Transformações espaciais geométricas

• Modificam as relações espaciais entre os pixels da imagem• Dependem das coordenadas (x,y)

(w,z)

(x,y)

T

1T

• Uma imagem f , definida no sistema de coordenadas (w,z), gera uma nova imagem g, no espaço de coordenadas (x,y), a partir de uma transformação T:

Princípio

(x,y) = T[(w,z)]transformação sobre as coordenadas

)2,2()],[(),( zwzwTyx w

z

x

y

Transformações Afins

• Realizam escalonamento, rotação, translação ou cisalhamento de um conjunto de pontos, dependendo da seguinte matriz T:

1t

0tt

0tt

1] z [w T 1] z [w 1]y x [

3231

2221

1211

t

Exemplo 1: Transformação identidade

z y

wx

100

010

001

T

Exemplo 2: Transformação de escalonamento

z

ws

s

T y

x

y

x

s y

s x

100

00

00

100

020

003

T

Exemplo 3: Transformação de rotação

cos seno y

seno-cos x

100

0cos

0cos

zw

zwseno

seno

T

100

045cos45

04545cos

00

00

seno

seno

T

Exemplo 4: Transformação de cisalhamento horizontal

z wx

100

01

001

zy

T

100

012

001

T

Exemplo 5: Transformação de cisalhamento vertical

z w

wx

100

010

01

yT

100

010

021

T

Exemplo 6: Transformação de translação

z

wx

1

010

001

y

x

yT

yx

11020

010

001

T

Transformações lineares conformes

• Transformações afins com preservação de formas e ângulos • Consiste de um fator de escala, de translação e ângulo de rotação

1

0cos s seno s-

0 scos

yx senos

T

Exemplo:

13020

045cos 0.5 45seno 0.5-

045 0.545cos 5.0 seno

T

• O mapeamento direto (w,z) (x,y) pode ser tal que pontos no novo espaço(x,y) podem não ter nenhum ponto do espaço (w,z) associado a eles, enquantooutros podem ser mapeados por vários pontos de (w,z).

Problemas:

Exemplo: Imagem 3x3

A B C

D E F

G H I0

0

origem

1 2

1

2

• Rotação de 45º (anti-horário):

22z)(w y

22z)-w(x

100

022

22

022

22

100

045cos45

04545cos

00

00

seno

seno

T

Ponto (w,z) (x,y) arredondamento

A (0,2) (-1,1) B (1,2) (-1,2)C (2,2) (0, 3)D (0,1) (-1,1)E (1,1) (0,1)F (2,1) (1,2)G (0,0) (0,0)H (1,0) (1,1)I (2,0) (1,1)

)2,2(

)223,22()22 ,0(

)22,22()2,0(

)223,22()0,0(

)22,22(

2) ,2(

(0,2) ???

A B C

D E F

G H I0

0

1 2

1

2

Mapeamento:

C

B ? F

A,D E H.I

G

0-1 1

0

1

2

3

T

Alternativa: transformação inversa

• Percorre-se os pontos (x,y) da nova imagem f, aplicando-se a transformação inversa e detectando-se, no espaço original g,os valores correspondentes da transformação.1T

(x,y)(w’,z’)

nova imagem f(x,y)1T

vizinho mais próximo de (w’,z’)

espaço original g(w,z)

• Um nível de cinza é atribuído a (x,y) dependendo do nível de cinza dos vizinhos de (w’, z’) interpolação

)','()],([),( 1 zwgyxTgyxf

A B C

D E F

G H I0

0

1 2

1

2

Mapeamento:

C

B ? F

A,D E H.I

G

0-1 1

0

1

2

3

T

Exemplo:

nova imagem f

espaço original g

?

?

T = rotação de 45º no sentido anti-horário

´)´,()],([),( 1 zwgyxTgyxf

= rotação de 45º no sentido horário

22x)-(y z´

22y)x(w´

100

022

22

022

22

100

045cos45

04545cos

00

00

1

seno

seno

T

Ponto de f Ponto inv. em g Ponto mais próximo nível de cinza(0,0) (0,0) (0,0) G(0,1) (1,1) E(0,2) (1,1) E(0,3) (2,2) C(1,1) (1,0) H(1,2) (2,1) F(-1,1) (0,1) D(-1,2) (1,2) B

)22,22()2,2(

)223,223()0,2(

)22,223()2,0(

)223,22(

interpolação de ordem zero

1T

C

B ? F

A,D E H.I

G

0-1 1

0

1

2

3

nova imagem f anterior

C

B E F

D E H

G

0-1 1

0

1

2

3

nova imagem f após transformação inversa

Interpolação bilinear

• Interpola um valor de nível de cinza na posição (w´,z´), ao invés de considerarapenas o valor do vizinho mais próximo nesta posição (interpolação de ordem zero).

Sejam w e z as partes inteiras de w’ e z’, tal que o ponto (w’, z’)é circundado por seus quatro pontos de coordenadas inteiras:

z' e 'w

),1(),(

)','(

)1,1()1,(

zwzw

zw

zwzw

Sejam as partes fracionárias de w’e z’ dadas por:

'' ww 1,0 ; '' zze

O nível de cinza atribuído ao ponto (x,y) na interpolação bilinear é dado por:

)1,1(),1()1()1,()1(),()1)(1( zwgzwgzwgzwg

),1(),(

)','(

)1,1()1,(

zwzw

zw

zwzw

(x,y)

f(x,y) = g(w’,z’) =

)1,1(),1()1()1,()1(),()1)(1( zwgzwgzwgzwg

),1(),(

)','(

)1,1()1,(

zwzw

zw

zwzw

(x,y)

Assim para:

• Se w’ é um inteiro 0 e (w’, z’) está no segmento de linha entre (w,z) e (w,z+1)

e o valor da interpolação é )1,(),()1( zwgzwg • Se z’ é um inteiro 0 e (w’,z’) é colinear com (w,z) e (w+1,z) e tem nível de

),1(),()1( zwgzwg cinza

• Se w’ e z’ são inteiros 0 e o ponto (w’, z’) = (x,y) tem nível de cinza g(w,z).

?

Ponto de f Ponto inv. em g Níveis viz. próximos nível de cinza(0,0) (0,0) 0,0 G G(0,1) 0.7,0.7 D,E,G,H 0.1G+0.2(D+H)+0.5E(0,2) 0.4,0.4 B,C,E,F 0.4E+0.2(B+F)+0.2C(0,3) 0.1,0.1 C,--,--,-- 0.8C(1,1) 0.4,0 H,I 0.6H+0.4I(1,2) 0.1,0.7 F,I,--,-- 0.3I+0.6F(-1,1) 0,0.4 D,A 0.6D+0.4A(-1,2) 0.7,0.1 A,B,--,-- 0.3A+0.6B

)22,22()2,2(

)223,223()0,2(

)22,223()2,0(

)223,22(

,

A B C

D E F

G H I0

0

1 2

1

2

espaço original gC

B E F

D E H

G

0-1 10

1

2

3

nova imagem f após transformação inversa

interpolação bilinear

interpolação de ordem zero

100

012.0

001

T

g f

T

Registro de Imagens

• Alinhamento de duas ou mais imagens da mesma cena

• Considera duas imagens: imagem de base ou referência e imagem de entrada

• O objetivo é alinhar a imagem de entrada com a imagem de base através de transformações espaciais aplicadas à imagem de entrada

seleciona-se pontos de controlenas duas imagens

Aplica-se uma função de transformação em função dos pontos de controle

e da imagem de entrada

entrada base

Registro de Imagens

image registrada(alinhada)

Pontos de controle

entrada base

(x’,y’) (x,y)

x’= r(x,y)y’= s(x,y)

A transformação projetiva mapeia quadriláteros para quadriláteros.

1cc

ccc

ccc

1]y [x h] z w[

63

852

741

e

h

wx '

h

zy ',

1'

87

321

ycxc

cycxcx

1'

87

654

ycxc

cycxcy

ou

,

Transformação espacial

Outro exemplo: Modelar a distorção da região do quadrilátero por equações bilineares do tipo:

4321),( cxycycxcyxr

8765),( cxycycxcyxs ou

4321' cxycycxcx

8765' cxycycxcy

Os coeficientes , representando o modelo da distorção geométricano quadrilátero, podem ser obtidos a partir do conhecimento dos 8 pontos de controle.

1,2,...8 i , ic

Um ponto (x,y), na imagem sem distorção, leva a um ponto (x’,y’) na imagem de entrada(com distorção). O valor do pixel f(x,y) na imagem sem distorção correponderá ao valorg(x’,y’) na imagem de entrada.

Exemplo 1:

Base Entrada

Pontos de controle

Entrada (distorcida) Registrada

Base Registrada

Superposição (base + registrada)

Exemplo 2: Registro baseado em correlação (template matching)

Casamento de padrão:

ts ts xy

ts xy

ftysxfwtsw

ftysxfwtswyx

, ,

22

,

]),([]),([

]),(][),([),(

Coeficiente de correlação:

Original Correlação

Registro:

Transformação T relativa à translação:

1

010

001

yx

T