1 Transformaciones

Matemtica superior aplicada Transformaciones

Teora

Transformacin

Las propiedades de una funcin real de variable real se reflejan en su grfica. Pero para ( )zw f= , con z y w complejos, no es posible hacer una grfica similar. No obstante, se puede representar cierta informacin parcial de la funcin indicando pares de puntos correspondientes ( )yxz ,= y ( )vuw ,= . A tal fin, se di-bujan por separado los planos z y w. Cuando se piensa de ese modo en una funcin, se dice que f(z) introduce una transformacin (tambin llamada mapeo o aplicacin) del plano z en el plano w. La imagen de un punto z del dominio de defini-cin D es el punto ( )zw f= . El conjunto de todas las imgenes de los puntos de un conjunto T contenido en D constituyen la imagen de T. La imagen de todo el dominio de definicin se llama la imagen de f(z). La imagen inversa de un punto w es el conjunto de todos los puntos z del dominio de definicin de f(z) cuya imagen es w. Al graficar simples puntos y sus imgenes no se obtiene mayor conocimiento sobre las propiedades de transformacin de una funcin dada. Para lograrlo es mucho mejor graficar y estudiar regiones y sus im-genes, o familias de curvas simples (Por ejemplo, rectas paralelas o circunferencias concntricas) y sus imgenes.

Ejemplos 1) La transformacin ( ) yixzw ++=+= 11 , donde yixz += se puede interpretar como una traslacin de cada punto z una unidad hacia la derecha.

2) Puesto que 2pii

ei = , la transformacin

+

==2pii

reizw , donde irez = , se puede interpretar como una rotacin de un ngulo recto en sentido antihorario. 3) La transformacin zw = transforma cada punto en su reflejado respecto al eje real.

Transformaciones elementales

Transformacin zew =

La transformacin zew = , siendo yixz += y iew = , se puede expresar como iyxi eee = . As pues, xe= y pi ky 2+= , Zk . Por lo tanto, la transformacin zew = se puede escribir como:

xe= y y= La imagen de un punto genrico ( )ycz ,1= de la recta vertical 1cx = tiene coordenadas polares 1

ce= y

y= en el plano w. Esa imagen se mueve en sentido antihorario por la circunferencia de la figura cuando z sube por la recta. La imagen de la recta es toda la circun-

x

y

y = c2

x = c1

u

v

c2 exp(c1)

2 Transformaciones

ferencia y cada punto de esta es la imagen de infinitos puntos distintos de la recta, separados por la dis-tancia pi2 . La imagen de un punto genrico ( )2,cxz = de la recta horizontal 2cy = tiene coordenadas polares

xe= y 2c= en el plano w. Por lo tanto, si z se mueve de izquierda a derecha por toda la recta, su imagen se mueve por todo el rayo 2c= .

Transformaciones lineales BAzw +=

En la transformacin Azw = , donde A es una constante compleja y no nula, y 0z , escribimos iaeA = y irez = ; entonces:

( ) ( ) += iearw De esta expresin deducimos que la transformacin Azw = dilata o contrae el vector posicin de z en un factor Aa = y lo gira un ngulo AArg= en torno al origen. Por lo tanto, la imagen de una regin da-da es semejante a ella.

La transformacin Bzw += , donde B es una constante compleja, es una traslacin.

La transformacin lineal ( )0 += ABAzw , composicin de las transformaciones: AzZ = y BZw +=

es una dilatacin o contraccin ms una rotacin, seguidas de una traslacin.

Transformacin nzw = y nzw 1=

Sea irez = , con 0>r y pipi r y pipi

3 Transformaciones

La ecuacin zw 1= establece una correspondencia biunvoca entre los puntos no nulos del plano z y del plano w. Ya que zzz =2 , la transformacin se puede describir mediante las transformaciones sucesivas:

zz

p 21

= y pw =

La primera es una inversin con respecto a la circunferencia unidad 1=z . Esto es, la imagen de un punto 0z en un punto p tal que:

zp 1= y zp argarg =

Por lo tanto, los puntos exteriores a la circunferencia 1=z se transforman en interiores y recprocamen-te. La segunda de las transformaciones es una reflexin sobre el eje real. Si escribimos la transformacin zw 1= como ( )

zzT 1= , podemos definir ( )zT en el origen y en el punto

del infinito de modo tal que sea continua en el plano complejo ampliado (es decir, el plano complejo in-cluyendo los puntos del infinito). Teniendo en cuenta que:

( ) =

zTz 0lim y ( ) 0lim =

zT

z

podemos definir:

( ) =0T y ( ) 0=T

Si un punto viuw += es la imagen de un punto no nulo yixz += bajo la transformacin zw 1= , ve-mos que:

( )( )( ) 2222

11yx

yiyx

x

yixyixyix

yixzviuw

+

++

=

+

=

+==+=

y recprocamente 22221

vu

vivu

u

wyixz

+

++

==+=

Cuando A, B, C y D son nmeros reales tales que ADCB 422 >+ , la ecuacin:

( ) 022 =++++ DCyBxyxA representa una circunferencia (si 0A ) o una recta (si 0=A ) arbitrarias. Si x e y satisfacen la ecuacin anterior, podemos sustituir dichas variables por u y v:

( ) ( ) 022222222

222

2

=++

++

++

+D

vu

vCvu

uBvu

v

vu

uA

Es decir

( ) 022 =+++ vuDCvBuA que tambin representa una circunferencia o una recta. Por lo tanto: La transformacin zw 1= transforma circunferencias y rectas en circunferencias y rectas. Observan-do las ecuaciones se puede afirmar:

4 Transformaciones

i) Una circunferencia ( 0A ) que no pasa por el origen ( 0D ) en el plano z se transforma en una cir-cunferencia que no pasa por el origen en el plano w. ii) Una circunferencia ( 0A ) que pasa por el origen ( 0=D ) en el plano z se transforma en una recta que no pasa por el origen en el plano w. iii) Una recta ( 0=A ) que no pasa por el origen ( 0D ) en el plano z se transforma en una circunferencia que pasa por el origen en el plano w. iv) Una recta ( 0=A ) que pasa por el origen ( 0=D ) en el plano z se transforma en una recta que pasa por el origen en el plano w.

Transformaciones de Mbius

La transformacin

dczbaz

w+

+=

( )0 bcad 1 (1)

donde a, b, c y d son constantes complejas, se denomina transformacin de Mbius (tambin llamada transformacin racional lineal o bilineal). La expresin (1) puede escribirse como:

0=+++ DCwBzAzw ( )0 BCAD (2)

y, recprocamente, cualquier ecuacin del tipo (2) se puede pasar a la forma (1).

Cuando 0=c , la transformacin (1) se convierte en una transformacin lineal. Cuando 0c , (1) se pue-de modificar como sigue (en el segundo miembro, multiplicar numerador y denominador por c y luego sumar y restar ad en el numerador):

( )( ) ( )

( )( )dczc

adbcdczadczc

adbcadcazdczc

adadbazcw

+

++=

+

++=

+

++=

Es decir:

dczcadbc

c

aw

+

+=1

(3)

La ecuacin (3) muestra que si 0c , una transformacin de Mbius es composicin de las siguientes transformaciones:

dczZ += , ZW 1=

, Wc

adbcc

aw

+= ( )0 bcad

Por lo tanto, independientemente de que c sea o no nulo, toda transformacin de Mbius transforma cir-cunferencias y rectas en circunferencias y rectas, ya que esas transformaciones de Mbius especiales lo hacen.

Despejando z de (1) se obtiene:

1 La condicin ( )0 bcad resulta necesaria para que la transformacin sea conforme, como veremos ms adelante.

5 Transformaciones

acw

bdwz

+= ( )0 bcad

Si un punto w es la imagen de un punto z mediante (1), z se recupera mediante la ecuacin anterior. Cada punto del plano w es la imagen de un y slo un punto del plano z, excepto cuando caw = , ya que en este caso se anula el denominador de la expresin anterior.

Para salvar esta dificultad podemos definir una transformacin de Mbius T sobre el plano z ampliado, de modo que el punto caw = sea la imagen de =z , cuando 0c . Denotamos:

( )dczbaz

zT+

+= ( )0 bcad (1)

Ahora definimos:

( ) =T si 0=c ( )

c

aT = y =

c

dT si 0c

Una vez ampliado su dominio de esta forma tenemos una transformacin biunvoca del plano z ampliado sobre el plano w ampliado. Esto es, ( ) ( )21 zTzT siempre que 21 zz y, adems, para todo punto w exis-te un punto z tal que ( ) wzT = . Por lo tanto, asociada con T existe una transformacin inversa 1T , defi-nida sobre el plano w ampliado del modo siguiente:

( ) zwT =1 si y slo si ( ) wzT = Es evidente que:

( )acw

bdwwT

+=

1 ( )0 bcad

1T es tambin una transformacin de Mbius, con:

( ) =1T si 0=c ( )

c

dT =1 y =

c

aT 1 si 0c

Si T y S son dos transformaciones de Mbius, tambin su composicin ( )[ ]zTS lo es. En particular ( )[ ] zzTT =1 para todo punto del plano z ampliado.

La ecuacin:

( )( )( )( )

( )( )( )( )123

321

123

321

zzzz

zzzz

wwww

wwww

=

define implcitamente una transformacin de Mbius (es fcil comprobarlo haciendo los productos y ex-presndole resultado como 0=+++ DCwBzAzw ) que aplica los puntos distintos z1, z2, z3 en los puntos distintos w1, w2, w3, respectivamente. Para comprobarlo, escribamos la expresin anterior como:

( )( )( )( ) ( )( )( )( )321123123321 zzzzwwwwzzzzwwww =

6 Transformaciones

Si 1zz = , el miembro de la derecha es nulo y por lo tanto es 1ww = . Anlogamente, si 3zz = , el miem-bro de la izquierda es cero y por lo tanto es 3ww = . Si 2zz = , nos queda la ecuacin lineal:

( )( ) ( )( )123321 wwwwwwww = cuya nica solucin es 2ww = .

Transformaciones de discos sobre discos

Demostraremos que es posible aplicar el disco unitario en el plano z sobre el disco unitario en el plano w a travs de la transformacin:

100

=

zz

zzw

10

7 Transformaciones

Si 0=x , por (1) se tiene 0=u y yv senh= ; por lo tanto, el eje y ( 0=x ) se transforma en el eje v.

Si 2pi=x , por (1) se tiene yu cosh= y 0=v . Como ycosh es una funcin par y adems 1cosh y ,

las rectas 2pi=x se transforman en las porciones 1u y 1u del eje u, en donde las imgenes se

doblan como indica la figura que sigue.

Si 0x y 2pix , recordando que 1senhcosh 22 = yy , por (1) se obtiene:

1cossen 2

2

2

2

=

x

v

x

u

Es decir que las imgenes de las rectas verticales cte=x son hiprbolas con focos en los puntos 1cossen 22 =+= xxw .

Si 0=y , es 0senh =y y por (1) se tiene 0=v y xu sen= ; por lo tanto, el eje x ( 0=y ) se transforma en el segmento 11 u del eje u. Si 0y , usando 1sencos 22 =+ xx , por (1) se obtiene:

1senhcosh 2

2

2

2

=+y

v

yu

Es decir que las imgenes de las rectas horizontales cte=y son elipses con focos en los puntos 1 .

Coseno. Teniendo en cuenta que la transformacin zw cos= puede escribirse como:

+==

2sencos

pizzw

x

y v

u /2 -/2 1 -1

8 Transformaciones

se observa enseguida que esta transformacin es la misma que zsen precedida por una traslacin hacia la

derecha de 2pi

unidades.

Transformaciones conformes

Conservacin de ngulos

Sea C un arco suave dado por ( )tzz = , ( )bta y sea ( )zf una funcin definida en todos los puntos z de C. La ecuacin:

( )[ ]tzw f= ( )bta es una parametrizacin de la curva que es la imagen de C a travs de la transformacin ( )zw f= . Supongamos que C pasa por un punto ( )00 tzz = en el que ( )zf es analtica y adems ( ) 0f 0 z . Como

( )[ ]tzw f= , por la regla de derivacin en cadena: ( ) ( )[ ] ( )000 f tztztw =

Y teniendo en cuenta que la anterior igualdad de nmeros complejos implica la igualdad de sus argumen-tos, podemos escribir:

( ) ( )[ ] ( )000 argfargarg tztztw += La frmula anterior relaciona las direcciones de C y en los puntos z0 y ( )00 f zw = . Denotemos por 0 el ngulo de incli-nacin de C en z0 y por 0 el ngulo de inclinacin de en w0. Lamemos ( )[ ] 00farg = tz . La ecuacin anterior queda:

000 += Entonces, la diferencia entre el ngulo de inclinacin de la recta dirigida en w0 y el ngulo de inclinacin de la recta dirigida en z0 viene dada por el ngulo de rotacin ( )[ ] 00farg = tz .

Sean ahora C1 y C2 dos arcos suaves que pasan por z0, y sean 1 y 2 los ngulos de inclinacin de sus respectivas tangentes en z0. Por lo que acabamos de ver:

101 += y 202 += son los ngulos de inclinacin de las rectas tangentes dirigidas

de las curvas imgenes 1 y 2 en el punto w0. Por lo tanto:

1212 =

Es decir, el ngulo 12 = de 1 a 2 es igual, en magnitud y sentido, al ngulo 12 = de C1 a C2. Toda transformacin ( )zw f= que posea esta propiedad de conservacin de ngulos en un punto z0 se de-nomina transformacin conforme en dicho punto. Para ello, ( )zf debe ser analtica en z0 (porque de no

y

0

u

v

x

z0

C 0 w0

y

u

v

x

z0

C1

w0

C2

1

2

9 Transformaciones

serlo, no existe la derivada ( )0f z y por lo tanto no podramos hablar del ngulo de rotacin ( )0farg z ) y adems debe cumplirse que ( ) 0f 0 z (porque si ( ) 0f 0 = z , no existe ( ) ( )0argfarg 0 = z ). Una transformacin que conserva el valor absoluto del ngulo de rotacin, pero no necesariamente su sentido, se llama isogonal. Supongamos que una funcin ( )zf no es constante y es analtica en un punto z0. Si adems es ( ) 0f 0 = z , se dice que z0 es un punto crtico de la aplicacin ( )zw f= .

Ejemplos 1) La transformacin zew = es conforme en todo el plano, porque ( ) 0= zz ee en todo z. 2) La transformacin ( )K,3,2, == nzw n es conforme salvo en el punto crtico 0=z . 3) La transformacin zw = es isogonal pero no conforme.

Factor de escala

Por la definicin de derivada:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0

0

00

fflimfflimf

00 zz

zz

zz

zzz

zzzz

=

=

Como 0zz es la longitud del segmento que los puntos z0 y z en el plano z, y ( ) ( )0ff zz es la longitud del segmento que une los puntos ( )zf y ( )0f z en el plano w, la transformacin ( )zw f= amplifica (o re-duce) las longitudes de los segmentos, aproximadamente en el factor ( )0f z (aproximadamente porque esto ser tanto ms preciso cuanto ms prximo est el punto z del punto z0)

Transformaciones de funciones armnicas y de condiciones de contorno

En Matemtica aplicada, los problemas de contorno (o de frontera) son aquellos consistentes en hallar una funcin que sea armnica en un dominio especificado y satisfaga ciertas condiciones impuestas sobre la frontera del dominio. Si se prefijan los valores de la funcin en la frontera, el problema de contorno se llama de primera clase o problema de Dirichlet. Si se prefijan los valores de la derivada normal en los puntos de la frontera, el problema se llama de segunda clase o problema de Neumann. Los dominios ms frecuentes en las aplicaciones son simplemente conexos. Como hemos visto, una fun-cin armnica en un dominio simplemente conexo siempre admite una armnica conjugada, por lo que las soluciones de los problemas de contorno en tales dominios son partes reales o imaginarias de funcio-nes analticas. La tcnica fundamental es transformar un problema de contorno dado en el plano xy en uno ms simple en el plano uv y usar los resultados que veremos a continuacin con el fin de escribir el pro-blema original en trminos de la solucin obtenida para el problema ms simple.

Teorema (Transformacin de funciones armnicas). Supongamos que una funcin analtica ( ) ( ) ( )yxivyxuzw ,,f +==

transforma un dominio Dz del plano z en un dominio Dw del plano w. Si ( )vuh , es una funcin armnica definida en Dw, entonces la funcin

10 Transformaciones

( ) ( ) ( )[ ]yxvyxuhyxH ,,,, = es armnica en Dz.

Demostracin. Debemos demostrar que 02 =+= yyxx HHH . Derivando por la regla de la cadena:

xvxux vhuhH += yvyuy vhuhH +=

Hallando la derivada segunda (aplicando nuevamente la regla de la cadena) ( ) ( ) xxvxxvvxvuxxuxxuvxuuxx vhvvhuhuhuvhuhH +++++= ( ) ( ) yyvyyvvyvuyyuyyuvyuuyy vhvvhuhuhuvhuhH +++++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yyxxvyxvvyyxxvuyyxxuyyxxuvyxuu vvhvvhvuvuhuuhvuuvhuuhH +++++++++++= 22222 Pero como u y v son funciones armnicas, se cumple:

0=+ yyxx uu y 0=+ yyxx vv

Adems, ( ) ( ) ( )yxivyxuzw ,,f +== cumple las ecuaciones de Cauchy Riemann ( xyyx vuvu == , ) y entonces:

2222yxyx vvuu +=+ 0=+ yyxx vuvu

Podemos escribir entonces:

( ) ( ) ( )( )vvuuyxyxvvyxuu hhuuuuhuuhH ++=+++= 2222222 Pero como ( )vuh , es armnica, el segundo parntesis del ltimo miembro de la ecuacin anterior es nulo y, por lo tanto, 02 = H y la funcin ( ) ( ) ( )[ ]yxvyxuhyxH ,,,, = es armnica.

Teorema (Transformacin de condiciones de contorno). Supongamos que la transformacin ( ) ( ) ( )yxivyxuzw ,,f +==

es conforme en los puntos de un arco suave C. Sea la imagen de C bajo esa transformacin. Si una fun-cin ( )vuh , satisface, en los puntos de , alguna de las condiciones:

0hh = 0=dndh

donde h0 es una constante real y dndh denota la derivada normal a , entonces la funcin ( ) ( ) ( )[ ]yxvyxuhyxH ,,,, =

satisface en los puntos de C la condicin correspondiente

0hH = 0=dNdH

donde dNdH denota la derivada normal a C. No presentaremos la demostracin de este teorema.

11 Transformaciones

Anlisis complejo aplicado a la teora del potencial

La ecuacin de Laplace

02 =++= zzyyxx

es una de las ecuaciones diferenciales parciales ms importantes en las matemticas aplicadas a la inge-niera, porque se presenta en distintos modelos fsicos. La teora acerca de las soluciones de esta ecuacin se denomina teora del potencial, y las soluciones cuyas derivadas parciales son continuas se denominan funciones armnicas. En el caso bidimensional, cuando depende slo de dos coordenadas cartesianas x e y, la ecuacin de Laplace se convierte en:

02 =+= yyxx

Se sabe que, entonces, sus soluciones estn estrechamente relacionadas con las funciones analticas com-plejas. Analizaremos la ecuacin de Laplace bidimensional en diferentes situaciones y las soluciones a partir de la teora de variable compleja.

Campos electrostticos

Ley de Gauss para el campo elctrico: el flujo total que sale de una superficie cerrada S es igual a la carga neta q que hay encerrada dentro de S dividido 0 .

0enc

S

qdS = nE

Aplicando el teorema de la divergencia o de Gauss-Ostrogradsky, tendremos (siendo V el volumen ence-rrados por S):

( )0

enc

VS

qdVdS == EnE

Si aplicamos esta expresin a un volumen diferencial dV, que encierra un diferencial de carga dq y siendo

la densidad de carga dVdq

= , tendremos:

( )00

== EE dqdV

obteniendo as la forma diferencial de la ley de Gauss del campo elctrico:

0

= E

Ecuaciones de Poisson y Laplace

12 Transformaciones

Sea el potencial electrosttico. Recordando que =E , tendremos: ( ) ( )

0

==== zzyyxxzyx kjiE

Obtenemos as la ecuacin de Poisson:

0

=++ zzyyxx

Y para el espacio libre de cargas ( )0= , la ecuacin de Laplace: 0=++ zzyyxx

Las superficies cte= se denominan superficies equipotenciales. En cada punto P, el gradiente de es perpendicular a la superficie cte= que pasa por P; es decir, el campo elctrico E es perpendicular a la superficie equipotencial. Para el caso bidimensional:

0=+ yyxx

Potencial complejo

Sean ( )yx, armnica sobre algn dominio D y ( )yx, una conjugada armnica de en D. Entonces:

( ) ( ) ( )yxiyxzF ,, +=

es una funcin analtica de iyxz += . Esta funcin F se denomina potencial complejo, correspondiente al potencial real . Recordemos que para dado, una conjugada se determina de manera nica excepto por una constante aditiva. Por lo tanto, es posible decir el potencial complejo, sin malentendidos. El empleo de F tiene dos ventajas, una matemtica y otra fsica. Matemticamente, y en relacin a los mtodos del anlisis complejo, F es ms fcil de manipular que sus partes real o imaginaria. Fsicamente, tiene sentido, ya que las curvas cte= se intersecan con las lneas equipotenciales cte= formando ngulos rectos (excepto donde ( ) 0= zF ). As, tienen la direccin del campo elctrico y se denominan lneas de campo elctrico (o lneas de fuerza).

Ejemplo 1: Campo electrosttico entre cilindros co-axiales Encuentre el potencial en el espacio comprendido entre dos cilindros conductores coaxiales, de radios a y b, que se extienden al infinito por ambos extremos y se mantienen a los potenciales a y b.

Solucin. Por razones de simetra, en este caso de-pende slo de 22 yxr += , y la ecuacin general de

a

b b

a

x

y = cte

= cte

13 Transformaciones

Laplace en coordenadas polares

( ) ( ) ( ) 0,,,2 =++ rrrrr rrr adopta la forma simplificada ( ) ( ) 0=+ rrr rrr Resolviendo e integrando:

r

r

r

r

r

r CrCrdr

drdr

dr

=+=

==+ 11lnlnln0

Integrando nuevamente

==r

drCdCdrd

r 11 21 ln CrC +=

Para determinar las constantes C1 y C2, resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:

=

=

+=+=

bba

C

baC

CbCCaC

bab

ba

b

a

lnln

lnlnln

2

1

21

21 por lo tanto

br

baba

b lnln

+=

Para hallar la armnica conjugada , utilizamos las ecuaciones de Cauchy Riemann en forma polar: = rr y rr=

De 0= , obtenemos 0=r . De ddC

r

Crr r

=== 11 , obtenemos 1C=

Por lo que el potencial complejo es: ( ) ( ) 2121121 Lnlnln CzCCirCiCCrCzF +=++=++=

Las lneas equipotenciales y las lneas de fuerza se muestran en la figura anterior.

Uso de las transformaciones conformes

La transformacin conforme se usa para transformar un dominio complicado dado sobre uno ms simple, en dnde la solucin sea conocida o sea posible encontrarla ms fcilmente. Despus, esta solucin es transformada nuevamente (a travs de la transformacin inversa) al dominio dado.

Ejemplo 2: Campo electrosttico entre cilindros no coaxiales

Encuentre el potencial en el espacio comprendido entre los cilindros C1, dado por 1=z , cuyo potencial

es 01 = , y C2, dado por 52

52

=z , cuyo potencial es V 1102 = .

Solucin Hemos visto que la transformacin fraccionaria lineal que transforma el disco unitario sobre el disco uni-tario es:

100

=

zz

zzw 10

14 Transformaciones

Con dicha transformacin, el disco unitario 1=z se transforma en el disco unitario 1=w , y C2 se trans-forma en algn otro cilindro *2C , dado por 0rw = . Adoptando bz =0 (b nmero real). Imponemos las condiciones ( ) 00 rw = y ( ) 054 rw = , con lo cual:

( ) 00 rbw == ( ) ( ) 01545454 r

bb

w =

=

Por lo tanto:

( )

=

=

=++==

221

0542

54

54

54

15454 22

bb

bbbbbbb

b

La solucin 20 == rb no sirve (porque el radio de *2C debe ser menor a 1). Entonces:

( )212

12121f

=

==

z

z

z

zzw

Por el ejemplo 1, el potencial complejo en el plano w es: ( ) [ ] 2121* ArglnLn CwiwCCwCwF ++=+=

Por lo que el potencial real en el pla-no w es:

( ) ( )[ ] 21** lnRe, CwCwFvu +== Las constantes C1 y C2 se determinan a partir de las condiciones iniciales:

001ln1 221*

==+== CCCw

7,15811021ln

21

11*

==== CCw

Si reemplazamos a w por la expresin 212

z

z obtenemos F(z), es decir:

( ) ( )[ ]212Lnf 1

*

==

z

zCzFzF

El potencial real en el plano z es:

( ) ( )[ ]212lnRe, 1

==z

zCzFyx

Las figuras representan las lneas equipotenciales y las lneas de fuerza en los planos z y w.

Transmisin del calor en condiciones estacionarias

Para el caso particular de que el flujo calrico establecido durante un proceso de transmisin de calor no dependa del tiempo, estamos ante las condiciones estacionarios de transmisin de calor. En tal caso, se cumple la ecuacin de Laplace:

x

y = cte

= cte

u

v

15 Transformaciones

02 = T

y, si la ecuacin de Laplace deviene en un caso bidimensional, resulta aplicable todo lo dicho anterior-mente para campos electrostticos. En particular, la funcin T(x, y) se denomina potencial de calor, y es la parte real de la funcin potencial de calor complejo:

( ) ( ) ( )yxiyxTzF ,, +=

Las curvas ( ) cte, =yxT se llaman isotermas, mientras que las curvas ( ) cte, = yx se denominan lneas de flujo de calor.

Flujo de fluidos en condiciones estacionarias

La ecuacin de Laplace tambin se aplica al flujo estacionario de un fluido no viscoso, en ciertas condi-ciones fsicas que se detallan ms adelante (sin explicacin, porque hay que dejar algo para que lo expli-quen las materias especficas). Para poder aplicar los mtodos del anlisis complejo y las transformaciones conformes, el problema debe ser bidimensional, tal como ocurri para los problemas electrostticos y de transmisin de calor, de modo que el vector velocidad v dependa nicamente de las coordenadas x e y (no debe depender de la coorde-nada z, ni tampoco del tiempo, por tratarse de un flujo estacionario). En tal caso, existe una funcin analtica:

( ) ( ) ( )yxiyxzF ,, +=

llamada potencial complejo del flujo. La funcin ( )yx, es la funcin potencial velocidad y se cumple que:

( )yx,=v

Las lneas ( ) cte, = yx se denominan lneas equipotenciales. La funcin ( )yx, se llama funcin de corriente y las lneas ( ) cte, = yx se denominan lneas de co-rriente del flujo. Las condiciones que deben cumplirse para que las frmulas anteriores sean vlidas son: debe tratarse de un flujo irrotacional y de un fluido incompresible.

16 Transformaciones

Problemas

Transformaciones elementales

1. () Pruebe que las rectas ( )0= axay se transforman en las espirales ae= bajo la transfor-macin zew = donde iew = .

Solucin aayiyiayyixz eyeeeeeew ======= +

La ltima es la ecuacin en coordenadas polares de una espiral

2. () Halle las imgenes de las si-guientes regiones bajo la transformacin

zew = , siendo yixz += y ieviuw =+= :

a) el rectngulo 10 x , 121

c , se transforma en:

x

y

1

0,5

1

x

y

- x

y

A

B C

D

(a) (b) (c)

x

y

(d) x

y

(e) x

y

1 A

B C

D

(f) 3

u

v

1

C

D

(a) e

A B

v

u (b)

17 Transformaciones

( ) ( )( ) ( ) ( ) viuxcicxicxiziw +=++=+== 11 ( ) cucucxcvcuxcxu 2+====+=

Otra manera de analizarlo, es observar que se trata de una transformacin lineal que provoca una dilata-cin de valor 21 = i y un giro de -45.

R: uv > 2

4. () Halle la imagen de la semifranja infinita 0>x , 20 c . Halle la imagen cuando 02 c , tenemos:

>+

02

2222

2222 c

vvuvu

c

vc

vu

v

2

2

2

2

22

2

2

2

2

21

210

21

21

++

ccvu

ccvu

Si 02 =c , es 022 >+

=

vu

vy , es decir 0 es i) el interior de 2

2

2

2

2

21

21

=

++

ccvu , si 02 >c ; ii) el exterior de

2

2

2

2

2

21

21

=

++

ccvu , si 02

18 Transformaciones

Solucin

( ) 2222222 0221

ccvuvcvucvu

vy >++>++z sobre el disco 1

22 Transformaciones

y compruebe que los segmentos del eje x se transforman como indica la figura. b) Encuentre la transformacin que aplica la frontera del mismo semiplano sobre el mismo disco, pero que transforma el semiplano 0Im >z en el exterior del disco 1b , se cumple: ( )( ) 11

1z se aplica sobre el disco 1z quedar a la izquierda del punto mvil y, por lo tanto, su imagen en el plano w tam-bin quedar a la izquierda de la circunferencia unitaria recorrida en sentido antihorario, es decir, quedar dentro de la circunferencia. Si ahora consideramos la transformacin que aplica los puntos 1,0,1 321 === zzz en los puntos

1,, 321 === wiwiw (obsrvese que hemos invertido los puntos w2 y w3 respecto a la transformacin an-terior), el punto mvil que recorre el eje x de izquierda a derecha tendr una imagen en el plano w que re-corre la circunferencia unitaria en sentido horario. Un punto cualquiera del semiplano 0Im >z quedar a la izquierda del punto mvil y, por lo tanto, su imagen en el plano w tambin quedar a la izquierda de la circunferencia unitaria recorrida en sentido horario, es decir, quedar fuera de la circunferencia. La transformacin correspondiente la podemos hallar a travs de:

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( ) 1212

11

211

123

321

123

321

++

++=

+=

+

=

ziizi

wz

z

iwiiw

zzzz

zzzz

wwww

wwww

18. () Dada la transformacin:

11

+

=

z

zw

a) Verifique que la misma puede escribirse como composicin de las siguientes transformaciones:

izZ = ZiZiW

+

= Ww =

b) A continuacin, use los resultados del problema anterior para comprobar que la transformacin

11

+

=

z

zw transforma los puntos del plano z en puntos del plano w

segn lo indica la figura.

x

y

u

v

A

B

C

D

E

E A

B

D

C 1 1 i

-i

23 Transformaciones

Solucin

19. () a) Hallando la transformacin inversa de:

zizi

w+

=

pruebe que la transformacin z

ziw+

=

11

transforma el disco 1z sobre el semiplano 0Im z .

b) Verifique que la transformacin racional lineal:

z

zw

2=

se puede descomponer en:

1= zZ ZZiW

+

=

11

iWw =

Entonces, con ayuda del resultado del apartado a), pruebe que aplica el disco 11 z sobre el semiplano izquierdo 0Re w .

Solucin a) Ver ejercicio anterior donde se trabaja con la transformacin

zizi

w+

=

w

wiziwiwzzziwzwizizi

w+

==+=++

=

11

x

y

u

v

A

B

C

D

E

E3 A3

B3

D3

C3 1 1

i

-i

plano z

A1 B1 C1 D1 E1

1 -1

plano Z

E2 A2

B2

D2

C2 1

plano W plano w

i

-i

plano w

1 -1

plano W

1

plano Z

1

plano z

24 Transformaciones

20. () Compruebe que zw sen= aplica el interior de una regin rectangu-lar pipi x , bya , situada por encima del eje x, sobre el interior de un anillo elptico que tiene un corte a lo lar-go del segmento avb senhsenh del semieje imaginario negativo, como indica la figura. Note que la aplicacin es

biunvoca en el interior de la regin rectangular, pero no lo es en la frontera.

Solucin a) yxiyxz senhcoscoshsensen += yxu coshsen= , yxv senhcos= El segmento FD , donde by = , se transforma en la elipse xbu sencosh= , xbv cossenh= . El segmento AC , donde ay = , se transforma en la elipse xau sencosh= , xav cossenh= . Los segmentos AF y CD se aplican ambos sobre el segmento 0=u , avb senhsenh y por ende la transformacin no es biyectiva en la frontera de la regin rectangular.

21. () a) Compruebe que la transformacin zw sen= aplica la semifranja infinita 20 pi x , 0y en el primer cuadrante

0u , 0v del plano w, como indica la figura. b) Demuestre que zw cosh= se puede descomponer en:

2pi

+= izZ Zw sen=

c) Utilizando los resultados de los apartados anteriores, verifique que zw cosh= aplica la semifranja in-finita 0x , 20 pi y del plano z sobre el primer cuadrante 0u , 0v del plano w.

Solucin a) Se comprueba a partir de:

yxiyxz senhcoscoshsensen += yxu coshsen= , yxv senhcos=

b) =+=

+

2sencos

2cossen

2sen

pipipi iziziz

ziz coshcos == c) ver figura

22. () a) Compruebe que zew = transforma la regin indicada en la Fig. 1 del plano z en la regin del plano w representada en la misma figura.

b) Compruebe que z

zw1

+= transforma la regin indicada en la Fig. 2 del plano z en la regin del plano

w representada en la misma figura. c) Verifique que la transformacin zw cosh= se puede descomponer en:

x

y

u

v

A B C

D E E

D

-

F

A C

B

F

a

b

x

y

u

v A

B C

D

A B

D

C 1 /2

x

y

plano z plano Z plano w

u

v A1

B

C D1

A2 B2

D2

C2 1 /2

/2 D

A B1 C1

25 Transformaciones

zeZ = Z

ZW 1+= Ww21

=

d) A partir de los resultados de los apartados anteriores, pruebe que zw cosh= aplica la semifranja infini-ta 0x , pi y0 del plano z sobre la mitad inferior 0v del plano w.

Solucin b) Resulta fcil comprobar que:

( ) 0=iw ( ) 21 =w ( ) 21 =w +=+w

z 0lim =

w

z 0lim

Adems, si irez = , con 10

26 Transformaciones

que limitan la regin triangular del plano z en sus puntos de interseccin y qu ngulo forman sus imge-nes en el plano w? Explique a qu se debe la igualdad o la desigualdad de dichos ngulos.

Solucin

a) ( ) ( ) xyiyxyixzw 22222 +=+== 22 yxu = xyv 2= Dada una semirrecta vertical cx = , 10 c , 0>y , nos queda:

22 ycu = 222 42 cvycyv == 22

2

4cv

cu =

La expresin 22

2

4cv

cu = representa una familia de parbolas de eje horizontal, de concavidad hacia la

izquierda, ya que el coeficiente 241c

de 2v es negativo. Ya que 10 c , dicho coeficiente ser tan

grande como se quiera (con slo tomar valores de c suficientemente prximos a 0), lo que significa que las parbolas sern tan cerradas como se quiera. Los vrtices de esas parbolas estarn en el punto 2c , es decir, en el intervalo [ ]1,0 . La expresin cyv 2= nos indica que slo debemos tomar los valores positivos de v, ya que tanto c como y son positivos.

b) 22 cxu = 222 42 cvxxcv == Por lo tanto:

( )222222

44

cucvcc

vu +==

c) Es consecuencia directa del apartado anterior.

d) El segmento de recta 10, = xxy , se transforma en: ( ) ixxixzw 222 2=+== 0=u 10,2 2 = xxv

El segmento de recta 10, = xxy , se transforma en:

( ) ixxixzw 222 2=== 0=u 10,2 2 = xxv El segmento de recta 11,1 = yx , se transforma en:

( ) ( ) yiyyizw 211 222 +=+== 21 yu = 2

2 vyyv ==

Es decir que 4

12v

u = o bien ( )142 = uv .

27 Transformaciones

e) Las rectas xy = e xy = forman un ngulo de 90 en el origen. Sus imgenes forman un ngulo de 180 en el origen. El ngulo no se conserva porque la transformacin 2zw = no es conforme en 0=z , ya que su derivada zw 2= se anula en dicho punto. La recta xy = forma un ngulo de 45 con la recta 1=x en el punto D. Sus imgenes se intersecan en el punto D, de coordenadas (0, 2). La tangente a la parbola ( )142 = uv tiene una pendiente dada por:

( )( )

12

442142,0

2=

===dudv

vdudvdudvvuv

Esto significa que la tangente a la parbola ( )142 = uv forma un ngulo de -45 en el punto D y, por lo tanto, la imagen de la recta xy = forma un ngulo de 45 con la imagen de la recta 1=x en el punto D. El ngulo se conserva porque la transformacin es conforme en cualquier punto distinto de 0=z .

24. () Pruebe que la transformacin zw 2sen= aplica la franja 20 pi x , 0y sobre el semipla-no 0v .

Solucin zZ sen= 2Zw =

En un problema anterior, vimos que la transformacin zZ sen= aplica la semifranja infinita 20 pi x , 0y en el primer cuadrante del plano Z. Como 2Zw = duplica los ngulos, el primer cua-

drante de Z se transforma en el semiplano superior de w.

25. () a) Compruebe que la transformacin zw sen= aplica la semifranja infinita

22 pipi x , 0y en el semiplano superior 0v del plano w, como indica la figura.

b) Pruebe que si en ( ) 41sen zw = se toma la rama principal de la potencia fraccionaria, la semifranja infinita 22 pipi x , 0y se aplica sobre la

parte del primer cuadrante comprendida entre las rectas uv = y el eje u.

Solucin a) Se comprueba a partir de:

yxiyxz senhcoscoshsensen += yxu coshsen= , yxv senhcos=

b) La rama principal de la transformacin 41Zw = divide por 4 los argumentos, por lo que, luego de apli-cada esta transformacin, los argumentos estarn en el intervalo [ ]4,0 pi .

26. () a) Halle el ngulo de rotacin en el punto iz += 2 de la transformacin 2zw = . Pruebe que el factor de escala en ese punto es 52 . b) Calcule el ngulo de rotacin que produce la transformacin

zw 1= en los puntos 1=z y iz = .

Solucin

x

y

u

v

A

B C A B D C

1 /2

D -/2

E

E

28 Transformaciones

a) ( ) ( ) iizz 242f2f +=+= ( ) 464,0farg 00 == z ( ) 52242f =+=+ ii b) ( ) 21f zz = ( )[ ] [ ] pi === 1arg1farg0 ( )[ ] [ ] 01argfarg0 === i

R: a) 0,464; b) y 0.

27. () Pruebe que el ngulo de rotacin en un punto no nulo irez = bajo la transformacin nzw = ( )K,2,1=n es ( )1n . Halle el factor de escala de la transformacin en ese punto.

Solucin Recordando que la derivada de ( )zf puede escribirse en forma polar como ( ) ( )rri ivuez += f , tenemos:

( ) nirnrerzz nninnn sencosf +===

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11111 sencosf ==+=+= nininninnirri enrenreninrnnreivuez

( ) ( )1farg = nz

( ) 1f = nnrz

R: 1nnr

28. () Determine los puntos en el plano z en que la transformacin ( )zw f= deja de ser conforme, si ( )zf es igual a:

a) bazz ++2 b) zpicos c) ( )zz 80exp 5 d) zsen e) ( )01 + zzz f) z2cosh

Solucin a) ( ) 202f azazz ==+= b) ( ) K,2,1,00senf === zzz pipi c) ( ) ( ) ( ) izzzzzz 2,216080exp805f 4154 ==== d) ( ) ( )K,2,1,0

20cosf =+=== nnzzz pipi

e) ( ) 10111f 22

2 ==

== zz

z

zz

f) ( ) ( ) ===== 01002

02senh2f 422222

zzzzzz

eeeeee

zz

( ) ( )

===

=

=== + 2,1,0,2

14cos

014sen4cos1 444 kkyy

x

yyeee xiyxz pi

29 Transformaciones

R: a) 2a

z = ; b) K,2,1,0 =z ; c) iz 2,2 = ; d) ( )K,2,1,02

=+= nnz pipi ; e) 1=z ;

f). ( )2,1,0,2

== kkiz pi

29. () La aplicacin zew = transforma la franja horizontal piv , y la funcin:

( ) ( ) 222Re, vuwvuh == es armnica en ese semiplano. a) Pruebe, verificndolo directamente, que la funcin:

( ) yeyxH x 2cos, 2= es armnica en esa franja (Este problema ejemplifica el teorema sobre transformacin de funciones arm-nicas.). b) Compruebe que ( )yxH , se transforma en ( )vuh , a travs de zew = .

Solucin Lo ms interesante es verificar que a ( )yxH , se transforma en ( )vuh , a travs de zew = .

ivuyieyeeew xxyixz +=+=== + sencos

=

+=

=

=

u

vy

vux

yev

yeux

x

tgarc

ln

sen

cos22

( ) ( ) ( )u

vvu

u

vvuyeyxH x tgarc2costgarc2cosln2exp2cos, 22222 +=+==

Analicemos la expresin u

vtgarc2cos . Sea

u

vp tgarc= , es decir u

vp =tg . Tenemos que:

ppp 22 sencos2cos =

Expresemos ahora los dos trminos del segundo miembro de la ltima igualdad en funcin de u

vp =tg :

22

2

2

2222

22

1

1tg11

sencos

coscos

vu

u

u

vppppp

+=

+

=

+=

+=

22

2

2

2

2

2

2

2

2

22

22

1tg1tg

tg11

1sencos

sensen

vu

v

u

v

u

v

pp

ppp

pp+

=

+

=

+=

+=

+=

Por lo tanto:

22

22

22

2

22

222 sencos2cos

vu

vu

vu

v

vu

uppp+

=

+

+==

Finalmente:

30 Transformaciones

( ) ( ) ( ) 2222 2222222 tgarc2cosln2exp2cos, vuvu vuvuuvvuyeyxH x =++=+==

Es fcil verificar que 0=+ yyxx HH y que 0=+ vvuu hh

30. () Bajo zew = , la imagen del segmento pi y0 del eje y es la semicircunferencia 0,122 =+ vvu . Adems, la funcin:

( ) 22212Re, vuu

uw

wvuh+

+=

+=

es armnica en todo el plano w excepto en el origen, y toma el valor 2=h en esa semicircunferencia. a) Escriba una expresin explcita de la funcin ( )yxH , cuya imagen es ( )vuh , a travs de zew = . b) Ilus-tre el teorema sobre Transformacin de condiciones de contorno, comprobando que 2=H a lo largo del segmento pi y0 del eje y.

Solucin a) ivuyieyeeew xxyixz +=+=== + sencos

( )yeye

yeyevu

uuvuh

yevyeu

xx

xx

x

x

222222 sencos

coscos22,

sen

cos

++=

++=

=

=

( ) ( )yxHe

yyevuhx

x,

coscos2, =+=

R: a) ( )x

x

e

yyeyxH coscos2, +=

Preguntas (molestas?)

General

1. Para todos los teoremas: a) Explique con sus propias palabras las hiptesis del teorema. b) Explique con sus propias palabras lo que se pretende demostrar. c) Enuncie el teorema contrarecproco. d) Busque ejemplos que verifiquen las hiptesis y compruebe que tambin verifican la tesis. e) Busque ejemplos que no verifiquen las hiptesis y compruebe si verifican o no la tesis. f) Analice la demostracin, justificando cada paso de la misma.

2. Explique con sus propias palabras cada uno de los conceptos que aparecen en negrita en el texto te-rico.

31 Transformaciones

Transformaciones

3. Cmo se define el ngulo que forman dos curvas planas en el punto de interseccin?

4. Explique detalladamente cul es la aplicacin de las transformaciones conformes a la resolucin de problemas fsicos

5. Qu es una transformacin conforme? Si la transformacin est definida a travs de una funcin ( )zw f= , qu requisitos debe cumplir esta funcin para que la transformacin sea conforme?

6. D ejemplos de funciones que son conformes para todo punto. D ejemplos de funciones que no son conformes en ciertos puntos pero s los son en otros, e indique cules son los puntos de no conformidad.

7. Qu son los puntos fijos de una transformacin? D ejemplos.

8. Qu es el potencial complejo y para qu sirve?

9. Qu condiciones fsicas deben cumplirse en los problemas electrostticos, de transmisin de calor y de flujo de fluidos, para que resulten aplicables los mtodos de resolucin basados en transformaciones conformes y potencial complejo?

10. La funcin ( ) zzw senf == no es conforme en infinitos puntos del plano complejo (todos aquellos donde se anula su derivada ( ) zz cosf = ) Esto implica que dicha transformacin no podr utilizarse para resolver un problema fsico? Si la respuesta es afirmativa, explique por qu no se puede utilizar. Si la res-puesta es negativa, explique qu debe hacerse con los puntos donde la transformacin no es conforme.

Bibliografa

1. James W. Brown y Ruel V. Churchill, Variable compleja y aplicaciones 7 edicin, Mc Graw Hill, 2005. 2. Erwin Kreyszig, Matemticas avanzadas para ingeniera 3 edicin, Limusa Wiley, 2001.

Sitios de internet

http://www.math.ttu.edu/~pearce/complex/complexviewer.html Permite visualizar las imgenes de dominios rectangulares o circulares del plano z a travs de diferentes funciones.