TRANSPARÈNCIES: PROCESSOS ESTOCÀSTICS(segona versió, setembre 2008)

Josep Sala Alvarez, Dpt. TSC

VARIABLES ALEATÒRIES (VA)

experiment a1

experiment a2

experiment a3

experiment a4

experiment aN

El resultat de cada experiment és una realització particular de la variable aleatòria A

Variables aleatòries discretes (VAD):

L’univers és infinit o bé numerable. Exemples:

U(A) = {1, 2, 3, 5, 12, 344}

U(A) = {tots els sencers positius} , aquest és un conjunt d’infinitselements però numerable !

La variable aleatòria pot prendre valors d’un determinat conjuntanomenat Univers de la VA: U(A)

Variables aleatòries continues (VAC)

L’univers és infinit i no numerable. Exemples:

U(A) = {qualsevol valor de l’interval [0,1] }

U(A) = {qualsevol nombre real}

experiment a1

experiment a2

experiment a3

experiment a4

experiment aN

VARIABLES ALEATÒRIES (VA)

Cada resultat d’un experiment donat és imprevisible a priori però té associada una distribució de probabilitats.

Variables aleatòries discretes (VAD):

pA (α) = Prob[ A = α

] Distribució de probabilitat

Per avaluar aquesta probabilitat, realitzem infinits experiments i elPercentatge de vegades que ai = α, és pA (α)

Variables aleatòries continues (VAC)

Funció de densitat de probabilitat (PDF):

àrea sota la corva de densitat en l’interval donat.

Funció de probabilitat cumulativa (CDF):

∫=≤≤β

α

βα daapA A )(][Prob

)()(][Prob βββ

AA FdaapA ==≤≤−∞ ∫∞−

NNp NA

αα ∞→= lim)(Nombre de vegades que l’experiment ha produït α

VARIABLES ALEATÒRIES (VA)

Exemple per una VAC(Distribució Uniforme)

1/A

A

Sempre tindrem àrea unitària (gris)

Funció Densitat de Probabilitat

Funció Cumulativa de Probabilitat

1

β

β

F(β) = Prob(X ≤β)

X(àrea de la zona ratllada)=Integral de la PDF de menysinfinit fins β

( ) 1 / 2X

x Ap xA A

−⎛ ⎞= Π ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) / 2X

x x AF xA A

−⎛ ⎞= Π ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )' 'x

X XF x p x dx−∞

= ∫

( )1 , 1/ 20 , 1/ 2

xx

x⎧ ≤⎪Π = ⎨ >⎪⎩

Definició Pols Rectangular Bàsic

Exemple per una VAC(Distribució Triangular)

VARIABLES ALEATÒRIES (VA)

+A−Ax

( )Xp x1/A

Àrea sempre unitària: ( ) 1Xp x dx+∞

−∞=∫

( ) 1 1 12X

xx xp xA A A A A

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Λ = − ⋅Π⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(Notació habitual)

x=a x=b

Àrea ratllada = Prob( a ≤

X < b ) = ( ) 1 1b b

Xa a

xp x dx dx

A A⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫Expressió per quan a,b tots dosen l’interval del dibuix (sinó també caldria el terme :dins de l’integral) 2

xA

⎛ ⎞Π ⎜ ⎟⎝ ⎠

EXERCICI:Calculi Prob( a ≤

X < b ) per qualsevol valor d’a i b.

EXERCICI:Calculi i dibuixi la distribuciócumulativa de probabilitat corresponenta la PDF triangular del dibuix.

( )1 , 1

0 , 1x x

xx

⎧ − ≤⎪Λ = ⎨ >⎪⎩

Definició Pols Triangular Bàsic

VARIABLES ALEATÒRIES (VA)

experiment a1

experiment a2

experiment a3

experiment a4

experiment aN

Esperança d’una VA:

∫

∑∞+

∞−

=∞→∞→

⋅=

=+++

=

daapa

aN

imN

aaaAE

A

N

iiN

NN

)(

1...lim}{1

21

∫

∑∞+

∞−

=∞→∞→

⋅=

=+++

=

daapaf

afNN

afafafAfE

A

N

iiN

NN

)()(

)(1lim)(...)()(lim)}({1

21

Esperança d’una funció d’una VA:(Teorema Fonamental de l’esperança)

f( ) f(a1 )

f( ) f(a2 )

f( ) f(a3 )

f( ) f(a4 )

f( ) f(aN )

VARIABLES ALEATÒRIES (VA)

Potència d’una VA:

∫

∑∞+

∞−

=∞→∞→

⋅=

=+++

=

daapa

aNN

aaaAE

A

N

iiN

NN

)(

1lim...

lim}{

2

1

222

22

12

Moments d’una VA:

∫

∑∞+

∞−

=∞→∞→

⋅=

=+++

=

daapa

aNN

aaaAE

Ak

N

i

kiN

kN

kk

Nk

)(

1lim...lim}{1

11

VA Gaussiana

22

2/)(

}{}{

21)(

22

σ

μπσ

σμ

=

=

= −−

AEAE

eap aA

Els moments de segon ordre caracteritzen completament les VA Gaussianes

VARIABLES ALEATÒRIES (VA) : PROPIETATS DE L’OPERADOR ESPERANÇA

[ ] [ ]E A E Aα α⋅ = ⋅Factor constant

(deteminista = no-aleatori)

VARIABLE ALEATÒRIA

L’operador ESPERANÇA actua únicament sobre allò que és aleatori dins de l’expressió

El factor constant surt fora de l’ESPERANÇA(Propietat de Linealitat de l’ESPERANÇA)

Matemàticament es pot veure segons el Teorema Fonamental de l’ESPERANÇA:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

Z A

A A

E Z f A A z p z dz f a p a da

A p a da A p a da

E A

α

α α

α

+∞ +∞

−∞ −∞

+∞ +∞

−∞ −∞

⎡ ⎤= = ⋅ = ⋅ = ⋅⎣ ⎦

= ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅

∫ ∫∫ ∫

O bé partint de la interpretació de l’ESPERANÇA com un promig sobre infinits experiments (interpretació freqüentista):

[ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ]

1 2

1 2

.....lim

.....lim

NN

NN

a a aE A

Na a a

NE A

α α αα

α

α

→∞

→∞

⋅ + ⋅ + + ⋅⋅ =

+ + += ⋅

= ⋅

VARIABLES ALEATÒRIES (VA)

Exemple per una VAC(Distribució Uniforme)

1/A

AX

[ ] ( )0

12

A

XAE X x p x dx x dx

A+∞

−∞= ⋅ = ⋅ =∫ ∫

A/2

Valor que pren la VAC en promig

(punt central sempre que la PDFPresenti un eix de simetria)

( )2

2 2 2

0

13

A

XAE X x p x dx x dx

A+∞

−∞⎡ ⎤ = ⋅ = ⋅ =⎣ ⎦ ∫ ∫

MITJA

POTÈNCIA

VARIABLES ALEATÒRIES (VA)

Exemple per una VAC(Distribució Triangular)

+A−Ax

( )Xp x1/A

( )2 2 2 1 1 ??A

X A

xE X x p x dx x dx

A A+∞

−∞ −

⎛ ⎞⎡ ⎤ = ⋅ = ⋅ − =⎜ ⎟⎣ ⎦

⎝ ⎠∫ ∫

Exemple per una VAC(Distribució Semi-Triangular)

+Ax

( )Xp x2/A

[ ] 0E X = Eix de simetria !!!

[ ]0

2 1 ??A xE X x dx

A A⎛ ⎞= ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫

( ) 2 / 21Xx x Ap x

A A A−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − Π⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

No té eix de simetria !!

2 2

0

2 1 ??A xE X x dx

A A⎛ ⎞⎡ ⎤ = ⋅ − =⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫

VARIABLES ALEATÒRIES (VA)

experiment [ a1 , b1 , c1 , d1 ]= v1

experiment [ a2 , b2 , c2 , d2 ]= v2

experiment [ a3 , b3 , c3 , d3 ]= v3

experiment [ a4 , b4 , c4 , d4 ]= v4

experiment [ aN , bN , cN , dN ]= vN

VA conjuntes:

El resultat de cada experiment és una seqüència de VA’s o un vector v

Variables aleatòries discretes (VAD):

pA,B,C,D (α,β,γ,δ) = Prob[ A = α & B = β & C = γ & D = δ

]=pV (v)

Per avaluar aquesta probabilitat, realitzem infinits experiments i elPercentatge de vegades que v = [α,β,γ,δ] és pV (α,β,γ,δ)

Variables aleatòries continues (VAC)

Funció de densitat de probabilitat (PDF):

àrea sota la corva de densitat en l’interval donat.

Funció de probabilitat cumulativa (CDF):

NN

p Nδγβαδγβα ,,,lim),,,( ∞→=V

∫ ∫ ∫ ∫ ⋅⋅⋅=

≤≤≤≤≤≤≤≤2

1

2

1

2

1

2

1

),,,(

]&&&[Prob 21212121δ

δ

γ

γ

β

β

α

α

δδγγββαα

dddcdbdadcbap

DCBA

V

),,,(),,,(

]&&&[Prob2 2 2 2

221212

δγβα

δγβαδ γ β α

VFdddcdbdadcbap

DCBA

V =⋅⋅⋅=

≤≤−∞≤≤−∞≤≤−∞≤≤−∞

∫ ∫ ∫ ∫∞− ∞− ∞− ∞−

DISTRIBUCIÓ MARGINAL

experiment [ a1 , b1 , c1 , d1 ]= v1

experiment [ a2 , b2 , c2 , d2 ]= v2

experiment [ a3 , b3 , c3 , d3 ]= v3

experiment [ a4 , b4 , c4 , d4 ]= v4

experiment [ aN , bN , cN , dN ]= vN

b1

b2

b3

b4

bN

∫ ∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

⋅⋅=2

1

),,,()( dddcdadcapbp VB b

La PDF individual (marginal) s’obté integrantla PDF conjunta sobre la resta de variables(marginalització)

DISTRIBUCIÓ CONJUNTA i MARGINAL : EXEMPLE

Suposem una distribució conjunta donada per: ,1( , )8 2 4A B

a b ap a b −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Π Π⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a = +1

a

b

a = −1

b−a = −2

En la zona gris :

Fora de la zona gris :

, ( , ) 1/ 8A Bp a b =

, ( , ) 0A Bp a b =

, ( , ) 1A Bp a b da db+∞ +∞

−∞ −∞⋅ =∫ ∫

Comprovem que tenim volum unitarisubtingut sota la densitat de probabilitatconjunta de les V.A. A i B :En aquest cas equival a quèVOLUM = ÀREA zona gris x (1/8) = 1(si la integral simple és l’àreasota un funció d’una variable,l’integral doble és el volum sotauna funció de dues variables)

+1

+2

+3b−a = +2

DISTRIBUCIÓ CONJUNTA i MARGINAL : EXEMPLE (continuació)

Densitat marginal de la variable A: ,( ) ( , )A A Bp a p a b db+∞

−∞= ∫

1 1 1( )8 2 4 8 2 4 2 2A

a b a a b a ap a db db+∞ +∞

−∞ −∞

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Π Π = Π Π = Π⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

Densitat marginal de la variable B: ,( ) ( , )B A Bp b p a b da+∞

−∞= ∫

1 1 1 1( )8 2 4 8 2 2 2

1 1 18 2 2 2

1 1 1 1 1 1 12 28 2 2 4 2 4 2

Ba b a a b a b ap b da da

b b b

b b b b

+∞ +∞

−∞ −∞

⎛ ⎞− − + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Π Π = Π Π + Π⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Π ∗ Π + Π⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞+ − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Λ + Λ = Λ + Λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫

Convolució :t t tTT T T

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Π ∗Π = ⋅Λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1/2

+1−1

( )Ap a

( )Bp b1/4

+1 +3−1−3Comprovem que té àrea unitària !!

Comprovem que téàrea unitària !!

a

b

DISTRIBUCIÓ CONJUNTA i MARGINAL : EXEMPLE (continuació)

a

b

Integrem PDF conjunta sobre la variable B (àrea de la densitat conjunta determinat pel tall vertical)

Integrem PDF conjunta sobre la variable A (àrea sota la densitat conjunta determinat pel tall horitzontal)

( )Ap a

( )Bp b

Interpretació gràfica dels càlculs analítics del’anterior transparència

INDEPENDÈNCIA DE VARIABLES ALEATÒRIES

)()()()(),,,( dpcpbpapdcbap DCBAV =

Un conjunt de variables aleatòries són independents quan la seva PDF conjunta factoritza en les eves marginals:

Independència estadística entre dues variables aleatòries A i B equival a dir que el fet de que A prengui un determinatvalor, no té cap influència sobre els valors que pot prendre B, i viceversa.

Si dues variables aleatòries són independents: { } { } { })()()()( BgEAfEBgAfE =

Si dues variables aleatòries són independents:)()()( cpcpcp

BAC

BAC ∗=+=

La PDF és la convolució de les PDF’s.

,1( , )8 2 4A B

a b ap a b −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Π Π⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

NO és el cas de l’exemple anterior on:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B B Ap c p c p x p c x dx p x p c x dx+∞ +∞

−∞ −∞∗ = − = −∫ ∫

VARIABLES ALEATÒRIES CONDICIONADES

Pel cas de dues variables aleatòries, no necessàriament independents, tenim:

, | |( , ) ( ) ( | ) ( ) ( | )A B A B A B A Bp a b p a p b a p b p a b= =

Densitat de probabilitat conjunta

Densitat de probabilitat marginal dela variable A

Densitat de probabilitat de la variable B condicionada a la A

Densitat de probabilitat marginal dela variable B

Densitat de probabilitat de la variable A condicionada a la B

Quan les variables A i B són independents Realitzacions de A no tenen cap efecte en els valors que pren B

| ( | ) ( )B A Bp b a p b=, ( , ) ( ) ( )A B A Bp a b p a p b=

(el mateix aplica de forma anàloga si considerem A|B)

Encara que les variables A i B no siguin independents Les variables A i B|A sempre ho són(el condicionament de B a A elimina la dependència)

VARIABLES ALEATÒRIES CONDICIONADES

Podem definir probabilitat condicionada com: ,|

( , )( | )

( )A B

B AA

p a bp b a

p a=

La densitat de probabilitat marginal es pot expressar com:

, | |( ) ( , ) ( ) ( | ) ( | )A A B B A B B A Bp a p a b db p b p a b db E p a b+∞ +∞

−∞ −∞⎡ ⎤= = = ⎣ ⎦∫ ∫

D’on podem obtenir la següent expressió que ens “gira” el condicionament:

||

|

( ) ( | )( | )

( ) ( | )B A B

B A

B A B

p b p a bp b a

p b p a b db+∞

−∞

=∫

EXEMPLE (Aplicació en Comunicacions):

Y X N= +

Variable aleatòriarebuda

Variable aleatòriatransmesa

Variable aleatòriade soroll (degradació sobre X)

( )| ( | )Y X Np y x p y x= −coneixem

Un receptor entrega la x0 que maximitza

(maximitza la densitat de probabilitat condicionada al fet d’haver rebut y0 )

| 0 0( | )X Yp X x Y y= =

No són independents !!(podriem recuperar X a partir de Y si ho fossin ?)

EXEMPLE : CÀLCUL d’ESPERANCES

,1( , )8 2 4A B

a b ap a b −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Π Π⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La PDF conjunta ve donada per: Calculi: 2M E A B⎡ ⎤= ⎣ ⎦

2, ( , )A BM a b p a b da db

+∞ +∞

−∞ −∞= ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ (Aplicant el Teorema Fonamental de l’ESPERANÇA per 2 variables conjuntament aleatòries)

( )

2

2

2 2

2

42 2 2

2 2

2

18 2 4

18 4 218 2

1 1 1 (2 ) (2 )8 2 2 8 2

a

a

aa

a

a b aM a b da db

b a ab db a da

abdb a da

a a ab a da

+∞ +∞

−∞ −∞

+∞ +∞

−∞ −∞

+∞ + −

−∞ − −

=−+ −

+∞

−∞− −

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ Π Π ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Π ⋅ Π ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⋅ Π ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛− − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ Π ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2

1 3

1

2

1 12 4

aa da

a da

+∞

−∞

+

−

⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⋅ Π ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎠

= − ⋅ = −

∫

∫

PROCESSOS ESTOCÀSTICS (PE)

experiment x1 (t)

experiment x2 (t)

experiment x3 (t)

experiment x4 (t)

experiment xN (t)

Processos estocàstics:

El resultat de cada experiment és un senyal variant en el temps. Cada mostra d’aquestsenyal és una VA. Cada conjunt de mostres en temps diferents és una VA conjunta.

Eix Estadístic

Eix Temporal

Del resultat de cada experiment n’anomenem una realització del procés

En un procés, cada conjunt de mostres X = [X(t1 ),X(t2 ),...,X(tM )] constitueix una VA conjunta queté una determinada distribució de probabilitats associada

PROCESSOS ESTOCÀSTICS (PE)

experiment x1 (t)

experiment x2 (t)

experiment x3 (t)

experiment x4 (t)

experiment xN (t)

Eix Estadístic

Eix Temporal

t1 t2 tN

Un procés és estacionari quan aquesta distribució de probabilitats depèn dels retards i no dels temps absoluts

per qualsevol t0 , t1

Un procés és ergòdic quan poem substituir els promitjos estadístics (eix vertical) sobre diverses realitzacions pelPromitjos temporals sobre una única realització:

Un procés és cicloestacionari quan la seva distribució de probabilitats té una variació periòdica en t:

PROCESSOS ESTOCÀSTICS (PE)

( ) ( ))(),...,(),()(),...,(),( 11110100 MM txtxtxptxtxtxp ττττ ++=++ XX

( ){ } ( )

( )∑

∑

=∞→

=∞→

Δ⋅+=

=

++=

N

kiN

N

iiN

Miiii

tktfN

tfN

tfE

txtxtxt

10

1

01000

)(1lim

)(1lim)(

)](),...,(),([)(

X

XX

X ττ

Promig estaístic de la funció del procés

Promig temporal sobre una única realització,Podem posar un increment Δt qualsevol !!

CORRELACIÓ ENTRE PROCESSOS ESTOCÀSTICS (PE)

experiment x1 (t)

experiment xN (t)

experiment y1 (t)

experiment yN (t)

t t+τtemps absolut

retard

τ

{ }2, )()(),( tytxEtte yx −+=+ ττ

Per mesurar la semblança entre dos senyals aleatoris diferents,definim un error com la potència del senyal diferència en elstemps especificats

CORRELACIÓ ENTRE PROCESSOS ESTOCÀSTICS (PE)

{ }{ } { } { }

{ }

2,

2 2

,

( , ) ( ) ( )

( ) ( ) 2Re ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

x y

x y

e t t E x t y t

E x t E y t E x t y t

r t E x t y t

τ τ

τ τ

τ τ

∗

∗

+ = + −

⎡ ⎤= + + − +⎣ ⎦

= + Definició de la correlació creuada entre dos processos aleatoris:quan aquesta correlació és alta, la semblança entre processos és alta,o l’error anteriorment definit és petit

{ },

1

( , ) ( ) ( )

1lim ( ) ( )

x y

N

N i ii

r t E x t y t

x t y tN

τ τ

τ

∗

∗→∞

=

= +

= +∑ Promig estadístic sobre tots els experiments

Quan els procesos x(t) i y(t) són estacionaris: la correlació creuada és únicament funció del retard

, ,( , ) ( )x y x yr t rτ τ=

Quan x(t) = y(t) tenim l’autocorrelació: )(, τxxr

ESPECTRE DE DENSITAT DE POTÈNCIA

{ }{ }

,

2 2,

( ) ( ) ( )

(0) ( )

x x

x x x

r E x t x t

r E x t

τ τ

σ

∗= +

= = Si en el retard τ=0, la funció d’autocorrelació del procés conté la informació de potència, quina informació ens aporta aquesta funció per altres valors del retard ????

Ens diu com es distribueix la potència en freqüència !!

∫

∫∞+

∞−

+

+∞

∞−

−

=

=

dfefSr

derfS

fjxxxx

fjxxxx

τπ

τπ

τ

ττ

2,,

2,,

)()(

)()( Transformada de Fourier

Transformada Inversa de Fourier

∫+∞

∞−

== dffSr xxxxx )()0( ,2

, σ L’àrea sota la densitat espectral de potència és la potència

EXEMPLES : CÀLCUL DE POTÈNCIA

Suposem un Procés Estocàstic X(t) definit per: ( ) ( )0cos 2X t A f tπ= ⋅

Variable Aleatòria de densitat de probabilitat: ( )Ap a

Quina és la seva funció d’autocorrelació ? ( ); ( ) ( )XXr t E X t X tτ τ∗⎡ ⎤= +⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( )20 0; cos 2 cos 2XXr t E A f t f tτ π π τ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( )1 1cos cos cos cos

2 2a b a b a b= + + −

( ) ( ) ( )( )0 02 cos 2 cos 2 2;

2XX

f f tr t E A

π τ π ττ

+ +⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦

L’ESPERANÇA només actua sobre les magnituds aleatòries