, o transporte paralelo de vetores no espao-tempo
curvo pode resultar em um c dcit angular entre as direes inicial e
nal do vetor. Neste trabalho o nosso ponto e co de partida foi
discutir o comportamento dinmico e a estrutura geomtrica dos
Modelos a e Cosmolgicos mais comuns que descrevem o universo,
especialmente os de Friedmann e o Einstein-de Sitter e os de
Friedmann-Lema tre. Todos os modelos so baseados na teoria a da
Cosmologia Relativ stica. Descrito os respectivos modelos, todos
foram analisados de acordo com suas hipteses, para da ser poss
inferir qual deles comporta melhor a acelo vel erada expanso do
universo, a radiaao csmica de fundo e a Teoria Padro. Em seguida a
c o a aplicamos o transporte paralelo de vetores em torno de rbitas
circulares no espao-tempo o c de FRW, onde encontramos um resultado
muito interessante. Observamos que no espaoc tempo de FRW o vetor
transportado paralelamente adquire um dcit angular depois de e n
voltas inteiras no plano equatorial, exceto para rbitas com
determinados raios chamao dos de raio cr tico. Essa espcie de
quantizaao tambm conhecida como banda de e c e e invarincia de
holonomia. a
AbstractIn general, the parallel transport of vectors in curved
space-time might result in angle dct between the initial and nal
vector direction. In this work our starting point was e to discuss
the dynamical behavior and the geometric framework of Cosmological
Models more common that describe the universe, specially the
Friedmann and Einstein de Sitters and the Friedmann-Lemaitres. All
the models are based on the relativistic cosmology theory. Once we
described the respective models, all were analyzed in agreement
with its hypothesis, to be possible from there to deduce what
better indicates the accelerated expansion of the Universe, the
cosmic background radiation and the Standard Theory. Next, we
applied parallel transport of vectors around circular orbits in the
FRWs spacetime, where we found a very interesting result. We
observed that in the FRWs space-time the parallel carried vector
acquire a angle dct after n entire turns in the equatorial plane, e
except for orbits with determinate radius called critic radius.
This kind of quantization is also known as invariant band of
holonomy.
Sumrio a1 Introduo geral ca 2 Idias fundamentais de cosmologia e
2.1 2.2 2.3 12 15
Princ pio Cosmolgico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 15 o Mtrica de Friedmann-Robertson-Walker. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 16 e Dinmica do universo de FRW. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 a 2.3.1 Lei de
Hubble e o Parmetro de Densidade. . . . . . . . . . . . . . 22 a
24
3 Modelos Cosmolgicos o 3.1 3.2 3.3 3.4
Modelos de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 25 Modelo de Einstein-de Sitter . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 27 Modelo de de-Sitter . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Modelo de Lema
tre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
32 38
4 Transporte Paralelo de Vetores 5 Transporte Paralelo de
Vetores na Geometria de FRW 5.1 5.2
Transporte paralelo na 2-esfera . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 38 Transporte em FRW . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2.1 5.2.2 5.2.3 Universo aberto
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Universo plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 43 Universo fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 44
5.3 5.4
Orbitas circulares com tempo constante . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 45 Orbitas circulares . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 49 52
6 Concluses o Referncias e
Lista de Tabelas1Valores de quando feito o transporte paralelo
do vetor em rbitas equatoriais o constante com tempo para os
devidos valores de k.
. . . . . . . . . . . . . . . 46
2
Valores de quando feito o transporte paralelo do vetor em rbitas
equatoriais o para os devidos valores de k, considerando o Universo
no-esttico. . . . . . . . a a
49
Lista de Figuras1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Evoluo do Universo para o
modelo de Friedmann Fechado, R t. . . . . . . . ca Evoluo do
Universo para o modelo de Friedmann Aberto, R t. . . . . . . . . ca
Evoluo do Universo para o modelo de Einstein-de Sitter, R t. . . .
. . . . . ca Evoluo do Universo para o modelo de de Sitter, R t.
ca
27 27 28
. . . . . . . . . . . . 30 31 32 33 33 34 36
Evoluo do Universo para o modelo de Lema ca tre. . . . . . . . .
. . . . . . . . Um tringulo esfrico APB. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . a e Tringulo constru em linhas curvas
em um espao plano. . . . . . . . . . . . a do c Transporte paralelo
sobre um tringulo esfrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . a e O
vetor paralelo de xa + xa em Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . Transporte de V a no caminho innitesimal fechado. . . . .
. . . . . . . . . . .
12
1
Introduo geral caA humanidade sempre manteve uma relao de
curiosidade quanto a origem e a ca
evoluao do Universo, buscando uma melhor compreenso da estrutura
deste. Para toc a dos ns, habitantes do Universo, conhecer os
detalhes desta nossa casa um dos temas o e centrais das preocupaoes
que intrigam as reexes humanas [5]. Da o surgimento de c o diversos
modelos propostos para descrever o Universo. Por muito tempo, sob a
tica da o cosmologia newtoniana, acreditou-se que o Universo era
esttico e imutvel no tempo a a absoluto, ou seja, em qualquer lugar
do Universo o tempo o mesmo. e No in do sculo XX nossa viso sobre o
mundo f cio e a sico sofreu uma considervel moda icaao a respeito
dos conceitos f c sicos at ento predominante. Isso foi graas ao
surgie a c mento da relatividade restrita, desenvolvida por Albert
Einstein, onde esta proporcionou uma generalizaao das leis
newtonianas1 , com resultados que culminou na cosmologia c moderna
[1]. Por algum tempo, Einstein tambm, inuenciado pelas ideias
newtoniana, e acreditou que o Universo era esttico. Isso o induziu
a introduzir uma constante em a sua equao de campo. A constante
seria uma espcie de fora extra, necessria para ca e c a
contrabalancear a fora gravitacional [8]. S depois de observaoes,
vericou-se que o c o c Universo era dinmico. a A essncia da
relatividade restrita est baseada em dois postulados de Einstein. O
e a primeiro coloca a luz como um ente de natureza especial que, na
ausncia da gravidade, e tem velocidade constante, nita (tomada como
velocidade limite para as velocidades existentes no universo) e
que, independente da direao de propagaao, suas propriedades c c so
as mesmas. Assim, a velocidade da luz a mesma para todos os
observadores ina e erciais2 . O segundo arma que todos os
observadores inerciais so equivalentes [7]. A a partir desse
momento o tempo perde seu carter absoluto e no se tem mais um espao
a a c separado do tempo, os dois passam a integrar agora uma unica
entidade: o espao-tempo c [1]. No entanto, Einstein incomodado com
os limites impostos a relatividade restrita de que o observador
deveria ser inercial, investiu no desenvolvemento de uma teoria
mais geral a qual se estendesse tambm a observadores no-inerciais.
Da inuenciado pelas e a ,1 2
Exceto a gravitao ca Observador no acelerado a
13 idias de E. Mach3 , desenvolveu a teoria da Relatividade
Geral. Esta se baseia em ale guns princ pios fundamentais que
determinam o comportamento das leis f sicas quando considerado a
gravitaao. O primeiro diz respeito ao princ c pio da equivalncia,
onde e arma que no existem testes, realizados por observadores
locais, que permitam a esses a distinguir entre um campo
gravitacional e um referencial acelerado[5]. A segunda idia e diz
respeito ao princ pio da covarincia, armando que todas as leis f a
sicas devem ter a mesma forma em qualquer referencial, ou seja, as
equaes f co sicas devem ter a forma tensorial. Da a necessidade do
clculo tensorial no estudo da relatividade de Einstein. a Agora
nesta nova viso relativ a stica devemos considerar a inuncia da
gravitaao nos e c movimentos dos corpos e da luz. A matria
determina a geometria do espao-tempo [7]. e c A noo de distncia, na
concepo relativ ca a ca stica, alterada, j que a parte temporal e a
est inclusa nesta geometria. Assim ao invs de termos distncia entre
dois pontos, agora a e a temos intervalos entre dois pontos (ou
eventos). Innitesimalmente, a distncia entre dois a evento no
espao-tempo descrito pela mtrica ds2 = g dx dx , onde g o tensor c
e e e mtrico [7]. Isto pode ser entendido como uma generalizaao do
teorema de Pitgoras. e c a Neste trabalho a mtrica que utilizaremos
a mtrica de Robertson-Walker4 , onde iremos e e e ver que tal
mtrica carrega informaes sobre a evoluo do Universo, inclusa no
fator de e co ca escala R(t), e informaes a respeito da estrutura
geomtrica, inclusa no parmetro de co e a curvatura k. Sem dvida a
cosmologia encontrou na relatividade geral uma forte parceria em
seus u avanos, juntamente com grandes descobertas realizadas no
sculo XX, tal como a dec e scoberta feita por Edwin Hubble5 em
1920. Hubble descobriu que a velocidade relativa entre duas galxias
era proporcional a distncia relativa entre elas. Esta descoberta
mua a dou radicalmente a viso que os cientistas tinham do Universo
[5]. a Na elaborao deste trabalho, utilizamos mtodos de geometria
diferencial em conjunto ca e com a teoria da Relatividade Geral.
Essa teoria, combinada com outras hipteses, o e uma ferramenta
muito poderosa na construao de modelos para descrever a dinmica do
c a Universo. Fundamentado no Princ Cosmolgico, o qual estabelece
que o Universo, em pio o3 4
Idias que armam que a distribuio de matria modica o espao. e ca
e c O f sico-matemtico americano Howard Percy Robertson (1894-1979)
e o matemtico ingls Arthur a a e
Georey Walker (1909-), demostraram, em 1935 e 1936, que tal
mtrica a mais geral para sastifazer a e e condiao de homogeneidade
e isotropia para a geometria do espao-tempo [4] c c 5 Astrnomo
americano Edwin Powell Hubble (1889-1953) [4] o
14 larga escala, se comporta como um uido perfeito, homogneo e
isotrpico e levando em e o consideraao a Teoria Padro (O chamado
Big Bang), obtivemos a mtrica de Robertsonc a e Walker. Essa
mtrica, como j citamos, carrega um Fator de Escala R(t), que
descreve a e a evoluao do Universo e um parmetro de curvatura k,
que pode assumir os valores +1, 0 c a e 1, dando informaoes sobre a
estrutura geomtrica do Universo que pode ser fechado, c e aberto ou
plano, respectivamente. Com base na mtrica de Robertson-Walker e
idealizando o Universo como um uido e perfeito, resolvemos a equaao
de Einstein e chegamos `s equaoes de Friedmann6 . Da c a c
utilizando a lei de Hubble, alguns parmetros e consideraoes,
tratamos dos modelos mais a c comuns que buscam descrever o
universo, especialmente os de Friedmann e Einstein-de Sitter e os
de Friedmann-Lema 7 tre Outros fatores importantes na anlise de
tais modelos so os resultados de observaes a a co feitas por V.
Slipher8 [1], do deslocamento para o vermelho, ou redshift, da luz
proveniente das galxias. Os resultados obtidos indicam que o
Universo se encontra em expanso. Sura a preendentemente, observaoes
recentes de supernovas distantes, realizadas por dois grupos c
independentes, liderados, respectivamente por A.G Riess e S.
Perlmutter [8] indicam que o Universo no s est se expandindo, mas
tal expanso ocorre de forma acelerada. Estas a o a a descobertas so
de importncia comparvel ` descoberta na dcada de 60, da existncia a
a a a e e da radiaao csmica de fundo (prevista pela Teoria Padro),
que tambm fortalece a c o a e aceitaao de alguns modelos tratados,
contrariando outros [8]. c Depois de discutidos os modelos
cosmolgicos, zemos um estudo do formalismo de o transporte paralelo
vetorial, o qual a idia bsica transportar um vetor paralelamente e
a e a si mesmo em torno de um caminho fechado ou de um ponto a
outro por caminhos diferentes. Tal transporte pode alterar a
orientaao desse vetor de acordo com a curc vatura do espao-tempo em
questo. Aplicamos estas idias `s condioes geomtricas de c a e a c e
Friedmann-Robertson-Walker, onde calculamos o vetor transportado
paralelamente para cada situao em que o Universo : plano (k = 0),
aberto (k = 1) e fechado (k = +1). ca e6
O russo Alexander Alexadrovitch Friedmann era meteorologista e
proporcionou notveis contribuies a co
para a cosmologia (1888-1925) [4] 7 O padre e engenheiro civil e
cosmlogo belga George-Henri Edouard Lema foi, provavelmente, o o
tre primeiro a propor um modelo espec co para o Big Bang, em 1927
(1894-1966) [4] 8 O astrnomo americano Vesto Melvin Slipher
(1875-1969), demostrou que, das 41 galxias que ele o a estudou, a
maioria apresentava deslocamento espectral para o vermelho [4].
15 Um fato curioso que, em algumas situaes a inuncia do
transporte paralelo depende e co e do raio da rbida adotada [2],
que no nosso casso adotamos rbitas circulares no plano o o
equatorial e constante com tempo.
22.1
Idias fundamentais de cosmologia ePrinc pio Cosmolgico. o
A cosmologia moderna baseada no Principio Cosmolgico, ou seja,
isotropia e hoe o mogeneidade do Universo. Estas duas hipteses
armam que, em larga escala, no h no o a a Universo nenhuma
localizao privilegiada, nem possibilidade de distinguir entre vrias
ca a linhas de visada, ou seja, todos os pontos e as direoes so
equivalentes[1]. Neste caso c a os diversos observadores que
acompanha o movimento cosmolgico, independentes uns o dos outros,
vo estar expostos, em um dado instante, a uma mesma interpretao do
a ca Universo. Este princ pio pode ser pensado como uma extenso da
proposta de Einstein, a segundo o qual as leis da F sica devem ser
as mesmas para esses observadores. No soa mente as leis so
identicas, mas a prpria descriao da estrutura do Universo, feita
pelos a o c observadores, deve ser tambm a mesma. O resultado que,
para evitar que diferentes e e observadores tenham opinies
distintas sobre a distribuiao de massa do Universo, temos o c que
este deva ser homogneo e isotrpico em largas escalas. Como o prprio
nome indica e o o este um princ e pio que postulamos como
verdadeiros e a partir dele desenvolvemos as conseqncias
cosmolgicas que se seguem[5]. ue o Sabemos que o Universo local, at
distncias da ordem de 10 Mpc9 , manifestamente e a e no homogneo e
tambm no isotrpico. Se observarmos, por exemplo, na direao do a e e
a o c plo Norte galctico no podemos deixar de notar a presena de
uma grande aglomeraao o a a c c de galxias na constelao de Virgem.
Esta uma distorao local que afeta a distribuiao a ca e c c de
galxias a distncias da ordem de 10 a 20 Mpc da galxia. Se
observarmos objetos a a a mais e mais distantes (distncias da ordem
de 100Mpc) o Universo vai parecer cada vez a mais prximo de uma
distribuiao homognea e isotrpica [5]. Isto equivale, por exemplo, o
c e o a enxergar uma praia depois de ver a granulaao da areia na mo
[1]. c a Notemos tambm que a isotropia e homogeneidade se referem
`s coordenadas espaciais e a9
1 pc (parcec) aproximadamente igual a 3,26 anos-luz. e
16 e no ao tempo, j que, por exemplo, homogeneidade temporal
implicaria um Universo a a estacionrio no tempo, sem in ou evoluao
alguma, e assim em conito com as oba cio c servaoes. Como veremos,
os cosmlogos Robertson e Walker foram os responsveis de c o a
mostrar que a forma das equaes de Friedmann unica se o Princ co e
pio Cosmolgico o sastifeito e a Relatividade Generalizada descreve
a gravitaao, estabelecendo assim a e c chamada Cosmologia Padro de
Friedmann-Robertson-Walker (FRW) [1]. Em s a ntese a cosmologia de
FRW se baseia em trs tpicos. A saber: o Principiio Cosmolgico, A e
o o Relatividade Geral e a idealizaao do Universo como um uido
perfeito. c
2.2
Mtrica de Friedmann-Robertson-Walker. e
Nesta seo buscaremos determinar, apartir da simetria esfrica, a
mtrica objeto de ca e e nossa investigaao, conhecida como mtrica de
Friedmann-Robertson-Walker. Em termos c e matemtico, um espao de
curvatura constante caracterizado pela equaao [7]: a c e c R = K(g
g g g ), (1)
onde R o tensor de curvatura e K uma constante chamada de
constante de cure e vatura (ou curvatura gaussiana). Assim, no caso
de um espao 3-dimensional, temos: c g R = R R = Kg (g g g g ) = K(g
g g g g g ) = K( g g ) 3 2 1 = K((1 + 2 + 3 )g g )
= K(3g g ) R = 2Kg , (2)
onde R conhecido como tensor de Ricci [7]. Considere agora um
espao 3-dimensional, e c e que este seja isotrpico em torno de cada
ponto. Logo teremos uma simetria esfrica o e em torno de cada
ponto. Isto resulta no elemento de linha que da forma [9]: e dl2 =
e dr2 + r2 (d2 + sin2 ()d2 ), (3)
17 onde (r) uma funao de r, pois para um sistema isotrpico e
homogneo, podemos e c o e escrever as coordenadas em um sistema
esfrico e considerar somente a coodenada radial e [4]. O que
precisamos agora encontrar a forma de e . Pela equao (3), temos que
os e ca tensores mtricos so: e a g11 = e(r) ; g22 = r2 ; g33 = r2
sin2 (), (4)
e os seus respectivos componentes contravariante so; a g11 =
e(r) ; g22 = r2 ; g33 = r2 sin2 (). (5)
Note que pela equaao (2), a relaao entre R e g pode nos dar
informaao a respeito c c c de e . Sendo assim, faremos os clculos
para as componentes dos tensores de Ricci [7], a que dado pela
equao: e ca R = + , (6)
onde os elementos so conhecidos como s a mbolos de Christoel.
Para calcular o tensor de Ricci preciso calcular, antes, os s e
mbolos de Christoel que pode ser escrito em termos das componentes
do tensor mtrico do espao-tempo como [7]: e c 1 = g ( g + g g ), 2
Assim pelas equaoes (4) e (5) temos10 : c 1 1 1 1 = g 11 (1 g11 + 1
g11 1 g11 ) = e(r) [1 (e(r) )] 1 = (r). 11 11 2 2 2 Pelo mesmo
procedimento encotramos: 1 1 = (r); 11 2 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 2
= 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 0; 32 23 31 22 11 13 31 13 32 23 21 12 1 =
re(r) ; 22 1 = re(r) sin2 (); 33 2 = 2 = 3 = 3 = r1 ; 31 13 21 12 2
= cos() sin(). 33 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 0; 11 33 22 12 21 3 = 3 =
cot(). 23 3210
(7)
onde este tem uma relaao de simetria, nos dois c ndices
inferiores, tal que: = .
(8a) (8b) (8c) (8d) (8e) (8f) (8g) (8h)
Onde usamos o ponto em para denotar a diferenciao com respeito a
r. ca
18 Aplicando as equaoes (8) na (6) obtemos: c R11 = 1 1 + 2 2 +
3 3 1 1 1 2 1 3 + 11 11 11 11 12 13 + 1 1 + 2 1 + 3 1 + 1 2 + 2 2 +
3 2 + 11 11 11 21 11 31 11 12 11 22 11 32 + 1 3 + 2 3 + 3 3 1 1 2 1
3 1 11 13 11 23 11 33 11 11 11 21 11 31 1 2 2 2 3 2 1 3 2 3 3 3 13
31 13 21 13 11 12 31 12 21 12 11 R11 = . r
Pelo mesmo procedimento encontramos: R12 = R21 = R13 = R31 = R23
= R32 = 0. R11 = R22 R33 . r 1 = re e + 1. 2 1 = [ re e + 1] sin2
(). 2 (9a) (9b) (9c) (9d)
De acordo com as equaoes (2), (4) e (9), temos: c R11 = 2Kg11
R22 = 2Kg22 Com as equaoes (10) temos: r = c = 2Ke(r) . r 1 re e +
1 = 2Kr2 . 2 Substiduindo em R22 : (10a) (10b)
e . 2K
1 e e 2 ( )e e + 1 = 2K( ) 2 2K 2K e2 2 2e2 2 e +1= 4K 4K e2 2
2e2 2 + 1 = e 4K 4K e2 2 = e . 1 4K Logo, com o uso da equaao (11)
chegamos na forma de e , que : c e e = 1 . 1 Kr2
(11)
(12)
Substituindo a (12) na (3) nos obtemos, para um espao
3-dimensional de curvatura c constante, o elemento de linha: dl2 =
dr2 + r2 (d2 + sin2 ()d2 ). 1 Kr2 (13)
19 Considerando que o espao-tempo pode ser fatiado em
hipersuperf c cies com o tempo constante, ento ( levando em conta o
Princ a pio Cosmolgico ) temos que a estrutura em o repouso das
galxias concorda muito bem com o conceito de simultaneidade, j que
a cada a a hipersuperf do espao-tempo temos um tempo t constante
associado, o que signica que cie c todos os eventos que ocorrem
nessa hipersuperf possuem tambm a mesma coordenada cie e temporal t
[9]. Isto nos permite adotar as coordenadas comveis 11 , em que
podemos o idealizar cada galxia passuidora de um conjunto xo de
coordenadas {t, x1 , x2 , x3 }, tal a que as hipersuperf cies so
descritas para um dado t constante e coordenadas espaciais a {x1 ,
x2 , x3 } constante ao longo das geodsicas. A coordenada temporal
t, representa o e tempo prprio de cada galxia. A expanso do
Universo (variao da distncia prpia o a a ca a o entre as galxias)
representada pela mtrica de coecientes dependentes com tempo. a e e
Assim, em um instante t qualquer, uma hipersuperf ter um elemento
de linha da cie a forma: dl(t)2 = hij dxi dxj , (14)
com hij = R(t)2 gij , onde R(t) conhecido como fator de escala e
hij a mtrica que e e e evolui com gij por um fator R(t)2 , igual
para toda hipersuperf cie, com {i, j = 1, 2, 3} [7]. No instante
inicial t0 temos R(t0 ) = 1. Pela condiao de ortogonalidade (em que
as c geodsicas so ortogonais ` fam de hipersuperf e a a lia cies),
pode-se mostrar que a mtrica e geral para o espao-tempo, nessas
condioes, ter elemento de linha dado por12 : c c a ds2 = dt2 R(t)2
gij dxi dxj , (15)
combinando a equaao (15) com o resultado da (13), pode ser
mostrado que a mtrica c e que atende ` cosmologia no espao-tempo,
para um Universo homogneo e isotrpico13 a c e o possui elemento de
linha dado por: ds2 = dt2 R(t)2 dr2 R(t)2 r2 (d2 + sin2 ()d2 ). 1
kr2 (16)
Essa mtrica conhecida como a mtrica de Robertson-Walker. A
curvatura gaussiana e e e e dada em termos do fator de escala pela
relao K = ca11
k , R(t)2
com k = 1, k = 0 e k = +1,
Coordenadas comveis so coordenadas espaciais que permanecem
constantes ao longo da geodsica o a e
para um obsevador fundamental, ou seja, aquele que se desloca
junto com a hipersuperf cie. 12 A partir de agora adotaremos a
unidade relativ stica em que c = 1, onde c2 dt2 = dt2 13 A condio
de isotropia e homogeneidade explica o uso de simetria esfrica na
costruo da equao ca e ca ca (16).
20 representando curvatura negativa, nula e positiva,
respectivamente[3]. Quando k = 1, dizemos que o universo aberto; k
= 0 o universo dito plano e nito. E para k = +1, e e universo
fechado. Observe que na mtrica da equao (16), a evoluao do universo
e sua e e ca c estrutura espacial so independentes. O fator de
escala R(t) deve sastifazer as equaes a co de Friedmann. Quando o
universo obedece tais condioes, ele chamado de universo de c e
Friedmann-Robertson-Walker (FRW).
2.3
Dinmica do universo de FRW. a
Agora ser analisado qual a previso que a equao de campo de
Einstein, pode fazer a a a ca respeito do comportamento do universo
de Friedmann-Robertson-Walker(FRW). Sabemos que na Relatividade
Geral de Einstein, geometria e matria esto acopladas atravs das e a
e equaoes de Einstein (j introduzida a constante cosmolgica): c a o
G g = 8T , (17)
onde G o chamado tensor de Einstein, onde este simtrico sob
troca de e e e ndices, e a constante cosmolgica, g o tensor mtrico
e T o tensor energia-momentum. O lado o e e esquerdo da equaao est
relacionado com a geometria e o lado direito ` matria imersa c a a
e no espao tempo, atravs do tensor energia-momentum, que para um
uido perfeito, como c e idealizamos anteriormente, dado por: e T =
( + p)u u pg , (18)
onde (t) e p(t) so a densidade total de energia e presso totais
(matria mais radiao) e a a e ca u a quadrivelocidade do uido [9].
Para um meio isotrpico e homogneo, a densidade e o e e presso so
funoes dependente com o tempo t. a a c Agora vamos resolver a
equaao de Einstein para a mtrica FRW, o que nos conduzir c e a as
equaes de Friedmann. Para isto, interessante observar antes que a
equaao de co e c Einstein (17) tambm pode ser escrita em termo do
tensor de Ricci R como: e 1 R g R = g + 8T , 2 (19)
onde R o escalar de Ricci dado pela contraao R = g R . Para a
mtrica de FRW e c e
21 temos que os coecientes no-nulo do tensor mtrico so: a e a
g00 = 1; g11 = g22 R ; 1 kr2 = R2 r2 ;2
(20a) (20b) (20c) (20d)
g33 = R2 r2 sin2 ().
Adotando um sistema de coordenadas em que as componetes
espaciais so xas, ento a a para o movimento de um elemento de
volume do uido perfeito, a quadrivelocidade e dada por: ua = (1, 0,
0, 0), (21)
onde adotamos c = 1. Assim, usando a equao (18) e a
quadrivelocidade da equao ca ca (21), podemos calcular as
componentes do tensor energia-momentum fazendo: T00 = ( + p)u0 u0
pg00 = + p p = ; T11 = ( + p)u1 u1 pg11 = pR2 ; 1 kr2 (22a) (22b)
(22c) (22d)
T22 = ( + p)u2 u2 pg22 = pR2 r2 ; T33 = ( + p)u3 u3 pg33 = pR2
r2 sin2 (), onde as demais componentes so nulas. a
Calculando o tensor de Ricci, do mesmo modo que na equaao (9),
para a mtrica c e FRW, temos os seguintes resultados: R R00 = 3 ; R
+ 2R2 + 2k RR R11 = ; 1 kr2 R22 = RRr2 + 2R2 r2 + 2kr2 ; R33 = RRr2
sin2 () + 2R2 r2 sin2 () + 2kr2 sin2 (), onde usamos R =dR . dt
(23a) (23b) (23c) (23d)
Por outro lado o escalar de Ricci pode ser expresso como:
(24)
R = g R = g 00 R00 + g 11 R11 + g 22 R22 + g 33 R33 ,
22 que aplicada ao lado esquerdo da equaao de Einstein (19), em
conjunto com as equaes c co (23) e a (24), obtm-se: e G00 = 3 G11
G22 R2 k + 3 2; 2 R R R2 k 2RR = ; 1 kr2 = 2RRr2 R2 r2 kr2 ; (25a)
(25b) (25c) (25d)
G33 = 2RRr2 sin2 () R2 r2 sin2 () kr2 sin2 ().
As equaoes (25), juntamente com o resultado do clculo do tensor
energia-momentum c a das equaes (22), nos conduz a duas equaoes
independentes: co c 2RR + R2 + k + = 8p, R2 3 R2 + k = 8, R2
e
(26)
(27)
onde foi usada a unidade relativ stica. Finalmente, atravs da
equaao (27), temos o e c seguinte resultado: R R2
8 1 k = + 2 . 3 3 R
(28)
Esta a chamada equao de Friedmann, com o fator de escala
variando com o tempo e ca na ausncia de presso. A equaao de
Friedmann (28) ser a base na costruo dos e a c a ca modelos
cosmolgicos que abordaremos. Na equao (26) a presso p engloba todo
tipo o ca a de presso, tais como as originadas do movimento
aleatrio das estrelas e galxias, presso a o a a de radiaao dentre
outras. Contudo, observaes revela que na poca presente a presso c
co e a muito pequena em comparao com a densidade de energia . A
razo entre estas e ca a duas quantidade da ordem de 105 ` 106 .
Consequentemente, de acordo com essas e a observaoes do Universo
presente, podemos tomar p 0 (predominncia de matria). c a e 2.3.1
Lei de Hubble e o Parmetro de Densidade. a
Antes de resolver a equaao de Friedmann vamos discutir alguns
conceitos fundamenc tais, tais como: a Lei de Hubble e Parmetro de
Densidade. a No in dos anos 20, enquanto a sociedade cient cio ca
acreditava em um Universo estacionrio, isto , um Universo similar
em todas direoes e imutvel no tempo, a cosmologia a e c a
23 experimentava uma descoberta que inaugurava a Cosmologia
Moderna. Em 1929, E. Hubble demostrou, observando o deslocamento
para o vermelho nas linhas espectrais (redshift) de 18 galxias
espirais e medindo as distncia entre estas com uma rasovel preciso
[11], a a a a que as galxias estavam se afastando com velocidade
proporcionais ` sua distncia. Desta a a a forma, quanto mais
distantes a galxia, maior sua velocidade de afastamento[4], ou
seja, a o Universo estar se expandindo. Assim, considerando a
expanso do Universo e que a este seja homogneo e isotrpico, podemos
armar que a distncia ri entre dois obsere o a vadores fundamentais,
com coordenadas espaciais xas, varia com o tempo de acordo com a
relao: ca ri (t) = R(t)ri (t0 ), (29)
onde R(t) o fator de escala, o qual caracteriza a evoluao
temporal do Universo. e c Derivando a equaao (29) em relaao ao
tempo , chegamos ` equaao que expressa a c c a c Lei de Hubble: vi
(t) = H(t)ri (t), (30)
onde H(t) = R(t)/R(t) o parmetro de Hubble. Esta lei arma que a
velocidade e a relativa entre os observadores fundamentais
proporcional ` distncia entre eles. Em e a a um Universo em expanso
H > 0 os observadores fundamentais esto se afastando, por a a
isso tal velocidade denominada velocidade de recesso. A velocidade
de recesso entre e a a dois observadores comveis indica como varia
com o tempo a distncia prpria entre eles. o a o Mas como no uma
velocidade cinemtica, no existe contradiao com o princ a e a a c
pio da relatividade mesmo quando excede a velocidade da luz no vcuo
[12]. a Se considerarmos t = t0 (o tempo presente), a equaao (30)
ca: c vi (t0 ) = H0 (t0 )ri (t0 ), (31)
onde H0 (t0 ) a constante de Hubble. Seu valor medido
experimentalmente [14], segundo e dados medidos atravs do satlite
da NASA, Wilkinson Microwave Anisotropy Probe e e (WMAP),
atualmente cerca de H0 (t0 ) = 71 4Km s1 M pc1 . e Para a construao
dos modelos cosmolgicos, interessante denirmos um parmetro c o e a
que possa ser medido diretamente, nos dando informaoes a repeito da
geometria do c
24 Universo. Para isso vamos reescrever a equao (27), para = 0,
como: ca 8 2 R ; R2 + k = 3 8 2 H 2 R2 + k = R ; 3 8 k= (H 2 )R2 H
2 R2 ; 2) 3(H k = ( 1)H 2 R2 , c onde c =3H 2 8
a densidade cr e tica, densidade de energia necessria para que a
geometria a
do Universo seja espacialmente plana, k = 0, na ausncia da
constante cosmolgica [13]. e o Assim, denimos Parmetro de Densidade
como a razo entre a densidade de energia e a a a densidade cr tica,
ou seja, = . c (32)
Veja que a relaao entre o parmetro de densidade e a curvatura
ser: c a a k = ( 1)R2 . (33)
Como veremos mais adiante, a equao (33) nos indica que, se >
1, a energia do Universo ca ser suciente para colaps-lo, ou caso =
1, o Universo ter seao espacial euclideana. a a a c Medioes mais
recentes, feitas pelo satlite WMAP [15], nos d = 1, 02 0.02, ou
seja, c e a a seo espacial do Universo atual basicamente
euclideana, ou plana [14]. A equaao ca e c (33) de grande utilidade
nas descrioes das propriedades geomtricas do Universo. e c e
3
Modelos Cosmolgicos oNesta seo ser feito uma classicao de alguns
modelos do Universo, partindo de ca a ca
certas hipteses. Os modelos que sero investigados so baseados na
teoria do Big Bang o a a ou, tecnicamente, Teoria Padro do Universo
[8]. A teoria do Big Bang leva em conta que, a se as galxias esto
se afastando umas das outras, como observado por Edwin Hubble em a
a 1929, no passado, elas deveriam estar cada vez mais prximas e,
num passado remoto, 10 o a 15 bilhes de anos atrs, deveriam estar
todas num mesmo ponto, muito quente. Uma o a singularidade
espao-tempo, que se expandiu no Big Bang [1]. O Big Bang, ou Grande
c Exploso, criou no somente a matria e a radiaao, mas tambm o
prprio espao e o a a e c e o c tempo [4]. Esse seria o in do
Universo observvel. cio a
25 O padre, engenheiro civil e cosmlogo belga Georges-Henri
Edouard Lema (1894o tre 1966) foi, provavelmente, o primeiro a
propor um modelo espec co para o Big Bang, em 1927. Ele imaginou
que toda a matria estivesse concentrada no que ele chamou de tomo e
a primordial e que esse tomo se partiu em incontveis pedaos, cada
um se fragmentando a a c cada vez mais, at formar os tomos
presentes no Universo, numa enorme sso nuclear. e a a Esse modelo
no pode ser correto pois no obedece `s leis da relatividade e
estrutura da a a a matria, mas ele inspirou os modelos modernos
[4]. e Independentemente de Lema tre, o matemtico e meteorologista
russo Alexandre Alexana drovitch Friedmann (1888-1925) j tinha
descoberto toda uma fam de solues das a lia co equaoes da
Relatividade Geral de Einstein. Tais solues encontradas por
Friedmann e c co Lema descreve um Universo em expanso, que pode
expandir eternamente ou colapsar tre a [4].
3.1
Modelos de Friedmann
Nesses modelos, Friedmann considera um Universo sem a constante
cosmolgica , o assim tomando = 0 a equao de Friedmann (28) assume a
forma: ca 8R3 R2 = k. 3R Tomando R3 V , podemos fazer resultado: C
R2 = k, R onde C =8M 3 M . R3
(34)
Substituindo na (34), temos o seguinte
(35)
uma constante. Agora a nossa tarefa resolver a equao (35), para
da e e ca
descrever os modelos proposto por Friedmann. Para um Universo em
que a densidade de matria maior que a densidade cr e e tica, ou
seja, > c , o que implica que o parmetro de densidade > 1 e
tomando k = +1, a a equaao (35) torna-se: c C R2 = 1. R Neste caso
ser conveniente introduzir uma nova varivel temporal , onde: a a dt
= R, d (37) (36)
26 e a equaao (36) ca: c R2 R2 = RC R2 ( dt dR 2 ) d dt dR ( )2
d 2 d R dR 2 2 d d d2 R d 2 = RC R2 = RC R2 =C = dR dR 2R d d
(38)
C R, 2
chamando R = Aep +
C 2
temos: R = Aep + dR = Apep ; d 2 dR = Ap2 ep , 2 d C ; 2
substituindo na equaao (38) podemos ver que p = i. Assim a
soluao geral da equaao c c c diferencial (38) pode ser expressa
por: R() = Aei + Bei + C ; 2
c R() = (A + B) cos() + i(A B) sin() + . 2 Tomando a parte real
e fazendo R(0) = 0 quando 0, temos que A + B = C . Assim: 2 R() = C
(1 cos()). 2 (39)
Substituindo na equao (37) e integrando, admitindo 0 = 0 quando
t0 = 0, podemos ca chegar facilmente na: t= C ( sin()). 2 (40)
As equaes (39) e (40) formam uma equaao parametrizada de uma
ciclide. Este co c o modelo chamado de Modelo de Friedmann Fechado.
Neste modelo o Universo e e nito e possui geometria semelhante a de
uma superf esfrica. cie e O grco da gura 1 mostra o comportamento
de R(t) com o tempo t para as equaes a co parametrizadas (39) e
(40). Observe que o Universo se expande e em um tempo futuro
colapsa (big crunch) e novamente se expande, continuando tudo
novamente. Este modelo tambm chamado de oscilatrio devido a este
comportamento[6]. Veja a gura 1. De e e o
27R(t)
t
Figura 1: Evoluo do Universo para o modelo de Friedmann Fechado,
R t. ca maneira anloga podemos encontrar, para um Universo em que a
densidade de matria a e seja menor que a densidade cr tica, ou
seja, < c < 1 e tomando k = 1, as seguintes equaes
parametrizadas: co R= C (cosh() 1); 2 C t = (sinh() ). 2 (41a)
(41b)
Este modelo chamado de Modelo de Friedmann Aberto. Tal modelo
innito e e e possui seo espacial semelhante ` uma superf
hiperbolide. Plotamos o grco das ca a cie o a equaoes paramtrizadas
(41). Este nos revela um Universo sempre em expanso, porm c e a e a
expanso manifesta uma desaceleraao ou freamento (Veja gura 2). a
cR(t)
t
Figura 2: Evoluo do Universo para o modelo de Friedmann Aberto,
R t. ca
3.2
Modelo de Einstein-de Sitter
28 Neste modelo supe que a densidade de matria exatamente a
densidade cr o e e tica, ou seja, = c , portanto = 1. Nesta verso
tambm considera-se = 0. Consequentea e mente pela equaao (33) temos
k = 0. Assim a equao (35) ca: c ca C R= , R que por uma simples
integraao e admitindo que no modelo do Big Bang R0 = 0 quando c t0
= 0, temos: R(t) =3
9Ct2 . 4
(42)
Este o chamado Modelo de Einstein-de Sitter 14 . Pelo fato de
termos k = 0, a e geometria desse modelo euclidiana, ou seja, o
Universo innito e plano. Plotamos e e o grco para este modelo e o
resultado est na gura 3. Observe que, semelhante aos a a modelos de
Friedmann, nesse modelo o Universo est em expanso mas tambm
manifesta a a e uma desacelerao. O modelo de Einstein-de Sitter ,
`s vezes, chamado modelo de ca e a Friedmann de curvatura nula [8].
Ou seja, a expresso modelos de Friedmann pode a designar os trs
modelos associados a k = 1, k = 0 e k = +1 que acabamos de ver. e
Os trs modelos acima, de Friedmann e Einstein-de Sitter, todos
prevm uma expanso e e aR(t)
Ct
Figura 3: Evoluo do Universo para o modelo de Einstein-de
Sitter, R t. ca do Universo desacelerada, ou seja, a velocidade da
expanso est diminuindo. Isso se a a deve ao fato de que a unica
fora que atua a gravitacional, que acaba por freiar a c e14
Astrnomo e matemtico, o holands Willem de Sitter (1872-1934),
descobriu, em 1917, uma soluo o a e ca
cosmolgica para a equao de campo de Eisntein, para um
espao-tempo ausente de matria [16]. Isso o ca c e viola claramente
os princ pios de Mach, como veremos, o Universo de de Sitter
dinmico e no esttico e a a a como previa Mach.
29 grande velocidade inicial. At h poucos anos, os tericos
aceitavam esta previso como e a o a verdadeira, e apenas se
dividiam em duas preferncias principais: uma corrente, ligada aos e
astrof sicos, que acreditava numa baixa densidade de matria, algo
como trinta porcento e da densidade cr tica, e que portanto o
modelo apropriado era o de Friedmann aberto; outra, principalmente
dos f sicos trabalhando na teoria dos campos, preferia a de
Einsteinde Sitter. No entanto, recentemente apareceu um novo
resultado que ningum o esperava. e Da anlise conjunta dos dados da
radiaao csmica de fundo das observaoes de estrelas a c o c
supernovas distantes, dois grupos independentes, liderados por A.
G. Riess e S. Perlmutter, chegaram ` concluso que: no s o Universo
est em expanso, mas a taxa ` qual se a a a o a a a expande est
crescendo com o tempo, ou seja, o Universo est acelerando [8]. a
a
3.3
Modelo de de-Sitter
No modelo de de-Sitter o Universo no contm matria mas apenas a
cosntante cosa e e molgica . Sua estrutura geomtrica plana [7], ou
seja, k = 0. Assim, assumindo que o e e p = = 0 a equaao (27) nos
fornece: c 3 R2 = 0; R2 R = ; R 3 dR =R . dt 3
(43)
Integrando a eq. (43) encontramos a relaao do fator de escala
com o tempo dada por: c R(t) = Ae onde A a constante de integrao. e
ca Observe que neste modelo o Universo se expande exponencialmente,
ou seja, sua expansso evolui rapidamente com o tempo. O
comportamento da expanso do Universo a a para este modelo,
escolhendo R = 1 quando t = 0 A = 1, est representado no grco a a
da gura 4. Este o modelo de Universo mais simples. Mas qual a
utilidade de estudar e um Universo vazio, sendo que as galxias nos
mostra que existe matria por toda parte a e do Universo? Naquela
poca, o motivo de se estudar este modelo, estava na facilidade e de
analisarmos como se comportaria o Universo em situaoes extremas.
Nos anos 80 c 3
t
,
(44)
30
R(t)
R(t)
t
t
Figura 4: Evoluo do Universo para o modelo de de Sitter, R t. ca
surgiu o chamado cenrio inacionrio do Universo primordial, onde
arma que em uma a a poca muito curta, logo aps o nascimento do
Universo, este se expandiu de forma muito e o rpida, como no modelo
de Sitter. Isso antes de comear a fase de expanso normal, que a c a
descrita pelos modelos de Friedmann e seus sucessores [8].
Considerando que o estado e inacionrio elimina qualquer curvatura
que o Universo pudesse ter [8], de tal forma que a aps a inaao, o
Universo teria curvatura nula (k = 0). Assim, podemos armar que o o
c modelo de de Sitter descreve mutio bem o cenrio inacionrio. a
a
3.4
Modelo de Lema tre.
O modelo de G. Lema tre adota-se uma constante cosmolgica maior
que o valor o proposto por Einstein e um Universo plano [7], ou
seja, k = 0. Assim para > 0 temos pela equaao (28): c 1 8 1 R2 =
( R3 ) + R2 . R 3 3 Novamente, como R3 V podemos chamar C =8M 3
(45)
onde M = R3 . Logo: (46)
C 1 R2 = + R2 . R 3
Esta a equao diferencial ` qual sua soluo nos conduzir ao modelo
do cosmo proposto e ca a ca a por Lema tre. Para isto vamos
introduzir uma nova varivel x dada por x = a Derivando x em funao
do tempo temos: c dx 2 2 dR = R , dt C dt (47)2 3 R . 3C
elevando os dois lados da equaao (47) ao quadrado e substituindo
na equaao (46) obtec c
31 mos: dx = 3(2x + x2 ), dt que integrando para um modelo de
Big Bang em que x0 = 0 quando t0 = 0, chegamos a:x
0
dx = 2x + x2
t
3dt = 3t,o
o que podemos fazer,x 0
dx = 2x + x2 + 1 1
x 0
dx (x + 1)2 1
= 3t.
(48)
Se chamarmos cosh(z) = (x + 1) teremos sinh(z)dz = dx, que
podemos substituir na equaao (48) obtendo (para z0 = 0 quando x0 =
0): cz 0
sinh(z)dz cosh (z) 12
z
=0
sinh(z)dz = z = 3t, sinh(z)
(49)
2 como cosh(z) = (x + 1) = ( 3C R3 + 1) = cosh(3t), ento
nalmente chegamos a soluo a ca
da equao diferencial (46) que dada por [7]: ca e R(t) = 3C
(cosh(3t) 1). 2 (50)
Plotamos o grco da equaao (50) e o resultado est na gura 5.
Observe que a curva a c aR(t)
R(t)
t
t
Figura 5: Evoluo do Universo para o modelo de Lema ca tre. da
gura 5, tem expanso primeiramente desacelerada. Depois, em um certo
ponto de a inexo, comea acelerar. Este modelo de Lema a c tre pode
ser generalizado para vrios a valores de resultando nas mesmas
variantes dos modelos de Friedmann, podendo ser
32 chamado at de modelo de Friedmann-Lema e tre. Com a
descoberta da aceleraao do c Universo, a constante tem sido alvo de
vrias pesquisas como recurso para explicar a a teoria do Big Bang
com aceleraao [8]. Assim,podemos perceber que esse modelo o que c e
melhor explica a observada acelerao do Universo. No entanto, nesse
modelo no temos ca a inaao. c
4
Transporte Paralelo de VetoresAqui, discutiremos a respeito de
uma ferramenta matemtica muito util para analisar a
curvaturas, onde tal ferramenta denominada de transporte
paralelo. Uma noao intuitiva e c de transporte paralelo consiste em
deslocar um vetor ao longo de uma curva e vericar a mudana na
orientaao do vetor aps o transporte, isso nos informar se tal regio
a qual a c c o a a curva pertence possui curvatura ou no. Para
ilustrar, considere a Figura 6, em que duas a linhas prximas,
perpendiculares ao equador, partem dos pontos A e B paralelamente o
uma da outra. Quando cont nuas essas linhas, localmente retas,
descrevem um arco de um grande c rculo, e as duas linhas se
encontram no plo P . Linhas paralelas, quando o cont nuas, se no
permanecem paralelas dizemos que o espao no plano[9]. a c e a
Figura 6: Um tringulo esfrico APB. a e Considere agora um espao
plano, em que tomamos um caminho fechado ABC. Na c Figura 7, um
vetor transportado paralelamente do ponto A at o ponto B, depois
para e e C e nalmente retorna para A. Observe que o vetor nal em A
naturalmente paralelo e ao vetor original. Agora veremos que isto
completamente diferente quando feito em uma esfera. Cone sidere o
caminho fechado AP BA mostrado na Figura 8, onde a linha AP
perpendicular e ao equador, assim como BP . No ponto A escolhemos
um vetor paralelo ao equador. Ar-
33
Figura 7: Tringulo constru em linhas curvas em um espao plano. a
do c rastando paralelamente este vetor at P e de P at B, fcil
perceber que quando chegar e e e a em B, este novo vetor estar
perpendicular ao equador. Finalmente, feito o transporte a paralelo
de B at A, observamos que o campo vetorial foi, por construo,
rotacionado e ca em 90 . Essa construao feita na esfera justamente
o que chamamos de transporte c e paralelo[9].
Figura 8: Transporte paralelo sobre um tringulo esfrico. a e
Para uma deniao matemtica mais precisa, consideremos um campo
vetorial X a (x) c a avaliado no ponto Q, com coordenada xa + xa
prximo ao ponto P , com coordenada xa . o Expandindo em srie de
Taylor, em torno de x, temos que: e X a (x + x) = X a (x) + xb b X
a , (51)
onde despresamos os termos de ordem superiores. Chamando o
segundo termo do lado direito da equaao (51) de X a (x) = xb b X a
, obtemos: c X a (x) = X a (x + x) X a (x). (52)
Veja que X a (x) uma quantidade no tensorial, pois no se
transforma como um tensor, e a a uma vez que envolve diferena de
tensores avaliados em pontos distintos. c Agora vamos construir a
denio de derivada covariante a partir do transporte de ca vetores,
introduzindo um vetor em Q que paralelo a X a em P ( Veja gura 9).
Desde e
34 que xa + xa seja fechado em xa , podemos assumir que o vetor
paralelo difere de X a (x) somente por uma pequena quantidade que
aqui vamos chamar de X a (x) , como mostra a Figura 9. Observe que
X a no uma tensor, pois tambm envolve diferena de tensores a e e
c
Figura 9: O vetor paralelo de xa + xa em Q.
avaliados em pontos distintos. Mas podemos fazer: X a (x) + X a
(x) [X a (x) + X a (x)] = X a (x) X a (x), (53)
criando assim um vetor diferena que um tensorial [7], j que est
sendo avaliado no c e a a a mesmo ponto x. E fcil observar que X a
(x) ser nulo quando X a (x) ou xa tambm o a e ser. Ento por uma
simples deniao podemos assumir X a (x) linear com X a (x) e xa , a
c o que signica que existe um fator mutiplicativo a onde: bc X a
(x) = a X b xc . bc (54)
O sinal de menos introduzido por convenao. A equaao dene a lei
geral de transporte e c c de um vetor X a denido em x para o vetor
X a + X a no ponto x + x. A quantidade a bc chamada de conexo am ou
simplesmente conexo. Agora feito o transporte do vetor e a a ao
longo do caminho do ponto P at o ponto Q, podemos denir a derivada
covariante e de um vetor, que chamaremos de:cX a
,
(55)
que por meio do processo de limite fazendo xc 0 ,cX a
= lim cx
1 {X a (x + x) [X a (x) + X a (x)]}. c 0 x
35 Em outras palavras, a derivada covariante de X a a diferena
entre o vetor X a (Q) e o e c vetor paralelo a X a (P ), dividido
pela diferena de coordenadas, no limite dessa diferena c c tendendo
a zero. Das equaes (51) e (54), encontramos: cocX
1 [X a (x) + xb b X a X a (x) + a X b xc ]; bc x 0 xc 1 a {xb b
X a + a X b xc }; c X = lim bc xc 0 xca
= lim c
cX
a
= c X a + a X b . bc
(56)
Assim, a equaao (56) dene a derivada covariante de um vetor. c
Seja um campo vetorial tangente X a =dxa d
ao longo da curva xa () , onde o e
parmetro da curva. Agora considere um campo vetorial V a (0 )
assinado no ponto xa = a xa (0 ) da curva. Podemos denir um campo
vetorial V a () ao longo da curva de tal forma que cada vetor V a
() pode ser arrastado paralelamente ao vetor original em xa = xa (0
). Para isto vamos denir a derivada absoluta denotada por o vetor V
b transportado paralelamente se: e DV b () = Xa db aV = DV b d
= Xa
aV
b
. Dizemos que
dxa (a V b + b V c ) = 0, ca d
(57)
esta uma equao diferencial de primeira ordem para V b , em que
fornecendo um valor e ca inicial para V b , a saber V b (P ), a
equao (57) determina um vetor ao longo da curva, que ca e
transportado paralelamente a V b (P ). Usando esta notao, uma
geodsica am denida ca e e como uma curva privilegiada em que o
vetor tangente ao longo da curva propagado e paralelamente a si
mesmo[7]. Em outras palavras, um vetor propagado paralelamente e
paralelo em todo ponto da curva, de modo que proporcional ao vetor
tangente no ponto, e ou seja: XaaX b
= q()X ( b),
(58)
onde q() uma funao arbitrria de . Usando a equaao (56) na (58),
temos: e c a c dxb dxa (a X b + b X c ) = q ; ca d d dxb dxa dxb (
a( ) + b X c ) = q ; ca d x d d c a d2 xb dxb b dx dx + ca =q . d2
d d d
(59)
Se a curva parametrizada de tal maneira que q desaparea (isto
pode ser feito transe c portando paralelamente o prprio vetor
tangente a curva X a = odxa ), d
ento o parmetro a a e
36 um parmetro privilegiado chamado de parmetro am, que
denotaremos por s . Assim a a sendo, a equaao (59) reduz a: c d2 xb
dxc dxa + b = 0. ca ds2 ds ds (60)
A equaao (60) chamada de geodsica am [7], ou seja, uma curva
privilegiada em que c e e o vetor tangente propagado paralelamente
a si mesmo. Um parmetro am somente e a e denido por uma transformao
am do tipo s as + b, onde a e b so constantes. A ca a equaao (60)
dene precisamente as linhas geodsicas no espao am. c e c No espao
euclidiano podemos caracterizar uma linha reta pelo fato de que um
vetor c arbitrrio tangente a tal reta permanea paralelo a ela
quando deslocado ao longo da a c mesma. A equao (60) traduz esta
caracterizao para uma situao geral em que o ca ca ca espao-tempo
curvo. Esta linha reta generalizada chamada de geodsica. c e e e
Vejamos agora um resultado interessante: considere um caminho
innitesimal fechado em uma variedade qualquer, que conecte xa com
xa + xa + dxa . Vamos fazer o transporte paralelo do vetor V a de
xa at xa + xa + dxa por dois caminhos diferentes, primeiro via e xa
+ xa e depois via xa + dxa (Veja a Figura 10).
Figura 10: Transporte de V a no caminho innitesimal fechado.
Primeiro faremos o transporte paralelo do vetor V a de xa at xa +
xa , onde pela e equaao (51) obtemos o vetor: c V a (x + x) = V a
(x) + V a (x). V a (x + x) = V a (x) a V a (x)xc . bc Agora fazendo
o transporte de xa + xa at xa + xa + dxa , obtemos: e V a (x + x +
dx) = V a (x + x) a (x + x)V b (x + x)dxc . bc (62) (61)
37 Fazendo a expanso em srie de Taylor para a (x + x) avaliado
em torno de x, temos a e bc [7]: a (x + x) = a (x) + c a xc . bc bc
bc Substituindo este resultado na equaao (62) chegamos a: c V a (x
+ x + dx) = V a (x + x) (a (x) + c a (x)xc )V b (x + x)dxc , bc bc
que utilizando a equao (61) torna-se: ca V a (x + x + dx) = V a a V
b xc a V a dxc + a b V e xf dxc d a xd V b dxc , (63) bc bc ef bc
bc onde desprezamos o ultimo termo de terceira ordem xd xf dxc . Da
mesma forma en contramos resultado equivalente para o caminho que
conecta xa at xa + xa + dxa , via e xa + dxa . Bastar substituir xa
por dxa na equaao (63), onde: c V a (x + dx + x) = V a a V b dxc a
V a xc + a b V e dxf xc d a dxd V b xc . (64) bc bc bc ef bc Da
tomando a diferena entre os dois vetores achados para cada caminho
tomado, temos: c V a = V a (x + x + dx) V a (x + dx + x). V a = a b
V e xf dxc a b V e dxf xc d a V b xd dxc + d a V b dxd xc . bc ef
bc ef bc bc Fazendo as devidas permutaoes de c ndices mudos temos o
seguinte resultado: V a = a e V b xc dxd a e V b dxd xc c a V b xc
dxd + d a V b dxd xc ; ed bc ec bd bd bca V a = (d bc c a + a e a e
)V b xc dxd ; bd ed bc ec bd a V a = Rbdc xc dxd ,
(65)
onde,a Rbdc = d a c a + a e a e , bc bd ed bc ec bd
(66)
chamado de tensor de Riemann15 ou tensor de curvatura [7]. Uma
condio necessria e ca a e suciente para que a regio do espao-tempo,
a qual foi feito o transporte paralelo, a c seja plana que o tensor
de Riemann seja nulo. Observe que o resultado obtido por e
transporte paralelo depende do caminho tomado, a menos que este
transporte seja feito em uma regio plana do espao-tempo. Se
mudarmos os dois ultimos a c ndices inferiores do tensor de Riemann
teremos:a V a = Rbcd xc dxd ,
o que indica a anti-simetria do tensor de Riemann nos dois
ultimos ndices inferiores.15
Georg Friedrich Bernhard Riemann, matemtico alemo (1826-1866)[4]
a a
38
5
Transporte Paralelo de Vetores na Geometria de FRWAps estudado
transporte paralelo de vetores, usamos esta tcnica para investigar
a o e
curvatura na geometria de FRW. O transporte paralelo ser
realizado ao longo de curvas a fechadas, onde trataremos os simples
casos para rbitas circulares e rbitas circulares o o com tempo
constante. Mas antes, a n de exemplo e para uma melhor compreenso,
vel a iniciaremos fazendo o transporte paralelo do vetor arbitrrio
V = (A , A ) ao longo de a curvas equatoriais, ou seja, com = /2,
na superf de uma esfera ordinria 2-esfera. cie a
5.1
Transporte paralelo na 2-esfera
Para 2-esfera de raio constante r = a, temos a seguinte mtrica:
e ds2 = a2 (d2 + sin2 ()d2 ), (67)
onde as componentes no nulas do tensor mtrico so: g11 = a2 , g22
= a2 sin2 (), g 11 = a2 a e a e g 22 = a2 sin2 (). Assim as conexes
podem ser calculadas por: o 1 = g ( g + g g ); 2 1 1 22 = g 11 (2
g12 + 2 g12 1 g22 ); 2 1 1 22 = g 11 (1 g22 ); 2 1 = cos() sin().
22 Continuando com os clculos das conexes, temos as outras dadas
por: a o 2 = 2 = 12 21 cos() ; sin() (69a) (69b) (69c)
(68a) (68b) (68c)
1 = cos() sin(); 22 1 = 1 = 1 = 2 = 2 = 0. 11 22 12 21 11 Da
equao (57) temos: ca dx d V + V x = 0.
(70)
39 Abrindo a soma em = 1, 2, dx1 d Para = 1 temos: dx1 d V 1 dx2
+ 1 V 1 + 1 V 2 + 11 21 x1 d V 1 + 1 V 1 + 1 V 2 12 22 2 x = 0.
(72) dx2 V + V + 1 x1 d V + V 2 2 x = 0. (71)
Para = 2 temos: dx1 d Sendo fazer: dx V dV = . d x d Usando as
equaoes (68) e (69) chegamos aos seguintes resultados, c dV 1 dx2 +
(1 V 2 ) = 0, 22 d d dV 2 dx2 dx1 + (2 V 1 ) + (2 V 2 ) = 0, 12 21
d d d (74a) (74b)V x
V 2 dx2 + 2 V 1 + 2 V 2 + 11 21 x1 d
V 2 + 2 V 1 + 2 V 2 12 22 x2
= 0.
(73)
= , as derivadas parciais que no se anulam quando = , e da
podemos a e
tomando rbitas na direao de , ou seja = , chegamos as seguintes
equaes difereno c co cias: dV 1 cos() sin()V 2 = 0; d dV 2 cos() 1
+ V = 0. d sin() (75a) (75b)
Observe que diferenciando a equaao (75a) com respeito a e
substituindo a equaao (75b) c c no resultado obtido, chegamos
facilmente por integraao direta nas seguintes componetes c do vetor
transportado paralelamente: V 1 () = sin() + cos(); V 2 () = cos()
sin() , sin() (76a) (76b)
onde e so constantes de integrao e usamos = cos(). O vetor
quando parte de a ca = 0, tem suas componentes dadas por: V 1 (0) =
; V 2 (0) = . sin()
40 Depois de uma volta completa ( = 2) o vetor V = (V 1 , V 2 )
ter componentes dadas a por: V 1 (2) = sin(2) + cos(2); V 2 (2) =
cos(2) sin(2) . sin() (77)
Desde que o transporte paralelo seja feito no equador ( = ), as
componentes do vetor 2 V = (V 1 , V 2 ) no sero afetadas. a a Veja
que para 0 e temos uma singularidade em V 2 . No entanto, para
arbitrrio, teremos V = V (2) V (0) = 0, o que indica uma mudana na
direao a c c espacial do vetor V , como era de se esperar. Este
exemplo foi escolhido por ser mais intuitivo, pois o nosso trabalho
analisar curvaturas no espao-tempo de FRW, onde neste a c caso
perceber a geometria em quatro dimenses estar alm da percepo
humana. o e ca Como j foi mensionado, a congurao do espao-tempo a
qual ser nosso objeto a ca c a de investigaao ser a mtrica de FRW.
Aplicaremos o transporte paralelo do vetor V c a e semelhantemente
ao adotado na 2-esfera, porm agora estamos trabalhando no espaoe c
tempo e portanto o vetor ter quatro componentes, a saber: V = (V 0
, V 1 , V 2 , V 3 ) ou a V = (V t , V r , V , V ). A mtrica FRW
dada pela equaao (16), onde: e e c ds2 = dt2 R(t)2 dr2 R(t)2 r2 (d2
+ sin2 ()d2 ), 1 kr2
com os poss veis valores para k = 1, 0, +1, correspondente ao
universo, repectivamente aberto, plano e fechado. Analizamos para
os trs casos: k = 1, 0, +1. Em que cada um e destes, aplicamos o
transporte paralelo de vetores.
5.2
Transporte em FRW
Agora faremos o transporte paralelo, no Universo de FRW, para um
vetor arbitrrio a V = (V t , V r , V , V ) ao longo de uma curva
parametrizada, tal que: = . 5.2.1 Universo aberto
Vamos inicialmente considerar o caso em que o universo de FRW
aberto, ou seja, k = 1. e A mtrica que descreve este universo
(Equao (16)) dada por: e ca e ds2 = dt2 R(t)2 dr2 R(t)2 r2 (d2 +
sin2 ()d2 ). 1 + r2 (78)
41 Por simplicidade, podemos introduzir uma nova coordenada ,
denida em termos da coordenada radial por: r = sinh(). Calculando a
variao innitesimal de r, ca dr = cosh()d = (1 + r2 ) 2 d,1
(79)
onde usamos o fato em que cosh2 () sinh2 () = 1. Essa
transformaao, permite reescrc ever o elemento de linha (78) como:
ds2 = dt2 R(t)2 d2 R(t)2 sinh2 ()d2 R2 (t) sinh2 () sin2 ()d2 ,
onde as componentes do tensor mtrico so dadas por; e a g00 = 1, g11
= R2 , g22 = R2 sinh2 (), g33 = R2 sinh2 () sin2 (). (81a) (81b)
(81c) (81d) (80)
Calculamos as conexes para esta situao e obtivemos os seguintes
valores no-nulos: o ca a 1 = 2 = 3 = 01 02 03 2 = 3 = 12 13 0 = 11
R , R (82a) (82b) (82c) (82d) (82e) (82f) (82g) (82h) (82i)
(82j)
1 , sinh()
RR , 1 + sinh2 ()
0 = RR sinh2 (), 22 0 = RR sinh2 () sin2 (), 33 1 = 11 sinh() ,
cosh2 ()
1 = cosh2 () sinh(), 22 1 = cosh2 () sinh() sin2 (), 33 2 =
sin() cos(), 33 3 = 23 cos() . sin()
42 Feito estes clculos, aplicamos a equao para transporte
paralelo vetorial que fornecida a ca e pela equaao (70), ou seja: c
dx V ( + V ) = 0. d x Abrindo a soma em , temos: dx0 d dx2 d V dx1
+ V + 0 x0 d V dx3 + V + 2 x2 d V + V + 1 x1 V + V = 0. 3 3 x
(83)
Para = 0, os unicos termos da equao (83) que no se anulam so: ca
a a dV 0 dr d + 0 V 1 + 0 V 2 + 0 V 3 = 0. 11 22 33 d d d (84)
Adotamos os mesmos procedimentos descritos para chegar na equaao
diferencial (84) c para = 1, 2 e 3 e encontramos as seguintes
equaoes diferenciais: c dV 1 dt dr dr d d + 1 V 1 + 1 V 0 + 1 V 1 +
1 V 2 + 1 V 3 = 0, (85a) 10 01 11 22 33 d d d d d d dV 2 dt dr d d
d + 2 V 2 + 2 V 2 + 2 V 0 + 2 V 1 + 2 V 3 = 0, (85b) 20 21 02 12 33
d d d d d d dV 3 dt dr d d d d + 3 V 3 + 3 V 3 + 3 V 3 + 3 V 0 + 3
V 1 + 3 V 2 = 0. (85c) 30 31 32 03 13 23 d d d d d d d As equaoes
diferenciais (84), (85a), (85b) e a (85c) , quando resolvidas, nos
fornece c as componentes do vetor V transportado paralelamente ao
longo da curva x (). Escolhendo uma curva tal que = , temos das
equaes (84), (85a), (85b) e a (85c) o co conjunto de quatro equaoes
diferenciais, a saber16 : c dV t + RR sinh2 () sin2 ()V = 0, d dV r
cosh2 () sinh() sin2 ()V = 0, d dV sin() cos()V = 0, d dV R 1 cos()
+ Vt+ Vr + V = 0. d R sinh() sin() Diferenciando a equaao (86d) com
respeito a , encontramos: c d2 V + d216
(86a) (86b) (86c) (86d)
R R
dV t + d
1 sinh()
dV r + d
cos() sin()
dV =0 d
(87)
Onde usamos as notaes correspondntes 0 t, 1 r, 2 e 3 co e
43 substituindo as equaoes (86a), (86b) e a (86c) na equaao
(87), obtemos: c c d2 V + [cosh2 () sin2 () + cos2 () R sinh2 ()
sin2 ()]V = 0. d2 Tomando, 2 = cosh2 () sin2 () + cos2 () R2 sinh2
() sin2 (), a equao (88) ca: ca d2 V + 2 V = 0, d2 (90) (89)
(88)
onde esta tem a forma da equaao diferencial para o movimento
oscilatrio com frequncia c o e . Neste caso podemos armar que a
soluo geral da equaao (90) pode ser da forma: ca c V () = sin() +
cos(), (91)
onde e so constantes de integrao. Combinando este resultado nas
outras equaoes a ca c (86a), (86b) e a (86c), chegamos facilmente
por integraao direta nas componentes do c vetor transportado
paralelamente ao longo da curva = , tal que: V () = sin() + cos(),
RR sinh2 () sin2 () [ cos() sin()] + c1 , cosh2 () sinh() sin2 () V
r () = [ sin() cos()] + c2 , sin() cos() V () = [ sin() cos()] + c3
, V t () = (92a) (92b) (92c) (92d)
sendo c1 , c2 e c3 constantes de integrao. Substituindo as
equaes (92) na equaao ca co c (88), temos a seguinte relao entre as
constantes de integraao: ca c R R c1 + 1 sinh() c2 + cos() sin() c3
= 0. (93)
Assim, podemos ver que as constantes de integraao no so
independentes. A relaao c a a c entre elas pode ser expressa pela
equao (93). Mais a frente discutiremos melhor esses ca resultados.
5.2.2 Universo plano
Para um Universo plano, ou seja, k = 0, a mtrica de FRW (equaao
16) torna-se: e c ds2 = dt2 R(t)2 dr2 R(t)2 r2 (d2 + sin2 ()d2 ).
(94)
44 Lembrando que aqu no utilizamos a transformaao r = sinh(),
fazemos apenas k = 0 a c para a mtrica de FRW. Adotando
procedimentos semelhantes para k = 1, obtivemos, e para k = 0, as
seguintes coordenada do vetor transportado paralelemente: V () =
sin() + cos() RRr2 sin2 () [ cos() sin()] + c1 r sin2 () V r () = [
sin() cos()] + c2 sin() cos() V () = [ sin() cos()] + c3 V t () =
com, 2 = 1 R2 r2 sin2 (), e R R 1 r cos() sin() (96)
(95)
c1 +
c2 +
c3 = 0.
(97)
Veja que as constantes de integraao c1 , c2 e c3 , tambm, so
dependentes uma da outra c e a e s difere do caso anterior por um
fator associado a constante c2 . o 5.2.3 Universo fechado
Para um Universo fechado, ou seja, k = +1, a mtrica de FRW ser
reescrita como: e a ds2 = dt2 R(t)2 dr2 R(t)2 r2 (d2 + sin2 ()d2 ).
2 1r
Observe que neste caso temos uma singularidade quando r 1.
Introduzindo uma nova coordenada tal que, r = sin(), dr = cos()d =
(1 r2 ) 2 d, e usando o fato que cos2 () + sin2 () = 1, chegamos a:
ds2 = dt2 R(t)2 d2 R(t)2 sin2 ()d2 R2 (t) sin2 () sin2 ()d2 .
(98)1
45 Que tambm adotando procedimentos semelhantes ao que zemos
para encontrar as come ponentes do vetor transportado no caso k =
1, obtivemos as seguintes coordenadas: V () = sin() + cos(), RR
sin2 () sin2 () [ cos() sin()] + c1 , cos2 () sin() sin2 () V r ()
= [ sin() cos()] + c2 , sin() cos() V () = [ sin() cos()] + c3 , V
t () = com, 2 = cos2 () sin2 () + cos2 () R2 sin2 () sin2 (), e R R
1 sinh() cos() sin() (100) (99a) (99b) (99c) (99d)
c1 +
c2 +
c3 = 0.
(101)
As equaoes (99) nos d as componentes de um vetor arbitrrio,
transportado paralelac a a mente ao longo de uma curva
parametrizada por = em um Universo fechado. E a equaao (101) mostra
a relaao de dependncia entre as constantes de integraao. Na c c e c
prxima seo ser feito o transporte paralelos dos vetores em rbitas
circulares com o ca a o tempo constante e em rbitas ciculares com
tempo varivel, onde veremos com mais deo a talhes suas implicaoes.
c
5.3
Orbitas circulares com tempo constante
Depois de ter determinado os respectivos vetores, os quais foram
transportado paralelamente ao longo da curva x (), para cada
situaao de k, podemos agora examinar estes c resultados para rbtas
circulares (r = constante) feitas no plano equatorial ( = ). o 2
Vamos supor que o fator de escala R seja constante, da temos um
universo com espao-tempo em questo esttico[3]. Assim sendo, temos
que a derivada do fator de c a a escala em relao ao tempo nulo, ou
seja, R = 0. Nestas condioes podemos observar ca e c com o aux das
equaoes (89), (96) e a (100), que pode ser reescrito como mostra a
lio c Tabela 1. Supondo que inicialmente o vetor parte de = 0, para
k = 0, temos pelas equaes co
46 k = 1 cosh() k=0 1 k = +1 cos()
Tabela 1: Valores de quando feito o transporte paralelo do vetor
em rbitas equatoriais oconstante com tempo para os devidos valores
de k.
(95) e (96) que as componentes iniciais do vetor so: a V (0) = ,
V t (0) = c1 , V r (0) = r + c2 , V (0) = c3 . (102a) (102b) (102c)
(102d)
O fato de termos V t (0) = c1 e V (0) = c3 , reete a constncia
do tempo (uma vez que a R uma funao do tempo) e de . Depois de uma
volta completa = 2 temos, e c V (2) = sin(2) + cos(2) = , V t (2) =
c1 V r (2) = r[ sin(2) cos(2)] + c2 = r + c2 , V (2) = c3 . (103a)
(103b) (103c) (103d)
Logo podemos observar que o vetor V depois de uma volta completa
no sofre alterao a ca em sua orientao sob transporte paralelo. Isto
tambm pode ser estendido para n voltas ca e e mesmo assim o vetor
no muda sua orientaao, desde que n seja um inteiro. a c V (2) =
sin(2n) + cos(2n) = , V t (2) = c1 , V r (2) = r[ sin(2n) cos(2n)]
+ c2 = r + c2 , V (2) = c3 . (104a) (104b) (104c) (104d)
Veja que depois de n voltas, sendo n um inteiro, temos V t (2n)
= 0, V r (2n) = 0, V (2n) = 0 e V (2n) = 0, onde signica a diferena
entre as componentes depois c e antes do transporte. Estendemos
esta situao para e r arbitrrios e observamos, por ca a
47 meio das equaes (95) e (96), que depois de n voltas inteiras
as componentes tornam-se: co V (2n) = cos(2n) = 0, V t (2n) = 0, V
r (2n) = r sin2 ()[ sin(2n) cos(2n)] + r sin2 () = 0, V (2n) =
sin() cos()[ sin(2n) cos(2n)] + sin() cos() = 0. (105a) (105b)
(105c) (105d)
Isto nos mostra claramente que a invarincia do vetor sob
transporte paralelo para k = 0, a independe da rbita se circular ou
no, e de se xo ou no. Novamente lembrando, isto o e a a s vlido
para n inteiro. Esta espcie de quantizao, Rothmann, Ellis e Murugan
oe a e ca denominaram de banda de invaricia de holonomia.17 Em um
recente artigo em que a ele, juntamente com , investigaram
propriedades da geometria de Schwarzschild-Droste, utilizando
clculo de holonomia para transporte paralelo (spinorial) e
transporte paralelo a vetorial para determinadas classes de rbitas
e curvas abertas no espao-tempo[2]. Pela o c equaao (65) temos que
V = R x dx = 0, logo o tensor de curvatura nulo c e R = 0, uma vez
que x e dx so arbitrrios. Da podemos conclu que para uma dada a
a
hipersuperf com tempo constante, temos uma geometria plana, j
que no h mudana cie a a a c nas componentes do vetor quando
transportado paralelamente, justicando assim o porque de ser
chamado de Universo plano. Para o Universo fechado, onde k = +1, as
equaoes que nos fornece a diferena entre as c c componentes do
vetor transportado paralelamente depois de n voltas inteiras, em
acordo com as equaoes (99) e (100), so dadas por: c a V (2n) =
sin(2n cos()) + cos(2n cos()) , V t (2n) = 0, V r (2n) = cos()
sin() [ sin(2n cos()) cos(2n cos()) + ] , V (2n) = 0. (106a) (106b)
(106c) (106d)
As equaoes (106) nos mostra claramente que na geometria FRW, com
k = +1, teremos c mudana na orientaao do vetor depois de n voltas
sob transporte paralelo, com = , c c 2 exceto para os casos em que
n cos() um inteiro. Da para que o transporte paralelo e ,17
Holonomias so objetos matemticos, que em gravitao nos fornece
informao global sobre o campo a a ca ca
gravitacional de interesse. Estes objetos esto associados ao
transporte paralelo vetorial, em torno de a caminhos fechados ou
entre dois pontos distintos via diferentes caminhos em uma
determinada variedade.
48 no mude a direo do vetor, preciso que: a ca e 2n cos() = 2m,
(107)
onde n o nmero de voltas e m um inteiro diferente de zero.
Atravs da equaao (107), e u e c podemos chegar a: cos() = ou, r= 1
m2 . n2m2 n2
m , n
(108)
(109)
Isto sugere que, depois de n voltas, s existe invarincia na
direao do vetor para detero a c minadas rbitas de raio r para as
quais temos 0 < o n m nimo. Agora considerando o Universo
aberto, onde k = 1, as equaoes que nos fornece a c diferena entre
as componentes do vetor transportado paralelamente depois de n
voltas c inteiras, considerando a equaoes (92) e a Tabela 1, so: c
a V (2n) = sin(2n cosh()) + cos(2n cosh()), V t (2n) = 0, cosh2 ()
sinh() sin2 () V (2n) = [ sin(2n cosh()) cosh()r
< 1. Assim xado m teremos um
(110a) (110b)
cos(2n cosh()) + ], V (2n) = 0.
(110c) (110d)
Notamos tambm, que para o Universo de FRW o transporte paralelo
vetorial, depois de e n voltas no plano equatorial, modica as
componentes do vetor, com exceo para rbitas ca o de raio r
determinado por: r= ondem n
m2 1, n2
(111)
> 1, pois o raio uma quantidade positiva no-nula. Assim a
invarincia da e a a
direao do vetor sob transporte paralelo depende do raio da
rbita. Como estudado por c o Rothmann et al, a banda de invaricia
de holonomia ocorre para um raio cr a tico onde a holonomia
trivial[3]. As equaoes (109) e (111) nos fornece o raio cr e c tico
para as situaoes k = +1 e k 1, respectivamente. c
49
5.4
Orbitas circulares
Agora temos um Universo no-esttico e ento devemos ter o fator de
escala variando a a a com o tempo, ou seja, R(t). Isto implica que
devemos considerar a contribuiao de R c na quantidade quando
fazermos o transporte paralelo do vetor. Novamente, fazemos o
transporte paralelo vetorial em caminhos fechados no plano
equatorial ( = ) e os valores 2 encontrados para atravs das equaoes
(89), (96) e (100) para esta situaao estar na e c c Tabela 2: k = 1
1 [cosh2 () R2 sinh2 ()] 2
k=01 [1 R2 r2 ] 2
k = +11 [cos2 () R2 sin2 ()] 2
Tabela 2: Valores de quando feito o transporte paralelo do vetor
em rbitas equatoriais para oos devidos valores de k, considerando o
Universo no-esttico. a a
Assim, nestas condies temos que para o Universo de FRW com k =
0, as equaes co co que nos d a diferena entre as componentes do
vetor depois de n voltas, so dadas pela a c a equaao (96) e a
Tabela 2, onde obtivemos: c V (2n) = sin(2n) + cos(2n) , V t (2n) =
V r (2n) = V (2n) = 0. RRr2 [ cos(2n) sin(2n) ], 1 R2 r 2 r [
sin(2n) cos(2n) + ], 1 R2 r 2 (112a) (112b) (112c) (112d)
Note que a diferena entre as componentes depois de n voltas sob
transporte paralelo c na direao de no muda. No entanto as demais
componentes do vetor variam sob c a transporte paralelo, exceto
para rbitas em que o raio obedea a condio que j foi o c ca a
discutida anteriormente, ou seja, n deve ser um inteiro para que
tenhamos invarincia a na orientaao do vetor depois de n voltas sob
transporte paralelo. Assim o raio que c obedece a essa condio de
quantizao encontrado atravs da Tabela 2, onde: ca ca e e r= 1 Rm2
n2
,
(113)
50 sendo que devemos ter 0 1 m > n. Usamos o fato de que r =
sinh(). O transporte paralelo de
vetores, para o universo aberto e fechado, nos fornece a
informao de que o universo de ca FRW tem curvatura no-nula para as
duas situaoes, exceto para os raios cr a c ticos[2].
52
6
Concluses oNeste trabalho, inicialmente analisamos as
propriedades geomtricas de alguns mode
elos cosmolgicos simples, todos pautados na hiptese da isotropia
e homogeneidade do o o universo (em larga escala), onde a massa do
universo distribu uniformemente[3]. Onde e da foi poss observar que
a Teoria Padro, agora sob a tica do modelo de Friedmannvel a o Lema
tre, com constante cosmolgica positiva e geometria espacial
euclidiana, acomoda o muito bem suas antigas previses, como a
possibilidade de expanso acelerada do unio a verso, por exemplo.
Mas a teoria tambm manifesta um sinal de incompletude, onde esta e
precisa recorrer ` misteriosa constante cosmolgica , que ningum
sabe qual sua origem. a o e Tambm existe uma diculdade em conciliar
a cosmologia com outras reas da F e a sica, como a teoria quntica
de campos, por exemplo. a Nas ultimas seoes do nosso trabalho,
apresentamos todo o formalismo matemtico c a (referente ao
transporte paralelo de vetores) necessrio para investigarmos as
propriedades a geomtricas do universo de FRW. Os resultados obtidos
nos mostraram claramente que e o universo de FRW apresenta
curvatura no espao-tempo considerado, tanto para um c universo em
expanso quanto para um universo esttico, exceto para rbitas em que
o a a o raio igual ao raio cr e tico. Com restriao ao caso em que
adotamos rbitas circulares com c o tempo constante (R = 0) para o
universo com k = 0, onde constatamos que a invarincia a na
orientaao do vetor transportado paralelamente, independe de e do
raio r da rbita. c o Nessas condioes a mtrica de FRW independe do
tempo e assim sendo, a secao espacial c e c desse espao-tempo
euclidiano. Porm, para um universo em expanso (R = 0) isto no c e e
a a acontece. Neste caso, mesmo sendo k = 0, o vetor tem sua
orientao afetada depois de ca n voltas inteiras. Como j foi
explicado, para rbitas com raio igual ao raio cr a o tico, o vetor
transportado paralelamente ao longo das curvas circulares
consideradas, tem sua orientao idntica ao ca e vetor original aps
vrios ciclos completos. Mas um resultado interessante que esses
raios o a e cr ticos esto condicionados a uma espcie de quantizao.
Esta propriedade, tambm a e ca e obtida por Rothman et al quando
investigava holonomias na geometria de SchwarzschildDroste, foi
denominado de banda de invarincia de holonomia. Em outras palavras,
isto a pode ser entendido da seguinte maneira: suponhamos uma rbita
fechada de raio r1 para o o qual o vetor no sofre efeito do
transporte paralelo. No entanto, para uma outra rbita de a o
53 raio r2 , ligeiramente afastada de r1 , espera-se que o vetor
deva ter sua orientaao afetada c depois de transportado
paralelamente, uma vez que o espao entre as duas rbitas c o e
curvo[2]. Intuitivamente poder amos pensar que se a mtrica de FRW
foi obtida considerando e a simetria esfrica, ento para rbitas no
plano equatorial o vetor no deveria ter sua e a o a orientaao
afetada sob transporte paralelo depois de n ciclos inteiros. Isso
pode ser exc tra por analogia com a 2-esfera que apresentamos como
exemplo no in da seo 5. do cio ca No entanto, esta intuio fal ca e
vel, como foi mostrado atravs do transporte paralelo de e vetores.
Assim o transporte paralelo de vetores pode ser uma tima ferramenta
para se o estudar curvaturas em determinados espao-tempo. c
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